Полисвертки интегральных преобразований и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

Историческая справка

Общая характеристика работы.

Цели и задачи диссертационной работы.

Основные результаты и научная новизна .

Основные положения и результаты, выносимые на защиту . Апробация и публикации результатов.

I Свертки и полисвертки интегральных преобразований Основные определения и обозначения

1. Обзор интегральных преобразований, используемых в диссертации

1.1. Элементы теории экспоненциального преобразования Фурье

1.1.1. Определение . .

1.1.2. Свойства.

1.1.3. Свертка. .

1.2. Косинус- и синус- преобразования Фурье .

1.2.1. Определение.

1.2.2. Свойства.

1.2.3. Свертки и полисвертки.

1.3. Некоторые результаты теории преобразования Лапласа . . .

1.3.1. Определение.

1.3.2. Свойства.

1.3.3. Свертка.

1.4. Преобразование Меллина.

1.4.1. Определение.

1.4.2. Свойства.

1.4.3. Свертка.

1.5. Элементы теории преобразования Ханкеля.

1.5.1. Определение.

1.5.2. Свойства.

1.5.3. Свертка.

Краткие выводы к главе 1.

Полисвертки интегральных преобразований, способы и методы их построения

2.1. Понятие полисвертки.

2.2. Конструирование полисверток интегральных преобразований "по определению". .

2.2.1. Построение полисверток, исходя из знания теоремы умножения ядер.

2.2.2. Способ построения полисверток, основанный на конструировании их ядра .

2.3. Примеры конструирования полисверток "по определению" .

2.3.1. Примеры построения полисверток с помощью теоремы умножения ядер.

2.3.2. Примеры построения полисверток, исходя из конструирования их ядра .

2.4. Другие методы построения полисверток.

2.4.1. Случай В = рАС .

2.4.2. Случай B~l = CA~xp.

2.5. Примеры полисверток с дифференциальными операторами и операторами сдвига.

2.5.1. Примеры, демонстрирующие случай В = рАС . 90

2.5.2. Примеры, демонстрирующие случай В~1 = £А~1р . . 100

2.5.3. Полисвертки преобразования Ханкеля и дифференциальные операторы.106

Краткие выводы к главе 2.114

II Приложение сверток и полисверток интегральных преобразований к решению уравнений 115

Основные положения 115

3. Решение уравнений методом интегральных преобразований в случае одной независимой переменной 123

3.1. Исходный пример.123

3.2. Общая схема. 125

3.3. Примеры решений конкретных уравнений методом интегральных преобразований.138

3.3.1. Обыкновенные дифференциальные уравнения.138

Вариант 1 .138

Вариант 2 .142

Вариант 3 .143

3.3.2. Разностные уравнения.152

3.4. Конструирование ядра интегрального преобразования по виду исследуемого уравнения.158

3.4.1. Исходный пример.158

3.4.2. Способы конструирования ядра преобразования по виду уравнения.161

1-ый способ.161

2-ой способ.163 4

3-ий способ.166

4-ый способ.168

5-ый способ.170

3.5. Примеры конструирования ядер интегральных преобразований по виду решаемого уравнения.172

Краткие выводы к главе 3.181

4. Применение метода интегральных преобразований к решению неоднородных задач математической физики 183

4.1. Элементы общей схемы решения уравнений в частных производных методом интегральных преобразований .183

4.2. Примеры решений уравнений в частных производных в случае двух независимых переменных.190

4.3. Метод интегральный преобразований и метод Фурье . 212

4.4. Выбор последовательности применения интегральных преобразований при решении уравнений.214

4.4.1. Пример решения уравнения, когда последовательность применения интегральных преобразований определяется видом оператора С .214

4.4.2. Пример демонстрирующий случай, когда последовательность применения интегральных преобразований определяется областью, в которой ищется решение уравнения .216

Краткие выводы к четвертой главе.220

Заключение

221

Литература

225 5

Введение

В диссертационной работе рассматриваются одномерные интегральные преобразования, определяемые посредством операторов вида:

F(x) = К[/](х) = J f(t)K(x,t)dt, (0.1) т где интеграл понимается в смысле Лебега, по некоторому подмножеству Т С R, а ядро K(x,t) преобразования (0.1), вообще говоря, некоторая специальная функция двух переменных.

Интегральные преобразования порождают конструкции (свертки и полисвертки), обладающие факторизационным свойством:

К! [(/ £ 0]) (*) = p(x)K2[f](x)K,[g](x). (0.2)

Если оператор Ki обратим, то функцию * g^j (£), при условии ее существования, называют полисверткой функций f(t) и g(t), порожденной в общем случае различными преобразованиями К^, г = 1,2,3, действующими в одной алгебре; р{х) - весовая функция (вес). В частности, при К^ = К, i = 1,2,3 функцию * g^j (t) называют сверткой функций f(t) и g{t) относительно преобразования К с весом р(х).

В части I работы сформулированы различные способы конструирования сверток и полисверток, построены полисвертки, порожденные конкретными интегральными преобразованиями и найдены некоторые условия их существования. При этом акцент сделан на полисвертки преобразования Ханкеля.

Во второй части рассмотрены приложения теории полисверток к решению различных уравнений: исследована общая схема решения уравнений методом интегральных преобразований, продемонстрировано на примерах ее применение к решению конкретных линейных неоднородных уравнений, описан класс нелинейных сверточных уравнений, решаемых с использованием определения полисвертки и т. д.

Историческая справка

Как известно, интегральные преобразования - один из старейших разделов математики, играющий важную роль при решении задач как в самой математике, так и в других областях естествознания. Впервые интегральные преобразования появились в начале XIX в. в трудах Фурье, Лапласа, Пуассона, Коши главным образом по теории распространения тепла. В настоящее время преобразования Фурье и Лапласа по-прежнему занимают неоспоримо ключевые позиции. Вопросам их теории и приложений посвящена обширная литература (см., например, классические работы [5, 9, 11, 18, 26, 29, 41, 42, 44, 46]). В XX веке большое развитие получили методы, основанные на преобразовании Меллина, особенно в теории специальных функций гиперболического типа [2, 3, 6, 7, 41]. Это относится к исследованию одномерных операторов преобразований, имеющих структуру свертки Меллина, а именно

Здесь ядро представляет собой элементарную или специальную функцию, зависящую от одного аргумента z = xt. В частности, к этим преобразования относятся преобразования Лапласа, Ханкеля, Мейера, синус- и косинус преобразования Фурье, экспоненциальное преобразование Фурье и многие другие, в том числе, преобразования с наиболее общими специальными функциями гиперболического типа - G-функциями Мейера и ^-функциями Фокса (см., например [14, 15, 54, 65]). К ним также приводятся с помощью замен переменной дробные интегралы и производные Римана-Лиувилля.

Диссертация посвящена исследованию сверточных конструкций и методов их построения. Напомним основные этапы развития понятия полисвертки.

00

0.3) о 7

В 1941 году в [58] Churchill R.V. впервые ввел свертку

00 h(t) = J f(r)g(t-T)dr (0.4) оо для преобразования Фурье с факторизационным равенством

V [f*g](x) = V[f\{x)V[g](x) (0.5) и свертку для синус- и косину с-преобразования Фурье, для которой

V.[/ * = Vc[/](a) Ve[sr](®>. (0.6)

Здесь V - оператор преобразования Фурье, V6. и Vc - операторы синус- и косинус-преобразований Фурье соответственно.

Позднее были определены свертки для преобразований Лапласа и Мел-лина, а в 1951 году в [68] Tricomi F.G. ввел свертку интегрального преобразования Гильберта. Факторизационные равенства для данных сверток, как и в случае свертки Фурье, имеют вид

K[f*g}(x) = K[f}(x)K.[g}(x), (0.7) где К - оператор соответствующего интегрального преобразования. Свертку * д^ (t) с весом р(х) и факторизационным равенством:

К If* (х) = р(х) К [f](x) К [д](х) (0.8) впервые рассмотрел Виленкин Н.Я. [8] для преобразования Мелера-Фока.

В 1967 году В. А. Какичев [22] предложил новый подход к понятию свертки с весом. Это позволило данные объекты конструировать для каждого конкретного интегрального преобразования.

Кроме этого в работе [22] введено новое понятие - понятие обобщенной свертки или полисвертки, и рассматривается единый подход к конструированию обобщенных сверток, порожденных одним, двумя или тремя биективными линейными операторами, который демонстрируется на примерах. В частности, построены свертки синус-преобразования Фурье, преобразований Ханкеля, Конторовича-Лебедева и др.

Для полисверток с весом р факторизационное равенство имеет вид (0.2). Алгебраические свойства (коммутативность, ассоциативность) для данных объектов могут не выполняться.

Исследованием и конструированием полисверток различных интегральных преобразований занимались Якубович С.Б., Saigo М., Мошинский О.И By Ким Туан, Нгуен Суан Тхао, Какичев В.А. и многие другие (см., например, [14, 15, 16, 23, 24, 30, 31, 50, 51, 52, 53, 54, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 70, 71]).

В 1997 году Какичевым В.А. [21] был изложен наиболее общий подход к построению сверток и полисверток, порожденных различными операторами, в том числе и не интегральных преобразований. Там же рассматривается понятие полисвертки, порожденной конечным множеством биективных линейных операторов.

В настоящее время свертки и полисвертки нашли применение при решении задач математической физики, при вычислении интегралов и суммировании рядов. Они сами являются интегральными преобразованиями и как таковые - объектом исследований [55, 56, 69]. Одним из перспективных направлений является исследование приложений уравнений типа свертки [16].

В данной диссертации изучаются приложения полисверток к одному из наиболее эффективных методов решения неоднородных линейных уравнений - методу интегральных преобразований.

Как было сказано выше, введение первых интегральных преобразований было обусловлено необходимостью решения конкретных уравнений. К настоящему времени многочисленные приложения теории интегральных преобразований к решению линейных уравнений оформились в виде метода интегральных преобразований. Указанный метод возник в

XIX веке как операционное исчисление. Автор исчисления, английский инженер-электрик Хевисайд, изложил его в виде ряда формальных правил без математического обоснования. Значительно раньше основные правила и теоремы операционного исчисления построили русские математики Ващенко-Захарченко и Летников, но их труды не получили широкого распространения. Позже Хевисайд применил свой метод к решению дифференциальных уравнений в частных производных.

Метод Хевисайда оказался настолько эффективным, что он решил многие проблемы, считавшиеся до него почти неразрешимыми, и получил решение некоторых уже решенных задач в форме, значительно более приспособленной для численных расчетов.

Строгое обоснование исчислению Хевисайда последовало в работах Эфроса, Данилевского, Диткина, Бромвича, Джефриса, Детча, Карсона, Ван-дер-Поля и др. В частности выяснилось, что решения, найденные Хеви-сайдом, получаются с помощью интегрального преобразования Лапласа, а контурный интеграл, появившийся в работах Бромвича, является обращением преобразования Лапласа.

Преобразование Лапласа очень широко используется при решении задач, связанных с интегрированием обыкновенных дифференциальных урав нений, задач теплопроводности и т. д. Однако при решении многих краевых задач математической физики весьма полезными являются и другие интегральные преобразования. Более того, эффективность метода интегральных преобразований значительно возрастает с увеличением класса применяемых преобразований.

Следует заметить, что хотя равносильность метода интегральных преобразований и операционного исчисления сейчас вполне выяснена, однако исторически сложившееся различие в способах изложения этих теорий сохранилось до наших дней. Проявляется оно в обозначениях и внешнем виде формул, которые легко трансформируются друг в друга простыми

10 заменами переменных.

В настоящее время интегральные преобразования являются одним из наиболее мощных и широко используемых математических средств решения различных практических задач. Трудно перечислить все прикладные области знания, в которых используются методы интегральных преобразований. К ним относятся классические разделы математической физики [11, 17, 41, 45, 46]: распространение тепла и гидроаэромеханика, теория упругости, теория колебаний, охватывающая разнообразнейшие физические процессы, - механические колебания твердых и упругих тел, жидкостей и газов, включая акустику, электромагнитные колебания (оптика, радиоэлектроника) и многие другие. Возникшие в XX веке теории атомного ядра, автоматического регулирования и управления, массового обслуживания - также не обходятся без применения интегральных преобразований. Не удивительно поэтому, что существует обширная литература, относящаяся в той или иной степени к интегральным преобразованиям. В ряде работ, посвященных в основном приложениям, авторы подходят формально к применению интегральных преобразований. В интересах краткости и доступности изложения указываются лишь некоторые достаточные условия применимости аппарата интегральных преобразований. Другая часть работ принадлежит к исследованиям того класса, из которого можно черпать задаваемые функции, и класса, к которому будут принадлежать искомые функции для каждого конкретного преобразования. Данные работы наиболее полезны при решении задач, в которых сами вопросы разрешимости тесно связаны с классами используемых функций. Например, при решении уравнений типа свертки, которые в последние годы получили значительное развитие.

11

Общая характеристика работы

Настоящее исследование относится к теории полисверток интегральных преобразований и их приложениям к решению неоднородных линейных уравнений, в частности, обыкновенных дифференциальных, разностных, сверточных уравнений, уравнений в частных производных и т. д.

В работе систематизированы основные методы конструирования полисверток (обобщенных сверток) интегральных преобразований. Полученные теоретические результаты продемонстрированы на примерах построения полисверток конкретных интегральных преобразований. При этом акцент сделан на конструирование новых полисверток для преобразования Хан-келя.

Вторая часть диссертации посвящена приложениям полисверток на примере рассмотрения общей схемы решения неоднородных линейных уравнений методом интегральных преобразований. Полученные результаты продемонстрированы на примерах решения конкретных обыкновенных дифференциальных, разностных уравнений и уравнений в частных производных.

Для уравнений с одной независимой переменной автором предлагается несколько способов построения ядер согласованных интегральных преобразований, которые сопровождаются примерами. В качестве одного из примеров достаточно подробно исследуется возможное обобщение преобразования Ханкеля.

При решении уравнений в частных производных методом интегральных преобразований отдельно рассмотрена проблема выбора последовательности применения интегральных преобразований.

Настоящая диссертационная работа не претендует на полноту в изложении задач, решаемых с помощью интегральных преобразований. Примеры уравнений подобраны таким образом, чтобы наиболее наглядно про

12 демонстрировать общую схему решения уравнений методом интегральных преобразований и преимущества указанного метода. Некоторые из представленных результатов известны [1, 7, 11, 17, 25, 34, 41, 45] и могут быть получены другими методами, но они представляют самостоятельный интерес, поскольку наглядно иллюстрируют технику и методику решения.

Кроме этого, метод интегральных преобразований сравнивается с другим эффективным методом - методом Фурье.

Актуальность темы

Основным исследуемым понятием в диссертации является понятие полисвертки. Несмотря на то, что сверточные конструкции впервые были введены в 1941 году (для преобразований Фурье [58]), теория полисверток находится в стадии активного становления и развития. Об этом говорит, например, следующее: определение понятию полисвертки было дано только в 1967 году [22], основные результаты по конструированию полисверток интегральных преобразований относятся к 90-м годам XX века, при том, что для построения сверточных конструкций чаще всего пользуются определением полисвертки.

Основным исследованиям в области сверточных операторов посвящены работы В.А. Диткина, А.П. Прудникова, В.А. Какичева, Нгуен Хуан Тхао, Нгуен Тхань Хая, О.И. Маричева, С.Б. Якубовича, Ю.Ф. Лучко, L. Berg, I.H. Dimovski, N. Bozhinov, М. Saigo, Н.М. Srivastava, R.G. Buschman и др.

Приложения полисверток многочислены. Чаще всего их применяют для решения уравнений типа свертки, которые в последние годы получили значительное развитие. В данной диссертации рассматриваются полисвертки применительно к методу интегральных преобразований. Эта тематика берет свое начало из работ Трантера Н. Дж., Г. Деча и Я.С.

13

Уфлянда, содержащих достаточно систематическое изложение указанного метода. В монографии Снеддона И. при решении уравнений методом интегральных преобразований используются свертки Фурье, Лапласа, Мел-лина, косинус- и синус преобразований Фурье.

Один из выводов, полученных в результате настоящего исследования, указывает на то, что эффективность метода интегральных преобразований возрастает с увеличением числа известных полисверток различных интегральных преобразований.

Данная диссертация затрагивает также исследования Дж. А. Азелтей-на, А.В. Иванова, Н.А. Мартыненко, JI.M. Пустыльникова по конструированию ядер интегральных преобразований и работы Bozhinov N. и Dimovski I.H., в соответствии с которыми при построении операционного исчисления свертка связывается с некоторым линейным оператором В на основе равенства

B(f*g)(t) = (Bf*g)(t).

Цели и задачи диссертационной работы

Основная цель данной диссертации - это исследование и систематическое изложение основных методов конструирования полисверток, порожденных интегральными преобразованиями и рассмотрение приложений полисверток к решению уравнений методом интегральных преобразований.

Необходимо выделить следующие этапы при достижении этой цели:

1) Определение понятия полисвертки;

2) Исследование, систематизация и изложение методов построения полисверток, следующих непосредственно из определения;

3) Исследование, систематизация и изложение других методов конструирования полисверток;

14

4) Проверка и демонстрация полученных результатов на примерах полисверток конкретных интегральных преобразований. Вспомогательные задачи: подбор интегральных преобразований для проверки и демонстрации методов; их исследование и изучение основных свойств для дальнейшего использования.

5) Исследование метода интегральных преобразований для реконструкции общей схемы его применения;

6) Описание каждого из шагов данной схемы;

7) Систематизация и обобщение полученных результатов;

8) Решение конкретных уравнений методом интегральных преобразований с использованием полисверток.

Из поставленной цели и вышеперечисленных задач следует структура данной диссертации.

Диссертация состоит из введения, 2-х частей, каждая из которых содержит вводную главу и две основных, заключения и списка использованных источников. Объем диссертации 234 стр. Список использованных источников содержит 90 наименований, из них работы автора (18 наименований) приведены в конце списка.

Заключение

В настоящей диссертации, посвященной развитию теории полисверток интегральных преобразований и их приложений к решению различных уравнений получены следующие результаты.

1) Используя строгое определение понятия "полисвертка", сконструирован ряд новых полисверток, порожденных преобразованием Ханкеля. По аналогии автором построены полисвертки других интегральных преобразований (см., например, [79, 83, 84]);

2) Разработаны способы конструирования полисверток интегральных преобразований, являющиеся обобщением композиционного метода, предложенного В. А. Какичевым, Н. X. Тхао и И. В. Хай. Данные способы продемонстрированы на примерах построения полисверток, порожденных конкретными интегральными преобразованиями. Особое внимание уделяется полисверткам, содержащим операторы сдвига и различные дифференциальные операторы, как наиболее часто встречающиеся в приложениях;

221

3) Для всех построенных полисверток конкретных интегральных преобразований найдены некоторые достаточные условия их существования, которые оформлены в виде теорем;

4) Интегральные преобразования, на примере которых рассматривается понятие "полисвертка" и методы конструирования полисверток, представлены в первой главе. Рассмотрены определения, основные свойства (за исключением интегральных) и свертки классических интегральных преобразований: Фурье, Лапласа, Меллина, Ханкеля, косинус- и синус-преобразований Фурье. При изложении дифференциальных свойств преобразования Ханкеля введены дифференциальные операторы Nm,v и S!fn in впервые изучены их свойства и рассмотрены свойства преобразования Ханкеля с участием данных операторов. При этом определен новый класс функций С™(0,оо)м. Систематизированы дифференциальные свойства преобразования Меллина;

5) На основе результатов первой и второй глав, путем обобщения и систематизации различных применений интегральных преобразований к решению уравнений математической физики, получена общая схема решения уравнений методом интегральных преобразований в случае одной независимой переменной. Центральное место в схеме занимает понятие согласованности интегральных преобразований с оператором, определяющим исследуемое уравнение. Полученные результаты позволяют при решении конкретного уравнения методом интегральных преобразований сформулировать условия, при выполнении которых решение существует и записывается в виде полисвертки;

6) Введено понятие согласованности полисверток с операторами, образующими исследуемое уравнение. Определение данного понятия позволило обобщить понятие "фундаментального решения", которое было введено В. С. Владимировым (см., например, [11])- Предложена

222 схема нахождения обобщенных фундаментальных решений для конкретных уравнений.

Показана аналогия метода интегральных преобразований построению операционного исчисления в соответствии с работами Bozhinov N. и Dimovski I. Н.;

Предложенная схема метода интегральных преобразований позволила соединить воедино свойства интегрального преобразования, нахождение полисверток с его участием и описание класса уравнений, решение которых возможно с помощью этого преобразования. В частности, для нелинейных сверточных уравнений вида (3.39) получено, что в некоторых случаях их решение эквивалентно решениям линейных уравнений вида (3.8), где Ск, к £ fi, например, дифференциальные или разностные операторы;

Общая схема метода интегральных преобразований продемонстрирована на примерах решений линейных неоднородных обыкновенных дифференциальных и разностных уравнений. Предложено несколько способов конструирования ядер интегральных преобразований по виду решаемого уравнения. Полученные результаты являются дополнением исследований Дж. А. Азелтейна, А. В. Иванова, И. А. Мар-тыненко, JI. М. Пустыльникова по данному вопросу. Конструирование ядер интегральных преобразований по виду решаемого уравнения продемонстрировано на примерах. Попутно рассмотрено полученное обобщение интегрального преобразования Ханкеля;

Рассмотрены основные элементы общей схемы решения уравнений в частных производных методом интегральных преобразований. Сформулированы требования, при выполнении которых порядок применения интегральных преобразований не существенней. На примерах конкретных уравнений рассмотрена проблема выбора последовательности интегральных преобразований.

Результаты диссертации могут быть использованы в теоретических исследованиях в таких математических дисциплинах как интегральные преобразования, операционное исчисление, дифференциальные, интегральные, интегро-дифференциальные и разностные уравнения, специальные функции, теория операторов.

Особенно эффективно применение полученных результатов к решению конкретных задач математической физики.

Если рассматривать вышеперечисленные результаты в перспективе, то представляется интересным

1) на основе полученных методов сконструировать новые полисвертки для известных интегральных преобразований, исследовать условия их существования;

2) сформулировать более точно условия существования ранее найденных полисверток;

3) продолжить исследование приложений теории полисверток к решению различных уравнений;

4) сконструировать интегральные преобразования, которые позволят решить малоисследованные прикладные задачи.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю проф. Какичеву Валентину Андреевичу за конструктивную критику, всестороннее обсуждение результатов и безграничное терпение.

224

1. Айне Э.Л. Обыкновенные дифференциальные уравнения. Харьков, 1939. 719 с.

2. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. В трех томах. М.: Наука. Т.1, 1965. 294 с. Т.2, 1966. 295 с. Т.З, 1967. 299 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Таблицы интегральных преобразований. В двух томах. М.: Наука. Т.1, 1969. 344 с. Т.2, 1970. 328 с.

4. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. Пер. с англ. М.: Физматлит,1962. 360 с.

5. Бремерман Г. Распределения, комплексные переменные и преобразования Фурье. М.: Мир, 1968. 276 с.

6. Брычков Ю. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования обобщенных функций. М.: Наука, 1977. 288 с.

7. Ватсон Г. Н. Теория Бесселевых функций. М.: ИЛ, 1949. Т.1. 798 с.

8. Виленкин Н. Я. Матричные элементы неприводимых унитарных представлений группы движений пространства Лобачевского и обобщенные преобразования Фока-Мелера // Докл. АН СССР. 1958. Т.118. М-2. С. 219-222

9. Винер Н. Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М.: Наука,1963. 256 с.

10. Винер Н. Пели Р. Преобразование Фурье в комплексной области. М.: Наука, 1964. 268 с.

11. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 512 с.225

12. Владимиров В. С., Жаринов В. В. Уравнения математической физики. Учебник для вузов. М.: Физматлит, 2000. 400 с.

13. Волков И.К. Канатников А.Н. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М., изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1999. 227 с.

14. By Ким Туан. К теории обобщенных интегральных преобразований в некотором пространстве функций // Докл. АН СССР. 1986. Т.286. МЗ. С.521-524.

15. By Ким Туан. Интегральные преобразования, их композиционная структура. Дис. на соиск. учен. степ. докт. физ.-мат. наук. Минск, 1987, 322 с.

16. Гахов Ф.Д., Черский Ю.И. Уравнения типа свертки. М.: Наука, 1978. 295 с.

17. Деч Г. Руководство к практическому применению преобразования Лапласа. М.: Гос. изд-во физико-матем. лит-ры, 1958. 207 с.

18. Диткин В. А., Прудников А. П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Физматгиз, 1961. 524 с.

19. Ерофеенко В.Т. Теоремы сложения. Минск, "Наукаи техника", 1989. 255 с.

20. Житомирский Я. И. Задача Коши для систем линейных уравнений в частных производных с дифференциальными операторами типа Бесселя // Мат. сб. 1955. Т.36. М-2. С.299-310.

21. Какичев В. А. Полисвертки. Определения, примеры, сверточные уравнения. Конспект лекций. Таганрог: ТРТГУ, 1997. 54 с.226

22. Какичев В. А. О свертках для интегральных преобразований // Изв. АН БССР. Сер. физ.-матем. наук, 1967. ЛР2. С.48-57.

23. Какичев В. А. О матричном свертывании степенных рядов // Изв. вузов. Математика. 1990. М-2. С.53-62.

24. Какичев В. А., Нгуен Суан Тхао. Об методе конструирования свертки интегральных преобразований // Изв. вузов. Математика. 1998. Я-1. С.31-40.

25. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1976. 576 с.

26. Кеч В., Теодореску П. Введение в теорию обобщенных функций с приложениями в технике. М.: Мир, 1978. 518 с.

27. Киприянов И. А. Сингулярные эллиптические краевые задачи. М.: Наука, Физматлит, 1997. 208 с.

28. Князев П. Н. Интегральные преобразования. Минск: Вышейная школа, 1969. 200 с.

29. Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 544 с.

30. Лучко Ю.Ф., Якубович С.Б. Порождающие операторы и свертки для некоторых интегральных преобразований // Докл. АН БССР, 1991. Т.35. М°9. С.773-776.

31. Лучко Ю.Ф., Якубович С.Б. Операционный метод решения некоторых классов интегро-дифференциальных уравнений // Дифференц. уравнения, 1991. Т.ЗО. №2. С.269-280.

32. Мартинсон Л.К., Малов Ю.И. Дифференциальные уравнения математической физики. М., изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 1996. 367 с.227

33. Мартыненко Н.А., Пустыльников JI.M. Конечные интегральные преобразования и их применение к исследованию систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1986. 303 с.

34. Матвеев Н.М. Методы интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Высшая школа, 1963 г. 254 с.

35. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные однородные разностные уравнения. М.: Наука, 1981. 208 с.

36. Миролюбов А.А., Солдатов М.А. Линейные неоднородные разностные уравнения. М.: Наука, 1986. 127 с.

37. Нгуен Суан Тхао. Свертки интегральных преобразований и обобщенная ^-функция. Дис. на соиск. учен. степ. канд. физ.-мат. наук. Новгород. 1995. 140 с.

38. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Элементарные функции. М.: Наука, 1981. 800 с.

39. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. Специальные функции. М.: Наука, 1983. 752 с.

40. Рыжик И. М., Градштейн И. С. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Физматгиз, 1951. 464 с.

41. Снеддон И. Преобразование Фурье. М.: ИЛ, 1955. 668 с.

42. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. М.: ОГИЗ, Гос-техиздат, 1948. 480 с.

43. Тихонов А. Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972. 736 с.

44. Толстов Г. П. Ряды Фурье. М.: Физматгиз, 1960. 392 с.228

45. Трантер Н. Дж. Интегральные преобразования в математической физике. М.: Гостехиздат, 1956. 204 с.

46. Уфлянд Я. С. Интегральные преобразования в теории упругости. АИ СССР, 1963. с.

47. Уфлянд Я. С. Метод парных уравнений в задачах математической физики. М.: Наука, 1977. 220 с.

48. Фихтенгольц Г. М. Курс дифференциального и интегрального исчисления. М.: Физматгиз. т.2, 1959. 807 с.

49. Хейл Дж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1984. 421 с.

50. Якубович С. Б. О свертке для преобразования Конторовича-Лебедева и ее приложениях к интегральным уравнениям // Докл. АН БССР, 1987. Т.31. С.101-103.

51. Якубович С. Б. Об одном конструктивном методе построения интегральных сверток // Докл. АН БССР, 1990. Т.34. Я-1. С.588-591.

52. Якубович С. Б. Интегральные преобразования по индексу и сверточ-ный метод. Дис. на соиск. учен. степ. докт. физ.-мат. наук. Минск, 1996. 198 с.

53. Якубович С. Б., Моышнский О. И. Интегральные уравнения и свертки, связанные с преобразованиями типа Конторовича-Лебедева // Диф. уравнения. 1993. Т.29. №7. С.1272-1284.

54. Якубович С. Б., Нгуен Тхань Хай. Интегральные свертки для Н-преобразований // Изв. вузов. Математика. 1991. М-8. С.72-79.

55. Al-Musallam F., Vu Kim Tuan. A class of convolution transformation. Fractional Calculus and Applied Analysis. V.3, 3 (2000), P. 303-314.

56. Al-Musallam F., Vu Kim Tuan. Integral Transforms Related to a Generalized Convolution. Result. Math. 38 (2000). P. 197-208.

57. Cauchy L. Memoire sur la theorie des ondes // Oevres. Ser. 1. V.l. P. 5-318.

58. Churchill R. V. Fourier Series and boundary value problems. New York, 1941. 58 pp.

59. Fourier J. The Analytical Theory of Heat. Translated by Freeman A. Cambridge: 1978.

60. Glaeske H.J., Hel A. A convolution connected with the Kontorovich-Lebedev transform // Math. Z, 1986, Y.193, Л/П, P.67-78.

61. Kakichev V. A., Nguyen Xuan Thao, Nguyen Than Hai. Composition method for constructing convolutions for integral transform // Integral Transforms and special Function. 1996, V.4. №3. P.235-242.

62. Luchko Yu.F., Yakubovich S.B. Convolutions of the generalized fractional integration jperators // Math. Balkanica, 1993, V.7, J\f-2, P.119-130.

63. Nguyen Xuan Thao, Nguyen Thanh Hai. Convolution for integral transforms and their applications. Computer center of the Russian Academy. Moscow. 1997. 44 pp.

64. Nguyen Xuan Thao, Kakichev V. A., Vu Kim Tuan. On the generalized convolutions for Fourier cosine and sine transform // East-West Journal of Mathematics. V.l. МЧ. 1998. P.85-90.

65. Saigo M., Yakubovich S.B. On the theory of convolution integrals for G-transforms // Fukuoska: Univ. Sci. Report., 1991, V.21, P.181-193.230

66. Srivastava H.M., Vu Kim Tuan. A new convolution theorem for the Stieltjes transform and its application to a class of singular integral equations // Arch. Math. 1995, V.64. P. 144-149.

67. Scwartz A.L. An inversion theorem for Hankel transform. Proc. Amer. Math. Soc. 22, 3 (1969), P. 713-715.

68. Tricomi F.G. On the finite Hilbert transformation // Quart. J. Math. 1951, V.2. P.199-211.

69. Vu Kim Tuan. Integral Transform of Fourier Cosine Convolution Type. // J. Math. Anal, and Appl. 229 (1999), P. 519-529.

70. Vu Kim Tuan, Megumi Saigo. Convolutions of Hankel Transform and Its Application to an Integral Involving Bessel Function of First kind. // J. Math, and Math. Sci, 1995. V.18. Л/"22. P.545-550.

71. Yakubovich S.B., Saigo M. The Kontorovich-Lebedev transform and its convolution // In Prod. Inst, of Math. Sci. Kyoto Univ. 1994. V.12. P. 84-119.

72. Yakubovich S.B. Index transforms. World Scientific Publishing Co. Pte. Ltd. Singapore, New Jersey, London, Hong Kong. 1996. 248 pp. V.12. P.84-119.

73. Бритвина JI. E. Применение интегральных преобразований к решению линейных обыкновенных дифференциальных уравнений // Вестник Новгородского государственного университета, Серия "Естественные и технические науки", Л/"2Ю, 1998. С. 69-73.

74. Какичев В. А., Бритвина Л. Е. Об одном из применений преобразования Ханкеля // Материалы международной научно-методической конференции, посвященной 75-летию со дня рождения профессора М.231

75. Б. Балка. "Избранные вопросы математики и методики ее преподавания". Смоленск: 1998. С. 14.

76. Бритвина Л. Б. Свертки для синус- и косинус- преобразований Фурье // Труды международной научно-методической конференции "Математика в Вузе", Санкт-Петербург, июнь 1998. С. 46-47.

77. Бритвина Л. Е. Линейный поток тепла в полуограниченной среде // Труды международной научно-методической конференции "Математика в Вузе", Санкт-Петербург, июнь 1998. С. 217-218.

78. Какичев В. А., Бритвина Л. Е. О свертках для преобразования Ханкеля / / Тезисы докладов международной научно-практической конференции "Математические методы в образовании, науке и промышленности", Тирасполь: 1999. С.35-36.

79. Бритвина Л. Е. Применение преобразования Фурье к интегро-дифференциальным уравнениям // Тезисы докладов международной научно-практической конференции "Математические методы в образовании, науке и промышленности", Тирасполь: 1999. С.34-35.

80. Какичев В. А., Бритвина Л. Е. О свертках, порожденных преобразованием Ханкеля и У-преобразованием Бесселя // Труды международной научно-методической конференции "Математика в Вузе", Санкт-Петербург, сентябрь 1999. С. 150-151.

81. Бритвина Л. Е. Применение косинус- и синус-преобразования Фурье к интегро-дифференциальным уравнениям // Труды международной научно-методической конференции "Математика в Вузе", Санкт-Петербург, сентябрь 1999. С. 130-131.

82. Бритвина Л. Е. Применение косинус- и синус-преобразования Фурье к решению разностных уравнений // Труды международной научнометодической конференции "Математикав Вузе", Санкт-Петербург, сентябрь 1999. С. 128-129.

83. Бритвина JI. Б. Применение интегральных преобразований к решению линейных разностных уравнений // Вестник Новгородского государственного университета, Серия "Естественные и технические науки", Л/МЗ, 1999. С. 71-75.

84. Какичев В. А., Бритвина JI. Е. Свертки, порожденные К- и /-преобразованиями Бесселя // Труды международной научно-методической конференции "Математика в Вузе", Великий Новгород, июнь 2000. С. 137-138.

85. Бритвина JI. Е. Свертки преобразования Конторовича-Лебедева // Труды международной научно-методической конференции "Математика в Вузе", Великий Новгород, июнь 2000. С. 137-138.

86. Бритвина Л. Е. Решение уравнения Бесселя с помощью преобразования Ханкеля // Труды международной научно-методической конференции "Математикав Вузе", Великий Новгород, июнь 2000. С. 233234.

87. Бритвина Л. Е. Полисвертки преобразования Ханкеля // Тезисы докладов международной конференции "Аналитические методы анализа и дифференциальных уравнений", 15-19 февраля 2001 года, Минск, Беларусь. С. 32-33.

88. Бритвина Л. Е. Применение конечных интегральных преобразований к решению линейных разностных уравнений // Вестник Новгородского государственного университета, Серия "Естественные и технические науки", Л/^ 17, 2001. С. 38-42.233

89. Бритвина JI. Е., Какичев В. А. Условия существования некоторых полисверток преобразования Ханкеля // Труды международной научно-методической конференции "Математикав Вузе", Псков, сентябрь 2001. Санкт-Петербург, 2001. С. 153-155.

90. Бритвина Л. Е. Полисвертки преобразования Ханкеля и дифференциальные операторы / / Труды международной научно-методической конференции "Математика в Вузе", Псков, сентябрь 2001. Санкт-Петербург, 2001. С. 157-159.

91. Бритвина Л. Е. Об одном обобщении интегрального преобразования Ханкеля // Труды международной научно-методической конференции "Математика в Вузе", Псков, сентябрь 2001. Санкт-Петербург, 2001. С. 155-157.