Полные и минимальные системы экспонент в лебеговых пространствах на действительной оси тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

р V ь им

Л а 1395 - - ,

ГОО ДАРСТВЕННЫИ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

РОССИЙСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ДРУЖБЫ НАРОДОВ

На правах рукописи

САЛЬНИКОВА ТАТЬЯНА АНАТОЛЬЕВНА

ПОЛНЫЕ И МИНИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ В ЛЕБЕГОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ

ДИССЕРТАЦИИ НА СОИСКАНИЕ УЧЕНОЙ СТЕПЕНИ КАНДИДАТА ФИЗИКО - МАТЕМАТИЧЕСКИХ НАУК

МОСКВА - 1995 г.

Работа выполнена на кафедре высшей математики Московского Энергетического института (технического университета).

Научный руководитель - доктор физико-математических наук,

профессор Седлецкий A.M. Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Громов В.П., доктор физико-математических наук, Павлов А.И.

Ведущая организация: Московский государственный университет им. М.В.Ломоносова (факультет Вычислительной математики и кибернетики).

Защита состоится " " 1995 г. в 1530 часов

. на заседании диссертационного совета К 053.22.23 в Российском университете дружбы народов по адресу: 117419, г. Москва, ул. Орджоникидзе, д.З, ауд. 485.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке. Российского университета дружбы народов по адресу: 117198, г. Москва, ул. Миклухо - Маклая, д.б.

Автореферат разослан ,.-¿/Y?/^'С.—1995 г.

Ученый секретарь Citi Сt

диссертационного совета J j ^ М.В.Драгнев

кандидат физико-математических наук, С

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация поспяшопа исследованию полных [ минимальных систем экспонент в лебеговых пространствах на деп-твптельной оси.

Система экспонент

1) {ехр(|А„<)}, А„ £ А

:ак аппарат аппроксимации в лебеговых пространствах па конечном нн-ервале действительной осп впервые была рассмотрена Р.Пали и Н.Пи-ером. В дальнейшем теория аппроксимативных свойств систем (1) в ,р(а, Ь) (—ос <а < Ь < ос) получила существенное развитие в трудах ГЛевннсона, Л.Шварца, С.Верблюнского, Б.Я.Левина, В.Д.Головина, /ГИ.Кадеца, А.Ф.Леонтьева, В.Э.Кацнельсона, А.П.Хромова, В.А.Мо-:одепкова, С.А.Авдонпна, Н.К.Никольского, Б.С.Павлова, С.В.Хруще-а, А.М.Седлецкого, А.М.Мишаша и др. Круг изучаемых там вопросов есьма широк. К наиболее распространенным пз них относятся:

а) полнота п минимальность системы (1) в пространствах Ьр( — а,а).

< -эс, 1 < р < х.;

б) базисы Рнсса вида (1) в Ь2(-а,а);

в) поведение негармонических рядов Фурье по системе (]);

г) устойчивость свойств а) и б) при возмущениях множества Л.

В целом, на все эти вопросы ответы получены, причем, большинство езультатов являются окончательными.

Такпм образом, на конечных интервалах действительной осп теория истем экспонент разработана достаточно полно. Что касается анализа истем экспонент в пространствах Ь^ на всей вещественной прямой, то десь можно сказать, что теория находится на начальном этапе своего тановления.

Понятно, что функции системы (1) не принадлежат пространству ни при каких А„. Чтобы добиться такой принадлежности, ка-;дую из этих функции домпожают на одну и ту же, разумно подобран-ую функцию /(/), называемую весом. Т.е. рассматривают взвешенные истемы экспонент

(2) {exp(¡A„<)/(<)}, Лп € Л.

Наиболее часто в литературе встречается случай быстро убывающего веса

f(t) = ехр(—n|í|Q), а > 0, а>1. В эюм случае система (2) конкретизируется как

(3) {exp(iAMf-«H°)}, я > 0, о>1, АпеЛ.

С другой стороны к тому же вопросу по изучению повеления систе» (2) на всей действительной оси приводит проблема плотности семейст! сдвигов функций в £-(R). Напомним, что аппрокспмашгонная теорем. Н.Винера утверждает: линейная оболочка сдвигов

Ы-r-/<)}• /i 6 М = R, g£L\R) плотна в I2(R) тогда и только тогда, когда д(х) ф 0 почти всюду, гд<

у(х) = U.m. í e-iug{t)dt -

A J-A

преобразование Фурье функции g(t). Предположим, что это условие вы полнено. Возникает вопрос, как наиболее экономно выбрать множеств« М? Если за М взять М = (/¡„ )*=1 С R последовательность действн тельных чисел, то из элементарных свойств преобразования Фурье еле дует, что плотность линейной оболочки сдвигов

{«/<* -/!„)},* 0<n)*lCR

в L2( R) будет равносильна полноте взвешенной системы экспонент

= /<„ ем

в L2(R).

Таким образом, вопросы плотности семейств сдвигов функций и полноты взвешенных систем экспонент в £2(R) эквивалентны.

С обеих этих точек зрения проблемой полноты занимались Р.Е.Эд-вардс, Т.Ганелиус, Б.Факсен, Р Лалнк, А.М.Седлепкий п Яр. Блапшаря чему, существует достаточное число работ, посвященных полно 1 с < и _ схем (2) в 12(Г1), но ни одна из рассмотренных в них систем не обладпп свойством минимальности в Ь '(К).

Таким образом, исследование как полноты, так и минимальности систем (3) в пространствах Ь1' на прямой представляется вполне актуальной задачей.

Цель работы. Описать достаточно широкие кллтгг ¡¿«.шм* гг :.нши-мальных взвешенных снст«м т» прис 1 раяства.ч /,'г| 11), т.е. в

- прогтрал^Ааак ¿''(П.) со «теягшшм весом |х|г.

Методика исследования. Доказательства основаны на применении методов комплексного анализа н анализа Фурье.

Научная новизна. Все результаты диссертации являются новыми.

Теоретическая значимость. Результаты диссертации могут найти применение в дальнейших исследованиях по аппроксимации посредством экспонент и сдвигов функций.

Апробация работы. Результаты дис сертации докладывались автором на Воронежской зимней школе "Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании" (г. Воронеж, 1993 г.), иа Всероссийском семинаре "Теория функций" (г. Сыктывкар, 1993 г.), на семинаре цроф. А.М.Седлецкого в МЭИ.

Публикации. Основные результаты диссертации оцублцкованы в работах автора [1] - [-}].

Объем работы. Диссертация изложена на 76 страницах и состоит и» введения, двух глав а списка литературы, содержащего 23 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Р.Залпко.м и А.Спад1 впервые была построена одновременно полная п минимальная система экспонент в £2(Г1). Ею является следующая система

(4)

{ехр(1Ап< - <2/2)}, А„ € А,

где

(5)

Л = Ао и {±А};

Ао = и®=0(2(7Гн)1'2ехр(|'()г/4 + ик/2))), п = 1,2,3,. Л 6 С, Л ^ 0; А,-гА£Л0.

Мы видим, что система (4) есть частный случай системы (3) при п ~ 2. Это значение а является существенным для доказательств, проведенных Р.Залнком и-А.Саад { то, что а — 1/2,— не важно ). Сказанное относится и к данной работе.

В представленной работе проведено систематическое исследование Как полноты, так и минимальности систем (2) в лебеговых пространствах на действительной оси £р(й.), 1 < р < оо, а также в весовых пространствах ££(!*.). 1 < Я < сс,г € Л.

Под 1^(11) будем понимать банахово пространство измеримых функций с нормой

а ос \ 1/р

^ 1/(0П'1гА] ,

1 < Р < оо, г € Я.

Пусть А = (А„) - последовательность комплексных чисел такая, что

(6)

А = А, и А^>;

А1 = и1=0(2(^{» + «))1/2 ехр(|(тг/4 + тг к + 7)))~ 1 и {0}, А 2 = IЛ!;

12аНк Л., АЬиаЪага 5аа<1 Т. 5оше Мк'огсш* сопсегшпя Ьо1отогрЫс Гоипег НапвЬгтв

// 3. МмЬ. Аиа1. ап(1 А1>р1. 1987. V. 126. Р. 483-493.

где а > -1, тг/4 < < тг/4, __

Первая глава предлагаемой работы ппгвяшёна исследованию сшАст - ПОЛНОТЫ И МИШШалЫЮСТИ систем экспонент вида (-1), где последоиа. тельность Л определена посредством (6) п пространствах 1 < р < оо, г € К.

Всюду за 5(*) в дальнейшем обозначим систему (4), где Л определена посредством (6). Основными результатами этой главы являю п я:

Теорема 1.3.1. Пусть .множество параметров удовлетворяет одному из следующих условий:

а)о>?, -1<:>и. о-< !/1 - 1/4/>:

б)1<р< 2, —1 < г < р — 2, а < 1/4 - 1/4р. Тогда систем а 5(») полна, в пространстве

Теорема 1.4.1. Пусть множество параметров удовлетворяет одному из следующих условий:

а)1<р<2, 0 < г < р — 1, а > 1/4 — 1/4р;

б)р>2, р—2<г<р — 1, а > 1/4 — 1/4р. Тогда система 5{*) неполна в пространстве Ц'.(И).

Теорема 1.5.1. Пусть множество параметров удовлетворяет одному из следующих условий:

a)1<р<2, 0 < г < р — 1, о > — 1 /4р; <>)/>> 2, р—2< г <р—1, а > -1 /4р.

Тогда система 5(*) мпшшаяьнн в пространстве ¿{'(И).

Теорема 1.6.1. Пусть множество параметров удовлетворяет одному из следующих условий:

b)р>Ъ — 1 < г < О, а < -1/4р; 6;1<Р<2, —1 < г < р — 2, а <-1/4 р.

Тогда система 5(*) не является мтшмалыюй а пространстве

Чтобы вкратце охарактеризовать применяемый нами подход, отметим, что быстро убываюппш вес /(/) = -г2/2, входящий в формирояа ние исследуемой системы экспонент позволяет применить аппарат целых функций. При доказательстве всех этих теорем существенно были использованы свойства целых функций, являющихся преобразованием

Фурье быстро убывающих функций.2 Для непосредственного применения отмеченных свойств нам пришлось доказать ряд лемм о поведении целой функции вида

где

ос

нули которой совпадают с последовательностью Л, определенной посредством (G),( заметим, что it ■ Lq( w) = sm{ttw) ). Доказательство этих лемм и вобрало в себя преодоление основных технических трудностей.

По ходу дела нами доказано следующее утверждение, обобщающее теорему Попа - Валирона3 ( последняя относится к случаю а = 0. ) и, возможно, представляющее самостоятельный интерес.

Лемма 1.2.1. Пусть F(;) - целая функция эксповснпиального типа, удовлетворяющая условиям:

F(n + «sign и) = 0, neZ, a 6 R,

|Г(г)| < s(r)p", где g(r) = 0(r"), r = |*| > Ho.

Тогда

1 ) если /j + 2n > 0, то F(z) = P(:)La(z), где P(z)~ многочлен степени < /i + 2o,

2) если ц = 2a < 0, то F(: ) = 0.

Полноту и неминимальность системы S(*) удается изучить также в крайнем случае г = 0 (т.е. в пространствах £P(R)) п при 1 < р < 2, не входящем в пункты б) теорем 1.3.1 и 1.6.1 пз-за ограничения на г : — 1 < г < р — 2. В этом направлении с помощью других приемов доказаны

JSe<llctskii A.M. Tlieoioms of Paley - Wiener - Pitt's type for fourier transforms of rapidly decreasing functions // Integral Transforms and Special Functions. 1994. V. 2. N 2. P. 153 -1C4.

3Поа.ч П.Р. Eutirr functions. N.Y.: Acad.press., 1954.

Теорема 1.8.1. При I < р < 2, а < О система 5(*) полна а ЬР(К).

Теорема 1.8.2. Прп1<р< 2, а < —1/4' актомп 5(*) неминимальна я ЬР(Т1).

Отдельно рассмотрен случай пространства /.'(К.). Справедливы:

Теорема 1.9.1. При а > 1/4 система 3(*) неполна в

Теорема 1.9.2. При а > 0 спстемя 5(*) минимальна в ¿'(Л).

Во второй главе предлагаемой работы рассмотрены более общие системы экспонент. ..Пусти Л - КОМПтчСГтаЕС 'июел тик»«. тг

(7)

Л = Ai и Лз;

Л, = {¿(г*)1^! + »K^VV < 7 < w/4 },

k Л2 = «Ль

где некоторая последовательность положительных чисел.

Обозначим через S\{*) систему экспонент (4), где Л определена посредством (7). Тогда для такой системы верны:

Теорема 2.1.1. Пусть

(8) 0 = «о < ßi < aj < ... , lim an — oo,

n—'OO

причем последовательность имеет плотность равную единице,

т.е.

(9) 3 Да = lim п/а„ = 1.

«—«во

Тогда

1)щшр>1, 7^0, on < п + 1/4 - 1/4р система 5i(*) полна в

2а) при р > 2, 7 = 0, ап < n + 1/ip система Si(*) полна в L"( R);

26) при 1 < р < 2. 7 = 0, nn<n-fl/4- 1/4р система Si(») полни в LP(R).

Теорема 2.1.2. Пусть выполнены условия (8) и (9).Тогда

1) при р > 1, 7^0, а„ < п — 1/4р система $\(*) не является минимальной в £Р(Г{.);

2а) при р> 2, 7 = 0, а„ < п — 1/4 + 1 /4р ситема Бг (*) не является минимальной в £Р(Щ);

26) при 1 < р < 2, 7 = 0, а„ < п — 1/4р система 5) (*) не является минимальной в ЬР(Щ.

Условие Д„ = 1 существенно. - Действительно, из результатов статьи4 можно извлечь, что при Д„ > 1 система б^*) полнг а при Да < 1 система 5[(#) неполна в Хр(11), 1 < р < оо.

Формальное отличие пунктов 2а) и 26) в теоремах 2.1.1 и 2.1.2 объясняется свойствами преобразования Фурье : в случае'2а) по ходу доказательства нами применяется теорема Хаусдорфа - Юнга, а в случае 26) теорема Харди - Литлвуда.

Возвращаясь к результатам первой главы, отметим, что несмотря на то что нами рассмотрен случай весовых пространств ¿£(11), но и в невесовых пространствах (т.е. в случае г = 0 ) все результаты являются новыми. Именно, при г = 0 теоремы 1.3.1 - 1.6.1 переходят в следующие утверждения

Следствие 1.7.1. При р >2, а < 1/4 — 1/4р система £(*) полна в ЩЩ.

Следствие 1.7.2. При 1 < р < 2, о > 1/4 - 1/4р система 5(*) неполна в £Р(Н).

Следствие 1.7.3. При 1 < р < 2, а > —1/4р система минимальна в 1"(Н).

Следствие 1.7.4. При р > 2, а < —1/4р система не является минимальной в £р(11).

Чтобы сопоставить результаты первой главы и теоремы 2.1.1 и 2.1.2 положим а„ — п + а, п € N. Тогда, как легко видеть, в случае 1 < р < 2 теоремы 2.1.1 и 2.1.2 , несмотря на их большую общность, дают лучшие константы, нежели теоремы 1.8.1 и 1.8.2. Действительно, благодаря утверждению 1) и 26) теоремы 2.1.1 (2.1.2) утверждение следствия

4Одле1и:и8 A.M. Аппроксимация сдвигами и полнота взвешенных систем экспонент ■ £»(R) // Мат. сб. 1984. Т.123. N 1. С. 92-107.

.7.1 (1.7.4) распространяется на все показатели р > 1. Это связано с

[ругим применяемым в главе 2 подходом, основанном на поведении пре-----------------

бразования Фурье быстро убывающих функций на лучах комплексной [лоскости.

В итоге, для случая 1 < р < 2 с учетом следствий 1.7.2 и 1.7.3 получен >кончательный результат

Следствие 2.1.1. При 1 <р <2 система. SU) полна в Lp( R) тогда и только тогда, когда п < 1/4q, минимальна в Lp(íL) тогда и только тогда, когда о > —1 /Ар, полна и минимальна в £P(R) тпгпя и тлгты™ тлгг".. гг"гда -1/1 р <Ъ < l/lq.

Итак, нами рассмотрена последовательность Л (6), которая получе-ia из последовательности (5) сначала специальным возмущением мо-(улей элементов последовательности, а затем всевозможными поворотами. Кроме того, присутствующая в (5) пара точек {±А} заменена шукратной точкой нуль. Как мы показываем, такая замена не влияет га свойства полноты и минимальности системы S(*) в L£(R), и поэтому >езультат Р.Залика и А.Саад об одновременной полноте и минималь-юсти системы (4) с Л из (5) в L2(R) содержится в следствии 2.1.1 как 1астнып случай при р = 2, а = 0,7 = 0.

В заключение рассмотрены системы взвешенных экспонент вида (4), "де в порождающих последовательностях показателей Л точки a и ап комплексны. Доказано, что все результаты главы 1 остаются в силе, :сли в их формулировках заменить a на Re(a). Результаты главы 2 ipn этом также будут верны, если в их формулировках заменить ап на Re(a„), при условии, что |/m(an)| < Я < оо, и некотором дополнитель-юм требовании регулярности последовательности (а,,)^ с С.

В итоге, нами описаны достаточно широкие классы полных и минимальных взвешенных систем экспонент в пространствах LP{H).

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Сальникова Т.А. О полноте и минимальности взвешенных систем экспонент в пространствах ЬР(И).// "Теория функций. Дифференциальные уравнения в математическом моделировании", тезисы докл. школы. - Воронеж, ВГУ. -1993. - С.116.

2. Сальникова 'Г.А. О полных и минимальных системах экспонент в ЬР(Г1). // "Теория функций", тезисы докл. Всероссийского семинара.

- Сыктывкар, СыкГУ. -1993. - С. 56-58.

3. Сальникова Т.А. Полные и минимальные системы экспонент в пространствах ЬР(К) Ц Матем. заметки. - 1994. Т.55. N 3.

- С. 118 -129.

4. Сальникова Т.А. Полные системы экспонент в пространствах ЬР(Щ // Вестник МЭИ. - М.: Изд-во МЭИ, 1994. N4.-0. 67-71.

САЛЬНИКОВА ТАТЬЯНА АНАТОЛЬЕВНА

ПОЛНЫЕ И МИНИМАЛЬНЫЕ СИСТЕМЫ ЭКСПОНЕНТ В ЛЕБЕГОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ НА ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ОСИ

Описаны широкие классы полных и минимальных систем тш-пи-и-иых экспонент в лебеговых пространствах со степенным весом на действительной осп. Это описание проведено в классе регулярных последо-

Г"Т?-Т1""СТСЙ йО&оЗйХсЛс'Л. Д.;л Cu.ic'c оишнл iitn.jifjiith* IfijhUiif'lvH Ttrtva--!ЛТ"."ТГЙ найдены точные условии ПОЛНОГЫ и неминимальности рассматриваемых систем в лебеговых пространствах на прямой ( невесовон случай ).

SALNIKOVA TATIANA ANATOLYEVNA

COMPLETE AND MINIMAL SYSTEMS OF EXPONENTS IN LEBESQUE SPACES ON REAL AXIS

The work describes wide classes of complete and minimal systems of weight exponents in ^ebesque spaces with weight on real axis. This description is made in the class of regular sequences of power. For some more general classes the exact conditions of completeness and minimality for non weighted spaces are found.