Полугруппы голоморфных отображений и метод производящих функций в теории ветвящихся процессов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

РГ6 ОД

на правах рукописи >. ^ УДК 517.54

ПОЛКОВНИКОВ Александр Александрович

ПОЛУГРУППЫ ГОЛОМОРФНЫХ ОТОБРАЖЕНИЙ И МЕТОД ПРОИЗВОДЯЩИХ ФУНКЦИЙ В ТЕОРИИ ВЕТВЯЩИХСЯ ПРОЦЕССОВ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов 1997

Работа выполнена на кафедре Математического анализа и теории функций Донецкого государственного университета.

Научный руководитель — доктор физико - математических наук,

профессор Горяйнов В.В.

Официальные оппоненты — доктор физико - математических

наук, профессор Прохоров Д.В. — кандидат физико - математических наук Захаров A.M.

Ведущая организация — Волгоградский государственный

университет

Защита состоится г в /У час на

заседании Диссертационнго Совета К 063.74.04 в Саратовском государственном университ-ете (410026. Саратов, ул. Астраханская, 83).

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан 997 г

Ученый секретарь

Диссертационного Совета

кандидат физико - математических у

наук, доцент /уг/б^'Уу*^^ /П.Ф. Недорезов/

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Во многих вопросах анализа и его приложений естественно возникает необходимость изучения множеств аналитических функций, которые замкнуты относительно операции композиции. Это приводит к конструкции некоммутативной полугруппы. Так, в теории однолистных функций один из наиболее эффективных методов решёния экстремальных задач связан с инфинитезимальным описанием полугрупп конформных отображений. Это направление развито в работах К. Лев-нера, В.В. Горяйнова. В теории случайных процессов марковость и условие ветвления формулируются в терминах композиции вероятностных производящих функций. Это приводит к необходимости изучения полугруппы таких функций. В работах В.В. Горяйнова была изучена структура полугруппы вероятностных производящих функций и на этой основе решена хорошо известная задача вложения процесса Гальтона - Ватсона а однородный марковский ветвящийся процесс. Отметим, что с точки зрения теории функций, эта задача эквивалентна вопррсу существования дробных итераций вероятностных производящих функций.

При решении задачи существования дробных итераций одной из основных является так называемая предельная техника, включающая а себя вопросы существования нетривиальных нормированных пределов итераций. Эти идеи восходят к работам Кенигса и Шредера конца прошлого века. Предельная теорема о поведении докритических однородных марковских ветвящихся процессов, доказанная Ягломом A.M. в 1947 году, является, по - существу, теоремой об асимптотическом поведении нормированной последовательности итераций производящей функции. В теореме доказывается, что для произвольной вероятностной производящей функции, удовлетворяющей условию /'(l)<l, нормированная последовательность

/"(z)-/"(0) 1-/"(0)

ее итераций сходится локально равномерно в единичном круге при п-+ оо к вероятностной производящей функции. Эта теорема справедлива как для натуральных так и для дробных итераций. Ее уточнению посвящены работы Хиткота С., Сенеты Е., Вер-Джонса Д., В.М. Золота-

рева, A.B. Нагаева. Доказательство в случае дробных итераций принадлежит Б.А. Севастьянову.

Исходя из вышесказанного, описание и исследование предельного множества производящих функций в этой теореме представляет интерес и с точки зрения теории аналитических функций, и с точки зрения теории ветвящихся процессов.

Мето^ производящих функций, являющийся основным аналитическим аппаратом при изучении простейших моделей ветвящихся процессов, не работает для более сложных моделей процессов, например, для процессов с* непрерывным пространством состояний.

ф

Неприменимость этого метода в теории процессов с непрерывным пространством состояний во многом и объясняет отставание в развитии этой теории от дискретного случая. В тоже время, полугруппа аналитических функций, связанных с преобразованиями Лапласа безгранично делимых вероятностных мер, может рассматриваться как аналог полугруппы производящих функций. Поэтому изучение ее . структуры и инфинитезимальное описание является актуальным, ь Цель работы. Настоящая работа посвящена изучению асимптотических свойств итераций вероятностных производящих функций, что эквивалентно исследованию свойств распределений вероятностей в предельных теоремах докритических ветвящихся процессов путем использования развитого В.В. Горяйновым полугруппового подхода. Кроме того, в работе изучается структура полугруппы аналитических функций, связанных с преобразованиями Лапласа безгранично делимых вероятностных мер, и дается инфинитезимальное описание этой полугруппы. Развитая при этом техника может рассматриваться как аналог метода вероятностных производящих функций.

Общая методика исследования. В работе используются общие методы .теории функций комплексного переменного, а кроме того, специальны^ методы выпуклого анализа, метод интегральных представлений, а также метод инфинитезимального описания полугрупп голоморфных отображений.

Научная новизна. В работе получены следующие новые результаты:

1. Описание множества предельных вероятностных производящих функций, возникающих в теореме Яглома для докритически.х однородных марковских ветвящихся процессов с непрерывным временем.

2. Решение задачи существования вероятностной производящей функции с заданными начальными коэффициентами тейлоровского разложения, которая является пределом нормированного семейства дробных итераций.

3. Изучение структуры и инфинитезимальное описание полугруппы аналитических функций, связанных с преобразованиями Лапласа безгранично делимых вероятностных мер.

Практическая ценность работы. Диссертация носит теоретический характер. Полученные в ней результаты и развитые методы могут найти применение в геометрической теории функций и в теории ветвящихся случайных процессов.

Аппробаиия работы. Основные результаты диссертации докладывались на Третьей Всероссийской школе-коллоквиуме по стохастическим методам (Туапсе, 17-24 сентября 1996 г.), на семинаре кафедры "Теории вероятностей" Донецкого государственного университета под рук. проф. Бондарева Б.В. (1996 г.), на семинарах отделов Института математики НАН Украины "Комплексного анализа и теории потенциала* под рук. проф. Тамразова Я.М., "Теории случайных процессов" под рук. проф., чл.-корр. НАН Украины Портенко Н.И. (1997 г.), "Семинаре по геометрической теории функций"4 в Саратовском госуниверситете под рук. проф. Прохорова Д.В. (1997 г.) и на объединенном семинаре кафедр механико-математического факультета Саратовского государственного университета под рук. проф. Хромова А.П. (1997 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано три работы, одна из них в соавторстве, где В.В.Горяйнову принадлежит постановка задач и основные методы их решения.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы из 59 наименований и содержит в себе 93 страницы машинописного текста.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Первая глава диссертации посвящена исследованию асимптотического поведения однопараметрических полугрупп в полугруппе вероятностных производящих функций, удовлетворяющих условию /'(1)<1. А именно, описанию и изучению свойств множества вероятностных производящих функций, которые являются предельными в теореме Яглома для докритических однородных марковских ветвящихся процессов с непрерывным временем.

В параграфе §1.1 первой главы вводятся в рассмотрение основные классы вероятностных производящих функций. Под вероятностной производящей функцией понимается сумма степенного ряда

/(*) = Г-о А«".

где р„ £ 0 и ХГ-0А1 = Их совокупность образует полугруппу относительно операции композиции. Обозначим ее через Особо нас будет интересовать подполугруппа выделяемая условием /'(1)<1. Кроме

того, в параграфе приводятся результаты, касающиеся структуры и описания рассматриваемых классов, а также некоторые результаты о поведении итераций аналитических функций.

В параграфе §1.2 изучается описание класса функций Ьс$5цЬ, который состоит из пределов

где — семейство дробных итераций функций из Ф5иЬ.

Теорема 1. Для того, чтобы вероятностная производящая функция дг) = {Ь„2П, не равная тождественно принадлежала Ьс$5иЬ, необходимо и достаточно, чтобы выполнялась следующая система неравенств

Ь, >0,

у2 = (2 - Х)Ь2 - 3аЬу к 0,

I

V, = (" - Ь)Ь„ - (и + 1)о6я+| - - - к + * 0.

к.2

и = 3,4,.... где сг = 6,/(б,2+2й2) и Я = 6,сг.

В параграфе §1.3 исследуется вопрос существования однопарамет-рической полугруппы в полугруппе которая имела бы предельную

вероятностную производящую функцию с заданными начальными коэффициентами. В связи с этим вводится в рассмотрение предельная интерполяционная задача.

Определение. Пусть — различные натуральные числа и

ах,...,ап — неотрицательные числа, удовлетворяющие условию < 1. Будем говорить, что предельная интерполяционная

задача

{'|.....1»\<*\.....<*„}

дискретно (непрерывно) разрешима, если найдется семейство |/'| натуральных (дробных) итераций вероятностных производящих функций, удовлетворяющих условию /'(1)<1, такое, что

• а^ит—г—г-т

-(/,)! .[1-/'(0)]

при всех к = \,...,п. Соответствующую вероятностную производящую функцию /(г) (инфинитвзимальную образующую у{г) полугруппы дробных итераций) будем называть решением поставленной предельной интерполяционной задачи.

В работе получены необходимые и достаточные условия непрерывной разрешимости задач {1,2;х,д>}, и {1,3;х,у}. Отметим, что доказательства теорем из параграфов §1.2 и §1.3 позволяют построить однопараметрические полугруппы с требуемыми свойствами.

Следующая теорема описывает область взаимного изменения вероятностей предельных распределений докритических ветвя-

щихся процессов с непрерывным временем.

Теорема 2. Предельная интерполяционная задача {1^2;дг,_у}, х * 1, непрерывно разрешима в том и только в том случае, если выполняются неравенства

О < дг < 1 и х{\- х)12<уй .т(1 -х).

При этом, в случав равенства у = .г(1-дг) решениями являются лишь однопараметрические полугруппы с инфинитезимальной образующей

а> 0; т.е. допускающие представление в виде

кЧ*

[«"-о-»)]

Предельная производящая функция при этом имеет вид

•м-йр*-

а вероятности предельного распределения определяются равенствами Ьп = х{\-х)"'1, л = 1,2,....

Область взаимного изменения коэффициентов 6, и Ь2 предельной производящей функции, описываемая теоремой 2, приведена на рисунке 1.

Рис. 1

Следующий результат параграфа §1.3 дает точное описание множества тех точек (¿»,,..., ) в К", для которых непрерывно разрешима предельная интерполяционная задача

{!,.... пг.Ь......ь„} (2)

В случае т = 2 решение этой задачи дает теорема 2.

Теорема 3. Пусть т> 3 и 6| * 1. Тогда предельная интерполяционная задача (2) непрерывно разрешима в том и только в том случае, если выполнена система неравенств

О < 6, < 1, 1^(1-¿,,) ^ <5 6,(1-6,).

2 (3)

та\{0,{п + \)рп-ап)йу„йрк,

п = 2,...,т-\, где аг =6,(1-Я), -/Зг =6,(1-сг),

л-1 п-1

к-2 к-2

п = 3,...,т, а числа Л,а и к = 2,...,т-\, определяются посредством Ь{,...,Ьт так же, как и в формулировке теоремы 1. При этом равенство в правой части (3) допускается лишь в случае а„ = п Рп.

Далее приводится одно приложение доказанного выше общего результата.

Теорема 4. Предельная интерполяционная задача {\Лх,у), непрерывно разрешима в том и только том случае, если выполнена система неравенств

0<х<\;

уй х(\-х)2, при Осх^,

^|д:(1-дгХЗ-2х), при 7£<х<\;

у>|*(1-д:Х2-д:), при 0<хйу

1 2 6 >^х(12-12х-х2), при —<х<—,

>х{1-х)2, при

Область взаимного изменения 6| и 63, описываемая теоремой 4, изображена на рисунке 2.

4/27 0

А

Рис. 2

В заключительном параграфе §1.4 первой главы изучается

соотношение между множествами

$иЬ

Ь&иь -

семейством

пределов (1), где /', /=1,2..... — натуральные итерации функций из

¡Р^. Так как семейство дробных итераций вероятностной производящей функции всегда содержит в себе последовательность натуральных итераций с теми же асимптотическими свойствами, то всегда имеет место включение

И)

а из непрерывной разрешимости предельных интерполяционных задач следует их дискретная разрешимость. В работе доказывается, что включение (4) — строгое. Для этого в начале параграфа §1.4 отмечаются некоторые особенности предельных вероятностных производящих функций из ЬсЗ)5иЬ.

Предложение 1. Пусть вероятностная производящая функция *(*)»£>"*"• нв Равная тождественно г, принадлежит Ьс^)5иЬ. Тогда Ь„ > 0 при всех п= 1,2,... .

Далее рассматривается последовательность натуральных итераций вероятностной производящей функции

Я/

где 0 < А < 1, а п — произвольное натуральное число, большее единицы. И доказывается, что свойство предельных вероятностных производящих функцих из Lc$sub, отмеченное в предложении 1, нарушается для предельной вероятностной производящей функции в этом примере. Исходя из этого, результаты §1.2 можно рассматривать, как формулируемые в терминах предельного распределения, необходимые условия существования дробных итераций вероятностных производящих функций из Результаты же параграфа §1.3 позволяют получить простые

необходимые условия в терминах начальных вероятностей предельного распределения. Так, например, анализ неравенств из формулировки теоремы 2 показывает, что при ¿ь >1/4 предельная интерполяционная задача, содержащая bi, не может быть непрерывно разрешима (см., рис. 1). Другими словами, вероятностная производящая функция / e?U>' удовлетворяющая условию

■ г И"(°) •

lim -—'——■ = 2bi>-, 1-/"(0) 2

не имеет дробных итераций, а соответствующий ей процесс Гальтона -Ватсона не вложим в однородный марковский ветвящийся процесс с непрерывным временем. Из теоремы 4 (см., рис. 2) аналогично получаем необходимое условие вложимости, выражаемое через третью производную: вероятностная производящая функция f 6 ¡Рп,ь> удовлетворяющая условию

1-/"(0) 3 27 9 не имеет дробных итераций, а соответствующий процесс Гальтона-Ватсона не вложим в однородный марковский ветвящийся процесс с непрерывным временем.

Во второй главе диссертационной работы развивается аналитический аппарат, аналогичный методу производящих функций и основанный на выделении и инфиниуезимальном описании полугруппы аналитических функций, связанных с преобразованиями Лапласа безгранично делимых вероятностных мер на неотрицательной полуоси.

В параграфе §2.1 приводятся основные свойства преобразований Лапласа безгранично делимых вероятностных мер. При этом устанавливается, что совокупность» 11 логарифмов преобразований

Лапласа безгранично делимых вероятностных мер на неотрицательной полуоси представляет собой полугруппу относительно композиции аналитических в правой полуплоскости функций.

В параграфе §2.2 второй главы изучена структура полугруппы %. По точке Данжуа - Вольфа в ней выделяются подполугруппы 31[<?], ойдйоэ. Далее, ввиду того, что эти подполугруппы являются выпуклыми множествами в линейном топологическом пространстве функций аналитических в правой полуплоскости Р с топологией локально равномерной сходимости, дается их описание. При этом предполагается, что единичный элемент, т.е. тождественное преобразование = принадлежит каждой из выделенных подполугрупп полугруппы И.

Теорема 5. Голоморфная в Р функция/ принадлежит 1Ц?], О <д < оо, в том и только в том случае, если она допускает представление в виде

где Л(-) - вероятностная мера на Л*.

Теорема 6. Голоморфная в Р функция / принадлежит ЗЦо] в том и только в том случае, если она допускает представление в виде

и*

где Д(-)-вероятностная мера на К* -К+и[°°).

Теорема 7. Голоморфная в Р функция / принадлежит в том и

только в том случае, если она допускает представление в виде

где а>0, а - вероятностная мера на .

Кроме того, в параграфе §2.2 изучается замыкание выделенных подполугрупп относительно тополо'гии локально равномерной в Р сходимости.

В последнем параграфе (§2.3) второй главы изучаются однопара-метрические полугруппы в 1. Они представляют интерес и в теории ветвящихся процессов в связи с тем, что определение ветвящихся процессов с непрерывным пространством состояний и непрерывным

временем как однопараметрической полугруппы в И, с точки зрения полугрупп аналитических функций, представляется наиболее естественным. В параграфе показывается эквивалентность этого определения процесса определению из монографии Гихмана и Скорохода.

Полугруппа % является подмножеством полугруппы 52(Р) функций аналитических в правой полуплоскости, отображающих ее в себя и при этом оставляющих на месте действительную полуось. Поэтому, каждая однопараметрическая полугруппа в И обладает всеми свойствами однопараметрических полугрупп, определенных на полугруппе ¿%(Р). Поэтому, прежде чем перейти к рассмотрению однопараметрических полугрупп в 11, в параграфе изучаются однопараметрические полугруппы /->/'в^(Р).

Теорема 8. Пусть V — инфинитезимальная образующая однопараметрической полугруппы / -> /' полугруппы функций из £71(Р), имеющих точку Данжуа - Вольфа ц. Тогда справедливо представление

у(г) = (<72-гг)р(2), при 0<да,

= р(г), при 7 = со.

где р(г)е ЩР).

Следующие теоремы параграфа §2.3 дают описание однопараметрических полугрупп в подполугруппах 0<д£оо.

Теорема 9. Голоморфная в Р функция V принадлежит .ЛГ(1[да]\{°°}). в том и только в том случае, если она допускает представление в виде

к- _

где а>О, ^-вероятностная мера на К.+ -К+и|°°).

Теорема 10. Голоморфная в Р функция V принадлежит .#(Ж[<7]), О <оо, в том и только в том случае, если она допускает представление либо в виде

ц-\{0|4 1 е '

где а,/?> 0, а л(-) - вероятностная мера на + ; либо в виде

______ .. . , „ f .) 4d»)

<7 ИоД Л-е-

где a,ß,yZ0. а л'(-) - вероятностная мера на R.*.

По результатам диссертации опубликованы следующие работы:

1. Горяйнов В.В., Полковников A.A., О предельных распределениях вероятностей для докритических ветвящихся процессов. - Теория вероятн. и ее п'римен. (1996), 41. №2. С. 417-425.

2. Полковников A.A., Предельные распределения докритических ветвящихся процессов и необходимые условия вложимости процессов Гальтона - Ватсона в процессы с непрерывным временем, Третья Всерос. шк.-колл. по стох. методам (Туапсе, 17-24 сентября 1996г.).

. Теаисы докладов, М..ТВП, 1996, С. 129-130.

3. Полковников A.A., Структура полугруппы логарифмов преобразований Лапласа безгранично делимых законов, Донец, ун.-т. -

' Донецк. 1997.-8.с.:-Деп в УкрИНТЭИ, 12.05.97, № 373 - Yi 97.

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю доктору физико - математических наук, профессору Виктору Владимировичу Горяйнову за постановку задач и постоянную помощь при выполнении работы.