Полунормальные функторы в категории СОМР и обобщенная теорема Катетова тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М В Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 515 12

Кашуба Елена Викторовна

ПОЛУНОРМАЛЬНЫЕ ФУНКТОРЫ В КАТЕГОРИИ COMP И ОБОБЩЕННАЯ ТЕОРЕМА КАТЕТОВА

01 01 04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

uuj448173

Москва 2008

003449173

Работа выполнена на кафедре геометрии и топологии ГОУ ВПО "Петрозаводский государственный университет" Научный руководитель: доктор физико-математических наук, профессор Александр Владимирович Иванов Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор Шапиро Леонид Борисович (Академия труда и социальных отношений)

кандидат физико-математических наук, профессор Елькин Александр Геннадьевич (ГОУ ВПО МГТУ "Станкин") Ведущая организация:

ГОУ ВПО "Томский государственный университет" Защита диссертации состоится 31 октября 2008 г в 16 ч 40 мин на заседании диссертационного совета Д 501 001 84 при Московском государственном университете имени M В Ломоносова по адресу Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д 1, Московский государственный университет имени M В Ломоносова, механико-математический факультет, аудитория 14-08

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ имени M В Ломоносова (главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 30 сентября 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 84 при МГУ доктор физ -мат наук, профессор

А О Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В 1948 году M Катетов1 доказал, что из наследственной нормальности куба компакта следует его метризуемость Вопросу обобщения теоремы Катетова о кубе посвящены многие работы в области общей топологии Количество публикаций, связанных с данной темой, продолжает увеличиваться и в настоящее время

В 1971 году Ф Зенор2 доказал, что если куб компакта X наследственно счетно паракомпактен, то X метриуем Операция возведения в куб компакта X является нормальным функтором степени 3, поэтому следующая теорема В В Федорчука3 1989 года является обобщением теоремы Катетова о кубе если для какого-нибудь нормального функтора Т степени > 3 компакт наследственно нормален, то X — метризуемый компакт В 2000 году Т Ф Жураев4 заметил, что требование наследственной нормальности F(X) в теореме Федорчука можно ослабить до требования наследственной нормальности J-(X)\X и по аналогии с теоремой Зенора заменил в теореме Федорчука наследственную нормальность пространства Р(Х)\Х на наследственную счетную паракомпактность F(X)\X А П Комбаров 5 в 2004 году доказал следующую теорему если для какого-нибудь нормального функтора J- степени > 3 пространство Т(Х)\Х наследственно /С-нормалыго, где /С — класс сг-компактных пространств, то X — метризуемый компакт Из теоремы Комба-рова следуют одновременно и теорема Федорчука, и теорема Жураева Для функтора суперрасширения Л (Л является полунормальным функтором) име-

'Katêtov M Complete normality of Cartesian products // Rind Math 1948 V 35 P 271-274

2Zenor P Cojntable paracompactness m product spaces // Proc Amer Math Soc 1971 V 30 P 199-201

3Федорчук В В К теореме Катетова о кубе//Вестн Моек ун-та Сер 1,Матем Механ 1989 №4 С 93-96

4Жура£в Т Ф Нормальные функторы и метризуемость бикомпактов // Вестн Моек ун-та. Сер 1, Матем Механ 2000 №4 С 8-11

5 Комбаров АПК теореме Катетова—Федорчука о кубе // Вест Моек ун-та Сер 1, Матем Механ 2004 №5 С 59-61

ется следующий результат Т Ф Жураева6 1999 года если пространство Xi(X)\X наследственно нормально, то компакт X — метризуем Индекс 4 — третий по величине элемент степенного спектра функтора Л Степенной спектр sp(!F) функтора Т — это множество степеней точек пространств вида А В Иванов7 доказал, что если Т — полунормальный функтор, удовлетворяющий некоторому комбинаторному условию (*), и sp(F) = {1 ,к,п,

}, то наследственная нормальность Тп{Х) \ X влечет метризуемость X (здесь п — третий по величине элемент sp(J-)) Условию (*) удовлетворяют такие известные в общей топологии функторы, как функтор экспоненты ехр, функтор суперрасширения Л, функтор вероятностных мер Р и все их конечные композиции8

В той же работе 1948 года M Катетов поставил проблему о метризуемости компакта, квадрат которого наследственно нормален Контрпример в предположении МА+->СН был построен в 1977 году Никошем 9 В 1993 году Грюн-хаге10 в предположении континуум-гипотезы GH построил пример неметри-зуемого компакта У, для которого У2 наследственно сепарабельно, У2\Д совершенно нормально и У2 наследственно нормально В 2002 году Ларсон и Тодорчевич11 форсингом построили модель теории множеств, в которой справедлив положительный ответ на проблему Катетова, и тем самым доказали независимость проблемы Катетова от системы аксиом ZFC Для полунормальных функторов проблема Катетова имеет следующий аналог верно ли,

'Жураев Т Ф Функтор Л и метризуемость бикомпактов // Вестн Моек ун-та Сер 1, Матем Механ 1999 №4 С 54-56

7Иванов А В Теорема Катетова о кубе и полунормальные функторы // http //topology kareliaru/arh html

'Иванов ABO степенных спектрах и композициях финитно строго эпиморфных функторов // Труды Петрозаводского университета. Серия "Математика" 2000 Вып 7 С 15-28

9Nyikos Р A compact nonmetnzable space Р such that P2 is completely normal // Topology Proc 1977 V 2 P 359-364

10G Gnienhage, P Nyikos Normality m X2 for compact X // Trans Amer Math Soc 1993 V 340 №2 P 563-586

11 Larson P, Todorcevic S Katêtov's problem //Trans Amer Math Soc 2002 V 354 P 1783-1791

что из наследственной нормальности Тк{Х), где к — второй по величине элемент степенного спектра полунормального функтора Т, следует метризуемость X? Заметим, что Т Ф Жураевым12 было объявлено о "наивном" положительном решении этого вопроса для функтора суперрасширения А

Цель работы — изучение вопросов, связанных с обобщением теоремы и проблемы Катетова для полунормальных функторов

Основные методы исследования. В качестве методов исследования используются различные методы общей топологии, в частности, техника вполне замкнутых отображений и обратных спектров В В Федорчука13 и техника исследования полунормальных функторов конечной степени, предложенная В Н Басмановым14

Научная новизна Все основные результаты являются новыми и состоят в следующем

1 Доказано обобщение теоремы Катетова для полунормальных функторов и свойства наследственной /С-нормальности

2 В предположении СН построен пример неметризуемого компакта X, обладающего следующими свойствам

(a) Хп наследственно сепарабельно для любого пеК,

(b) Хп\А п совершенно нормально для любого п € N (Дп — обобщенная диагональ, которая определяется как множество точек пространства X™, имеющих хотя бы две совпадающие координаты),

(c) для любого сохраняющего вес полунормального функтора Т и любого п е зр(^) Т.п(Х) наследственно сепарабельно и Гп{Х) \Рп-\(Х)

12ЖураевТ Ф Функтор А и метризуемость бикомпактов//Вестн Моек ун-та Сер 1,Матем Механ 1999 №4 С 54-56

13Федорчук В В Бикомпакт, все бесконечные замкнутые подмножества которого п-мерны // Матем сб 1975 96(1) С 41-62

"Басманов В Н Ковариантные функторы, ретракты и размерность // Доклады АН СССР 1983 Т 271 №5 С 1033-1036

совершенно нормально,

((1) для любого сохраняющего вес и точки взаимной однозначности полунормального функтора Т со степенным спектром зр(Т) = {1, к, } пространство 3-к{Х) наследственно нормально (в частности, наследственно нормальны X2 и А3Х)

Практическая и теоретическая ценность. Результаты диссертационной работы носят теоретический характер и имеют научный интерес для специалистов в области топологии

Апробация результатов. Основные результаты докладывались на студенческих научных конференциях Петрозаводского государственного университета (ПетрГУ) и научных семинарах кафедры геометрии и топологии ПетрГУ (2003 - 2008 гг), на XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова в 2004 году, на международной конференции "Александровские чтения "в 2007 году и на научно-исследовательском семинаре по общей топологии имени П С Александрова под руководством профессора В В Федорчука в 2008 году

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 5 работах автора, список которых приведен в конце автореферата Одна из работ выполнена в соавторстве

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы Объем диссертации составляет 46 страниц Список литературы включает 34 наименования

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение. Приводится история вопроса, сформулированы цель работы и основные результаты Одисана структура диссертации

Первая глава. В первой главе приведены сведения, необходимые для изложения основных результатов Кроме того, рассматривается вопрос о

строении носителей точек пространств вида Р(Х) для некоторых полунормальных функторов Т, в частности, для случая Т = А Для максимальных сцепленных систем носитель совпадает с замыканием объединения всех минимальных по включению элементов, причем доказано, что замыкание в общем случае опускать нельзя Приведено построение примера максимальной сцепленной системы, у которой объединение всех минимальных по включению элементов не является замкнутым множеством

Вторая глава посвящена следующей теореме, обобщающей теоремы Ком-барова и Иванова

Теорема 1 Пусть X — компакт, /С — класс а-компактных пространств, Т — полунормалъный функтор, удовлетворяющий условию (*) и вр^) = {1,тп,п, } Если пространство 3-п(Х)\Х наследственно К-нормалъно, то компакт X метризуем

Спектр эр^) функтора Т — это множество степеней точек пространств вида Т{Х) Условие (*) определяется следующим образом Пусть вр(3-) = {1 ,т,п, } и (рпт п т — сюръективное отображение конечных дискретных пространств (п > т) с единственным нетривиальным прообразом Функтор Т удовлетворяет условию (*), если

пт

Этому условию удовлетворяют все нормальные функторы

Следствие 1 Пусть Т — полунормальный функтор, зр(У-) = {1 ,тп,п, } и функтор Т удовлетворяет условию (*) Если для компакта X пространство У-~п(Х)\Х наследственно счетно паракомпактно, то компакт X метризуем

Это следствие является обобщением теорем Зенора и Жураева

Третья глава В третьей главе приводится построение примера, усиливающего упомянутый выше пример Грюнхаге и дающий отрицательное решение обобщенной проблемы Катетова для достаточно широкого класса полунормальных функторов

Теорема 2 (СН) Существует неметризуемий компакт X такой, что

1 Хп наследственно сепарабельно для любого п €

2 если - замкнутое подмножество Хп и [Г \ Д„] = -Р, то Р — множество в X,

3 Хп \ Д„ совершенно нормально для любого п € М,

4 для любого сохраняющего вес полунормального функтора Т и любого п 6 яр^) Рп{Х) наследственно сепарабельно и ^п{Х) \Тп-х(Х) совершенно нормально,

5 для любого сохраняющего вес и точки взаимной однозначности полунормального функтора Т со степенным спектром вр^) = {1 ,к, } пространство наследственно нормально (в частности, наследственно нормальны X2 и ХзХ)

Отметим, что X является контрпримером к отмеченному выше утверждению Т Ф Жураева о функторе суперрасширения Л

В главе 3 показано также, что условие сохранения функтором точек взаимной однозначности в пункте 5) теоремы 2 существенно (теорема 3)

Теорема 4 (СН) Существует счетный набор неметризуемых компактов Хп, п £ К, произведение которых П^ п совершенно нормально и наследственно сепарабельно

В 1979 году М Э Рудин15 было доказано в предположении принципа Иенсена 0 существование двух неметризуемых компактов, произведение которых совершенно нормально Из примера Грюнхаге следует существование таких компактов в предположении СН В 1978 году А В Иванов16 в предположении 0 доказал существование счетного набора неметризуемых компактов, произведение которых совершенно нормально Теорема 4 является одновременным усилением результатов Грюнхаге и Иванова

Благодарности. Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору, заведующему кафедрой геометрии и топологии Петрозаводского государственного университета Александру Владимировичу Иванову за постановку задачи Автор благодарит заведующего кафедрой общей топологии и геометрии Московского государственного университета им М В Ломоносова, доктора физико-математических наук, профессора Виталия Витальевича Федорчука и весь коллектив кафедры за обсуждение данной работы и неоценимую поддержку Автор также выражает благодарность сотрудникам кафедры геометрии и топологии Петрозаводского государственного университета за помощь и доброжелательную атмосферу

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1 Иванов А В , Кашуба Е В О наследственной нормальности пространства вида Т(Х) // Сибирский математический журнал, том 49, №4, 2008, С 813-824

2 Вакулова Е В О носителях максимальных сцепленных систем // Труды Петрозаводского государственного университета, Серия "Математика", Вып 11, 2004, С 3-8

"Rudin М Е Hereditary normality and Souslm lines // General Topology Appl 1979 V 10 P 103-105

16Иванов ABO бикомпактах, все конечные степени которых наследственно сепарабельны // Доклады АН СССР 1978 Т 243 N»5 С 1109-1112

3 Вакулова Е В О носителях максимальных сцепленных систем // XXVI Конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова Тезисы докладов, Механико-математический факультет МГУ, 2004, С 29-30

4 Вакулова Е В О носителях максимальных сцепленных систем // Труды XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им М В Ломоносова, Том I, Механико-математический факультет МГУ, 2004, С 47-52

5 Кашуба Е В Обобщенная теорема Катетова для полунормальных функторов // Труды Петрозаводского государственного университета, Серия "Математика", Вып 13, 2006, С 82-89

В работе [1] первому атору принадлежит концепция доказательства основного результата, второму автору — весьма сложная техническая реализация этой концепции

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 2^1. О9 £?% Формат 60x90 1/16 Уел печ л 0,5 Тираж {QD экз Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение

1 Предварительные сведения

2 Обобщенная теорема Катетова для полунормальных функторов

3 Обобщение примера Грюнхаге для полунормальных функторов

В 1948 году М. Катетов [1] доказал, что из наследственной нормальности куба компакта следует его метризуемость. Вопросу обобщения теоремы Катетова о кубе посвящены многие работы в области общей топологии. Количество публикаций, связанных с данной темой, продолжает увеличиваться и в настоящее время.

В 1971 году Ф. Зенор [2] доказал, что если куб компакта X наследственно счетно паракомпактен, то X метриуем. Операция возведения в куб компакта X является нормальным функтором1 степени 3, поэтому следующая теорема В. В. Федорчука [3] 1989 года является обобщением теоремы Катетова о кубе: если для какого-нибудь нормального функтора Т степени > 3 компакт Т{Х) наследственно нормален, то X — метризуемый компакт. В 2000 году Т. Ф. Жураев [4] заметил, что требование наследственной нормальности F{X) в теореме Федорчука можно ослабить до требования наследственной нормальности Т{Х)\Х и по аналогии с теоремой Зенора заменил в теореме Федорчука наследственную нормальность пространства Т{Х)\Х на наследственную счетную паракомпактность F(X)\X. А. П. Комбаров [5] в 2004 году доказал следующую теорему: если для какого-нибудь нормального функтора F степени > 3 пространство Т(Х)\Х наследственно /С-нормально, где /С — класс а~ компактных пространств, то X — метризуемый компакт. Из теоремы Комба-рова следуют одновременно и теорема Федорчука, и теорема Жураева. Для функтора суперрасширения Л (Л является полунормальным функтором) имеется следующий результат Т. Ф. Жураева [6] 1999 года: если пространство Л4(Х)\Х наследственно нормально, то компакт X — метризуем. Индекс 4 — третий по величине элемент степенного спектра функтора Л. Степенной спектр sp{J~) функтора Т — это множество степеней точек пространств вида 3~{Х). А. В. Иванов в работе [7] доказал, что если Т — полупормальный

1Все необходимые определения приведены в главе 1. функтор, удовлетворяющий некоторому комбинаторному условию (*), и sp^F) = {1 .}, то наследственная нормальность Тп{Х) \Х влечет метризуемость X (здесь п — третий по величине элемент з-р{Т)). Условию (*) удовлетворяют такие известные в общей топологии функторы, как функтор экспоненты ехр, функтор суперрасширения Л, функтор вероятностных мер Р и все их конечные композиции [7, 8].

В работе 1948 года [1] М. Катетов также поставил проблему о метризуемости компакта, квадрат которого наследственно нормален. Контрпример в предположении MA+-iCH был построен в 1977 году Никошем [9]. В 1993 году Грюнхаге [10] в предположении континуум-гипотезы СН построил пример неметризуемого компакта Y, для которого У2 наследственно сепарабельно, У2\Д совершенно нормально и Y2 наследственно нормально. В 2002 году Ларсон и Тодорчевич [11] форсингом построили модель теории множеств, в которой справедлив положительный ответ на проблему Катетова, и тем самым доказали независимость проблемы Катетова от системы аксиом ZFC. Для полунормальных фунторов проблема Катетова имеет следующий аналог: верно ли, что из наследственной нормальности ^(Х), где к — второй по величине элемент степенного спектра полунормального функтора J7, следует метризуемость XI Заметим, что Т. Ф. Жураевым в работе [6] было объявлено о "наивном" положительном решении этого вопроса для функтора суперрасширения Л.

Целью данной работы является изучение вопросов, связанных с обобщением теоремы и проблемы Катетова для полу нормальных функторов.

В первой главе приведены сведения, необходимые для изложения основных результатов. Кроме того, рассматривается вопрос о строении носителей точек пространств вида F{X) для некоторых полунормальных функторов Т, в частности, для случая Т = А. Для максимальных сцепленных систем носитель совпадает с замыканием объединения всех минимальных по включению элементов, причем доказано, что замыкание в общем случае опускать нельзя. Приведено построение примера максимальной сцепленной системы, у которой объединение всех минимальных по включению элементов не является замкнутым множеством.

Вторая глава посвящена следующей теореме, обобщающей теоремы Ком-барова [5] и Иванова [7].

Теорема 1 Пусть X — компакт,, К, — класс а-компактных пространств, Т — полунормальный функтор, удовлетворяющей условию (*) и sp(T) = {1, m, те,.}. Если пространство Тп(Х)\Х наследственно К-нормально, то компакт X метризуем.

Следствие 1 Пусть Т — полунормальный функтор, sp(J-) = {1, m,п, .} и функтор Т удовлетворяет условию (*). Если для компакта X пространство Fn(X) \ X наследственно счетно паракомпактно, то компакт X метризуем.

Это следствие является обобщением теорем Зенора [2] и Жураева [4]. В третьей главе приводится построение примера, усиливающего упомянутый выше пример Грюнхаге [10].

Теорема 2 (СН) Существует неметризуемый компакт X такой, что

1. Хп наследственно сепарабельно для любого п £ N;

2. если F - замкнутое подмноэюество Хп и [F \ Дп] = F, то F — G$-MHOQtcecmeo в Xй (Ап — обобгцеиная диагональ, которая определяется как множество точек пространства Хп, имеющих хотя бы две совпадающие координаты);

3. Xй \ Ап совершенно нормально для любого п £ N;

4- для любого сохраняющего вес полу нормально го функтора Т и любого п G sp^J7) Fn(X) наследственно сепарабелъно и J~nn{X^j совершенно нормально (Тпп(Х) — аналог пространства Хп\Ап, см. Глава 1, с. Ц);

5. для любого сохраняющего вес и точки взаимной однозначности полунормального функтора Т со степенным спектром sp(T) = {1 пространство J-'k(X) наследственно нормально (в частности, наследственно нормальны X2 и \?,Х).

Отметим, что X является контрпримером к отмеченному выше утверждению Т. Ф. Жураева о функторе суперрасширения Л.

Условие сохранения функтором точек взаимной однозначности в пункте 5) теоремы 2 существенно, что показывает следующая теорема.

Теорема 3 (СН) Пространство ехрА (X) не является наследственно нормальным при К — {1; 3}.

Определение функтора ехр-^ приведено в Главе 1, с. 8. Этот функтор при К — {1,3} не сохраняет точек взаимной однозначности (Глава 1, с. 16).

Теорема 4 (СН) Существует счетный набор неметризуемых компактов Хп, п G N, произведение которых Хп совершенно норлшльно и наследственно сепарабелъно.

В 1979 году М. Э. Рудин [12] было доказано в предположении принципа Йенсена <> существование двух неметризуемых компактов, произведение которых совершенно нормально. Из примера Грюнхаге следует существование таких компактов в предположении СН. В 1978 году А. В. Иванов [13] в предположении 0 доказал существование счетного набора неметризуемых компактов, произведение которых совершенно нормально. Теорема 4 является одновременным усилением результатов Грюнхаге и Иванова.

В качестве методов исследования используются различные методы общей топологии, в частности, техника вполне замкнутых отображений В. В. Федор-чука и методы применения этой техники, развитые В. В. Федорчуком [14] и А. В. Ивановым [13].

Основные результаты опубликованы в работах [31, 32, 30] и докладывались на студенческих научных конференциях Петрозаводского государственного университета (ПетрГУ) и научных семинарах кафедры геометрии и топологии ПетрГУ (2003 - 2008 гг.), на XXVI Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова в 2004 году (тезисы доклада и доклад опубликованы в [33, 34]), на международной конференции "Александровские чтения "в 2007 году и на научно-исследовательском семинаре по общей топологии имени П. С. Александрова под руководством профессора В. В. Федорчука в 2008 году.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору, заведующему кафедрой геометрии и топологии Петрозаводского государственного университета Александру Владимировичу Иванову за постановку задачи. Автор благодарит заведующего кафедрой общей топологии и геометрии Московского государст-" венного университета им. М. В. Ломоносова, доктора физико-математических наук, профессора Виталия Витальевича Федорчука и весь коллектив кафедры за обсуждение данной работы и неоценимую поддержку. Автор также выражает благодарность сотрудникам кафедры геометрии и топологии Петрозаводского государственного университета за помощь и доброжелательную атмосферу.

1. Жураев Т. Ф. Функтор Л и метризуемость бикомпактов // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Матем. Механ. 1999. №4. С. 54-56.

2. Иванов А. В. Теорема Катетова о кубе и полунормальные функторы // http: //topology.karelia.ru/arh.html

3. G. Gruenhage, P. Nyikos. Normality in X2 for compact X // Trans. Amer. Math. Soc. 1993. V. 340. №2. P. 563-586.

4. Larson P., Todorcevic S. Katetov's problem // Trans. Amer. Math. Soc. 2002. V. 354. P. 1783-1791.

5. Rudin M. E. Hereditary normality and Souslin lines // General Topology Appl. 1979. V. 10. P. 103-105.

6. Иванов А. В. О бикомпактах, все конечные степени которых наследственно сепарабельны // Доклады АН СССР. 1978. Т. 243. №5. С. 1109-1112.

7. Федорчук В. В. Бикомпакт, все бесконечные замкнутые подмножества которого п-мерны // Матем. сб. 1975. 96(1). С. 41-62.

8. Федорчук В. В., Филиппов В. В. Общая топология. Основные конструкции: Учеб. пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006. 336 с.

9. Понтрягин JI. С. Непрерывные группы. Изд. 3-е, испр. — М.: "Наука", 1973. 520 с.

10. Александров П. С., Пасынков Б. А. Введение в теорию размерности. М.: "Наука". 1973. 576 с.

11. Федорчук В. В. О бикомпактах с несовпадающими размерностями // Доклады АН СССР. 1968. Т. 182. №2. С. 275-277.

12. Vietoris L. Bereiche zweiter Ordnung // Monatsh. fiir Math, und Phys. 1922. V. 32. P. 258-280.

13. Щепин E. В. Функторы и несчетные степени компактов // Успехи математических наук. 1981. Т. 36. №3. С. 3-62.

14. Федорчук В. В. Ковариантные функторы в категории компактов, абсолютные ретракты и Q-многообразия // Успехи математических наук. 1981. Т. 36. №3. С. 177-195.

15. Borsuk К., Ulam S. On symmetric products of topological spaces // Bull. Amer. Mat. Soc. 1931. 37. P. 875-882.

16. J. de Groot. Superextensions and supercompactness // Proc. I. Intern. Symp. on extension theory of topological structures and its applications. — Berlin: VEB Deutscher Verlag Wiss., 1969. P. 89-90.

17. Щепин E. В. О функторах в категории бикомпактов. — В кн.: IV Тираспольский симпозиум по общей топологии и ее приложениям. Кишинев: "Штиинца". 1979. С. 173-176.

18. Fedorchuc V., Todorcevic S. Cellularity of covariant functors. // Topology and its Applications. 1997. V. 76. P. 125-150.

19. Басманов В. H. Ковариантные функторы, ретракты и размерность. // Доклады АН СССР. 1983. Т. 271. №5. С. 1033-1036.

20. Kombarov А. P. On Lindelof-normal spaces // Topology Appl. 2000, V.107. P. 117-122.

21. Жолков С. Ю., Салычев А. С. Стрелки и наследственное число Суслина в квадратах топологических пространств // Вестник Моск. ун-та. Серия Матем. Механ. 1976. №1. С. 27-32.

22. Энгелькинг Р. Общая топология: Пер. с англ. — М.: "Мир". 1986. — 752 с.Публикации автора по теме диссертации

23. Иванов А. В., Кашуба Е. В. О наследственной нормальности пространства вида F(X) // Сибирский математический журнал. 2008. том 49. Ш. С. 813-824.

24. Вакулова Е. В. О носителях максимальных сцепленных систем // Труды Петрозаводского государственного университета. Серия "Математика". 2004. Вып. 11. С. 3-8.

25. Кашуба Е. В. Обобщенная теорема Катетова для полунормальных функторов // Труды Петрозаводского государственного университета. Серия "Математика". 2006. Вып. 13. С. 82-89.

26. Вакулова Е. В. О носителях максимальных сцепленных систем // XXVI Конференция молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова. Тезисы докладов. Механико-математический факультет МГУ. 2004. С. 29-30.

27. Вакулова Е. В. О носителях максимальных сцепленных систем // Труды XXVI конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ им. М. В. Ломоносова, Том I. Механико-математический факультет МГУ. 2004. С. 47-52.