Полюсный метод Ньютона тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК УРАЛЬСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

Петров Михаил Юрьевич

ПОЛЮСНЫЙ МЕТОД НЬЮТОНА (специальность 01.01.07 — вычислительная математика)

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ЛГ

Екатеринбург — 2005

Работа выполнена на кафедре прикладной математики и информатики Ижевского государственного технического университета.

Научный руководитель: кандидат физико-математических

наук, доцент В.М. Вержбицкий.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Р.А. Шафиев; доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник А.Л. Агеев.

Ведущая организация: Пермский государственный университет.

Защита состоится. _ 2005 года в часов на

заседании диссертационного совета К 004.006.01 по защите диссертаций на соискание ученой степени кандидата наук в Институте математики и механики Уральского отделения РАН по адресу: 620219, г. Екатеринбург, ГСП-384, ул. С. Ковалевской, 16, ИММ УрО РАН.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке ИММ УрО РАН.

Автореферат разослан «4%,» аМ/Х^Ц 2005 года.

Ученый секретарь диссертационного совета, кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник

В.Д. Скарин

УС Общая характеристика работы

Актуальность представляемой диссертации. При решении многих прикладных задач на каком-то этапе возникает необходимость в нахождении корней нелинейных скалярных уравнений вида

Л*)=о (1)

или систем нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений, представляемых уравнением

F(x) = 0, (2)

где F: R„ -> R„ — векторная функция векторного аргумента. Изначально решаемые задачи при математической постановке часто сами формулируются в виде задачи отыскания решений нелинейного операторного уравнения

F{x) = 0, (3)

где в общем случае F — нелинейный оператор, действующий из некоторого множества Q банахова пространства X в нормированное пространство Y.

Главное место среди известных методов приближенного решения уравнений (1)-(3) принадлежит итерационным методам. Без описания итерационных методов решения таких уравнений и, в частности, метода Ньютона не обходится никакая учебная и справочная литература по современным численным методам, а методы решения операторных уравнений содержатся во многих учебниках по функциональному анализу. Фундаментальные результаты теории и применения итерационных методов нашли отражение в монографиях A.M. Островского, JI.B. Канторовича, JT. Коллатца, Дж. Ортеги и В. Рейнболдта, Дж. Трауба, Дж. Дэнниса и Р. Шнабеля, М.А. Красносельского и многих других. Совершенствованию, обоснованию и обобщению предложенных ранее, а также конструированию новых итерационных процессов посвящено огромное количество научных статей.

В бывшем Советском Союзе существовало несколько научных школ, работавших в этом направлении: в Воронеже (М.А. Красносельский, П.П. Забрей-ко и др.), в Днепропетровске (В.М. Чернышенко, В.А. Огнева, С.Д. Балашова), в Иркутске (Б.А. Бельтюков, С.С. Волокитин), в Баку (P.A. Шафиев), в Кишинёве (Д.К. Лика) и в других регионах. Особо следует отметить роль математиков Эстонии (С.Ю. Ульм, Г.М. Вайникко, О.М. Ваарманн, А. Роозе) и Львовских математиков (М.Я. Бартиш, Ю.Н. Щербина, П.С. Сеньо, С.М. Шахно), которые внесли вклад не только собственными научными результатами, но способствовали развитию теории итерационных методов в нашей стране, устраивая обмен мнениями на проводимых ими симпозиумах по методам решения нелинейных уравнений.

В последние годы — на рубеже XX и XXI веков — более активно по сравнению с российскими математиками развивают данное направление ученые Запада (I.K. Argyros, С. Brezinski, М. Frontini, М.А. Hernández, J.M. Gutiérrez, Н.Н.Н. Homiez) и Востока (Gao Yan, n" ?" Xflf- **' "Г Y' чу i Т. Yama-

Несмотря на большое число различных итерационных процессов, решающих задачи (1)—(3), не угасает интерес к классическому методу Ньютона и его модификациям, направленным на минимизацию вычислительных затрат, что оправдывается естественной простотой этого метода и его быстрой сходимостью. В представляемой диссертации разрабатывается новый подход, повышающий вычислительную эффективность метода Ньютона и расширяющий границы его применимости. При этом большое внимание уделяется изучению поведения и применению новых модификаций именно в конечномерных пространствах (т.е. задачам (1), (2)), что напрямую связано с переосмыслением роли приближенно-аналитических и сугубо численных методов при современном бурном развитии цифровой вычислительной техники.

Заметим, что даже небольшой выигрыш в количестве вычислений значений функций (горнеров) для получения решения задачи (1) или (2) с заданной точностью может оказаться практически значимым, если учесть, что такие задачи приходится решать в колоссальных количествах.

Цель работы: обобщить одномерный полюсный метод Ньютона, предложенный в 1989 году П.В. Вержбицким1, на системы нелинейных уравнений и на операторные уравнения в банаховых пространствах; исследовать сходимость полюсного метода Ньютона и указать требования к параметрам метода, при которых он выигрывал бы по эффективности у классического метода Ньютона; рассмотреть варианты применения полюсной параметризации к некоторым известным итерационным процессам, родственным методу Ньютона; продемонстрировать эффективность применения полюсного метода Ньютона в сравнении с классическим методом Ньютона на конкретной прикладной задаче.

Методика исследований широко использует аппарат вычислительной математики, математического и функционального анализа, линейной алгебры и аналитической геометрии.

Научная новизна исследований заключается в следующих основных результатах диссертации:

- предложенный П.В. Вержбицким одномерный полюсный метод Ньютона обобщен на системы нелинейных уравнений (2) и на операторные уравнения (3) в банаховых пространствах;

- исследованы вопросы сходимости одномерного полюсного метода Ньютона и его обобщений;

- определены условия на выбор параметров в одномерном полюсном методе Ньютона, при которых возможно успешное и более эффективное его применение в сравнении с классическим методом Ньютона;

- предложен алгоритм выбора векторного параметра для конечномерного полюсного метода Ньютона при решении серии «близких» нелинейных систем вида (2);

- рассмотрены варианты применения идеи полюсной параметризации к некоторым известным итерационным процессам;

-- -

1 \ »

Эта идея ее ^втором Ц^Г^Л^ЭД*4*0 не представлялась » '»• ** ^ ' 4

- показано применение алгоритма выбора векторного параметра в полюсном методе Ньютона, повышающего эффективность численного решения серий «близких» систем нелинейных уравнений, на примере прикладной задачи движения доменной границы при скачке Баркгаузена.

Научная и практическая ценность. Основные результаты предложенной работы являются новыми и вносят вклад в теорию итерационных методов решения нелинейных уравнений. Работа имеет как теоретическое, так и прикладное значение. Предложенная модификация метода Ньютона предоставляет принципиальные возможности улучшить сходимость и расширить границы применимости классического метода Ньютона решения нелинейных уравнений. Значимость выполненных исследований обусловлена тем, что, в конечном итоге, решение многих задач сводится к решению нелинейных скалярных уравнений и систем таких уравнений, и очень важно, чтобы они решались как можно более эффективными методами.

Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертации докладывались и обсуждались:

- на VII Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000», Москва, МГУ, 12-15 апр., 2000 г.;

- на XXXII Научно-технической конференции ИжГТУ, Ижевск, 18-21 апр.,

2000 г.;

- на VIII Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2001», Москва, МГУ, 10-13 апр.,

2001 г.1;

- на Межвузовской научной конференции «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения», Ижевск, ИжГТУ, 18-20 апр., 2002 г.;

- на IV Международной научно-технической конференции ИжГТУ «Информационные технологии в инновационных проектах», Ижевск, 29-30 мая, 2003 г.;

- на Всероссийской научной конференции «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Екатеринбург, 2-6 февр., 2004 г.;

- на математических семинарах Ижевского государственного технического университета, Пермского государственного университета, Института математики и механики УрО РАН.

Основные результаты отражены в 8 публикациях (см. список в конце автореферата), а также частично включены в вузовские учебники В.М. Вержбиц-

2

кого по численным методам .

Работа отмечена грамотой «За лучший доклад» министра образования РФ

2

Вержбицкий В М Основы численных методов — М Высш шк, 2002 (§5 7, §7 5), Вержбицкий В М Основы численных методов 2-е изд — М Высш шк, 2005 (§5 7, §7 5), Вержбицкий В М Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения) 2-е изд — М ОНИКС 21 век, 2005 (§7 7, §9 5)

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и списка литературы, содержащего 120 наименований. Материал диссертации изложен на 103 страницах.

Содержание работы Во введении обосновывается актуальность темы, обозначаются направления исследования, дается краткая аннотация работы.

В первой главе описывается построение и проводится обсуждение нового метода (полюсного метода Ньютона) применительно к решению нелинейных скалярных уравнений вида (1) с гладкой функцией / :R, —Приводятся условия, обеспечивающие квадратичную сходимость предложенного метода. Анализируются различные способы выбора параметров, при которых возможна сверхквадратичная сходимость полюсного метода Ньютона, а также сходимость указанного метода в условиях неприменимости или расходимости классического метода Ньютона; достоинства нового метода иллюстрируются численными примерами.

Геометрическая суть предложенной в 1989 году П.В. Вержбицким модификации классического метода касательных Ньютона, впоследствии названной полюсным методом Ньютона, заключается в следующем.

На плоскости с декартовой системой координат Оху выбирается некоторая точка Р(с; d) (полюс) и через нее и определяемую предыдущим приближением точку 0) проводится прямая. Новым приближением хм считается абсцисса точки Q пересечения этой прямой с касательной к графику функции f(x), проведенной в точке А^хк\ /(**)) (см. рис. 1).

Рис. I. К построению полюсного метода Ньютона —приближение по полюсному методу Ньютона, —приближение по методу Ньютона, х —точное решение уравнения (1))

Итерационная формула получаемого таким образом одномерного полюсного метода Ньютона имеет вид

--ЯХ"\ . 4 = 0,1,2,..., (4)

где х0 — задаваемое начальное приближение. Легко видеть, что при равенстве

нулю выражения —-— (т.е. при с/ = 0 ) метод (4) совпадает с базовым для него с -хк

классическим методом Ньютона, следовательно, в определенном смысле обобщает свой классический прообраз.

Кроме того, за счет удачного расположения полюса Р полюсной модификацией метода Ньютона можно получить лучшее уточнение приближенного значения корня, чем посредством базового метода в смысле выполнения неравенства — | - Нетрудно также представить графически ситуацию, когда полюсный вариант будет генерировать сходящуюся к корню последовательность, в то время как, например, ньютоновское приближение отбрасывается в бесконечность.

Исследование поведения погрешности к-то приближения, получаемого полюсным методом Ньютона (4), в предположении о существовании в некоторой окрестности корня х' уравнения (1) (содержащей начальную точку х0) непрерывной второй производной функции /(х) показало, что для такого метода при фиксированном полюсе Р можно гарантировать лишь линейную скорость сходимости, что не позволяет ему в полной мере конкурировать с классическим методом Ньютона. Дальнейшее изучение метода (4) было направлено на поиск способов выбора его параметров с иг/, при которых полюсный метод Ньютона (4) расширял бы границы применимости своего прообраза, превосходя его и по скорости сходимости при одинаковых вычислительных затратах в смысле количества вычислений значений функции и производной на каждом итерационном шаге.

Одним из самых простых и рациональных вариантов выбора полюса в методе (4) оказался вариант с подвижной ординатой с!:=с1к=-/(хк) при некотором фиксированном значении абсциссы с. Порождаемая таким образом итерационная последовательность (4), как показано в работе, может сходиться квадратично, и вычисления по формуле (4) не будут застопориваться при

/'(**) = о.

Рассматривался также вариант полюсного метода (4) в случае, когда переменными считаются обе координаты полюса. Для такого метода (имеющем один параметр V, см. (6), (7)) сформулирована и доказана следующая теорема.

Теорема 1.1. Если корень х уравнения (1), начальная точка х0 и элементы последовательности генерируемой методом Ньютона

с подвижным полюсом

Ж)

Хм=Хк--* = 0, 1, 2, ..., (6)

•ч

где

rf* =-/(**). с*=**~ У(Х) ' С7)

принадлежат отрезку [а, ¿>], на котором справедливы оценки

0<а<|/'(*)|<Л

»го быстрота сходимости последовательности (л^) к х характеризуется неравенством

I* ~x"\~vß2vlr к'-** Г-

Из представленного теоремой 1.1 результата вытекает следующее утверждение.

Следствие 1.1. Пусть для метода Ньютона с подвижным полюсом (6), (7) в условиях теоремы 1.1 начальное приближение х0 к корню х уравнения (1) выбрано так, что

Iva г '

Тогда имеет место сходимость к х с априорной оценкой погрешности

'-Фнйг1*2' v*eN-

Более удобное для организации вычислительного процесса однопарамет-рическое представление метода Ньютона с подвижным полюсом (6), (7) имеет вид

*=0,1,2,..., (8)

V v J /О*)

где х0 — задаваемое начальное приближение, v — параметр метода, знак которого выбирается противоположным знаку /"(*) на отрезке [а, ¿>], содержащем х0 и х', при условии знакопостоянства f"(x) на этом отрезке. Лежащее в основе доказательства теоремы 1.1 равенство

точное при некоторых вк, тк е (а, й), показывает, что полюсный метод Ньютона имеет более высокий потенциал скорости сходимости несмотря на более грубую вытекающую отсюда оценку по сравнению с ньютоновским случаем. С целью ускорения сходимости итерационной последовательности (8) рекомендовано выбирать значение параметра V на каждом шаге по формуле

у(9)

задавая при этом на старте дополнительно приближение ж,, близкое к х0.

С помощью геометрических соображений получены оптимальные условия на параметры в полюсном методе (4) с ё := <1к = -/(хк) и методе (8) при различных комбинациях знаков /'(*) и /"(*) на отрезке, содержащем некоторое приближение хк (^б^)и корень х'. При таком выборе параметров на каждом итерационном шаге гарантируется более быстрая в сравнении с классическим методом Ньютона сходимость полюсных методов при одинаковых условиях знакопостоянства производных.

Теоретические результаты первой главы завершает серия численных примеров, демонстрирующих достоинства предлагаемых полюсных методов. В последнем параграфе главы сформулированы выводы по итогам проведенных исследований одномерного полюсного метода Ньютона.

Во второй главе геометрическая идея построения полюсного метода (4) распространяется на многомерный случай, строится полюсный метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений. Приводятся теоремы сходимости такого метода, указывается способ выбора параметров для обеспечения квадратичной сходимости метода. Приводятся численные примеры эффективного применения полюсного метода Ньютона в сравнении с его классическим прообразом.

Векторный подход к построению метода (4) явился ключом для распространения геометрической идеи одномерного полюсного метода Ньютона на двумерные системы нелинейных уравнений вида

В качестве параметров двумерного полюсного метода выступают координаты двух полюсов: /¡(а,; 6,; и Р2(а2', Ь2; ¿2). Через полюсы Р^ Р2 и

точку К(х<к); УА); 0), задаваемую текущим приближением , в И3

строится плоскость л. Проекция на плоскость Оху точки пересечения этой плоскости к и двух касательных плоскостей к поверхностям г = /{х, у) и z = g(x, у), построенных в точке (хк; ук; 0), определяет следующее

Большинство из рассматриваемых в диссертации нелинейных тест-систем и начальных приближений к ним взяты из статьи [Роте А , Кулла В Комплект тестовых систем нелинейных уравнений // В сб «Численные методы и оптимизация» Таллии'Валгус, 1988 —С 181-188]

приближение У*+1>) в двумерном полюсном методе Ньютона.

Дальнейшее обобщение метода на системы вида (2) размерности п>2 совершается формально на основе построенного двумерного полюсного метода. Это обобщение имеет вид

х«м>=х'*>-[г(хт)-1)г(С-и4)_,^/!'(хт), А = 0, 1, 2, ...,

(И)

где С = (Су)"^, <1 =

4

4

ч*.

(Л*)

„<*Л

х(0) — начальное приближение. Неявно

здесь участвуют п полюсов с2/, ...; сп]\ (_/= 1, 2, ..., и), пред-

ставляющие матричный параметр С и векторный параметр (1 в формуле (11).

Для полюсного метода Ньютона (11) доказана следующая теорема об условиях его линейной сходимости.

Теорема 2.1. Пусть функция F(x) определена и дифференцируема по Фреше в некоторой открытой области М сИ,, причем

1)31>0: ||Г(х)-Г(х)|| :££||х-х|| Ух,хеМ;

2)3[г(х)-Вг(С-и)"']"' и

3/? > 0: |||>'(х) - (С - и)"' ]"'|| < р Ух е М. Кроме того,

3 т>

0: /?М.[(С-иГ|| +^-Их)||<

г Ух е М.

г<°>

Тогда, если т <1 и замкнутый шар := где /?0>||,р(

целиком содержится в М, то все члены последовательности опреде-

ляемые полюсным методом Ньютона (11), начинающимся с заданного лежат вЭсМ; последовательность (х<**) имеет предел х"е5, служащий решением уравнения 7Г(х) = 0;

Фигурирующая здесь матрица II — это та же матрица И, с формальной заменой х''1 на х

10

справедлива оценка погрешности

Если в полюсном методе Ньютона (11) сделать подвижным вектор <] (= <1(*>) и изменять его пропорционально изменению значений функции /*", т.е. положить, например,

¿^«¡^/¡■(ж*4) или й:=й(к) =-Р(х(к)), (12)

что порождает соответствующее правило выбора матрицы 0:= в (11), то метод может сходиться квадратично. Это устанавливается следующей теоремой.

Теорема 2.2. Пусть выполнены условия 1), 2) теоремы 2.1 с заменой в 2) матрицы Б матрицей 6, определяемой в соответствии с фиксированием вектора а по формуле (12) и заменой константы р константой р. Кроме того, пусть

ЭГ>0: + УхеЛ/,

где а > ||вг||/|||1|| — числовой параметр, зависящий от выбранной нормы

Тогда, если у=УУра<\, где р0 и замкнутый шар

( ~ °° * Л

51 х^0', г := целиком содержится в М, то все члены последова-

V 1-0

тельности (х'*')> определяемые модификацией полюсного метода Ньютона

(11), (12), начинающейся с заданного х'0', лежат «ЛсМ; последовательность имеет предел х е Я, служащий решением уравнения ^(х) = 0; справедлива оценка погрешности

И 1-у

В предпоследнем параграфе второй главы приводится ряд численных примеров эффективного и успешного применения полюсного метода Ньютона в сравнении с его классическим прообразом. Завершают второю главу выводы по итогам проведенных исследований многомерного полюсного метода Ньютона.

Третья глава посвящена обобщению полюсного метода Ньютона на нелинейные операторные уравнения с гладкими операторами в банаховых пространствах и изучению сходимости полученного метода.

Перенос полюсного метода Ньютона на нелинейные операторные уравнения вида (3) с дифференцируемым по Фреше оператором F: Л' -> К был осуществлен формально на основе некоторой «геометрической» аналогии

с одномерным полюсным методом (4). Построенный полюсный метод имеет вид

* = 0,1,2,..., (13)

где линейный оператор С е [У ->X] представляет собой первый параметр метода; линейные операторы е [К —> X] и е [У —> К] определяются через элементы х<к) е X и <1 е У соответственно по формулам

ику = <р(у)хт и 1>у = ф)а, (14)

где <р — некоторый линейный функционал, определяемый пространством У, а у — произвольный элемент из У; элемент с/ е У является вторым параметром

метода (13); х(0) — начальное приближение.

Построенный метод (13) обобщает одномерный (4) и совпадает с п-мерным полюсным методом (11), если определить линейный функционал <р в пространстве К„ равенством

п

1-1

(где У =(у1, ■■-, У„)Т — произвольный элемент Яп), а в формуле (13) заменить

оператор И на сопряженный ему оператор £>*, т.е. в конечном итоге выражение для полюсного метода Ньютона, обобщающего соответствующий многомерный метод (11), имеет вид

хс*-о = -С^)-']"1/?-^*»), * = 0,1,2,.... (15)

Для применения обобщенных полюсных методов (13), (15) к конкретным операторным уравнениям кроме двух параметров С и с/ необходимо еще задать линейный функционал <р, участвующий в построении операторов £> и 1]к. Вид этого функционала целиком определяется пространством У.

С целью ускорения сходимости итерационных последовательностей (13), (15) по аналогии с рассмотренным ранее одномерным и многомерным случаями элемент целесообразно выбирать пропорциональным невязке на каждой итерации, например, полагать = или с1 := = что в соответствии с (14) порождает следующее выражение для оператора О:

Оу:=Оку = <р(у)Е(х™) или 0у:=01[у = -<р{у)г(х™). (16)

На основе общих теорем1 о сходимости одношаговых итерационных процессов решения уравнения (3) сформулирована и доказана следующая теорема о сходимости полюсного метода Ньютона (13), (16) (которая справедлива и для метода (15), (16)) с «плавающим» (от 1 до 2) порядком в случае, когда условие

Вержбицкий В М О сходимости последовательностей элементов банаховых пространств к нулям нелинейных операторов // Вестник ] и I У Функц -дифф уравнения (спец выпуск) Пермь, 2002 —С 98-107

Липшица на производную /*"(*) заменяется более слабым условием Гёльдера1.

Теорема 3.3. Пусть оператор Р{х) определен и дифференцируем по Фреше в некоторой открытой области М с X, причел

1) 31>0, Вае(0, 1]: |Г(х)-Г(Зс)|<ф-х||° Ух.хеМ;

2) з [>'(*)-¿(с-г/)"1]'1 и

Эу?>0: |[г(дг)-5(С-г/)",]",|5/? VхеМ. Кроме того, пусть

Тогда, если у=1Ур0<1, где р0 > |^х(0)||, и замкнутый шар

5

целиком содержится в М, то все члены последова-

тельности определяемые полюсным методом Ньютона (13), (16), начи-

нающейся с заданного лежат в 5сМ; последовательность имеет

предел х е 5, служащий решением уравнения /г(х) = 0; справедлива оценка погрешности

Непосредственное изучение полюсного метода Ньютона (13) позволяет утверждать следующее.

Лемма 3.2. Пусть оператор в замкнутом шаре

с М дифференцируем по Фреше, причем:

1)Э;>0: ¡Я(;ф/ Ух

2) > 0, За е(0, 1]:

Утверждения о сходимости с «плавающим» порядком для некоторых семейств итерационных процессов можно найти, например, в работах [Вержбицкий В М, Цалюк 3 Б Об одном аналоге усиленного метода Ньютона-Канторовича//Докл АН СССР — 1972 Т 3 №3 —С 515-516], [Вержбицкий В М, Цалюк 3 Б Об усиленном методе Ньютона-Канторовича с аппроксимацией обратного оператора//ЖВМ и МФ — 1972 Т 12 №1 — С 222-227]

Оператор О здесь и далее определяется так' Г>у - ±£>(_у)/г(;с) (знак выбирается в соответствии с выражениями (16))

3) и

Э6>0: ||[г(х)-.0(С-£/)~,]~1||<г> Тогда для оператора

Ох = л - х* -1>'(х) -3(С- и)'1 ]"' ^(х)

справедлива оценка

Этот результат используется для доказательства следующей теоремы, устанавливающей достаточные условия квадратичной сходимости полюсного метода Ньютона (13), (16).

Теорема 3.4. Пусть выполнены условия леммы 3.2.

Тогда, если начальное приближение х(0> выбрано так, что |]х<0>-х*]|< — < р, где д>Ь■ —+ /||<р||||(С-£/) '11 ], то последовательность

9

.2

^х^определяемая полюсным методом Ньютона (13), (16) сходится к решению х* уравнения (3) и справедлива оценка погрешности

К'-*14№,>

В заключении третьей главы сформулированы выводы по итогам исследований обобщенного полюсного метода Ньютона.

В четвертой главе рассматривается применимость идеи полюсной параметризации к некоторым известным процессам, близким к ньютоновским. Указывается способ «настройки» параметра одного из предлагаемых здесь полюсных методов при решении серии близких систем нелинейных уравнений. Приводятся численные примеры эффективного применения полученных таким образом полюсных модификаций методов в сравнении с их прообразами.

Для известного метода секущих решения нелинейных скалярных уравнений вида (1), так же, как и для метода Ньютона, из аналогичных геометрических соображений построена его полюсная модификация, названная полюсным

методом секущих. Ее итерационная формула имеет вид

— *"-2..... (,7>

Х/с-1 Хк с хк

где х0 и Х[ — начальные приближения.

Для ускорения сходимости итерационного процесса (17) рекомендуется, например, оставить абсциссу полюса с в качестве параметра, а ординату

полюса изменять по правилу

¿'•-¿к ~/(хк-\) или =-/(**_,)•

Формальное применение идеи полюсной параметризации метода Ньютона к одному из вариантов метода секущих решения систем нелинейных уравнений вида (2) с ^(х) = (у|(х); /2(х); ...; /„(*)) , позволяет обобщить полюсный метод секущих (17), представив его в виде

= ¿ = 1, 2, ..., (18)

где В(#\ х«-'>):=

... ... •••>

11 1 ,

а х(0) и х(1> — задаваемые начальные векторы. Для ускорения сходимости и уменьшения количества параметров такого метода предлагается выбирать параметр с1, задающий ихи матрицу 1> = (*1,...,<1), изменяющимся:

(1 := «¡(4) = ±/г(х(*~,>) (или <1 := с1<4) = ±<Р(х«>)).

Один из недостатков приведенных выше конечномерных вариантов полюсных методов — необходимость обращения матрицы С-1^ на каждой итерации. Следующая модификация конечномерного полюсного метода Ньютона позволяет избежать операции обращения их л матриц С-114, при этом не ухудшая принципиально скорость сходимость метода. Итерационная формула такого варианта полюсного метода имеет вид:

ж(*+«=х(*)-[г(ж(4))-1Х;|к]"1^(*<4>), ¿ = 0,1,2,..., (19)

где С*:=<На§ х<0) — начальный вектор. Здесь в качестве параметра

выступает только вектор (1, определяющий пхп матрицу Б = (<!,...,с!) (нет матрицы С).

Для решения серии «близких» систем нелинейных уравнений вида (2) с /•(ж) = (/(*); /2(х); ...; /,(х))Г предлагается следующая вычислительная схема настройки векторного параметра <1:

- каким-либо итерационным методом из начального приближения х(0) решить первую систему серии и получить с заданной точностью решение

ж =(**;... ;*;)Г;

- вычислить элементы <11 вектора (1 по формуле

где 1 = 1, ..., п, а (•, •) —знак скалярного произведения-,

15

- остальные системы серии решить полюсным методом (19) с найденным по формуле (20) параметром (I из «обновляемых» начальных приближений (т.е. для текущей системы, которую необходимо решить, в качестве начального приближения берется приближенное решение предыдущей системы).

Чтобы избежать вычисления точных обратных матриц [^'(х'*') - ГК^*]

на каждом шаге в полюсном методе (19), по аналогии с известными процессами 1 2

Ульма -Мозера строится и испытывается его аппроксимационный аналог вида

Ч (21)

^ =Е-(г(х<*+1>)-ОСм)А„ Ам = А, + А4Ч»4,

где х(0) — начальный вектор, а А0 ^«^'^х'0'^ — начально задаваемая матрица. Здесь для получения приближения к матрице [г(х<4)) - ^ на каждом шаге используется один шаг итерационного процесса Шульца второго порядка3.

Последний параграф четвертой главы содержит выводы по использованию идеи полюсной параметризации.

В пятой главе демонстрируются способы эффективного применения полюсных методов применительно к задаче приближенного решения нелинейных интегральных уравнений Гаммерштейна и к прикладной задаче приближенного решения нелинейного дифференциального уравнения движения доменной границы при скачке Баркгаузена.

Рассматривается нелинейное интегральное уравнение Гаммерштейна ь

х(1) + ¡д(г, <р(х, = 0, /е[а, А], (22)

а

где функции ¿>]х[я, »Л и (р:\а, ¿>]хК-»К непрерывны и таковы,

что данное уравнение имеет на [а, Ь\ ровно одно непрерывное решение х = х(г). Для дискретизации интегрального слагаемого в (22) использовалась формула Симпсона на сетке с равноотстоящими узлами. К решению полученной таким образом системы нелинейных уравнений относительно значений х,, х2, ..., хП (х,:«х(/,)), составляющих каркас приближенного решения на введенной сетке, можно применять различные итерационные методы.

Ульм С Ю Об итерационных методах с последовательной аппроксимацией обратного оператора // Изв АН ЭССР,сер физ-мат наук — 1967 T 16,№4 — С 403-411 2

Mozer J SlabJe and Random Motions m Dinamical Systems —Prmcenton Univereity Press, 1973

Schulz G Iterative Berechnung der reziproken Matrix // ZAMM — 1933 Vol 13 — P 57-59

На двух примерах1 интегральных уравнений вида (22), определенных на отрезке [0, 1], сравнивались результаты применения классического метода Ньютона и конечномерного варианта полюсного метода (13) с матричным параметром С = (с1]У , где сч = ехр(зга(г + у')), и выбором векторного параметра

«1 по правилу (12) к решению получаемых после дискретизации уравнения (22) систем размерностей я = 11 и л = 21. Проведенные расчеты показали приемлемость предложенного подхода и выигрыш у метода Ньютона в объеме требующихся для достижения заданной точности количества вычислений нелинейных функций.

К решению серий близких двумерных систем нелинейных уравнений, получаемых в результате применения неявного метода Рунге-Кутты 4-го порядка к решению жесткой системы нелинейных дифференциальных уравнений, применялся предложенный в главе 4 полюсный метод (19) с настройкой параметра по правилу (20), который сравнивался с ранее используемым для этого классическим методом Ньютона. В данном случае решаемая система нелинейных дифференциальных уравнений получается из предложенного Дёрингом-Беккером2 уравнения движения доменной границы (ДГ) при скачке Баркгаузена:

тх + Рх + Р{х) = А(-, х(0) = кАх, ¿(0) = 0, (23)

где х, х, х — соответственно координата, скорость и ускорение ДГ, т — эффективная масса ДГ, /? — коэффициент затухания, А — коэффициент, характеризующий скорость изменения внешнего поля, к — постоянный коэффициент, Ах — ширина потенциальной ямы. Функция Г(х) описывает градиент потенциального рельефа по формуле

F. ,

0.2(Дх) 2F Л1

х при х<0,

2 F 3 F F(x):=\—^f-x'+^-fx2 при 0<хИЛ,

К 2 2/г_Я ^Дх(Дх-2Л)

--и—гх2 +-а—тх + ——--х—1 при А < х < оо,

(Дх-Л) (Дх-Л)2 (Ах-Л)2

где Рт — глубина потенциального рельефа, Л — положение экстремума.

Оказалось, что для различных значений параметров уравнения (23) применение полюсного метода Ньютона (19) с настройкой параметра <1 по формуле (20) дает здесь общий выигрыш по количеству итераций решения получаемых серий «близких» двумерных нелинейных систем до 14% по сравнению с вычислительной схемой, где фигурирует только классический метод Ньютона с таким же последовательным обновлением начальных приближений.

' Amann Herbert Uber die näheningsweise Lösung mchtlinearer Integralgleichungen // Numer Math — 1972 Vol 19 — P 29-45

2

Ломаев Г В, Мерзляков Ю М Эффект Баркгаузена — Ижевск Изд-во ИжГТУ, 2004

При этом указанное превосходство достигается без привлечения дополнительных вычислений значений функций и производных.

В заключении диссертации сформулированы основные результаты, которые перечислены здесь в пункте «Научная новизна исследований».

Работы, опубликованные по теме диссертации

1. Вержбицкий В.М., Петров М.Ю. Двухполюсный метод Ньютона // XXXII науч.-техн. конф. ИжГТУ, 18-21 апр. 2000 г.: Тез. докл. — Ч. I. — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2000. — С. 63-64.

2. Вержбицкий В.М., Петров М.Ю. О полюсном методе Ньютона в конечномерных и в банаховых пространствах // Журн. вычислит, математики и мат. физики. — 2004. Т. 44. №6. — С. 979-985.

3. Ломаев Г.В., Петров М.Ю., Ходырев A.B. О математическом моделировании ГПР в процессе переключения бистабильных ферромагнетиков // Вестник УдГУ, серия «Физика». — 2005, №4. — С. 195-202.

4. Петров М.Ю. О полюсном методе Ньютона // Материалы Международ, конф. студ. и асп. по фунд. наукам «Ломоносов». Выпуск 4. — М.: Изд-во МГУ, 2000, —С. 163.

5. Петров М.Ю. Обобщение полюсного метода Ньютона на случай систем нелинейных уравнений // Материалы Международ, конф. студ. и асп. по фунд. наукам «Ломоносов 2001»: Секция «Выч. матем. и кибер.». — М.: Изд. отдел фак-та ВМиК МГУ, 2001. — С. 15.

6. Петров М.Ю. О решении нелинейных уравнений полюсным методом Ньютона // Известия института матем. и информ. — Ижевск: Изд-во Уд-ГУ, 2002. — С. 69-72.

7. Петров М.Ю. О сходимости полюсного метода Ньютона в банаховых пространствах // Информационные технологии в инновационных проектах: Тр. IV Междунар. науч.-технич. конф. (Ижевск, 29-30 мая, 2003 г.). — В 4 ч. — Ч. 2. — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. — С. 60-61.

8. Петров М.Ю. О достаточных условиях квадратичной сходимости полюсного метода Ньютона в банаховых пространствах // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. конф., 2-6 февр. 2004 — Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2004. — С. 57-58.

Отпечатано с оригинал-макета заказчика

Подписано в печать 3.05.2005. Формат 60x84/16. Тираж 100 экз. Заказ № 740.

Типография Удмуртского государственного университета 426034, Ижевск, ул. Университетская, 1, корп. 4.

p-884«

РНБ Русский фонд £

2006-4 16674

»-i

У

Введение.

Глава 1. Одномерный полюсный метод Ньютона.

1.1. Построение метода и исследование его сходимости.

1.2. О параметрах метода.

1.3. Численные примеры.

1.4. Выводы.

Глава 2. Полюсный метод Ньютона решения систем нелинейных уравнений.

2.1. Перенос метода на системы из двух уравнений (векторный подход)

2.2. Обобщение метода на случай систем произвольной размерности.

2.3. Сходимость полюсного метода Ньютона в «-мерных пространствах.

2.4. Численные примеры.

2.5. Выводы.

Глава 3. Полюсный метод Ньютона в банаховых пространствах.

3.1. Формальное построение полюсного метода Ньютона для нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах и его представления в

3.2. Сходимость обобщенного полюсного метода Ньютона.

3.3. Выводы.

Глава 4. О применении полюсной параметризации к некоторым известным итерационным процессам.

4.1. Полюсные методы секущих.

4.2. Полюсный метод Ньютона с векторным параметром.

4.3. Аппроксимационный аналог полюсного метода Ньютона с векторным параметром.

4.4. Выводы.

Глава 5. Примеры применения полюсных методов к решению прикладных задач.

5.1. Численные эксперименты с интегральными уравнениями Гаммерштейна.

5.2. Применение полюсного метода к решению уравнения движения доменной границы при скачке Баркгаузена.

5.3. Выводы.

При решении многих прикладных задач на каком-то этапе возникает необходимость в нахождении корней нелинейных скалярных уравнений вида = 0 ' ' (0.1) или систем нелинейных алгебраических или трансцендентных уравнений, представляемых уравнением

F(x) = 0, (0.2) где F: Rn -> Rn — векторная функция векторного аргумента. Изначально решаемые задачи при математической постановке часто сами формулируются в виде задачи отыскания решений нелинейного операторного уравнения

F(x) = 0, (0.3) где в общем случае F — нелинейный оператор, действующий из некоторого множества Q банахова пространства X в нормированное пространство Y. Очевидно, что уравнения вида (0.1) являются частным случаем систем (0.2) при п = 1, а системы (0.2), в свою очередь, можно рассматривать как уравнения (0.3) при X = Y = R„.

Главное место среди известных методов приближенного решения уравнений (0.1)-(0.3) принадлежит итерационным методам. Без описания методов решения уравнений (0.1), (0.2) не обходится никакая учебная и справочная литература по современным численным методам [1, 2, 5, 11-13, 18, 20, 24, 28-31, 38, 47, 56, 66], а методы решения уравнений (0.3) содержатся во многих учебниках по функциональному анализу [40, 58, 67, 68 и др.]. Вопросам теории и применения итерационных методов посвящено множество монографий (см., например, [25, 35, 39, 49, 50, 64]), огромное количество научных статей.

Из обширного списка известных на сегодняшний день итерационных методов решения уравнений (0.1) выделим метод касательных, предложенный Ньютоном еще в 1669 году и позже, в 1690 году, Рафсоном. Названный в честь знаменитого ученого-первооткрывателя метод Ньютона (Ньютона-Рафсона) отличается идейной простотой, геометрически наглядной интерпретацией и вторым порядком сходимости итерационной последовательности, которая при заданном начальном элементе х0 определяется рекуррентной формулой xM=xk-j^, к = 0,1,2, . (0.4)

Теоретические результаты исследований и .рекомендации по практическому применению данного метода можно найти почти в любой литературе по вычислительной математике. Несмотря на достаточно высокую эффективность [64] и вычислительную устойчивость [3, 25, 50, 64, 79], метод Ньютона (как, впрочем, и любой другой итерационный метод) не лишен недостатков, среди которых: необходимость вычисления производной на каждом итерационном шаге, линейная сходимость в случае кратных корней [62, 85], сугубо локальный характер сходимости, подразумевающий знание достаточно близкого к корню начального приближения. В связи с этим были созданы некоторые модификации метода:

- упрощенный метод Ньютона [24], предполагающий вычисление производной только в точке начального приближения, а также реализации метода Ньютона, где производная вычисляется точно не на каждой итерации, а через некоторое их число [93]. Цель таких модификаций — уменьшение вычислительных затрат, однако при этом теряется квадра-тичность скорости сходимости итерационных последовательностей (например, упрощенный метод Ньютона, будучи частным случаем метода простых итераций, обладает лишь скоростью сходимости геометрической прогрессии [11, 13]);

- конечноразностные модификации (конечноразностный метод Ньютона и метод секущих [5, 11, 13, 25, 50], метод Стеффенсена [50, 62], метод экспоненциального спуска [118] и некоторые другие методы подобного типа (см., например, [117, 119])). В итерационных формулах таких модификаций производная заменяется некоторым аппроксимирующим ее разностг -г * v к к~х' к -1 2 лА+1 — лк sr. \ г/. \ ' ~~ ' ' ным отношением и возникающие при этом итерационные методы различаются, в основном, выбором формулы и шага дискретизации производной. Например, метод секущих

-**-i) /(** )"/(**-!) получается из метода Ньютона (0.4) на основе простейшего приближенного равенства

•./ w. f(xk+h)-f(xk) h при h = хкх -хк, а метод Стеффенсена — из него же при h = f(xk). В некоторых случаях подобный подход повышает вычислительную эффективность метода с сохранением высокой скорости сходимости (от сверхлинейной до квадратичной); параметрические модификации (метод Ньютона-Шрёдера [11, 13, 62], методы [115, 116, 119] и др.). Здесь введение параметров в итерационную формулу метода Ньютона вместе с соответствующим правилом их выбора позволяют как увеличить быстроту сходимости классического метода Ньютона (например, в случае кратных корней),'так и повысить его устойчивость к выбору начального приближения; модификации, полученные суперпозицией метода Ньютона и какого-либо другого итерационного процесса. Эти модификации либо сочетают быструю сходимость метода Ньютона с «глобальной», но обычно более медленной сходимостью другого метода (например, метода дихотомии), расширяя таким образом границы применимости классического метода Ньютона при сохранении достаточно высокой скорости сходимости последовательности приближений к корню (гибридные методы) [11, 50], либо являются сложными многоступенчатыми или вложенными итерационными процессами [64, 91, 92, 99, 104, 114], в которых результирующие итерационные последовательности имеют более высокий порядок сходимости по сравнению с ньютоновскими. Например, в [104] строится метод достаточно простого вида r -v/(**) k — 0 1 9 м г хк и обосновывается его кубическая сходимость. Цена за повышение порядка — лишнее вычисление производной на каждом итерационном шаге. Существуют также и стоящие в стороне от перечисленных идейно близкие методу Ньютона методы порядка сходимости выше второго, но они, как правило, содержат старшие производные заданной функции [5, 37, 64, 73, 75, 96 и др.]. Таковыми являются, например, известные методы Чебышева-Шрёдера и Хэлли.

Подытожив сложившуюся ситуацию с различными модификациями одномерного метода Ньютона, отметим, что большинство из полученных современными авторами результатов, укладывается в общую теорию итерационных функций, описанную в замечательной монографии Трауба [64].

Безусловный интерес представляет повышение вычислительной эффективности итерационных методов, иначе, получение более точных результатов без дополнительных вычислений функций и их производных. Одно направление такого повышения — это ускорение сходимости итерационных последовательностей за счет построения «паразитирующих» на них более быстро сходящихся к тому же пределу последовательностей. Классическим примером тому служит А2-преобразование Эйткена, а также метод Вегстейна [11, 13]. Подробный обзор на эту тему можно найти в работе [87]; к сожалению, из 155 литературных источников там нет ни одного русскоязычного. Другое направление, развиваемое в настоящей диссертации, — это создание на базе хорошо зарекомендовавших себя классических методов таких модификаций, которые бы успешно с ними конкурировали по части вычислительной эффективности.

Для решения систем нелинейных уравнений (0.2) обобщение метода Ньютона (0.4) имеет вид • x<4+i) = x(4)-[f'(xw)]"v(xw), k = 0, 1, 2, . (0.5)

Так же, как и в одномерном случае, метод (0.5) является одним из наиболее привлекательных и для исследователей, и для тех, кому приходится решать реальные задачи, сводящиеся к системам вида (0.2). Метод Ньютона здесь обладает в общем смысле теми же достоинствами и недостатками, что и метод (0.4), но переход от размерности п-1 к п > 2 значительно усложняет задачу успешного и эффективного его применения, внося в нее дополнительные нюансы. А именно:

- при наличии многочисленных утверждений о сходимости метода Ньютона (см., например, [11, 13, 24, 25, 49, 88, 120]) выбор начального приближения х(0), удовлетворяющего требуемым ими совокупностям достаточных условий сходимости, сопряжен со значительными трудностями;

- построение на каждом шаге матрицы Якоби и ее обращение (или решение соответствующей системы линейных уравнений относительно шаговых поправок) при достаточно большой размерности системы (0.2) является вычислительно дорогой задачей, и т.п. Многие из способов модификации метода Ньютона в R„, призванных так или иначе улучшить ситуацию, приведены в известных монографиях Ортеги и Рейнболдта [49] и Дэнниса и Шнабеля [25]. Однако вышеперечисленные проблемы и по сей день остаются актуальными для вычислительной математики. Об этом свидетельствует появление все новых результатов по данной тематике, из которых отметим, например, работы [41, 71, 87, 107, 110]. Особый интерес представляют исследования возможностей применения метода Ньютона к решению систем уравнений с негладкими функциями [94, 95, 113]. Следует заметить, что хотя далеко не все модификации одномерного метода Ньютона можно однозначно обобщить на многомерный случай, переход к большим размерностям порождает свою специфику, с учетом которой можно строить на базе ньютоновского процесса эффективные методы, используя, например, только «одномерную» геометрическую идею. Пример тому — конечноразностные многомерные модификации метода Ньютона [11, 25].

В общей теории приближенных методов имеется ряд фундаментальных результатов. К таковым, наверное, можно отнести основополагающие работы JI.B. Канторовича по методу Ньютона [32-34], которые дали толчок интенсивному изучению различных итерационных методов решения операторных уравнений вида (0.3). Из обширной посвященной этому литературы прошлых лет выделим лишь две монографии [35, 57] и статью [70], а из современной — статьи [65, 83, 84, 78, 79, 81, 97, 98, 100-103, 105] и докторскую диссертацию [72]). Метод Ньютона k = 0, 1, 2, . (0.6) обычно называемый в операторном случае методом Ньютона-Канторовича) часто изучается в рамках семейства более общих методов типа метода Ньютона [72, 77, 82, 120]

1> = х(*> - [а (jc(t>) J' F(x(i)), Ar = 0, 1, 2, (0.7) где A(x(i)):X —> Г — некоторый линейный оператор, каким-либо образом отслеживающий скорость изменения оператора F с увеличением номера к. Основные теоретические результаты об условиях и скорости сходимости таких методов, полученные в последние 30 лет, можно найти в сконцентрированном виде в обзорных статьях [93, 120]. Обобщен на операторный случай и упоминавшийся выше метод секущих; здесь отметим лишь одну старую [63] и одну современную [74] статьи на эту тему.

Проводились исследования и более широких, чтем (0.7), семейств итерационных методов, содержащих в себе метод Ньютона и некоторые его модификации. Речь идет о так называемом усиленном методе Ньютона-Канторовича xlk+l)=xw + Q(xw, Ак), к = 0, 1, 2, ., (0.8) где Ак — линейный оператор, так или иначе аппроксимирующий обратный к производной Фреше оператор, a Q — определенным образом конструируемый по F оператор итерирования [17, 35, 42]. Для случая, когда (0.8) является прямой модификацией метода Ньютона, т.е. основная расчетная формула метода имеет вид x{M)=x(k)-AkF[xw), к = 0, 1, 2, ., (0.9) к построению последовательности операторов Ак, как правило, привлекаются те или иные обобщения известного процесса Шульца итерационного обращения матриц [112]. Исследования получающихся при этом на базе (0.9) методов восходят к работам Ульма [69] и Мозера [108] и далее развиваются в статьях [6, 8, 48, 89, 90, 109, 111 и др.]. При этом с целью «удешевления» одной итерации здесь зачастую прибегают к рекурсии, что приводит к различным комбинированным многоступенчатым процессам, в которых чередуются точные обращения с приближенными обращениями операторов-производных или операторы Ак сохраняются неизменными на одном или нескольких итерационных шагах. Исследования таких процессов можно найти, например, в работах [4, 9, 19, 22, 65].

Не остались без внимания исследователей и случаи, когда, например, прямое применение метода Ньютона некорректно и вместо обратных операторов в методе (0.6) и ему подобных используются псевдообратные и правые обратные операторы [61, 80, 86 и др.]. Ряд работ посвящен непрерывным аналогам метода Ньютона, в которых вместо дискретной переменной к используется непрерывная скалярная переменная изменяющаяся на полуоси [0, +оо) или на отрезке [0, l], и решение х* исходной задачи (0.3) ищется как предел решения соответствующей дифференциальной задачи Коши либо при /->+оо [21, 27], либо при t—>1 [26, 106]. Имеются также предложения сводить уравнение (0.3) в конечномерном случае к уравнениям с частными производными гиперболического типа [43].

Обобщенные итерационные методы и результаты их изучения могут быть естественным образом применены к решению и исследованию конечномерных уравнений вида (0.2), а также других частных случаев уравнений вида (0.3), из и которых наиболее типичными неконечномерными объектами являются нелинейные интегральные уравнения и краевые задачи для обыкновенных дифференциальных уравнений. Однако чаще всего в конкретных пространствах с конкретными свойствами для конкретных задач удается получить более тонкие теоретические результаты, облегчающие реализацию методов [41, 49, 57, 76].

Настоящая диссертация посвящена изучению и обобщению новой параметрической модификации итерационного метода Ньютона решения нелинейных уравнений, предложенной в 1989 году П.В. Вержбицким1 и впоследствии названной полюсным методом Ньютона, которая, как показывается, может превосходить классический метод Ньютона по скорости сходимости и успеш2 ности без привлечения дополнительных вычислений функции и ее производной.

Заметим, что бурное развитие вычислительной техники в последние годы заставляет переосмысливать роли приближенно-аналитических и сугубо численных методов решения различных задач прикладного анализа, отдавая предпочтение последним. Отсюда — преимущественное внимание автора к конечномерным задачам (к которым сразу приводит дискретизация тех или иных задач в бесконечномерных пространствах), наверное, в ущерб исследованиям методов решения операторных и конкретных функциональных уравнений. Такой подход характерен для многих других современных исследователей. Довольно типична ситуация, когда тот или иной метод решения операторных уравнений вида (0.3) применяется для решения нелинейных интегральных уравнений. При этом вместо пошагового сведения их к линейным интегральным же уравнениям сразу производится переход к системам алгебраических и/или трансцендентных уравнений и уже к ним применяется рассматриваемый метод ([74, 75] и др.).

Кроме доклада на конференции старшеклассников МФТИ, эта идея ее автором нигде публично не представлялась.

2 :

Термин заимствован из [59] и подразумевает возможность формального применения метода, приводящего на тестовых примерах к верному результату.

Работа выполнена на кафедре «Прикладная математика и информатика» ГОУ ВПО «Ижевский государственный технический университет».

Научная новизна работы. Изучается новая параметрическая модификация метода Ньютона решения нелинейных скалярных уравнений и систем таких уравнений, а также нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах. Научных публикаций, посвященных построению, изучению и обобщению данного метода, кроме работ диссертанта и научного руководителя, не имеется.

Практическая ценность работы. Предложенная модификация предоставляет принципиальные возможности улучшить сходимость и расширить границы применимости классического метода Ньютона решения нелинейных уравнений. Значимость выполненных исследований обусловлена тем, что, в конечном итоге, решение многих задач сводится к решению нелинейных скалярных уравнений и систем таких уравнений, и очень важно, чтобы они решались как можно более эффективными методами. Положения, выносимые на защиту:

- способ построения одномерного полюсного метода Ньютона, его обобщение на системы нелинейных уравнений и на операторные уравнения в банаховых пространствах;

- теоретические результаты исследования сходимости предлагаемого метода, численные примеры, демонстрирующие его достоинства в сравнении с классическим методом Ньютона;

- условия на выбор параметров в одномерном полюсном методе Ньютона, при которых возможно его эффективное и успешное применение; способы выбора параметров в многомерном полюсном методе Ньютона;

- применение полюсной параметризации к некоторым известным итерационным процессам; численные примеры, демонстрирующие достоинства такой параметризации;

- способ оптимизации численного решения серий «близких» систем нелинейных уравнений полюсным методом Ньютона на примере прикладной задачи движения доменной границы при скачке Баркгаузена.

Личный вклад автора. Диссертация является самостоятельной работой, где воедино сведены результаты, полученные лично автором и в соавторстве с научным руководителем. Автором совместно с научным руководителем проведено теоретическое исследование сходимости одномерного полюсного метода и средствами аналитической геометрии и векторной алгебры выполнен перенос полюсного метода Ньютона на многомерный случай. Лично автором проанализированы эффективные способы выбора параметров в одномерном полюсном методе Ньютона, сформулированы теоремы сходимости многомерного полюсного метода Ньютона, проведено сравнительное численное тестирование метода при различных способах фиксирования параметров. Кроме того, получено обобщение полюсного метода Ньютона на операторные уравнения в банаховых пространствах, сформулированы теоремы сходимости обобщенного метода. В качестве примера рассмотрена содержательная прикладная задача, в которой применен предлагаемый метод решения систем нелинейных уравнений. Здесь предложен эффективный способ фиксирования полюсов при решении жестких дифференциальных уравнений неявными методами. Основные положения и выводы диссертационной работы также сформулированы автором.

Доклады и публикации по теме диссертации. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях:

- VII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2000», Москва, МГУ, 12-15 апреля, 2000 г.;

- XXXII Научно-техническая конференция ИжГТУ, Ижевск, 18-21 апреля, 2000 г.;

- VIII Международная конференция студентов и аспирантов по фундаментальным наукам «Ломоносов-2001», Москва, МГУ, 10-13 апреля, 2001 г.1;

Работа отмечена грамотой «За лучший доклад» министра образования РФ.

- Межвузовская научная конференция «Функционально-дифференциальные уравнения и их приложения», Ижевск, ИжГТУ, 18-20 апреля, 2002 г.;

- IV Международная научно-техническая конференция ИжГТУ «Информационные технологии в инновационных проектах», Ижевск, 29-30 мая, 2003 г.;

- Всероссийская научная конференция «Алгоритмический анализ неустойчивых задач», Екатеринбург, 2-6 февраля, 2004 г, а также на математических семинарах Ижевского государственного технического университета, Пермского государственного университета, Института математики и механики УрО РАН.

Основное содержание работы изложено в 3 статьях и 6 тезисах докладов (ссылки [14-16, 46, 51-55] в списке литературы; результаты исследований частично включены в вузовские учебники по численным методам В.М. Вержбиц-кого [11, 12] (§5.7, §7.5) и [13] (§7.7, §9.5).

Структура диссертации. Работа состоит из введения, пяти глав, заключения, списка литературы.

5.3. Выводы

Приведенные в данной главе результаты применения модификаций полюсного метода Ньютона к двум прикладным задачам еще раз подчеркивают эффективность полюсных итерационных процессов в сравнении с классическим методом Ньютона. Для задачи численного решения нелинейного дифференциального уравнения движения доменной границы при скачке Баркгаузена благодаря применению модификации полюсного метода Ньютона оптимизирован процесс решения многочисленных серий «близких» нелинейных систем, возникающих при интегрировании дифференциального уравнения неявным методом Рунге-Кутты 4-го порядка. Применяющийся здесь подход к «настройке» параметров метода на серию «близких» нелинейных систем оправдал свою эффективность, как и предполагалось в гл. 4.

Заключение

Как показывает теоретическое и экспериментальное изучение, предлагаемая здесь новая модификация метода Ньютона решения нелинейных скалярных уравнений и систем таких уравнений с гладкими функциями при удачном распоряжении ее параметрами может оказаться более выигрышной по сравнению с широко употребляемым классическим методом Ньютона.

Практическое применение этой модификации затрудняет незнание способов прямого указания оптимальных значений параметров, и вопрос об их нахождении требует дальнейших исследований. Однако уже на данном этапе освоения нового метода можно указать множество ситуаций, когда от его использования можно ожидать положительный эффект: например, в многочисленных случаях, где требуется решать большие серии «близких» нелинейных уравнений и окажутся оправданными вычислительные затраты на экспериментальную оптимизацию параметров.

Представляет также интерес дальнейшее изучение полученных здесь обобщенных полюсных методов решения нелинейных операторных уравнений в банаховых пространствах.

1. Амосов А А., Дубииский ЮЛ., Копчёнова Н.В. Вычислительные методы для инженеров. — М.: Высш. шк., 1994.

2. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. — М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001.

3. Бартиш М.Я. Возмущенные аналоги методов типа Ньютона-Канторовича. В кн. «Матем. сб.». — Киев: Наукова думка, 1976. — С. 5962.

4. Бартиш М.Я., Щербина Ю.М. Итерационные формулы, получаемые с помощью рекурсии. В кн. «Матем. сб.». — Киев: Наукова думка, 1976. — С. 50-53. :

5. Березин И.С., Жидков Н.П. Методы вычислений. Т. 2. — М.: Физматгиз, 1962.

6. Ваарманн О. О некоторых итерационных методах с последовательной аппроксимацией обратного оператора // Изв. АН ЭССР. — 1968. Т. 17, №4. —С. 379-390.

7. Вержбицкий В.М. Об условиях сходимости итерационных методов с аппроксимацией обратного оператора. В сб. «Мат. анализ». — Краснодар: Изд. КубГУ, 1971. — С. 8-25.

8. Вержбицкий В.М. Выбор параметров в теоремах сходимости одного ап-проксимационного аналога метода Ньютона // Журн. вычислит, математики и мат. физики. — 1975. Т. 15, №6. — С. 1594-1597.

9. Вержбицкий В.М. О свободных от обращения вложенных итерациях Ньютона. В сб. «Краевые задачи». — Пермь: Изд. ППИ, 1979. — С. 83-84.

10. Вержбицкий В.М. О сходимости последовательностей элементов банаховых пространств к нулям нелинейных операторов // Вестник ПГТУ. Функц.-дифф. уравнения (спец. выпуск). Пермь, 2002. — С. 98-107.

11. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. — М.: Высш. шк., 2002.

12. Вержбицкий В.М. Основы численных методов. 2-е изд. — М.: Высш. шк., 2005.

13. Вержбицкий В.М. Численные методы (линейная алгебра и нелинейные уравнения). 2-е изд. — М.: ОНИКС 21 век, 2005.

14. Вержбицкий В.М., Петров М.Ю. Двухполюсный метод Ньютона // XXXII науч.-техн. конф. ИжГТУ, 18-21 апр. 2000 г.: Тез. докл. — Ч. I. — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2000. — С. 63-64.

15. Вержбицкий В.М., Петров М.Ю. О полюсном методе Ньютона в конечномерных и в банаховых пространствах // Журн. вычислит, математики и мат. физики. — 2004. Т. 44. №6. — С. 979-985.

16. Вержбицкий В.М., Петров М.Ю. Полюсный метод Ньютона // Пробл. совр. теории периодич. движений. Межвуз. сб. — Ижевск, Изд-во ИжГТУ, 2005, №11.— С. 91-97. (В печати).

17. Вержбицкий В.М., Цалюк З.Б. Об одном аналоге усиленного метода Ньютона-Канторовича // Докл. АН СССР. — 1972. Т. 203, №3. — С. 515516.

18. Верлань А.Ф., Сизиков B.C. Интегральные уравнения: методы, алгоритмы, программы. —Киев: Наукова думка, 1986.

19. Волокитим С. С. Ступенчатые итерационные процессы с аппроксимацией обратных операторов // Деп. ред. Сиб. матем. ж., №200 — 79 Деп. — Новосибирск, 1979. — 26 с.

20. Гавурин М.К. Лекции по методам вычислений; — М.: Наука, 1971.

21. Гавурин М.К. Нелинейные функциональные уравнения и непрерывные аналоги итерационных методов // Изв. вузов: Математика, 1958. — №5(6). —С. 18-31.

22. Горфункелъ И.А. Комбинированные методы с последовательной аппроксимацией обратного оператора. В сб. «Вычисл. и прикл. матем.», вып. 26. — Киев: изд. Киевск. ун-та, 1975. — С. 135-140.

23. Деккер К, Вервер Я. Устойчивость методов Руиге-Кутты для жестких нелинейных дифференциальных уравнений. — М.: Мир, 1988.

24. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики. — М.: Наука, 1970.

25. Дэннис Дж., Шнабель Р. Численные методы безусловной оптимизации и решения нелинейных уравнений. — М.: Мир,'1988.

26. Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения нелинейных уравнений // Докл. АН СССР. — 1953. Т. 88, №4. с. 601-604.

27. Жидкое Е.П., Хоромский Б.Н. О локальной сходимости приближенных процессов решения операторных уравнений // Докл. АН СССР. — 1976. Т. 231, №5. —С. 1052-1055.

28. Загускин B.JI. Справочник по численным методам решения алгебраических и трансцендентных уравнений. — М.: Физматгиз, 1960.

29. Иванов В.В. Методы вычислений на ЭВМ: Справочное пособие. — Киев: Наукова думка, 1986. :

30. Интегральные уравнения / П.П. Забрейко, А.И. Кошелев, М.А. Красносельский и др. — М.: Наука, 1968.

31. Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Наука, 1978.

32. Канторович JI.B. О методе Ньютона для функциональных уравнений // Докл. АН СССР. — 1948. Т. 59. №7. — С. 1237-1240.

33. Канторович JI.B. Принцип мажорант и метод Ньютона // Докл. АН СССР. — 1951. Т. 76. №1. с. 17-20.

34. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1984.

35. Коллатц Л. Функциональный анализ и вычислительная математика. — М.: Мир, 1969.

36. Крейн С.Г. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1972.

37. Кацухико Фукусима, Сейносуке Китагава. Обобщение метода Ньютона-Рафсона // Sugaku. — 1998. Vol. 50. №2. — С. 99-102. (Яп.)

38. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы. Т. 1. —М.: Наука, 1976.

39. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Начала теории вычислительных методов. Линейная алгебра и нелинейные уравнения. — Минск: Наука и техника, 1985.

40. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. 2-е изд. — М.: Наука, 1968.

41. Лебедев К.А. Об одном способе нахрждения: начального приближения для метода Ньютона // Журн. вычислит, математики и мат. физики. — 1996. Т. 36. №3. —С. 6-14.

42. Лика Д.К., Шафиев Р.А. Об усиленном методе Ньютона-Канторовича с последовательной аппроксимацией в гильбертовом пространстве. В сб. «Приближ. решение уравнений». — Кишинёв: Штиинца, 1973. — С. 4053.

43. Липанов A.M. Многопараметрический траекторный метод решения систем функциональных уравнений // ДАН. — 1995. Т. 343. №2. — С. 153155. , :

44. Ломаев Г.В., Кочетова Д.В. К вопросу о моделировании процесса переключения бистабильных ферромагнетиков // Материалы евро-азиат, сим-поз. Eastmag-2001. — Екатеринбург, 2001. — С. 308.

45. Ломаев Г.В., Мерзляков Ю.М. Эффект Баркгаузена. — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2004. — 164 с.

46. Ломаев Г.В., Петров М.Ю., Ходырев А.В. О математическом моделировании ГПР в процессе переключения бистабильных ферромагнетиков // Вестник УдГУ, серия «Физика». — 2005, №4. — С. 195-202.

47. Мысовских И.П. Лекции по методам вычислений. — М.: Физматгиз, 1962.

48. Огнева В.А., Чернышенко В.М. Об одном итерационном процессе с последовательной аппроксимацией обратного оператора // Метем, заметки.1980. Т. 28, №5. — С. 785-790.

49. ОртегаДж., Рейнболдт В. Итерационные методы решения нелинейных систем уравнений со многими неизвестными. — М.: Мир, 1975.

50. Островский A.M. Решение уравнений и систем уравнений. — М.: ИЛ, 1963.

51. Петров М.Ю. О полюсном методе Ньютона // Материалы Международ. конф. студ. и асп. по фунд. наукам «Ломоносов». Выпуск 4. — М.: Изд-во МГУ, 2000. — С. 163. •

52. Петров М.Ю. Обобщение полюсного метода Ньютона на случай систем нелинейных уравнений // Материалы Международ, конф. студ. и асп. по фунд. наукам «Ломоносов 2001»: Секция «Выч. матем. и кибер.». — М.: Изд. отдел фак-та ВМиК МГУ, 2001. — С. 15.

53. Петров М.Ю. О решении нелинейных уравнений полюсным методом Ньютона // Известия института матем. и информ. Ижевск: Изд-во УдГУ, 2002. — С. 69-72.

54. Петров М.Ю. О сходимости полюсного метода Ньютона в банаховых пространствах // Информационные технологии в инновационных проектах: Тр. IV Междунар. науч.-технич. конф. (Ижевск, 29-30 мая, 2003 г.).

55. В 4 ч. — Ч. 2. — Ижевск: Изд-во ИжГТУ, 2003. — С. 60-61.

56. Петров М.Ю. О достаточных условиях квадратичной сходимости полюсного метода Ньютона в банаховых пространствах // Алгоритмический анализ неустойчивых задач: Тез. докл. Всерос. конф., 2-6 февр. 2004 — Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2004. — С. 57-58.

57. Пирумов У.Г. Численные методы. 2-е изд. — М.: Дрофа, 2003.

58. Приближенное решение операторных уравнений / Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко П.И и др. — М.: Наука, 1969.

59. Пугачев B.C. Лекции по функциональному анализу. — М.: Изд-во МАИ, 1996.

60. Роозе А., Кулла В. Комплект тестовых систем нелинейных уравнений // В сб. «Численные методы и оптимизация». Таллин: Валгус, 1988. — С. 181-188.

61. Рычина Н.А. О допустимых зонах положения полюсов в полюсным методе секущих // Известия института матем. и информ. Ижевск: Изд-во УдГУ, 2002. —С. 91-92.

62. Раковщик JI.C. О методе Ньютона-Канторовича // Журн. вычислит, математики и мат. физики. — 1968. Т. 8. №6. — С. 1208-1217.

63. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. — М.: Наука, 1989.

64. Сергеев А.С. О методе хорд // Сиб. метем, журн. — 1961. Т. 2, №2. — С. 282-289.

65. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. — М.: Мир, 1985.

66. Тронель Ж. О некоторых модификациях метода Ньютона-Канторовича // Автоматика и телемеханика. — 1997. №10. — С. 27-33.

67. Турчак Л.И., Плотников ИВ. Основы численных методов. 2-е изд. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2002.

68. Талдыкин А.Т. Элементы прикладного функционального анализа. — М.: Высш. шк., 1982.

69. Треногин В.А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980.

70. Ульм С.Ю. Об итерационных методах с последовательной аппроксимацией обратного оператора // Изв. АН ЭССР, сер. физ.-мат. наук. — 1967. Т. 16, №4. — С. 403-411.

71. Шафиев Р.А. О некоторых итерационных процессах // Журн. вычислит, математики и мат. физики. — 1964. Т. 4. №1. — С. 139-143.

72. Якунин В. Ф. Об одном методе решения систем нелинейных уравнений // Приближ. методы решения операт. уравн.: Межвуз. сб. науч. тр. / Иркутский гос. пед. институт; Волокитин С.С. (отв. ред. редкол.) и др. — Иркутск, 1992. —С. 11-17.

73. Eapmiiu М.Я. Методи типу Ньютона для розв'язування нелшшних опе-раторних р1внянь i задач на екстремум: Автореферат дисертаци на здо-буття науково ступеня доктора ф1зико-математичних наук. — Кшв, 2003. — 34 с. • :

74. Abbasbandy S. Improving Newton-Raphson method for nonlinear equations by modified Adomian decomposition method // Applied Mathematics and Computation. — 2003. Vol. 145. — P. 887-893.

75. Amat S.,Busquiez S. On a higher order Secant method // Applied Mathematics and Computation. — 2003. Vol. 141. — P. 321-329.

76. Amat S.,Busquiez S., Gutierrez J.M. Geometric constructions of iterative functions to solve nonlinear equations // Journal of Computational and Applied Mathematics. —2003. Vol. 157. —P. 197-205.

77. Amann Herbert. Uber die naherungsweise Losung nichtlinearer Integral-gleichungen // Numer. Math. — 1972. Vol. 19. — P. 29-45.

78. Argyros I.K. An improved error analysis for Newton-like methods under generalized conditions // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2003. Vol. 157. —P. 169-185.

79. Argyros I.K. Results on Newton Methods, Part 1 // Applied Mathematics and Computation. — 1996. Vol. 74. — P. 119-141.

80. Argyros I.K. Results on Newton Methods, Part 2 // Applied Mathematics and Computation. — 1996. Vol. 74. — P. 143-159.

81. Argyros I.K. Semilocal Convergence Theorems for Newton's Method Using Outer Inverses and Hypotheses on the Second Freshet-Derivative // Manatsh. Math. —2001. Vol. 132. —P. 183-195.

82. Argyros I.K. Sufficient conditions for constructing methods faster than Newton's // Applied Mathematics and Computation. — 1998. Vol. 93. №2-3. — P. 169-181.

83. Argyros I. К. New unifying convergence criteria for Newton-like methods // Applicationes Mathematicae. — 2002. Vol. 29. №3. — P. 359-369.

84. Argyros I.K. On a theorem of L.V. Kantorovich concerning Newton's method // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2003. Vol. 155. №2. — P. 223-230.

85. Argyros I.K., Chen D., Qian Q. An inverse-free Jarratt-type approximation in Banach space // J. Appr. Th. Appl. — 1996. Vol. 12. №1. — p. 19-30.

86. Bodewig E. On types of convergence and on the behavior of approximation in the neighborhood of a multiple root of a equation // Quart. Appl. Math. — 1949. Vol. 7. №3. — P. 325-333.

87. Ben-Israel A. A Newton-Raphson method for the solution of system of equation // J. Math. Anal. Appl. — 1966. Vol. 15. — P. 243-252.

88. Brezinski C. Convergence acceleration during the 20th century // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2000. Vol. 122. — P. 1-21.

89. Dembo R.S., Eisenstat S.C., Steihaug T. Inexact Newton methods // SIAM j. Numer. Anal. — 1982. Vol. 19. №2. — P. 400-408.

90. Diaconu A. Sur quelques methodes iteratives: combinees // Mathematica (RSR). — 1980. Vol. 22 (45), №2. — P. 247-261.

91. Diaconu A.,Pavaloiu /. Asupra methode iterative pentru resolvarea equatiilor operational nelineare // Rev. anal, numer. §i tear, aproxim. — 1973. Vol. 2. №1. —P. 61-79.

92. Frontini M., Sormani E. Some variant of Newton's method with third-order convergence // Applied Mathematics and Computation. — 2003. Vol. 140. №2-3. —P. 419-426.

93. Frontini M., Sormani E. Modified Newton's method with third-order convergence and multiple roots // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2003. Vol. 156. №2. — P. 345-354.

94. Galantai A. The theory of Newton's method // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 2000. Vol. 124. — P. 25-44.

95. Gao Yan. Newton's methods for solving two classes of nonsmooth equations // Applications of Mathematics. — 2001. Vol. 46. №3. — P. 215-229.

96. Gao Yan. Newton's methods for solving nonsmooth equations via a new sub-differential // Math. Meth. Oper. Res. — 2001. Vol. 54. — P. 239-257.

97. Gerlach Jtirgen. Accelerated convergence in Newton's method // SIAM Review. — 1994. Vol. 36. №2. — P. 272-276.

98. Guo Xue-Ping. Convergence and error estimates for the inverse-free deformation Newton iteration I I Journal of Zhejiang University (Science Edition).2001. Vol. 28. №4. — P. 377-383.

99. Gutierrez J.M. A new semilocal convergence theorem for Newton's method // Journal of Computational and Applied Mathematics. — 1997. Vol. 79. №1. — P. 131-145.

100. Gutierrez J.M., Hernandez M.A. An acceleration of Newton's method: Super-Halley method // Applied Mathematics and Computation. — 2001. Vol. 117.1. P. 223-239.

101. Hernandez M.A. The Newton method for operators with Holder continuous first derivative // Jornal of Optimization Theory and Applications. — 2001. Vol. 109. №3. — P. 631-648.

102. Hernandez M.A., Salanova M.A. A new third-order iterative process for solving nonlinear equations // Monatsh. Math. — 2001. Vol. 133. — P. 131-142.

103. Homeiez H.H.H. A modified Newton method for rootfinding with cubic convergence // Journal of Computational and Applied Mathematics. —2003. Vol. 157. —P. 227-230. :

104. Lopez S. An improvement of convergence in Newton's method // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 1997. Vol. 145. №3-4. — P. 323-327.

105. Mozer J. Stable and Random Motions in Dinamical Systems. — Princenton University Press, 1973.

106. Mozet I. Sharp error bounds for a Newton-Moser type method // Rend 1st. mat. Univ. Trieste. — 1984. Vol. 16. №1-2. — P. 129-137.

107. Perez R., Lopes V.L.R. Recent applications and numerical implementation of quasi-Newton methods for solving nonlinear systems of equations // Numerical Algorithms. — 2004. Vol. 35. — P. 261-285.

108. Petzeltova H. Remark on a Newton-Moser type method // Comment, math. Univ. Carolinae. — 1980. Vol. 21. №4. —P. 719-725.

109. Schulz G. Iterative Berechnung der reziproken Matrix // ZAMM. — 1933. Vol. 13. —P. 57-59.

110. Taji K., Miyamoto M. A globally convergent smoothing Newton method for nonsmooth equations and it's application to complementarity Problems // Computational Optimisation and Applications. — 2002. Vol. 22. — P. 81-101.

111. Weerakoon S.,Fernando T.G.I. A variant of Newton's method with accelerated third-order convergence // Applied Mathematics Letters. — 2000. Vol. 13. №8. —P. 87-93.

112. WuXin-Yuan. A new continuation Newton-like method and its deformation // Applied Mathematics and Computation. — 2000. Vol. 112. №1. — P. 75-78.

113. Wu Xinyuan, Wu Hongwei. On a class of quadratic convergence iteration formulae without derivatives // Applied Mathematics and Computation. — 2000. Vol. 107. №1, —p. 77-80.

114. Wu Xinyuan, Fu Dongsheng. New high-order convergence iteration methods without employing derivatives for solving nonlinear equations // Computers and Mathematics with Applications. — 2001. Vol. 41. — P. 489-495.

115. Wu Xinyuan, Wu Zhonglin. Iterative method of exponential descent with su-perlinear convergence // Gaodeng xuexiao jisuan shuxue xuebao=Numer. Math. J. Chinese Univ. — 2000. Vol. 22. №1. — P. 41-46.

116. Wu Xin-Yuan, Xia Jian-Lin, Shao Rong. Quadratically convergent multiple roots finding method without derivatives // Computers & Mathematics with Applications. — 2001. Vol. 42. №1-2. — P. 115-119.

117. Yamamoto T. Historical developments in convergence analysis for Newton's and Newton-like methods // Journal of Computational and Applied Mathematics.—2000. Vol. 124. №1-2. —P. 1-23.