Построение калибровочных полей на однородных римановых многообразиях и поляризация вакуума в поле Ааронова-Бома тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

27

На правах рукописи

КУРНЯВКО ОЛЕГ ЛЕОНИДОВИЧ

ПОСТРОЕНИЕ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ НА ОДНОРОДНЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА В ПОЛЕ ААРОНОВА-БОМА

Специальность 01 04 02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Омск - 2008

003446327

Работа выполнена в Омском филиале Института физики полупроводников СО РАН

Научный руководитель— д ф - м н , профессор Широков Игорь Викторович

Официальные оппоненты д ф - м н, профессор Гальцов Дмитрий Владимирович, д ф - м н, профессор Шаповалов Александр Васильевич

Ведущая организация

Томский государственный педагогический университет

Защита диссертации состоится 23 октября 2008 г в 14— часов на заседании диссертационного совета Д 212 267 07 в Томском государственном университете по адресу 634050, г Томск, пр Ленина 36, ТГУ

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Томского государственного университета

Автореферат разослан « & » сентября 2008 г Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью учреждения, просим в двух экземплярах присылать в адрес диссертационного совета

Ученый секретарь диссертационного

совета Д 212 267 07, д ф - м н , старший научный сотрудник

Ивонин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Последовательное и полное изучение свойств физических систем невозможно без построения точных решений дифференциальных уравнений, описывающих их свойства В связи с этим, в число наиболее актуальных задач теоретической физики входят задачи, связанные с построением моделей физических систем, допускающих точное интегрирование данных дифференциальных уравнений Применительно к квантовой теории поля традиционно большой интерес вызывает построение точных решений моделей квантовых полей с внешними калибровочными полями В частности, первым этапом решения задачи о поляризации вакуума классическим внешним полем является инте! рирование соответствующих полевых уравнений

Уравнения квантовой теории являются линейными дифференциальными уравнениями Точная интегрируемость данного класса дифференциальных уравнений, как правило, понимается в смысле возможности реализации схемы разделения переменных, что ограничивает класс точно интегрируемых систем моделями, уравнения которых, как минимум, допускают коммутативную группу симметрии Активно развивающийся в последнее время метод некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений позволяет рассматривать наиболее общий случай интегрируемых систем — модели, допускающие некоммутативную группу симметрий В настоящей диссертационной работе рассматривается задача построения моделей квантовых полей с внешними калибровочными полями, интегрируемых в некоммутативном смысле

Модели квантовых полей (скалярного и спинорного) в классическом внешнем поле Ааронова-Бома, с одной стороны, представляют интерес как случаи точного интегрируемых моделей, а с другой — как физические ситуации, выявляющие специфическую роль электромагнитных потенциалов в квантовой теории Наличие точных решений позволяет в полной мере исследовать явления, связанные с наличием поля Ааронова-Бома, в частности эффект поляризации вакуума квантовых полей, что является еще одной задачей, рассмотренной в данной работе

Цели и задачи работы. Целью настоящей работы является раз-

работка метода построения внешних (неабелевых в общем случае) калибровочных полей, наличие которых допускает в качестве группы симметрии соответствующего уравнения скалярного поля группу движений данного пространства и исследование эффекта поляризации вакуума в присутствии внешнего поля Ааронова-Бома В работе были поставлены следующие задачи

1 Разработать метод построения инвариантных матричных дифференциальных операторов второго порядка на однородных многообразиях

2 Построить метод нахождения калибровочных полей (неабелевых в общем случае), сохраняющих в качестве группы симметрии уравнений скалярного поля группу движений данного риманова многообразия

3 Найти все калибровочные поля на четырехмерных римановых пространствах с пятимерной группой движений, которая является группой симметрии уравнений скалярного поля

4 Исследовать возможность интегрирования полевых уравнений с данными калибровочными полями

5 Построить аналитические выражения для компонент перенормированного вакуумного тензора энергии-импульса скалярного и спинор-ного полей во внешнем поле Ааронова-Бома

6 Исследовать зависимость данных компонент от расстояния и магнитного потока в соленоиде, порождающем поле Ааронова-Бома

Научная новизна

1 Разработан метод построения инвариантных матричных дифференциальных операторов второго порядка на однородных многообразиях, сводящий данную задачу к решению некоторой системы линейных алгебраических уравнений

2 Предложен метод нахождения неабелевых калибровочных полей, сохраняющих в качестве группы симметрии уравнений скалярного поля группу движений данного риманова многообразия

3 Построена классификация калибровочных полей на четырехмерных римановых пространствах с иятимерной группой движений, которая является группой симметрии уравнений скалярного поля

4 Показано, что все найденные калибровочные поля удовлетворяют условию интегрируемости соответствующих полевых уравнений

5 Построены аналитические выражения для компонент перенормированного вакуумного тензора энергии-импульса скалярного и спинор-пого полей во внешнем поле Ааронова-Бома

6 Исследована зависимость данных компонент от расстояния и магнитного потока в соленоиде, порождающем поле Ааронова-Бома

Апробация работы. Основные положения диссертации и ее результаты докладывались и обсуждались в рамках Международного семинара "Классические и квантовые интегрируемые системы", (Протвино, 2008), на научных семинарах физического факультета Омского государственного университета им Ф М Достоевского и Омского филиала Института физики полупроводников

Публикации работы Основные положения и результаты диссертации опубликованы в 5 работах

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, шести приложений, списка использованной литературы из 83 наименований Материал диссертации изложен на 104 страницах машинописного текста

Личный вклад автора. Во всех работах, выполненных в соавторстве автор принимал активное участие Все наиболее важные результаты диссертации, перечисленные в заключении, получены лично автором

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сформулированы актуальность работы, ее научная новизна, сделан обзор литературы по теме Изложены содержание и структура работы, основные положения диссертации, выносимые на защиту

Первая глава носит обзорный характер, в ней изложены основные сведения из теории алгебр и групп Ли, однородных пространств и теории некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений, а также такие понятия, как поляризация вакуума и поле Ааронова-Бома, которые будут необходимы для решения задач, поставленных в настоящей работе

В первом параграфе приведены основные положения теории алгебр и групп Ли и теории однородных пространств В частности, сформулированы основные теоремы о gl(^-продолжениях векторных полей на группах Ли и однородных пространствах

Первая из них утверждает, что всякое д[(У)-продолжение векторного поля на произвольной группе Ли тривиально, т е эквивалентно нулевому продолжению данного векторного поля

Вторая теорема содержит утверждение о том, что пространство всех нетривиальных д[(У)-продолжений генераторов X действия группы Ли G на однородном пространстве М = G/H изоморфно пространсгву множеству представлений подалгебры изотропии Н, являющейся алгеброй Ли группы Ли Н в пространстве V Над областями тривиализации расслоения G(M,H,n), где произвольный элемент группы д £ G можно представить в виде д = hs{x) (h £ Н, s(x) - гладкое сечение расслоения G), а его координаты {д,} распадаются на координаты слоя и базы {/i°, (а = 1, , dim М, а — dim 1, , dim Н), все нетривиальные продолжения представляются в виде

X, = Хг+С(ен,х)Ла,

где Аа 6 0t(^) образуют базис представления Н в V, a, £l (h, х) - компоненты левоинвариантных векторных полей на группе Ли G, г, j = 1, , dimG

Во втором параграфе сформулирован критерий некоммутативной интегрируемости линейных дифференциальных уравнений, согласно ко-

торому линейное дифференциальное уравнение вида

Н(г,дг)Ф) = 0, гб^СЁ", ф) е

на однородном пространстве М = С/Н с N независимыми переменными, допускающее группу Ли й симметрии, редуцируется к линейному дифференциальному уравнению с № независимыми переменными

И' = М-<1т М + с1{М),

где

й(М) = -йт н/пх

Здесь х - локальные координаты на однородном пространстве М, Н — алгебра Ли подгруппы изотропии Я, А — элемент общего положения пространства Н1 = {/ £ 0* | (/, Н) = 0} С О*, 0Х — аннулятор ковектора А б Н1, Нх = 0х Г)Н

Третий параграф посвящен явлению поляризации вакуума Кратко изложены история возникновения понятия физического вакуума и явления его поляризации Описаны некоторые физические ситуации, приводящие к возникновению явления поляризации вакуума

В четвертом параграфе излагается понятие о поле Ааронова-Бома, приведены некоторые его основные свойства

Во второй главе рассматривается вопрос о построении калибровочных полей на римановых многообразиях с транзитивной группой движений, наличие которых сохраняет в качестве группы симметрии уравнения скалярного поля, группу движений данного пространства

Первый параграф содержит строгую постановку задачи о нахождении калибровочных полей, сохраняющих в качестве группы симметрии уравнения

(Н + т2)ф{х) = 0, (1)

где

я = 5о6да7а + А)(У6 + А) (2)

на римановом многообразии М транзитивную группу движений (3 данного многообразия Здесь ■ф(х) - скалярная полевая (в общем случае

п-компонентная) функция, Д., - калибровочное поле, а Уа - ковариант-ная производная Условие инвариантности уравнения (1) относительно группы (? имеет вид

[яД] = о, (3)

где

[ХиХ}] = С*Хк, X, = X, + Хг(х) (4)

Система уравнений (3) приводит к системе

Уо(Х1б) + Уб(Хш)-0, (5)

Е^Лхг) + ёасУс(хг*)А - ШаЬХУс(Ла) + ЕаЬ[Л, X.] = 0, (6) gа6vйv6(xí) - 8аЬхХс(Л) - Л^с(ЛЛ) + 2gaг>V6Ы А+

Ч^ДА), X.] + ¡5°Н А, X.] = 0, (7)

где Хт = Таким образом, задача о построении калибровочных

полей, обладающих искомыми свойствами, состоит в решении данной системы

Очевидно, что непосредственное интегрирование данной системы является весьма трудной задачей, тем не менее, как будет показано в дальнейшем, существует возможносгь свести интегрирование системы (5)-(7) к решению некоторой алгебраической системы

Второй параграф посвящен решению задачи о построении скалярного инвариантного дифференциального оператора второго порядка Каждой функции на однородном правом С-пространстве М однозначно соответствует функция на С из пространства 3-, определяемого следующим образом

Т = {ф € | ф{кд) = ф{д), д е С, Л е Я},

где Я - подгруппа изотропии некоторой точки хо 6 М, тогда каждому оператору на М соответствует оператор на С из пространства Ь{Т), линейных операторов, действующих на Т В частности, дифференциальному оператору на М, инвариантному относительно действия С на М, соответствует оператор на б, инвариантный относительно действия

группы G на самой себе правыми сдвигами Дифференциальный оператор второго порядка, инвариантный относительно правых сдвигов есть квадратичная комбинация правойнвариантных векторных полей на G Вследствие этого всякий скалярный линейный дифференциальный оператор второго порядка Rm, действующий в пространстве С°°(М) на однородном правом (7-пространстве М, инвариантный относительно действия группы G, имеет вид

RM={Bobr,aVb + Bar]a) |я (8)

где т]а - правоинвариантные векторные поля на G и а, b = 1, , dim М, причем ВаЬ и В" удовлетворяют системе линейных алгебраических уравнений

ВаЬСсаа + ВасСьаа = 0, (9)

BabCVaCc0b + BaCcaa = 0 (10)

Всякое правое однородное G-пространство М является римановым многообразием с группой движений G тогда и только тогда, когда существует решение системы (9), (10), при этом инвариантная метрика данного риманова пространства имеет вид

gab(x) = B^h, х) Vbd(h, х), a, b, с, d = 1, , dim M,

1де rjjlhjx) - компоненты правоинвариантных векторных полей на G относительно специального базиса

{е,} — {еа, еа}, г = 1, , dimC/, a = 1, , dimAi, a = 1, , dim#, (11)

где {eQ} - базис алгебры Ли TL группы Ли Я, {еа} - базис пространства V, такого, что алгебра Ли Q группы Ли G имеет вид Q = H + V, V ~

тХом

В третьем параграфе изложен метод построения матричных инвариантных операторов второго порядка Введем на группе G пространство функций ¡F, определяемое следующим образом

Т = {ф{д) е C°°(G, V)\ <f>(hg) = и(к)ф(д)},

где U{h) - некоторое представление подгруппы изотропии Н, &V некоторое линейное пространство По аналогии со случаем построения скалярного оператора введем пространство L{!F) операторов, действующих на

Т Тогда матричному инвариантному оператору на М однозначно соответствует оператор из инвариантный относительно правых сдвигов Таким образом, всякий матричный линейный дифференциальный оператор второго порядка Д, действующий в пространстве С°°(М, V) на однородном правом (З-пространстве М, инвариантный относительно действия группы б, имеет вид

Ем = и-\к) (ВаЬт]аГ)ъ + ват}а + В) ЩИ) у, (12)

причем ВаЪ, Ва и В удовлетворяют системе матричных линейных алгебраических уравнений

ВаЬСсаа + ВасСьаа = 0, (13)

Ва,'С^ь - 2В"СС1М + ВаС1а + \в\ Л«1 = 0, (14) - (в°ьСЦаС]ь + Васг) л7 + [В, Ла] = 0 (15)

Здесь В4 - некоторые действительные постоянные, В1 и В - действительные матрицы, а Ла - 1енератор представления алгебры Н

Четвертый параграф посвящен собственно решению задачи нахождения калибровочных полей, обладающих искомыми свойствами Показано, что уравнение Клейна-Гордона (1) на римановом многообразии с метрикой gaí' и некоторой группой движений допускает калибровочное поле Ла, сохраняющее в качестве группы симметрии данного уравнения группу движений данного пространства, т е выполняются условия (3) и (4) тогда и только тогда, когда существует решение системы линейных алгебраических уравнений (13)-(15) при заданных структурных константах алгебры Ли б в специальном базисе (11) Причем Хг, инвариантная метрика &аЬ{х) и калибровочное поле Аа определяются выражениями

X. = 4а(ея,*)Ла, (16)

= В^ЧЧ (17)

Л = ЕЛ + ({В^М4) + Вс4) |,=0 - , (18)

где ея ~ единица группы Я, являющейся подгруппой изотропии группы б, ВаЬ, В" к В - величины, удовлетворяющие системе (13)-(15), ££(Л,х) и

r]%(h,x) - компоненты лево- и правоинвариантцых полей соответственно, а g = det gab

В пятом параграфе обсуждается классификация римановых пространств и калибровочных полей, допускающих в качестве группы симметрии уравнения Клейн-Гордона группу движений данного пространства для случая четырехмерных пространств с пятимерными группами движения Показано, что все найденные калибровочные поля удовлетворяют условию интегрируемости соответствующих полевых уравнений

Третья глава посвящена вопросу о поляризации вакуума заряженным скалярным и спинорным полями

В первом параграфе получено общее выражение для вакуумного тензора момента-импульса заряженного скалярного поля

Во втором параграфе найдено общее выражение для вакуумного тензора момента-импульса спинорного поля

В третьем параграфе рассматривается вопрос о перенормировке тензора энергии-импульса заряженного скалярного и спинорного полей Полученные выражения для компонент тензора энергии-импульса содержат расходимости Для их устранения в квантовой теории применяется программа перенормировок В данном случае она может быть реализована с помощью вычитательных процедур, которые состоят в том, что из данного бесконечного выражения вычитается некоторое другое бесконечное выражение Последнее подбирается так, чтобы, во-первых, полученная разность была конечной, а, во-вторых, чтобы данную операцию можно было интерпретировать в терминах перенормировок тех или иных физических констант Технически для того, чтобы иметь возможность осуществлять указанные операции с бесконечными выражениями, необходимо предварительно их регуляризовать, т е временно сделать их конечными После того, как все необходимые операции проделаны, регуляризацию надо снять В данном случае перенормированный тензор энергии импульса определяется следующим образом

г;/» = <0|l£n|0> = 1ш [<0|ГЧ|0)Е - (0м\Тч\0м)е] , (19)

здесь е - параметр регуляризации (при s — 0 регуляризация снимается), (0д/|, |0м) - вакуумное состояние в пространстве с топологией Минков-ского (в нашем случае ему соответствует отсутствие внешнего поля, т е

/3 = 0, где /3 = Ф — [Ф] - дробная часть потока магнитного поля)

В параграфах четыре и пять приведены асимптотические выражения для ненулевых компонент вакуумного тензора энергии-импульса При г -у оо для компонент Год", Т[f", Т33" скалярного поля имеем

_ [(4m2r2 + 2тпг 4- l)sh(2ror) - (m2r2 + 2mr + 1) ch(2mr)| sm(?r/?) 5o ~ 32/T2r4

1 sin (7Г/?) e~2mT (l6rnr + 11 — 16/? -f 16/?2) /m\ V2 Til = : 1 — 1

512 7Г5/2Г4 V r /

_ _1_ 251П (тг/3) е-2""- (16шг + 31 - 16/? + 16р2) /тп\ 5/2 22 ~ 512 тг5/2г3т \г) '

_ 1 пг25т (к (3) /р(2 тг) 33 ~ 4 тг2г2

Здесь /0(2) - модифицированная функция Бесселя второго рода нулевого порядка

При тг —> 0 для компонент Тодп, Тц", Т2Г|П, Т33'1 скалярного поля имеем

тгеп_ 1 (-! + /?)/? (4 + ЗтУ-/? + /32)

00 ~~ 24 '

1 (-1+/?)/?(Зт2г2 + (-2 + /?)(1 + /?))

1 п — ■

24 тг2г4

гртеп _ 1 ( — 1 + Р) Р (Зш2Г2 + (—2 + /?)(1 +0)) 122 ~ 24 тг2г4

_ 2. (—1 + /3) /3 (4 + 3 т2г2 — Р + Р2)

133 ~ 24 7г2Г4

При г —► оо для компонент Гдо", ГЦ" спинорного поля имеем

(1 + 2тг)е~2тпг / дч ^ (1+2тг)в-2'»г

При тг —+ 0 для компонент Тоо", Т-у" спинорного поля имеем

т,еп_ /?(/?-1)(Зт2г2 + (/3-2)(/3+1))

00 ~ Ш2? '

Т-» - 1)(ЗтУ + (/3-2)(/?+1))

33 ~~ 24тг2г4

Параграф шесть содержит обсуждение полученных соотношений, из которых следует, что значения компонент ТЭИ, как скалярного так и спинорного полей, зависят только от дробной части магнитного потока (3 и при фиксированном расстоянии принимает максимальное по модулю значение при ¡3 — 1/2 В окрестности нуля модуль данных компонент меняется согласно закону г4, а при больших расстояниях - убывает экспоненциально Важно заметить, что плотность вакуумной энергии (компонента Тоо") скалярного и спинорного полей всюду отрицательна Отрицательность плотности вакуумной энергии означает нарушение условия энергодоминантности Отметим, что нарушение условия энергодоминантности играет важную роль в квантовой космологии, поскольку в этом случае не выполняются условия теоремы Хокинга-Пенроуза (о неизбежности сингулярностей в общей теории относительности)

ПОЛОЖЕНИЯ ДИССЕРТАЦИИ, ВЫНОСИМЫЕ НА ЗАЩИТУ

1 Предложен метод построения инвариантных матричных дифференциальных операторов второго порядка на однородных многообразиях

2 Предложен метод построения калибровочных полей (неабелевых в общем случае), сохраняющих в качестве группы симметрии уравнений скалярного поля группу движений данного риманова многообразия

3 Построена классификация калибровочных полей на четырехмерных римановых пространствах с пятимерной группой движений, которая является группой симметрии полевых уравнений скалярного поля Показано, что все найденные калибровочные поля удовлетворяют условию интегрируемости соответствующих полевых уравнений

4 Построены аналитические выражения для компонент перенормированного вакуумного тензора энергии-импульса скалярного и спинорного полей во внешнем поле Ааронова-Бома Исследована зависи-

мость данных компонент от расстояния и магнитного потока поля Ааронова-Бома

Основные положения диссертации были опубликованы в работах

1 Курнявко О JI, Широков И В , Юревич 10 А Поляризация вакуума в поле Ааронова-Бома // Математические структуры и моделирование -2004 -Т 13 - С 103-113

2 Курнявко О JT , Широков И В , Юревич Ю А Поляризация вакуума квантовых полей во внешнем поле Ааронова-Бома I // Известия вузов Физика - 200G - Т 49, № 2 - С 26-34

3 Курнявко О J1 , Широков И В , Юревич Ю А Поляризация вакуума квантовых полей во внешнем поле Ааронова-Бома II // Известия вузов Физика - 2006 - Т 49, № 4 - С 3-8

4 Курнявко О Л Калибровочные поля на однородных римановых многообразиях // Сборник НГАВТ- 2008- С 231-238

5 Курнявко О Л , Широков И В Построение инвариантных волновых уравнений скалярных частиц на римановых многообразиях с внешними калибровочными полями // ТМФ - 2008 - Т 156, № 2 -С 250-264

КУРНЯВКО ОЛЕГ ЛЕОНИДОВИЧ

ПОСТРОЕНИЕ КАЛИБРОВОЧНЫХ ПОЛЕЙ НА ОДНОРОДНЫХ РИМАНОВЫХ МНОГООБРАЗИЯХ И ПОЛЯРИЗАЦИЯ ВАКУУМА В ПОЛЕ

ААРОНОВА-БОМА

Специальность 01 04 02 — теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Принято в печать 17 07 2008 Формат 60x84 1/16 Тираж 100

Печ листов 1 0 Уч листов 1 0 Заказ Л« 239

Издательство ОмГУ им Ф М Достоевского 644077, Омск, tip Мира 55а

Введение

1 Интегрирование уравнений квантовой теории поля и вакуумные квантовые эффекты

§1 Некоторые сведения из теории алгебр и групп Ли и однородных пространств.

1.1 Алгебры Ли

1.2 Группы Ли.

1.3 Группы Ли преобразований.

1.4 Продолжения векторных полей на однородных пространствах

§2 Критерий некоммутативной интегрируемости дифференциальных уравнений.

§3 Поляризация вакуума.

§4 Поле Ааронова-Бома.

2 Построение калибровочных полей на однородных римано-вых многообразиях

§1 Постановка задачи.

§2 Построение скалярного инвариантного дифференциального оператора.

§3 Построение матричного инвариантного дифференциального оператора.

§4 Построение калибровочных полей.

§5 Обсуждение результатов.

3 Поляризация вакуума квантовых полей во внешнем поле Ааронова-Бома

§1 Тензор энергии-импульса заряженного скалярного поля

§2 Тензор энергии-импульса спинорного поля.

§3 Перенормировка тензора энергии-импульса заряженного скалярного и спинорного полей.

§4 Асимптотические выражения для тензора энергииимпульса скалярного поля

§5 Асимптотические выражения для тензора энергииимпульса спинорного поля.

§6 Обсуждение результатов

1. Одной из актуальных задач теоретической и математической физики является точное интегрирование дифференциальных уравнений, описывающих динамические свойства физических систем. Наличие точных решений дает возможность наиболее полного и всестороннего изучения рассматриваемой физической модели, что, как правило, невозможно при использовании приближенных методов, таких как теория возмущений например. В связи с этим особое значение приобретают так называемые классификационные задачи — построение всех возможных точных решений в рассматриваемой физической модели. Применительно к квантовой теории поля наибольший интерес вызывает построение точных решений моделей квантовых полей с внешними калибровочными полями. Актуальность этого направления обусловлена многочисленными приложениями в области физики элементарных частиц и астрофизики, например [1, 2, 3], и, конечно же, попытками построения квантовой теории гравитации.

Одним из наиболее интересных квантовых эффектов в классическом внешнем поле является рождение пар частиц и античастиц из вакуума, что самым непосредственным образом связано с явлением поляризации вакуума. Первым этапом в решении задачи о поляризации вакуума классическим внешним полем является интегрирование соответствующих полевых уравнений.

2. Основным инструментом точного интегрирования линейных дифференциальных уравнений до последнего времени был метод разделения переменных. Его реализация требует знания коммутативной группы симметрий данного дифференциального уравнения (если таковая существует в данном случае), а также дополнительных условий интегрируемости. Изучению данного вопроса посвящены многочисленные исследования, например [4, 5, б, 7, 8]. Этот метод развивался продолжительное время, но теоремы о необходимых и достаточных условиях его применимости в скалярных уравнениях второго порядка непараболического и параболического типа были получены сравнительно недавно в работах [9, 10, 11, 12, 13]. На основе данных теорем была проведена систематизация практически всех известных точных решений уравнений квантовой механики с внешними полями, а также были найдены обширные классы новых полей и соответствующих точных решений, большая часть которых приведена в [14] и [15].

С появлением перечисленных выше работ исследование метода разделения переменных можно считать в известной степени законченными. Это явилось определенным стимулом к появлению работ, посвященных проблеме точного интегрирования, выходящих за рамки метода разделения переменных. Одним из направлений развития теории является использование некоммутативных симметрий дифференциальных уравнений. Эту возможность впервые, по-видимому, рассматривал Э. Картан [16]. Начало современному подходу было положено в работе С. Смейла [17]. Впоследствии идеи некоммутативного интегрирования для гамильтоновых систем были развиты в работах А.С. Мищенко и А.Т. Фоменко [18, 19]. В работе А.В. Шаповалова и И.В. Широкова [20] был предложен метод интегрирования линейных дифференциальных уравнений, допускающих некоммутативную группу сим-метрий, который является квантовым аналогом метода некоммутативного интегрирования конечномерных гамильтоновых систем. Последующее развитие данного метода связано с появлением цикла работ [21, 22, 23, 24, 25]. Данный метод дает возможность расширить классификацию полей, допускающих существование точных решений уравнений квантовой механики и квантовой теории поля, включив в нее внешние поля, наличие которых позволяет рассматривать уравнения, интегрируемые в некоммутативном смысле. В настоящей диссертационной работе предлагается метод нахождения внешних (неабелевых в общем случае) полей, наличие которых допускает в качестве группы симметрии уравнения скалярного поля во внешнем калибровочном поле группу движений данного пространства, что, в свою очередь, дает возможность применения метода некоммутативного интегрирования. Рассмотренные в работе конструкции позволяют свести решение задачи о построений калибровочных полей к решению некоторой системы алгебраических уравнений.

Отметим также, что наряду с квантовополевыми системами активно исследуются аналогичные классические системы, о чем свидетельствует достаточно большое количество работ по данной тематике, например [26, 27, 28].

3. Модели квантовых полей (скалярного и спинорного) в классическом внешнем поле Ааронова-Бома [29, 30], с одной стороны, представляют интерес как случаи точного интегрируемых моделей, а с другой — как физические ситуации, выявляющие специфическую роль электромагнитных потенциалов в квантовой теории. Специфика явлений, связанных с полем Ааронова-Бома, заключается в том, что напряженности электрического и магнитного полей в области доступной для частиц имеют нулевые значения, тогда как их потенциалы отличны от нуля и не могут быть глобально обращены в нуль калибровочными преобразованиями (данная ситуация возможна в силу неодносвязности пространства), что ведет к смещению фазы волновой функции и, как следствие, возникновению различных физических эффектов.

В данной диссертации рассматривается еще один аспект, связанный с эффектом Ааронова-Бома, а именно возникновение эффекта поляризации вакуума. Под вакуумными эффектами понимается существование ненулевых средних операторов наблюдаемых физических величин в вакуумном состоянии. Природа вакуумных эффектов обусловлена воздействием внешних полей или нетривиальностью топологии пространства, т.е. либо его неодносвязностью, либо наличием у него границы [31]. Описанная ситуация характерна и для эффекта Ааронова-Бома. Следует отметить, что поляризация вакуума для скалярных частиц в классическом поле Ааронова-Бома рассматривалась в работе [32], в которой были получены асимптотические выражения для вакуумной плотности энергии скалярного поля и аналитическое выражение для специального случая поля Ааронова-Бома. Теми же авторами в работе [33] рассмотрена задача вычисления вакуумных тока и момента импульса для безмассового спинорного поля. В настоящей диссертации получен в аналитическом виде вакуумный тензор энергии-импульса заряженного скалярного и спинорного полей в классическом поле Ааронова-Бома и исследованы его свойства. Приведены асимптотические выражения для компонент тензора энергии-импульса массивного скалярного и спинорного полей.

4. Диссертация объемом 104 страниц печатного текста состоит из введения, трех глав, заключения, шести приложений и списка литературы из 83 наименований.

1. Rodionov V. N. Effects of vacuum polarization in strong magnetic fields with an allowance made for the anomalous magnetic moments of particles // arXiv: hep-th/0403282vl.

2. Spirielly J., Bezerra de Mello E. R. Vacuum polarization by a magnetic flux tube at finite temperature in the cosmic string spacetime // arXiv: 0704.1990v2 hep-th].

3. Matyjasek M. Vacuum polarization of massive spinor and vector fields in the spacetime of a nonlinear black hole // arXiv: 0802.4065vl hep-th].

4. Овсянников Jl. В. Лекции по теории групповых свойств дифференциальных уравнений. — Новосибирск: Новосиб. гос. ун-т, 1966,- 132 с.

5. Овсянников Л. В. Групповой анализ дифференциальных уравнений . М.: Наука, 1978. - 399 с.

6. Владимиров С. А. Группы симметрии дифференциальных уравнений и релятивистские поля. — М.: Атомиздат, 1979. — 168 с.

7. Шаповалов В. Н. Симметрии дифференциальных уравнений // Известия вузов. Физика. — 1977. — № 6. — С. 57-70.

8. Миллер У. Симметрия и разделение переменных / Под ред. К. И. Бабенко. 2-е изд. - М.: Мир, 1981. - 342 с.

9. Шаповалов В. И. Симметрия и разделение переменных в ЛДУ второго порядка // Известия вузов. Физика. — 1978,— № 5.— С. 116-132.

10. Шаповалов В. И. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1980. - Т. XVI, № 10. - С. 1864-1874.

11. Шаповалов В. И., Экле Г. Г. Полные наборы и интегрирование линейной системы первого порядка. 1 // Известия вузов. Физика. 1974. - № 2. - С. 83-88.

12. Шаповалов В. И., Экле Г. Г. Полные наборы и интегрирование линейной системы первого порядка. 2 // Известия вузов. Физика. 1974. - № 2. - С. 88-92.

13. Шаповалов В. И., Сухомлин И. Б. Разделение переменных в нестационарном уравнении шредингера // Известия вузов. Физика. 1974. - № 12. - С. 100-105.

14. Багров В. Г., Гитман Д. М. и др. Точные решения релятивистских волновых уравнений. — Новосибирск: Наука, 1982. — 142 с.

15. Bagrov V. G., Gitman D. M. Exact solutions of relativistic wave equations. — Dordecht, Boston, London: Klewer Academic Press, 1990.- 323 pp.

16. Картан Э. Интегральные инварианты. — M.-Jl.: Гостехиздат, 1940. 216 с.

17. Смейл С. Топология и механика // УМН. — 1972. — Т. 27, № 4. — С. 77-133.

18. Мищенко А. СФоменко А. Т. Обобщенный метод Лиувилля интегрирования гамильтоновых систем // Функц. анализ и его прилож. 1978. - Т. 12, № 2. - С. 46-56.

19. Мищенко А. СФоменко А. Т. Интегрирование гамильтоновых систем с некоммутативными симметриями // Труды семинара по векторному и тензорному анализу. — Т. XX. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1981,- С. 5-54.

20. Шаповалов А. В., Широков И. В. Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений // ТМФ. — 1995. — Т. 104, № 2,- С. 195-213.

21. Шаповалов А. В., Широков И. В. Метод некоммутативного интегрирования линейных дифференциальных уравнений. Функциональные алгебры и некоммутативная размерная редукция // ТМФ. 1996. - Т. 106, № 1. - С. 3-15.

22. Широков И. В. Координаты Дарбу на Л'-орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли // ТМФ. 2000. - Т. 123, № 3. -С. 407-423.

23. Широков И. В. Тождества и инвариантные операторы на однородных пространствах // ТМФ. 2001. - Т. 126, № 3. - С. 393-408.

24. Барановский С. П., Михеев В. В., Широков И. В. Квантовые гамильтоновы системы на К-орбитах. Квазиклассический спектр асимметрического волчка // ТМФ. — 2001. — Т. 129, № 1. — С. 313.

25. Магазев А. А., Широков И. В. Интегрирование геодезических потоков на однородных пространствах. Случай дикой группы Ли // ТМФ. 2003. - Т. 136, № 3. - С. 365-379.

26. Ефимов Д. И. Магнитный геодезический поток в однородном поле на комплексном проективном пространстве // Сиб. мат. журн. 2004. - Т. 45, № 3. - С. 565-576.

27. Ефимов Д. И. Магнитный геодезический поток на однородном симплектическом многообразии // Сиб. мат. журн. — 2005.— Т 46, № 1.- С. 106-118.

28. Bolsinov А. VJovanovic В. Magnetic geodesic flows coadjoint orbits // arXiv: math-ph/0602016 vl.

29. Aharonov Y., Bohm D. Significance of electromagnetic potentials in quantum theory // Phys. Rev. 1959. - Vol. 115. - Pp. 485-491.

30. Aharonov Y., Bohm D. Further Considerations on Electromagnetic Potentials in the Quantum Theory // Phys. Rev. — 1961.— Vol. 123. Pp. 1511-1524.

31. Гриб А. А., Мамаев С. Г., Мостепаненко В. М. Квантовые эффекты в интенсивных внешних полях (Методы и результаты, не связ. с теорией возмущений). — М.: Атомиздат, 1980. — 295 с.

32. Sitenko Y. A., Gorkavenko V. М. Induced vacuum energy-momentum tensor in the background of a d-2 brane in d+1 -dimensional space-time // arXiv: hep-th/0210099v3.

33. Sitenko Y. A. Polarization of the massless fermionic vacuum in the background of a singular magnetic vortex in 2+1-dimensional space-time ' // arXiv: hep-th/0009079vl.

34. Горбацевич В. В., Онищик А. Л. Группы Ли преобразований // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. (Итоги науки и техники. ВИНИТИ АН СССР). — Т. 20. — М.: ВИНИТИ, 1988,- С. 103-240.

35. Барановский С. П., Широков И. В. Продолжения векторных полей на группах Ли и однородных пространствах // ТМФ,— 2003. Т.132, № 1,- С. 70-81.

36. Dirac P. А. М. Discussion of the Infinite Distribution of Electrons in the Theory of the Positron // Proc. Cambr. Phil. Soc. — 1934. — T. 30.-C. 150-163.

37. Ахиезер А. И., Пелетминский С. В. Методы статистической физики. — М.: Наука, 1977. — 367 с.

38. Гриб А. А. Проблема неинвариантности вакуума в квантовой теории поля, — М.: Энергоатомиздат, 1978,— 127 с.

39. Курнявко О. Л., Широков И. В., Юревич Ю. А. Поляризация вакуума в.поле Ааронова-Бома // Математические структуры и моделирование. — 2004. — Т. 13. — С. 103-113.

40. Курнявко О. Л., Широков И. В., Юревич Ю. А. Поляризация вакуума квантовых полей во внешнем поле Ааронова-Бома. I // Известия вузов. Физика. — 2006. — Т. 49, № 2. — С. 26-34.

41. Курнявко О. Л., Широков И. В., Юревич Ю. А. Поляризация вакуума квантовых полей во внешнем поле Ааронова-Бома. II // Известия вузов. Физика. — 2006. — Т. 49, № 4. — С. 3-8:

42. Курнявко О. Л., Широков И. В. Калибровочные поля на однородных римановых многообразиях // Сборник НГАВТ. — 2008. — С. 231-238.

43. Курнявко О. Л., Широков И. В. Построение инвариантных волновых уравнений скалярных частиц на римановых многообразиях с внешними калибровочными полями // ТМФ. — 2008. — Т. 156, № 2. С. 237-249.

44. Широков И. В. К-орбиты, гармонический анализ на однородных пространствах и интегрирование дифференциальных уравнений. — Омск, 1998. — 100 с. — Препринт, ОмГУ.

45. Dirac P. А. М. The Quantum Theory of the Electron // Proc. Roy. Soc. Ser. A. 1928. - Vol. 117. - Pp. 610—624.

46. Ehrenberg W., Siday R. E. The refractive index in electron optics and the principles of dynamics // Proc. Phys. Soc. — 1949,— Vol. B62. Pp. 8-21.

47. Werner F. G., Brill D. R. Significance of electromagnetic potentials in the quantum theory in the interpretation of electron interferometer fringe observations // Phys. Rev. Lett. — 1960. — Vol. 4. — Pp. 344347.

48. Chambers R. G. Shift of an electron interference pattern by enclosed magnetic flux // Phys. Rev. Left. 1960. - Vol. 5. - Pp. 3-5.

49. Antiparallele WeiBsche Bereiche als Biprisma fur Elektroneninter-ferenzen / H. Boersch, H. Hamisch, D. Wohlleben, K. Grohman // Z. Phys. 1960. - Vol. 159, no. 4. - Pp. 397-404.

50. Любошиц В. Л., Смородинский Я. А. Эффект Ааронова-Бома на тороидальном соленоиде // ЖЭТФ. — 1978. — Т. 75, № 1. — С. 40-45.

51. Klein U. Comment on «condition for nonexistence of aharonov-bohm effect» // Phys. Rev., D. 1981. - Vol. 23, no. 6. - Pp. 1463-1465.

52. Lipkin H. J. Fringing fields and criticisms of the aharonov-bohm effect // Phys. Rev., D. 1981. - Vol. 23, no. 6. - Pp. 1466-1467.

53. Greenberger D. M. Reality and significance of the aharonov-bohm effect // Phys. Rev., D. 1981. - Vol. 23, no. 6. - Pp. 1460-1462.

54. Bocchieri P., Loinger A. Comments on the letter «on the aharonov-bohm effect» of boersch et al. // Lettere Al Nuovo Cimento Series 2. 1981. - Vol. 30, no. 15. - Pp. 449-450.

55. Rothe H. J. Comments on the theory of the aharonov-bohm effect // II Nuovo Cimento A. 1981. - Vol. 62, no. 1. - Pp. 54-67.

56. Tonomura A. et al. Observation of aharonov-bohm effect by electron holography // Phys. Rev. Lett. — 1982,— Vol. 48, no. 21.— Pp. 1443-1446.

57. Tonomura A. et al. // Proc. Int. Symp. on Foundations of Quantum Mechanics, Tokyo, 1983, edited by S. Kamefuchi et al. — Tokyo: Physical Society of Japan, 1984. P. 20.

58. Tonomura A. et al. Evidence for aharonov-bohm effect with magnetic field completely shielded from electron wave // Phys. Rev. Lett. — 1986. Vol. 56, no. 8. - Pp. 792-795.

59. Фейнберг E. JJ. Об «особой роли» электромагнитных потенциалов в квантовой механике // УФН. — 1962. — Т. 78, № 1. — С. 53.

60. Erlichsori H. Aharonov-Bohm Effect—Quantum Effects on Charged Particles in Field-Free Regions // American Journal of Physics. — 1970. Vol. 38, no. 2. - Pp. 162-173.

61. Вайнштейн А. И., Соколов В. В. Эффект ааронова-бома и принцип локальности в квантовой механики // Ядерная Физика. — 1975.-Т. 22, № З.-С. 618.

62. Серебряный Е. М., Скаржинский В. Д. Тормозное излучение в эффекте Ааронова-Бома // Физический Институт им. П. Н. Лебедева АН СССР. Краткие сообщения по физике. — 1988. — № 6. С. 45-46.

63. Гальцов Д. В., Воропаев С. А. Радиационные переходы Ааронова-Бома // Ядерная физика. 1990. - Т. 51, № 6. - С. 1811-1817.

64. Audretsht J. A., Jasper U., Skarzhinsky V. D. Bremsstrahlung of relativistic electrons in the Aharonov-Bohm potential // Phys. Rev. D. 1996. - Vol. 53, no. 4. - Pp. 2178-2189.

65. Skarzhinsky V. D., Audretsh J. A., Jasper U. Electron-positron pair production in the Aharonov-Bohm potential // Phys. Rev. D. — 1996. Vol. 53, no. 4. - Pp. 2190-2200.

66. Серебряный E. M., Скаржинский В. Д. Тормозное излучение при рассеянии Ааронова-Бома // Труды Физического института им. П. Н. Лебедева АН СССР. Т. 197,- М.: Наука, 1989,- С. 181185.

67. Wilczek F. Magnetic Flux, Angular Momentum, and Statistics // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol. 48, no. 17. - Pp. 1144-1146.

68. Wilczek F. Quantum Mechanics of Fractional-Spin Particles // Phys. Rev. Lett. 1982. - Vol. 49, no. 14. - Pp. 957-959.69. de Gerbert P. S. Fermions in an Aharonov-Bohm field and cosmic strings // Phys. Rev. D. 1989. - Vol. 40, no. 4. - Pp. 1346-1349.

69. Alford M. G., Wilczek F. Aharonov-Bohm interaction of cosmic strings with matter // Phys. Rev. Lett. — 1989. Vol. 62, no. 10. -Pp. 1071-1074.

70. Gomes M., Malbouisson J. M., da Silva A. J. Nonrelativistic Limit of the Scalar Chern-Simons Theory and the Aharonov-Bohm Scattering // Int. Journ. Mod. Phys. A. 1998. - Vol. 13, no. 18. -Pp. 3157-3180.

71. Gomes M., da Silva A. J. Nonrelativistic limit of the scattering of spin-(l/2) particles interacting with a Chern-Simons field // Phys. Rev. D. 1998. - Vol. 57, no. 6. - Pp. 3579-3584.

72. Boz M., Fainberg VPak N. K. Chern-Simons theory of scalar particles and the Aharonov-Bohm effect // Phys. Lett. A. — 1995. — Vol. 207, no. 1. Pp. 1-10.

73. Boz M., Fainberg V., Pak N. K. Aharonov-Bohm scattering in Chern-Simons theory of scalar particles // Annals of Phys. — 1996. T. 246, № 30. - C. 347-368.

74. Lewis R. R. Aharonov-Bohm effect for trapped ions // Phys. Rev. A. 1983. - Vol. 28, no. 3. - Pp. 1228-1236.

75. Серебряный E. M. Поляризация вакуума магнитным потоком: эффект Ааронова Бома // ТМФ. — 1985. — Т. 64, № 2. — С. 299311.

76. Багров В. Г., Гитман Д. М., Скаржинский В. Д. Эффект Ааронова-Бома для стационарных и когерентных состояний электрона в однородном магнитном поле // Труды Физического института им. П. Н. Лебедева АН СССР. — Т. 176,— М.: Наука, 1986.-С. 151-165.

77. Багров В. Г., Гитман Д. М., Тлячев В. Б. Точные решения релятивистских волновых уравнений для поля Ааронова-Бома в комбинации с другими полями // Труды физического общества республики Адыгея. — 2001. — № 6. — С. 11-40.

78. Bagrov V. G., Gitman D. М., Tlyachev V. В. Solutions of relativistic wave equations in superpositions of Aharonov-Bohm, magnetic, and electric fields // arXiv: hep-th/0201068vl.

79. Багров В. Г., Копытов Г. Ф., Тлячев В. Б. Релятивистский электрон в постоянном магнитном поле и эффект Ааронова-Бома // Труды Физического общества Республики Адыгея. — 1999. — № 4,- С. 6-33.

80. Петров А. 3. Пространства Эйнштейна,— М.: Физматлит, 1961.- 464 с.

81. Абрамовиц М. А., Стиган И. А. Справочник по специальным функциям с формулами, графиками и математическими таблицами. — М.: Мир, 1979. 832 с.

82. Прудников А. П., Брычков Ю. А., Маричев О. И. Интегралы и ряды. В 3 т. — 2-е, испр. изд. — М.: Физматлит, 2003,— Т. III. Специальные функции. Дополнительные главы. — 688 с.