Построение кратных стохастических интегралов с помощью рядов ортогональных случайных величин тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ХРУЩЕВ Сергей Евгеньевич

ПОСТРОЕНИЕ КРАТНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ

ИНТЕГРАЛОВ С ПОМОЩЬЮ РЯДОВ ОРТОГОНАЛЬНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ВЕЛИЧИН

Специальность 01.01.05 — теория вероятностей и математическая

статистика

11 АВГ 2015

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Новосибирск — 2015

005571338

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук.

Научный руководитель:

Борисов Игорь Семенович, доктор физико-математических наук, профессор.

Официальные оппоненты:

Насыров Фарит Сагитович, доктор физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Уфимский государственный авиационный технический университет», факультет ОНФ, кафедра математики, профессор;

Быстрое Александр Александрович, кандидат физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования «Новосибирский национальный исследовательский государственный университет», механико-математический факультет, кафедра теории вероятностей и математической статистики, доцент.

Ведущая организация: Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Математический институт им. В. А. Стеклова Российской академии наук.

Защита состоится 23 сентября 2015 года в 17 часов 30 минут на заседании диссертационного совета Д 003.015.01 при Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук по адресу: 630090, Новосибирск, пр. акад. Коптюга, 4.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института математики им. С. Л. Соболева Сибирского отделения Российской академии наук и на сайте math.nsc.ru.

Автореферат разослан « » 2015 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор физико-математических наук - Ю. В. Шамардин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. В математической статистике и некоторых других приложениях стохастического анализа важную роль играют кратные интегралы вида

от неслучайной измеримой функции ... заданной на [а, б]*2, где а < Ь конечны, <1 — фиксированное натуральное число, а — случайный процесс, заданный на [а, Ь]. Реализации процесса £(.т), вообще говоря, являются функциями неограниченной вариации, и интегралы указанного вида без каких-либо условий регулярности на ядра (скажем, лишь при условии их интегрируемости в смысле Лебега) нельзя понимать как интегралы Римана— Стилтьеса или Лебега-Стилтьеса, существующие для почти всех реализаций

Впервые стохастический интеграл от неслучайной функции по независимым приращениям винеровского процесса рассмотрел в 1923 году Н. Винер. Кратные стохастические интегралы по приращениям винеровского процесса рассматривали Н. Винер (1938) и К. Ито (1944, 1951) (классический кратный интеграл Винера-Ито). Известны и другие подходы при построении кратных винеровских интегралов, в этой связи отметим важные работы Ю. Хью, П. Мейера (1988) и Г. В. Джонсона, Г. Каллианпура (1993).

А. А. Филиппова (1962), А. Дасгупта и Г. Каллианпур (1999) определяли кратные стохастические интегралы для специальных гауссовских процессов, отличных от винеровских. С. Камбанисом и С. Т. Хуангом (1978) изучалась схема построения кратного стохастического интеграла по приращениям произвольного гауссовского процесса.

Классические кратные интегралы Винера-Ито используются, в частности, для описания предельного распределения [/-статистик и V-статистик от независимых наблюдений1. Но конструкция кратных стохастических интегралов с интегрирующей стохастической винеровской продакт-мерой не подходит для указанных выше целей в случае слабо зависимых стационарно связанных наблюдений.

1 Denktr M., Grillenberg С., Keller G. Note on Invariance Principles for v. Mises' SI.aUsl.ics // Meirich. — 1985. — V. 32. — P. 197-214.

M"

Последнее обстоятельство побудило И. С. Борисова и А. А. Быстрова2 предложить конструкцию абстрактного стохастического интеграла от неслучайной функции без классического требования ортогональности интегрирующей стохастической меры, включающую в себя конструкции как одномерных, так и кратных стохастических интегралов по приращениям гильбертовых случайных процессов на прямой. Основное отличие этого подхода от методов предшественников состоит в возможности определения кратных стохастических интегралов в том числе и для негауссовских процессов Этот интеграл в дальнейшем будем обозначать символом /<¿(/, £). В силу указанных выше обстоятельств в диссертационной работе конструкция интеграла Id(f,Ç) является базовой.

Отметим, что предельное распределение статистик Мизеса можно описывать как в виде кратных стохастических интегралов, так и в виде бесконечных полилинейных форм от последовательности центрированных гауссов-ских случайных величин с известной ковариационной матрицей3 4 5 6. В связи с этим приведем результаты Р. Мизеса5 и А. А. Филипповой4, соответствующие конструкциям стохастических интегралов второго порядка (конструкции интегралов произвольного порядка см. в работах А. А. Филипповой4 и X. Рубина, Р. Виталя6).

Теорема А. (Р. Мизес, 1947) Пусть X, Xi,X2,--- независимые одинаково распределенные случайные величины, принимающие значения в произвольном измеримом пространстве .4.}, f(t,s) - измеримая симметричная функция, заданная на X2 и удовлетворяющая условиям: Еf(X, t) = О для всех t G X, Е/2(ХЬ Х2) + |Еf(X, ЛГ)| < оо. Тогда

п оо

Vn := n-1 £ f(Xi, Xj) Л £ Л*(г| - 1) + Еf(X, X), где Afc — собственные числа линейного интегрального оператора с ядром /(•)

2Борисов И. С., Быстрое А. А. Построение стохастического интеграла от неслучайной функции без условия ортогональности интегрирующей меры // Теория ве!юятн. и ее примен. — 2005. — Т. 50. — В. 1.

- С. 52-80.

3Denker M., Grillenberg С., Keller G. Note ou Invariance Principles for v. Mises' Statistics // Metrica. — 1985. - V. 32. — P. 197-214.

4 Филиппова Á. Л. Теорема Мизеса о предельном поведении функционалов от эмпирических функций распределении и ее статистические применении // Теория веронтн. и ее примен. — 1962. — Т. 7. — В. 1.

- С. 26ЧЮ.

5 Von Mises R. On the asymptotic distribution of differentiable statistical functions // Ann. Math. Statist.

- 1947. — V. 18. — P. 309-348.

6Rubin H., Vitale R. Asimptotic distribution of symmetric statistics // Aim. Statist. — 1980. — V. 8. — №1. — P. 165-170.

и распределением X в качестве интегрирующей Л1еры, тк — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение.

Теорема В. (А. А. Филиппова, 1962) Пусть Х,Хг,Х2,... — независимые случайные величины, имеющие равномерное распределение на отрезке [0,1], /(¿, й) — измеримая симметричная функция, заданная на [О, I]2 и удовлетворяющая условиям: Е/(Х, £) ~ 0 для всех Ь £ [0,1], Е/2(Х1,Хг) + \Е/(Х,Х)\ < оо. Тогда

упА I дммвд<лад,

[ОД]2

где — броуновский мост, а кратный стохастический интеграл опре-

делен по схеме А. А. Филипповой7.

Из этих результатов следует, что кратные стохастические интегралы, заданные по классической схеме в виде среднеквадратических пределов кратных интегральных сумм, допускают представление в виде рядов случайных величин. Значит, указанные кратные стохастические интегралы можно определять посредством таких рядов. Это наблюдение и стало побудительным мотивом настоящего исследования. При этом оказалось, что достаточные условия для существования таких рядов нередко проверять проще, чем для исходных классических конструкций кратных стохастических интегралов.

Цель работы:

1. Получение достаточных условий для существования стохастического интеграла /<*(/, С) в случае, когда интегрирующий случайный процесс допускает представление в виде ряда ортогональных случайных величин.

2. Создание для случайных процессов, допускающих представление в виде рядов ортогональных случайных величин, иной конструкции кратного стохастического интеграла, в некотором смысле обобщающей конструкцию интеграла /,¿(/,0-

3. Получение экспоненциальных оценок для хвостов распределений стохастических интегралов, построенных по предложенным схемам.

Научная новизна. В диссертации получены легко проверяемые достаточные условия для существования стохастических интегралов £) в случае, когда интегрирующие случайные процессы допускают представление в виде рядов со случайными коэффициентами. Для указанных процессов предложены конструкции стохастических интегралов, которые подходят в том числе

7 Филиппова А. А. Теорема Мизееа о предельном поведении функционалов от эмпирических функций распределения и ее статистические применения // Теория вероятн. и ее примен. — 1062. — Т. 7. — В. 1. — С. 26-60.

и для негауссовых случайных интегрирующих процессов. Кроме того, получены экспоненциальные оценки для хвостов распределений стохастических интегралов, построенных по предложенным схемам.

Методы исследований. В работе использованы разнообразные методы стохастического анализа и теории ортогональных рядов.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на объединенном семинаре кафедры теории вероятностей и математической статистики НГУ и лаборатории теории вероятностей и математической статистики Института математики СО РАН под руководством академика А. А. Боровкова. Результаты работы также докладывались на 47-ой Международной Научной Студенческой Конференции (г. Новосибирск, 2009 г.), на 5-ой международной конференции «Предельные теоремы теории вероятностей и их приложения» (г. Новосибирск, 2011 г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах

[1] " М-

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы. Объём диссертации составляет 111 страниц. Список литературы содержит 38 наименований.

Основные результаты диссертации.

1. Предложены конструкции кратных стохастических интегралов для случайных процессов, допускающих представление в виде рядов ортогональных случайных величин.

2. Получены достаточные условия для существования кратных стохастических интегралов в случае, когда интегрирующий случайный процесс допускает представление в виде ряда ортогональных случайных величин.

3. Получены экспоненциальные оценки для хвостов распределений стохастических интегралов, построенных с помощью рядов ортогональных случайных величин.

Краткое содержание работы

Во Введении дается обзор работ по теме исследований, обсуждается содержание диссертации по главам, а также описываются некоторые известные схемы построения кратных стохастических интегралов. В частности, изложена общая схема построения интеграла Id(f, О из работы И. С. Борисова и

А. А. Быстрова8.

Пусть £2 £2 ({О, Р}) — банахово пространство случайных величин, заданных на основном вероятностном пространстве и имеющих конечные моменты 2-го порядка. Известно, что £2 ~~ гильбертово пространство с известным скалярным произведением. Предел в пространстве £2 называется средне-квадратическим, соответствующая сходимость в £2 — среднеквадратической. Рассматривается полукольцо с единицей подмножеств отрезка [а, Ь] :

Ш := {(х;х + 6] : а < х < х + 5 < Ъ} и {[а; 5} : а<5<Ъ}.

Пусть на {П,^, Р} задан случайный процесс {/¿(Л); Л £ 9Л} с конечными вторыми моментами сечений (т.е. ц(А) £ £2). Такие процессы называют гильбертовыми.

Определение 1. Гильбертов случайный процесс {[¿(А)\ А £ ОТ!} называется элементарной стохастической мерой, если

ц(А\ и А2) = ц(Аг) + ц{А\) почти наверное

для всех подмножеств Ах и Аг таких, что А\ П А2 = 0 и А\ и Аъ Е 9Л.

Всякий гильбертов случайный процесс £(.т), определенный на [а, Ь], будет индуцировать элементарную стохастическую меру по формуле

11((х-,х + 6}) :=£(*+ <5)-£(.*),

где при х = а по этой формуле определяется мера отрезка [а; а + 5]. Стохастическая мера на Шк определяется следующим образом:

Д(А1 х-хАк) := ц(Ах) х ■ • • х ц(Ак),

где Aj & 2Л и /х - элементарная стохастическая мера на ЯЛ.

Через Ьо(9Л'г) обозначается следующий класс простых функций /мм

/м(х 1, = с[м)1Ам(х1,..., ха),

к=1

где А^ е ЗЛ^, А^ П^? — Ф 3, М - произвольное натуральное число, с[М) - произвольные вещественные числа, а /дм(х 1,..., х^) - индикатор множества Л(<г' = А\ х • • ■ х Аа, где А € ЭЛ.

8Борисов И. С., Быстрое А. А. Построение стохастического интеграла от неслучайной функции без условия ортогональности интегрирующей меры // Теория вероятн. и ее примеи. — 2005. — Т. 50. — В. 1. — С. 52-80.

Стохастический интеграл от простой функции ¡м по стохастической мере Д(-), заданной на определяется формулой

На канонических прямоугольниках Л1 х • • - х Л2<* в [а, Ь]2Й, где Ль..., Ам 6 Ш, определим следующая функцию множества:

тп(Ах х • • • х Л2<г) := Ец(Аг) ... р(Лм),

где {¿¡(Л); Л 6 9Я} - элементарная стохастическая мера. Пусть выполнено

Основное предположение. Функция множества тп(-) — конечная сг-адцитивная знакопеременная мера (заряд) на

В силу классической теоремы о продолжении меры конечный заряд тп при выполнении основного предположения может быть продолжен на ег([а, Ь\2Л) — сигма-алгебру всех борелевских подмножеств пространства [а, £>]2<г. Этот заряд называется ковариационной мерой.

Поскольку функция тл конечна, то она (как и любой конечный заряд) допускает разложение Жордана: тп = тп+ — тп~, где т+ и тп~ — неотрицательные сг-адцитивные функции множества (т. е. обычные меры на а ([а, Ь]м), называемые соответственно положительной и отрицательной частями т. Стало быть, функция |ти\ = т+ +т~, называемая полной вариацией заряда т, обладает всеми свойствами обычной конечной меры.

Введем проекцию меры |то| на одну из осей: ш(Л) := |т|(Л х [а, Ь}н). Тогда тп(А) — конечная ст-аддитивная мера на а ([а, Ь]*1).

Введем в рассмотрение пространство <т([а, &]й)-измеримых функций:

[а,6]м

Для заданного на £2 билинейного функционала

(/,5):= J 1(х1,...,х(1)д(х<1+1,...,Х2а)т(сЬи...,<1х2а),

[а,Ь]2"

выполнены все аксиомы скалярного произведения за исключением одной: уравнение (/, /) = 0 имеет, вообще говоря, не единственное решение. Так что функционал ||/|| := у/(/,/) образует в 5 полунорму, которая после стандартной факторизации пространства 5 превращается в норму.

В работе И. С. Борисова и А. А. Быстрова9 доказана следующая

Теорема С. Пусть выполнено основное предположение и / £ Б. Тогда существует последовательность простых функций {/м}, сходящаяся к / в норме Ц • Ц. Более того, для последовательности случайных величин {/(¿(/м>£)} существует срсднеквадратический предел 4), который не зависит от выбора последовательности {/доопределение 2. Предельную случайную величину

Ш, 0 = / Я*ь . • ■. • ■ • <%Ы

М"

из теоремы С назовем стохастическим интегралом функции / по мере /л.

Введем в рассмотрение следующее гильбертово пространство функций:

Ь2-.= Ь2([а,Ь}*,гп).

Замечание 1. Как установлено в работе И. С. Борисова и А. А. Быстрова9, пространство Ь2 вкладывается в Б. Иными словами, формулировка теоремы С останется в силе, если пространство Б заменить на ¿2- Несмотря на то, что пространство Ь2 несколько уже Б, проверять принадлежность той или иной функции к Ь2, как правило, значительно проще, нежели к >9.

Структура ковариационной меры ш(-) весьма непроста, поэтому проверка упомянутых условий из теоремы С касательно существования кратного стохастического интеграла О представляет собой отдельную проблему.

В первой главе описаны новые достаточные условия существования интеграла /<¿(/,0 для довольно широкого класса случайных процессов, порождающих интегрирующую стохастическую продакт-меру. При этом предполагается, что с вероятностью 1 (или, что то же самое, в пространстве С2) случайный процесс £(х) при всех х £ [а, 6] допускает представление

со

£(*) = £>*>*(*), (1)

к=0

где - случайные коэффициенты, удовлетворяющие условию ортонорми-рованности, т. е. = 6к,т, фк{х) - неслучайные функции; при этом ряд

в правой части равенства (1) понимается как среднеквадратический предел

9Борисов И. С., Быстрое А. А. Построение стохастического интеграла от неслучайной функции без условии ортогональности интегрирующей меры // Теория вероитн. и ее примен. — 2005. — Т. 50. — В. 1. — С. 52-80.

соответствующих частичных сумм при каждом фиксированном х £ [а, 6]. В дальнейшем все подобные (1) представления по умолчанию будут определяться именно по вышеприведенной схеме.

Во Введении приведены результаты, касающиеся разложений (1). Отметим некоторые из них.

Пусть случайный процесс в{хх,... заданный на [а, Ь)'1, имеет конечный второй момент. Тогда для процесса 9(х\,..., х^) определим ковариационную функцию Кд, заданную на [а, Ь}2<1, следующим образом:

Кв(х 1,..., уи ..., уа) := Ш(хх,..., хл)в{ух, уа)-

В дальнейшем процесс в(хх,...,х^) с многомерным временем будем называть многопараметрическим процессом.

Хорошо известна следующая теорема (см., например, монографию И. И. Гихмана и А. В. Скорохода10).

Теорема Ю. (Разложение Карунена - Лоэва) Пусть ковариационная функция Кд(хх,..., х,1, уь ..., у л) непрерывна на [а, Ь]2Л. Тогда в пространстве случайный процесс в(хх,х^) может быть разложен в ряд 00

в(хх, 9к\/Шфк(хх, • • ■, ХЛ), {хх,...,х4)е [а, Ъ}Л,

*:=О

где случайные величины Ок ортонормированны, являются собственными значениями, а ..., х^) — собственными функциями ядра Кд(хх, . . . ,Х<1,УХ, . ■ ■ ..Уи)-

В частности, для центрированного случайного процесса £(х), заданного на [а, Ь] и имеющего непрерывную ковариационную функцию К^(х,у), разло-

оо

жение Карунена - Лоэва процесса С(х) имеет вид £(х) = ^ £ку/^кФк(х), где [е , а=О

— ортонормированные случайные величины, А^ — собственные значения, а фк(х) — собственные функции ковариации процесса £(ж).

Хорошо известно, что стандартный винеровский процесс IV(х), х е [0; 1], имеет следующее разложение Карунена-Лоэва:

где {\Ук}к>о — независимые случайные величины, имеющие стандартное нормальное распределение.

10Гшжан И. П., Скороход А. В. Введение в теорию случайных процессов. — М.: Наука, 1965.

Основным результатом первой главы является следующая Теорема 1. Пусть {/м} — последовательность простых функций, равномерно приближающих функцию /. И пусть разложение процесса £(х) в виде ряда (1) удовлетворяет условиям

(Д) — независимые случайные величины с нулевыми средними и

8ир,.Е^<оо;

(/2) ]С {Уа^к])2 < ОО, где Каь[(Рк\ — полная вариация рь на [а; Ь]. к=0

Тогда существует стохастический интеграл Более того, с вероят-

ностью 1 будет верным следующее представление:

где ряд в правой части понимается как среднеквадрати чсский предел N

£ &1 • • • & / /0=1. • ■ ■. *л)<Ьрх 1 Ы ■ • • ¿^(ям) ПРИ N^00.

»4.....¿^=0 [а, 6]'*

Во второй главе кратный стохастический интеграл предлагается определять в виде кратного ряда. При этом предполагается, что случайный процесс £(х),х <Е [а, 6], как и прежде, имеет разложение (1). Функции {<#} из этого разложения имеют ограниченную вариацию, а значит индуцируют соответствующий заряд, который обознается как ¿ч>х(х).

Используя разложение (1), определим последовательность стохастических

N

процессов: {^лК1)»1 е [а, 6]} следующим образом: £ы(х) := £ £к<Рк(х)- Слу-

к=О

чайная величина / ... ,Х4)<Щц{х\)... понимается как инте-

[а,Ь]ч

грал Лебега-Стилтьеса, определенного для почти всех реализаций Е,гя{х).

Определение 3. Пусть для функции / относительно разложения (1) определен среднеквадратический предел при N -> оо последовательности случайных величин / 1{х 1,..., хЛ)(1^{х1)... В этой ситуации предельную случайную величину будем обозначать

и называть кратпнъш стохастическим интегралом от функции / относительно разложения (1).

Обозначим /,-,„..,i(¡ := / f(xu ..., xd)dtph (xi)... dtpid(xd).

M'

Замечание 2. Кратный стохастический интеграл Id(f, £) существует тогда и только тогда, когда существует предел последовательности частичных сумм

N

вида /¡,.....ijid+l.....íjjE^í, ... C¡2(¡ при N оо.

«b-,t2d=0

Отметим, что стохастический интеграл в смысле определения 3 хорош тем, что в отличие от некоторых других конструкций для него проще вычисляются моменты любых порядков, если конечно они существуют. Кроме того, эта конструкция подходит для негауссовских случайных процессов и для случаев, когда ковариационная мера не является конечной.

Во второй главе найдены экспоненциальные оценки для хвостов распределений интегралов Id(f, £). А именно верна

Теорема 2. Пусть для всякого натурального т выполняется неравенство suPi>0E^dm < (aim)a2dm, где некоторые положительные по-

оо

стоянные, которые не зависят от т. И пусть К := |/¿lv..,¿J < оо.

Тогда для всех х > К (eaj) 2 справедливо следующее неравенство:

Ртш>х)<е-Сх4я, гдеС = ^~-.

2 еа\Ка2Л

В третьей главе рассматривается принципиально иная схема построения кратных стохастических интегралов, основанная на представлении произведения случайных процессов £(xi)... £(x¿), (хь ..., xd) 6 [a, b]d, в виде одномерного ряда со случайными коэффициентами:

оо

£(.Т!)... S(xd) = Zk<Pk(xь • - -, Xd), (3)

о

где ряд в правой части равенства понимается как среднеквадратический предел соответствующих частичных сумм при каждом фиксированном (x\,...,xd) € [a,b}d. При этом предполагается, что случайные коэффициенты {£fc} удовлетворяют условию ортонормированности, т. е. Effc£m = Sk,m-Применяя к обеим частям в (3) последовательно d раз соответствующие координатные разностные операторы, мы получим представление для продакт-дифференциала соответствующего стохастического интеграла.

Относительно разложения (3) соответствующий кратный стохастический интеграл, обозначаемый fd(f,£), определяется как среднеквадратический

предел при N —> оо последовательности случайных величин

N .

/ f{xi,...,xd)dipk(x1,...,xd),

l__п J

М'

где знакопеременная мера с?^ определяется с помощью упомянутой выше ¿-кратной суперпозиции координатных разностных операторов.

Существование разложений вида (3) гарантируется теоремой £>, если в качестве процесса в{х\,..., ха) мы возьмем процесс ¿¡(а^)... £(я<г)-

Замечание 3. Кратный стохастический интеграл /¿(/, £) существует тогда

и только тогда, когда £ / f{x\,...,Xd)dipk{xi,..., xd) I <00.

*=о Vja,f)]d J

Теорема 3. Пусть {/а/} — последовательность простых функций такая, что для всех к выполнено

lim / [f(xi,...,xd)-fM(xi,...,xd)]dtpk(xu---,Xd) = 0.

M-too J

M"

Пусть существует среднеквадратический предел С последовательности стохастических интегралов UUm, О- Тогда существует интеграл /¿(/, Q. Более того, имеет место следующая сходимость в пространстве :

Шм, О -> W, О при М оо.

Эта теорема утверждает, что если задавать стохастический интеграл как среднеквадратический предел последовательности стохастических интегралов от простых функций, как это сделано при построении /<¿(7,0> т0 в итоге получится случайная величина, совпадающая с вероятностью 1 со стохастическим интегралом О- В третьей главе приведен пример, когда стохастический интеграл £) не определен, но при этом существует /¿(/, £). В этом смысле определение интеграла С) шире, чем определение интеграла

Теорема 4. Пусть ковариационная функция К(х\,... ,хи)_многопарамет-рического процесса £(ац)... непрерывна на [а, 6]2<* и / € Тогда существует стохастический интеграл £) относительно разложения Карунена-Лоэва процесса £(2:1)... £(х<г), и существует стохастический интеграл /¿(/, С). Более того, /¿(/,0 = /¿(/,0 с вероятностью 1.

Несмотря на то, что доказать существование разложений (3) легко, весьма непростую задачу представляет собой построение этого разложения в явном виде. Поэтому указанная конструкция интеграла в третьей главе обобщена на случаи, когда многопараметрический случайный процесс £(xi)... £(х<г) допускает представление в виде конечной суммы нескольких рядов вида (3). Находить в явном виде такие разложения проще. В третьей главе описан метод, который позволяет получать указанные разложения для любого центрированного гауссовского процесса на основе разложения Карунена-Лоэва. По указанному методу построено разложение многопараметрического случайного процесса W(x 1)... W{xj), и относительно этого разложения определяется кратный винеровский интеграл /¿(/, W).

Чтобы выписать разложение случайного процесса W{x 1)... W(x,j), введем понятие кратностей элементов в множестве натуральных чисел {к\,... kj}. Будем говорить, что набор

{Pi = Pi(h, • • •, kj), ...,рт = pm{ki,..., kj)}, m = m(ki,..., kj),

определяет кратности элементов множества {кх,.. .kj}, если множество {fei,... kj} состоит из т различных элементов, и справедливо следующее соотношение:

= ■■ ■ — kPl < = • • • = kPl+P2 < ••■ < fcpi+...pm_1+1 = ■ ■ • = kPl+...+Pm,

здесь pH-----h pm= j.

Для всякого d разложение W(xi)... W(xd), построенное на основе разложения Карунена-Лоэва (2), описывается следующим рекуррентным соотношением:

W(Xl)... W(xd)

= (^УЕ Е Hpi{Wkn) дsin(^+ ti™*)

ireSdo<ki<—<kd Pm! J=1 (kj + h)

d

+ E min(.Til,.-ri2) J] W(xi) (4)

4*i. '2) 3=l-J&i.ij

2 d

E П™11^»-«»1^) П w{Xj) + ...

(«1, i2),(t"3, u)k=l 3=1'J¥H.....U

W2] d

(¿1, ¿2),...,(t2[d/2]-l, ¿2[<i/2l) fc=1 7=1цУ*1,—,»2[<|/2]

x2 jn X2

где Hn(x) = (— — полиномы Эрмита, а суммирование ведется по

всевозможным наборам попарно несовместных двухэлементных подмножеств (в количествах, указанных под знаками сумм в (4)) конечной совокупности {1,.•■,<*}•

Введем необходимые обозначения. Пусть для всякого j = 1,..., [d/2\

Tj(x2j+i, ...,xd):= J f{x i, xi,... ,xj, Xj, x2j+i, x2j+2, • • •, xd)dx i... dxh [o, IF

7j(xu...,xd) :=f(xi,...,xd), Td/2 := J f{xl,xl,...,xdl2,xdl2)dxl...dxi/2.

[o, lY'2

Для всякого j = 0,..., [d/2] через ТД.....kd2] будем обозначать коэффициенты Фурье разложения функции Tj по системе функций

jcos + ^ TTX2j+l ... COS (kd-2j + 0 7T.Td| .

В следующей теореме предполагается, что функция f(x\,... , xd) симметрична и для всякого j = 0,..., [d/2] определены коэффициенты Фурье 2* kd 2. , где по определению полагаем Ц(д, W) = д.

Теорема 5. Кратный стохастический интеграл Id(f, W) относительно разложения, описываемого соотношением (4), определен тогда и только тогда, когда для всякого j — 0,..., [d/2]

со 2

£ (Ч.....<

и определено Т^2, если d четно. Более того, справедлива формула

(y/2)dd\

WW = £ , „ ,ЯР1(^Р1)...ЯРт(^Р1+...+рт„)Т°.....^

+ b(d-2j)\j\2jId-2jVf'W)-

Из теоремы 5 следует, что УУ) можно записать в следующем виде:

[¿/2] ( °° {¿-2])\ \ Е К Е ^ р,—

где при каждом о = 0,..., [(1/2] набор

{р\ = Р\{к\, • • •, ■■■,Рт= Рт(къ ^<¡-2])}, т = т(А;1,..., кЛ-ц),

определяет кратности элементов множества {к\,... 2^}, по которым ведется суммирование в указанных рядах;

Отметим, что для симметричной функций / необходимые и достаточные условия существования интеграла Id.il, И^) равносильны соответствующим условиям существования интеграла /¿(/, IV) из теоремы 5.

Кроме этого, в третьей главе получены экспоненциальные неравенства для двух введенных конструкций кратных стохастических интегралов.

В Заключении перечисляются основные результаты диссертации.

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю Игорю Семеновичу Борисову за предложенную интересную тему исследования, внимание к работе, помощь и ценные советы.

Публикации по теме диссертации

1. Борисов И. С., Хрущев С. Е. Построение кратных стохастических интегралов по негауссовым продакт-мерам // Матем. Труды. — 2012. — Т. 15. - В. 2. - С. 37-71.

2. Борисов И. С., Хрущев С. Е. Кратные стохастические интегралы, построенные по специальному разложению произведения интегрирующих случайных процессов // Матем. Труды. — 2014. — Т. 17. — В. 2. — С. 61-83.

3. Хрущев С. Е. Об условии существования n-мерного стохастического интеграла от неслучайной функции // Тезисы XLVII Международной научной студенческая конференции. — Новосибирск. — 2009. — С. 202— 203.

4. Borisov I., Khruschev S. A construction of stochastic integrals of nonrandom functions in the non-Gaussian case // V-th Conference 'Limit Theorems in Probability Theory and Their Applications". — Novosibirsk. — August 15-21, 2011. — Abstracts of Communic. — P. 12-13.

Подписано в печать 01.07.2015 г. Формат 60x84/16. Уч.-изд. л. 1,0. Усл. печ. л. 1,0. Тираж 100 экз. Заказ № 28243

Отпечатано в типографии ЗАО «Кант», г. Новосибирск, ул. Путевая, 18. Тел. (383) 351-06-19