Предельные теоремы для рандомизированных разделимых статистик и их приложения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ЯР

МОСКОВСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОННОГО МАШИНОСТРОЕНИЯ

На правах рукописи БЫКОВ СЕРГЕЙ ИВАНОВИЧ

УДК 519.2

ПРЕДЕЛЬНЫЕ ТЕОРЕМЫ ДЛЯ РАНДОМИЗИРОВАННЫХ РАЗДЕЛИМЫХ СТАТИСТИК И ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

01.01.05 - теория вероятностей и

математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на сойскание ученой степени кандидата фи»ико-гла тематических наук

Москва 1991

Работа выполнена в Ордена Ленина научно-исследовательском институте автоматики.

. Научный руководитель - доктор фп»яко-№тематических наук,

профессор Б.А. Иванов

Официальные оппоненты - доктор фивико-математически* наук,

В.Г. Михайлов ' - кандидат фиаико-математических наук, доцент K.P. Хакиыуллин

Ведущая организация - Институт кибернетики им. В.Ы.Глуикова АН УССР

Защита состоится II февраля 1992 г. BlfiotWicoB на »аседании специалиааровакного совета К 063.68.05 в Московском институте электронного машиностроения по адресу: 109028, Москва, Б, Вуяовскяй пер., 3/12.

С диссертацией модно ознакомиться в библиотеке МИЭМ.

Автореферат раюслан " "__ I9SI г.

Ученый секретарь-специализированного совета канд.фи».-мат. наук,доцент

•Зг Ul-yjubü. Шнурков

ОБЩАЯ XА РЛI-CTSPKOТШ\А РАБОТЫ ■ У: Актуальность тепы. Одним из основных направлений современ-"iTötf д'яскретной математики является исследование теоретико-вероятностных моделей, связанны! с размещением частиц по ячейкам. Повышенный интерес к. этой проблематике объясняется, с одной стороны, многочисленными применения™ полученных результатов в математической статистике, теории автоматов, теории информации, вычислительной технике, экономике, биологии, социологии и других областях науки и техники и, с другой стороны, все более широким использованием современных быстродействующих ЭВМ. . . .

Схема последовательного независимого размещения а частиц по N ячейкам задается набором вероятностей р = (р1,...-', 2L. pm= L, попадания каждой частицы в соответствующую ячейку. Вектор частот заполнения ячеек К, =(h-i,...,Kv) имеет полиномиальное распределение , поэтому такая схема размещения называется полиномиальной. Исследованию предельного ( при о ) поведения различных функционалов от частот заполнения ячеек в полиномиальной схеме ( прежде всего,, равного числу ячеек, содержащих ровно г частиц, и равного числу частиц, после размещения которых впервые К ячеек будут содержать не менее га' частиц каждая ) посвящена монография В.Ф. Колчина, Б.А. Севастьянова, В.П. Чистякова " Случайные размещения "( ГЛ.: Наука, 1976 ), в которой обобщены результаты Реньи, Эрдеша, Бекеши, Холста и других авторов.

Еажнкм объектом исследований в данной области явились разделимые статистики ( p.c. ), введенные Ю.И. Медведе!;::.! я им«--хгу.е вид cyr.csi ^унгспий от частот заполнения ячеек. Представи-

теля класса p.c., такие, например, как статистики JU^X*, X-статястика критерия отношения правдоподобия и другие, используются во многих статистических критериях для схем с конечным • числом исходов и в сводимых к ним р помощью группировки наб-лгадоний. В работах Ю.И. Медведева, Г.И. Ивченко, В.В. Левина и ^других были получены достаточные условия, при которых предельным;! для p.c. являются распределения Пуассона, нормальное и и;< свертка.

Б.А. Ивановым были введены рандомизированные разделимые статистики ( р.р.о.), представляющие собой сумму случайных функций от частот наполнения ячеек, и неучены их асимптотические свойства при определенных предположениях относительно параметров статистик и схемы размещения. Это существенно расширило область применения схемы размещения в статистике, позволив проводить статистические исследования вероятностных автоматов. Многочисленные результаты о прзделыюм поведении р, p.c., обзор которых содержится в работе В.Д. Иванова, Г.И. Ивченко, Ю.И. Медведева " Дискретные задачи в теории вероятностей "( Е сб. "Теор. вероятч. Мат. стат. Теор..киберн. Т.22 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ ДН СССР)",М., 1984, с.3-60 ), касались близких к равновероятным лолиногаалъных схем с огр/жи-чокием на скорость роста числа частиц 1г ( пpeдrюлaгaлoct условие малых выборок где Р= Рт, либо условия регулярности /VP-O(i) и Эти ограничения существенно сужали область практического применения соотБетогьук-щих результатов, которая не включала в себя, например, даже класс полиномиальных схем, распределения которых близки к равновероятному в смысле среднеквадрагического отклонения. Да-

льнейшее развитие это направление исследований получило в работах Ш.А. Мирахмедова я других авторов.

Цель работы состоит" в исследования предельных распределений р.р.с. в схемах размещения частиц по счетному множеству ячеек при минимальных ограничениях на их параметры и применении по--лученных результатов для построения и оптими»ации стп!гисМчй-ских критериев проверки гипотез о распределении дискретных случайных величин.

Методика исследований. Исследования предельных распределений p.p.с. проводились методом характеристических функций о помощью сведения зависимых случайных' величин к условно независимы»,!, метода перевала и асимптотических методов анализа. Оптимизация статистических критериев проводилась методами.вариационного исчисления.

Научная новизна состоит в следующем.

1. Для р.р.с. в схеме размещения частиц нескольких типов по"' счетному множеству ячеек доказана многомерная предельная нормальная теорема, обобщающая теорему Ляпунова для суш независимых случайных величин.

2. Для индикаторных p.p.с. в схеме размещения частиц но счетному множеству ячеек дано полное описание предельных законов распределения при условии предельного постоянства слагаемых.

3. Построены критерии проверки гипотез для схем размещения по счетному множеству ячеек и показано, что они обладают свойствами асимптотической оптимальности в широком классе критериев.

Теоретическая и практическая значимость работы.. Полученные предельные теоремы и статистические критерии доведены до простых компактных формул и могут быть использованы при статистн-

ческом анализе различных технических устройств и процессов, математической моделью которых служи* схема размещения частиц по ячейкам. ' •

Апробация работы. Материалы диссертации докладывались на республиканском семинаре "Прикладной и статистический анализ временит: рядов" ( ¡.Шнек, 1987 г.), Второй всесоюзной конференции "Вероятностные методы в дискретной математике". ( Пет-розагодск, 1908 г.), на научном семинаре кафедры теории веро-птностей и математической статистики МИЭМ ( 1991 г.).

Публика;':';?. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 пе'/лтшл: работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем г„аботи. Диссертация состоит из введения, трех глав л списка литературы, содержащего 6Г> наименований. Всего в диссертант 135 листов машинописного текста.

ОО;;Ъ;Р2АН::1Б РАБОТЫ

Ео I гвчеп!:'. оС'о ;Н0Егваетсл актуальность'тё.'ти исследований, приводится кратк;:.': об^оп ссотсчшш рассматриваемой проблем1! п кгат::о кэлагаэточ основп'о результат:} диссертации.

Первая глава, состоящая из 5 параграфов, посвящена исследованию предельных распределений р.р.с. в схеме последовательного независимого размещения частил по счетному множеству ячеек (.далее будем называть просто схемой размещения ).

В первом параграфе исследуются услоы.ч асимптотической нормальности многомерных р.р.с. в схеме-размещения частш нес- . кольких типов. Пусть частиц £. типов размещаются по

счетному множеству ячеек, причем каждая частшм С -то типа по-

падает в lu-укт ячейку с вероятностью »¡^рм^гУ » Б

результате чего в иг,-ой ячейке оказывается К-^Сгц) частиц 1-го типа, ttv=i,2,... , e = i,.-.,s, n=04..,Us).Пусть

последовательность

<А - мерных случайных функций or s неотрицательных целочисленных аргументов t = , причем для произвольного фиксированного набора аргументов [t-mi] .случайные величины

незавиоимы в совокупности. Для упрощения обозначений зависимость величин от п, указывать не будем. Рандомизированной разделимой статистикой (p.p.с.) называется величина вида Ljfto-£ , где ,Wms) ,

многомерной р.p.c. Предполагается^ что ряды ЦМ,..., Lj (К.) сходятся с вероятностью Г.;~—

Обозначим x={xwt] - последовательность независимых в ' зовояупности и от ... ЛЧ^Ьч] пуассоновских случай-

ных величин ( будем писать ^О^УПСЛим) ), ^»t^VkfVu. ,

= где .

О* »

1(A) - индикатор события А -, = > |Wj " ]?mij " ftj ,

= ЦСЧ-.^УЕЦС*^-!-^-^^] , Ц с.*«,= ЦОь-.^УЕЦС^-^Сч-а^^,

Основными результатами первого параграфа являются: Теорема 1.1.1. Пусть -» и выполнены условия:

I. гтл ' "

'2. существует такая константа 5>0,. что ^^ м^т^кМ - о({; 3. существуют £ш. ^ (^И^) ^ - ^^ , Ц = 1>-><* ' Тогдг,

имеот в проделе А -мерное нормальное распределение с иулезым вектором средних значений и матрицей коиариаций Н^М^

Теорема 1.1.4. Пусть а^..., и выполнены условия:

£

1. теш Е •

2. существует такая константа 8 > 0 , что

3. существуют в™. С^а^) >

Тогда справедливо утверждение теоремы 1.1'Л. • Локазано, что утверждения теорем остаются в силе, если вместо услониЛ I потребовать ' ' •

I'. существует там'я константа Р , что ШХ>Ч

Ео втором параграфе вюдится понятие индикаторной р.р.с.

СИЗ

( и.р.р.с.) - статистики вида - (Д^™ ) ч

где случайные фунгшии АС^-У-'г.йУ .. принимает значения 0 и I, Р (\1г) = 1)« Рт1гУ = , л- ,ъ=0,1,2,..,( рассматригяютсл

одномерные (¿-1 ) и.р.р.с.'в схеме размещения частиц "а» 1 типа ). Предполагается, что ряд З(И-) сходятся с вероятность» I,

оа

что равносильно сходимости ряда 211 ЯтЛ0) Для величин

^«^ЕР^ЕО^О-^С^ЕЛР^^ . где Л^У-РМ-Р;

б

И ^ = £ Р^о^М + Уг (¿-(^р^Д^^С^р^"1) получено соотношение ,Е) при М- -* 00 ,

позволяющее описывать предельное поведение • В параграфе 3 доказан критерий асимптотической нормальности и.р.р.е.:

Теорема 1.3.1. При следующие утверядения-эквивалентш

I. . ■ . '

2 ]) -» оо

4. - Л/(0,1).

Теорема распространена на многомерные и.р.р.с. • Параграф 4 посвящен исследованию предельных распределений для случая ограниченной дисперсии

при дополнительном условии предельного постоянства слагаемых: УШХК 1)3^(4»^) = 0(4-) . Обозначим сумму медиан слагаемых' .

мть^с&р^оо^у.-- ■

Теорема 1.4.1. Пусть п.-»^ и выполнены условия:

1. 21 С Р»С^(о) + ^(Р^ + -4) = О СО,

2. вд Е ^СХ^Е=

Тогда £ ( 3 (V4) - М 3 (х)-уь) -» £ '

где независимые случайные величины ( н.сл.в.)' К^^и. .' амеют распределения: П (2. №)<&(<>)) ,

Запись означает, что сл.в. и«,-0.

В геореме 1.4.2. получен аналогичный результат для случая

' 2. ov(pm(O+Qft(0))=0(i).

Теорема 1.4.3. Пуоть а -» °° и выполнены условия: 2. ma* E^(OEQw(Vim)=o(iV.

>т\ > I

"Тогда ЙС ( ЗСЬ^-М Э(К.>)_—» где н.сл.в. ^ имеют распределения:

ЬО = п (.

Полученные предельные теоремы охватывают все случаи ограниченной дисперсия при условии предельного постоянства слагаемых. В качестве следствия приведен вид вы.-рождеиных предельных распределений при X) 3(b) = о (i).

В §5 полученные результаты использован! для исследования асимптотического поведения наиболее употребительных и.p.p.с'. Приведем несколько утверждений, обобщающее изрестные предельные теоремы для статистик JUl--Z.I(h.lll-fc,) и = ,2.X(h. Обозначим t

Поскольку статистика числа пустых ячеек ju0 имеет смысл лишь при конечном числе ячеек N , естественно положить

1*0= - ^»о ' Гак КаК •

Пусть Е f («О = 7- Pm4 CM , •

tflM «

"TV-

HEML-ES^ ,1-0

к ge^d-Ee-1) , t=i

V wi->

«

Теорема 1.5.5. Пусть n--»o° , rruw T, — ( ot tL<t... tj .

к.у.,1 J

Тогда ямоет p продела <Л -мерное нормаль-

ное распределение с нулевым вектором сродню: значений и матрицей ковариагшй с элементами - 1 , ,

если поошздние пределы .оущеотвуюг, V+j , i,]- i,'- ,-1. Теорема 1.5.7. Пусть и,-*« , пйл. , 0* 'tV

(«.Iii J

л л Л J

Тогдг) = имеет в предела d -мерное нормаль-

ное распределение с нулевым вектором средах зночааиЯ И матрицей ковариаций с элементами 0jj - 1 , j= S.,... , ^ ,

^ = = km. П^СьЛ - пЕадЕ X».Cö),

если последнее пределы существуют,

Получениие условия асимптотической нормальности сюгистнк jti^ и являются необходимшл.

Ь качестве примеров для случая ограниченной дисперсии приведем следующие утверждения.

еГХ] '

Теорема 1.5.4. Пусть 1 , <*=> , ¿L X О ,

и существует предел Iwa. 21X, (du') = \ < .

Тогда Й (jO^ .

Теорема 1.5,8. Пусть п. > ггиолс ^ C^i^N

<*■> i

1 о

и существуют пределы lim. Х^ , (W |L

Тогда (fe,e- К) - X -

где К = сагА jм.:oi.m>i] , н.сл.в. имеют распределения

Вторая глава, состоящая из трех параграфов, посвгпцена исследованию продельных распределений, прежде всего, условий

О

асимптотической нормальности, статистик типа _)(." и функций от них в схемах размещения частиц по ячейкам.

Основным результатом первого параграфа является предельная нормальная теорема дая p.c. вида

L (а, Ь, k) - Z. ( ат( MW- -О),

где Vi - (Vi-v,(п.г,...) - заполнения ячеек после размещения о.

ЧаСТИЦ С ВСрОЯТНОСТЯМИ р^рг.,... , c/m = , ta*1,

Обозначим = - ■ «л > i, в„. = Z_ (2. а^ы^. + olwlK ). Теорема 2.I.I. Пусть vl и выполнены условия:

1. там с&с& = о(б^),

WV1 1

2. 2L ( a^l + ¿«д!) = О ),

Тогда й ( U(a,{,,M) -» А/(о, О.

Во втором параграфе рассмотрена схема размещения, в которой m-ая ячейка состоит из секций, Частицы попадают в vw -ую ячейку с вероятностью , после чего размещаются по секциям с вероятностями t-i,...,^,

21 ímt , ra- . Основным результатом параграфа яв-ляегся предельная нормальная теорема для p.p.с. вида

где к;т( - содержимое I -ой секции т. -ой фтрЧкя после раз-•метения VI частиц, Кт = 2- VI, <ол - Е. авчс<,т(|<.«-1') _ Теорема 2.2.2. Пусть л -» и виполнмрь; условия:

1. тля о(^), .

I

2. Е- о(-<)>

3. = О (К )

Тогда • ( ^ (ШЛЬ ~ А/(о, I)

Б х'юрепо 2.2.3. почятко, что Суща-яи от р.р.е.- стптяотиги

щ ^ = (£ I (.V) - : У (1,

рявнпя нул.о п;«1 = 0 , :. услоудях тчорег/и 2.2.2 для

0^= .. = 1 1!'.г;ст в пределе стандартное нормальное рас, пределекле.

Трети!! параграф посьяпен нсследогамин условий чсумптотичс-ской норг.мльности статистики

, ■> I А

{ I )

Иа

£ ^__Угг .п 1 ^ )

где Й-.М=0 ппи ,

- зпп'дЛ1!"аис т.'-о/ ячейка частг.цлгли I -го типа, рв1 -вероятность :;о;мдг-н:'- час типы £ -го типа в №. -уп ячейку,

1- , , т.* 1,2,... , г схеме резме'денкя п«»...,^ частиц й типов по'счетному множеству ячеех.

Теорумд 2,3.1. Лусть Н = тгии. ГЦ-"*1 л вшюлкени условия: I. М р^

2- ^ Ж-,?- — '

12 .

Тогди fiJS) = -g. £

имеет в пределе стандартное нормальное распределение.

Б третьей главе, состоящей из трех параграфов, полученные результаты применяются дяя построения и оптимизации статистических критериев в схемах размещения частиц по ячейкам.

В первом параграфе рассматривается задача проверки простой гипотезы Н0= { (|= (р0рг>-")| о распределении дискретной слу-. чайной величины по вектору частот Vb = (h.t.Vuz,...) появления Исходов в выборке объема W, . В качестве альтернативы рассматривается сложная гипотеза

гда ) > " некоторое дискретное распреде-

ление, определяющее расстояние между гипотезами. Обозначим . класс критериев асимптотического уровня оЗ для

проверки Н0 .против , основанных.на p.c., которые ас-

имптотически нормальны и имеют эквивалентные дисперсии при обеих-гипотезах.

Теорема 3.1.2. Пусть и.-»®0 и выполнены условия:

I. ^(VpJ" -O(fc) . где ,

для всех Q € H0U .(Q), w-i nFpi . 1

« 2. e-2. l

3. существует шя, In, .¿4 R. = ö , S < . . Тогда критерий, задаваемый критической областью

является асимптотически максиминным ( а.м.м.) в классе ^(Нд^)) и его функция мощности при альтернативе Асимптотически равна

И

Ео втором параграфа регааотст •згда'чп пропер!:« гипотезы о равновероятности размещения чпптиц по ое:а'Л":* япвгк в охпче размещения, рассмотренной по втором пчрчгрч?'в т>:оро:< глатго. По последовательности частот к = , гдч - соде.ггклмоп

-ой секции п\,-оЯ ячейки после рпзметцпш;^ п чосг.'.п, требуется.проверять про с туг.'гипотезу Н0 - [Х^ - О, пы,п;:ог?.!! сло;шой альгернагирц Н^д') = {15т = Д^! , где =

= ) - некотороо дискретное распределение. Обозначим

класс критериев асимптотического уровня (О для проверки Н0 против I основанных нл р.р.е., которые

асимптотически нормальны и имеют эквивалентные длсг.орсии при обеих гипотезах-, 3= И-^-Ы^Ь.)1 ,

Теорема 3.2.1. Пусть Уь ^ и выполнены условия:

С>е> о

1. 21 - 0 ,

2. для мех 15

3. существует Цъ и.й = 5г , О* Ь1* . ■ Тогда критерий, задаваемый критической областью

¿ (V) - (-V)4;

является а.м.м. в классе ^(Я^Д^) и его функция мощности

при альтернативе асимптотически равна ( ^ -

Б теореме 3.2.2 показа ко, что моди^ицироваши,'; критерий _ .

прН ?.,... ,

асимптотически эквивалентен исходно.'лу. Это позволяет 'лроверять гипотезу о равновероятнзети размещения частиц по секциям (уяэ сложную ) не зная достоверно вероятностей р^.рг,... попадания

частиц в ячейки,

В третьем параграфе построен критерий однородности ъ*2. выборок из дискретных распределений р^^р^Д-мр."^.^-^ Пусть 1гт(, есть число частиц I -го типа в Уп-ой ячейке, ....ь, кп = 1,2.,..., после размещения частиц 5 типов.

Обозначим п. = ^»п^ъ УЦ я определим для произвольного дискретного распределения Р= .¿рт" ^ ) гипотезу

и для произвольного множества дискретных распределений Р гипотезу = ^Р^-

Теорема 3.3.1. .Пусть VI-*=>«> и для всех распределений р из множества Р выполнены условия:

1. г»иш р^ = о( |1 р* ) ,

2. И*

жч I

Тогда для 'функции мощности критерия, задаваемого критической областью {йзС^)»-^] , где (к) определена в (I), справедливы соотношения: -у (ц

где ,1-1,...,*.

Таким образом, построенный критерий имеет асимптотический уровень со и позволяет различать гипотезы, степень близости которых характеризуется величиной (и/ 21 р^ )

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах. • .

1. Быков С.И. Об асимптотической нормалыюогя рандомизированных разделимых статистик в нерегулярной полиномиальной схеме,- В сб.: Вероятностные процессы и их приложения, М.: МИЭМ, 1987, с,76-81.

2. Быков С.И. О статистических критериях в полшюмлялыгоП схеме,- В сб.: Вероятностные задачи дискретно;} математики, М.: МИЭМ, 1987, с.91-96. -

3. Быков С.И. Об условиях асимптотической нормальности статистик в полиномиально?. схеме.- В сб.: Вероятгоспше процессы и их приложения, М.: Ш'.'Ы, 1939, с.66-66.

4. Быков С.И. Предельная пуассоновскал теорема для одного вида ракдомазированних разделимых егсгпошк в полиномиальной схег/.е сериГ:.- В сб.: Вероятностные задачи днскретноЛ .математики, М.: ;,ИЭМ, 199!), с.53-58.

5. Быков С.И.,' '/паков В.А. Асимптотическая норшлиюсть рян-домизировашшх разделимых стятиотик р. нерегулярной полино-мг.алыюй схем?.- Вероятностные методы з дискретной математике. Тезисы докладов Второй всесоюзно? кон?ерзвпви, Петрозаводск, 1988, с.19-20.

6. Быков С.Я., Кранов В.А. Об условиях асимптотической нормальности многомерных рандомизированных разделам!« статистик,- Дискретная математика, 1989, т.1, :;.2, с.57-64.

7.. Ьукоч- 5.1., ]\то\/V. А. Огъ -Ыге сопД&'юпь о| а^трЫлс

*чх\\(А о^игеЛ ¿едалрс^аб?^ ¿{л -■Ы/ль.-Т^».^ Иа1\и Арр1., {991, V. 1, М 1, р. 2.^-223.