Представление натуральных чисел диагональной квадратичной формой специального вида тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи

иа3067328

АНДРЕЕВА Татьяна Юрьевна

Представление натуральных чисел диагональной квадратичной формой специального вида

Специальность 01.01.06- математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2006

003067328

Работа выполнена на кафедре теории чисел математического факультета Московского педагогического государственного университета

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор МИТЬКИН Дмитрий Алексеевич

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор ГРИЦЕНКО Сергей Александрович

доктор физико-математических наук, профессор ДОБРОВОЛЬСКИЙ Николай Михайлович

Ведущая организация - Саратовский государственный университет

Защита диссертации состоится " & .гса/ЬШ^ 2007 г. в ?г2часов на заседании диссертационного совета К 212.154.03 при Московском педагогическом государственном университете по адресу: 107104, Москва, ул. Краснопрудная, д. 14, ауд.^У*

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Московского педагогического государственного университета по адресу: 119992, Москва, ГСП-2, ул. Малая Пироговская, д.1.

Автореферат разослан 200'/г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Карасев Г.А.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. В современной теории чисел важное место отводится квадратичным аддитивным задачам - задачам о представлении натурального числа в виде суммы четырех слагаемых специального вида.

Клоостерман в 1926 году с помощью модулярных функций и сингулярных рядов в [1] получил асимптотическую формулу для числа представлений положительного целого п в виде ах2 + Ьу2 + сг2 + ей2. Он показал, что

которой р пробегает все положительные целые, меньшие д и взаимно простые с ним,

И здесь же он привел точные формулы для числа представлений чисел формами х,2 + х22 + а(х] +х2) при а= 3, 5, 6, 7. При этом, если а= 3, сингулярный ряд дает точное значение для числа представлений соответствующей формой. В случае а - 5, 6,7 в формулы Клоостермана входят дополнительные члены, которые он определил как коэффициенты разложений в степенной ряд произведений некоторых тэта-функций Якоби.

Т. Эстерманн [2] рассмотрел уравнение

Vabed

для любого положительного е, где

2 ( - \ г(и) = Iе" S(n) + О М18+Е ,

г/=!

А ~ 1» 5ср ч, 5фл - гауссовы суммы и обозначает сумму, в

5(и)>—-—>0. log log и

+ a2h% + a}h? + aAhl = k,

в положительных целых Ы,и 2 и (/и=1,2, 3,4).

Для чисел 0\, аг, а3, а4 выполняется одно из следующих условий: 0) Два из них положительны и два отрицательны; (и) а\ а2 а2 а4 < 0.

Для числа решений у(и) он получил асимптотическую формулу круговым методом Харди-Литтлвуда:

В [3], [4] Чок рассматривал уравнение р{х^ +х\)-д(х1 + х^) = а, в целых XI, х2, х3, Х4, которое является частным случаем уравнения, рассмотренного Эстерманном в [2], и расширил уже имеющиеся результаты с помощью метода К. Хооли, см. [3], [4].

Предполагая, что р(х? + х\)<И1, р > 0, <? > 0, д - нечетное,

И1

(2рд, а)= 1 и |а| = о(й2), когда А—>оо и при —когдаpq —»-со, для

Р

числа решений 5, с условием (х32 + х] ,а) = 1, была получена оценка:

где Сг > 0,

¿2 +«>

е 4 , К = Ди)}2 {У(-м)}2 <1и, в случае 0),

/¡Г = |{Лм)}3У(-м)^м, в случае (И), Ли) =

о

71

где

В диссертации рассматривается уравнение

4a{xt + xl) + b(xl + x]) = k, (1)

при к, а, Ь - натуральных, удовлетворяющих условиям (2a,b)= 1, (2ab, к)=\, аЬг «к, к= b (mod 4), Х\, х2, х3 > 0 и х* > 0 - целых. Также мы рассматриваем это уравнение с дополнительным условием на переменные: Оз + х],к) = 1 и (х32 + х],к) = D, где D - натуральное, D\k и а*Ьъ Dn « к. Поставим задачу о нахождении числа решений диофантова уравнения (1).

Главным шагом на пути построения асимптотической формулы является использование асимптотики для суммы:

I К*),

п<.Х ап=Цmod D)

где /•(«) - количество представлений натурального п в виде суммы двух квадратов с растущей разностью прогрессии D.

Нами используется результат Р.А. Смита [5].

2

Если т <к X3 и г(п) - число представлений п в виде суммы двух квадратов целых чисел, то для любого S > 0 справедлива оценка:

^ 4 т

n*b{modin)

Актуальность работы обуславливается тем, что в рассматриваемой задаче получен остаток, лучший чем в формуле Клоостермана и рассмотрены частные случаи с дополнительным условием на переменные ранее не рассматривавшиеся.

Цель диссертационной работы состояла в том, чтобы получить асимптотическую формулу для числа решений диофантова уравнения 4a(xf + + b(Xj + ) = к, при к, a, b - натуральных, удовлетворяющих условиям {2а, b)= 1, {2аЪ, к)= 1, «V « к, к = b (mod 4), xu х2, х} > О и х4 > 0 - целых,

а также получить оценки для числа решений этого уравнения с дополнительным условием на переменные (x¡ + xj,k) = l и (xl + x],k) = D, где D - натуральное, D\k и a4b3 Dn « к.

Основными задачами диссертационного исследования являлись:

1) Получение асимптотической формулы для числа решений диофантова уравнения 4a(x¡ + х\) + Ь(х] + х\) = к, при к, a, b -натуральных, удовлетворяющих условиям (2а, b)= 1, (2ab, к}= 1, <з463 « к, к = Ь (mod 4), х\,хг, х3 > 0 и х4 > 0 - целых.

2) Получение асимптотической формулы для числа решений диофантова уравнения 4a(xf + + b(x] + х42) = к, с дополнительным условием на переменные (х32 +х\,к) = 1, при к, a, b -натуральных, удовлетворяющих условиям (2a,b)= 1, (2ab, к)=\, а4Ьг «к, к = Ь (mod 4), х)г х2, x¡ > 0 и х» > 0 - целых.

3) Получение асимптотической формулы для числа решений диофантова уравнения Аа(х\+x\) + b(xl+x\) = k, с дополнительным условием на переменные (xj +х%,к) = D, при к, a, b, D - натуральных, удовлетворяющих условиям (2a,b)= 1, D\k, (2ab, к)= 1, аV £>12 « к, к^Ъ (mod 4), х,, х2>х3 > О их4 > 0 - целых.

Научная новизна. Результаты, доказываемые в диссертации, являются новыми.

Метод исследования. В работе применяется метод Хооли-Чока [3], [4].

Теоретическое и практическое значение. Работа носит теоретический характер. Результаты и методы могут быть использованы в дальнейших исследованиях, посвященных аддитивным задачам. Кроме того, результаты могут быть использованы при чтении специальных курсов по теории чисел.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на кафедре теории чисел МПГУ, на научно-практическом семинаре "Современ-

ные проблемы теории чисел" МГУ, на научной конференции "Ломоносовские чтения" 2006 года и V Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2006" в г. Севастополе.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах, список которых приведен в конце реферата.

Объем и структура работы. Диссертация изложена на 59 страницах печатного текста, состоит из введения, 4 глав. Диссертация содержит список литературы, состоящий из 26 наименований работ отечественных и зарубежных авторов.

Во введении изложена история вопроса, формулируются основные результаты диссертации:

Теорема 1. Пусть к, a, b - натуральные, (2а, Ь)= 1, (2ab, к)~ 1, а*Ь3 « к, k^b (mod 4).

Пусть S обозначает число решений диофантова уравнения

в целых *2. *з > 0 и хл > 0. Тогда для 5 справедлива асимптотическая формула:

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

4а(х? + х]) + Ь(х] + х*) = к,

и Г Я« -i J-Л

~Т(к,а,Ь) + 0 к" а 3Ь 4 ,

—+£

где

к s Ь (mod 4).

Пусть S обозначает число решений диофантова уравнения 4 a(xf +xl) + b{x]+xl) = k, в целых х\, х2, х3 > 0 и х4 > 0 и при условии (х? + х* ,к) = 1.

Тогда для S справедлива асимптотическая формула:

S = --—W(k,a,b) + 0\ ка~а*Ь~* 8 ab

где

W{k,a,b) = ^Hkmb(\)L2ak(\)Ç;lhk{2).

Теорема 3. Пусть к, a, b, D - натуральные, (2a,b)-\, (2ab, к)=1, k=b (mod 4), ab3 Du « к, D\k.

Пусть S обозначает число решений диофантова уравнения 4а (jc,2 + xj) + b(xl+xl) = к, в целых хих2, хз > 0 и х4 > О и при условии (х2 +x\,k) = D. Тогда для S справедлива оценка:

11 г з

-Т

S-E.JL.Z№±M(k,a,b) = k"ea~b 4r(D),

8 ab D

где

M(k,a,b)=Hb(l)L t(l)C' (2) X Z^ni1- —

2аЪ ШЪ 4D P

d\D pf D

НУ 4

4

s

ill

1 + z(p)

1-

x(p)

Z I xcn,

ЛвЖ) £

\ DS . m

{ DSm)

-(0

где

%(и) - неглавный характер Дирихле по модулю 4.

1£л<» п (.л,А)* 1

£,(2)= S "T.

lsn<00 ^ (п,2Л)=1

(&) = £— X ' . в частности

q\k 4 p<q ip.q W

<(i* a (¿,0-1

Первая глава носит подготовительный характер. В ней приводятся вспомогательные леммы и, в частности, лемма 11 и лемма 14, которая лежит в основе метода Хооли-Чока.

2

Лемма 11. Пусть m, b - натуральные, Х- действительное, m <£ X3 и г(п) - число представлений п в виде суммы двух квадратов целых чисел, то для любого ô > 0 справедлива оценка:

tfx 4 т

mod m)

Лемма 14. При нечетных A, q, к> О, N > 0 - действительном, справедливы оценки:

(О £ Z(p)Hçp(\)«H,{\)T(A)\ogN, N-+ 00,

piN

piN Р <Л2ЛН

(«о I X méjteéki {ъ^тс), \(2)+

слаи р г

l( 14Î )

+о

NMA)hgN £ н * (О

, «А* . Ш)

и?,«')'

(«") 2 X(P)Hq^k) r(A)lagN £ ^Jl).

(.<«.<« j

Во второй главе содержится вывод асимптотической формулы для числа решений уравнения

4 a(xf + Xj) + b(xl + х\) = к,

в целыхх\,х2, X} > О и > 0.

В третьей главе рассматривается уравнение

4 а(х? + b{x] + xl) = к, в целых хь х2, X} > 0 и х4 > 0, с дополнительным условием (х,2 + х],к) = 1. Результат третьей главы является частным случаем результата, полученного во второй главе.

В четвертой главе получена только оценка для числа решений уравнения 4а(х,2 + х22) + b(x] + х]) = к, в целых хьх2, х3 > 0 и х4 > 0, с дополнительным условием (х^ + xj, к) = D.. Нельзя сказать, в каком случае главный член будет положительным и больше остатка, тогда как для частного случая (хз + х\,к) = 1 главы 3 удалось получить асимптотическую формулу с положительным главным членом и при указанных в теореме условиях главный член больше остатка.

В конце главы приводится пример, в котором главный член будет положительным и больше остатка, при указанных в теореме условиях.

Пусть к=р]...р„ причем все= 1 (mod 4) и пусть = 1. Тогда для

S будет справедлива асимптотическая формула:

8 abD ji ^

Литература

[1]. Kloosterman H. D. On the representation of number in the form ax1+by7+cz1+dt1. //Acta mathematica. 1926.49. P. 407 -484.

[2]. Estermann T. A new application of the Hardy-Littlewood-Kloosterman method. //Proceedings of the London Mathematical Society. 1962. Third series. Vol. XII. №4. P. 425-444.

[3]. Chalk J.H.H. An application of Hooley's method for counting solutions of a diophantine equation. //C.R. Math. Rep.Acad.Sci.Canada. 1981. Vol.III. №2. P. 99-103.

[4]. Chalk J.H.H. An asymptotic formula for the number of solutions of a quadratic diophantine equation. //C.R.Math.Rep.Acad.Sci.Canada. 1981. Vol.III. №4. P. 215-220.

[5]. Smith R.A. The circle problem in an arithmetic progression. //Canad.Math.Bull. 1968. V. 2. №2. P. 175-184.

Публикации автора по теме диссертации

1. Андреева Т.Ю. Асимптотическая формула для числа представлений натуральных чисел квадратичной формой. Вестник Самарского государственного университета. Естественнонаучная серия. 6/1(46). 2006. С. 5-18. (0,9 п.л.)

2. Андреева Т.Ю. О числе решений квадратичного диофантова уравнения. Чебышевский сборник. Т. 6. Вып. 2(14). 2005. С. 2030. (0,8 п.л.)

3. Андреева Т.Ю. О числе решений квадратичного диофантова уравнения. V Материалы Научной конференции "Ломоносовские чтения" 2006 года и V Международной научной конференции

студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2006". 2006. С. 134. (0,1 п.л.) 4. Андреева ТЛО. Оценка числа решений квадратичного диофанто-ва уравнения с дополнительным условием на переменные. МПГУ., 2006, Деп. в ВИНИТИ 18.09.06 № 1152-В2006, - 32 е., библ. указатель ВИНИТИ «Депонированные научные работы», 2006, №11. (2 п.л.)

Подл, к печ. 08.12.2006 Объем 1 п.л. Заказ №. 137 Тир 100 экз.

Типография МПГУ

Обозначения

Введение

1 Вспомогательные утверждения

2 О числе решений уравнения 4a(xj + + Ъ(х\ + х2) = к

3 О числе решений уравнения 4а(х\ + х\) + b(x\ + х\) = к, при условии х\ + х\,к) =

4 О числе решений уравнения 4a(xf + Xj) -f 6(0:3 + £4) = к, при условии x23 + x24,k) = D

Вопрос о представимости чисел в виде суммы двух квадратов - вопрос, имеющий давнюю историю: он рассматривается еще в "Арифметике"Диофанта (около 250 года нашей эры), но точный смысл утверждений Диофанта неясен. Решение этого вопроса дал впервые немецкий математик Жирар в 1625 г. и немного позднее Ферма. Первым из известных нам доказательств является доказательство Эйлера, опубликованное в 1749 году.

Жирар и Ферма заметили, что любое натуральное число представляется как сумма четырех квадратов целых чисел. Учитывая, что в таком представлении некоторые слагаемые могут равняться нулю, эту теорему можно перефразировать так: каждое натуральное число представляется как сумма не более четырех квадратов натуральных чисел. Некоторые историки считают, что этот факт был известен уже Диофанту из Александрии: он не указал необходимых условий представимости числа суммой четырех квадратов, отметив, однако, что суммой двух или трех квадратов могут быть представлены лишь числа некоторого типа (см., например, [1]).

В 1749 г. JI. Эйлер опубликовал доказательство теоремы о представимости натурального числа суммой двух квадратов (доказательство можно найти, например, в [3]). Ж. А. Лагранж в 1770 году доказал, что каждое натуральное число представимо суммой не более четырех квадратов целых чисел (доказательство можно найти, например, в [2]), а в 1875 году А. М. Лежандр сформулировал критерий существования нетривиального решения диофантова уравнения: iixj + a2XiX2 + = 0, где а; попарно взаимно просил и не все одного знака, i = 1,2,3 . Он же доказал, что каждое натуральное число п может быть представлено суммой трех квадратов целых чисел тогда и только тогда, когда п отлично от чисел 41М, где М = 7 (mod 8). Правда, его доказательство опиралось на факт, известный теперь как теорема Дирихле о простых числах в арифметической прогрессии и доказанной лишь в 1873 году.

К. Ф. Гаусс в своем труде "Арифметические исследования "на основе развитой им теории бинарных квадратичных форм доказал теорему Лежандра полностью.

Якоби в 1829 году с помощью эллиптических функций получил в неявном виде формулы для представлений целых чисел в виде суммы 4, 6, 8 квадратов. Позднее, в 1834 г., Якоби дал чисто арифметическое доказательство формулы для количества представлений чисел в виде суммы четырех квадратов.

В 1858 - 1865 гг. Лиувилль опубликовал 18 заметок, в которых дает без доказательств целый ряд тождеств арифметического характера, содержащих произвольные числовые функции. Одновременно в огромном числе заметок Лиувиллем дано без доказательства множество результатов о количестве представлений натуральных чисел различными формами с 3, 4, 5 и б переменными, о числе классов бинарных форм и т. п., с одним только упоминанием, что все эти результаты получены из его числовых тождеств. Как пишет Венков в [4] ".результаты Лиувилля хотя и относятся к формулам частного вида (например, х2 + у2 + z2 + 2t2, х2 + 2у2 + 3z2 + 6t2 и т. п.), однако далеко выходят за пределы того, что может дать общая теория квадратичных форм со многими переменными в ее современном состоянии, и потому представляет большой интерес".

Методы, которыми пользовался Лиувилль оставались неразгаданными долгое время. В 1913 -1916 гг. Успенский (см., напр. [4]) не только воссоздал все тождества и результаты Лиувилля, но и нашел много новых формул. Почти все формулы являются следствиями одного основного тождества.

Пусть F(x,y, z) - числовая функция, определённая для всех систем значений трех целочисленных аргументов х, у, z и удовлетворяет только условиям:

F{-x,y,z) = -F(x,y,z),

F(x,-y,-z) = F(x,y, z).

Тогда имеет место формула:

53 F(A + Д', h, Д - Д') = 2 53 F(8-2i,d + i,2d + 2i-S)+T, m, m, m=h2+ AA' m=i2+dS где m > 0 - данное целое число, h, i = О, Д, A', d, 5 > 0 - целые числа, T = 0, если m - не квадрат и

24-1

Т = 53 {F(2s, s - j, 2s - 2j) - 2F(j, s,j)}, j=i если m = s2.

Клоостерман в 1926 году с помощью модулярных функций и сингулярных рядов в [5] получил асимптотическую формулу для числа представлений г(п) положительного целого п в виде ах2 + by2 + cz2 + dt2. Он показал, что

Vabed для любого положительного е, где

2пчгр Я ] Aqi Aq — Ч 4 'У , Sgp,qSbp,qScp,qS(lp,qC q-1 р

Sap,qi Sbp,qi SCp,qt Sdp,q ~ ГИЛ'ССОВЫ СУММЫ И Ер обозначает Сумму, В КОТОрОЙ р пробегает все положительные целые, меньшие q и взаимно простые с ним,

S(n) > —> 0. log log п

И здесь же он привел точные формулы для числа представлений чисел формами xl+xl+a(xl+xl), при а = 3,5, б, 7. При этом, если а = 3, сингулярный ряд дает точное значение для числа представлений соответствующей формой. В случае а — 5,6,7 в формулы Клоостермана входят дополнительные члены, которые Клоостерман определил как коэффициенты разложений в степененной ряд произведений некоторых тэта-функций Якоби.

Т. Эстерманн в [б] рассмотрел уравнение a\h\ + + аз^з + ~ где /ii,/i2)^3,/i4 положительные целые и \amh2m\ <п(т = 1,2,3,4). Для чисел ai,a2,az,ai выполняется одно из следующих условий: (i) Два из них положительны и два отрицательны; (И) а^язЩ < 0.

Для числа решений v(n) он получил асимптотическую формулу круговым методом Харди-Литтлвуда: v п) - Ща^а^а^ *Dn С2п кг

-2т ч где С2 > 0, оо 4

D= Е B(q), B(q) = Е { П а,пг)}е

0=1 r<q rn = l м)=1 q -amr}2

S(q,amr) = Е в2™" , А'= / {J(u)}2{J{-u)}2du, в случае (i),

J = 1 -00

00 1

К = / {J(u)}3J(-u)du, в случае (ii), J (и) = /eWa.

-00 О

Коган JI. А. в 1960 - 1966 гг., (см. [7]) применяя метод Якоби - Рамануджана -Харди - Райта - Вальфиша к исследованию квадратичных форм с четырьмя переменными, доказал этими методом большое количество результатов Лиувилля, опубликованных без доказательства. Он установил связь между гипотезой И. М. Виноградова о наименьшем квадратичном невычете и проблемой нахождения формул типа Лиу-вилля, базируясь на теории модулярных форм.

В [8], [9] Дж. Чок рассматривал уравнение р(х\ + re2) — q(x\ + х\) = а, в целых х1,х2,хз,х4, которое является частным случаем уравнения, рассмотренного Т. Эстерманном в [6], и расширил уже имеющиеся результаты с помощью метода

Хооли. Предполагая, что р(х\ + х\) < h2,(p,q) = 1 ,р > 0, q > 0, q - нечетное,

Д2

2pq,a) = 1 и О Ф |а| = о(/г'2), когда h оо и при — » (pq)3, когда pq -> оо, Р для числа решений 5, с условием + я2, а) = 1, была получена оценка:

7Г /г' „

9}0) hsp ц 4

8 pq

1+tf где —Яа(1)Я9(1)£2ра(1)С2^а(2). а

В [10] Белозеров Г.С. также рассматривал уравнение а(х\ + х%) - Ь(х2 + х\) = к в целых х1,х2,хз,х4, при условии х\ + х2 < N, при N —^ оо. Считая, что а,Ь,к -заданные натуральные, Ь, к - нечетные, к = o(aN) и (а, Ь) = (Ь,к) = (а, к) = 1, а > 6, была получена асимптотическая формула для числа решений А(а, Ь, к; iV):

Ь,fc; N) = £3(о, 6, Л) (?) ' где

Е3(а,Ь,к) =

Е2(а, Ь. к), если а ф 0 (mod 4), 2Е2(а, Ь, к), если а = 0 (mod 4), к = -b (mod 4), 0, если а = 0 (mod 4),k = b (mod 4).

4тг 1(1, Х4) nla&fc V F 7 Ы/fc 4

Х4(р)р(аЛр) + p|a6Jfc 4 г / \ f / \ Р где p(a,l,D) означает количество решений сравнения а(х2 4- у2) = / (mod L>). Х4 - неглавный характер по модулю 4, хо4 - главный характер по модулю 4.

Д.Р. Хиз-Браун и Д.И.Толев в [12] рассмотрели представимость натурального 7V в виде суммы квадратов четырех переменных гс2,0:3, где X\ - простое, X2,xz,x^ - почти простые

В [13] Плаксиным В.А. получена асимптотическая формула для количества представлений натуральных N в виде

N = p2 + q2 + x2 + у2, где р, q - нечетные простые, х, у - целые числа.

Дж. Брудерн и Е. Фоури в [14] доказали, что п = 4 (mod 24) есть сумма четырех квадратов со всеми простыми делителями, большими чем п7, где 7 > ^g и нашли нижнюю границу для числа таких представлений. Также они доказали, что при достаточно большом N диофаптово уравнение х2 + х\ — — х\ = 1 имеет больше чем iV2(logiV)4 решений в положительных целых Xi < N со следующими условиями: если р\хгх2х3^4 и р \ 6, тогда р > ДГШз. В данной работе

Аа{х\ + х\) + Ъ{х\ + х{) = к, (1) при к,а,Ь - натуральных, удовлетворяющих условиям (2а, b) = 1, (2ab,k) = 1, а4Ь3 -С к, к = b (mod 4),х1,х2,хз > 0 и > 0 - целых. Также здесь рассматривается это уравнение с дополнительным условием на переменные: (х\ + х2, к) = 1 и х\ + х2, к) — D, где D - натуральное, D\k и a4b3D12 <С к. Ставится задача о нахождении числа решений диофантова уравнения (1).

Главным шагом на пути построения асимптотической формулы является использование асимптотики для суммы: п<Х an = l (mod D) где г(п) - количество представлений натурального п в виде суммы двух квадратов с растущей разностью прогрессии D.

В настоящей работе используется результат Р.А. Смита [15]. Если т < Хз и г(п) - число представлений п в виде суммы двух квадратов целых чисел, то для любого 5 > 0 справедлива оценка:

Erin) - %-—M(b,m) <s X*+sm~Ub,m)5. 4 т п<Х n=b(modm)

В первой главе формулируются и в некоторых случаях доказываются вспомогательные леммы, необходимые для дальнейших доказательств.

Главным результатом второй главы является доказательство теоремы 1: Теорема 1. Пусть к,а,Ь - натуральные, (2а, b) = 1, (2ab,k) = 1, а4Ь3 <С к, k = b (mod 4).

Пусть S обозначает число решений диофантова уравнения

4a{xj + х22) + Ь(х23 + х24) - к. в целых Х\,Х2,хз > 0 и х4 > 0. Тогда для S справедлива асимптотическая формула:

T(atb,k)+0(kft+ta~h-$),

8 й b где

T(a,b,k) = Нь{1)Ьа{1)&(2)а£(к).

В третьей главе получена асимптотическая формула для частного случая уравнения (1), при (xj + х2, к) = 1. Основным результатом третьей главы является теорема 2:

Теорема 2. Пусть к,а,Ь - натуральные, (2а, b) = 1, (2ab,k) = 1, а463 <С к, к = Ь (mod 4).

Пусть S обозначает число решений диофантова уравнения

4а(х21 + х\) + Ь(х з + х24) = к. в целых Х\,Х2,> 0, х4 > 0 и при условии (х\ + х\,к) = 1. Тогда для S справедлива асимптотическая формула:

S = W{a,b,k) + 0(k%+ta~h

8 ab где

Ф(к)

W(a,b,k) = ^Hk(l)Hb(l)L2ak(l)Q\k(2).

В четвертой главе получена оценка для частного случая уравнения (1) с фиксированным наибольшим общим делителем (х2 + х2, к) = D. Доказывается следующий результат:

Теорема 3. Пусть к, a,b,D- натуральные, (2а, b) = 1, (2ab, к) = 1, к = b (mod 4), a4b3D12 < к, (х% + х\, к) = D, k\D тогда для любого е > 0 справедлива оценка:

S-1'К- Щ^М(к,а,Ъ) «£ k^a-H-b(D),

8 ab L) где

М(к,а,Ь) = Нь(1)Ьн(1)£ь±(2) £ d\D p\D \ V ' X

Е£Ш£)П(1+хЫЛхМ)) е е х(0. г»,2а)=1 ((,2»^)=!

•£

Хотя в главе 4 рассматривается частный случай уравнения (1), тем не менее, для более общего случая получена асимптотическая формула с положительным главным членом, который будет больше остатка, при условиях, указанных в условии теоремы 1. Для частного случая - теоремы 3 получена только оценка для числа решений уравнения (1), поскольку нельзя сказать, в каком случае главный член будет положительным и больше остатка. Теорема 2 главы 3 является частным случаем теоремы 3 главы 4. В главе 4 получена только оценка, как было сказано выше, тогда как для частного случая + х\, к) — 1 удалось получить асимптотическую формулу с положительным главным членом и при указанных в теореме условиях главный член будет больше остатка.

Основные результаты опубликованы в [23], [24], [25], [26].

1. Dickson L. E. History of the theory of numbers. V. 1.. New York. G.E.Stechert&Co. 1934.

2. Айерленд К., Роузен M. Классическое введение в современную теорию чисел. М.:Мир, 1987.

3. Дэвенпорт Г. . Высшая арифметика. М.: Наука. 1965 г.

4. Венков Б. А. . Элементарная теория чисел. М. 1937 г.

5. Kloosterman Н. D. On the representation of number in the form ax2+by2+cz2+dt2. //Acta mathematica. 1926. 49. P. 407 484

6. Estermann T. A new application of the Hardy-Littlewood-Kloosterman method. //Proceedings of the London Mathematical Society. 1962. Third series. Vol. XII. №4. P. 425-444

7. Коган JI. А. О представлении целых целых положительно определенными квадратичными формами. Ташкент. 1971 г.

8. Chalk J.H.H. An application of Hooley's method for counting solutions of a diophan-tine equation. //C.R. Math. Rep.Acad.Sci.Canada. 1981. VoLIII. №2. P. 99-103

9. Chalk J.H.H. An asymptotic formula for the number of solutions of a quadratic diophantine equation. //C.R.Math.Rep.Acad.Sci.Canada. 1981. Vol.III. №4. P. 215220

10. Белозеров Г. С. Асимптотические формулы для числа решений некоторых диофантовых уравнений: Дисс. к. ф.-м. н. Одесса. 1991.

11. Shimura Goro. The representation of integers as sums of squares. //American Journal of Mathematics. 2002. V. 124. №5. P. 1051-1081.

12. Heath-Brown D.R., Tolev D.I. Lagrange's four squares theorem with one prime and three almost-prime variables. //Journal reine und angew. Math. 2003. 558. P. 159224.

13. Плаксин В. А. Асимптотическая формула числа решений нелинейного уравнения с простыми числами. //Известия АН СССР. Сер. матем. Т. 45. №2. 1981. С. 321-397.

14. Brudern J., Fouvry Е. Lagrange's four squares theorem with almost prime variables. J. Reine Angew. Math. 454. 1994. 59-96.

15. Smith R.A. The circle problem in an arithmetic progression. //Canad.Math.Bull. 1968. V. 2. №2. P. 175-184.

16. Виноградов И. M. Основы теории чисел. М.:Наука. 1981.

17. Титчмарш Е. К. Теория дзета-функции Римана. Череповец: Меркурий-ПРЕСС. 2000.

18. Хооли К. Метод решета в теории чисел. М.: Наука. 1987.

19. Харди Г. Двенадцать лекций о Рамануджане. М: Институт компьютерных исследований. 2002.

20. Прахар К. Распределение простых чисел. М.:Мир. 1967.

21. Бухштаб А.А. Теория чисел. М.:Просвещение. 1966.

22. Карацуба А. А. Основы аналитической теории чисел. М.'.Едиториал УРСС. 2004.

23. Андреева Т.Ю. О числе решений квадратичного диофантова уравнения. Чебышевский сборник. Т. 6. Вып. 2(14). 2005. С. 20-30.

24. Андреева Т.Ю. О числе решений квадратичного диофантова уравнения. V Материалы Научной конференции "Ломоносовские чтения"2006 года и V Международной научной конференции студентов, аспирантов и молодых ученых "Ломоносов-2006". 2006. С. 134.

25. Андреева Т.Ю. Асимптотическая формула для числа представлений натуральных чисел квадратичной формой. Вестник Самарского государственного университета. №6/1(46). 2006. С. 5-18.

26. Андреева Т.Ю. Оценка числа решений квадратичного диофантова уравнения с дополнительным условием на переменные. МИГУ., 2006, Деп. в ВИНИТИ 18.09.06 № 1152-В2006, 32 с. Библ. указатель ВИНИТИ "Депонированные научные работы", 2006, №11.