Представления бесконечномерных алгебр Ли и интегрируемая двумерная квантовая теория поля тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ
|
Фейгин, Борис Львович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Черноголовка
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1995
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.01.03
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
?Г8 оа
Институт теоретической физики пм. Л. Д. Ландау Российской Академии паук
иа правах рукописи
УДК 530.1
Фейгпп Борис Львович
ПРЕДСТАВЛЕНИЯ БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБР ЛИ
И
ИНТЕГРИРУЕМАЯ ДВУМЕРНАЯ КВАНТОВАЯ ТЕОРИЯ ПОЛЯ
Специальность 01.01.03 — математическая физика
ДИССЕРТАЦИЯ в виде научного доклада на соискание ученой степени доктора физико-математических паук
Черноголовка 1995
Официальные оппоненты: академик Новиков С. П.
доктор физико-математических наук Олыианецкий М.А. доктор физико-математических наук Соловьев М.
Ведущая организация: Математический институт им. В.А. Стеклова Российской Академии наук.
Защита состоится 29 декабря 1995 г. на заседании специализированного совета Д.002.41.01 Института теоретической физики пм. Л. Д. Ландау Российской Академии наук.
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теоретической физики им. Л. Д. Ландау Российской Академии наук.
Диссертация в виде научного доклада разослана
доктор физико-математических наук Фальковский Л. А.
.1994 г.
Ученый секретарь специализированного совета:
Содержание
Введение
Глава 1. Представления бесконечномерных алгебр Ли §1. Представления алгебры Вирасоро
I. Приводимость модулей Верма
II. CtMcmawviие операторы между бозоиными модулями
III. Вертексиые операторы
§2. Аффинные алгебры Каца - Муди: модули Иакимото
I. Определение модулей Вакимото
II. Структура модулей Вак-имото
III. Сплетающие операторы между модулями Вакилюто
§3. Иг-алгебры и квантовая редукция Дринфельда — Соколова
I. Квантование редукции Дринфельда - Соколова
.II. Возопизация W-алгебр
§4. Двойственность JV-алгебр и центр универсальной обёртывающей аффинной алгебры Ли на критическом уровне
I. Двойственность W-алгебр
II. Центр на критическом уровне
Глава 2. Интегралы движения и. квантовые группы
§5. Классическая TV-алгебра и локальные интегралы движения уравнении Тоды
I. Классический предел алгебры Гейзенберга и скринингов И. Уравнения Тоды
III. Локальные интегралы движения теории Тоды, ассоциированной с конечномерной простой алгеброй Ли
IV. Локальные интегралы движения аффинной теории Тоды §6. Квантование локальных интегралов движения
I. Квантовая теортл Тоды
II. Композиции скринингов и квантовые группы
III. Квантовые локальные интегралы движения
§7. Нелокальные интегралы движения и центр аффинной квантовой группы на критическом уровне
Typeset bv ДvfS-"!^'
[ Глава 3. Корреляционные функции §8. Определение модулярного функтора
§9. Интегральные представления корреляционных функций из бозониза-ции
§10. Корреляционные функции на критическом уровне и программа Лен-глендса — Дринфельда ]
Введение
Актуальность темы
За десятилетие, прошедшее с выхода в свет пионерской работы А.А.Бедавина, А.М.Полякова и А.Б.Замолодчикова [8], был достигнут значительный прогресс в изучении конформных теорий поля (КТД) в двух измерениях. КТП получила большое число приложений в различных областях теоретической физики,от решёточных моделей статистической физики до теории струн и квантовой гравитации. В то же время велись и по сей день ведутся интенсивные математические исследования основании и методов КТП. Среди областей математики, обогатившихся от влияния КТП, можно назвать теорию представлений бесконечномерных алгебр Ли и квантовых групп, алгебраическую геометрию, теорию интегрируемых систем, теорию комбинаторных тождеств и модулярных форм, маломерную топологию и т.д. КТП и сейчас остаётся в центре внимания физиков и математиков.
Основной причиной точной решаемости КТП является наличие у них большой алгебры Ли симметрии. Пространства состояний КТП имеют структуру представлений алгебры Вирасоро и, более общо, расширенных конформных алгебр. Математической теории представлений таких алгебр посвящена первая глава диссертации.
В работе [74] А.Б.Замолодчиков ввёл новый замечательный класс двумерных квантовых теорий поля — интегрируемые возмущения КТП. Эти теория, хоть и теряют конформную инвариантность, всё же обладают бесконечным набором интегралов движения в инволюции и поэтому могут быть точно решены. Интегралы движения этих теорий можно рассматривать как квантования иерархий солитонных уравнений. Исследованию интегралов движения посвящена вторая глава диссертации.
К сожалению, ненаписанной осталась третья глава о корреляционных функциях КТП по работам [7,20,36,38,41]. Добавление этой главы сильно превысило бы допустимый объём автореферата.
Научная ценность и новизна
Оригинальные результаты, представленные в диссертации, состоят в следующем:
—г построена теория представлений алгебры Вирасоро;
— определены и изучены бозонные модули (модули Вакимото) над аффинными алгебрами Каца - Муди;
— определена И-'-алгебра, ассоциированная с простой алгеброй Ли, и построено квантование гамильтоновой редукции Дринфельда - Соколова;
— доказана двойственность tV-алгебр;
— доказана гипотеза Дрннфелъда о центре локального пополнения универсальной обёртывающей аффинной алгебры Ли на критическом уровне;
— приведена гомологическая конструкция пространств классических п квантовых локальных интегралов движения теорий поля Тоды;
— построено квантование обобщенных иерархии Кортевега - де Фриза;
— обсуждается задача диагонализашш квантовых гамильтонианов иерархии КдФ.
Апробация работы
Диссертация содержит результаты 19 научных работ [19-37], опубликованных в России и за рубежом. Работы докладывались на семинарах в ПТФ им. Л.Д.Ландау РАН, на мех-мато МГУ, в математическом институте RIMS (Киото), а также на международных конференциях, в том числе на Международных математических конгрессах в Киото (1990) и Цюрихе (1994) и па Международном конгрессе по математической физике (Париж, 1994).
Многие из реферируемых работ написаны в соавторстве. Мне приятно поблагодарить Т.Наканинш, Х.Оогури, Н.Ю.Решетихина, Э.В.Френкеля и Д.Б.Фукса за сотрудничество.
В последнем параграфе (§7) анонсируются неопубликованные результаты. Глава 1. Представления бесконечномерных алгебр Ли
§1. Представления алгебры Вирасоро [21-25,37,39]
Алгебра Вирасоро Vir — это одномерное центральное расширение алгебры Ли Vect S1 = {/(z)^ : f(z) 6 C((z))} векторных полей па окружности. Базис в Vir составляют элементы Li, i GZ (Li —>■ С, а скобка задаётся формулой
[U, Li] = (« - j)Li+j + 1^ ■ 5i-j ■ С; [C,L,]= 0. (1.1)
Алгебра Вирасоро имеет естественную градуировку: degL; -- i, degC = 0.
Пусть М = ®iezMi — градуированный модуль над Vir, т.е. Lj(Mt) С Mi+j, и пусть центральный элемент С действует на М умноженном на число с £ С (центральный заряд). Модуль М называется модулем со старшим весом (Л,с), если dimMj = 0 при i > 0, dimilio — 1, для ненулевого вектора v G Л/о (оект,ор старшего веса или вакуумный вектор) LqV — Av, и ¿о|л/_,- = Д + i. •
Основные примеры модулей со старшим весом:
1) Модуль Верма V(a,c) определяется как модуль, свободно порождённый вакуумным вектором V (с условиями L,v = Ли, г > 0), т.е. свободный относительно подалгебры Ли (Li, г < 0).
2) Неприводимый модуль М(д_с) со старшим весом (Д,с) есть фактормодуль модуля Верма по максимальному собственному подмодулю.
3) Бозонный модуль й(р,а) реализуется в бозонном пространстве Фока. Рассмотрим алгебру Гейзенберга К с базисом {F;,t 6 Ж; К} и скобкой
[Fi,Fj]=iS,:4-K-, [Л-,^,] = 0. (1.2)
Бозонное пространство Фока — это неприводимый модуль Нр над алгеброй И, порождённый вакуумным вектором v 6 Нр,
Fov — pv, Fiv = 0 при г > 0, Kv = v,
и свободный относительно абелевой подалгебры (Fi,i < 0).
Зададим теперь действие алгебры Bnpatopo на пространстве IIр. Введём производящие функции или поля
T(z) F(z) = 1 (1.3)
iez >ez
(тоемзор энергии-импульса и производная свободного бозонного поля). Положим
T{z)=l--.F{zf :+adzF{z), (1.4)
т.е.
L' = Е FkFi: -«(«'+1)я- (L4')
Здесь две точки означают нормальное упорядочение (т.е. элемент с большим номером ставится справа), а — дополнительный параметр. Известно [23], что формула (1.4') задаёт действие алгебры Vir на пространстве Нр со старшим весом (Д,с), где
с = 1 — 12а2, Д=^р(р-2а). (1.5)
Это и ест1? бозопный модуль Н(р<ау
Легко видеть, что Я(р,а) = Я('_Р,_а) и Н(2а-р,ау (Если М — модуль, то
через М* мы обозначаем контраградиентный модуль.)
Определим характер модуля со старшим весом М = ф,->оА/_; как
оо
ch М = dim M-i -q%. i=0
Отметим, -что, хотя характеры модулей Верма и бозонных модулей совпадают,
ОО ОО
n=0 m=l
(p(n) — функция разбиений), между семействами модулей и Н(р,а) имеются
существенные различия. Тем не менее, связи между бозонными модулями и модулями Верма являются основным инструментом для изучения последних.
Проблема описания структуры модулей Верма и бозонных модулей была решена в работах [21-23]. Приведём некоторые основные результаты этих работ.
I. Приводимость модулей Верма
Пусть М = ©¡>0М_{ — модуль со старшим весом. Ненулевой вектор ш € г > 0, называется сингулярным вектором на уровне'!, если Ь^гч = 0 при ] > 0. Модуль Верма приводим тогда и только тогда, когда он содержит сингулярный вектор.
Пусть числа (р,а) и.(Д,с) связаны соотношением (1.5), и с*+, а_ — корни квадратного уравнения
— 2а) = 1. -- (1.7)
Теорема 1.1. [23] (1) Если
(1 - т)а+ + (1 — п)о_ .
Р = Р(т,п) = —-д-* ^
где т,п 6 2, тп > 0, то модуль Берия с; содержит сингулярный вектор па урозне тп.
(и) Обратно, пусть модуль Т^д^) содержит сингулярный вектор на уровне г > 0 и не содержит сингулярных векторов на меньших уровнях. Тогда для некоторых т, п € Ъ г = тп и р = Р(т,п)-
Из этой теоремы, равносильной формуле Каца для детерминанта формы Шаповалова [47,21], легко вывести классификацию сингулярных векторов в модулях Верма (или, что то же самое, сплетающих операторов между шили) [22]. и, следовательно, строехше композиционных рядов модулей Верма [23].
• II. Сплетающие операторы между б озонными, модулями
Доказательство теоремы 1.1 и формулы Каца опирается на следующие утверждения:
Предложение 1.2. [21] Модуль У(д1С) приводим тогда и только тогда, когда приводим модуль Н(р,а).
Для доказательства следует рассмотреть гомоморфизм У(д,с) —»■ #(;.,п) 11 воспользоваться (1.6).
Теорема 1.3. [23]'Обозначим #('"•") = Щр а). Пусть т > 0. Тогда существует (ненулевой) сшетаюлщй оператор
дт . ^г(пг,я) _^ ^(—т.п)
повышающий градуировку на тп. Аналогично, если п > 0, то существует отстающий оператор
повышающий градуировку на тп.
Теорема 1.3 позволяет найтп композиционные ряды бозонных модулей [23]. Оказывается, что композиционные ряды модулей Н(р а) и ^(д,с) состоят из одних и тек
•^е неприводимых представлении, но склеиваются они по-разному (т.е. бозонный модуль — это как бы перекрученный модуль Верма). Сходная картина имеет место для аффинных алгебр Каца - Муди, см. §2.
Самые интересные представления с наиболее сложной структурой получаются при а_/сц- = —р/д £ (¡2, где (р, <г) — взаимно простые натуральные числа (рис. 1) [24]. В этом случае
Д-(т.п) ц('п+Р,п+11) что даёт последовательности модулей и гомоморфизмов (см. рис. 2)
...->■ Я<2г,-т'") 3+> > ^(-2р+т,гг) _ (1.9+)
/f(m>2?-") - ) jj(rn,n) fl(m-n) S- > jj(m,-2q+ п) _>. _ (1-9-)
Здесь 0<m<p, 0 < п < q. Легко доказать. (Фельдер [3S]), что = S^Sp+~m =
= "S" — " = 0, когомологии в комплексах (1.9) имеются в единственном
члене и совпадают с неприводимым представлением Д/(т>") = М(д(т п),С(р
где числа
- 1 g (Р ~ <?)2 \ (шд - ггр)2 - (р - д)2 , , с0м) - 1 - 6——, А(ш,п) =-^------(1-Ю)
соответствуют (р(т,„),а) по формуле (1.5). Представления Л/<т'"', 0 < т < р, О <п < q, образуют пространство состояний (р, д)-минимальной модели конформной теории поля, см. [8]. Заметим, что Af(m'n) = Комплексы (1.9) называ-
ются резольвентами Фельдера.
Например, если (р, q) — (2, 2г -f- 1), из (1.9) получаем
Л Jlf™ = П(1 - ,'J-1 = п t1 - Л-1-
Vfees /1=1 1>о
mod (2г+1)
В [25] этот.характер вычислен другим способом (изучением аннигилирующего идеала [37] и правил слияния [7]), что позволяет доказать тозкдсства Гордона
п а-«'г1- Е —й)-• м
mod (2г+1)
где ЛГ,- = пу + ... + пг_ь (<?)„ - (1 - д)(1 -q2)...(l-qn),i<r.
Существуют формулы характера, аналогичные правой части (1.11), и для других минимальных моделей [50,51,67].
о
III. Вертекспые операторы
Конструкция сплетающих операторов из теоремы 1.3 использует теорию вертекс-ных операторов. Вертекспый оператор с показателем а G С — это оператор между бозопными пространствами Фока
B(a,z):Hp-> Нр+а,
зависящий от точки z ф 0. Он определяется как
B(a,z) =-с Г dl := lexp • • exp ^-og , (1.12)
где /. : II,, —> Пр+а — отождествление, перестановочное с F;, г ф 0.
Матричные элементы оператора В(а, г) являются, вообще говоря, многозначными функциями от z; опи однозначны лишь при ар G Z. В этом случае оператор B(a,z)
можно разложить в ряд Фурье по г:
¿ег
Свойства операторов В{(а) (проверяются прямым вычислением):
[^,Я,(а)] = аЯ;+Дй) (1.13)
-(» + 1)ад = а : £ : (1.14)
Щ, В ¿(а)} = - Ц + (1 - Да)(г + 1)) В,+;(а), (1.15)
где Да — |а(а — 2а); т.е. выражение В (а, г) ведёт себя при замене координаты г как тензорное поле /(.г)(<£г)Л». Число Д„—это конформная размерность поля В(а,г).
Пример. Пусть р = Р(1,„), а = а+. Тогда ар = п — 1, Аа = 1 (ср. (1.7)) и 5+ = В0(ец) = £в(а+,г)<12 : Я(1'п) ->■ Я^1'"*
— сплетающий оператор. Он называется скринингом (экранирующим оператором).
Другие сплетающие операторы строятся как "степени" скринингов. Трудность состоит в том, что в произведении
¿7= В(а+,я1Ща+,г2)...В(а+,гт)<1г1...<1гт : Яр-> Яр+та+ (1.16)
подынтегральное выражение есть многозначная функция от Действительно, рассмотрим .какой-нибудь матричный элемент Ь(21,... ,2т) произведения вертексных операторов
т•) •"т
Легко видеть, что [23]
т / \
Д + __ = П 1 - - ) • (полином ОТ 2,, ¿Г1)
>=1 -- ¿>л
(обе части равенства рассматриваются как ряды Лорана, сходящиеся при 1 3> 22 .... гт), или, аналитически продолжая на область 1)т = {г; г; ^ 0},
т
В(а 1 .га)... В(ат,хт) = (регулярная функция) • - г^"'"' . (1.17)
Интегрируя это выражение, следует выбрать контур интегрирования и ветви многозначной функции; т.е. интеграл определён неоднозначно (зависит от цикла со значениями в одномерной локальной системе С), или вообще не определён (если все циклы гомологичны нулю).
и
Предложение 1.4. [23] Если (р 4- ат am~i + ... + aj+i) aj £ Z, то
i= i
dim Hm(Dm, С) > (m- 1)!
Теорема 1.5. [23] Если p — p(m,„), m > 0, то оператор (1.16) олредатён корректно с точностью до пропорциональности (не зависит от цикла С € Hm(Dm,C)) п является сплетающим оператором jj(m<") —> //(-"»."l.
То же самое верно, разумеется, с заменой m <4- п и а+ а_.
Обобщив этот результат, Вл.С.Доценко и В.А.Фатеев [14] построили интегральные представления для корреляционных функций минимальных моделей конформной теорип по.1я.
§2. Аффинные алгебры Каца — Муди: модули Вакимото [26-29,72,73]
Наша основная цель в этом параграфе — дать определение и описать свойства бозоппых модулей над аффинными алгебрами, аналогичных бозонным модулям над алгеброй Вирасоро (§1). Эти модули были впервые введены М.Вакимото [72] для алгебры (отсюда их название) и независимо А.Б.Замолодчиковым [73] для и sij. Общее определение дано в [20].
Зафиксируем обозначения. G — односвязная простая группа Ли над С; 0 — её алгебра Ли; 0 = гц. ® i) © п_ — картановское разложение; b± = I) ф п± — борелевские подалгебры; N±, Н, В± — соответствующие подгруппы в G; Д+ С I)* — множество положительных корней; а; £ Д+ — простые корни, i = 1,... ,г; е;, /;, hj — образующие Шевалле; W — группа Веиля; р — полусумма положительных корней.
g — аффинная алгебра Ли [48], т.е. центральное расширение алгебры токов Lfl = = g® <C((z)). Как векторное пространство, g = ХдфС-А', а скобка задаётся формулой
[*(•),У(Я] =[X,r](i + j) + I'5,,.J(A',y)-7i; [K,X{i)]=0. (2.1)
Здесь X,Y е 0, X(i) = X ® z' € ¿0, а (,) — инвариантная билинейная форма на д, нормализованная так, что скалярный квадрат длинного корня равен 2. g = п+ © f) Ф фп- —картаповское разложение: ij = f)©C-Ii, n+ = п+®1фд®гС[[г]], ri_ = п_®1ф Фд ® 2-1С[г-1]. Вес алгебры Ли 0 задаётся парой (А,/с) € f)*, где А € f)* — вес алгебры g, к — уровень (собственное значение центрального элемента К). Uk3 — = Ug/(K — k) — универсальная обёртывающая на уровне к; 0+ = 0®C[[z]J С 0. Градуировка на g: degX(i) = г, deg К = 0. /гу — дуальное число Кокстера для 0 [48]. Пусть к ф —tiJ\ через Оь обозначается категория градуированных д-модулей уровня к со старшим весом. При к — — ЬУ (критический уровень) удобно рассматривать категорию необязательно градуированных модулей со старшим весом. М^д.^) £ Ok — модуль Верма со старшим весом (A,fc). р — (p,hv) £ f)* — ''полусумма положительных корней алгебры 0". = W к А — аффинная группа Вейля, где А С f) — решётка ковесов алгебры Ли 0.
LS = S ® C((z)) — пространство петачь многообразия S. G — группа Каца -Муди, т.е. центральное расширение группы петель LG с помощью С* [63]. N±, Н, В± — подгруппы в G с алгебрами Ли tt-t, fj, Ь^ь = ij Ф П±-
Алгебра Впрасоро действует на модулях AI е ök, к / — hv, по формуле (см. (1.3)) ™ = = £*•«*'<*>'. с^ (2.2)
(конструкция Шугавары); здесь Ха, X" — двойственные базисы » g относительно скалярного произведения (,), a X{z) = zX(i)z~'~1 — гоок элементах £ g. Конформная размерность поля u(z) (см. §1, раздел III) обозначается A(u(z)); в частности,
Д(Г(г))=2,Д(Л-(г)) = 1.
I. Определение модулей Вакимотпо [26,36]
Напомним, что в пространстве функций на старшей клетке U многообразия флагов F = G/B_ реализуется семейство g-модулей М*, х G Ъ*> контраградпентных к модулям Верма. Отождествим пространство U = N+ при помощи экспоненциального отображения с линейным пространством п+ с координатами ха, а е Д+. Положим deg2a = а. Алгебра JIa д действует на функциях дифференциальными операторами первого порядка:
dXß
f<= Е +
/3€А+ ß
где Pß,Q'ß — однородные полиномы от ха степени ß — а{ и ß + оц соответственно.
Сделаем теперь переменные ха, н x(h-i) "зависящими от точки z". Рассмотрим алгебры Геиэенберга
Г = (аа(т), а*(т), 1; т б 2, о € Д+)
и
f> = {bi(m),K; meZ,l<i<r)
со скобками
[aa(m),a£(n)] =5aJ3<Sm_„- 1; [о„(ш),ад(п)] = [a* (m),«*,(«)) = 0; [1,:] = 0,
Пусть 7гг — представление Фока алгебры Г, порождённое вакуумным вектором v,
aa(m)v = 0, т > 0; a* (n)v = 0, п > 0; = и,
a -ff(A — представление Фока алгебры () с вакуумным вектором ид, А € f)*,
к 6 €, _
bj(m)v\ = 0, m > 0; bf(0)rA = Wi)vx; Kvx = (к +
Введём производящие функции или распределения на окружности или поля a„(z) = Е0«(п)г~"_1; <(г) - Ea«(n)~_"; M*i),a¿(z2)] = - Zi)',
Ч*) = ЕМпК"-1; [Ь-ЫЛЫ] - {hi,hj)- г1)-К.
Теорема 2.1. Существуют такие константы c¿, 1 < г < г, что формулы
e¡(z) = <xat(z) + £ : PfeMz) :, ее а+
'9£Д+ /5ед+
в которых выражения P^(z), Q'¿{z) получаются из полиномов P'¡ и Q^ подстановкой —>■ задают действие алгебры Ли $ на пространстве ж?® H(x,k+hv) со старшим весом (X, к).
Построенный д-модуль обозначается \\\х,к) и называется модулем Вакимото. Приведём также формулу для тензора энергип-ямпульса (2.2):
Т= kTh* EWW : "Е^' ^) + Е : (2.4)
где b'(z) — дуальные к b¡(z) образующие:
¡b'(m),bj(n] — m5m-nSi,j ■ К. . Пример: g = slj [72]. Формулы (2.3) имеют вид e(z) = a(z),
h(z) = -2:a(z)a*(z):+b(z), (2.5)
/(*) = - : a(z)a*(zf : ±b(z)a*(z) + kd^z).
Явные формулы для 5 = sln см. в [26].
Пусть теперь к = —hv (критический уровень). Тогда К ■— 0, алгебра Гейзенберга t) вырождается в абелеву алгебру Щ = [) ® С((г)), и сё представление Фока Н(\,о) естественно заменить одномерным представлением Сх(2), где x(z) dz € í)* ® С((г)) dz — характер алгебры ¿Í):
входящий в спектр пространства П(\:о):
хм—'+Ех»*-—1. (2-с)
2 п<0
Теорема 2.2. В пространстве 7гр действует алгебра Ли р со старшим весом (А, к), к — —ЬУ, во формуле (2.3), в которой ЬДг) заменяется на (х(г),7г,-), а х(-г) имеет вид (2.6).
0-модуль ит с этим действием обозначается Игх(г) и называется ограниченным модулем Вакимотпо на критическом уровне. Модуль градуированный лишь
при х(2) = V2-
Теоремы 2.1 и 2.2 доказаны в [26] гомологическими методами.
II. Структура модулей Вакимото [27,28]
Модули имеют тот же характер, что и модули Верма М(л,;ь), и если модуль
Верма неприводим, то он изоморфен модулю Вакимото (ср. предложение 1.2). Однако в общем случае модули И^д.ь) и М(д^) существенно отличаются друг от друга,. Модуль Вакимото можно назвать бесконечно скручсннымлшнтраградиентным модулем Верма. Напомним свойства обычных скрученных контраградиентных модулей Верма ""М^д), где и> — элемент аффинной группы Вейля [27].
Модуль "М^д ^ реализуется в пространстве распределений на многообразии флагов Т — О/шВ.-ш"1 со значениями в линейном расслоении (Бореля - Вейля - Вотта) (А,А:) - С X
1ув_ш-1 сосредоточенных на клетке Шуберта Х.^ — 1Ч_|_ ■ 1. Он
характеризуется свойствами:
*М?Д>4) 6 О к,
б) Я'(гигЧ-ш~1, = 5^{и>) -С(АЛ)_^+/) как ()-модуль (¡(ги) — длина эле-
мента го).
Пусть теперь элемент и> лежит в решётке сдвигов Л С Wa.iT 11 имеет вид ш = пу, где 7 6 Л — фиксированный элемент положительной камеры Вейля, пе лежащий на её стенке, а п стремится к бесконечности. Тогда модуль ^ в некотором смысле
стремится к модулю Вакимото И^дд.). Чтобы это продемонстрировать, заметим, что при п —> оо
и>В-к;-1 -»■ В^ = Ш.. х Н(С[Г1]), мп+и^1 = 1п+ 4- Ь ® ¿С[Щ].
Введём полубескоисчное многообразие флагов [27] Т<х> = С?/В^ и на нём линейное расслоение ¿(а,*) = О Хв» С(х,ь>- Модуль Вакимото ^(л,/.-) реализуется в пространстве распределений на >7-00 со значениями в £(д,*), сосредоточенных на "полубесконечной клетке" = N4. ■ 1. Он характеризуется свойствами:
а) И'(ЛД) (.: Ок.
б) ,= ¿¡,о • как ()-модуль, или
Я^+^Хгц., И^д,*)) = ¿¿то • как 1)-модуль (алгебра | С 8 нормали-
зует Ьтц.). (Определение полубесконечных когомологий см. в [19] или в §3.)
Аналогично, ограниченный модуль Вакимото реализуется в пространстве
распределений на ограниченном полубесконечном многообразии ({¡лагов /оо == = ЬС/ЬВ_, сосредоточенных па полубесконечной клетке V х С[[<]] С Ш С Тоа, и характеризуется свойствами:
б) Я!?'+'(Ьп+, Wx(j)) = ¿¡to ■ Cx(t) как ¡)-модуль.
Если взять исходный элемент 7 £ А па стенке камеры Венля, то мы придём к определению обобщённых модулей Впкимото, см. [27].
Итак, бозонные модули над аффинными алгебрами оказываются "перекрученными" модулями Верма, как и в ситуации над алгеброй Впрасоро (§1). Эта аналогия становится особенно явной при g = s^: композиционные ряды модулей Вакимото над 3(2 устроены в точности так же, как композиционные ряды подходящих бозон-ных модулей над Vir [28]. Совпадение не случайно: имеется функтор квантовой редукции Дринфельда- Соколова между (производными) категориями SI2-M0дулей и Vir-модулей, переводящий модули Вакимото в болонпые модули, см. §3.
III. Сплетающие операторы между модулями Вакимото [28,29]
Этот раздел аналогичен разделу III §1. 1) Вертексные операторы
7 € f)*, определяются формулой (ср. (1.12))
B(^z) = i:exP^~1-7jZ1t(i)diy. (2.7)
Здесь l : H^xik+hv) i.k+kv) — отождествление, перестановочное с bt(n), п ф 0;
7* € ij — образ 7 при изоморфизме [)" = fj, индуцированном скалярным произведением (,), и 7*(г) — соответствующий ток в f).
Свойства операторов B(y,z) (проверяются аналогично (1.13-15, 1.17)):
[Мп),0(7,г)]=7(М*пЯ(7,~);~ (2-8)
(2.9) (2.10)
B(-)Uzi)... B(im,zm) = (регулярная функция) • Д(г, - z,) J] z/"1" . (2.11)
i>; з=1
в частности, А(Я(—04, z)) = 0, г = 1,... , г;
2) Скрининги. Нам понадобится формула для правого действия алгебры Ли П-|_ на старшей клетке II = АГ+ многообразия флагов. Элемент е; € п+ действует на Л/+ векторным полем
д ^ ы д
где R'ß — однородный полином от ха степени ß — 04. Положим (ср. (2.3))
еЛ') = -«с-(г)+ £ : R'ß(z)aß{z) :, /Зед+
Д(ё;(г)) = 1, и определим скрининги
Si - je,{z)B{-<xi,z)dz : W(A,t) W(A-0<l4, « = !,•■• ,r. (2.12)
Теорема 2.3. [28] Пусть для веса (Л,к), к ф —hv, выполнено уравнение Каца - Каж-дана [49] на сингулярный вектор в модуле Верыа Мцд:
(A + p,a) + (fc + 7iv)! = ш(в,а)/2, а € Д+, m > О, I € Z. (2.13)
Разложим а в сумму простых корней: а — а^ .+ ... + «,„. Тогда оператор * m «
(^-•яг =/П1К
JC а=1 j=l
определённый как в §1, III (при подходящем выборе цикла интегрирования С), является ненулевым, сплетающим и повышает градуировку на Irrt.
Выбор цикла интегрирования будет обсуждаться в §6.
С помощью этой теоремы можно строить резольвенты неприводимых представлений, состоящие из модулей Вакнмото [29], аналогичные резольвентам Фельдера (1.9). Вот важный пример, который понадобится в §3.
Пусть У(о^) = UkQ 0[7g+ С — вакуумное представление.
Теорема 2.4. [40] Существует комплекс, точный при к £ —ЬУ + Q>o:-
0 V(0>t) -> W(0iJt) ^ © W(_aitk) ... Ч Ф Щ.р-ря • • ■ (2-15) 1=1 «(») = »'
(суммирование в j-u члене по всем элементам s группы Веиля W длины j).
Дифференциалы комплекса определяются в §6.
§3. И^-алгебры и квантовая редукция Дринфельда — Соколова [19,30 32,40]
В этом параграфе мы дадим определение Ил-алгебры, ассоциированной с простой алгеброй Ли д, при помощи квантования гампльтоновой редукции Дринфельда -Соколова. (Первоначальное определение IK-алгебры Фатеева - Замолодчнкова - Лукьянова [16-18,57] для алгебр Ли g типа Ап и D„ использовало квантовое преобразование Мнуры; этот метод, однако, трудно обобщить на произвольные простые алгебры Ли.)
Мы принимаем обозначения §2.
(za,)B(~aii, za,j) dza,j : W(A,fc) ->■ WjA_m „,*), (2.14)
I. Квантование редукции Дринфельда - Соколова
В.Г.Дрннфельд и В.В.Соколов [15] показали, что гамильтонова редукция пространства функционалов на гиперплоскости в двойственном пространстве к алгебре Ли g:
freo'- v(K) = 1}
относительно подалгебры Ли п+ = С 0 совпадает с алгеброй Гсльфаида - Дикого или классической W-алгеброй GD(g) ([45]; ср. §5). Квантование гамильтоновой редукции мы проведём с помощью BRST-конструкции [54].
Рассмотрим алгебру С' = UtQ ® СГ(п+), где C/ fft-j-) — алгебра Клиффорда над векторным пространством п+ ф Алгебра СТ(п+) порождена нечётными элементами фа(т), Фп(т), а 6 Д+, то £ Z, со стандартными соотношениями
[фа{п),ф}[т)] = Saф8п~т, Ы>гг(п),ф0(т)] = ['/',* (п),Ф}{гп)} = 0
([,] означает суперкоммутатор). Поля фа(г) = Фа{&) — </^(т)г~т
называются фермионными духами.
Определим локальное пополнение С'1ос алгебры С' как алгебру, порождённую фу-рье-компонента,ми выражсенпй вида
где iii(z) — одно из полей фа(г), V'«(z)* X(z), А' € g, а Р — полипом от полей Ui(z) и их производных. Аналогично определяются алгебры (UkQ)i0C, (UcVir)ioc и т.д. Локальные пополнения действуют на представлениях со старшим весом. Например, операторы Щугавары L; (2.2) лежат в (U)tg)j0c.
Наделим алгебру Cjoc структурой дифференциальной градуированной алгебры. Градуировка С'1ос = ф С\ос определяется так:
deg«z) = l, deg^a(z) = -l, deg A"(z) = 0. Дифференциал [Q, •] задаётся скобкой с нечётным элементом
Q = Q,t + Qx б С}ос,
где
9"= П Е Е (З-11)
\«6Д + ог,0а€Д+ /
— стандартный когомологический дифференциал алгебры Ли п+. (здесь еа — корневой базис алгебры Ли п+, с^ — её структурные константы), а .
Qx= /]£>;,(*м*)<ь. w
где х = (Xi(z)dz) — характер алгебры Ли П+: eai(z) ->• x'i(s), ea(z) 0 при а ф а,-. Мы зафиксируем ^¿(г) = 1, 1 < t < г. Легко видеть, что
= [0.«,0х] = Ох =
поэтому Q2 = 0.
Комплекс (Cjoc,Q) называется квантовым ВRST-комплексом для редукции Дринфельда - Соколова, а его нулевые когомологии H°(C'loi.,Q) = Wt(g) называются W-алгеброй.
Теорема 3.1. [30] При общем к (точнее, при к £ -hv + Q>o) Н*{С\ос,С)) = 0 для г/0.
Гипотеза 3.1'. Утверждение теоремы 3.1 верно при любом к.
Пусть теперь М G С* — ¿-модуль. Рассмотрим также неприводимое представление Лтг+ n+ = ß Лт+'п^ алгебры СТ(п+) с вакуумным вектором V, таким, что
Фа(п)и = 0, п> 0; 4>a(m)v = 0, m > 0.
Алгебра С^ос действует на тензорном произведении М ® Л'т+'п* ; в частности, элемент Q £ С'1ос задаёт структуру комплекса на М ® Атг + 'п+. Его когомологии называются полубесконечными когомологиями алгебры ГЦ. с коэффициентами в модуле М ® х [19] и обозначаются Ят+'(п,М ® х)> г € Z. По определению алгебры И^в), она действует на этих когомологиях. Алгебры такого типа обычно называются в математической литературе алгебрами Гекке.
Напомним определение алгебры Гекке. Пусть А — группа (или алгебра), В С А — подгруппа (подалгебра) п \ — е<* характер. Алгебра Гекке тройки (А, В, х) — это алгебра, действующая на когомологиях Н'(В, М ® х) Для любого А-модуля М.
Классическая алгебра Гекке соответствует тройке (G(Fg),.B(Fg), 1), где G(Fg) — группа Ли над конечным полем F9, B(¥q) — её борелевская подгруппа. Ещё один
пример. Рассмотрим тройку (д, ГЦ. ,х), гДе
х(Со;) = 1, 1<г<г; х(еи) = 0, афсч.
Согласно одной теореме Костанта [55], алгебра Гекке этой тройки изоморфна центру Z(g) универсальной обёртывающей Uq. Теорема Костанта — конечномерный аналог конструкции И'-алгебры.
Итак, имеем функтор квантовой редукции Дринфельда - Соколова DS'X ■ М -4 Н^+'(п,М®х) из категории О* в некоторую категорию И'*(д)-модулей. Этот функтор детально изучается в работе [43].
При к —► оо комплекс С\ с вырождается в классической ВÄST-комплекс [54] для гамильтоновой редукции, а И'-гшгебра — в алгебру Гельфанда - Дикого.
II. Возонизация W-алгебр
Напомним классическую теорему Харпш - Чандры о центре универсальной обёртывающей t/g:
Теорема 3.2. [11] (1) Алгебра Z(g) изоморфна алгебре C[i)*]l</ W-инвариантных полиномов на пространстве ()*. (2) Алгебра Z(g) изоморфна алгебре полиномов от образующих pi е C[\)*]w, 1 < i < г, степеней degpj = + 1, где d( — показатели алгебры Ли д.
Сформулируем аналоги утверждений (1,2) для TV-алгебр (см. теорему 3.5 ниже). Для этого применим функтор DSX к вакуумному ¿-модулю V(o,t). Воспользуемся резольвентой (2.15); применим к ней функтор DS%. Получим комплекс (см. раздел II §2)
Н(о,к+ЬУ) ^ © Hi_0itk+hv) ■•• ® —>■■•• (3-2)
i=l s£W
«s)=3
Дифференциалы в атом комплексе получаются ил дифференциалов в (2.15) "наложением связи" е„Дг) = Xi(z) = 1, ca(z) = 0, а ф а;, т.е. являются композициями скринингов (см. §6)
Si = j>B(-ai,z)dz, i=l,...,r. (3.3)
Теорема 3.3. При общем к (к £ —/iv + Q>o) комплекс (3.2) точен во всех членах, кроме нулевого, а когомолопш в пулевом члене равны вакуумному представлению W*(0) = DSX\(0,i) алгебры W't(g).
Набросок доказательства теоремы содержится в §6, III.
Следствие 3.4. Характер вакуумного.представленпя W-алгебры при общем к равен
гоо
chw*(0)=n п (i-inrV (3-4)
i=l n; = <f/ + l
Из теорем 3.3 и 3.4 при помощи стандартной техники вертекс-операторных алгебр [44] выводится теорема 3.1, а также
Теорема 3.5. (1) Алгебра №it({j) прп общем к изоморфна подалгебре в (C/jt+ftv f))iac, состоящей из элементов, коммутирующих со скринингами (3.3).
(2) Алгебра ИЛ*(й) при общем .к порождена полями Ti(z) =: pi(bi(z),... ,br(z)) 1 <■ г < г, где — дифференциальный начином степени ci; + 1, старшая компонента которого совпадает с полиномом pi гга п.(2) теоремы 3.2.
Из гипотезы 3.1' следует, что утверждение (2) верно при любом к. Таким образом, скрининги S; играют роль простых отражений в группе Веиля W (отсюда происходит название "И'-алгебра"). Поле
Ti{z) = vtv (5: £ ww: -£^м) +^
(где pv е 1), Oj(pv) = 1, 1 < i < г) является тензором энергии-импульса в Wfc(g), т.е. его компоненты порождают подалгебру Вирасоро в И^д). Конформные размерности полей Ti(z) и B(—cti, z) относительно этой подалгебры равны A(T{(z)) = d{ + 1 и A(B(-ai,z)) = 1.
Пример: 0 = л[2. Положим F„ = —b(n)/^2(k +■ 2); тогда Fn порождают алгебру Гейзенберга (1.2) с К = 1. Скрининг (3.3) превращается в
5+ = j B(a+,z)dz, а+ = V2/(fc + 2). (З.С)
С ним коммутирует алгебра Вирасоро (1.4). Следовательно, H'^sb) — (UcVir)ioc, где
с = 1 — 6(к + 1)2/(к + 2). (3.7)
§4. Двойственность И^-алгебр и центр универсальной обертывающей аффинной алгебры Ли на критическом уровне [31,32,40]
Пусть ду — алгебра Ли, двойственная по Ленглендсу к 0. Объекты, относящиеся к алгебре будем отмечать х'алочкой (за исключением дуального числа Кокстера для которое обозначим через к = ЬУ^). Так, 1)у = I)*; при этом изоморфизме 1гУ переходит в а;, а^ — в /г;, и системы корн«! алгебр 0 н 0У двойственны друг другу; — И'. Скалярные произведения (,) и (, У отличаются в е раз, где е (= 1,2 пли 3) — максимальное число рёбер, соединяющих две вершины диаграммы Дынкггаа алгебры Ли 0 (или 0У).
I. Двойственность -алгебр Теорема 4.1. [31] Пусть числа к я Ал" £ С связаны соотношением
(к + /г*)(ку + К) = 1/е, (4.1)
и к общее (т.е. к + ЬУ £ <0>0). Тогда 1Ук{д) = (0У).
Доказательство. Воспользуемся теоремой 3.5(1). Отождествим пространства I) и ^ = I)* при помощи скалярного произведения (,), умноженного на —(к + /гу). Тем самым отождествятся алгебры и (У/ь*+д'г)гос- Фиксируем г, 1 < г < г;
достаточно доказать, что элементы, коммутирующие со скринингом 5;, коммутируют и с ЯУ, и обратно. Для этого заметим, что
Si = jв(~ai,z)dz, 3? = £ + ¿2.
Обозначим = СЛ; С (). Имеем 6 = б^С-^+л^ —ортогональное
дополнениек !),), и коммутирует с и-5,^ (см. (2.8)). Что касается
то положим Р.л = + Это даёт изоморфизм С/ь+ь^Й и\Н, где
Н — алгебра Гейзенберга (1.2), при котором
-» 5+ = <р B(a+,z)dz,
2
2
£ В{а,.,г) dz,
Si -> = ф ща-,г)(1г, а- = —
Но подалгебры в {ЬЬ'Щ^с, коммутирующие с 5+ и с совпадают (это (1/сУгг)/ос, см. (1.4)). Теорема доказана.
II. Центр на критическом уровне
Обозначим через Zk{Q) центр локального пополнения (С/*0)(Ос универсальной обёртывающей алгебры Ли 0 на уровне к. Известно, что при к ф —ЪУ ^(д) = С, а при к = —ЬУ центр большой. Например, операторы Шугавары (2.2), умноженные на к + ЬУ, лежат в 2_/,у(д). Наличие центра связано с существованием сингулярных
векторов мнимых степеней в модулях Верма М(д^): такой сингулярный вектор порождает эндоморфизм модуля М(дд), задаваемый действием центрального элемента. Но уравнение Каца - Каждана (2.13) имеет мнимые решения (а = 0) лишь при к = и в этом случае их бесконечно много.
На центре /J_Kv(g) есть пуассонова структура.: она происходит из деформации уровня к, при которой центральные элементы перестают коммутировать.
Проблему описания центра на критическом уровне решает следующая
Теорема 4.2. [31,32] Центр Z-^(g) алгебры (JJ_ftv^)(oc и алгебра Гельфапда -Дикого GD(qv), ассоциированная с двойственной по Ленглендсу алгеброй Ли, канонически изоморфны как пуассоновы алгебры.
Эта теорема, высказанная в качестве гипотезы В.Г.Дринфельдом [5], является важной составляющей его программы построения геометрического соответствия Ленглендса над С [5,6]. В этой программе ¿-модули на критическом уровне играют роль, аналогичную роли представлений группы G над локальным полем в теории Ленглендса [56].
Для доказательства- теоремы 4.2 перейдём в теореме 4.1 к пределу к —> — /Л, fcv оо. Алгебра l!/itv(gv) вырождается в алгебру GD(gv), а алгебра li^g) — в абелеву (пуассонову) алгебру H/_/,v(g). Абелевость алгебры IF_iiv(0) следует из предельного перехода к —► — ЬУ в теореме 3.5(1), дающего атожение
(g) «-» (%[))bc = S(L[,),„ (4.2)
(ср. §5, где обсуждается предельный переход к - > оо).
Имеется очевидное отображение
Z_Av(fl)-»W_&v(g). (4.3)
Теперь теорема 4.2 вытекает пз аналога теоремы Костанта (§3,1) для аффинных алгебр Ли:
Теорема 4.3. [32] Отображение (4.3) — изоморфизм пуассоновых алгебр.
Доказательство теоремы 4.3 использует технику вертекс-операторных алгебр [44] и описание пространства сингулярных векторов мнимой степени в модуле V(o,—fcv) при помощи предельного перехода к -> —hv в резольвентах (2.15) и (3.2).
Заметим, что композиция отображении (4.2) и (4.3) позволяет построить по характеру х(') алгебры if) вида (2.6) характер центра Z_/,v(g). Это есть в.точности центральный характер ограниченного модуля Вакимото И,гх(г). Отображение
{*(*)} -»■ Spec (§) = Spec G_D(gv) (4.4)
совпадает с преобразованием Миуры [15].
Пример: 0 = sln = 0V. Алгебра GD(sl„) есть алгебра локальных функционалов на пространстве дифференциальных операторов
DiU = {S™ - 91(*)0Г2 - - • ■ • - Ф € €((г))}
с так называемой второй пуассоновой структурой ГЬльфанда — Дикого [45]. Центр же Z~n(sV„) порождён полями Г;(г) —: р{(Х(г)) :, 1 < г < п — 1, Pi — некоторый дифференциальный полином степени г +1 от X(z), X € 0, старшая компонента которого р,-(А') есть образующая кольца S(q)g = инвариантных полиномов на в* (теорема 3.2). Явные формулы для Ti(z) см. в [46]; например, Ti(z) — нормированное поле Шугавары (2.2). Изоморфизм теоремы 4.2 переводит Ti(z) в qi(z). Характер х(г).—
п
это набор из п функций Xj(z) £ C((z)), таких, -что £ Xj(z) = 0- Преобразование
j=i
Миуры задаётся формулой
- qi(z)dr2 -... - în-i(^) = (dz- Xl(z))... (dz -Xn(z)). (4.5)
Глава 2. Интегралы движения и квантовые группы
§5. Классическая П'-алгебра и локальные интегралы движения уравпений Тоды [33-35]
В этом параграфе мы перейдём к классическому пределу к —> оо в теоремах 3.3 и 3.5, а также вычислим пространства локальных интегралов движения систем Тоды нелинейных уравнений с частными производными. Мы пользуемся обозначениями §2.
I. Классический предел алгебры Гейзенберга и скринингов
Перенормируем образующие алгебры Гейзенберга I) (§2), положив
1 < г < г, п е 2. (5.1)
В новых образующих соотношения в запишутся в виде
[Ь,(7г),ЬЛт)] = (а„^)-п5„,_т/32, /З2 = (5.2)
В пределе /32 О алгебра вырождается в абелеву алгебру Итс М функций
на пуассоновом многообразии М — {<р € ()* : <р(К) = 1} = I)* ® С((г)), порождённую элементами м,(гг), со скобкой (Кириллова - Косталта)
{ui(n),uj(m)} = (ai,ctj}n5n,-m■
(5.3)
Положим и,-(<) = " это дельта-функщюнал на М. Локальное пополне-
ние вырождается в ангебру (РипсД/)(£>с, порождённую фурье-коыпонен-
тами дифференциальных полиномов от со скобкой Пуассона
Р(д?щЦ),1)<Н, £ ЩЭ^и^^м} = ¿(аьа^д^М, (5.4) ГДе = И7 - + - ■ ■ ■ — вариационная производная.
г
Классический предел пространства Фока //(д^+л^, Л = А— это простран-
•=1
ство тгд функционалов на М вида ■
(ср. (2.7) и §6,1). Алгебра (Гипс Л/)/ос действует на тгд при помощи скобки Пуассона. На 7гд действует также оператор дифференцирования <9(. Обозначим Гд = ух(г)<11 : Е тгА}.
д § г
Лемма 5.1. Последовательность 0 -> Лд —> 7Гд —> Т\ —У 0 точна, где 7гл = 7Гд для А ф 0 а 4 = я-о/С.
Классический преда! скрининга 5; — это элемент
%>,(<) = «((<). ' (5-5)
Скобка Пуассона с Q, задаёт операторы Q, : 7гд —> тгд-о.ч Qi '■ Л ~> ^л-а,--И. Уравнения Тоды
г
Функционал H — — Qi на Л/ называется гамильтонианом Тоды, а соответству-¡=1
ющие уравнения Гамильтона
— уравнениями Тоды. Их явный вид таков:
дТс= 1 < г <Г, (5.6)
(■aij) — матрица Картана алгебры Ли fl. Например, при 0 = SÎ2 уравнение (5.6) есть уравнение Лиувилля drdtуз = ev. Системе Тоды посвящена обширная литература (см. напр. [1-3,58,61,62,15,74,75]). Наша задача в этом параграфе — изучить пространство локальных интегралов движения для уравнений Тоды:
Jo(fl)=f <А' € То : {А',Я} = 0} = Кет •
Аналогичную систему Тоды можно сопоставить аффинной алгебре Ли § [15] (и любой симметриэуемой алгебре Каца - Муди). Аффинная система Тоды имеет вид
г
ад^^а^а,^1"'^, 0 < г < г. (5.7)
;=0
Здесь (о¿¿) — матрица Картана алгебры 0, а/ — отметки двойственной диаграммы Дынкина [48]. Например, при 0 = лГ2 уравнение (5.7) есть уравнение вт-Гордон дтд1<р — е^ — е~*. Уравнения (5.7) описывают гамильтонов поток на том же фазовом пространстве М:
г
дгщЦ) = {«¡(О, Яай}, 1 < { < г; Най = а;<Э„
¿=о
г
где о; — отметки диаграммы Дынкина для 0 (т. е. ао = 1 и в = сЧа> — старший
1=1
корень алгебры Ли о), Qi при 1 < г < г — функционалы (5.5), а
<Эо - I е*0« Л е = -¿а^), о0 = -9 (5.8)
^ 1=0
— дополнительный функционал. Таким образом, пространство локальных интегралов движения аффинной теории Тоды
естественно вложено в ^о(э)- Пространства е7о(в) и ^7о(о) замкнуты относительно скобки Пуассона (5.4) на ^о-
III. Локальные интегралы движения теории Тоды, ассоциированной с конечномерной простой алгеброй Ли
Ключевое наблюдение, позволяющее найти пространство Л)(в); состоит в следующем. Положим Qi = loQi : тго щ, где г : 7г_а< -> по — очевидное отождествление.
Предложение 5.2. [33,34] 1) Операторы и удовлетворяют серровааш соотношениям алгебры Ли 0: (асК?;)1-"''^ = (ас!^)1""''^ = 0.
2) Действие алгебры Ли п_ на это по формуле /,- - > ф; косвободно.
Продолжим теперь отображение щ^Ь ф до комплекса (7г'(0),9 ):
0-»^?^,.-+...-+ © © (5.9)
л'е и' •ей'
Дифференциалы д' получаются подстановкой fi Q, из дифференциалов БГГ-1еэольвенты (ß.(g),d.) тривиального д-модуля [9]:
ЯДд) = Ф Мзр_р, dj= ® d,, ,,), d(,,,>) : М,р-р -»■ Wy(5.10)
1десь М\ — модуль Верма над g со старшим весом Л. Отождествим А/д с f/n_. 1усть оператор задаётся умножением справа на полином P(3ll,'){fi) G f/n_.
Ъгда д^3'" ' = P(a,a'){Qi)- Дифференциал 3" определён корректно в силу предложения .2(1). Комплекс 7r'(g) является классическим пределом комплекса (3.2). Аналогично определяется комплекс /'(g). По лемме 5.1 имеются короткие точные последовательности
О n'{s)J^n'(ss)Mris) о, (5п)
0 —> С —> тг'(д) —> тг'(д) —>■ 0.
Пользуясь ими, найдём когомологии комплекса /'(g) и, в частности, пространство
ш = н°тВ)).
Очевидно, что тг'(д) = Нот„_ (В.(д), тг0). Поскольку В.(д) — свободная резоль-ента тривиального П--модуля, H'(w (g)) ~ -ExtJ,_(C,7ro) = 7/'(п_, 7Го). Но, сохмасно редложению 5:2(2), Н'(п_,тго) ~ 0 при г > 0. Итак, мы доказали классический налог теоремы 3.3:
Ъорема 5.3. [33J Комплекс (5.9) точен во всех членах, кроме нулевого.
Нулевые когомологии комплекса (5.9) называются классической TV-алгеброй Voo(g) (точнее, её вакуумным представлением).
г оо
Следствие 5.4. [33] 1) ch Woo(g) = Ц П (l-'TT1-
1 = 1 n;-d; + l
2) Алгебра Woo(0) совпадает с алгеброй дифференциальных полиномов от функцп-налов Ti(t) = pi(dnuJ(t)) (преобразование Мпуры, см. §4), deg pi = di + 1, 1 < i < г.
3) Пространство Jo(g) = {§X{t)dt : X(t) € Woo(g)} изоморфно факторпростран-гву алгебры Woo(g) по константам и полным производным, а высшие когомологии омплекса Т' (g) равны нулю.
IV. Локальные интегралы движения аффинной теории Тоды
Вычисле1ше пространства Jo (g) идёт по тому лее пути, что и вычисление i7o(s) D азделе III.
[редложение 5.5. [33,34] 1) Операторы Q, — г о Q, : тт0 ->■ тт0, как и Q,, 0 < i < г, цовлетворяют серровскпм соотношениям алгебры g: (adQ1)1_a'-'Qj = 0.
2) п--модуль ttq (с действием /; —► Q,, 0 < i < г) изоморфен копндуцированномj модулю (¡7п_ ®[/г_ С)* с тривиального а--модуля, где а_ — главная коммутативна:
г
подалгебра в П_, т. е. централизатор элемента °i/i ЕЯ-
¡=0
Напомним [48], что в главной градуировке на n_: deg/j = 1, i = 0,... ,г, алгебр; 0_ имеет однородный базис Xi>m, 1 < i < г, m > 0, degx;tm = d; + mh, где h — числс Кокстера алгебры д (символ h уже занят в §4). Определим комплексы -ö-(g), i"'(ö) и ^"(5)' полагая
Bj(s)= Ф М wp-p, 7rJ(g) = ф тг wn-„, Я(5)= Ф Twp-p. (5.12; '(«)=> "" /(•»)=» »<»)-i
-B.(g) — это БГТ-резольвента тривиального g-модуля; дифференциалы в я"(§), получаются из дифференциалов в В.(д) подстановкой /; —> Q,.
Имеем Я'(тг(д)) = Я'(п_,7г0). По лемме Шапиро #'(n_,7r0) ~ Я'(а_,С) ~ Л'о!_ (т.к. о_ абелева). Из точных последовательностей
О -> ^'(^iw'ß)-^(Ю —► О,
о —► С —»• тг'(д) —> тг '(0) —► О находим 30 (з) = Я° (F (3)) ~ Я1 (тг' (g)) ~ а* .
Теорема 5.G. [33,34] Пространство Jü(g) локальных интегралов движения аффпнно! теории Тоды линейно порождено г сериями элементов 1 < i < г, m > 0, deg = — d{ + mh. Скобка Пуассона на Jo(S) равна нулю.
Последнее утверждение легко доказать в случае, когда h четно и <i; нечётны (д типа Ах, В, С, £>2п> Еу, Е&, F4,.С?2), так как скобка Пуассона двух интегралов нечётной степени должна быть интегралом чётной степени. В общем случае можно воспользоваться следующим геометрическим описанием потоков Согласно предложению 5.5(2), пространство 7Го отождествляется с пространством функций на однородном пространстве N_/A_, где Л- — группа с алгеброй Ли а_. Интегралы lf}r'n порождают векторные поля £ij7n на этом пространстве. Отождествим N_ со старшей клеткой в многообразии флагоз В+\LG, что даёт правое действие алгебры Ли Lg па N_ и действие положительной главной коммутативной подалгебры 0+ С Lg, коммутирующей с а_, na N _/А_.
Теорема 5.7. [35] Действие векторных полей на N_/A_ совпадает с правым действием алгебры й+. В частности, интегралы /¿Ц попарно коммутируют.
Можно показать, что J7ö(g) — максимальная коммутативная подалгебра в пуассоновой алгебре Jq(q), и = §T{(t)di, где Ti(t) — образующие алгебры Wo<,(g) из теоремы 5.4(2). Отсюда следует
Теорема 5.8. [33] Пространство Уо(§) совпадает с пространством гамильтонианов обобщённой иерархии мКдФ [15].
[Гример: д = 51г. Классическая ИЛ-алгебра порождена функционалом
= (5.13)
Имеем -- (7,(0), 7<0), 7<0),...), где
7}0>=Уг(*)Л, /<0> = ^Г(г)2Л, = ... ,(5-14)
— гамильтониан уравнения мКдФ:
дгп{Ц = {гф), дгч{1) = 2д*ч{{) - Зи(1)29,иИ- (5.15) преобразование Мпуры (5.13) переводит его в уравнение КдФ:
дтЩ) = {Г(г),7^0)} дгТЦ) = 2д1Щ 4- б"Т(г)Э,Г(«). (5.16)
¡6. Квантование локальных интегралом движения [33] В этом параграфе производится квантование результатов §5. I. Квантовая теория Тоды
Квантование алгебры (РипсЛ/)|0с — это алгебра Ар = (С^+ь* 1))(ос (5.2) (р — траметр деформации, /З2 = 1/(& + /^)). Определим квантовые аналоги пространств • гд и Тх:
и(хл = {:Р(д?Ь,(г))В(А,г):}, Т(хф) = Х(г) € тг^)}
Р — полином, В(А, ¿) — вертекспый оператор (2.7)), т.е. т(а,/э) и ^(а,/?) — некоторые фостранства операторов Н^к+и^) —> Алгебра Ар действует на
коммутированием. Пространство отождествляется как .Дд-модуль с Н^к+н*)'-
Х = Р(Ъ{(-п-1))ПхеНм+г) Х(г) =:Р{д?Ь<{г)/п\)В(\г):е Чх,р) (6.1)
соответствие между состояниями и полями).
Лемма 6.1. Последовательность 0 —> ^(А /?)—"^(А 0)—^ОЛ —^ ^ точна, гд "(а,¡3) = Д™\ф о и = тт(0,/¡¡¡С.
Функционалы 0 < г < г, деформируются в скрининги
Пространства квантовых локальных интегралов движения определяются как
ЗД = Кег , Мд) = Кег • (6-2
Чтобы продеформировать метод §5 и вычислить пространства (6.2), нам нужн научиться перемножать скрининги.
II. Композиции скринингов и квантовые группы
Пусть 0 < ¿1 < ¿2 < ... < 1т < г, и о — перестановка индексов 1,... ,т. По, композицией скринингов Si<7(1) ... : Щх,/}) —► ^(А-о^-.-.-а^./З) естествен»
понимать интеграл
5|»(1> • • • ~ / В(-сч1,г1)...3(-а1т,2т)сгг1 ...с!гт
!(гг,... ,гт)(В(-а;1,21)...В(-а!„,гт))ге8(6.3
где (ср. (2.11))
. (6-4
(в(-ач,21) ■ ■■ В{-щт^т))геё =
- = : , «г)... В{-а{т, )
— оператор с полиномиальными матричными элементами, а контур интегрирован« Ст,<т выбирается как произведение Гх X ... X Гт одномерных контуров Г^ по коорди нате начинающихся и кончающихся в точке = 1, однократно обходящих начал координат г^ = 0 и таких, что при (¿1,... , гт) 6 Ст><г
1М1)1 > 12<К2)1 > • • • > |га(ш)|,
если ф 1, Под интегралом выбирается ветвь степенной функции (6.4), принимая: щая вещественные значения при вещественных .г^ц) > ... > г„(т). Таким образом
(6.5
Ст,¡г есть относительная ш-цепь на (С \ {0})'" относительно диагоналей zj = zy со значениями в одномерной локальной системе С, определяемой многозначной функцией I (ср. §1, III).
Более общо, для некоммутативного полинома R(x¡) = £ ... а:»в(т) положим
R{Si) = ■■■ Si^m) = / П(-а{1, Zi)... D(-aim, zm) dzi ... dzm,
JCli (6.6) Ca = <*аСт,а -
(T
Мы скажем, что композиция скринингов R(Si) определена, если цепь Сд является циклом. В этом случае R(Si) — однородный оператор степени deg 1 + т (мы полагаем degz; = 1); в частности, deg I — целое число.
Чтобы ответить на вопрос, при каких R композиция i?(5;) определена, напомним некоторые факты о квантовых группах [76]. Квантовая группа U— это ассоциативная алгебра с образующими е;, /;, Ki, A',-1' i = 1, ■ - • , г, и соотношениями
IüejK-1 ~ q"" е>, К^К'1 = q~aiifj. [с,-,/,] - 5ц ^7)
ллюс q-серровские соотношения
(ad4ei)1-e,'eJ-=(adt/i)1—'/>=0. " (6.8)
Здесь («¿¿) — матрица Картава алгебры Ли. 0, а
ad ,x-y = xy-q^esl'dctlv)yx, (6.9)
i dege; = a;, deg fi = .-■а,-. Аналогично определяется аффинная квантовая группа Объекты, относящиеся к квантовым группам, будем обозначать теми же сим золами, что и для соответствующих классических групп, с верхним индексом (q).
А. Случай конечномерной простой алгебры Ли
Георема G.2. Пусть полином R(xj,... , xr) лежит в двустороннем идеале свободной глгебры с г образующими, порождённом q-ссрровскнмп соотношениями
R,, г-.(;„\гГ,)1—"Х„ if у,
TfC deg ж, = —a; a
q = exp(niß2) = exp(m/(k + hv)). (6.10)
Тогда композитш R(S{) определена и равна нулю.
Доказательство теоремы содержится в [10]; оно основано на том факте, что jenb Сщ} является границей.
Итак, скрининги удовлетворяют q-серровскпм соотношениям (квантовый аналог 1редложения 5.2(1)). Если q — корень п-и степени из единицы, то верно и большее: жршшнги удовлетворяют соотношениям S" = 0 маленькой квантовой группы [52] например, в случае 0 = имеем 5* = 0 для минимальных моделей, ср. (1.9+)).
Теорема 6.3. [10] Пусть полином P(fi) £ Un^' определяет сингулярный векто} vx—t - P{fi)v\ веса А — 7 в модуле Берма А Тогда композиция P(Si) : —
Я(Л—ytß) определена. (Корректность определения следует из теоремы 6.2.)
Теоремы С.2 и 6.3 лежат в основе замечательного соответствия между предста влениями квантовых групп и гомологиями локальных систем, развитого в работа: В.В.Шехтмана и А.Н.Варченко [65,66,69].
Заметим, что скрининги Si (2.12) аффинной алгебры Ли на уровне к обладаю1 точно такими же свойствами (с заменой тг(а,/?) на модуль Вакимото Депствп
тельно, для Si выполняется аналог разложения (2.11) с той же самой многозначно! функцией (6.4), поэтому композиция Я(5;) определяется интегрированием по том; же циклу Cr. Заметим также, что уравнение К ада - Каждана для квантовой группь [12]
= qm<a,c)t а€Д+! т>0) (6.11
совпадает, с уравнением Каца - Каждана (2.13) для аффинной алгебры Ли, где q и i связаны (6.10). Таким образом, мы получаем конструкцию'сплетающих операторо: (2.14) между модулями Вакимото. Эти рассмотрения тесно связаны с эквивалентно стью Каждана — Люстига между категориями представлений аффинной алгебры Л] и (маленькой) квантовой группы [52].
Б. Случай аффинной алгебры Ли [33]
Теорема 6.4. Скрининги S,, 0 < ¿< г, удовлетворяют q-серровсклш соотношенияа аффинной квантовой группы :
(adg Si)1 Sj = 0.
Теорема 6.5. Пусть полином P(fi) € Utt^ определяет сингулярный вектор вес; (А — 7,0) в модуле Верма м|д над на уровне 0. Тогда композиция P(Si)
n{Kß) —> 7Г(А-7,/9) определена.
Доказательства теорем 6.4 и 6.5 аналогичны доказательствам теорем 6.2 и 6.3. В §7 мы обсудим вариант теории, в котором уровень 0 заменяется на критический уровень.
III. Квантовые локальные интегралы движения А. Случай конечномернай простой алгебры Ли
Деформируем метод §5, III вычисления пространства Jo(s)- Квантовая деформа ция комплекса Jr'(ß) (5.9) — это комплекс (3.2); обозначим его тгд(д). Дифференциал! в (3.2) строятся так же, как и дифференциалы в (5.9), при помощи ВГГ-резольвентг (ßi®'(g), d.) тривиального модуля над квантовой группой [12,33]:
S'%) = © dj - е_ dM, d(ay) : Ml?_p '
Тусть дифференциал задаётся умножением справа на полином P(s,s'){fi) £
Е Un{j\ тогда соответствующая компонента дифференциала в я-^(д), равная, д*s's ^ = = P(s,a')(Si), определена по теореме 6.3. Точно такая же формула с заменой S, на S, шределяет дифференциал в резольвенте (2.15).
Оператор д^3'3 ' коммутирует с действием производной dz и потому спускается до (ифференциала в комплексе ^¿(s), Я°(^(д)) = J/»(g).
Вычислим когомологип комплекса 7гj(g). При /5 = 0 Я'(7г^(д)) =■ 0, i > 0 (теорема >.3). Воспользуемся очевидной леммой из линейной алгебры:
Темма 6.6. Пусть (С', r/Jj) —семейство комплексов конечномерных векторных про-:транств, в котором дифференциал dp : С* —> аналитически зависит от пара-
1етра р. Тогда
а) для каждого i размерность пространства Н'(С',dp) постоянна при общем (3 и Увеличивается при специальных значениях /3; - . "
б) эйлерова характеристика х(С\dp) = ^(-l)'dim Я'(С',(!()) = l)'dimC" юстоянна.
Наши комплексы ^¿(д) распадаются в прямую сумму конечномерных подкомплек-ов н € Z (градуировочных компонент). Из теоремы 5.3 и леммы 6.6 выводим
Т'(7г^(д)) = 0, i > 0, и dim Я°(т!\,(д))п = dim Я°(7г'(0))„ при общем /3 (т. е. при всех i, кроме счётного числа), что доказывает теорему 3.3 (без уточнения слова "общий") [ следствия 3.4, 3.5. Наконец, применяя лемму 6.1, вычисляем Я°(^(д)).
Георема 6.7. [33] Пространство J0(g) = {$X(z)dz: X 6 Wi(g)} (ср. (G.1)) при >бщем ¡3 изоморфно факторпросграпству вакуумного представления W-алгебры по юнетантам и полным производным. Все классические интегралы движения € : Ja(%) деформируются в квантовые интегралы движения I — 7^°' + + -.. €
Е JM-
Б. Случай аффинной алгебры Ли
Как и в случае конечномерной атгебры Ли, с помощью БГГ-резольвенты
^(0)= Ф
off
■ривиального С/д*-4'-модуля и теоремы G.5 строим комплексы тг^(д) и дефор-
шрующпе я-' (д) и .F(g).
Теорема 6.8. [33] При общем ¡3 cli Я'(я3(д)) = ch H'ijr'(g)), i > 0.
Приведём доказательство теоремы в случае, когда h чётно и все d; нечетны. 1ри /3=0 77'(7Гд(д)) ~ Л'at (§5, IV), следовательно, градуировочные компоненты
H'(iГр(д))г, ненулевые лишь при п = г mod 2. По лемме 6.6(a), то же верно при обща ¡3, Но эйлерова характеристика
Х(*Ия))= Е сЬЯЧ^(в))- ch Н'(тт'р(§))
i=0mod2 i=l mod 2
постоянна. Первое слагаемое содержит при общем /? лишь чётные степени q, а второ
— нечётные. Поэтому при общем /3
Е chtf'(^(0))= Е ¿о = 0,1;
t^ioraod2 i=iomod2
с другой стороны, по лемме 6.6(a)
dim Я,'(^(е))„ < dim Я'(7г-(в))„.
Отсюда следует утверждение теоремы.
Теорема 6.9. [33] Пространство Jp(g) квантовых локальных iштегралов двпженл аффинной теории Тоды при общем /3 линейно порождено попарно коммутирующим. элементами = ij^ + ^ +... — квантованиями классических интегралов ij^ из теоремы 5.6; deg /¿iTO = di -f mh.
Как и в классическом случае, коммутативность очевидна при чётном h и не чёт ных </,.
Теоремы-6.9 и 5.8 позволяют построить квантование обобщённых иерархий мКдФ
Пример: 0 = —• квантовая иерархия КдФ. 1Г алгебра (UcVir)ioc (см. приме] в конце §3) порождена полем
(6.12
Имеем Jpte) = (/i,/3,i5,...), где
/2„_1 ==jT2n(z)dz, (6.13
а
Т2(*) = Т(г), Т4(г)=:Г(.)2:, Тб(*)=:Г(г)3:-^ : (dzT(z)f.. (6.14
— плотности квантовых интегралов движения. Элементы li, ij, /5,... порождаю1 максимальную коммутативную подалгебру в (UcVir)¡ос.
§7. Нелокальные интегралы движения и центр аффинной кнаитоцой группы иа критическом уровне
В этом параграфе (единственном, содержащем неопубликованные результаты) мы обсудим задачу диагонализации квантовых интегралов движения. Для простоты мы будем работать с квантовой иерархией КдФ (т.е. фиксируем р = хотя основные теоремы могут быть обобщены и па иерархии, отвечающие другим алгебрам Ли О-
Нам будет удобно перейти к обозначениям §1. Перепишем в этих обозначениях скрининги аффинной теории Тоды (§6):
, £ В(а+,г)<12, -50 = £ £(-а+, г) ск; (7.1)
ср. (3.6). Со скринингом 51 коммутирует алгебра Вирасоро ТЛ'г (1.4) с параметрами
«=1-12«». ■ (7.2)
Подалгебра в ({/сУ1г)|0С, коммутирующая со вторым скринингом 5о, порождена элементами (6.13)
Д = £_,, 13=: £ Ь.-Ь,- :..... /2„-1 = I Г2р(л) ¿г,... (7.3)
Здесь Т'1п(г) —: Т(г)" : + ... — некоторый нормально упорядоченный однородный дифференциальный начином от Т(г) степени 2п (степень считается по правилу = 2, ¿е^дг = 1); "многоточие обозначает слагаемые, содержащие производные от Т(г). Высшие интегралы /2п-ъ п > 2, восстанавливаются однозначно из условия [/гп-1, = 0, а плотности Гг„(г) восстанавливаются однозначно с
точностью до прибавления полной производной.
Начнём с того, что переопределим интегралы ¡-¿п-1 так, чтобы они имели градуировку 0. Положим
21=1ч>, .2а»-1= <1г2"~'Т2п(х)<1г,... (7,1)
При подходящем выборе плотностей Т2„(г) операторы Х2П-1 также попарно коммутируют [59,60] (и восстанавливаются однозначно из этого условия).
Квантовые интегралы движения 12п-1 действуют на представлениях алгебры Вирасоро со старшим весом, сохраняя градуировку. Чрезвычайно интересная задача нахождения спектра операторов 12п-1 на пространстве неприводимого представления алгебры Вирасоро рассматривалась в работе В.В.Бажанова, С.Л.Лукьянова и А.Б.Замолодчикова [4]. Здесь мы подойдём к этой задаче, используя метод §6, т.е. изучая композиции скринингов. Нам придётся слегка видоизменить скрининг 5о, чтобы он коммутировал с операторами (7.4): положим
= (7.5)
Теорема 7.1. Подалгебра в (1гсТ/гг)/ос, коммутирующая со скринингом порождена операторами (7.4).
Теперь опишем композиционные свойства скринингов 5д и Бх, аналогичные теоремам 6.4 и 6.5. Мы приведём ответ для более общих скринингов
= ^ = j B(a+,z)zv dz, и,«еС. (7.6)
Теорема 7.2. 1) Скрининги и удовлетворяют q-ceppoвcким соотношениям
аффинной квантовой группы д = exp(^ri|32).
2) Композиция скринингов
: Ир нр,
определена, если полином P(fo,fi) 6 Uv№ определяет сплетающий оператор .Jfc> межДУ модулями Верма над Usl2 на уровне к, где
qk = q~qx = q'^'i1, qx'= q^ ^ ~ f7. (7.7)
Теорема доказывается аналогично теоремам 6.4, 6.5. . Нас интересует случаи u = 2/32 — 2, v — 0. Имеем
т.е. скрининги Sq и S\ управляются аффинной квантовой группой на критическом уровне С/^2S'2 •
Особенность критического уровня состоит в том, что, как и в классическом случае <2 = 1 (§4), алгебра U-2stf содержит большой центр, и действие центральных элементов даёт много сплетающих операторов из в себя для любого А.
Явная конструкция центральных элементов алгебры V-isi^ в терминах базиса
¿-операторов в Usi^ была найдена Н.Ю.Решетихиным и М.А.Семёновым-Тян-Шан-ским [64]. Они построили счётное семейство центральных элементов U, i 6 Z — коэффициентов степенного ряда
1(0 - »С'- (7-8)
i€Z
Позднее Дж.Динг и П.Этингоф [13] доказали, что эти центральные элементы порождают все сингулярные векторы мнимой степени в модулях Верма Итак, для каждого А имеется счётное семейство сингулярных векторов мнимой степени в модуле
vx,i=l-ivx = Px,i(fo,fi)vx, i> о. (7.9)
Составим производящую функцию
оо
= (7Л0) 1=0
Тодставляя в неё скрининги ^ и 51 вместо /о и /ь по теореме 7.2 получаем для гюбого р оператор
оо 1=0
"ДС
=РлЛ5^,51), \ = -р,Д/13.' • . (7.12)
Георема 7.3. Операторы коммутируют с локальными интегралами движения 7.4) и друг с другом. Следовательно, операторы <3, дпагоналпзуются в том же Запасе, что и Хцп-а.
Динг и Этингоф [13] привели также явную конструкцию сингулярных векторов 'Л, 1 (7.9), из которой следует явная формула для функции (7.10) и, следовательно, интегральная) формула для оператора (7.11). Нетрудно видеть, что эта интеграль-гая формула эквивалента формуле Бажапова - Лукьянова - Замолодчикова для саеда квантовой матрицы монодромии ([4], формулы (55,56)), £ соответствует квадрату шектрального параметра. Таким образом, операторы совпадают с квантоа'ыми челокалъпыми интегралами движения из [4].
Бажанов, Лукьянов и Замолодчиков высказали следующую гипотезу, основанную та дискретно!! аппроксимации нелокальных интегралов движения и использовании термодинамического анзаца Бете [70]:
Гипотеза 7.4. Пусть *(£) —любое собственное значение оператора Т(£) в пространстве Нр. Тогда, при малых ¡3
1) ¿(£) — целая функция от £ с существенной особенностью на бесконечности, : бесконечным числом пулей па. отрицательной вещественной полуоси и конечным числом нулем вне сё.
2) Функция *(£) нредставима л виде
'(0=Л(90+Л-1(9"10. (7лз)
где Л(£) разлагается в асимптотический ряд при £ —> оо
оо
1ойЛ(5{) ~ - ]Г сп12п._1еЗ(Т^)(1-2") (7.14)
11—1
з области — ж + е < < тг — е для любого е > 0. Здесь т, с„ — числовые кон-
станты, зависящие только от ¡3 ([4], (07)), а — локальные квантовые интегра.чы
движения в нормировке статьи [4), т.е. Zin-i — некоторая линейная комбинация интегралов I'ij-l с j < п.
Разложения (7.11) и (7.14) представляют собой совершенно нетривиальное аналитическое соотношение между нелокальными интегралами (7.12) и локальными интегралами (7.4).
Формула (7.13) есть не что иное, как g-аналог преобразования Миуры (5.13). С помощью этого преобразования Э.В.Френкель и И.Ю.Решетихин [42] вычислили скобку Пуассона центральных элементов (7.8) аффинной квантовой группы на критическом уровне.
Список ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Ablowitz М., Каир D., Newell A., Segur И., Stud. Appl. Math. 53 (1974), 249-315.
[2] Babelon 0., Bernard D., Comm. Math. Phys. 149 (1992), 279-306.
[3] Babelon 0., Bernard D., Int. J. Mod. Phys. A8 (1993), 507-543.
[4] Bazhanov V.V., Lukyanov S.L., Zamolodchikov A.B. Integrable structure of con-formal field theory, quantum KdV theory, and thermodynamic Bethe ansatz, preprint hep-th/9412229.
[5] Beilinson A.A. Geometric Langlands correspondence and representations of Kac -Moody algebras of critical level (after V.Drinfeld), handwritten manuscript.
[C] Beilinson A.A., Drinfeld V.G. Quantization of Hitchin's fibration and Langlands program, preprint, 1994.
[7] Beilinson A., Feigin В., Mazur B. Introduction to algebraic field theory on curves, manuscript.
[8] Belavin A.A., Polyakov A.M., Zamolodchikov A.B. Infinite conformal symmetry in two-dimensional quantum field theory, Nucl. Phys. B241 (1984), 333-380.
[9] Bernstein J., Gelfand I., Gelfand S. Differential operators on the base affine space and a study of g-modules, in: Representations of Lie groups, ed. I.Gelfand, 21-65, Wiley, New York 1975.
[10] Bouwknegt P., McCarthy J., Pilch K. in: Strings and Symmetries, eds. N.Berkovits, e.a., 407-422, World Sci., 1992.
[11] Бурбаки H. Группы Ли и. алгебры Ли, главы VII, VIII, М.: Мир, 1978.
[12] de Concini С., Kac V. in Progress in Math. 92, eds. A. Connes e.a., (1990), 471-506.
[13] Ding J., Etingof P., Math. Res. Lett. 1 (1994), 469-480.
[14] Dotsenko M.S., Fateev V.A. Conformal algebra and multipoint correlation functions in 2D statistical models. Nucl. Phys. В 240 [FS12] (1984), 312-348.
[15] Дринфельд В.Г., Соколов В.В. Алгебры Ли и уравнения типа Кортевега -де Фриза, Итоги науки и техники, сер. Современные проблемы математики, т. 24, М., ВИНИТИ, 1984.
[16] Fateev V.A., Lukyanov S.L. The models of two-dimensional conformal quantum field theory with Z„ symmetry, Int. J. Mod. Phys. A3, 507 (1988).
[17] Fateev V.A., Lukyanov S.L. Additional symmetries and exactly soluble models of two-dimensional conformal field theory. Kiev preprints, ITF-87-74,75,76 (1988).
[IS] Fateev V.A., Zamolodchikov A.D. Coiiformal quantum field theory models in two limensions having symmetry, Nucl. Phys. В 280 [FS18] (10S7), 644-660.
[19] Фейгин Б.Л.. Полубесконечные когомологии алгебр Ли Каца - Муди и Вира-■-оро, Успехи мат. наук, т. 39 (1984), 195-196.
[20] Feigin B.L. Conformal field theory and cohomologies of the Lie algebra of liolo-norphic vector fields on a complex curve, in Proc. Int. Congress of Math., Kyoto, .Japan 990.
[21] Фейгин Б.Л., Фукс Д.Б. Инвариантные косо симметрические дифференцпаль-1ые операторы на прямой и модули Верма над алгеброй Вирасоро, Функц. анализ и то прил., 1982, т. 16, вып. 2, с. 47-63.
[22] Фейгин Б.Л., Фукс Д.Б. Модули Верма над алгеброй Вирасоро, Функц. анализ i его прил., 1983, т. 17, вып. 3, с. 91-92.
[23] Feigin B.L.j Fuchs D.B. Representations of the Virasoro algebra, in: Represeuta-ions of Infinite-Dimensional Lie Groups and Lie Algebras, Gordon and Breach, 1989.
[21] Feigin B.L., Fuchs D.B. Cohomology of some nilpotent subalgebras of the Virasoro md Kac - Moody algebras, Journal of Geometry and Physics, vol. 5, n. 2, 19SS.
[25] Feigin B.L., Frenkel E.V. Coinvariants of nilpotent subalgebras of the Virasoro ilgebra and partition identities, in: I.M.Gelfand Seminar, eds. S.Gelfand, S.Gindikin, Adv. a Soviet Math. 16, Part 1, 139-148, Providence; AMS, 1993.
[26] Фейгин Б.Л., Френкель Э.В. Семейство предстаатении аффинных алгебр Ли, Успехи мат. паук, т. 43, вып. 5. с. 227-228, 1988.
[27] Feigin B.L., Frenkel E.V. Affine Kac - Moody algebras and semi-infinite flag man-folds, Comm. Math. Phys. 128, 161-189 (1990).
[28] Feigin B.L., Frenkel E.V. Representations of affine Kac - Moody algebras and ■osonization, in: Physics and Mathematics of Strings, V.G.Knizhnik Memorial Volume, ds. L.Brink, D.Friedan, A.Polyakov, World Sci.,' 1990.
[29] Feigin B.L., Frenkel E.V. Representations of aSIine Kac - Moody algebras, bosoniza-ion and resolutions, Lett. Math. Phys. 19, 307-317 (1990).
[30] Feigin B.L., Frenkel E^V. Quantization of the Drinfeld - Sokolov reduction, Phys. .ett. В 216, 75-81 (1990).
[31] Feigin B.L., Frenkel E.V. Duality in Ж-algebras. Duke Math. J., 1MRN, G, 75-82 1991).
[32] Feigin B.L., Frenkel E.V. Affine Kac - Moody algebras at the critical level and k-lfand - Dikii algebras, in: Infinite Analysis, eds. A.Tsuchiya, T.Eguchi, M.Jimbo, Adv. er. in Math. Phys. 16, 197-215, Singapore: World Sci., 1992.
[33] Feigin B.L., Frenkel E.V. Integrals of motion and quantum groups, to appear in: 'roceedings of the C.I.M.E. school "Integrable systems and quantum groups"', Italy, June 993, Lecture Notes in Math., Berlin: Springer.
[34] Feigin B.L., Frenkel E.V. Free field resolutions in affine Toda field theories, Phys. ett. В 276, 79-86 (1992).
[35] Feigin B.L., Frenkel E.V. Kac - Moody groups and integrability of soliton equations, ivent. Math. 120,379-408 (1995).
[36] Feigin B.L., Frenkel E.V., Reshetikhin N.Yu. Gaudin model, Bethe ansatz, and Drrelation functions at critical level, Comm. Math. Phys. 166, 27-62 (1994).
[37] Feigin В., Naltanishi Т., Ooguri H. The annihilating ideals of minimal models, preprint RIMS-837, Kyoto, October 1991.
[38] Feigin B.L., Schechtman V.V., Varchenko A.N. On algebraic equations satisfied by correlators in WZW models, Lett. Math. Phys. 20, 291-297 (1990); preprints, 1993, 1994.
[39] Felder G. BRST approach to minimal models, Nucl. Phys. В 317, 215-236 (1989).
[40] Frenkel E.V. Affine Kac - Moody algebras at the critical level and quantum Drinfeld - Sokolov reduction, Ph.D.Thesis, Harvard, 1991.
[41] Frenkel E.V. Affine algebras, Langlands duality and Bethe ansatz, to appear in Proceedings of the International Congress on Mathematical Physics, Paris 1994.
[42] Frenkel E.V., Reshetikhin N.Yu. Quantum affine algebras and deformations of the Virasoro and JV-algebras, preprint, May 1995.
[43] Frenkel E., Kac V., Wakimoto M. Characters and fusion rules for V7-algebras via quantized Drinfeld - Sokolov reduction, Comm. Math..Phys. 147, 295-328 (1992).
[44] Frenkel I., Lepow-sky J., Meurman A. Vertex operator algebras and the monster, Academic Press, 1988.
[45] Гельфанд И.М., Дикий JI.A. Дробные степени операторов и гамильтоновы системы. Функц. анализ и его прил. 1976,'т. 10, вып. 4, с. 13-29.
[46] Goodman R., Wallach N., Trans. Amer. Math. Soc. 315, 1(1989).
[47] Kac V.G. Contravariant form for infinite-dimensional Lie algebras and superalge-bras, Lecture Notes in Phys. 94 (1979) 441-445.
[48] Кац В.Г. Бесконечномерные алгебры Ли, М.: Мир, 1993.
[49] Kac V., Kazhdan D. Structure of representations with highest weight of infinite-dimensional Lie algebras, Adv. Math. 34, 97-108 (1979).
[50] Kedem R., Klassen T.R., McCoy B.M., Melzer E. Fermionic sum representations for conformal field theory characters, preprint ITP-SB-93-05, RU-93-01, hep-th/9301046.
[51] Kedem R., Klassen T.R., McCoy B.M., Melzer E. Fermionic quasi-particle representations for characters of (G(1>)i x (G(1>)i/(G(1))2, preprint ITP-SB-92-64, RU-92-51, hep-th/9211102.
[52] Kazhdan D., Lusztig G. Tensor structures arising from affine Lie algebras. I-IV. Amer. J. Math. 6 (1993), 905-947; 6 (1993), 949-1011; 7 (1994), 335-381; 7 (1994), 383-453.
[53] Knizhnik V.G., Zamolodchikov A.B. Current algebra and Wess - Zurnino model in two dimensions, Nucl. Phys. В 247 (1984), 83-103.
[54] Kostant В., Sternberg S. Symplectic reduction, BRS cohomology, and infinite-dimensional Clifford algebras. Ann. Phys. 176, 49-113 (1987).
[55] Kostant В., Invent. Math. 48, 101-184 (1987).
[56] Langlands R. Problems in the theory of automorphic forms, Lecture Notes in Math., vol. 170, p. 18-86, New York: Springer, 1970.
[57] Лукьянов С.Л. Квантование алгебры Гельфанда - Дикого, Функц. анализ и его прил. т. 22, вып. 4, с. 1-10 (1988).
[58] Mikhailov A., Olshanetsky М., Perelomov V., Comm. Math. Phys. 79 (1981), 473-488.
[59] Nahm W., Int. J. Mod. Phys. A 6 (1991), 2837.
[GO] Nicdermaier M., in Proceedings of Cargese Summer School on "New Symmetries in FT", 1991.
[01] Olive D., Turok N., Nucl. Phys. В 220 (1983), 491.
[62] Olive D., Turok N., Nucl. Phys. В 265 (1985), 469.
[63] Прессли Э., Сигал Г. Группы петель, М.: Мир, 1990.
[64] Reshetikhin N.Yu., Semenov-Tiau-Shansky М.Л. Lett. Math. Phys. 19 (1990), 53-142.
[65] Schechtman V., Duke Math. J., IMRN, 2 (1992), 39-49; 10 (1992), 307-315.
[66] Schechtman .V., Varchenko A. in: Proceedings of the Okayaina Satellite Conference • the ICM "Special Functions", 1990, eds. M.Kashiwara and T.Miwa, Springer 1991.
[67] Terhoeven M. Lift of dilogarithm to partition identities, preprint BONN-HE-92-36, ovember 1992.
[68] Tsuchiya A., Ueno K,, Yarnada Y. Conformal field theory on universal family of able curves with gauge symmetries, Advanced Studies in Pure Math., 19 (1989), 459-566.
[69] Varchenko A. The function П|<>(^ ~~ tj)ai'^k and representation theory of Lie gebras and quantum groups, preprint, 1992.
[70] de. Vega H.J, Destri C. Unified approach to thermodynamic Bethe ansatz and finite ze corrections for lattice models and field theories, preprint hep-th/9407117.
[71] Verlinde B. Fusion rules and modular transformations in 2D conformal field theory, ucl. Phys. В 300, 360 (1988).
[72] Wakimoto M. Fock representations of afline Lie algebra Д^, Comm. Math. Phys. >4, 604-609 (1986).
[73] Замолодчиков А.В., неопубликовано.
[74] Zamolodchilkov A., Adv. Stud. Pure Math., 19 (1989), 641.
[75] Felder G., LeClair A., in: Infinite Analysis, eds. A.Tsuchiya, T.Eguclii, M.Jimbo, dv. Ser. in Math. Phys. 16, Singapore, World Sci., 1992.
[76] Drinfeld V.G. Quantum groups, in: Proc. Int. Congress of Math., Berkeley, 1986.
Подписано в печать 20 ноября 1995 года. Формат 60x84/16. Заказ № 2.#Тираж 100 экз. П.л. 2,5
Отпечатано в РИИС ФИАН. Москва, В-333, Ленинский проспект, 53
