Приближение функций линейными средними их рядов Фурье тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ ЯСдЫЙй ЦшИКИСТАй ТАДЖИКСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

Специализированный совет К 065„01.02

На правах рукописи УДК 517.5 ■

ШОРОВ Абдусамад

ПРИБЛИЖЕНИЕ ФУНКЦИЙ ЯИНЕЙНШИ СЕЕДНЙШ! Ш, РЯДОВ OTES

OI.Oí.ОХ - яагзиагапесхяЗ а®х»лп

Автореферат

диооергацш на еоиоканио ученой сеэпзнз кандидата фязпко-маЕзнагичбскнх: наук

Душанбе - 1992

Работа выполнена г Таджикском государственном университете.

Научный руководитель - доктор физико-иатеыагичеоких

наук, профессор ".Б.СТЕЧКИН

Официальные оппоненты - доктор фиэико-иатецатичвских

наук, профессор Н.И.ЧЕРНЫХ.«

кандидат физико-иатеиатичеоких наук, доцент Д.ИСМОИЛОВ

Ведущая организация - Московский энергетический институт!

8ащи«а ооогоитоя " ¥ п г.. в // чао,

па заседаний специализированного совета Е 065.01.02 по присук-деня» ученой ояепенв кандидате физико-математических наук ® Тадакскои гооунвверситэте (734025» г.Душанбе, проспект Рудаки, I?).

С диосертациэй »окно ознакомимся з научной библиотеке Тадаикского госугавероитежа.

Автореферат разослан " -3 » Ф! Х992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, к.ф.ы.н., доцанг О.Х.ХОСАЕЕКОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Одним из недостатков большинства численных методов анализа является наличие в них систематических ошибок. Модельный случай этого явления доставляют линейные методы приближения периодических функций различного рода средними их рядов Фурье. Соответствующая теория носит название теории насыщения линейных методов, и ее осговы были заложены Ж.Фаваром [ 13 »И в 40-х годах и развивался многими исследователями [з]- ^12"]. С более общей точки зрения теория систематических ошибок исследовалась К.И.Бабенко [ 10].

Цель работы. Исследование аппроксимативных свойств линейных методов суммирования рядов Фурье; построение линейных методов суммирования с заданными классами насыщения.

Методы исследования. Применяются методы теории функций и функционального анализа.

Научная новизна. Все основные результаты являются новыми: конструкция линейных методов суммирования рядов Фурье с классами насыщения, АуО^г <=*=■ , о \

доказательство невозможности {с/} ^ , 1

-¿-а/

быть классом насыщения с порядком насыщения /г. ; нахождение верхней граня уклонений, многомерных средних Абеля-Пуассона на' классах ¿у/р .

Практическая и теоретическая ценностьо Работа носчт теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы для дальнейшего исследования задач теории приближения.

Адпробащш работы. Результаты диссертации докладывались на Всесоюзных летних школах по теории приближения функций под научным руководством профессора С^Б.Стечкиш 1981-1987 гг, на Всесоюзной конференции по функциональному и интегро-дифференциальным уравнениям в г.Душанбе 1987 г., на Всесоюзной школе - конференции "Современные проблемы теории функци£"в г.Баку 1989 г, на семинаре отдела теории функций и Функционального анализа ¡»ИРАН им.В.А.Стеклова 19801990 гг, на семинарах С.Б.Стечкина по теории приближений МГУ, на апрельских научных конференциях Т1У.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 6-и работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, 6-и параграфов и списка цитируемой литературы. Общий объем диссертации 85 страниц. Библиография содержит 47 названий.

Содержание работы

Во введении дается краткий обзор результатов по тематике исследования и излагаются основные результаты диссертации.

Работа состсат из шести параграфов. В первом параграфе строятся линейные методы суммирования рядов Фурье и находятся их классы и порядки насыщения.

Пусть

{ ип и) < -V ( ,1; ^ (I)

лшеййнк метод г.уш'лрованоя ряда <*урье.

Говорят, что метод (I) является насыщенным, если для ' него существует такая положительная убывающая при п, <=*» к нули фуннция (уь) , что

а) из соотношения

X

следует, что jCx)=CcMi~t%

б) существуют отличные от постоянных функции ^€ /С ,

для которых

ílfM-Uíf^ll - Р(ФЛС*0

\/ Л

где У\ - любое из пространств С , Lp (f¿p£^).

Множество функций, удовлетворяющих условия о) з эхом случае называют классом насыщения данного уот'ода

¿X, , а функции - его порядком иасыцошя.

При исследовании ряда хороаю известных [8], [э], \.П], [is3 классических линейных методов суммирования рядов Фурьо (I) установлено, что при четном 'Ь существует для которых

(2,

При нечетно»« X . например, при -ir-i , для средних Бернитайна-Рогозанского Р„М.Тригуб [ilj также установил (2). Однако сумматорная функция s\(u) этого метода - комплеко-нозначна.

- 6 -

Для нечетных ^ построим действительные функции /\(и) . У которых класс насыщения

яса^^-ч.рс,*),

а порядок насыщения

Положим

■ Ч и- ¿и*- Чи , при

5 п/ис [и/ ¿//^^

-бУ^+УУи ? у«- % <

(3)

/-¿г -(уц+з)9 ук 3 (4).

О0 Ш/ 2 4.

Имеет место

Теорему. I. Пусть определена формулой (3).

Тогда

П« Пусть фсрм^аай (4).

'.'.огдд

^ = 3,5, .... /1 (и)

опрбдолена

Во втором параграфе продолжаем изучение классов насыщения линейных методов суммирования рядов Фурье; строятся дай-ствительные функции ~\/гСи) У которых

мж ао & ч

В третьей параграфе рассматриваются классы из пространства Ьр , /</?ссо и классы. У\/р" > О - совокупность функций с суммируемой в р -ой степени 'I -ой произяодашй; дробная производная определяется по Бейта. Пусть

Г <1-Ш1г7 при

(5)

Н ) О, Ш/21.

Имеет место

Теореш. Пусть *1>0 я ^(и) опрадалена формулой (5). Тогда для <=о ,

В 4-ом параграфе доказываем, что для любых ^ = О, I, 2, О^-Ы^ 1 в пространстве ^ нет

линейного метода суммирования с непрерывной сумматорной функцией ^(и) у которого

Имеет место

—:—.....- б - --------.Теорема. Для любого 0/.ЫЛ 1 не существует1 функции )\(и) непрерывной на Ц-1,1^ и Х(о) = I такой, что

Ф с^-п'-^ жа^^ч^н 4].

Л/ь

Параграф 5 посвящен изучению приближения функции многих переменных их суммами Абеля-Пуассона. Пусть

т* - многомерный тор; Д - пространство

см.

Будем считать, что функция -[(х) принадлежит классу

если . •

II ~ г/Сх)// * К- П'К М - +

X

Через

^ -^—7 -<277 /\<У- / ¿77 ¿¿и

е ■ е>

- обозначим ядро Абеля-Пуассона," а через

- средш!е Абеля-Пуассона ряда Фурье.

Имеет место Теорема. Пусть [, /^Дм ,

- 9 -

К¿(/>{4, X} , о^^.

Тогда

X

¿Л

е.МЫ^ОсЪ,^.

г.

.¿и р

С Г П}

С СП

0137

«У с

где

гт

77^ .

а ¿¿А" , - площадь поверхности единичной сферы в с

В 6-ом параграфе результаты Алексичз [4] в Зсданскохо [ 5] переносятся на случай шогах переменных.

I

Литература

1. Favard J. Sur les meilleure proce'de's d'appoximation de certaines classes de fonctions pa*r des polynômes trigo-nometriques // Bull. sci. Math. - 193?.- V.61. - P.243-256.

2. Fayard J. Sur la saturation des proce'de's de sommation // Journ. math. Pures» et appl. - 1957« - V.J6,- И 4. -

P. 559-372.

De la Valle'e Poussin Ch= J . Leçons sur l'approximation des fonctions d'une variable ro"elle, Paris, 1919°

4. Alexits G. Sut l'ordre de grandeuer de l'approximation

d'une fonction p'eriodique par les sommes de Fojér // Math, hung. - 1952, 3. - P»29-42.

5« Zamansky Ы. Classes de saturation des procédés de sommation des sériés de l'ourler et applications des se'ries trigonome'triques // Ann.Sci. Êole Horm. Sup. 1950 (3)i 67. - P.161-198.

6. Butzer P.L. Sur la the'orie des demi-groupes et classed de saturation de certains intégrales singulie'res // C.E. Acad. Sci. Paris. - 1956, 243, К 20. - P.1473-1475.

7. Aljancic S. Classe de saturation des proce'de's de sommation de Holder et de Riiez // C.R.Acaû. sci. - 1958- 246, H 18. - P.2567-2569.

8. Турецкий A.X. О классах насыщения в пространстве С. // Изв. АН СССР, сер. ыатен. - I96I.-T.25, !.'» 3. - С.411-442.

9с Гаврилюк В.Т. О классах насыщения линейных методов суммирования рядов Фурье // Укр. мат. журн. - 1988.-Т.40, № 5.-С.569-576.

10. Бабенко К.И. Основы численного анализа. М., Наука, 1986.-• 744 с.

11. Тригуб P.M. О X -сумма:; Фурье. Сб. "Исследования по современным проблемам конструктивной теории функций",

' Баку, 1965. - С.389-396.

12. Тригуб P.M. Конструктивные характеристики некоторых классов функций // Изв. АН СССР, сер.мат. - 1965. -Т.29. - С.615-630.

Работы автора по теме диосертации

1. Гафоров А. О классе и порядке насыщения одного линей*,

ного метода -суммирования-рядов Фурье // Докл. АН ТаднССР.-1987. - Т.30, tt I. - С.3-7.

2. Гафоров А. О классе и порядке насыщения одного линейного метода суммирования рядов Фурье. Тезисы докладов Всесоюзной конференции по теории прнлогениям функционально-дифференциальных уравнений (28-30 сент.), ЧЛ, 1987,

• г.Душанбе, С.87.

3. Гафоров А; Классы и порядки насыщения некоторых линейных методов суммирования рядов Фурье // Докл. АН ТаджССР.-1989.-Т.32, й 2. - С.78-81.

4. Гафоров А. Классы и порядки насыщения линейных методов суммирования рядов Фурье. Тезисы докладов Всесоюзной ыколы-хонференцяи "Современные проблемы теории функций"

' (19-29 мая 1939 г.), Баку, С.31-32.

5. Гафоров А. Классы насыщения линейных методов суммирова- . ния рядов Фурье и оопряженные функции. Душанбе, 1990,

II стр. Деп. ВИНИТИ 28.12.1989 г. '

6. Гафоров А. Линейные методы суммирования рядов Фурье, имеющие класс "И/р' классом насыщения // Докл. АН Тадн. ССР. - 1990.-Т.33, № 10. - С.641-644.

■0/ХП-1092 г.Заказ Иг.Тирая 100 экз. Ротапринт Т1У,Душанбе.ул.Лахути,2.