Приближение многочленами решений некоторых типов задач для дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

ГЛАВА I. Приближение многочленами решений задач Коши

§ I. Аппроксимационный метод решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с гладкими коэффициентами

§ 2. Приближение Ай-методом решения систем обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкой правой частью

§ 3. Приближение Ай-методом решения систем дифференциальных уравнений с аналитической правой часто

§ 4. Приближение АИ-методом решения задачи Коши для линейных дифференциальных уравнений с непрерывными коэффициентами

ГЛАВА П. Применение многочленов при решении краевых задач

§ I. Аппроксимационный метод решения задачи Гурса для линейных гиперболических уравнений с гладкими коэффициентами

§ 2. Приближенное решение периодической краевой задачи для линейного дифференциального уравнения

§ 3. О применении методов комбинированного типа к решению краевых задач

Методы решения дифференциальных уравнений можно условно разделить на две большие группы. К первой груше относятся так называемые численные методы, наибольшее распространение среди которых получили разностные методы. Отличительная черта численных методов состоит в том, что ответом в результате их применения служит число или некоторая совокупность чисел. Во вторую группу приближенных методов входят методы, называемые аналитическим. От численных методов их отличает тот факт, что ответом в результате их применения служит элемент функционального класса, например, многочлен, сплайн и т.д.

Получение приближенного решения дифференциального уравнения в аналитическом виде предпочтительнее при дальнейших операциях над ним, например, при дифференцировании. Кроме того, при аналитическом приближенном методе приближенное решение принадлежит, как правило, некоторому конечномерному пространству,что облегчает его хранение в памяти ЭШ. Сейчас известно большое число аналитических приближенных методов. К ним относятся такие методы, как метод Галеркина, проекционно-итеративные методы типа метода Ю.Д.Соколова, асимптотические методы, например, мет од Крылова-Боголюбова-Митропольского, методы малого параметра и др.

В семидесятых годах В.К.Дзядык [13, 15-17] предложил так называемый аппроксимационный метод (а-метод) решения дифференциальных и интегральных уравнений.

Применительно к задаче Кош для линейных дифференциальных уравнений (л.д.у.) с многочленными коэффициентами ty.gft&y^-*(«), (I) f'CO) = £ Г-/) (2) на некотором сегменте fe] (Д^) , где p^O3^) { i- QfГ ), - алгебраические многочлены и f>0(x) & а. = cfitisi > О

3) этот метод заключается в следующем 116 ] . Отправляясь от эквивалентного задаче (1)-(2) интегрального уравнения ос. peWf(z)= i Ре MfV) М ♦ fm(x), (4) О в котором представляет собой многочлен некоторой степени nt ,а £) - многочлен по переменным cc.tb.-L, сумма показателей которого по ж и £ не превышает £ mattefrVji^+j-i]

L=0 J=0 J вводится в рассмотрение интегральное уравнение х fPe(x,i) fall)dt t jm(x) - (5) 0 где л) - полиномы Чебышева первого рода порядка ,

Q и tn+i - некоторые неизвестные величины. Решение уравнения (5), которое при фиксированном -it существует для всех достаточно малых It > 0 , находится из системы линейных алгебраических уравнений. Полученные алгебраические многочлены (х) = (х, к/) осуществляют приближенные решения ^(х) уравнения (4) с погрешностью, которая во многих важных случаях с точностью до множителя ? ^ = c#ti#t , не превышающих величину Е^С^) наилучшего равномерного приближения функции -^(яс) многочленами степени не выше и, , а в общем случае обладает тем свойством, что

К-const.

В процессе дальнейшего развития указанного метода В.К.Дзя-дыком и его учениками был получен целый ряд результатов, относящихся к приближению многочленами решений систем дифференциальных уравнений, уравнений с запаздывающим аргументом, интегральных уравнений, некоторых задач для уравнений в частных производных [7, 23, 33, 34, 37-40 ] .

В 1980-1984 годах в \ 19, 20 ] был разработан так называемый аппроксимационно-итеративный метод (АИ-метод) решения обыкновенных дифференциальных уравнений.

Применительно к решению задачи Коши в предположении, что ^(зс,^) является аналитической по обеим переменным ОС и в некоторой области tf с. £г предложен и обоснован эффективный алгоритм построения многочленов ^ (И; х.) ( V - порядок итерации, п> - степень многочлена х) ), которые с одной стороны при каждом фиксированном У и больших Ц> достаточно хорошо приближают

У -е приближение, получаемое по методу последовательных приближений Пикара, а с другой стороны требуют для своего построения сравнительно небольшое количество вычислительной работы.

В дальнейшем этот метод в работах [ 22, 29 ] был применен к приближенному решению некоторых задач для уравнений в частных производных и интегральных уравнений.

Настоящая диссертация посвящена развитию результатов из \ 14, 16, 20, 23 ] в следующих трех направлениях, охватывающих достаточно широкий круг вопросов.

I. При помощи а-метода и Ай-метода исследуются полиномиальные приближения функций, являющихся решениями: а) задачи Кош для л.д.у. с гладкими коэффициентами (а-метод); б) задачи Гурса для линейных гиперболических уравнений (л.г.у.) с гладкими коэффициентами (а-метод); в) задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений с гладкими и аналитической правой частью (АИ-метод); г) задача Коши для л.д.у. с непрерывными коэффициентами (АИ-метод).

П. Рассматривается задача о применении многочленов для построения приближенного решения часто встречающейся на практике периодической краевой задачи для л.д.у. f(£)(0) = fM(2V), i* 0,., г-1, (7) где рг(х) (t=(hr) и из С[0,2ЭГ].

Ш. К решению задачи (6)-(7) и задачи Дирихле для уравнения Лапласа hit-О, -a/dG=f (fsC(00)), (S) где (а- - область, гранща которой задана параметрическими уравнениями л-«РС^Х ^-УСО, £e[(?,2Jr]. (9) f(0) = cp(25r), применяется метод, представляющий собой синтез прямого метода, предложенного в [14 ] и метода простой итерации.

Отметим в связи с этим, что глубокое исследование проекци-онно-итеративных методов проведено в i 35 ] .

Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы.

1. Азизов М. О приближении многочленами решений ленейных дифференциальных уравнений с гладкими коэффициентами. Препринт 84.38.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984.- 27 с.

2. Азизов М. Приближение АИ-методом решения: систем дифференциальных уравнений с гладкой правой частью. Препринт 84.47.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с.Зт15.

3. Азизов М. Приближенное решение'периодической краевой задачи для линейного дифференциального уравнения. Препринт 84.47.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984, с.16-23.

4. Азизов М. Об одном дискретно-аппроксимационном методе приближения полиномами решения систем дифференциальных уравнений.-Тезисы докладов Республ. научно-технической конференции, посвященной 60-летию образования Таджикской ССР. Душанбе, 1984.

5. Алексеенко М.И. Приближенное решение периодической краевой задачи.- Весц1 АкадемП навук БССР, Сер.ф1з.-мат.навук, 1981, & 6, с.54-58.

6. Биленко В.И. Приближение полиномами решений одного класса интегральных уравнений Гаммерштейна. Препринт 80.17.- Киев: Ин-т математики АН УССР, 1980.- 24 с.

7. Ъыкко$$ Sckutlz МГ/f, attc( (fatpa AS, Pt'ecets&e yletmLte XtdetpoEa-Uott Ik Otte and t?atta.Se& aKtk, dpp&caUons bo Partial Dtftetetitot fyuQitc-m Mwe>tt Math,, №8, //, yj, p, г$г - 256.

8. Бурлаченко В.П., Романенко Ю.й. О приближении по методу В.К.Дзядыка решения задачи Гурса с многочленными коэффициентами.-В кн.: Теория функций и ее приложения. Киев: Наукова думка, 1979, с.50-60.

9. Волков Е.А. Численные методы.- М.: Наука, 1982, с.38-44.

10. Габдулхаев Б.Г. Оптимальные аппроксимации решений линейных задач.- Изд.Казанского университета, 1980.

11. Дзядык В.К. Про наикраще наближення в середньому neplo-дичних функций з особливостями.- Науков1 записки Луцкого педаго-г1чного 1нституту. Вид.1, ф1з.-мат.сер1я, 1953, с.51-65.

12. Дзядык В.К. О применении линейных методов к приближению полиномами решений обыкновенных дифференциальных уравнений и интегральных уравнений Гаммерштейна.- Изв. АН СССР, сер. матем., т. 34, J& 4, 1970, с.827-848.

13. Дзядык В. К. О применении линейных методов к приближению полиномами функций, которые являются решениями интегральных уравнений Фредгольма второго рода.- Укр.мат.журн., 1970, 22,4, с.448-467.

14. Дзядык В.К. Об эффективном построении многочленов, которые осуществляют близкое к наилучшему приближение функций е* ,scnx и др.- Узд.мат.журн., 1973, 25, Л 4, с.435-453.

15. Дзядык В.К. Аппроксимационный метод приближения алгебраическими многочленами решений линейных дифференциальных уравнений.- Изв. АН СССР, сер. матем., 1974, 38, № 4, с.937-967.

16. Дзядык В. К. Аппроксимационный метод решения дифференциальных уравнений.- Труды Международной конференции по теории приближения функций. Калуга, 1975, с.149-157.

17. Дзядык В. К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами.- М.: Наука, 1977.- 508 с.

18. Ozj^adik {?, Pohfnotncat- appboxi/naiien lo tke. $ьЫЫок/> oj- Hue. Caucky, cmd Coatscd рыё£еть app&ccLtiotcb, Cotio^utO- ntcdkemcttica. soci.eta.tcs (fcbtunJtofyai ftud&peti. , J3S07 р.Ш-Ш.

19. Дзядык В. К. Аппроксимационно-итеративный метод решения задачи Коши для обыкновенных дифференциальных уравнений. Препринт 84.27. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1984.

20. Дзядык В.К., Карпенко С.Ф. Таблицы многочленов для приближенного вычисления элементарных функций. Препринт 77.28.-Киев: Ин-т математики АН УССР, 1977.- 28 с.

21. Дзядык В.К., Подлипенко Ю.К. Один численный алгоритм решений нелинейной задачи Гурса.- В кн.: Исследования по теории аппроксимации функций. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981, с. 38-51.

22. Дзядык В.К., Островецкий А.А. Аппроксимационный метод решения задач Гурса для линейных гиперболических уравнений с многочленными коэффициентами.- В кн.: Исследования по теории аппроксимации функций. Киев: Ин-т математики АН УССР, 1981, с.20-37.

23. Vzjadik С? Ж. and tattoo (Z Ott asumpbtccb and estLmcui&b fct ike. <mt£ozm notmd cf 6ke tattle, itti&ipo£cd.i.o-tt р<?£у#бпив.1б ссггеъроискар td ike. Che&cfbh&u? twdel pv-trdi. JxalyU* tnalke/neUc&x. 9,1983, p. 85-8T.

24. ЗЪоог С. У ptoc£tcct£ putde io ъел . j/ea>- fobk. etc.: SfrccKf&t, 1478.

25. Женсыкбаев А.А. Замечание о константах Лебега сплайн-интерполяции. В кн.: Исследования по современным проблемам суммирования и приближения функций и их приложения. Вып. 5. Днепропетровский университет, 1974, с.50-52.

26. Зализняк С.Н., Мельник Ю.И., Подлипенко Ю.К. О приближенном решение интегральных уравнений теории потенциала.- Укр. мат.журн., 1981, 33, №3, с.395-391.

27. Зигмунд А. Тригонометрические ряды.- М.: Мир, 1965, 2.538 с.

28. Карпенко С.Ф. О приближении алгебраическими многочленами решений некоторых типов интегральных уравнений.- Тезисы докладов на Международной конференции по теории приближения функций. Киев, 1983, с.90-91.

29. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1981.

30. Контарович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1977.- 503 с.

31. Лизоркин П.И. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа.- М.: Наука, 1981.

32. Литвинец П.Д. Применение апцроксимационного метода к решению систем линейных дифференциальных уравнений. Препринт 78.35.-Киев: Инут математики АН УССР, 1978.- 43 с.

33. Литвинец П.Д. Применение аппроксимационного метода к решению основной начальной задачи для линейных дифференциальных уравнений с запаздывающими аргументами.- В кн.: Теория функций