Приближенные методы расчета полей излучения в частотах спектральных линий в атмосферах звезд тема автореферата и диссертации по астрономии, 01.03.02 ВАК РФ

Введение

Глава I. ПРИБЛИЖЕННЫЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ ПЕРЕНОСА

ИЗЛУЧЕНИЯ В ЛИНИЯХ. ОБЩИЙ АНАЛИЗ

§1.1. Основные предположения и уравнения

§1.2. Интегральное уравнение переноса

§1.3. Вероятностная трактовка процесса переноса г ,*' излучения

§1.4. Длина термализации и приближение L

§1.5. Приближение L

§1.6. Приближения F

§1.7. Другие приближения

§1.8. Соотношения типа Эддингтона-Барбье и метод насыщения ядра

§1.9. Связь между приближениями С и L

Глава П. ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В НЕПОДВИЖНЫХ АТМОСФЕРАХ: АСИМПТОТИЧЕСКИЕ, ПРИБЛИЖЕННЫЕ И ЧИСЛЕННО

ТОЧНЫЕ РЕШЕНИЯ

§2.1. Ядерные функции и их свойства

§2.2. Стандартная и фундаментальная задачи для полубесконечных атмосфер

§2.3. Стандартная и фундаментальная задачи для атмосфер конечной оптической толщины

§2.4. Уточнения приближения L2.

§2.5. Учет поглощения в континууме

§2.6. Произвольное распределение мощности первичных источников

§2.7. Однородный шар

Глава Ш. ПОЛЯ ИЗЛУЧЕНИЯ В ДВИЖУЩИХСЯ АТМОСФЕРАХ

§3.1. Общий анализ

§3.2. Ядерные функции при малом градиенте скорости .♦.

§3.3. Стандартная задача

§3.4. Приближения L1 и L2 .»

§3.5. Диффузионное приближение

§3.6. Профили линий

Глава 1У. ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ РАСЧЕТА ПОЛЕЙ ИЗЛУЧЕНИЯ В

ЧАСТОТАХ ЛИНИЙ

§4.1. Общие замечания по применению численных методов расчета функции источников в линии

§4.2. Метод аппроксимации ядра интегрального уравнения переноса суммой экспонент

§4.3. Метод Эврета-Лезера

§4.4. Метод коллокации

§4.5. Метод типа Шармера

Первоначально в астрофизике предполагалось, что фотоны переносят энергию, рассеиваясь на малых частицах или на молекулах (атомах) газа, не изменяя при этом своей частоты (монохроматическое рассеяние, см., например, [l,2]). Соответствующая теория была разработана в работах В.А.Амбарцумяна [з], В.В.Соболева [4], С.Чандрасекара [2] и ряда других авторов и неоднократно применялась при исследовании формирования непрерывных спектров в атмосферах звезд и планет, газовых туманностях [б -7], а также в теории переноса нейтронов [8-9].

Долгое время теория образования спектральных линий также основывалась на предположении о монохроматичности рассеяния. Так, теория монохроматического рассеяния правильно предсказывает поведение некоторых интегральных характеристик линий, например, эквивалентных ширин, но теоретические профили линий плохо согласуются с наблюдениями (см. [i]). В 40-е годы выяснилось, что более точным, чем предположение о монохроматичности рассеяния, является предположение о полном перераспределении по частотам (ГПН). В последнем принимается, что поглощение и переизлучение фотона атомом - независимые события, а вероятность переизлучения на данной частоте пропорциональна коэффициенту поглощения в линии. Это приближение было введено В.В.Соболевым в 1941 г. и затем независимо рядом других авторов (см. об этом в [lO.Il]). Почти одновременно с ППЧ были найдены и более реалистичные функции перераспределения по частотам, описывающие зависимость частоты излучаемого атомом фотона от частоты поглощенного [l2,I3] (сводку работ по этому вопросу дал

Дк. Хаммер [l4]). Они оказались гораздо более сложными, чем соответствующая функция при ППЧ, и до недавнего времени привлекались только для обоснования ППЧ. В 60-70-е годы был выполнен ряд расчетов полей излучения с учетом частичного перераспределения [15-18], причем оказалось, что приближение ППЧ применимо в большинстве астрофизических ситуаций. Аналитические результаты с применением "реальных" функций перераспределения появились лишь в последние годы [l9-2l] .

Существует два подхода к задаче об определении поля излучения в газовых средах. Первый - будем называть его дифференциальным - основан на использовании интегродифференциального уравнения переноса излучения при получении точных и асимптотических соотношений и для расчета интенсивности излучения, второй - интегральный - на использовании интегрального уравнения для функции источников в линии. Через функцию источников, пропорциональную степени возбуждения атомов, выражается затем интенсивность излучения. Интегральный подход оказался более продуктивным при получении аналитических результатов, дифференциальный - при проведении вычислений. Это особенно ярко проявилось с развитием ЭВМ: большинство эффективных численных алгоритмов расчета полей излучения с широкой областью применимости основано на прямом решении уравнения переноса для интенсивности. Преимущества же интегрального подхода для аналитической теории очевидны - функция источников, как правило, зависит от меньшего числа переменных, чем интенсивность.

Интегральное уравнение для функции источников в линии при ППЧ для плоской однородной неподвижной атмосферы было получено В.В.Соболевым [22], Л.М.Биберманом [23] и Т.Холстейном [24]. В.В.Соболев показал, что для таких атмосфер интенсивность излучения зависит не от трех переменных - оптической глубины, частоты и косинуса угла, под которым распространяется излучение относительно внешней нормали, а от двух - оптической глубины и комбинации частотной и угловой переменных [4]. По существу именно это дало возможность применить в теории образования линий аппарат, аналогичный развитому ранее в теории монохроматического переноса» В работах В.В.Иванова, Д.И.Нагирнера, Ю.Ю.Абрамова, A.M.Дане и А.П.Напартовича были найдены точные решения основных модельных задач и многочисленные асимптотические решения; сводку этих аналитических результатов см. в [ю, 11,25].

Одновременно с аналитической теорией развивались эффективные численные методы расчета полей излучения в частотах спектральных линий. Первоначально основное внимание уделялось численному решению модельных задач [26,27]. В дальнейшем появились более общие и гибкие методы, позволяющие находить характеристики полей излучения и в "реальных" астрофизических объектах [28,29].

Аналитическая теория строится для простейшего случая двухуровневого атома с известной населенностью нижнего уровня. Численные методы тестируются на таких задачах. Точный расчет многоуровневых моделей требует больших затрат машинного времени, поэтому необходимо приближенно учитывать эффекты, обусловленные переносом излучения. Часто это единственная возможность рассчитать ту или иную модель.

Первое приближенное выражение для функции источников в линии было получено В.В.Соболевым [22] и Л.М.Еиберманом [23,30] путем вынесения функции источников из-под знака интеграла в основном интегральном уравнении для этой функции. Область применимости этого метода (мы будем называть его приближением L1 ) сравнительно узка. Однако при расчетах полей излучения в атмосферах, движущихся с большим градиентом скорости, этот метод оказался чрезвычайно плодотворным и широко используется [31, 32].

В дальнейшем на получение приближенных решений проблемы переноса линейчатого излучения были направлены усилия многих авторов. В.В.Йванов [33,34] на основании изучения асимптотического поведения решений основного интегрального уравнения предложил приближенное выражение для функции источников в линии, сочетающее высокую точность с широкой областью применимости (приближение L2 ). Приближенное дифференциальное уравнение душ усредненной по профилю коэффициента поглощения в линии средней интенсивности получил Р.Атей [35]. Приближенное дифференциальное уравнение для функции источников в линии вывели У. и Э.Фриши [36] ♦ Явление насыщения в ядре линии использовал Дж.Райбики [37] при получении приближенных и точных численных решений задачи о переносе излучения в линии. На случай атмосфер, расширяющихся с градиентом скорости, диффузионное приближение, широко использующееся для монохроматического рассеяния, распространил В.П.Гринин [38], приближение L1 Хаммер и Райбики [зэ], приближение L2 - С.И.Грачев [40].

Ниже под приближениями высокой точности мы будем понимать те, которые дают значения функций источников, отличающиеся от точных не более, чем вдвое. Употребление термина "высокоточный" может при этом показаться странным. Однако функции, для которых строятся приближения, зависят от большого числа параметров (число их может достигать пяти) и изменяются на многие порядки. В такой ситуации использование термина "высокоточный" является, на наш взгляд, оправданным.

В последние годы были предприняты новые попытки отыскания приближенных решений проблемы переноса линейчатого излучения [41,42]. Однако ряд существенных закономерностей в структуре полей излучения в частотах линий, установленных в аналитических исследованиях, до сих пор остается вне поля зрения потребителей теории переноса излучения. Приближения строятся без должного учета аналитической информации, их точность и область применимости остаются невыясненными.

Целью данного исследования является:

1) сравнительное изучение важнейших приближенных методов расчета полей излучения - их принципиальных основ, областей применимости и обеспечиваемой ими точности, выработка рекомендаций по применению этих методов;

2) выяснение областей применимости известных асимптотических результатов, выявление новых закономерностей в структуре полей линейчатого излучения и на этой основе разработка приближенных и численных методов расчета полей излучения в линиях, обладающих высокой точностью в широкой области применимости.

Понятно, что для выяснения точности приближений и разного рода асимптотик необходимо сравнение с численно точными решениями. Поэтому одна из задач, решаемых в диссертации, - реализация предложенных ранее и разработка новых эффективных алгоритмов решения уравнения переноса излучения в линии и интегрального уравнения душ функции источников.

Содержание диссертации следующее.

В первой главе, отчасти имеющей вводный характер, дан общий анализ приближений, используемых в теории переноса линейчатого излучения при стандартных предположениях. Атмосфера считается плоскопараллельной и однородной, атом - двухуровневым. При рассеянии происходит полное перераспределение по частотам в системе отсчета, связанной с веществом. Рассматриваются неподвижные и движущиеся с постоянным градиентом скорости атмосферы. В этом случае, как известно, задача об определении поля излучения в линии сводится к нахождению функции источников в линии. Основное интегральное уравнение для этой функции переписывается в виде, позволяющем единообразным способом ввести приближения для функции источников в линии в различных физических ситуациях, например, при учете поглощения в континууме (j3 ^0) и при расширении с постоянным градиентом скорости ( ^ ^0). Здесь j3 - отношение коэффициента поглощения в континууме к коэффициенту поглощения в центре линии, у = -^^(kcorist) - градиент скорости в атмосфере.

Далее рассматриваются наиболее употребительные приближения для функции источников в линии. Вероятностный метод (приближение L1 ) при j0 I, % <£ I дает на границах атмосферы погрешность в функции источников, которая может превышать порядок величины. Затем рассматривается высокоточная аппроксимация В.В.Иванова [34] (приближение LZ ). Она распространяется на случай tf , р Ф- 0. Указан способ расчета функции источников в приближении L2 при произвольном распределении мощности первичных источников излучения без предварительного нахождения резольвенты основного интегрального уравнения, обладающий существенными вычислительными преимуществами перед обычным. Затем обсуждаются приближение Фришей ( F ) [Зб] для полубесконечных 2 атмосфер и приближение Р.Пуэттера и др. [41] для атмосфер конечной оптической толщины. Оказывается, что L2 , F и

С тесно связаны с L1 . Отмечено, что диффузионное приближение в качестве аппроксимирующей формулы оказывается применимым и в случаях, когда первый и второй моменты ядра основного интегрального уравнения не существуют.

В конце главы исследованы приближенные соотношения между функцией источников и интенсивностью излучения. Предлагается приближенная формула, которая вблизи границ атмосферы переходит в соотношение Эдаднгтона-Барбье, а в глубоких слоях атмосферы описывает явление насыщения в ядре линии. Это приближение используется для получения аппроксимаций для усредненной по профилю средней интенсивности, если задана функция источников. Найдено предположение, лежащее в основе приближений F ж С . Показано, что при быстром изменении мощности первичных источников с глубиной это предположение не выполняется.

Глава П посвящена детальному исследованию асимптотических и приближенных решений задачи о переносе линейчатого излучения. Табулированы коэффициенты экспоненциальных аппроксимаций резольвентной функции и функции 5 (см. гл. Л ) для полубесконечных консервативно рассеивающих атмосфер и ряда значений фойгтовского параметра CL ( d - 0; 0,001; 0,01), а также коэффициенты аппроксимаций резольвентных функций и функций X и Y для консервативно рассеивающих атмосфер конечной оптической толщины ( Tq = Ю2» 1°4* ПР0 допплеровском профиле поглощения. На основании точных численных расчетов резольвентной функции и функции источников в стандартной задаче (равномерное распределение первичных источников) выяснена область применимости и точность асимптотических и приближенных решений. Показано, что при произвольных значениях параметров, входящих в задачу» функции источников, найденные в приближении

L2 , отличаются от точных не более чем вдвое, а для полубесконечных атмосфер - не более, чем на 40$. При этом сами искомые функции изменяются на многие порядки величины. Применение же F и С2 может приводить к недопустимо большим ошибкам - на порядки. Изучено влияние поглощения в континууме на область применимости и точность L2 .В случае, когда отношение коэффициента поглощения в континууме к коэффициенту поглощения в центре линии много меньше единицы, точность L2 примерно такая же, как и при р =0. Показано, что приближение LZ можно использовать для расчета функции источников в однородном шаре. Погрешность не превосходит погрешности L2 для плоской задачи.

В главе Ш на примере стандартной модели атмосферы, расширяющейся с малым постоянным по глубине градиентом скорости ^ « I, изучаются поля излучения в движущихся атмосферах. Ядерные функции основного интегрального уравнения рассчитаны

О -Л до значений аргумента Ъ 4 10° % , что позволило, в частности, установить область применимости асимптотик этих функции. Предложена простая аппроксимация ядерных функций, обеспечивающая точность порядка 1%.

Далее изучается стандартная задача теории образования линий в движущихся атмосферах (равномерное распределение первичных источников излучения, постоянный градиент скорости). Численно точно, с погрешностью рассчитаны функции источников для полубесконечных атмосфер и атмосфер конечной оптической толщины. Показано, что в консервативно рассеивающих атмосферах (фотоны не гибнут при рассеяниях) при ^ <£ I имеет место асимптотическое уменьшение числа аргументов функции источников. Например, функция источников в атмосфере конечной оптической толщины, зависящая от трех переменных (параметр ^ и оптическая толщина слоя считаются аргументами функции), асимптотически выражается через некоторую функцию двух переменных.

Установлены точность и области применимости приближений L1 , L2 и диффузионного. На границах атмосферы L1 дает погрешность в функции источников, превышающую порядок величины. функции источников, найденные в L2 , отличаются от точных не более, чем вдвое, при любых значениях параметров. Области применимости диффузионного приближения и L2 перекрываются по у .

Затем численно точно рассчитаны профили линий выходящего из атмосферы излучения. Для полубесконечных атмосфер профали имеют такой же характер, как и для профилей, качественно описанных в [43J для одномерной среды (рассеяние вперед-назад). В атмосферах конечной оптической толщины профили линий на верхней и нижней границах различаются тем больше, чем выше разность скоростей расширения в пределах атмосферы.

В главе 1У описаны реализованные нами численные методы расчета функции источников в линии, а также новый алгоритм расчета, предложенный на основе материала глав I-Ш данной диссертации. Сначала алгоритм детально описан для плоско-параллельных атмосфер. Указанный метод применим в случае, когда все параметры задачи зависят от глубины. Следует ожидать, что метод будет эффективен и при решении многоуровневых задач. В Приложении метод обобщается на случай сферически-симметричных атмосфер. Рассматривается пример сферической оболочки с прозрачным ядром. Мвтод обладает существенным преимуществом перед уже известными [44,45]. Время, необходимое для расчета этим методом функции источников, в 5-10 раз меньше, чем при расчете функции источников по алгоритмам [44,45].

В заключении дается сводка основных результатов, полученных в диссертации.

Актуальность диссертации, В ряде объектов, представляющих интерес душ современной астрофггзики, - квазарах, молекулярных облаках межзвездного газа и атмосферах звезд перенос излучения в частотах линий ограет определяющую роль. Однако проблема корректного учета эффектов, обусловленных переносом излучения в линиях, до сих пор не решена. Применение точных численных методов ограничено вычислительными возможностями современных ЭВМ. Так, при расчете теоретических спектров реальных астрофизических объектов необходимо решать сложную нелинейную задачу - систему уравнений стационарности совместно с уравнениями переноса излучения, размерность которой, как правило, велика. Точные численные методы расчета линейчатых спектров - метод эквивалентных двухуровневых атомов [4б] и метод частичной линеаризации [47] позволяют учитывать сравнительно небольшое число уровней (до десяти), что вполне достаточно для расчета, скажем, спектра примесного элемента (не водорода) в звездах, но мало при построении моделей молекулярных облаков, В задачах о формировании линий в квазарах и мазерных источниках до сих пор применяются либо прямое моделирование методом Монте-Карло [48], либо грубое приближение L1 . Используются и приближенные методы, обоснованность применения которых не доказана, а точность не установлена [49,50]. Некоторые из этих методов рассматриваются в диссертации. Предложены также новые приближенные и численные метода*

Научная новизна. В диссертации впервые рассчитан ряд специальных функций теории переноса линейчатого излучения. Получены простые аппроксимации этих функций, удобные при проведении расчетов на ЭВМ. На основе обширных численных расчетов установлены области применимости и точность асимптотических и основных приближенных решений задачи о переносе линейчатого излучения. Введены приближения, позволяющие учитывать поглощение в континууме и расширение с постоянным градиентом скорости. Предложены и реализованы в виде программ на ЭВМ эффективные численные алгоритмы расчета функции источников для движущихся плоских и сферически-симметричных атмосфер. Алгоритмы позволяют учитывать изменения с глубиной всех физических параметров задачи и являются, вероятно, наиболее экономичными по времени расчета из всех существующих.

На защиту выносятся:

1. Результаты численных расчетов (с погрешностью рег** — зольвентной функции, функций S , X и I и их аппроксимации. Результаты численных расчетов функций источников и профилей излучения в неподвижных и движущихся с постоянным градиентом скорости атмосферах, в том числе с поглощением в континууме.

2. Утверждение о высокой точности и широкой области применимости приближения L2 душ плоскопараллельных полубесконечных атмосфер и атмосфер конечной оптической толщины, поглощающих в континууме и расширяющихся с постоянным градиентом скорости, а также душ однородного шара. Выяснение реальной области применимости приближений F и С .

3. Результаты расчетов ядерных функций и исследование зависимости функции источников от физических параметров задачи для атмосфер, движущихся с постоянным градиентом скорости.

4. Эффективный численный алгоритм расчета функции источников в линии душ движущихся плоскопараллельных атмосфер.

Основное содержание диссертации опубликовано в следующих статьях:

1. Иванов В.В., Сербии В.М. Перенос излучения в спектральных линиях: общий анализ приближенных решений, - Астрономический журнал, 1984, т. 61, Jfi 4, с. 691-699,

2. Иванов В.В., Сербии В.М, Перенос излучения в спектральных линиях: приближенные решения для полубесконечных атмосфер, - Астрономический журнал, 1984, т. 61, № 5, с. 900-912,

3. Сербии В.М. Стандартная задача теории образования линий: приближения второго порядка с учетом континуума, - Письма в Астрономический журнал, 1984, т. 10, 7, с. 554-559.

4. Сербии В.М. Стандартная задача теории образования линий в движущихся атмосферах. - Деп. ВИНИТИ, 1984, № 5757-84, - 31с,, библиогр. - 22 назв.

В работе \l] В.В.Иванову принадлежит исследование связи приближений L1 и L2 и вывод цриближений г и о через квадратичный Q -интеграл; в работе [2J - предложение рассматривать атмосферу, рассеивающую излучение с полным перераспределением по частотам, как усилитель, который отфильтровывает из распределения первичных источников преимущественно низкие пространственные частоты, а также общая дискуссия результатов.

Заключение

Резюмируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Выполнены расчеты ряда специальных функций теории переноса линейчатого излучения, функций источников и профилей линий (точность ^1%). Рассчитаны резольвентные функции и функции

S , X и "Y для неподвижных однородных полубесконечных атмосфер и атмосфер конечной оптической толщины (в том числе с учетом поглощения в континууме). Даны аппроксимации этих функций суммами экспонент. Численно точно найдены ядерные функции для атмосфер, движущихся с постоянным градиентом скорости. Получена аппроксимация этих функций, удобная при проведении расчетов на ЭВМ. Рассчитаны функции источников и профили выходящего излучения для движущихся атмосфер.

2. Установлены точность и области применимости основных приближенных способов расчетов полей излучения в частотах спектральных линий. Сравнение значений функций источников, найденных в этих приближениях:, с численно и асимптотически точными показало, что погрешность приближения L2 не превосходит погрешности приближения полного перераспределения по частотам (точные функции источников не более, чем вдвое, отличаются от приближенных, причем сами функции изменяются на много порядков) при любых астрофизически интересных значениях параметров и любом распределении мощности первичных источников излучения. Таким образом, функции источников, найденные в L2 , могут считаться физически точными. Приближение L2 обобщено на случай, когда в атмосфере существует поглощение в континууме и (или) она расширяется с постоянным градиентом скорости. Оно применимо для плоскопараллельных атмосфер и для однородного шара. Приближения F и С* в случае, когда мощность первичных источников сильно меняется с глубиной, могут приводить к погрешностям в порядки величины. Область применимости диффузионного приближения значительно уже, чем у L2. .

3. Установлена реальная область применимости асимптотических решений задачи о переносе излучения в частотах спектральных линий. Показано, что численное решение большинства модельных задач необходимо находить лишь в небольшой области, не описываемой уже существующей асимптотической теорией. Численно подтвержден ранее известный факт асимптотического уменьшения числа аргументов функции источников вдали от границ атмосферы.

4. Исследована задача об образовании линий в движущихся атмосферах. Дня полубесконечных расширяющихся с малым постоянным градиентом скорости атмосфер впервые рассчитаны функции источников. Изучена зависимость функции источников от параметров. Показано также, что профили линий излучения на нижней и верхней границах атмосферы различаются тем больше, чем больше разность скоростей расширения в пределах атмосферы.

5. Реализованы на ЭВМ четыре известных численных метода расчета функции источников в линии. Разработан новый весьма общий алгоритм расчета функции источников, являющийся существенным обобщением недавно предложенного (1981 г.) алгоритма Г.Шармера. Алгоритм реализован в виде программ для ЭВМ для случаев плоскопараллельной и сферически-симметричной атмосфер. Все физические параметры - допплеровская ширина, профиль поглощения (фойгтовский параметр Си ), скорость расширения атмосферы, отношение коэффициента поглощения в континууме к коэффициенту поглощения в центре линии, вероятность выживания фотона при рассеянии и мощность первичных источников излучения могут меняться с глубиной. Время расчета этим методом функции источников и профиля выходящего излучения примерно в 5-IO раз меньше времени расчета уже существующими методами»

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при построении моделей ряда астрофззических объектов. Приближенные методы, вероятно, окажутся более эффективными при исследовании мазерных источников излучения и квазаров, поскольку число радиационных переходов, учитываемых в этих объектах, как правило, велико. Методы типа Шармера, обеспечивающие высокую точность при большой универсальности и применимые для решения многоуровневых задач, можно использовать для выявления тонких эффектов в атмосферах Солнца и других звезд. При этом важен не столько сам по себе выигрыш времени, даваемый этими методами, сколько возможность решать более сложные и дорогостоящие в вычислительном отношении задачи.

В заключение считаю своим долгом выразить глубокую благодарность моему научному руководителю Всеволоду Владимировичу Иванову за приобщение к задачам и методам теории переноса излучения, постоянное внимание и бесчисленные советы при выполнении данной работы. Благодарю также всех сотрудников лаборатории теоретической астрофизики, без консультаций и практических советов которых работа над диссертацией не была бы так скоро завершена.

1. Соболев В.В. Курс теоретической астрофизики. - М.: Наука, 1967, - 528 с.

2. Чандрасекар С. Перенос лучистой энергии. М.: Изд-во иностранной литературы, 1953, - 432 с.

3. Амбарцушн В.А. Научные труды, т.1. Ереван: Изд-во АН Армянской ССР, I960, - 430 с.

4. Соболев В.В. Перенос лучистой энергии в атмосферах звезд и планет. М.: Гос. изд-во техн.-теоретич. литературы, 1956, - 392 с.

5. Звездные атмосферы, под ред. Гринстейна. М.: Изд-во иностранной литературы, 1963, - 706 с.

6. Соболев В.В. Рассеяние света в атмосферах планет. М.: Наука, 1972, - 336 с.

7. Каплан С.А., Пикельнер С.Б. Межзвездная среда. М.: Физматгиз, 1963, - 531 с.

8. Дэвисон Б. Теория переноса нейтронов. М.: Атомиздат, I960, - 520 с.

9. Кейз К., Цвайфель П. Линейная теория переноса. М.: Мир, 1972, - 384 с.

10. Иванов В.В. Перенос излучения и спектры небесных тел. -М.: Наука, 1969, 472 с.

11. XX. Ivanov V.V. Transfer of Radiation in Spectral Lines, HBS Spec. Publ. N 385. Washington; U.S. Government Printing Office, 1973, - 480 pp.

12. X2. Unno W. Note on the Zanstra Redistribution in Planetary Nebulae. Publ. Astron. Soc. of Japan, vol. 3, 1952, pp. 178-184.

13. Соболев В.В. Диффузия излучения с перераспределением по частотам. I. Вестник ЛГУ, 1955, В 5, с. 85-100.

14. Hummer D.G. Non-coherent Scattering. The Redistribution Functions with Doppler Broadening. Monthly Not. Hoy.

15. Astron. Soc., 1962, vol. 125, N 1, pp. 21-37.

16. Xengibarian N.B., Nikoghossian A.G. Non-coherent Scattering.- J. Quantit. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1973» vol. 13, N 8, pp. 781-811.

17. Haruthunian H.A., Nikoghossian A.G. Radiation Scattering for a General Law of Frequency Redistribution. J. Quantit. Spectrosc. Radiat. Transfer. - 1978,vol. 19,pp.135-148.

18. Никогосян А.Г., Арутюнян Г.А. Образование спектральных линий при общем законе перераспределения. Доклады АН СССР, 1976, т. 229, № 3, с. 583-586.

19. Finn G. Frequency Redistribution on Scattering. Astrophys. J., 1967, vol. 14-7, N 3, PP* 1085-1091.

20. Нагирнер Д. И. Точные решения уравнения переноса излучения в линии цри частичном перерасцределении по частоте. -Астрофизика, 1982, т. 18, вып. 4, с. 608-614.

21. Frish Н. Non-LTE Transfer. The Asymptotics of Partial Redistribution. Astron. Astrophys., 1980, vol. 83, N 1/2, pp. 166- 183.

22. Баско M.M. Перерасцределение по частоте и диффузия излучения в резонансных рентгеновских линиях. Дурн. экспе-рим. и теоретич. физики. - 1978, т. 75, вып. 4(10),с. 1278-1288.

23. Соболев В.В. Лучистое равновесие планетарных туманностей.- Диссертация на соискание уч. ст. канд. физ.-мат. наук, Ленинград: Ленинградский гос. ун-т, 1941.

24. Биберман Л.М. К теории диффузии резонансного излучения. -ЗЦурн. эксперим. и теоретич. физики, 1947, т. 17, вып. 5, с. 416-434.24. fiolstein Т. Imprisonment of Resonance Hadiation in Gases.

25. Fhys. Rev., 194-7» vol. 72, N 12, pp. 1212-1233.

26. Абрамов Ю.Ю., Дыхне A.M., Напартович А.П. Стационарныезадачи теории радиационного переноса возбуждения. -Препринт ин-та атомной энергии, ИАЭ 1804, 1969, - 91 с.

27. Avrett Е.Н., Hummer D.G. Non-coherent Scattering. Line Formation with a Frequency Independent Source Function.

28. Monthly Not. Roy. Astron. Soc., 1965, vol. 130, N 4,1. PP. 295-331.

29. Rybicki G.B. A New Differential Equation Approach to Transfer Problems. Spec. Rept. Smithsonian Institn. Astro-phys, Observ., N 174, 1965, PP. 149-161.

30. Feautrier P. A Procedure for Computing the Mean Intensity and the Flux. Spec. Rept. Smithsonian Institn. Astrophys. Observ., 19Ь4, N 167, pp. 80-82.

31. Rybicki G.B. A Modified Feautrier Method. J. Quantit. Spectrosc. Radiat. Transfer,1971, vol.11, N6, pp.589-595.

32. Биберман Л.М. Приближенный способ учета диффузии резонансного излучения. Доклады АН СССР, 1948, т. 59, вып. 4, с. 659-662.

33. Castor J., Nussbaumer Н. On the Excitation of С III in Wolf-Rayet Envelopes. Monthly Not. Roy. Astron. Soc., 1972, vol. 155, N 3, PP. 293-304.

34. Катышева H.A. Относительные интенсивности водородных линий в спектрах квазаров и ядер сейфертовских галактик. -Астрофизика, 1983, т. 19, вып. I, с. 55-65.

35. Иванов В.В. Определение населенности возбужденных уровней в оптически толстом слое газа. в сб.: Теория звездных спектров, под ред. Соболева В.В., Горбацкого В.Г., Иванова В.В. - М.: Наука, 1966, с. 127-158.

36. Иванов В.В. Приближенные решения уравнения переноса излучения в частотах линий. Астрон. журн., 1972, т. 49,1. I, с. II5-I20.

37. Athay R.G. A Probabilistic Formulation of the Noncoherent-scattering Problem. Astrophys. J., 1972, vol. 176,1. N 3, PP. 659-669.

38. Frish U., Frish H. Non-LTE Transfer, V £ Revisited. -Monthly Not. Roy. Astron. Soc., 1975, vol. 173, N 1,pp. 167-172.

39. Flannery B.P., Rybicki G.B., Sarazin C.L. Ultraviolet Pumping on N+ Fine Structure Levels. Astrophys. J., 1979,vol. 229, N 3, PP. 1057-1074.

40. Гринин В.П. Перенос резонансного излучения в движущихсясредах. Приближенные методы. Астрофизика, 1974, т. 10,вып. 2, с. 239-257. 39# Hummer D.G., Rybicki G.B. A Unified Treatment of Escape

41. Probabilities in Static and Moving Media. Planar Geometry.- Astrophys. J., 1981, vol. 254, N 2, pp. 767-779.

42. Грачев С.И. Перенос резонансного излучения в расширяющихся плоскопараллельных средах. Ленинград: Рукопись деп. ВИНИТИ 12 января 1978 г., № 1007-78, - 25 с. 4je Puetter R.C., Hubburd E.N., Ricchiazzi P.J., Canfield R.C.

43. Theoretical Quasar Emission-Line Ratios. A Probabilistic Radiative Transfer. Equation for Finite Slab Atmospheres. -Astrophys. J., 1982, vol. 258, N 1, pp. 46-52.

44. Hummer D.G., Rybicki G.B. Second-Order Escape Probability Approximations in Radiative Transfer. Astrophys. J., 1982, vol. 263, N 2, pp- 925-93^.

45. Грачев С.И. О профилях спектральных линий, возникающих в одномерной расширяющейся среде. Прямоугольный и доплеров-ский коэффициенты поглощения. Вестник ЛГУ, 1982, № I, с. 77-86.

46. Kunasz Р.В., Hummer D.G. Radiative Transfer in Spherically Symmetric Systems. Solution of the Line Transfer Problem with Radial Velocity Fields. Monthly Not. Roy. Astron. Soc., 1974, vol. 166, N 1, pp. 57-78.

47. Mihalas D., Kunasz P.B., Hummer D.G. Solution of the Como-ving-frame Equation of Transfer in Spherically Symmetric Flows. Computational Method for Equivalent-two-level-atom Source Functions. Astrophys. J., 1975, vol. 202,

48. N 2, pp. 465-48946. Athay R.G. Radiation Transfer in Spectral Lines. -Dordreht-Hollands D.Reidel Co., 1972, 263 pp.

49. Canfield R.C., Puetter R.C. Theoretical Quasar Emission1.ne Ratios. Transfer and Escape of Radiation. Astrophys. J., 1981, vol. 249, N 1, pp. 381-389.

50. Canfield R.C., Puetter B.C. Theoretical Quasar Emission Line Ratios. Hydrogen L^ , Balmer, and Pashen Lines. -Astrophys. J., 1981, vol. 245, N 1, pp. 390-40^.

51. Михалас Д. Звездные атмосферы. М.: Мир, 1982, в 2-х т., т. I - 352 е., т. 2 - 422 с.

52. Нагирнер Д. И. Перенос излучения в линиях молекул и атомов. Препринт ин-та космич. исследований, 1979, № 457, - 24 с.

53. Крейн М.Г. Интегральные уравнения на полупрямой с ядром, зависящим от модуля разности аргументов. Успехи матем. наук, 1958, т. 13, вып. 5(83), с. 3-120.

54. Сахнович Л.А. Уравнения с разностным ядром на конечном отрезке. Успехи матем. наук, 1980, т. 35, вып. 4(214), с. 69-129.

55. Нагирнер Д.И. Теория переноса излучения в спектральных линиях. в сб. "Итоги науки и техники", Астрономия, М.: Всесоюзн. ин-т научн. и техн. информ., 1983, т. 22,с. 220-260.

56. Соболев В.В., Яновицкий Э.Г. Диффузия излучения в спектральной линии в неоднородной атмосфере. в сб. "Вопросы физики и эволюции космоса", Ереван: Изд-во АН АрмССР,1978,с.359.

57. Соболев В.В. К теории диффузии излучения. Изв. АН Армянской ССР, сер. физ.-мат., 1958, т. II ,вып. 5, с. 39-50.

58. Соболев В.В. Новый метод в теории рассеяния света. -Астрон. журн., 1951, т. 28, & 5, с. 355-362.

59. Иванов В.В. Об одной давней задаче теории переноса излучения. Астрон. дурн., 1984, т. 62, № I, с. 100-109.

60. Грачев С. И. К задаче о диффузии излучения в движущейсясреде. Плоская симметрия. Вестник ЛГУ, 1977, $ 19, с. II4-I20.

61. Rybicki G.B., Hummer D.G. Non-coherent Scattering. Therma-lization Lenghts and Their Distribution Functions.

62. Monthly Not. Roy. Astron. Society, 1969, vol. 144, N 3, PP. 315-325.

63. Magnan C. Radiative Transfer in a Moving Medium. J. Quan-tit. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1974, vol. 14, N 2,pp. 123-139.

64. Иванов В.В. Перенос излучения в спектральной линии. -Труды Астрон. обсерв. ЛГУ, т. 22, 1965, с. 44-65.

65. Иванов В.В. Проблемы переноса резонансного излучения.в сб. "Теоретические и прикладные проблемы рассеяния света", под ред. Степанова Б.И., Иванова А.П., Минск: Наука и техника, 1971, с. 93-113.

66. Athay R.G. Probabilistic Radiative Transfer: An Integral Equation Approach. Astrophys. J., 1976, vol. 204, N 1, pp. 160-167.

67. Scharmer G.B. Solutions to Radiative Transfer Problems Using Approximate Lambda Operators. Astrophys. J., 1981, vol. 249, N 2, pp. 720-730.

68. Flannery B.P., Rybicki G.B., Sarazin G.L. Ultraviolet Pumping of Si+ Fine Structure Levels. Astrophys. J., Suppl. Series, 1980, vol. 44, N 2, pp. 539-553.

69. Saraain G.L., Rybicki G.B., Flannery B.P. An Asymptotic Limit to Optical Pumping in an Opaque Region. Astrophys. J., 1979, vol. 230, N 2, pp. 456-468.

70. Rybicki G.B. Integrals of the Transfer Equation. Quadratic1.tegrals for Monochromatic, Isotropic Scattering.

71. Astrophys. J., 1977, vol. 213, N 1, pp. 165-177.

72. Иванов В.В. Нелинейные соотношения в линейных задачахо переносе излучения в плоских атмосферах. Астрон. зурн., 1978, т. 55, № 5, с. 1072-1083.

73. Warming R.F. Asymptotic Source-Function Expansion for Resonance Lines Formed in a Semi-Infinite Medium. J. Quan-tit. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1970, vol. 10, N 4,pp. 1219- 1235.

74. Heaslet M.A., Warming R.F. Theoretical Predictions of Spectral Line Formation by Noncoherent Scattering. J. Quantit. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1968, vol. 8, N pp. 1101-1146.

75. Иванов B.B., Щербаков В.Т. Таблицы функций, встречающихся в теории переноса резонансного излучения. II. Астрофизика, 1965, т. I, вып. I, с. 31-37.

76. Avrett Е.Н., Loeser R. Kernel Representations in the Solution of Line-Transfer Problems. Smithsonian Institn.

77. Astrophys. Observ. Spec. Rept., 1966, N 201, 114 pp.

78. Hummer D.G. Expressions for the Computer Calculation of the Four Kernel Functions for Line Formation with Doppler and Lorentz Profiles. J. Quantit. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1981, vol. 26, N 3, PP. 187-195.

79. Hummer D.G. High Order Asymptotic Expansions of the Four Kernel Functions for the Line Formation with Voigt Profile. J. Quantit. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1981, vol. 27, N 6, pp. 569-573.

80. Иванов B.B. Диффузия резонансного излучения в атмосферах звезд и туманностях. Полубесконечная среда. Астрон. журн.,1962, т. 39, вып. 6, с. 1020-1032.

81. Hummer D.G., Stewart J.С. Thermalization Lenghts and the Homogenious Transfer Equation Line Formation. Astrophys.

82. J., 1966, vol. 146, N 1, pp. 290-294.

83. Frish U., Frish H. A Method of Oauchy Integral Equation for Noncoherent Transfer in Half-Space. J. Quantit. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1982, vol. 28, N 3, PP. 361-375.

84. Иванов В.В. Перенос линейчатого излучения: сопоставление различных приближений. Письма в Астрон. журн., 1983,т. 9, № 6, с. 364-367.

85. Хейнло А., Вийк Т. Перенос излучения в конечном слое методом аппроксимации ядра. в кн. "Перенос излучения в несером слое и образование линий поглощения? Тарту: Изд-во АН Эстонской ССР, 1978, с. 37-54.

86. ВийК Т.Ф. On the Solution of the Equation for the Source Function of the Albedo Problem. Публ. Тартуской астрофизич. обсерв., т. 44, 1976, с. 72-90.

87. Иванов В.В., Нагирнер Д.И. Я -функции в теории переноса излучения. Астрофизика, т. I, вып. 2, с. 143-166.

88. Crosbie A.L., Viscanta R. Nongray Radiative Transfer in a Planar Medium Exposed to a Collimated Flux. J. Quantit. Spectrosc. Radiat. Transfer, 1970, vol. 10, N 5,pp. 465-485.

89. Fuller F.B., Hyett B.J. Calculations of Chandrasekhars X- and Y- Functions and their Analogs for Noncoherent Isotropic Scattering. NASA Technical Note D-4712,

90. Washington: NASA, 1968, 147 pp.

91. Hummer D.G. Non-coherent Scattering. The Effect of Continuous Absorption on the Formation of Spectral Lines.

92. Monthly Not. Roy.Astron. Soc., 1968, vol.138,N1,pp.73-108.

93. Нагирнер Д. И. Расчет профилей спектральных линий, образующихся в рассеивающей атмосфере. Ученые записки ЛГУ,381, серия матем. наук, вып. 51, 1975, с. 3-99.

94. Сабашвили Ш.А. Многократное рассеяние резонансного излучения в плоском слое и шаре. Астрофизика, 1973, т. 9,вып. 2, с. 273-292.

95. Bastian U., Bertout С., Stenholm L., Wehrse R. A Comparison of Three Methods for Computing Line Profiles in Spherical Envelopes. Astron. Astrophys., 1980, vol. 86, N 1/2,pp. 105-112.

96. Hamman W.R. The Expanding Envelope of Zeta Puppis: A Detailed UV-line Pit. Astron. Astrophys., 1980, vol. 84,1. N 3, PP. 342-349.

97. Гринин В. П. Перенос резонансного излучения в цротяжешшх оболочках с дифференциальным вращением и расширением. Диффузионное приближение. Изв. Крымской аетрофиз. обсерв., 1976, т. 53, с. 176-183.

98. Kunasz Р.В., Hummer D.G. Radiative Transfer in Spherically Symmetric Systems. Fundamentals of Line Formation. Monthly Not. Roy. Astron. Soc., 1974, vol. 166, N 1, pp. 19-5593. Соболев B.B. Движущиеся оболочки звезд. - Ленинград: Изд-во

99. Ленинградского гос. ун-та, 1947, 114 с.

100. Гринин В.П. Образование линий в медленно движущихся средах.- Изв. Крымской аетрофиз. обсерв., 1974, т. 51, с. 65-73.

101. Hummer D.G., Rybicki G.B. Redshift Line Profiles from

102. Differentially Expanding Atmospheres. Astrophys. J. Letters, 1968, vol. 153, N 2, L107-111.

103. Simmoneau E. Spectral Line Formation in Non-LTE Expanding

104. Atmospheres. Astron. Astrophys., 1973» vol. 29» N 3» pp. 357-367.

105. Малькольм М., Форсайт Дж., Моулер К. Машинные методы математических вычислений. М.: Мир, 1980, - 279 с.

106. Kalkofen W. Line Formation in Moving Atmospheres. ins Spectrum Formation in Stars with Steady-State Extended Atmospheres, H.Groth, P.Wellman eds., 1970, NBS Spec.

107. Publ., N332, Washington: U.S.Governm.Print. Office,p.120.

108. Kalkofen W. A Comparison of Differential and Integral Equations of Radiative Transfer. J. Quantit. Spectrosc.

109. Radiat. Transfer, 1974, vol. 14, N 4, pp. 309-316.

110. Krook M. On the Solution of Equation of Transfer. I.

111. Astrophys. J., 1955. vol. 122, N 3. PP. 487-497.

112. Viik T. The Source Function for a Planetary Atmosphere.

113. Публ. Тартуской астрофиз. обсерв., 1978, т. 46, с.251-262.

114. Hummer D.G., Rybicki G.B. Computational Methods for Non

115. E Line Transfer Problems. in: Methods in Computational Physics, N.Y.: Academic Press, 1967, vol. 7, PP. 52-127.

116. Gingerich 0., Noyes R., Kalkofen W., Cuny Y. The Harvard-Smithsonian Reference Atmosphere. Solar Physics, 1971,vol. 18, pp. 347-365.

117. Vernazaa J.E., Avrett E.H., Loeser R. Structure of the Solar Chromosphere. Models of the EDV Brightness Components of the Quiet Sun. The Astrophys. J. Suppl. Series, 1981, vol. 45, N 4, pp. 635-725.

118. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981, - 416 с.

119. Конторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. М.: Гостехиздат, 1950, - 412 с.

120. НО. Яковкин Н.А., Костик Р.И. Матричные уравнения диффузииизлучения. I. Астрофизика, 1966, т. 2, вып. 4, с.379-389.

121. Scharmer G.B. A Linearization Method for Solving Partial Redistribution Problems. Astron. Astrophys., 1983, vol. 117, N 1, pp. 83-88.

122. Cannon C.J. Frequency-Quadrature Perturbations in Radiative Transfer Theory. The Astrophys. J, 1973, vol. 185,1. N2, pp. 621-631.

123. Castor J. Spectral Line Formation in Wolf-Rayet Envelopes. Monthly Not. Roy. Astron. Soc., 1970, vol. 149, N 2,pp. 111-127.