Приложение метода конечных элементов к задачам устойчивости круглых пластин и тороидальных оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.03 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОСНОВНЫЕ СООТНОШЕНИЯ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕ

МЕНТОВ И ЕГО ПРИЛОЖЕНИЕ К ЗАДАЧАМ УСТОЙЧИВОСТИ ТОНКОСТЕННЫХ КОНСТРУКЦИЙ

§ I. Выбор расчетного элемента и основные допущения

§ 2. Основные зависимости метода конечных элементов

§ 3. Матрица упругости для оболочек из изотропных и ортотропных материалов

§ 4. Вариационный принвдп теории упругой устойчивости

§ 5. Матрица жесткости и матрица геометрической жесткости дискретного элемента оболочки вращения.

§ 6. Составление общей матрицы устойчивости конструкции и решение обобщенной проблемы собственных значений.

ГЛАВА П. НЕСИММЕТРИЧНОЕ ВЫБУЧИВАНИЕ ТОНКИХ ИЗОТРОПНЫХ И ОРТОТРОПНЫХ КРУГЛЫХ ПЛАСТИН

ПОСТОЯННОЙ И ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ.

§ I. Состояние вопроса устойчивости тонких вдтлых пластин.

§ 2. Постановка задач и некоторые особенности при составлении системы разрешающих уравнений устойчивости пластин

§ 3. Изотропные и ортотропные круглые пластинки постоянной и переменной толщины

§ 4. Изотропная круглая пластинка со ступенчато изменяющейся толщины

ВЫВОДЫ.

ГЛАВА Ш. НЕСИММЕТРИЧНОЕ ВЫПУЧИВАНИЕ ИЗОТРОПНЫХ И ОРТОТРОПНЫХ КОЛЬЦЕВЫХ ПЛАСТИН ПОСТОЯННОЙ И ПЕРЕМЕННОЙ ТОЛЩИНЫ.

§ I. Сведение об устойчивости кольцевых пластин

§ 2. Изотропная кольцевая пластинка постоянной толщины.

§ 3. Кольцевая пластинка постоянной толщины из композиционного материала

§ 4. Изотропная кольцевая пластинка линейноизменяющейся толщины.

ВЫВОДЫ.

ГЛАВА 17. УСТОЙЧИВОСТЬ ТОНКОЙ УПРУГОЙ ИЗОТРОПНОЙ И

ОРТРТРОПНОЙ ТОРОИДАЛЬНОЙ ОБОЛОЧКИ КРУГОВОГО ПОПЕРЕЧНОГО СЕЧЕНИЯ ПОД ДЕЙСТВИЕМ

ВНЕШНЕГО РАВНОМЕРНОГО ДАВЛЕНИЯ.

§ I. Об устойчивости тонких упругих тороидальных оболочек.

§ 2. Постановка задачи и некоторые общие положения

§ 3. Критические значения нагрузки для изотропной тороидальной оболочки.

§ 4. Тороидальная оболочка из композиционного материала.III

§ 5. Собственные формы выпучивания тора.

ВЫВОДЫ.

Последние десятилетия характеризуется интенсивным развитием и расширением сферы применения тонкостенных конструкций типа круглых пластин и оболочек вращения. Сейчас область применения этих конструкций включает: машиностроение, энергетику, научные исследования, приборостроение, химическое машиностроение, криогенную технику, авиацию и судостроение.

К настоящему времени выполнен обширный объем исследований, позволивших сформировать современную теорию пластин и оболочек, в развитие которого большой вклад внесли С.П.Тимошенко [П8-120], Л.И.Лурье [74], С.Г.Лехницкий [73], В.В.Новожилов [87],

B.З.Власов [22], А.С.Вольмир [23-27], А.Л.Гольденвейзер [36],

C.А.АмЗарпумян [б,7], Э.И.Григолюк [41-47], И.А.Биргер [il] , П.М.Огибалов [89] и др.

Проведение исследований околоземного и межпланетного пространства дало мощный импульс применению тонкостенных конструк -ций в ракетостроении и конструкциях аппаратов космической техники. Обеспечение надежности летательных аппаратов в авиации, ракетно-космической технике потребовала направить основные усилия на разработку эффективных прикладных методов расчета оболо-чечных конструкций, чему:в значительной степени способствует прогресс в развитии вычислительной техники и появление мощных ЭВМ с высоким быстродействием и обширной памятью.

Именно этот фактор определил широкое применение численных методов, в развитии которых большой вклад был сделан в работах А.В.Александрова [2], Н.А.Алфутова [б], В.В.Болотина [14], 3;'й. Бурмана [15-17], Д.В.ВайнЗерга [18-20], А.С.Вольмира [27], А.С. Городецкого [38-39], Э.И.Григолюка [45-47], В.В.Кабанова [57],

Б.А.Куранова [69-71], А.П.Филина [I3I-I33], В.А.Постнова [8285], Л.А.Розина [102-104], А.С.Сахарова [105,106], А.Ф.Смирнова, Н.Н.Шапошникова [2] и других советских ученых.

Современные численные методы расчета развиваются в настоящее время по четырем основным направлениям. Первое основано на конечно-разностной аппроксимации разрешающих уравнений, второе - на численном интегрировании этих уравнений, третье - на сведении краевой задачи для дифференциальных уравнений к интегральному уравнению по границе области или ее части с последующим численным или численно-аналитическом его решением и четвертое-к получению системы разрешающих алгебраических уравнений из функционала энергии. К этовду направлению и принадлежит метод конечных элементов, получивший в последнее время широкое признание в расчетах прочности строительных, авиационных и судовых конструкций.

Термин "конечные элементы" был, по-видимому, введен Р.Кланом в I960 году в работе [150].посвященной исследованию плоской задачи теории упругости. Возникнув как один из приемов исследования конструкций разнообразных форм, он получил к настоящему времени всеобщее признание как общий метод решения широкого класса краевых задач механики сплошных сред (при решении задач теплопроводности, термоупругости и термопластичности, волновых процессов, гидромеханики, гидроупругости, аэроупругости и т.д.). Возникновение этого метода, как метода численного решения дифференциальных уравнений, встречающихся в механике, физике и технике, связано с решением задач самолетостроения и ракетостроения.

Первоначально развитие метода конечных элементов шло по двум направлениям, и первые попытки были направлены на получение возможности исследовать крылья самолетов с малым относительным удлинением [151,165,176]. В этих работах метод конечных элементов разрабатывался на основе идеи, используемых в строительной механике стержневых систем»

С появлением работ [40,172,173,181], метод конечных элементов начал развиваться как некоторая разновидность вариационно-разностного метода решения задач математической физики [83]. Б дальнейшем оба эти направления объединились.

Метод конечных элементов по существу сводится к аппроксимации сплошной среды с бесконечным числом степеней свободы совокупностью подобластей (шщ элементов), имеющих конечное число степеней свободы. Внутри каждого элемента задаются некоторые функции формы, позволяющие определить перемещения внутри элемента -по перемещениям в узлах, т.е. в местах стыков конечных эле -ментов. За координатные функции принимаются функции, тождественно равные нулю всюду, кроме одного конечного элемента, внутри которого они совпадают с функциями формы. В качестве неизвестных коэффициентов разложения при применении метода Ритца [56, 83] берутся узловые перемещения. После минимизации функционала энергии получается алгебраическая система уравнений (так называемая основная система).

Область применения метода конечных элементов очень обширна и охватывает широкий класс физических задач, которые могут быть описаны дифференциальными уравнениями. Наиболее важными преимуществами метода конечных элементов, благодаря которым он широко используется, являются:

- возможность исследования сложных неоднородных систем с переменной анизотропией свойств;

- цростота аппроксимации границ и возможность исследования областей с большими градиентами разрешающих функций при опти -мальном выборе размеров и типов элементов;

- повышение точности решения путем использования более "сог ласованных" элементов без усложнения граничных условий;

- простота удовлетворения сложным неоднородным граничным условиям и возможность более точной их постановки в силу интегральной формы вывода характеристик элемента;

- широкая универсальность метода и относительная простота реализации его матричных алгоритмов на ЭВМ;

- возможность применения в исследовании систем, сопрягаемых из разномерных подсистем, конфигураций и физических свойств.

Как ни универсален метод конечных элементов в настоящее время он, разумеется, не является единственным эффективным численным методом. Главным недостатком этого метода, как и любого вариационного метода, является сложность получения априорных оценок. Проверку надежности метода можно осуществлять пока лишь апробированием каждой программы на точных решениях. Следующий фактор, препятствующий расширению круга задач, решаемых методом конечных элементов, является ограниченность машинной памяти и высокая стоимость вычислительных работ.

Несмотря на все это, за сравнительно короткий срок существования этого метода (около 30 лет), можно считать его в качестве одного из наиболее эффективных численных методов оценки прочности сложных конструкций. Широкая распространенность метода конечных элементов, несомненно, объясняется простотой его физической интерпретации и математической формы. Поэтому уже сейчас он используется во многих конструкторских организациях в качестве обычного инженерного метода для решения задач теории пластин и оболочек.

В последние годы появилось большое число работ, посвященных самым различным аспектам метода конечных элементов. Наиболее полно современное состояние теории метода конечных элементов отражают монографии Г.Стренга и Дж.Фикса [113], 0.Зенкевича [55], О.Зенкевича и ИЛанга [56], Р.Финнера [154] , Р.Галлагера [156], К.Хгабнера [159], Л.Сегерлинда [109], Дж.Одена [90] и др.

Большой вклад в развитие метода конечных элементов внесли и советские ученые. Перечень исследовательской литературы советских авторов достаточно обширен, и из них можно отметить работы В.А.Постнова [98,99], Л.А.Розина [102-104] , А.П.Филина [I3I-I33] А.В.Александрова [2], Н.И.Безухова и О.В.Лужина [10], А.С.Городецкого [38,39], В.Г.Корнеева [63-65], З.И.Бурмана [15-17],П.П. Ворошко [30], В.В.Кабанова [57], Б.А.Куранова [69-71] Д.М.Мао-ленникова [78], Э.Ш.Меламеда [80] и работы ученых проблемной лаборатории тонкостенных пространственных конструкций КИСИ: Д.В. Вайн5ерга [18-20], А.С.Сахарова [105,106] , В.Н.Кислоокого [59] и Др.

Круглые пластинки и оболочки вращения широко применяются в различных отраслях народного хозяйства: в строительстве трубопроводов и резервуаров, гражданском строительстве, химическом машиностроении, приборостроении, в конструкциях надводныъ и подводных аппаратов и т.д.

Первые аналитические решения круглых пластин и оболочек вращения принадлежат: Х.Рейсснеру [178], Е.Мейсснеру [170] .Брайану [145], И.Я.Штаерману [142], Несмотря на огромное количество работ [6,7,11,22-27,36,46,47,73,74,87,89,118-120], аналитическое исследование пластин и оболочек все же остается довольно сложным и весьма трудным. Поэтому роль численных методов резко возросла и особое внимание в последние годы было обращено на разработку новых вычислительных алгоритмов, приспособленных для решения задач на современных ЭВМ.

Хотя для расчета круглых пластин и оболочек вращения применим и общий случай метода конечных элементов, но за счет учета осевой симметрии конструкции можно достигнуть существенных упрощений и при решении применять простые одномерные симплекс-элементы.

J Первые работы по расчету оболочек вращения методом конечных элементов имели в своей основе аппроксимацию поверхности оболочки набором плоских элементов [55,56] или кольцевых элементов с прямолинейной образующей [40,79]. Такая аппроксимация позволила получить удовлетворительные результаты только при весьма большом числе элементов в аппроксимирующем ансамбле и далеко не всегда обеспечивала сходимость к точному решению [5б].

Поэтому дальнейшие исследования имели своей основной задачей построение различных типов конечных элементов, корректно описывающих геометрию оболочки и обеспечивающих требуемую точность решения при ограниченном числе элементов в ансамбле [38], [69-71], [84,85,91,135].

Из-за осевой симметрии круглых пластин и оболочек вращения наиболее эффективным оказался осесимметричный элемент, который позволил весьма удачно объединить преимущества метода конечных элементов и традиционного аналитического решения в рядах Фурье. Этот вариант метода конечных элементов получил название полуаналитического [56] и был успешно применен для решения широкого круга задач статики и динамики оболочек вращения [57,70,79,85, 95,99,116].

Одной из первых работ по расчету оболочек вращения с использованием осесимметричных элементов была работа Р.Графтона и Д. Строума [40]. В качестве конечного элемента была выбрана усеченная коническая оболочка, в качестве обобщенных узловых перемещений при решении осесимметричной задачи - осевое и радиаль -ное перемещение и угол поворота касательной к меридиану. В дальнейшем в работе [177] было предложено апцроксимировать оболочку вращения набором цилиндрических и конических элементов и конечными элементом искривленного диска в полюсах оболочки. Следует отметить, что такое же представление конструкции было успешно использовано Д.В.Вайвбергом, В.З.Жданом [18] для расчета под -крепленных оболочек вращения при несимметричном натру же нии. Решение задачи деформирования строилось в матричной форме и имело в своей основе условия сопряжения заменяющих оболочек при заданных граничных условиях. Авторами было показано, что практически необходимая точность решения обеспечивалась уже в том случае, когда геометрические параметры заменяющих оболочек отклонялись от соответствующих параметров исходной оболочки на 6-7 процентов.

Подход К аппроксимации конструкции, предложенный в работе [40] был распространен на случай произвольного нагружения оболочки вращения [95]. Решение задачи строилось в форме ряда Фурье, а вычисление матрицы жесткости выполнялось путем численного интегрирования по длине и аналитического - в окружном направлении.

В дальнейшем основные усилия были направлены на разработку элементов с криволинейной образующей [51,96,97,116], что было вызвано чувствительностью получаемых решений к погрешности аппроксимации геометрии. Использование этих элементов потребовало внимательного исследования вопроса о формах перемещений как жесткого целого, входящих в представление функций перемещений. В работе Л.Шмита, Ф.Богнера, Р.Фокса [141] было предложено включить эти формы непосредственно в аппроксимирующие функции. В.Хейслер и Д.Стриклин [115] показали, что в пределе, при достаточном сгущении сетки такое включение не является безусловно необходимым. Однако при некоторых видах несимметричных нагрузок [56] достигнуть желаемой точности не удавалось. Поэтому введение изопараметрических элементов [56], для которых геометрия поверхности и поле перемещений аппроксимировались по одинаковой схеме со строгим учетом форм перемещений как жесткого целого, явилось оптимальным решением вопроса.

Осесимметричные элементы с криволинейной образующей были успешно использованы для решения задач линейного и нелинейного деформирования конструкции, устойчивости и колебаний оболочек [34,56,64,65,85,153,182]. При этом была наглядно продемонстрирована эффективность полуаналитического метода конечных элементов при расчете оболочек вращения.

Вопрос о целесообразности использования высокоточных элементов, позволяющих существенно понизить размерность задач, был длительное время предметом дискуссии, конец которой положили Аделман, Кэтеринс, Уольтон [143] и Чэкуар [148], наглядно продемонстрировавшие преимущество высокоточных элементов. В дальнейшем был разработан ряд высокоточных элементов, в том числе элемент, обеспечивающий выполнение не только гладкости и непрерывности поля перемещений, но и равенства внутренних силовых факторов до изгибающих моментов включительно [149].

Проведенный анализ современного состояния исследований по теории пластин и оболочек, расчетов оболочечных конструкций методом конечных элементов позволяет сделать вывод, что проблема исследования несимметричного выпучивания круглых и кольцевых пластин (постоянной и переменной толщины) при различных граничных условиях, так же как и задача устойчивости замкнутых тороидальных оболочек под действием внешнего равномерного давления сохраняют свою актуальность.

Актуальность темы определяется:

- широким внедрением элементов конструкций типа круглых,кольцевых пластин и тороидальных оболочек в различных отраслях народного хозяйства и техники;

- использованием новых высокопрочных композиционных материалов, обусловившим широкое распространение облегченных и экономичных конструкций в современной технике;

- возрастанием роли исследований устойчивости в общем цикле прочностных расчетов, поскольку разрушение тонкостенной конструкции чаще всего связано с потерей ее общей устойчивости или устойчивости ее отдельных элементов;

- широким внедрением ЭВМ и метода конечных элементов дающим возможность создания единого методологического подхода к решению задач устойчивости тонких пластин и оболочек;

- созданием универсальных программ обеспечивающих высокий уровень автоматизации расчетов на устойчивость, что определяется необходимостью их использования в системе автоматизиро -ванного проектирования конструкций.

Цель и задачи диссертационной работы следующие:

1. Разработка общего алгоритма расчета и пакета прикладных программ для исследования устойчивости тонкостенных конструкций типа круглых пластин и оболочек вращения.

2. На основе разработанных алгоритмов исследовать следующие задачи: а) несимметричное выпучивание изотропных и ортотропных круглых пластин постоянной и переменной толщины; б) несимметричное выпучивание изотропных и ортотропных кольцевых пластин постоянной и переменной толщины; в) устойчивость изотропной и ортотропной тороидальной оболочки под действием внешнего гидростатического давления.

3. В рассмотренных задачах выявить:

- влияние толщины на величину критических нагрузок круглых и кольцевых пластин с различными граничными условиями;

- влияние физических и геометрических параметров в широком диапазоне их изменения на величину критической нагрузки тороидальной оболочки вдтового сечения.

4. Определить формы потери устойчивости срединной плоскости круглых и кольцевых пластин постоянной и переменной толщины и срединной поверхности тороидальной оболочки под действием внешнего гидростатического давления.

Научная новизна работы определяется:

- разработкой общего алгоритма расчета круглых пластин и оболочек вращения на основе соотношений Сондерса;

- получением матрицы геометрической жесткости конечного элемента оболочки с учетом потенциала внешних сил;

- применением формул эффективных упругих характеристик теории упругости неоднородных сред к исследованию устойчивости круглых пластин и тороидальных оболочек из композиционных материалов;

- реализацией на основе метода конечных элементов единого методологического подхода к исследованию устойчивости круглых пластин и тороидальных оболочек;

- результатами комплекса исследований точности базовой модели оболочки вращения и алгоритмов при анализе вопроса ус -тойчивости типовых элементов пластин и оболочек. Выполненные исследования показали, что предложенные модели и численные алгоритмы расчета обеспечивают хорошее соответствие теоретичес -ких и экспериментальных результатов;

- результатами исследования устойчивости круглых и кольце -вых пластин (постоянной и переменной толщины) и тороидальных оболочек в широком диапазоне изменения физических и геометри -ческих параметров.

Достоверность результатов устанавливается путем сравнения их с известными решениями, а также с имеющимися экспериментальными результатами.

Практическая ценность полученных результатов заключается в эффективных алгоритмах; в созданных программах расчета, в решении целого ряда практически важных задач.

На защиту выносится:

1. Предлагаемый алгоритм и программы расчета на устойчивость круглых пластин и тороидальных оболочек;

2. Результаты исследований несимметричного выпучивания изотропных и ортотропных круглых и кольцевых пластин постоянной и переменной толщины при равномерном радиальном сжатии, а также тороидальных оболочек кругового сечения под действием внешнего гидростатического давления.

В заключении автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю - заслуженному деятелю науки и техники, профессору Вольмиру Арнольду Сергеевичу за руководство настоящей работой.

ВЫВОДЫ

1. Было установлено, что нерегулярность выпучивания находится в определенной зависимости от распределения усилий в начальном напряденном состоянии срединной поверхности оболочки. Наиболее неравномерное распределение усилий вдоль дуги сечения наблюдается при достаточно больших значениях параметра Именно здесь имеет место резко выраженная нерегулярность в формах волнообразования. С другой стороны, по мере уменьшения К усилия заметно выравниваются, а форма выпучивания приближаются к виду регулярного волнообразования.

2. Формы волнообразования не зависит от типа материала тороидальной оболочки и отношения . Наиболее опасными являются точки лежащие в зоне малых отрицательных гауссовых кривизн, где перемещения, следовательно и изгибающие моменты, получают свои наибольшие значения. Это обстоятельство и следует учесть при подкреплении тороидальной оболочки ребрами жесткости.

3. Минимальные критические давления по данным вычислений соответствуют осесимметричной форме выпучивания (/& = 0) при симметричной деформации сечения относительно экваторальной плоскости тора. А реальные оболочки теряют устойчивость по несимметричной форме (&= 2), при этом деформация сечения относительно экватора тороидальной оболочки, либо симметрична, либо - несимметрична. Так как, для этих двух видов выпучивания (по данным расчетов) критические давления фактически одинаковы, то можно предполагать, что эти формы равновесия равновероятны.

При неосесимметричном выпучивании несимметричное -искривление сечения относительно экватора для реальных моделей более вероятна из-за сторонних эффектов, которые всегда неизбежны при проведении любого эксперимента.

4. Как для изотропных, так и для ортотропных тороидальных оболочек установлено, что наименьше 1фитические давле -ния при неосесимметричном выпучивании соответствуют п - 2 окружной гармонике и, что интенсивность критического давления находится в определенной зависимости от отношений геометрических размеров оболочки и а/Л (при а/Я= — co/i&t с ростом отношений а/Л интенсивность критического давления уменьшается, а при а/Я-const с ростом а/Я - увеличивается).

5. Для тороидальных оболочек из ортотропного материала установлено, что величина наименьшей критической нагрузки еще зависит от направления расположений плоскости наибольшей жесткости материала и, что целесообразно ее располагать в направлении меридиональной координаты <S> .

6. Причиной расхождения между теоретическими и опытных результатов является отсутствие учета момент но сти в докри-тическом напряженном состоянии. Следовательно, учет этого фактора приводит к критическим нагрузкам значительно низким, чем по классической теории.

1. Айронс, Инженерше приложения численного интегрирования в методе жесткостей.- Ракетная техника и космонавтика,1966, т.4, № II, с.213-216.

2. Александров А.В., Лещеников Б.Я., Шапошников Н.Н., Смирнов В.А. Методы расчета стержневых систем, пластин и оболочек с использованием ЭЦВМ.- М.: Стройиздат, 1976, ч.1, 248 е., ч. 2, 238 с.

3. Алфутов Н.А. Устойчивость цилиндрической оболочки, под -крепленной поперечным набором и нагруженной внешним давлением,- Инженерный оборник АН СССР, 1956, т.ХХШ, с.36-46.

4. Алфутов Н.А., Балабух Л.И. Энергетический критерий устойчивости упругих тел, не требующий определения начального напряженного состояния.- ПММ, 1968, т.32, вып.1, с.703-707.

5. Алфутов Н.А. Основы расчета на устойчивость упругих систем,- М.: Машиностроение, 1978, 311 с.

6. АмЗарцумян С.А. Теория анизотропных пластин,- М.: Наука,1967, 266 с.

7. Амбарцумян С.А. Общая теория анизотропных оболочек.- М.: Наука, 1975, 446 с.

8. Аргирис Дж. Современное достижения в методах расчета конструкций с применением матриц.- М.: Стройиздат, 1968, 241 с.

9. Балацкова-Подольскова С.И., Булко И.М., Цагельский В.И. ФОРТРАН ЭВМ "Минск-32".- М.: Статистика, 1976, 175 с.

10. Безухов Н.И., Лужин О.В. Применение методов теории упругости и пластичности к решению инженерных задач.- М.:

11. Высшая школа, 1974, 200 с.

12. Биргер И.А. Круглые пластинки и оболочки вращения.- М.: Оборонгиз, 1961, 367 с.

13. Богнер Ф., Фокс Р., Шмит Л. Расчет цилиндрической оболочки методом дискретных элементов.- Ракетная техника и космонавтика, 1967, lb 4, с.171-175.

14. Болотин В.В. 0 сведении трехмерных задач теории упругой устойчивости к одномерным и двумерным задачам.- В кн.: Проблемы устойчивости в строительной механике.- М.: Строй-издат, 1965, с.186-196.

15. Болотин В.В. 0 вариационных принципах теории упругой ус -тойчивости.- В кн.: Проблемы механики твердого деформируемого тела.- Л.: Судостроение, 1973, с.83-88.

16. Бурман З.й. Расчет тонкостенной подкрепленной оболочки типа Фюзеляжа на общую прочность конечно-элементным методом.- В кн.: Вопросы оптимального использования ЭЦВМ в расчете сложных конструкций, Казань, 1973, с.56-75.

17. Бурман З.И., Лукашенко В.И. Опыт применения метода ко -нечных элементов в расчетах тонкостенных подкрепленных оболочек для целей проектирования.- В кн.: Вопросы оптимального использования ЭЦВМ в расчете сложных конструк -ций, Казань, 1973, с.95-104.

18. Бурман З.й., Тимофеев М.Т. Математическое обеспечение для матричных расчетов тонкостенных пространственных конструкций с применением МКЭ.- В кн.: Вопросы оптимального использования ЭЦВМ в расчете сложных конструкций, Казань, 1973, с.87-94.

19. Вайнберг Д.В., Ждан В.З. Матричные алгоритмы в теории оболочек вращения.- Киев: Изд-во КГУ, 164 с. 1967.

20. Вайнберг Д.В., Кислоокий В.Н., Сахаров А.С. Уравнения теории непологах оболочек и оболочечных систем.- В кн.: Тр.II Всесоюз.конф.по теории оболочек и пластин, Л., 1973, с.28-33.

21. Вайнберг Д.В., Городецкий А.С., Киричевский В.В., Сахаров А.С. Метод конечных элементов в механике деформируемых тел. -Прикладная механика, 1972, т.8, J6- 8, с.3-28.

22. Вилипыльд Ю.К., Хархурим И.Я. Расчет упругих систем по методу конечных элементов на ЭВМ "Минск-22".- Л.: Гипрогиз, 1969, вып.102, с.86-93.

23. Власов В.З. Общая теория оболочек и ее приложения в технике.- М.-Л., 1949, 784 с.

24. Вольмир А.С. Гибкие пластинки и оболочки.- М.: Гостехиздат, 1956, 419 с.

25. Вольмир А.С. Устойчивость деформируемых систем.- М.: Наука, 1967, 984 с.

26. Вольмир А.С. Нелинейная динамика пластинок и оболочек.-М.: Наука, 1972, 432 с.

27. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи аэроупругости.- М.: Наука, 1976, 416 с.

28. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа: Задачи гидроупругости. М. : Наука, 1979, 320 с.

29. Воеводин В.В. Вычислительные основы линейной алгебры.- М.: Наука, 1975, 303 с.

30. Ворович И.И. О поведении круглой плиты после потери устойчивости.- Уч.зап. Рост.гос.ун-та, 1955, т.32, № 4, с.55-60.

31. Ворошко ПЛ., Квитка А.Л., Уманский Э.С. К вопросу об автоматизации задания информации в методе конечных элементов.

32. Проблемы прочности, 1975, № 3, с.42-46.

33. Газизов Б.Г. К вопросу об устойчивости кольцевой пластины. Изв.Казан, фил-ла АН СССР, 1958, т.12, с.155-164.

34. Галлагер, Методы получения матриц жесткости элементов.-Ракетная техника и космонавтика, 1963, т.1, № 6, с.187-189.

35. Галлагер, Падлог, Исследование устойчивости конструкций на основе анализа дискретных элементов,- Ракетная техника и космонавтика, 1963, т.1, № 6, с.194-196.

36. Галлагер, Джеллатли, Падлог, Моллетти, Расчет неустойчивости тонких оболочек методом дискретных элементов.- Ракетная техника и космонавтика, 1967, т.5, J& I, с.161-170.

37. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц.- М.: Наука, 1967, 575 с.

38. Гольденвейзер A.JI. Теория упругих тонких оболочек.- М.: Наука, 1976, 512 с.

39. Герман Л., Кемпбелл Д. Метод дискретныз элементов для тонких оболочек.- Ракетная техника и космонавтика, 1968, 15 10, с.163-169.

40. Городецкий А.С. К расчету пространственных тонкостенных конструкций методом конечных элементов.- В кн.: Тр./Киевск. ЗНИ ИЭП, 1971, вып.2, с.37-45.

41. Городецкий А.С. Сисленная реализация метода конечных элементов.- В сб.: Сопротивление материалов и теория сооружений.- Киев: Будивельник, 1973, вып.20, с.36-43.

42. Графтон, Строум, Расчет осе симметричных оболочек методом прямого определения жесткости.- Ракетная техника и космонавтика, 1963, т.1, № 10, с.129-136.

43. Григолюк Э.И. О посадке диска на жесткий вал.- Вестник инженеров и техников, 1948, J& 5, с.78-82.

44. Григолюк Э.И. Устойчивость круглых кольцевых пластин.-Инженерный сборник АН СССР, 1949, т.5, вып.2, с.67-71.

45. Григолюк Э.И. К вопросу о поведении круглых пластинок после потери устойчивости.- Вестн.инж.и тех., 1949, № 3,

46. Григолюк Э.И. Некоторые задачи устойчивости пластин при неравномерном нагреве.-Инженерный сборник АН СССР, 1950, т.6, с.48-52.

47. Григолюк Э.И. Прибжженное решение задачи об устойчивости кольца при кручении, ПММ, 1950, т.14, вып.1.

48. Григолюк Э.И., Филыптинский Л.А. Перфорированные пластины и оболочки.- М.: Наука, 1970, 556 с.

49. Григолюк Э.И., Кабанов В.В. Устойчивость оболочек.- М.: Наука, 1978, 359 с.

50. ГринЗаум, Комментарии к статье "Численный анализ несимметричного изгиба оболочек вращения-.- Ракетная техника и космонавтика, 1964, т.2, № 3, с.225-227.

51. Демидов С.П. Теория упругости.- М.: Высшая школа, 1979, 432 с.

52. Демидович Б.П., Марон И.А. Основы вычислительной математики.- М.: Наука, 1966, 524 с.

53. Джонс, Строум, Расчет оболочек вращения прямым методом жесткостей с помощью криволинейных элементов.- Ракетная техника и космонавтика, 1966, т.4, № 8, с.20-28.

54. Динник А.Н. Об устойчивости сжатой круглой пластинки.-Изв. Киев.политех.ин-та, I9II, кн.1, с.54-60.

55. Динник А.Н. Устойчивость круглой и прямоугольной пластинки в упругой среде.- Изв.Киев.политех.ин-та, I9II, кн.4.

56. Динник А.Н. Избранные труды.- Киев: изд.АН УССР, 1955, с.62-72.

57. Зенкевич 0., Метод конечныз элементов в технике.- М.: Мир, 1975, 541 с.

58. Зенкевич 0., Чанг И. Метод конечных элементов в теории сооружений и в механике сплошных сред.- М.: Недра, 1974, 239 с.

59. Кабанов В.Б., Железнов Л.П. Исследование устойчивости цилиндрических оболочек при неоднородном напряженном состоянии методом конечных элементов.-Прикладная механика,1978, т.14, № 3, с.45-52.

60. Кантин Дд., Клауф Р. Искривленный дискретный элемент цилиндрической оболочки,- Ракетная техника и космонавтика, 1968, В 6, с.82-88.

61. Кислоокий В.Н., Легостаев А.Д. Реализация метода конечных элементов в задачах исследования свободных колебаний оболочек и пластин.- В кн.: Сопрот.матер, и теория сооружений.- Киев: Будивельник, 1974, вып.24, с.25-32.

62. Коволенко А.Д. Круглые пластинки переменной толщины.- М.: Наука, 1968, 278 с.

63. Коллатц I. Задачи на собственные значения.- М.: Наука,1968, 503 с.

64. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров.- М.: Наука, 1973, 720 с.

65. Корнеев В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности.- Изд. ЖУ, 1977, 205 с.

66. Корнеев B.C., Постнов В.А. Использование метода конечных элементов (МКЭ) в нелинейных задачах деформирования оболочек вращения.- Труды Ленинград.кораблестроит.ин-та, 1974, вып.85, с.43-48.

67. Корнеев B.C., Постнов В.А. Мнтод конечных элементов (МКЭ)в задачах устойчивости оболочек вращения.- Труды Ленинград, кораблестроит.ин-та, 1974, вып.85, с.49-53.

68. Кошелева Т.И. Об устойчивости тороидальной оболочки.-Прикладная механика, 1967, № I, с.55-62.

69. Кошелева Т.И., Фролов А.Н. Устойчивость и о се симметричные деформации тороидальной оболочки под действием внешнего давления.- Труды Казан.авиаци.ин-та, 1973, вып.181,с.18-23.

70. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы.- М.: Наука, 1976, т.1, 304 с.

71. Куранов Б.А. Метод конечных элементов в задачах прочности и устойчивости составных подкрепленных оболочек.- В кн.: Механика деформируемого твердого тела: Тез.докл.Куйбышев, 1978, с.66-67.

72. Куранов Б.А., Турбаивский А.Т. К оценке точности метода конечных элементов при исследовании устойчивости подкрепленных оболочек.- Строительная механика и расчет сооружений, 1980, № 3, с.38-41.

73. Ланкастер П. Теория матриц.- М.: Наука, 1978, 280 с.

74. Лехгицкий С.Г. Анизотропные пластинки.- М.: Гостехиздат, 1957, 463 с.

75. Лурье А.И. Статика тонкостенных упругих оболочек.- М.:Гостехиздат, 1947, 252 с.

76. Макушин В.М. Критические значения интенсивности радиальных сжимающих сил для круглых тонких пластин.-В сб. Расчеты на прочность, 1959, вып.4, с.270-298.

77. Макушин В.М. Об одном случае устойчивости сжатой кольцевой пластины,- В сб.: Расчеты на прочность, I960, вып.5, с.236-248.

78. Макушин В.М. Некоторые случаи устойчивости сжатой кольцевой пластины.- В об.: Расчеты на прочность, I960, вып.6, с.171-181.

79. Масленников A.M. Метод конечных элементов.- В кн.: Справочник по теории упругости./ Под ред. П.М.Варвака и А.Ф.Рябова.- Киев: Будивельник, 1973, с.239-260.

80. Мейер, Хармон, Метод конических сегментов для исследования нагруженных по краям усеченных оболочек вращения.-Ракетная техника и космонавтика, 1963, т.1, № 4,с.148-153.

81. Меламед Э.Ш. Расчет тонких оболочек с использованием конечного элемента естественной кривизны.- Труды/ МИИТД969, вып.342, с.64-80.

82. Методические указания: Принципы использования стандартных программ СМО ЭВМ Шинск-32" на ФОРТРАНе.- М.:1976, 53 с.

83. Механика композиционных материалов.- Кн.: Композиционные материалы.- М.: Мир, 1978, т.2, 467 с.г

84. Мэлош, Основы получения матриц для прямого метода жестко-стей.- Ракетная техника и космонавтика, 1963, т.1, № 7, с.169-175.

85. Наваратна, Определение результирующих напряжений при использовании метода конечных элементов.- Ракетная техника и космонавтика, 1966, т.4, $ II, с.239-242.

86. Наваратна, Пиан, Уитмер, Расчет устойчивости оболочек вращения методом дискретных элементов.- Ракетная техника и космонавтика, 1967, т.5, Л 2, с.196-203.

87. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости.- М.-Л.: Гостехиздат, 1948, 218 с,

88. Новожилов В.В. Теория тонких оболочек.- Л.: Судпромгиз, 1962, 431 с.

89. Новацкий В., Олесяк 3., Колебания, устойчивость и изгиб круговой пластинки на части окружности защемленной полностью и частично свободно опертой.- Бюллетень Польской АН, отд.4, 1956, т.4, вып.4, с.39-44.

90. Огибалов П.М. Изгиб, устойчивость и колебания пластинок.-Изд.Моск.Гос.ун-та, 1958, 389 с.

91. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплош -ных сред.- М.: Мир, 1976, 464 с.

92. Буден, Вычисление матриц геометричёской жесткости сложных конструкций.- Ракетная техника и космонавтика, 1966, т.4, № 8, с.215-216.

93. Панов Д.Ю., Феодосьев В.И. О равновесии и потере устойчивости пологих оболочек при больших прогибах.- Прикладная математика и механика, 1948, т.12, №4, с.384-406.

94. Пиан, Вывод соотношений для матриц жесткости элемента,основанный на выбор закона распределения напряжений.- Ракетная техника и космонавтика, 1964, т.2, № 7, с.210.

95. Перельмутер А.В, 0 применении теории графов к некоторым задачам строительной механики.- Строит.мех. и расчет сооружений, 1965, $ 3, с.65-68.

96. Перси, Пиан, Клейн, Наваратна, Приложение матричного метода к линейному упругому анализу оболочек вращения.- Ракетная техника и космонавтика, 1965, т.З, № II, с.199-208.

97. Постнов В.А., Слезина Н.Г. Использование метода конечных элементов при расчете на изгиб оболочек вращения, представленных совокупностью тороидальных элементов.-Труды Ленинград.кораблестроит.ин-та, 1974, вып.85,с. 67-76.

98. Постнов В.А., Корнеев B.C., Слезина Н.Г. Расчет тонких оболочек вращения произвольной формы методом конечных элементов.- В об.: НТО Судцрома.- Л.: Судостроение,1970, вып.149, с.77-83.

99. Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций.- М.: Судостроение, 1974, 341 с.

100. Постнов В.А. Численные методы расчета судовых конструкций.- Л.: Судостроение, 1977, 280 с.

101. Резников Р.А. Методы решения задач строительной механики на электронных цифровых машинах.- М.: Стройиздат,1964, 254 с.

102. Ремнев Ю.И. Об устойчивости круглой пластины при облучении.- Научн.докл. высшей школы, физ.-мат.науки, 1959,1. Ш 3, с.145-147.

103. Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов,- Л.: Энергия, 1971, 214 с.

104. Розин Л.А. Основы метода конечных элементов в теории упругости.- Л.: 1972, 79 с.

105. Розин Л.А. Стержневые системы как системы конечных элементов.- Изд. ЛГУ, 1976, 232 с.

106. Сахаров А.С., Гуляр А.И. Решение осесимметричной задачи теории упругости в криволинейных координатах.- В сб.:Сопротивление материалов и теории сооружений.-Киев: Будивель

107. Сахаров А.С., Гуляр А.И. Вывод матриц жесткости четырех и треугольных конечных элементов для осесимметричной задачи теории упругости,- В сб.:сопротивление материалов и теории сооружений,-Киев: Будивельник, 1975, вып.ХХП,с.142-157.

108. Сб.: Стандартные программы для ЭВМ "Минск-2".- Минск: Институт математики АН БССР, 1967, с.361.

109. Сб.: Стандартные программы для ЭВМ "Минск-2".- Минск: Институт математики АН БССР, 1967, с.316.

110. Сегерлицд JI. Применение метода конечных элементов.- М.: Мир, 1979, 392 с.

111. Соколов П.А. Устойчивость плоского круглого кольца,нагруженного по краям касательными усилиями.- ПММД931, т.З, вып.1, с.17-23.

112. Соколов П.А. Об устойчивости подкрепленной кольцевой пластинки работающей на сдвиг.- Прикл.мат., 1939, т.З, вып.2, с.35-41.

113. Сосис П.М. Статически неопределимые системы.- Киев: Нау-кова думка, 1968, 186 с.

114. ИЗ. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов.-M.s Мир, 1977, 349 с.

115. Стриклин Д., Хейслер В., Рыземан В. Оценка методов решения задач строительной механики, нелинейность которых связана со свойствами материала и (ели) геометрией.- Ракетная техника и космонавтика, 1973, т.П,№ 3, с.45-56.

116. Стриклин, Хейслер, Макдуголл, Стеббинс, Расчет оболочек вращения матричным методом перемещений в нелинейной постановке.- Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6,й 12, с.82-89.

117. Стршсяин, Наваратна, Пиан, Усовершенствование расчета оболочек вращения матричным методом перемещений.-Ракет-ная техника и космонавтика, 1966, т.4, № II, с.253-254.

118. Спиллерс У.Р. Применение топологии в расчетах конструкции,- В об.: Расчет строительных конструкций с применением ЭВМ / под ред. А.Ф.Смирнова.- М.: Стройиздат,1967, с. 56-63.

119. Тимошенко С.П. Пластинки и оболочки.- М.-Л.: Гостехиз -дат, 1948, 460 с.

120. Тимошенко С.П. Устойчивость упругих систем.- М.: Гостех-издат, изд.2-е, 1955, 568 с.

121. Тимошенко С.П., Войновский-Кригер С. Пластинки и оболочки.- М.: Наука, 1966, 635 с.

122. Уилкинсон Да. Алгебраическая проблема собственных значений.- М.: Наука, 1970, 564 с.

123. Фадщеев Д.К. Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.- М.: Физматгиз, I960, 656 с.

124. Федосов Ю.А. Устойчивость замкнутой тороидальной оболочки кругового поперечного сечения.- Гидроаэромеханика и теория упругости, 1968, № 7, с.94-100.

125. Федосов Ю.А. Экспериментальное исследование устойчиво -сти тороидальных оболочек.- Изв.ВУЗ-ов, серия: Авиационная техника, 1969, № 3, с.154-157.

126. Федосов Ю.А. К исследованию устойчивости тороидальной оболочки в малом.- Изв. ВУЗ-ов серия: Авиационная техника, 1974, № I, с.77-82.

127. Федосов Ю.А. Об устойчивости тороидальной оболочки при внешнем давлении,- Изв.ВУЗ-ов серия: Авиационная техника, 1971, № 3, с.108-112.

128. Федосов Ю.А. Об уточненном решении задачи устойчивости тороидальной оболочки.- В об.: Расчеты на прочность, 1976, вып.17, с.243-248.

129. Фельдман А.А. Устойчивость кольцевой пластинки со свободным внутренним и зажатым внешним краями при равномерном внешнем давлении,- Сборник трудов Института строительной механики АН УССР, 1951, № 15, с.34-42.

130. Фельдман А.А. Устойчивость кольцевой пластины, (на укр. яз.).- Прикладная механика, 1955, Л 4, с.52-59.

131. Фельдман А.А. Метод сеток в применении к.одной задаче об устойчивости кольцевых пластинок.- В сб.: Исследования по вопросам устойчивости и прочности, изд.АН УССР, 1956.

132. Филин А.П. Матрицы в статике стержневых систем и неко -торые элементы использования ЭЦВМ.- JI.: Стройиздат, 1966, 438 с.

133. Фролов А.Н., Ходцева Т.И. Исследование нелинейного поведения тороидальной оболочки при внешнем давлении.- Труды• X Все союз, ко н$. по теории оболочек и пластин.- Кутаиси:1975, т.1, с.698-703.

134. Хейслер, Стриклин, Перемещения недеформируемых криволинейных элементов в расчете оболочек матричным методом перемещений.- Ракетная тнхника и космонавтика, 1967,т.5, № 8, с.207-209.

135. Циглер Г. Основы теории устойчивости конструкций.- М.: Мир, 1971, 192 с.

136. Чижевский К.Г. Расчет круглых и кольцевых пластин.-Справочное пособие.- Л.: 1977, 264 с.

137. Шапавалов Л.А. Об одном простейшем варианте уравнений геометрически нелинейной теории тонких оболочек.- Инн. жур. МТТ, 1968, № I, с. 56-62.

138. Шермергор Т.Д. Модули упругости неоднородных материалов.- В кн.: Упрочнение металлов волокнами.- М.: Наука,1973, с. 6.

139. Шермергор Т.Д. Теория упругости микронеоднородных сред.- М.: Наука, 1977, 399 с.

140. Шмит Л., Богнер Ф., Фокс Р. Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием дискретных элементов плаатин и оболочек.- Ракетная техника и космонавтика, 1968, № 5, с. 17-29.

141. Штаерман И.Я. К теории симметричных деформаций анизотропных упругих оболочек.- Изв. Киев, политех, и селхоз. ин-тов, 1924, кн.1, с. 38-47.1»

142. Adelman Н.М., Catherines D.S., Walton W.C. Accuracy of modal stress calculations by the finite element method.-AIAA J.,1970,v.8,N83, p. 462-467.

143. Almroth B.O., Sobel L.H. and Hunter A.R. An experimental investigation of the buckling of toroidal shells.^Jour. AIAA, 1969, v.7, Ш II.

144. Brayn G.H. On the stability of a plate under thrusts in its own plane, with applications to the "Buckling11 of the sides of ship.-Proceedings of the London Mathematical Society, 1891» v.22.

145. Bodner S.R. The postbuckling behaviour of a clamped cicular plate.- Quart. Appl. Math. 1955, v.I2, Ы8 4, p.397 401.

146. Budiansky В., Radkowski P.P. Numerical analysis of unsymmetrieal bending of sheels of revolution. J. AIAA, 1963, v.I, p.1833-1842.

147. Chacour S.A. A high precision axisimmetric triangular element used in analysis of hydraulic turbine components.- J„ of Basic Engineering, 1970, HS4, p.819-826.

148. Chin A.t Firmin A. The analysis of cooling towers by the matrix finite element method.-The Aeronautical J. of the Eoyal Aeronaut Soc., 1970,v.I4,HS7I8,p.826-835.

149. Clough R.W. The finite element method in plane stress analysis.-Jour. Struct. Div., ASCE, Proc. 2d Conf. Electronic Computation, I960, p.345-378.

150. Courant R. Variational methods for the solution of problems of equilibrum and variations.-Bull. Amer. Math. Soc., 1943,v.49, U8I, p.1-23.

151. Dean W.R. The elastic stability of an annular plate.-Proc. Royal Society of London, England, series A,1924, v.I06, pp.268-284.

152. Endou A., and Kawamata S. Post-buckling analysis of elastic sheels of revolution by the finite element method.- Report of the institute of industrial science, the university of Tokyo, 1976, 35p.

153. Fenner R.T. Finite element methods for engineers.-London: The Macmillan Press Ltd, 1975.

154. Friedrichs K., and Stoker J. Buckling of the circular plate beyond the critical thrust.-Jour. Appl. Mech.,1942,v.9, N81, pp.7-14.

155. Gallagher R.H. finite element analysis: Fundamentals.-New Jersey: Prentice-Hall, 1975, 420p.

156. Hill R. Theory of mechanical properties of fibre-strengthened materials. I Elastic behaviour.-Jour. Mech. Phys. Solids, 1964,v.I2, N84.

157. Hill R. Theory of mechanical properties of fibre-strengthened materials. Ill Self consistent model.-Jour. Mech. Phys. Solids, 1965,v.13, N84.159» Huebner K.H. The finite element method for engineers.-N.Y.: Wiley and sons, 1975, 487p.

158. Jordan P.I?. Buckling of toroidal sheels under hydrostatic pressure.-Jour. AIAAf 1973,v.II, N810, pp. I439-I44I.

159. Jordan P.*1. Vibration and buckling of pressurized torus sheels.- ЛТАА, Peper 66-445, bos Angeles, Calif, 1966.

160. Jordan Р.Б*. Analytical and experimental investigation of pressurized toroidal sheels.-NASA, July 1955, CR-26I.

161. Kapur K.K., and Harts B.J. Stability of plates using the finite element method.-Jour. Eng. Mech. Div.:-Proc. ASCE, 1966,v.92, pp.177-195.

162. Koiter W.T. Onthe stability of torus-shaped sheels by O.Machnig.-APM Pev. 5670: Appl. Mech. Rev., 1964, v.I7, p.786.165. bevy S. Structaral analysis and influence coefficients for delta wings.-Jour. Aeronaut. Sci., 1953, N820, pp.449-454.

163. Lokchine A. Sur la stabilite d'une plaque refermee entre cexcles concentriques "Comptes rendus hebdoma-daires des seances de L'academie des Siences", Pome 189, 1929, N27.

164. Machnig 0. Tiber stabilitasprobleme von torusformigen schalen.-Wissensehaftliche beitschrift der Hochschule fur Verkekrswesen Dresden 4, 1956, Heft 2/3.

165. Machnig 0. Uber die stabilitat von torusformigen scha-len.-Iechn. Mitt. Krupp tforsch. Ber. Band 21, 1963, N24, I05-II2.

166. Mansfield E.H. On the buckling of an annular plate.-Quart. Jour, of Mech. and Appl. Math., X960,v.I3,N81, pp.16-23.

167. Meissner E. Das elastizitatsproblem, fur dume schalen von ringflachen, Kugel-oder Kegelform.-Phys Zs, Bd.I4, N28, 1914.

168. Meissner E. tteber das knicken kreisingformiger schei-ben.-Schweirerische Bauzeitung , 1933, Bd.IOI,p.87-89.

169. Melosh H.J. and Merritt E.G. Evaluation of spar matrices for stiffness analyses.-Jour. Aerospace Sci., 1958,v.25,pp.537-543.

170. Melosh R.J. A stiffness matrix for the analysis of thin plates in bending.-Jour. Aerospace Sci., 1961, v.28,pp.34-43.

171. Nadai A. tJer das ausbeulen von kreisformigen platten.-Zeitschrift des Vereines Deutscher Ingenieure, 1915, v.59, p.222.

172. Nadai A. Die elastschen platten (§62-63).-Berlin,1925.

173. Prager ¥., and Synge J.b. Approximation in elasticity- 142 based 011 the concept of function space.-Quaet. Appl.1. Math., 1947, N85.

174. Popov E.P., Penzien J. and lu Z.A. Finite element solution for axisymmetric sheels.-Jour. Eng. Mech. Div., 1964,v.90, pp.119-145»

175. Reissner H. Spannungen in kugelschalen.-Leipzig:I9I2, Miller-Breslau-tfestschrift. S., 181.179» Sanders J.L.Jr. Nonlinear theoris for thin sheells.-Quart. Appl. Mat., 1963, v.21, N81, pp.21-36.

176. Sobel b.H. and Flugge W. Stability of toroidal sheels under uniform external pressure.-Jour. AIAA, 1967,v.5, N83, pp.425-431.

177. X. Turner M.J., Clough H.W., Martin H.C., lopp L.J. Stiffness and deflection analysis of complex structures.-Jour.,Aeronaut. Sci., 1956, v.23.

178. Yamaki N. Buckling of a thin annular plate under uniform compression.-Jour. Appl. Mech., 1958» v.25» pp. 267-273.

179. Yeh R.H.T. Variational bounds of unidirectional fiber-rein-forces composites.-Jour. Appl. Phys., 1973, v. 44, N82.