Применение импульсных методов магнитного резонанса в устройствах обработки информации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.01 ВАК РФ

Введение

1. Информационные процессы в ЯМР системах

1.1. ЯМР как модель и объект моделирования.

1.2. Принципы создания информационно-измерительных систем на основе ЯМР.

1.2.1. Общая характеристика систем.

1.2.2. Принципы и методы физических измерений.

1.2.3. Методы расчета динамики спиновой системы.

1.3. Язык моделирования.

1.4. Выводы по главе 1.

2. Широкополосный ЯМР поисково-измерительный комплекс

2.1. ЯМР в магнитоупорядоченных веществах.

2.2. Оксидные наноструктуры в пористых средах.

2.3. Приборный комплекс для поиска и исследования сигналов ЯМР в магнитоупорядоченных веществах.

2.4. Автоматизация эксперимента.

2.4.1. Компьютерный осциллограф с когерентным накоплением сигналов.

2.4.2. Компьютерный анализатор спектров.

2.5. Результаты экспериментов

2.6. Выводы по главе 2.

3. Спиновый эхо-процессор

3.1. Задача обработки сигналов.

3.2. Спиновый эхо-процессор как интегральное устройство функциональной электроники с управляемыми параметрами

3.3. Принципы работы спинового эхо-процессора.

3.4. Экспериментальная реализация функциональных возможностей спинового эхо-процессора.

3.5. Выводы по главе

Динамическая модель многоимпульсного ЯМР эксперимента

4.1. Изолированная частица со спином 1/2 в магнитном поле

4.2. Ансамбль частиц со спином 1/2 в магнитном поле.

4.2.1. Касательные пространства состояний.

4.2.2. Учет процессов релаксации.

4.3. Расчет реакции произвольной изохроматы на последовательность радиоимпульсов.

4.3.1. Общая схема импульсного ЯМР эксперимента

4.3.2. Неравновесное состояние.

4.3.3. Простые радиоимпульсы.

4.3.4. Интервалы свободной прецессии.

4.4. Когерентные отклики спиновой системы: классификация и расчет параметров.

4.4.1. Сигнал спада свободной индукции

4.4.2. Эффект ядерного спинового эха.

4.4.3. Необходимые и достаточные условия формирования эхо-сигналов.

4.4.4. Диаграмма Йенсена.

4.5. Применение построенной модели.

4.6. Выводы по главе 4.

Динамическая модель системы взаимодействующих спинов

5.1. Два взаимодействующих спина.

5.2. Нерегистрируемые составляющие намагниченности в двух-спиновой системе

5.3. Три спина со скалярным взаимодействием.

5.4. Многоквантовая когерентность.

5.5. Выбор траекторий переноса когерентности.

5.5.1. Циклическое изменение фазы.

5.5.2. Импульсы градиента поля

5.6. Выводы по главе 5.

Моделирование элементов квантовых вычислений в ЯМР системах

6.1. Историческая справка.

6.2. Квантовые вычисления в ЯМР.

6.2.1. Принцип работы квантового компьютера.

6.2.2. Общие требования к элементной базе квантового компьютера

6.2.3. Кубиты в ЯМР.

6.2.4. Гамильтонианы.

6.3. Унитарные логические операции в ЯМР

6.3.1. Отсутствие операции.

6.3.2. Управляемое-НЕ.

6.3.3. Измерение

6.4. Ограничение возможностей квантовых вычислений на ЯМР в жидких образцах

6.5. ЯМР в твердотельных образцах.

6.6. Выводы по главе 6.

Актуальность темы диссертации.Быстрое развитие новых информационных технологий — характерная черта нашего времени. Несмотря на то, что само понятие информации весьма многогранно, технологии ее получения, хранения, переноса и обработки строятся на сравнительно небольшом числе физических процессов, основанных на взаимодействии излучения с веществом. Чем сильнее взаимодействие, тем эффективнее информация, содержащаяся в излучении, воспринимается веществом и наоборот. Наиболее сильными оказываются резонансные взаимодействия.

Важной разновидностью резонансных взаимодействий является ядерный магнитный резонанс (ЯМР). С момента своего открытия в 1945 году он стал мощным и незаменимым инструментом исследования состава и структуры веществ в химических лабораториях. Компьютеризация ЯМР спектрометров, переход к импульсным методам исследования, разработка технологий многократного повторения импульсного эксперимента при монотонном изменении одного из параметров, с использованием циклических изменений фазы импульсных последовательностей и/или импульсных градиентов статического магнитного поля привели к значительному увеличению объемов информации, извлекаемой из спиновых систем. Широкое развитие получили технологии двумерной и многоквантовой спектроскопии ЯМР. Магнитная резонансная томография (МРТ) стала одним из ведущих методов современной медицинской диагностики. С конца 1990-ых годов в ведущих лабораториях Европы и Америки начались интенсивные исследования по использованию ЯМР для реализации и проверки основных принципов построения квантовых логических элементов, квантовых компьютеров и реализации алгоритмов квантовых вычислений.

Использованию ЯМР в качестве модели для изучения физических принципов и основ реализации различных технологий взаимодействия когерентного электромагнитного (и акустического) излучения с веществом способствовал ряд важных особенностей, выделяющих ЯМР из общего класса резонансных явлений:

• Длина волны электромагнитного излучения в ЯМР значительно превышает размеры образца, что обеспечивает синфазность и пространственную однородность возбуждения всех элементов его объема.

• Величина регистрируемых сигналов в ЯМР всегда пропорциональна числу активных ядер в образце. Это позволяет говорить об однородности реакции всей системы ядер на прикладываемые возмущения и распространить понятие намагниченности (поляризации) на более мелкие по сравнению со всем образцом мезоморфные пространственно-частотные структуры (изохроматические слои, плоские элементы изображения — «пикселы», объемные элементы изображения — «вокселы»), достаточные для описания наблюдаемых эффектов, вплоть до отдельных ядер1.

• Вероятность спонтанных переходов в ЯМР системах пренебрежимо мала. Это значит, что для описания процессов ввода, хранения, преобразования и вывода информации в них достаточно использовать динамический подход с характерными для него детерминированными законами эволюции и геометрической интерпретацией динамических процессов.

• Детектирование сигналов в ЯМР носит мягкий характер. Оно основывается на конструктивной интерференции вкладов от большого числа эквивалентных частиц внутри каждой мезоморфной пространственно-частотной составляющей ансамбля и от всех таких составляющих в объеме образца, и практически не разрушает наблюдаемого состояния ядерной спиновой системы. Реакцией каждого ядра на процесс детектирования обычно можно пренебречь. При этом ядерная спиновая система допускает многократные измерения своих состояний без нарушения детерминированных законов динамики их изменений.

• Времена релаксации в ЯМР достаточно велики для того, чтобы во время приложения сложных импульсных последовательностей, управляющих динамикой поведения спиновых систем, и выполнения множества логических операций над записанными массивами информации соотношения когерентности (согласованности) как внутри каждой мезоморфной составляющей, так и между всеми мезоморфными составляющими ансамбля еще не подвергались полному и необратимому разрушению.

Однако привлекательность ЯМР заключается не только в возможностях практической реализации тонких физических экспериментов, но и в возможностях их тщательного теоретического анализа и инженерного расчета. В этом отношении ЯМР также представляет собой уникальное явление.

С момента своего открытия ЯМР допускал два способа описания: классический (динамический) и квантовомеханический (спектроскопический). К настоящему времени достаточное развитие получил математический аппарат геометрических алгебр Клиффорда, который в равной степени приго

Это следует рассматривать как идеализацию, ограничивающую снизу дробление на изохроматические группы, которые вносят индивидуальный вклад в формирование сигнала ЯМР от макроскопического образца. ден для описания как классических, так и квантовомеханических эффектов в пространствах произвольной размерности. Он позволяет объединить щ представления динамического и спектроскопического подходов и создает предпосылки для создания единой математической модели динамических процессов, лежащих в основе управления поведением спиновых систем в многочисленных задачах ЯМР спектроскопии, томографии, функциональной электроники и квантовых вычислений.

В данной работе геометрические алгебры Клиффорда используются для расширения представлений динамического подхода. Ансамбль обладающих магнитным моментом ядер со спином 1/2, спектральная и пространственная структура которого определяются условиями эксперимента, рассматривается как вычислительная среда с векторными носителями информации, допускающая программируемое управление динамикой ее составных частей. Векторный характер носителей не вписывается в рамки бинарных представлений, разработанных для скалярных носителей, и требует поиска новых форм выражения их способности вступать в состояния конструктивной интерференции, регистрируемые в качестве сигналов ЯМР.

Сочетание новых представлений динамического подхода с богатым арсеналом методов практического управления динамикой поведения составных ^ частей сложных спиновых систем позволяет не только по-новому взглянуть на процессы обмена информацией между когерентным электромагнитным излучением и веществом в условиях ядерного магнитного резонанса применительно к задачам спектроскопии, магнитной резонансной томографии, функциональной электроники и квантовых вычислений, но и перенести полученные результаты на широкий класс других нестационарных когерентных явлений [55, 56, 14, 57, 48, 58, 59], ожидающих своего практического использования.

Важность результатов такого исследования для широкого круга практических задач делает тему диссертационной работы актуальной.

Объектом исследования является ядерная спиновая система рабочего вещества, помещенная в статическое магнитное поле, подвергаемая действию последовательности импульсов радиочастотного магнитного поля в условиях, близких к резонансным, и наблюдаемая в интервалах между импульсными воздействиями методами радиоспектроскопии.

Экспериментальные и теоретические исследования направлены на создание новых приборов и устройств для изучения новых физических явле-ф ний и процессов, в том числе на:

1) создание нового широкополосного приборного комплекса для исследования магнитоупорядоченных веществ методом ЯМР и поиска новых перспективных рабочих материалов;

2) разработку и создание спинового эхо-процессора — прибора для моделирования и изучения информационных процессов в ЯМР системах в условиях многоимпульсного эксперимента;

3) экспериментальное исследование нестационарных когерентных явлений в магнитоупорядоченных веществах.

Предмет исследования составляют процессы отражения информации о параметрах прикладываемых импульсных воздействий в динамике формирования и эволюции продольных и поперечных составляющих единичных векторов намагниченности ансамбля независимых или взаимодействующих изохромат (устойчивых мезоморфных составляющих спиновой системы) в условиях многоимпульсного ЯМР эксперимента и способы управления потоками информации в этих процессах, поступающими на выход детектора.

Целью работы являлось изучение нестационарных когерентных процессов, сопровождающих взаимодействие импульсов электромагнитного излучения с веществом в условиях ЯМР, изучение возможностей использования рассматриваемого вещества в качестве программируемой вычислительной среды с векторными носителями информации и разработка на на этой основе алгоритмов управления состояниями элементов такой среды для решения актуальных задач спектроскопии, томографии, функциональной электроники и квантовых вычислений.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1) Разработать и создать экспериментальную установку для поиска и исследования сигналов ЯМР в образцах магнитоупорядоченных веществ, предусмотрев в ней средства автоматизации физического эксперимента.

2) Разработать и создать спиновый эхо-процессор на поликристаллическом образце литиевого феррита для экспериментального исследования возможностей аналоговой обработки сложных импульсных радиосигналов в реальном масштабе времени.

3) Изучить нестационарные когерентные явления и процессы, сопровождающие взаимодействие импульсов когерентного электромагнитного излучения с пространственно и/или спектрально неоднородным ансамблем частиц со спином 1/2 в условиях ЯМР.

4) Создать модель программируемой вычислительной среды, позволяющую проследить за процессами формирования когерентных откликов неоднородно уширенной системы ядер со спином 1/2 в условиях многоимпульсного ЯМР эксперимента.

5) Создать динамическую модель вычислительной среды, на основе дискретных изохроматических элементов, связанных скалярными спинспиновыми взаимодействиями. Оценить применимость созданной модели вычислительной среды к задачам квантовой обработки информации.

6) Разработать алгоритм расчета параметров импульсной последовательности для управления вычислительной средой на основе спиновой системы в условиях ЯМР с целью извлечения из нее требуемой спектроскопической, томографической, функциональной или вычислительной информации.

Научная новизна работы состоит в следующем. Впервые разработан и создан уникальный приборный комплекс для исследования магнитоупо-рядоченных веществ методом ЯМР в широком диапазоне частот (10 -800 МГц). В комплексе предусмотрены как элементы автоматизации эксперимента так и возможности когерентного накопления результатов измерений и их дополнительной математической обработки. Впервые спиновый эхо-процессор на поликристаллическом образце литиевого феррита представлен как прототип квантового устройства обработки информации с большим (~ 104) числом невзаимодействующих каналов обработки (куби-тов) в частотном измерении. Впервые построена и применена динамиче-екая модель спиновой системы в многоимпульсном ЯМР эксперименте в виде многоканальной программируемой вычислительной среды с памятью, регистровой структурой, (мульти)векторными носителями информации и голографическими принципами ее ввода и вывода. Впервые показано, что минимальная порция информации, воспринимаемая вектором намагниченности, каждой изохроматической составляющей спиновой системы от простого радиоимпульса с прямоугольной огибающей, определяется четырьмя его параметрами: амплитудой, расстройкой возбуждения, начальной фазой и длительностью. Три первых параметра определяют ось (плоскость) и угловую скорость трехмерного вращения (во вращающейся системе координат), тогда как четвертый определяет конечный угол поворота. В заданной системе координат эта информация кодируется комплексными значениями двух разноименных параметров Кэли-Клейна. Впервые разработан и применен метод расчета программируемой динамики поведения спиновых систем в условиях многоимпульсного ЯМР, позволяющий учитывать роль каждого из параметров любого радиоимпульса последовательности в формировании каждого когерентного отклика спиновой системы для заданного * набора изохромат, независимо от положения радиоимпульса в последовательности. Впервые предложен и применен способ интегрального описания конечных вращений, который не требует сшивания граничных условий, инвариантен к рангу вращаемого объекта и к размерности пространства, в котором рассматривается вращение. Впервые применено понятие векторных носителей информации. Вынужденные вращения векторов намагниченности изохромат интерпретированы как рассеяние их продольных и поперечных составляющих на радиоимпульсах. Показана связь указанных процессов рассеяния с формализмом параметров Кэли-Клейна. Впервые показана связь геометрической интерпретации параметров Кэли-Клейна в евклидовом и гильбертовом пространствах, а также их связь с параметрами прикладываемых воздействий и с образами состояния объекта в векторном, паравекторном, кватернионном и спинорном представлениях. Впервые понятие когерентности расширено на ансамбль единичных векторов намагниченности распределенных по частоте изохромат с учетом их согласованной пространственной ориентации в исходном равновесном состоянии и наличия различных, но детерминированных законов их эволюции под действием радиоимпульсов и в интервалах между ними, обеспечивающих возможность формирования регистрируемых откликов за счет конструктивной интерференции динамических поперечных составляющих. Впервые показана возможность геометрической интерпретации динамики связанных спиновых состояний в рамках построенной модели программируемой вычислительной среды.

Достоверность полученных результатов следует из обоснованности используемой геометрической модели и совпадения результатов расчета с результатами экспериментов, как собственных, так и выполненных другими исследователями.

Личным вкладом автора в науку является:

1) разработка и создание двух новых информационно-измерительных систем;

2) экспериментальное исследование нестационарных когерентных явлений в образцах магнитоупорядоченных веществ;

3) участие в поиске новых рабочих материалов на основе оксидных наноструктур в пористых средах;

4) разработка новых методов математического моделирования нестационарных когерентных явлений и процессов в мезоморфных ансамблях частиц со спином 1/2 в условиях многоимпульсного ЯМР эксперимента, облегчающих создание на их основе принципиально новых приборов и методов экспериментальной физики, связанных с извлечением и обработкой информации;

5) издание монографии «Геометрическая алгебра, ЯМР и обработка информации», в которой предложено существенно расширить возможности динамического подхода при моделировании и расчете результатов многоимпульсных ЯМР экспериментов за счет использования более совершенного математического аппарата.

Практическая ценность:

Научные выводы диссертации вносят существенный вклад в понимание поведения неоднородных ядерных спиновых систем в условиях магнитного резонанса при возбуждении сложными последовательностями радиоимпульсов и создают основу для разработки алгоритмов программируемого управления потоками информации в таких системах при решении ряда практических задач в химии, в медицинской диагностике, в технике и в области информационных технологий.

Результаты диссертации могут быть использованы для создания принципиально новых приборов и методов экспериментальной физики, предназначенных как для поиска новых перспективных рабочих материалов и изучения их пространственных, структурных и спектральных особенностей, так и для реализации алгоритмов квантовых вычислений и других прогрессивных вычислительных технологий на их основе.

Научные выводы и результаты могут найти дальнейшее развитие и применение в учреждениях РАН (Физико-технологический институт, г. Москва; СПбИИА; ИАнП; ФТИ им. А.Ф. Иоффе), в вузах (СПбГПУ, СПбГУ, СПбГИТМО (ТУ), МИФИ), а также в отраслевых организациях (КБ «Россия», НПО «Феррит», РНИИЭФА и др.).

Практическое использование результатов работы

Результаты, изложенные в диссертации, использованы на Федеральном государственном предприятии «Санкт-Петербургский научно-исследовательский центр «Кристалл» при выполнении НИР «Клан» (2002 г.) (см. приложение Б.1), в Санкт-Петербургском институте информатики и автоматизации РАН при выполнении НИР «Штурм» (2002 г.) (см. приложение Б.2), на кафедре квантовой электроники СПбГПУ при выполнении НИР по договору с КБ «Россия» (г. Санкт-Петербург), а также при выполнении работ по целевой программе «Технические университеты» (1994-1997 гг.), где автор являлся ответственным исполнителем и Федеральной целевой программе «Интеграция» (проект 679 (А-0142), 1997-2001 гг.), где автор являлся координатором и ответственным исполнителем от СПбГПУ. Работа частично поддерживалась грантом А-0142.

Под руководством автора по теме представленной диссертации подготовлены и защищены 1 кандидатская и б магистерских диссертаций [40, 41, 42, 43, 44, 45].

Материалы диссертационной работы используются в лекционных курсах «Основы квантовой радиофизики и приборов квантовой электроники» и «Основы томографии», читаемых студентам института интеллектуальных технологий и радиофизического факультета СПбГПУ, а также в лабораторных работах по курсу «Основы квантовой электроники».

Научные результаты и положения, выносимые на защиту:

1) Разработка и создание уникального приборного комплекса для исследования магнитоупорядоченных веществ методом ЯМР и поиска новых перспективных рабочих материалов в широком диапазоне частот (10-800 МГц).

2) Разработка, создание и исследование функциональных возможностей спинового эхо-процессора на обогащенном изотопом 57Fe поликристаллическом образце литиевого феррита.

3) Результаты экспериментального исследования нестационарных когерентных явлений в магнитоупорядоченных веществах.

4) Ядерная спиновая система с неоднородными пространственными или спектральными характеристиками является программируемой вычислительной средой с памятью, регистровой структурой и голографиче-скими принципами ввода и вывода информации.

5) Сочетание формализма параметров Кэли-Клейна с диаграммными методами траекторий переноса когерентности позволяет эффективно рассчитывать результаты многоимпульсного ЯМР эксперимента.

Опубликованные работы и апробация результатов

Основное содержание диссертации отражено в 25 печатных работах [13]—[39], в том числе 4 авторских свидетельствах [13, 18, 19, 26] и 1 монографии [35]. В работах, опубликованных в соавторстве, вклад автора диссертации является преобладающим.

Основные результаты работы докладывались на следующих конференциях и семинарах:

1) Международная школа по магнитному резонансу, Новосибирск, СССР, 20-26 сентября 1987.

2) IV Всесоюзный симпозиум по световому эхо и путям его практических применений. Куйбышев, 22-27 мая 1989 г.

3) XXIV-th Congress AMPERE on Magnetic Resonance and Related Phenomena. Poznari, September 1988.

4) Российская научно-технической конференция «Инновационные наукоемкие технологии для России», 25-27 апреля 1995, СПб.

5) Международная конференции по ультрадисперсным средам в г. Обнинске, 1997 г.

6) Научно-техническая конференция «Фундаментальные исследования в технических университетах», 25-26 июня 1998 г.

7) 2-ая Международная конференция «Химия высокоорганизованных веществ и научные основы нанотехнологии», 22-26 июня 1998 г., СПб.

8) International Workshop «Physics and Technology of Nanostructured, Multicomponent Materials». Uzhgorod (the Ukraine), September 24-26, 1998.

9) II Международная научно-практическая конференция «Информационные технологии в моделировании и управлении», Спб., 2000.

10) 8-th European Magnetic Materials and Applications Conference (EMMA-2000), Kyev (the Ukraine), June 7-10, 2000.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, шести глав и заключения. Объем диссертации составляет 309 страниц, включая 216 страниц основного текста, 90 рисунков, размещенных на 78 страницах, 79 страниц приложений и список литературы, который содержит 165 наименований и размещен на 14 страницах.

Основные результаты работы сводятся к следующему:

1) Разработан и создан уникальный приборный комплекс для поиска и исследования сигналов ЯМР в магнитоупорядоченных веществах в диапазоне частот от 10 до 800 МГц с быстрой оцифровкой (25 не АЦП) и когерентным накоплением сигналов. В комплексе предусмотрены как элементы автоматизации эксперимента так и возможности когерентного накопления результатов измерений и их дополнительной математической обработки. Комплекс предназначен для работы с образцами малых размеров или при неблагоприятных условиях регистрации сигналов и допускает работу в двух принципиально различных режимах ЯМР: спинового эха и стохастического ЯМР. Комплекс был использован для исследования вновь создаваемых магнитных материалов с пониженной размерностью на основе оксидных наноструктур в пористых средах в рамках ФЦП «Интеграция» (грант А-0142). Вместе с тем он может оказаться полезен для экспресс-анализа продуктов, полупродуктов и сырья черной и цветной металлургии, содержащих элементы группы железа, а также для регистрации сигналов ядерного квадрупольного резонанса.

2) Разработан и создан спиновый эхо-процессор на обогащенном изотопом железа-57 поликристаллическом образце литиевого феррита для экспериментального исследования возможностей аналоговой обработки сложных импульсных радиосигналов в реальном масштабе времени.

3) Экспериментально и теоретически исследованы нестационарные когерентные явления и процессы, сопровождающие взаимодействие импульсов когерентного электромагнитного излучения со спектрально неоднородным ансамблем частиц со спином 1/2 в магнитоупорядоченных веществах (порошки, стержни и кольца литиевого феррита, тонкие кобальтовые пленки, образцы бората железа) в условиях многоимпульсного ЯМР.

4) Предложена и применена модель многоканальной программируемой вычислительной среды, с памятью, регистровой структурой и (муль-ти)векторными носителями информации, позволившая проследить за процессами формирования когерентных откликов неоднородно уширенной системы ядер со спином 1/2 в условиях многоимпульсного ЯМР эксперимента.

Модель вычислительной среды расширена на случай дискретных изохроматических элементов, связанных скалярными спин-спиновыми взаимодействиями. Полученные представления составляют основу организации основных логических операций квантовых вычислений.

Предложен и применен метод расчета программируемой динамики поведения спиновых систем в условиях многоимпульсного ЯМР, позволяющий учитывать роль каждого из параметров любого радиоимпульса последовательности в формировании каждого когерентного отклика спиновой системы для заданного набора изохромат, независимо от положения радиоимпульса в последовательности.

Разработан алгоритм расчета параметров импульсной последовательности для управления вычислительной средой на основе спиновой системы в условиях ЯМР с целью извлечения из нее требуемой спектроскопической, томографической, функциональной или вычислительной информации.

Показано, что минимальная порция информации, воспринимаемая вектором намагниченности каждой изохроматической составляющей спиновой системы от простого радиоимпульса с прямоугольной огибающей, определяется четырьмя его параметрами: амплитудой, расстройкой возбуждения, начальной фазой и длительностью. Три первых параметра определяют ось (плоскость) и угловую скорость трехмерного вращения (во вращающейся системе координат), тогда как четвертый определяет конечный угол поворота. В заданной системе координат эта информация кодируется комплексными значениями двух разноименных параметров Кэли-Клейна.

Показано, что созданная модель вычислительной среды на основе ядерной спиновой системы может быть применена к задачам квантовой обработки информации. При этом с точки зрения динамического подхода основной смысл перехода от классических вычислений к квантовым состоит в замене скалярных носителей информации мультивекторными, которые в четырехмерном пространстве положительных контравариантных спиноров характеризуются двумя комплексными параметрами Кэли-Клейна а и (3. Это позволяет поставить вопрос о поиске возможностей реализации вычислительных алгоритмов, сопоставимых по возможностям с квантовыми, в классических системах (электроакустических, магнитоакустических, домен-акустических, плазме и др.), в которых наблюдавшиеся эффекты формирования эхо-сигналов также описывались на языке формализма параметров Кэли-Клейна.

10) Спиновый эхо-процессор на поликристаллическом образце литиевого феррита, обогащенном изотопом железа-57, рассмотрен в качестве прототипа квантового компьютера на ансамбле из большого числа (12566) невзаимодействующих кубитов. Показаны особенности голо-графического принципа ввода, хранения, преобразования и вывода информации в таком устройстве. Показана роль векторных носителей информации в этом процессе. Ожидается, что приведенное сопоставление будет способствовать более эффективному использованию кубитов в алгоритмах квантовых вычислений.

Заключение

1. Ekert A., Jozsa R. Quantum computation and Shor's factoring algorithm // Rev. Mod. Phys., 1996, Vol. 68, No. 3, P. 733-753.

2. Ekert A. Shannon's theorem revisited 11 Monthly Nature, 1994, Vol. 2, No. 2, P. 37-38.

3. Hahn E.L. Spin Echoes 11 Phys. Rev., 1950, Vol. 80, No. 4, P. 580-594.

4. Jaynes E. T. Matrix Treatment of Nuclear Induction // Phys. Rev., 1955, Vol. 98, No. 4, P. 1099-1105.

5. Bloom A. L. Nuclear Induction in Inhomogeneous Fields // Phys. Rev., 1955, Vol. 98, No. 4, P. 1105-1111.

6. Казакова Г. Векторная алгебра. Пер. с фр. // М.: Мир, 1979. — 120 с. / Переиздано: Казакова Г. От алгебры Клиффорда до атома водорода. Пер. с фр. // Волгоград: Платон, 1997. — 120 с.)

7. Миме В. Б. Детектирование радиолокационных сигналов с ЧМ заполнением импульсов посредством электронного спинового эха // ТИИЭР, 1963, № 8, С. 1127-1135.

8. Jensen E. General Theory on Spin-Echoes for Any Combination of Any Number of Pulses. Introduction of a Simple «Spin-Echo Diagram» // Acta Polytechnica Scandinavica. Physics Including Nucleonics Series No. 7, 1960, Appl. Phys. 263, P. 1-20.

9. Sorensen O. W., Eich G. W., Levitt M.H., Bodenhausen G., Ernst R. R. Product Operator Formalism for the Description of NMR Pulse Experiments // Progress in NMR Spectroscopy, 1983, Vol. 16, P. 163-192.

10. Clifford (Geometric) Algebras with applications to physics, mathematics, and engineering / Ed. by W. E. Baylis, Birkhauser, Boston et al., 1996. 517 p.

11. Петрунъкин В.Ю., Дудкин В. И., Тарханов В. И., Паугурт А. П., Петров М. П., Успенский Л. И. Авторское свидетельство СССР102140 от 06.01.1977 с приоритетом от 18.03.1976.

12. Дудкин В. И., Петрунъкин В.Ю., Тарханов В. И. Наблюдение эхо-сигналов в поликристаллах литиевого феррита в широком диапазоне частот // Физика твердого тела, 1980, Т. 22, Вып. 6, С. 1854-1856.

13. Дудкин В. И., Петрунъкин В.Ю., Тарханов В. И. Возбуждение ядерного спинового эха в магнитоупорядоченных веществах на субгармониках и кратных частотах // Письма в ЖЭТФ, 1980, Т. 31, Вып. 6, С. 330-333.

14. Дудкин В. И., Тарханов В. И. Применение алгебры Клиффорда для описания импульсных методов магнитного резонанса // Труды ЛПИ, 1982, Вып. 387 «Квантовая электроника», С. 67-72.

15. Дудкин В. И., Петрунъкин В.Ю., Тарханов В. И. Авторское свидетельство СССР № 194458 от 18.02.1982 по заявке № 3035797.

16. Дудкин В. И., Куневич А. В., Петрунъкин В. Ю., Тарханов В. И., Терентъев В. А. Авторское свидетельство СССР № 194937 от 10.01.1983 по заявке № 3057614.

17. Дудкин В. И., Петрунъкин В. Ю., Тарханов В. И. Анализ сигналов спинового эха в многоимпульсном эксперименте // Радиотехника и электроника, 1984, Т. 29, № 4, С. 732-740.

18. Дудкин В. И., Страхолис А. А., Тарханов В. И. Особенности обработки импульсных радиосигналов в спиновом процессоре // Труды ЛПИ, 1987, Вып. 422 «Квантовая электроника», С. 50-54.

19. Дроздецкий С. Е., Дудкин В. И., Кривцов И. Ю., Тарханов В. И. Метод учета искажений сигналов при обработке в спиновом процессоре // Судостроительная промышленность, 1987, № 8, С. 10-23.

20. Дроздецкий С. Е., Дудкин В. И., Кривцов И. Ю., Тарханов В. И. Оптимизация параметров спинового процессора за счет применения электродинамических замедляющих структур // Судостроительная промышленность, 1987, № 8, С. 24-30.

21. Дудкин В. И., Петрунькин В. Ю., Тарханов В. И. Механизм обработки информации в спиновом процессоре // Журнал технической физики, 1988, Т. 58, Вып. 9, С. 1738-1745.

22. Дудкин В. И., Петрунькин В. Ю., Тарханов В. И., Шевченко И. И. Управляемая линия задержки // Авторское свидетельство СССР №1443132 от 08.08.1988.

23. Дудкин В. И., Рубинов С. В., Тарханов В. И. Структура рабочих элементов спинового и фотонного эхо-процессоров и их функциональные возможности // Известия АН СССР. Сер. физ., 1989, Т. 53, № 12, С. 2326-2328.

24. Дудкин В. Тарханов В. И. Пространственная и функциональная структура рабочих элементов спинового эхо-процессора // Труды Международной гиромагнитной конференции (МГМК-92), Симферополь, 1992, С. 84-90.

25. Дудкин В. И., Тарханов В. И. Спиновый эхо-процессор — интегральное устройство функциональной электроники с управляемыми параметрами // Труды Международной гиромагнитной конференции (МГМК-92), Симферополь, 1992, С. 91-97.

26. Тарханов В. И. Основы квантовой электроники. Лабораторный практикум // Спб.: Изд-во СпбГТУ, 1996. — 60 с.

27. Дудкин В. И., Тарханов В. И. Импульсные методы магнитного резонанса и их применение. Учебное пособие // СПб.: Изд-во СПбГТУ, 1998. 160 с.

28. Дудкин В. И., Тарханов В. И. Сжатие широкополосных сигналов спиновым эхо-процессором // В сб.: «Современные технологии извлечения и обработки информации. Сборник научных трудов», Спб.: ОАО «Радиоавионика», 2001, С. 199-205.

29. Дудкин В. И., Тарханов В. И. Импульсные методы магнитного резонанса и их применение // Научно-технические ведомости СПбГТУ, 2001, № 2, С. 66-73.

30. Тарханов В. И. Обработка сигналов методом спинового эха // В сб.: «Лабораторные работы», СПб.: Изд-во СПбГУ, 2001, С. 127-139.

31. Тарханов В. И. Геометрическая алгебра, ЯМР и обработка информации // СПб.: Изд-во СПбГПУ, 2002. 214 с.

32. Тарханов В. И., Тутыгин В. С. Приборный комплекс для поиска и исследования сигналов ЯМР в магнитоупорядоченных веществах // Научное приборостроение, 200Д С. 5&-6Z.

33. Тарханов В. И. Принцип работы спинового эхо-процессора // Научное приборостроение, 2003, №•(, С. 5{-57.

34. Тарханов В. И. Векторные носители информации в неоднородно уширенной ЯМР системе // Научное приборостроение, 2003, №-i,1. С. 45-50.

35. Тарханов В. И., Тутыгин В. С. Идентификация магнитоупорядоченных веществ методами ЯМР // В сб.: «Вычислительные, измерительные и управляющие системы», Труды СПбГПУ, 2002, Вып. 477, С. 34-42.

36. Козырева А. В. Численное моделирование стохастического эксперимента // Диссертация на соискание ученой степени магистра технической физики по специальности 533100 (Техническая физика, оптическая физика и квантовая электроника). СПб., 1998 г.

37. Duppeti К., Wiersma D.A. Picosecond multiple-pulse experiments involving spatial and frequency gratings: a unifying nonperturbational approach // J. Opt. Soc. Am. B, 1985, Vol. 3, No. 4, P. 614-621.

38. Ridley K. D. Phase-locked phase conjugation by Brillouin-induced four-wave mixing 11 J. Opt. Soc. Am. B, Vol. 12, No. 10, P. 1924-1932.

39. Маныкин Э.А., Самарцев В. В. Оптическая эхо-спектроскопия // М.: Наука, 1984. 272 с.

40. Кирса S., Searle С. W. Radio-frequency echoes from metal powders // Can. J. Phys., 1975, Vol. 53, No. 23, P. 2622-2630.

41. Kupca SSearle C. W. Radiofrequency echoes from piezoelectric powder // J. Appl. Phys., 1976, Vol. 47, No. 1, P. 374-375.

42. Melcher R.L., Shiren N.S. Polarization echoes and long time storage in piezoelectric powders 11 Phys. Rev. Lett., 1976, Vol. 36, No. 15,1. P. 888-891.

43. Jones J. A., Hansen R.H., Mosca M. Quantum logic gates and nuclear magnetic resonance quantum computer 11 J. Magn. Reson., 1998,1. Vol. 135, P. 353-360.

44. Eichler H. J., Gtinter P., Pohl D. W. Laser-Induced Dynamic Gratings // Springer-Verlag, Berlin Heidelberg, 1986. — 256 p.

45. Moerner W. E., Lenth W., Bjorklund G. C. Frequency Domain Optical Storage and Other Applications of Persistent Spectral Hole-Burning // in

46. Persistent Spectral Hole-Burning: Science and Applications», Ed. by W. E. Moerner, Berlin etc.: Springer, 1988, (Top Curr. Phys.: Vol. 44), ^ P. 251-307.

47. Bachmann P., Sauer K., Wallis G. Zeitliche Phasenmischungsechoes // Fortschritte der Physyk, 1972, Bd. 20, No. 3, S. 147-199.

48. Салихов K.M., Семенов А. Г., Цветков Ю.Д. Электронное спиновое эхо и его применение // Новосибирск: Наука, 1976. — 342 с.

49. Корпел А., Чаттерджи М. Нелинейноее эхо, фазовое сопряжение, обращение времени и электронная голография // ТИИЭР, 1981, Т. 69, № 12, С. 22-43.

50. Копвиллем У.Х., Пранц С. В. Поляризационное эхо // М.: Наука, 1985. 202 с.

51. Павленко В.Н., Ситенко А. Г. Эховые явления в плазме и плазмоподобных средах // М.: Наука, 1988. — 128 с.

52. Скорбун А. Д. Долговременное электроакустическое эхо // ФТТ, 1980, Т. 22, Вып. 6, С. 1899-1901.

53. Kim М. К., Karchu R. Optical Echo with Long Storage Time in Eu3+:YA103 // Opt. Lett., 1989, Vol. 14, P. 423-425.

54. Эрнст P., Боденхаузен Дж., Вокаун А. ЯМР в одном и двух измерениях // М.: Мир, 1990. — 711 с.

55. Бретон Э., Jle Ру П. ЯМР-томография // В сб.: «Физика за рубежом. 1987: Серия А (исследования)». М.: Мир, 1987, С. 46-76.

56. Любимов В. В. Оптическая томография сильно рассеивающих сред на первопрошедших фотонах ультракоротких импульсов // оптика и спектроскопия, 1996, Т. 80, № 4, С. 687-690.

57. Рыжак И. С. Спектральный и кореляционный анализ в реальном времени при помощи управляемых многофункциональных параметрических устройств // Радиотехника и электроника, 1978,

58. Щ Т. 23, № 7, С. 1453-1460.

59. Бондаренко В. С., Князев О. И., Соколов С. Л. Корреляционная обработка сигнелов на основе явления фононного эха // Радиотехникаи электроника, 1981, Т. 26, № 4, С. 771-776.

60. Касаткин А. В., Протодьяконов A.M. и др. Спиновый процессор в системах связи // Техника средств связи. Сер. TCP, 1977, № 3,1. С. 110-124.

61. Лаврентьев Г. В., Куневич А. В. Спиновые процессоры // М.: Ассоциация «Электропитание», 1996. — 270 с.

62. Barenco A., Bennett С. И., Cleve R., DiVincenzo D.P., Margolus N., Shor P., Sleator Т., Smolin J., Weinfurter H. Elementary gates for quantum computation // Phys. Rev. A, 1995, March 22; LANL E-print arXiv: quant-ph/9503016, 23 Mar 1995, P. 1-31.

63. Rigden J. S. Quantum states and precession: The two discoveries of NMR // Reviews of Modern Physics, 1986, Vol. 58, No. 2, P. 433-448.

64. Дероум Э. Современные методы ЯМР для химических исследований. Пер. с англ. // М.: Мир, 1992. — 403 с.

65. Валиев К. А., Кокин А. А. Из итогов XX века: От кванта к квантовым компьютерам. Физико-технологический институт Российской АН // Интернет, домашняя страничка А.А.Кокина, файл• xx.htm.

66. Jones J. A., Mosca М. Implementation of a Quantum Algorithm on a Nuclear Magnetic Resonance Quantum Computer. 11 J. Chem. Phys., 1998, Vol. 109, No. 5, P. 1589-2045.

67. Price M. D., Somaroo S. S., Tseng C.-H., Core J. C., Fahmy A. F., Havel T. F., Cory D. G. Construction and implementation of NMR quantum logic gates for two spin systems 11 J. Mag. Reson., 1999, Vol. 140, P. 371-378.

68. Cory D. G., Laflamme R., Knill E., at al. NMR Based Quantum Information Processing: Achievements and Prospects // 2000, LANL E-print: arXiv: quant-ph/0004104 33 p.

69. Jones J. A. NMR Quantum Computation 11 2000, LANL E-print: arXiv: quant-ph/0009002 30 p.

70. Jeener J. 11 Ampere International Summer School, Basko Polje, Yugoslavia, 1971.

71. Aue W. P., Bartholdi E., Ernst R. R. 2-dimensional spectroscopy:

72. Application to Nuclear Magnetic Resonance // J. Magn. Reson., 1976,1. Vol. 64, P. 2226-2229.

73. Suter D., Pines A., Mehring M. Indirect phase detection of NMR spinor transitions // Phys. Rev. Lett., 1986, Vol. 57, P. 242-244.

74. Bax A., Freeman R., Frenkel T.A. NMR technique for tracing out the carbon skeleton of an organic molecule // J. Am. Chem. Soc., 1981, Vol. 1103, P. 2102-2104.

75. Bodenhausen G., Kogler H., Ernst R. R. Selection of Coherence-Transfer Pathways in NMR Pulse Expetiments // J. Magn. Reson., 1984, Vol. 58, No. 3, P. 370-388.

76. Bain A.D. Coherence Levels and Coherence Pathways in NMR. A Simple Way to Design Phase Cycling Procedures IJ J. Magn. Reson., 1984, Vol. 56, No. 3, P. 410-428.

77. Warren W. S. Selective excitation of multiple quantum coherence in Nuclear Magnetic Resonance I j Phys. Rev. Lett., 1979, Vol. 43,1. P. 1971-1979.

78. Waugh J. S., Huber L. M., Haeberlen U. Approach to high resolution NMR in solids // Phys. Rev. Lett., 1968, Vol. 20, P. 180-182.

79. Уо Дж. Новые методы ЯМР в твердых телах // М.: Мир, 1978. — 170 с.

80. Хеберлен У., Меринг М. ЯМР высокого разрешения в твердых телах * // М.: Мир, 1980, 504 с.

81. Levitt М. Н., Freeman R. Composite pulse decoupling // J. Magn. Reson., 1981, Vol. 43, P. 502-507.

82. Counsell C., Levitt M. H., Ernst R. R. Analytical Theory of Composite Pulses // J. Magn. Reson., 1985, Vol. 63, No. 1, P. 133-141.

83. Morris G.A., Freeman R. Selective excitation in Fourier transform Nuclear Magnetic Resonance 11 J. Magn. Reson., 1978, Vol. 29,1. P. 433-462.

84. Warren W. S., Weitekamp D. P., Pines A. Theory of selective excitation of multiple-quantum transitions // J. Chem. Phys., 1980, Vol. 73,1. P. 2084-2099.

85. Jeener J. Superoperators in magnetic resonance // Adv. Magn. Reson., 1982, Vol. 10, P. 2-51.

86. Waugh J.S. Theory of broad-band spin decoupling // J. Magn. Reson., 1982, Vol. 50, P. 30-49.

87. Vandeven F.J.M., Hilbers G. W. A simple formalism for the description of multiple-pulse experiments: Application to a weakly coupled 2-spin (I = 1/2) system // J. Magn. Reson., 1983, Vol. 54, P. 512-520.

88. Packer К. J., Wright К. M. The use of single-spin operator basis-sets in the NMR spectroscopy of scalar-coupled spin systems // Mol. Phys., 1983, Vol. 50, P. 797-813.

89. Яшин A. H. Графический метод расчета параметров эхо-сигналов в условиях многоимпульсного возбуждения квантовых систем // ЖПС, 1985, Т. 42, № 2, С. 309-315.

90. Цифринович В. И. Расчет сигналов эха // Новосибирск: Наука, 1986. 112 с.

91. Hestenes D. A unified language for mathematics and physycs // In J. S. R. Chisholm and A. K. Common, editors, Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, page 1. D. Reidel, 1986.

92. Hestenes D. Clifford algebra and the interpretation of quantum mechanics // In J.S.R. Chisholm and A.K. Common, editors, Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, page 321. D. Reidel, 1986.

93. Doran C.J.L. Geometric Algebra and its Applications to Mathematical Physics // PhD thesis, University of Cambridge, February, 1994. — 181 p.

94. Somaroo S.S., Cory D.G., Havel T.F. Expressing the operations of quantum computing in multyparticle geometric algebra // Phys. Lett. A, 1998, Vol.240, pp. 1-7. / LANL E-print arXiv: quant-ph/9801002, 3 Jan 1998, 9 p.

95. Havel T.F., Doran C. Geometric Algebra in Quantum Information Processing 11 LANL E-print arXiv: quant-ph/0004031 7 Apr 2000, 27 p.

96. Jones J. A., Vedral V., Ekert A., Castagnoli G. Geometric quantum computation with NMR 11 Nature, 2000, P. 869-871.

97. Havel T.F., Doran C. Interaction and Entanglement in the Multiparticle Spacetime Algebra // LANL E-print arXiv: quant-ph/0106063 12 Jun 2001, 18 p.

98. Rabi /. /., Zacharias J. R., Millman S., Kush P. A New Method of Measuring Magnetic Moments // Phys. Rev., 1938, Vol. 53, P. 318.

99. Туров E.A., Петров М.П. Ядерный магнитный резонанс в ферро- и антиферромагнетиках // М.: Наука, 1969. — 260 с.

100. Петров М.П., Степанов С. И. Обработка информации в радиотехнических системах методом спинового эха // Обзоры по электронной технике. Сер.1 «Электроника СВЧ», М.: ЦНИИ «Электроника», 1976, Вып. 10, (385).

101. Steator Т., Hahn E.L., Hilbert С., Clarke J. // Phys. Rev. Lett. 1985, Vol. 55, P. 1742.

102. Гоноровский И. С. Радиотехнические цепи и сигналы. Учебник для вузов. Изд 3-е, перераб. и доп. // М.: Сов. радио, 1977. — 608 с.

103. Манин Ю.И. Вычислимое и невычислимое. — М.: Сов. Радио, 1980. С. 128.

104. Власов А.Ю. Квантовые компьютеры: Двадцать лет спустя // Препринт, частное сообщение, 4 марта 1999, С. 1-20.

105. Bennett С. И. The Termodynamics of Computation A Review. 11 Inter. Journ. of Theor. Phys., 1982, Vol. 21, No. 12, P. 905-940.

106. Kemble E. C. The Fundamental Principles of Quantum Mechanics with Elementary Applications / Dover Publications, Inc., New York, 1958. — 611 p.

107. Дирак П. A.M. Воспоминания о необычной эпохе: Сб. статей: Пер. с англ. // Под ред. Я.А. Смородинского. — М.: Наука, 1990. — 208 с.

108. Deutsch D. Quantum Computational networks // Proc. R. Soc. Lond., 1985, Vol. A425, P. 73-90.

109. Ekert A.K. Quantum cryptography based om Bell's theorem // Phys. Rev. Letters, 1991, Vol. 67, № 6,5, P. 661-663.

110. Дойн Д., Джозса Р. Быстрое решение задач с помощью квантовых вычислений // В сб.: «Квантовый компьютер и квантовые вычисления», Том 2, Ижевск: Ижевская республиканская типография, 1999,1. С. 190-199.

111. Lloyd S. A potentially realizable quantum computer // Science, 1994, Vol. 261, P. 1569-1571.

112. Berman G., Doolen G., Holm D., Tsifrinovich V.I. / Quantum computer on a class of one-dimensional Ising systems // Phys. Rev. Lett., 1994, Vol. A193, P. 444-450.

113. Shor P. W. Scheme for reducing decoherence in quantum memory 11 Phys. Rev., 1995, Vol. A52, P. 2493-2496.

114. Schumacher B. Quantum coding. // Phys. Rev., 1995, Vol. A51, No. 4, P. 2738-2747.

115. Jones J. A. NMR Quantum Computation: a Critical Evaluation // 2000, LANL E-print: arXiv: quant-ph/0002085 13 p.

116. Cory D.G., Fahmy A. F., Havel T.F. Ensemble Quantum Computing by NMR Spectroscopy. 11 Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 1997, Vol. 94, No. 5, P. 1634-1639.

117. Sharf Y., Cory D. G., Somaroo S. S., Havel N. F., Knill E., Laflamme R. A Study of Quantum Error Correction by Geometric Algebra and Liquid-State NMR Spectroscopy // 2000, LANL E-print: arXiv: quant-ph/0004030 39 p.

118. Валиев К. А. Квантовые компьютеры: могут ли они быть «большими»? // УФН, 1999, Т. 162, № 6, С. 691-694.

119. Валиев К. А. Квантовая информатика: компьютеры, связь и криптография. // Вестник РАН, 2000, Т. 70, № 8, С. 688-705.

120. DiVincenzo D.P., Burkard G., Loss D., Sukhorukov Т. V. Quantum Computation and Spin Electronic. // 1999, LANL E-print: cond-mat/9911245, 28 p.

121. Sodickson A., Cory D. C. A generalized k-space formalism for treating the patial aspects of a variety of NMR experiments 11 Prog. Nucl. Mag. Res. Spect., 1998, Vol. 33, P. 77-108.

122. Viola L., Knill, E., Lloyd S. Dynamical decoupling of open quantum systems. 11 Phys. Rev. Lett., 1999, Vol. 82, P. 2417-2421.

123. Price M. D., Somaroo S. S., Dunlop A. E., Havel T. F., Cory D. G. Generalized methods for the development of quantum logic gates for an NMR quantum information processor / Phys. Rev. A, 1999, Vol. 60,1. P. 2777-2780.

124. Baum J., Munowita M., Garroway A., Pines A. Multiple-quantum dynamics in solid-state NMR // J. Chem. Phys., 1985, Vol. 83,1. P. 2015-2125.

125. Cory D. G., Miller J. В., Garroway A. N. Time-suspension multiple-pulse sequences: Applications to solid-state imaging // J. Magn. Reson., 1990, Vol. 90, P. 205-213.

126. Averin D. V. Adiabatic Quantum Computation with Cooper Pairs. // Solid State Comm., 1998, Vol. 105, No. 12, P. 2371-2374.

127. Nakamura Y, Pashkin Yu.A., Tsai J.S. Coherent Control of Macroscopic Quantum States in a Single-Cooper-Pair Box. // 1999, LANL E-print arXiv: cond-mat/9904003 9 p.

128. Ioffe L.B., Geshkenbein V.B., Feigel'man M. V., Fauchere A. L., Blatter G. Quiet SDS' Josephson Junctions for Quantum Computing // 1999, LANL E-print cond-mat/9809116 Vol. 2, 9 p.

129. Kane В. E. A Silicon-based Nuclear Spin Quantum Computer. // Nature, 1998, Vol. 393, 14 May, P. 133-137.

130. Fedichkin L., Yanchenko M., Valiev K.A. Coherent Charge Qubits Based on GaAs Quantum Dots with a Built-in Barrier. // 8-th International Symposium Nanostructures: Physics and Technology. С.-Перербург, 2000 г, июнь, С. 538-541.

131. Валиев К. А., Кокин А. А. Квантовые компьютеры: надежды и реальность. // Москва-Ижевск, R&C Dynamics, 2001, 352 с.

132. Kline М. Mathematical Thought from Ancient to Modern Times // Oxford University Press, 1972.

133. Atiyah M.F., Singer I.M. The index of elleptic operators on compact manifolds 11 Bull. A.M.S., 1963, Vol. 69, P. 422.

134. Lawson H.B., Michelsohn M.-L. Spin Geometry // Princeton University Press, 1989.

135. Hestenes D., Sobczyk G. Clifford Algebra to Geometric Calculus I j D. Reidel Publishing, 1984.

136. Hestenes D. New foundations for Classical Mechanics // D. Reidel Publishing, 1985.

137. Hestenes D. A unified language for mathematics and physics // In J. S. R. Chisholm and A. K. Common, editors, Clifford Algebras and their Applications in Mathematical Physics, page 1. D. Reidel, 1986.

138. Void T. G. An introduction to geometric algebra with an application to rigid body mechanics 11 Am. J. Phys., 1993, Vol. 61, No. 6, P. 491.

139. Void T. G. An introduction to geometric calculus and its application to electrodinamics 11 Am. J. Phys., 1993, Vol. 61, No. 6, P. 505.

140. Hestenes D. The design of linear algebra and geometry // Acta Appl. Math., 1991, Vol. 23, P. 65.

141. Benn I. W., Tecker R. W. An Introduction to Spinors and Geometry // Adam Hilger, 1988.

142. Salingaros N. On the classification of Clifford algebras and their relation to spinors in n dimentions // J. Math. Phys., 1982, Vol. 23, No. 1, P. 1-7.

143. Cini M. Quantum Mechanics without Waves: a Generalization of Classical Statistical Mechanics // LANL E-print arXiv: quant-ph/9807001 1 Jul 1998, P. 1-26.

144. Klein F. The mathematical theory of the top // Gordon and Breach, New york, 1897; F. Klein, A. Sommerfeld / Theorie des Kreisels // Teubner, Leipzig, 1897-1910.

145. Frescura F.A.M., Hiley B.J. Geometric interpretation of the Pauli spinor // Am. J. Phys., 1981, Vol. 49, No. 2, P. 152-157.

146. Пенроуз P., Риндлер В. Спиноры и пространство-время. Два-спинорное исчисление и релятивистские поля: Пер. с англ. // М.: Мир, 1987. 528 с.

147. Snygg J. Clifford Algebra. A Computational Tool for Physicists // New York: Oxford University Press. 1997. P. 3-11.

148. Фаддеев Д. К. Лекции по алгебре. Учебное пособие для вузов // М.: Наука, 1984, С. 345-355.

149. Ishimaru A. Radiative Transfer Approach in Electromagnetic Imaging 11 In W.-M. Boerner et al (eds.) «Inverse Methods in Electormagnetic Imaging», Part 2, 1985, d. Reidel Publishing Company, P. 771-795.

150. Li D., Poole C.P., Jr, Farach И.А. A general method of generating and classifying Clifford Algebras // J. Math. Phys., 1986, Vol. 27, No. 5, P. 1173-1180.

151. Chisholm J.S.R., Farwell R.S. Properties of Clifford Algebras for Fundamental Particles j I In: W. E. Baylis, edt., «Clifford (Geometric Algebras) with applications to physics, mathematics, and engineering», Birkhauser et al., 1996, P. 365-388.