Применение принципа максимального расхода в задачах гидродинамики, содержащих неопределенность тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ОШМАРИН Алексей Александрович

ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА МАКСИМАЛЬНОГО РАСХОДА В ЗАДАЧАХ ГИДРОДИНАМИКИ, СОДЕРЖАЩИХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ

01.02.05-Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2006

Работа выполнена на кафедре компьютерной математики Уфимского государственного авиационного технического университета

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Житников Владимир Павлович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Маклаков Дмитрий Владимирович

доктор технических наук, профессор Гимранов Эрнст Гайсович

Ведущая организация: Институт механики УНЦ РАН, г. Уфа

Защита состоится «27» декабря 2006 г. в. /X _час. на заседании диссертационного совета Д 212.013.09 в Башкирском государственном университете по адресу: 450074, г. Уфа, ул. Фрунзе, 32, ауд. 216 физико-математического корпуса.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Башкирского государственного университета.

Автореферат разослан « » Н-ОЛг^Л 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д-р. техн. наук, проф. Л.А. Ковалева

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

В диссертационной работе рассматривается приложение аналитических и численно-аналитических методов к построению математических моделей течений невязкой весомой жидкости. Данные задачи имеют ряд важных практических приложений в тех областях исследований, где вязкостью жидкости можно пренебречь, например, кавитационные течения, течения воды в гидротехнических сооружениях, а также течения различных жидкостей в технических устройствах, таких как центробежные форсунки.

Центробежные форсунки применяются во многих технических устройствах для разбрызгивания горючего и других жидкостей. Часто не удается провести строгий гидродинамический расчет течения жидкости в реальных аппаратах, поэтому инженеры пользуются различными упрощенными подходами. Приближенные подходы часто не дают единственного решения задачи, поэтому для разрешения неопределенности используются приближенные эмпирические закономерности. Например, центробежные форсунки рассчитывались на основе «принципа максимального расхода» (ПМР), входящего в открытие Г.Н. Абрамовича, Л.А. Клячко, И.И. Новикова и В.И. Скобелысина «Закономерность расхода жидкости в закрученном потоке» (Бюллетень изобретений и открытий, 1991, № 19).

Однако отсутствие достаточного теоретического обоснования ПМР и примеров решений конкретных задач, которые могли бы подтвердить или не подтвердить выполнимость ПМР, привело к возникновению научной дискуссии о проблеме всеобщей применимости ПМР. Например, выдвигаются предложения использования законов сохранения для разрешения неопределенностей. С другой стороны, в качестве контраргумента выдвигается предположение, что для использования этих законйв недостаточно информации, в частности предполагается существование «подсасывающей силы» при отрыве струи с острой кромки препятствия.

Незавершенность этой дискуссии, связанная с отсутствием исследований конкретных течений путем решения гидродинамических задач, обуславливает актуальность диссертационной работы.

Целью исследований является:

Анализ возможных течений в центробежной форсунке путем решения модельных задач гидродинамики (расчета полей скоростей), проверка выполнения ПМР.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Рад задач с образованием вихря или каверны вблизи точки отрыва потока от стенки.

• Определение решений, точно или приближенно удовлетворяющих ПМР.

• Поиск решений со свободным вихрем. Исследование устойчивости таких решений.

На защиту выносятся следующие результаты:

• Математические модели течения в центробежной форсунке.

• Множество решений, точно или приближенно удовлетворяющие ПМР.

• Решения со свободным вихрем в ряде задач, включая задачу о течении весомой жидкости со свободной поверхностью.

• Результаты проверки устойчивости решений со свободным вихрем.

Научная новизна

Впервые решены плоские задачи обтекания полубесконечной пластины потоком весомой жидкости с образованием вихря и каверны, моделирующие гидродинамические

характеристики течения жидкости в центробежной форсунке, и проведены исследования устойчивости этих решений.

Новыми также являются полученные в результате исследования решений задач выводы о применимости ПМР для нахождения параметров течения, а также выводы о неустойчивости равновесного вихря в рассмотренных задачах.

Достоверность результатов

Достоверность результатов подтверждается корректным использованием математических методов теории функций комплексного переменного и численно-аналитических методов, апробированных на других задачах; непротиворечивостью выводов экспериментальным данным и известным решениям других задач. Этому также способствует выбранная схема исследования ряда похожих задач «от простого к сложному».

Практическая ценность

Автором разработаны алгоритмы и программы решения плоских задач обтекания полубесконечной пластины потоком жидкости с образованием вихря и каверны вблизи излома, а также задач нахождения параметров течения в центробежной форсунке. Получены численные результаты, которые могут быть практически использованы в инженерных расчетах.

Работа проводилась по тематике госбюджетных научно-исследовательских работ Уфимского государственного авиационного технического университета: «Создание математических моделей естествознания», «Исследование взаимосвязи вычислительных алгоритмов и архитектур высокопроизводительных вычислительных систем».

Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ в рамках курсов «Вычислительная математика» и «Прикладное математическое моделирование».

Апробация работы

Основные результаты докладывались на международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2002); на международной научной конференции «Современные проблемы атомной науки и техники» (Снежинск, 2003); на международной конференции «7th US National Congress on Computational Mechanics (USNCCM7)» (Albuquerque, USA, 2003); на международном семинаре «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT'2003 (Уфа, 2003); на Всероссийской Молодежной научно - технической конференции «Интеллектуальные системы управления и обработки информации» (Уфа, 2003); на второй международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2004); на международном семинаре «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT2004 (Будапешт, 2004); на всероссийской научно-практической конференции "Вузовская наука — России" (Набережные Челны, 2005); на международном семинаре «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT"2005 (Уфа, 2005); на всероссийской научной конференции «Мавлютовские чтения» (Уфа, 2006); на международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование - 2006» (Кемерово, 2006).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 16 работ, в том числе 2 научные статьи в центральных рецензируемых изданиях.

Структура и объем работы

Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы из 83 названий. Общий объем диссертации составляет 121 страницу, на которых размещено 50 рисунков, 3 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснованы цель и актуальность работы, дан краткий обзор литературы по теме диссертации, кратко изложено содержание работы и сформулированы результаты, выносящиеся на защиту.

В первой главе дается обзор литературы и делается постановка задачи течения жидкости в центробежной форсунке.

Рассматривается схема течения невязкой несжимаемой жидкости через центробежную форсунку с цилиндрическим насадком, изображенную на рис. 1. Свободная поверхность полого ядра вихря с давлением Рг^оп^^ в меридиональном сечении монотонна. Во всех рассмотренных схемах было принято существенное предположение выхода течения на цилиндрическое (г=/?2=соп5(:).

Приводится дискуссия между Б.А.Луговцовым и Г.Ю.Степановым относительно применимости ПМР в центробежных форсунках, водосливах и других аналогичных течениях. Таким образом, на сегодня существует два подхода к решению подобных задач. Рассматриваются оба принципа расчета относительно нашей задачи течения невязкой весомой несжимаемой жидкости вдоль полубесконечной трубы с изломом и образованием вихря вблизи излома. Приводятся плоские и осесимметричные постановки задач.

Рассматривается осесимметричное движение жидкости, закрученной вдоль оси

р

симметрии х. При этом скорость = V* + V* + У*, Ут —-.

2 пг

Рис. 1. Схема течения жидкости через центробежную форсунку с цилиндрическим насадком

Тогда при отсутствии влияния тяжести и постоянном давлении на свободной поверхности (Р~Ро ) справедливо уравнение (интеграл Бернулли)

rl

—-—+Р = const, 2

которое приводит к соотношению

ч 2

©Ч'-Ш

■а* 1- iMl

к UJ _

(1)

(2)

где А = ИГ/(20), 2 - объемный расход. Уравнение (2) позволяет при заданных А и Яг/Я найти Л^И. Анализ эксперимента приведенный Г.Ю. Степановым показывает, что наблюдаются однозначные зависимости R7.fR от А , соответствующие максимуму R\/R. (который при заданном А соответствует максимальному расходу).

Б.А. Луговцов ставит под сомнение всеобщность применения ПМР и утверждает, что основные параметры течения через центробежную форсунку рассматриваемой схемы могут быть определены однозначно, если кроме интеграла Бернулли использовать закон изменения импульса. Получается зависимость, которая существенно отличается от зависимости, полученной с помощью ПМР.

При составлении уравнения Б.А. Луговцов предполагает, что «течение жидкости

потенциально, за исключением области с замкнутыми линиями тока, возникающей на внутреннем срезе сопла (внутренних кромках цилиндрического насадка), где структура течения не влияет на дальнейшее рассмотрение». По мнению Г.Ю. Степанова, в сплошном потенциальном потоке на острых кромках существует подсасывающая сила, которая должна входить в уравнение изменения импульса. Существование подсасывающей силы легко объясняется при безотрывном обтекании. Г.Ю Степанов также отмечает, что известные экспериментальные результаты располагаются как выше, так и ниже значений, полученных- с помощью ПМР, в то время как Б.А. Луговцовым использована единственная серия измерений, которая с учетом их погрешностей в равной мере согласуется и с его расчетами и с ПМР.

Таким образом, чтобы разобраться в вопросах о существовании решений с равновесным вихрем, его устойчивости, предельных режимов и поиска решений, удовлетворяющих экспериментальному факту - ПМР, целесообразно решить ряд задач, желательно по нарастающей степени сложности; лучше всего иметь аналитические решения.

Во второй главе решается ряд плоских задач обтекания пластины с образованием вихря, заканчивающийся течением весомой жидкости со свободной границей.

Рассмотрим задачу об обтекании препятствия в виде прямолинейной полубесконечной пластины АВО потоком невязкой несжимаемой весомой жидкости с образованием вихря с интенсивностью Г<0, расположенного в точке С (рис. 2). В точке Е, расположенной ниже В по потоку, находящейся на границе замкнутой зоны течения вокруг вихря, скорость равна нулю. С одной стороны поток ограничен свободной поверхностью. Рассматриваются течения типа уединенной волны. Таким течением может моделироваться поток жидкости .в центробежной форсунке.

А

А

В

©

П

И

Рис. 2 Форма области течения на физической плоскости

В' Ф

с с

Рис. 3 Форма области течения на плоскости комплексного потенциала

В связи с принятыми допущениями об идеальности среды решение задачи можно получить в виде аналитической функции комплексного переменного н^г), где г=х+1у, н»=ф+1'\|/- комплексный потенциал, ср- потенциал течения, у- функция тока. Тогда комплексная скорость V = Тем самым, физическая задача определения поля

скоростей сводится к конформному отображению области течения плоскости г на ее образ на плоскости IV.

Границы потока, являются линиями тока, поэтому непроницаемы. Следовательно, областью потока на плоскости комплексного потенциала является полоса с присоединенной полуполосой (рис.3). Эта полуполоса есть образ ограниченной области потока вокруг вихря. Ширина полуполосы равна величине циркуляции Г.

В связи со сложностью (и неизвестностью) формы области на физической плоскости г решение более удобно искать в параметрическом виде, т.е. в виде двух аналитических функций комплексного переменного где С,- параметрическая переменная,

областью изменения которой является полукруг (рис.4).

Е

Рис. 4. Плоскость изменения параметрического комплексного переменного

Область течения на плоскости ы для данного течения приведена на рис.3, зависимость н<д определяется методом особых точек Чаплыгина формулой

где Г - циркуляция, 0=кУо — расход жидкости в струе, р^я+И - образ точки С расположения вихря на плоскости С,. Тогда

йС, 71

2 .Д ± + . 11 1

>у=г/е. (4>

1-е2 Р

В критической точке В (£=0) комплексная скорость <Ьл/1<к. равна нулю. Отсюда и из (4) приследует равенство:

На свободной поверхности АЛ значение модуля вектора скорости жидкости К связано с высотой точки у уравнением Бернулли

где Ко — скорость на бесконечности справа, Л - асимптотическая толщина струи справа.

В разделе 2.1 проводится вычисление силы, действующей на вихрь

В соответствии с формулой Чаплыгина величина, комплексно сопряженная силе давления потока, действующей на любое тело, равна

Представим комплексный потенциал течения в виде суммы комплексного потенциала вихря и комплексного потенциала «наложенного течения»

— = (8) сЬ 2га 2-20 «¿г

Тогда в соответствии с формулой Чаплыгина получим

— фОУ ~т"Цго) • (9)

аг

При решении задачи со свободным вихрем вихрь должен находиться в равновесии, поэтому сила, действующая на вихрь должна быть равна нулю.

В разделе 2.2 «Частные задачи» решаются связующие вспомогательные задачи, позволяющие проанализировать решение общей задачи.

Задача 1. Обтеканпе вихря в полукруглом канале

В этом случае область течения совпадает с областью на плоскости параметрического переменного (рис. 4), т.е. г=С,. Тогда

2 у ( 1 1 1

(12 К

1-С2 4 »и-р-1 С,-р С,-р~

В результате решения получаем, что существует множество симметричных решений с равновесным вихрем. Однако все они имеют точку отрыва границы вихревой зоны, не совпадающей с точкой В.

Задача 2. Обтекание вихря в круглом канале

Область течения для данной задачи (рис.5) получается из полукруга С, с помощью отображения г = = .

Рис. 5. Плоскость изменения параметрического комплексного переменного При этом комплексный потенциал (3) при С, = определяется формулой

Чс.)-

20

(10)

Для нахождения решения с равновесным вихрем, необходимо произвести вычисление силы, действующей на вихрь. После проведения расчетов получаем, что эта задача имеет

1 .л/3 А г?

равновесное решение: р - — + 1 —, у = —4л/3.

2 б

Таким образом, задача имеет единственное решение при точке отрыва границы вихревой зоны, совпадающей с кромкой пластины В.

Далее рассмотривается вопрос устойчивости свободного вихря, расположенного за точкой отрыва свободной поверхности от кромки пластины.

Поскольку в случае свободного вихря с/и^/сЬ^О, то вблизи точки равновесия и/ = <хг2.

сЬлг

— = аг. сЬ

Картина такого течения изображена на рис.6, соответствующая плоскость комплексно потенциала — на рис.7.

[V

А' в

А С в

0 ф

Рис. 6 Форма области течения на физической плоскости

Рис. 7 Форма области течения на плоскости комплексного потенциала

Для устойчивости равновесного положения вихря необходимо, чтобы при отклонении от положения равновесия возникающая сила возвращала вихрь к положению равновесия, т.е. X = < 0. Направления действия сил (рис. 6) показывают, что вихрь является

неустойчивым.

Следует, однако, заметить, что оценивать устойчивость данной задачи по расположению линий тока наложенного течения некорректно, поскольку при сдвиге вихря меняется и наложенное течение.

1 Я

Пусть р -—ы'--(- гет, у — —4л/з . Проведем вычисления. Их результаты приведены

2 б

на рис.8 (кривая 1), где по оси абсцисс обозначены значения 0/=27у'/100, /=0,1,... 100, по оси ординат - значения Я,(в)= Кс^/{г{р)~ ))]. Видно, что эта величина везде положительна,

что говорит об абсолютной неустойчивости равновесного вихря в данной задаче.

к.

Рис. 8. Результаты исследования устойчивости равновесного вихря

Рассмотрим теперь более общую задачу о свободном вихре. Откажемся от условия отрыва границы вихревой зоны в точке В. В этом случае (5) не выполняется и значение у может принимать, вообще говоря, произвольное значение. Будем задавать его по правилу

требуя выполнения условий равновесия и вычисляя

У к

10

коэффициент силы, обходя точку равновесия по окружности малого радиуса, как было сделано выше. Кривые, соответствующие £=0, 3, 5, 9 обозначены на рис.8 номерами 1,2, 3, 4 соответственно. Видно, что все кривые лежат в области положительных ординат, т.е. вихрь неустойчив.

Предельный случай у—>0 (при этом также /->0) можно описать аналитически. В результате получим ке-

—зш2 0. Из рис.8 видно качественное совпадение (и очень

71

малое количественное отличие) кривой 4 от этой зависимости. ,

Рассмотрим еще случай />~>0, причем симметричную задачу, т.е. р=И . В этом случае вихревая зона симметрична относительно оси х, отрыв ее границы происходит до точки В. Найдем равновесные решения, решив уравнение

Отсюда получим

1+/ 4/ 4 / —1

1-2/2-/"

Тем самым для каждого положения вихря, расположенного на оси х существует циркуляция, при которой он является равновесным. Проверка, подобная проведенной выше, показала, что и в этом случае вихрь является неустойчивым.

Задача 3. Обтекание вихря невесомой жидкостью под свободиой поверхностью

ЛУ

©

6 г\Е И

А

Рис. 9. Форма области течения на физической плоскости при обтекании пластины невесомой жидкостью

Из (6) вытекает, что для невесомой жидкости на свободной поверхности АО модуль вектора скорости У=Уо- Задача решается с использованием функции Жуковского

( 1 ¿к} „ > = 6 + 1т = 11м--I. Получим

\Г0 <Ь)

(И)

йг 1 йу/ 4А где д - образ точки Е.

Функция осуществляющая конформное отображение С, на г получается с помощью интегрирования (11).

ргЬг-\)( 1

-+1 -

4Л ^ 2 V * ' 412 1^-1 ) 4/

(12)

сЫ?.

Для вычисления силы, действующей на вихрь, необходимо найти —-(г0). При

йг

известных функциях —это можно сделать с помощью функций ¿2

аг аСь

1т^>0. Согласно (13) имеем

(14)

(15)

Отметим, что в силу (8) обе функции/и ^ аналитичны в полукруге |С|<1,

Тогда вычислим по правилу Лопиталя с учетом (13), (14):

шп1

аг *-«о 2-г0 2ё аС,

После преобразований получаем, что действительная часть величины силы в

безразмерном виде Ср = -4+ /4— равна константе, не равной нулю. Это означает, что

равновесных решений при обтекании вихря невесомой жидкостью по данной схеме нет. Этот вывод подтверждается и через уравнение Бернулли.

В пределе при р—>0 получается безотрывное обтекание. Рассматривая предельный случай р=-1+е+г'5 при е—»0, 5—>0 (вихрь удаляется на бесконечность вниз) получаем, что предельным течением является равномерный поток. Свободная поверхность прямолинейна.

Задача 4. Обтекание пластины под прямолинейной поверхностью.

Рассмотрим задачу об обтекании пластины с образованием вихря под прямолинейной поверхностью (рис.10).

А *

Рис. 10. Форма течения с вихрем под прямолинейной поверхностью

В этом случае

КО«*-

л

1п

1 + С 2С

(16)

1-е

Равновесное решение этой задачи отсутствует, поскольку Это также можно

объяснить с помощью уравнений Бернулли и изменения импульса.

В пределе прир—>0 получается безотрывное обтекание полубесконечной пластины под прямолинейной поверхностью. Для р=-1+е+г'8 при е—>-0, 8—»0 получим, что предельным течением является равномерный поток. В этом случае наличие жесткой прямолинейной поверхности А'1У не имеет значения, так как вместе со скоростью давление на верхней границе постоянно.

В разделе 2.3 решается основная задача о течении весомой жидкости со свободной границей. При решении используется видоизмененный метод Леви-Чивиты.

Функция является аналитической в полукруге 1т£>0, функцией, имеющей

нулевые значения мнимой части на горизонтальном диаметре 1т£=0, -1<Яе^<1 и

удовлетворяющей краевому условию (6) на полуокружности |<^|=1,1т<^>0.

При решении с помощью видоизмененного метода Леви-Чивиты функцию г(^) будем искать в виде суммы степенного ряда и некоторых функций, учитывающих заданные особенности в точках

(17)'

где - функция, отображающая полукруг на фигуру приближенно представляющую

область течения с боковым разрезом (рис.2)

= + 1л(1-<;2). (18)

я 1-<; л (£+1)''

Функцию будем искать в виде сходящегося степенного ряда с действительными коэффициентами

09)

т=1

Коэффициенты Ст подбираются так, чтобы выполнялось уравнение Бернулли (6). Функция введена для учета особенности решения при ¿¡=1 и выбрана по аналогии с решениями задач со свободной поверхностью весомой жидкости

= (20) 71 7С 1 ^

где а удовлетворяет уравнению а—^ а — = —- ,0<а<1. (21)

2 2 Fr

Гг2 Рг2 4 4

Из условий задачи найдено, что А:=1+-, Аг —-, А,-—А,--А,а + С, = 0.

4 2я я л

Для вычисления силы при решении задачи методом прямого конформного отображения вместо функции более удобно использовать ее выражение через и — из (13) (14):

= (22) <Ь & 2 (¿г^О?^'

где =

я

2^-р), у(и С,-р С-р

Численно задача решается методом коллокаций. В бесконечной сумме (19) сохраняется конечное число //слагаемых, а уравнение (6) выполняется в дискретных точках ат =7ют///,

т= 0, N. Для задачи о свободном вихре требуется также выполнение двух условий равенства нулю составляющих силы, действующей на вихрь.

Тем самым получается система нелинейных уравнений, которая решается численно методом Ньютона с регулированием шага. Оценка погрешности производится путем численной фильтрации значений параметров, полученных при последовательном возрастании N (глава 4).

Форма свободной поверхности и линии тока, разграничивающей основной поток я замкнутую вихревую зону, показаны на рис.11.

А' 13 У

\ \ -Г—а^ ®с \е в

А *

Рис. 11. Форма свободной поверхности и линии тока, разграничивающей основной поток и

замкнутую вихревую зону.

Число ^г при увеличении числа точек коллокаций N приближается к 2, а уА к 3. Эти значения могут бьпъ получены и из физических соображений.

Проведем исследование устойчивости свободного вихря. Для этого найдем зависимость Х(0)-Ке(Г/(г(р)~г{р0))) при р = р0+ге®, где ро — значение р, соответствующее свободному вихрю, 0<9<2гс. Результаты вычислений приведены на рис.12. Кривая 1 на рис.12 соответствует случаю фиксации точки схода границы вихревой зоны с пластины при изменении р. Кривая 2 на рис.12 соответствует случаю фиксированной величины циркуляции вихря у при изменении р. При этом условие (5) не выполняется.

Поскольку при устойчивом равновесии Яе(Г/(г(р) - г(р0))) < 0, то из результатов расчетов следует, что свободный вихрь и для данной задачи неустойчив.

Рис. 12. К исследованию устойчивости равновесного вихря Выясним, существуют ли решения, соответствующие Г1МР в задаче о течении весомой жидкости с наличием вихря.

При максимальном расходе

е--(!Г- <2з>

т.е. расход в Л раз больше, чем в предыдущем случае.

Для исследования возможности реализации этих соотношений в задаче с вихрем были проведены расчеты, в которых положение образа вихря изменялось во всей области определения (в верхнем полукруге В таблице 1 приведены численные значения отношения расхода (2 к максимальному (23). Значения в строках соответствуют значениям |р\ - У/10, в столбцах а^(р) = к/с/10.

Таблица 1.

Результаты расчетов £)/ (?тах с разным положением вихря

А* 1 3 5 7 9

1 0.977003 0.977327 0.977640 0.977787 0.977831

2 0.959044 0.968096 0.975963 0.978164 0.978391

3 0.866754 0.905902 0.957509 0.978519 0.979469

4 0.704116 0.769271 0.875328 0.973519 0.981214

5 0.521102 0.599991 0.719147 0.914551 0.983931

6 0.351597 0.436589 0.534107 0.719083 0.988198

7 - 0.298008 0.362871 0.453289 0.990420

Видно, что для Яе р > 0 (столбцы, соответствующие к<5) значения расхода не доходят до максимального. Увеличение 0 наблюдается при ]/?] —> 1 и аг§(р) близких к я. Однако при Яе р < 0 вихрь перемещается на нижнюю поверхность пластины, а при -—> 1 интенсивность вихря и размеры замкнутой вихревой области стремятся к бесконечности. В пределе при |_р|—>1 верхняя граница «размазывается» в пространстве, волновой склон

уходит налево в бесконечность. Образуется равномерное течение, как и в задаче о течении под прямолинейной стенкой, рассмотренной в предыдущем разделе. Аналогичные режимы, приводящие к равномерному потоку в задачах о течениях весомой жидкости над прямолинейным дном при Рг—>1 были известны ранее. Тем самым, это свойство можно считать характерным для течений весомой жидкости. Однако такое течение не может быть использовано для моделирования течения в центробежной форсунке.

В связи с этим наиболее близкими к реальности следует считать течения с малой зоной вихревого движения (верхняя строка табл. 1). При этом значения расхода близки к максимальному (отношение около 0.98), хотя другие параметры отличаются на более значительные величины (например, число Фруда 1.198 против 1, высота точки А 1.718 против 1.5 и т.д.).

Такой вывод не противоречит и имеющейся информации по другим задачам. Д.В. Маклаковым и Е.Р. Газизовым была решена задача о течении весомой жидкости над ступенькой. Задача имела единственное решение, которое по расходу почти совпадало с ПМР, но число Фруда при-этом было больше 1.

В третьей главе решается задача об обтекании пластины весомой жидкостью с образованием каверны (рис.13). В качестве модели замыкания каверны выбраны схемы Рябушинского и Тулина-Терентьева.

Рис. 13. Форма области течения на физической плоскости

А

В

¥ й

©

и

СЕ В

0 Ф

Рис. 14. Форма области течения на плоскости комплексного потенциала

Для решения используется функция Жуковского

1 (1*> .. 1

СО — ип--= / 1п-

Уо <Ь У0

сЫ>

(к

= 8 + г'т, х = 1п—.

При этом координаты точек определяются с помощью интегрирования

косв

В качестве параметрической области С, используется полукольцо (рис.!5).

(24)

(25)

-

л[/ (в С\ Е ЧШ

-1 -р 0 р q 1 Рис. 15. Плоскость изменения параметрического комплексного переменного

Найдем функцию, отображающую полукольцо плоскости £ на полосу плоскости комплексного потенциала (рис.14). Поскольку участкам АВ и СО горизонтальных радиусов полукольца С, соответствуют чисто действительные значения и>, функцию согласно

принципу симметрии, можно аналитически продолжить на кольцо плоскости С,. Тогда отображение £ на м> будем искать в виде суммы известной функции, имеющей особенности в точках С, = ±1 и сходящегося в кольце ряда Лорана:

И=1

(26)

Поскольку верхняя внутренняя полуокружность кольца плоскости С, является образом нижнего берега полосы плоскости то

,4от-2 . .

ас, тс

1 ^^_

1-Ц Цт=11-/>

Функцию ©(О для схемы Рябушинского представим в виде суммы

=©0(<;)+©,(<;)+о>2 (О.

Здесь

—31п С

(27)

(28). (29)

2 1-д

функция, имеющая особенности функции со(0 в точках ¿¡=<7 и ¿¡=-1.

Аналитическая в полукольце функция ©1(0 должна иметь чисто мнимые значения при действительных С,. Тогда ее можно аналитически продолжить на кольцо и искать в виде сходящегося ряда Лорана с действительными коэффициентами

т=—<ю

Слагаемое со2(С) введено для учета особенности решения в точке С, = 1:

где а определяется из решения уравнения (21).

Поскольку ю^) равна нулю при ¿¡=1 (точка!)), то

(30)

(31)

¿(4.+0-

т=1

При постоянной скорости на границе каверны должны выполняться равенства

(зз)

т ¿т к

Кроме того, должно выполняться условие замкнутости каверны

Ьп (ге^Ла = О. (35) _

о

Для решения задачи по схеме Тулина-Терентьева выберем со0(С) в виде

2V 2 ^-Р 1~Р ) Результаты решения представлены на рис. 16 кривой 3, практически совпадающей (разница в расходе существует в 5-м знаке, в числе Рг - в 4-м) с кривой 2, рассчитанной для схемы Рябушинского.

Рис. 16. Зависимость безразмерного расхода от величины, обратной числу кавитации: I - максимальный расход, 2 - решение с каверной по схеме Рябушинсокго, 3 — решение с каверной по схеме Тулина-Терентьева, 4 - расход при нулевой подсасывающей силе

Из всего сказанного следует, что наиболее реальными являются модели с образованием вихревых зон или каверн малого размера.

При этом в задачах о течении весомой жидкости или закрученной жидкости в форсунке расход очень близок к максимальному (разница составляет всего 2-3%). Но при этом само течение может отличаться очень сильно от «оптимального».

Тем самым, принцип максимального расхода в таких задачах можно считать справедливым (что соответствует известным экспериментальным данным), если воспринимать его только в отношении расхода. Но применение его при выборе конкретного течения из множества возможных может привести к существенной ошибке по другим параметрам.

Решение следует искать среди близких к оптимальному по расходу, но, возможно, далеких по конфигурации.

В четвертой главе предлагаются методы оценки погрешности с помощью численной фильтрации, которые заключаются в следующем. Зависимость погрешности от числа узлов коллокации п предполагается состоящей из суммы нескольких слагаемых, имеющих вид степенных или экспоненциальных функций. Численная фильтрация позволяет подавить одну или нескольких составляющих путем комбинации результатов расчетов, полученных при разных я. Эти методы используются для оценки погрешности и уточнения результатов вычисления, полученных в главах 2 и 3.

На рис.17 приведены результаты численной фильтрации рассчитанных значений числа

Рг, полученных в гл.2. На графиках по оси абсцисс отложены десятичные логарифмы числа п (рис. 17а) или числа п (рис.176), по оси ординат - десятичные логарифмы относительной погрешности. Результаты показывают, что вычисленные значения имеют относительную погрешность порядка 10~5, после фильтрации Ю^-Ю"8.

Рис. 17. Результаты оценки погрешности: а) с равновесным вихрем, б) безотрывное течение

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ И РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Построены и исследованы математические модели течения в центробежной форсунке с образованием вихря и каверны (по двум схемам) вблизи кромки пластины. Найдено распределение скоростей в течениях.

2. Показано, что существует множество решений, отвечающих ПМР точно или приближенно (в пределах 2-3%), если рассматривать ПМР как требование реализации течений с максимальным расходом. Это справедливо как для течений с вихрем, так и для кавитационных.

3. При этом течения, удовлетворяющие этому условию, могут существенно различаться. Так, точному выполнению условия ПМР (Fr-»1) в задаче с вихрем соответствует предельное течение, представляющее собой плоскопараллсльный поток. Другие течения, приближенно отвечающие ПМР, приближаются к безотрывному обтеканию пластины. Число Фруда и другие параметры при этом могут отличаться от полученных с помощью ПМР на 15% и более.

4. Этот вывод не противоречит экспериментальным данным, так как отличие расхода от максимального не превышает нескольких процентов и находится в пределах погрешности эксперимента. Такой вывод не противоречит и имеющейся информации по другим задачам.

5. Решения со свободным вихрем могут существовать в разных задачах, но все они неустойчивы.

ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ ОПУБЛИКОВАНЫ СЛЕДУЮЩИЕ РАБОТЫ

1. Шерыхалина Н.М., Ошмарин A.A. Численная фильтрация дапных, искаженных нерегулярной погрешностью (статья) / Вестник УГАТУ, 2006. № 3. -С. 193-201.

2. Ошмарин A.A., Шерыхалина Н.М. О применимости "принципа максимального расхода" при исследовании течений в центробежной форсунке (статья) / Ошмарин A.A., Шерыхалина Н.М / Нефтегазовое дело -Электрон, журн. - 16.08.2006. Режим доступа: http://www.ogbus.rn/authors/OshmarinyOshmarin_l .pdf.

3. Федорова Г.И., Розенман A.A., Ошмарин A.A. Движение диполя параллельно дну в ограниченной струе весомой жидкости (статья на англ. яз.) / Материалы межд. летней

научной школы "Гидродинамика больших скоростей" (HSH -ГБС 2002). 16-23 Июня, 2002. Чебоксары, Россия, -с. 365-368.

4. Ошмарин A.A. Уточнение и обоснование результатов вычислений путем ускорения сходимости последовательностей / Интеллектуальные системы управления и обработки информации: Материалы Всеросс. Молодежи, научн.-техн. конф. Уфа, 3-4 декабря 2003г. - С. 73.

5. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Ошмарин A.A. Обтекание весомой жидкостью щита с образованием вихря (тезисы доклада на англ. яз.) / Ргос. of 7th US Nat. Congress on Computational Mechanics (USNCCM7), Альбукерке, США, 28-30 Июля, 2003, -с. 132.

6. Шерыхалина Н.М., Ошмарин A.A., Утюжников С.В Численное моделирование потока жидкости с образованием вихря (статья на англ. яз.) / Материалы 5-й межд. конференции. "Компьютерные науки и информационные технологии" CSIT2003. т. 1. Уфа, Россия, 2003. -с. 199-204.

7. Шерыхалина Н.М., Ошмарин A.A. Задача об обтекании вихря в круглом канале (статья) / Принятие решений в условиях неопределенности: Межвуз. науч сб. -Уфа: УГАТУ. 2003. -с. 65-72.

8. Розенман A.A., Ошмарин A.A. Программно-исследовательский комплекс для решения задач вычислительной механики (статья) / Снежинск и наука — 2003: Сб. науч. трудов межд. науч. конф. -Снежинск: СГФТА, апрель 2003. -с. 175.

9. Розенман A.A., Ошмарин A.A., Морозов Программно-исследовательский комплекс для численного решения задач вычислительной механики (статья на англ. яз.) / Материалы 5-й межд. конференции. "Компьютерные науки и информационные технологии" CSIT'2003, т. 2, Уфа, Россия, 2003. -с. 32-34.

10. Шерыхалина Н.М., Ошмарин A.A. Обтекание щита весомой жидкостью с образованием свободного вихря (статья) / Гидродинамика больших скоростей: Матер. 2-й межд. науч. школы-сем. Чебоксары, 27 июня — 3 июля 2004. -с. 136-139.

11. Шерыхалина Н.М., Ошмарин A.A., Федорова Г.И., Утюжников C.B. Техническое обеспечение верификации численных результатов (статья на англ. языке) / Материалы 6-й межд. конференции. "Компьютерные науки и информационные технологии" CSIT'2004, т. 2, Будапешт, Венгрия, 2004. -с. 149-152.

12. Ошмарин A.A., Шерыхалина Н.М. Течение весомой жидкости вблизи щита при наличии свободного вихря вблизи кромки (статья) / Вузовская наука - России: Матер, науч. практ. конф., часть 1. Набережные Челны, 30 марта— 1 апреля 2005. -с. 20-22.

13. Ошмарин A.A., Шерыхалина Н.М., Утюжников С.В Устойчивость свободного вихря в потоке весомой жидкости, (статья на англ. яз.) / Материалы 7-й межд. конференции. "Компьютерные науки и информационные технологии" CSIT'2005, т. 1, Уфа, Россия, 2005. -с. 149-151.

14. Ошмарин A.A. Осесимметричная задача о течении закрученной жидкости в трубе (статья) / Мавлютовские чтения: Сб. тр. Росс. науч. техн. конф., том IV. Уфа, 20-22 марта 2006. -с. 90-94.

15. Ошмарин A.A. Плоские и осесимметричные потенциальные течения со свободной поверхностью при наличии вихря (статья) / Гидродинамика больших скоростей: Матер, докл. 3-й межд. летней научной школы. Кемерово, 22 - 28 июня 2006. -с. 441 -445.

16. Житников В.П., Зиннатуллина O.P., Шерыхалина Н.М. Ошмарин A.A. Применение численной фильтрации как средства уточнения результатов вычисления и оценки погрешности (статья) / Гидродинамика больших скоростей: Матер, докл. 3-й межд. летней научной школы. Кемерово, 22 - 28 июня 2006. -с. 73-77.

ОШМАРИН Алексей Александрович

ПРИМЕНЕНИЕ ПРИНЦИПА МАКСИМАЛЬНОГО РАСХОДА В ЗАДАЧАХ ГИДРОДИНАМИКИ, СОДЕРЖАЩИХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТЬ

01.02.05—Механика жидкости, газа и плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 21.11.2006. Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Печать плоская. Гарнитура Тайме. Усл. печ. л. 1,0. Усл. кр.-отт. 1,0. Уч.-изд. л. 0,9. Тираж 100 экз. Заказ № 594.

ГОУВПО Уфимский государственный авиационный технический университет Центр оперативной полиграфии 450000, Уфа-центр, ул. К.Маркса, 12

Введение

Глава 1. Общая постановка задачи и обзор литературы

1.1. Осесимметричная задача

1.2. Плоская задача 23 Применение закона изменения импульса 24 Применение принципа максимального расхода

1.3. Кавитационное обтекание 26 Явление кавитации. Постановка задачи 26 Различные схемы кавитационного обтекания пластинки

Глава 2. Обтекание щита весомой жидкостью с образованием вихря

2.1. Постановка задачи о течении с образованием вихря 41 Граничные условия 41 Комплексный потенциал

2.2. Частные задачи

2.2.1. Обтекание вихря в полукруглом канале

2.2.2. Обтекание вихря в круглом канале

Исследование устойчивости свободного вихря в потоке жидкости

2.2.3. Обтекание вихря невесомой жидкостью под свободной поверхностью

2.2.4. Обтекание полубесконечной пластины, расположенной под прямолинейной поверхностью

2.3. Решение задачи о течении весомой жидкости 66 Решение видоизмененным методом Леви-Чивиты 66 Алгоритм решения 69 Числовые результаты 70 Применение принципа максимального расхода

2.4. Выводы к главе

Глава 3. Обтекание щита весомой жидкостью с образованием каверны

3.1. Комплексный потенциал

3.2. СхемаРябушинского 78 Алгоритм решения

3.2. Схема Тулина-Терентьева

Что происходит в зоне кончика пластины

3.4. Выводы к главе

Глава 4. Численная фильтрация. Уточнение результатов вычисления и оценки погрешности

4.1. Метод минимизации дисперсии ожидаемой погрешности (обобщение метода наименьших квадратов)

Общий случай

Численная фильтрация

4.2. Средства повышения достоверности 103 Критерий размытости оценки 103 Визуализация результатов экстраполяции

4.3. Примеры применения фильтрации

Оценка погрешности результатов, полученных в

главах 2 и 3 4.4. Выводы к главе 4 Заключение Литература

Одной из основных проблем современной науки является проблема повышения эффективности методов математического моделирования, разработка средств оптимального сочетания аналитических решений и вычислительного эксперимента. В этом направлении одной и важнейших задач является задача разработки средств контроля и доказательства достоверности получаемых результатов, учет всех известных источников неадекватности, начиная с формализации и постановки задачи и кончая анализом результата.

С развитием науки и техники, возрастающие потребности инженерной практики в математическом моделировании сложных объектов приводят к необходимости рассматривать задачи, аналитическое решение которых представляет большие трудности. В последние годы рост быстродействия и доступности вычислительной техники дали возможность широко использовать методы численного решения таких задач. Однако возможности этих методов используются не полностью и не всегда ясны. Особый интерес имеет разработка численно-аналитических методов решения задач.

Численные методы дают возможность визуализировать решения, если представить их в наглядном для исследователя графическом или табличном виде. Численное исследование помогает определить различные типы решений, а также установить предельные конфигурации. В результате этих исследований возможно построение классификации решений и описательной модели взаимосвязи различных конфигураций. Таким образом, информация о задаче принимает удобный вид для ее восприятия и использования в различных исследованиях.

Также необходимо отметить и проблемы, возникающие при использовании численных методов. Решения, полученные с помощью сложных численных алгоритмов и программ, вызывают сомнения с точки зрения точности и достоверности, в особенности это касается задач, не имеющих аналогов. Существуют различные численные методы верификации решений, например, сравнение с решениями, полученными другим способом или другим автором, последовательное дробление шага, повышение степени полиномов и т.д. Это требует дополнительных затрат машинного времени, которые велики и непропорционально быстро растут с увеличением сложности и размерности задач. Большой объем вычислений, в свою очередь, затрудняет детальное исследование задач, что приводит к появлению массы работ частного характера, не дающих достаточно полных сведений о задаче, и вызывает необходимость повторных исследований.

Никаких резких перемен кардинального решения этих проблем в ближайшее время не предвидится. Потребности практики растут быстрее, чем быстродействие ЭВМ, появляется острая необходимость решать задачи в реальном масштабе времени, растут размерность задач и их математическая сложность. Это требует досконального анализа имеющихся возможностей, упорядочения процесса исследования, исключения повторов, поиска путей безболезненного упрощения задач и т.д.

Этим целям служат принципы последовательности и системности исследований. Во-первых, необходимо изучать сначала простые задачи, а затем на их основе - более сложные. Во-вторых, при параметрическом исследовании не ограничиваться каким-либо узким диапазоном исходных параметров, а развивать эти исследования вплоть до естественных предельных значений вверх и вниз. В-третьих, решать задачи экономнее не по одной, а целыми комплексами, то есть группами близких по физической или математической постановке задач.

Предшествующее исследование более простых задач уменьшает объем работ по отладке программ и вероятность получения недостоверных результатов, облегчает решение методических вопросов по планированию и оценке объема исследований, в некоторых случаях позволяет качественно предсказать результаты исследований. При этом ответы на многие вопросы могут быть получены более простым и экономным способом.

Поиск предельных решений при численном исследовании может проводиться путем анализа "предпредельных" ситуациий, формирования гипотезы (экстраполяции) и последующей проверки с помощью самостоятельного поиска предельного решения. Такое определение предела не является математически строгим, поэтому здесь возможны ошибки. Однако достоверность этих результатов может быть существенно повышена исследованием пределов по различным параметрам и их взаимосвязи (замыканием множества решений задачи). Эта процедура требует определенных затрат машинного времени и собственного времени исследователя, но дает возможность провести обоснованную систематизацию решений, изучить задачу с необходимой полнотой, избежав слишком подробного пошагового изменения параметров. Тем самым удается исключить необходимость повторов и подготовить базу для решения более сложных задач.

При решении комплекса задач предполагается включение в него взаимосвязанных по какому-либо параметру задач различной сложности, для которых разрабатывается общее программное обеспечение. Частным случаем такого комплекса является задача в совокупности со своими предельными конфигурациями. В комплекс могут входить также задачи, имеющие аналитические решения, что облегчает проверку программ и достоверности результатов. При этом, чем больше задач в комплексе и чем больше взаимосвязей между ними, тем меньше вероятность не обнаружить ошибку и тем меньше время, необходимое на формирование, отладку программы и исследование каждой задачи.

Развитие вычислительной техники дает возможность не только использовать ее как дополнение к аналитическим методам, но и выполнять некоторые функции, присущие анализу (например, исследование вопроса о существовании решения). Однако, эффективное применение ЭВМ возможно, как правило, лишь при дополнительных аналитических исследованиях, после приведения расчетных формул к удобному для вычислений виду и после разработки соответствующих вычислительных алгоритмов.

В диссертационной работе рассматривается приложение аналитических и численно-аналитических методов к построению математических моделей течений идеальной весомой жидкости. Данные задачи имеют ряд важных практических приложений в тех областях исследований, где вязкостью жидкости можно пренебречь, например, кавитационные течения, течения воды в гидротехнических сооружениях, а также течения различных жидкостей в технических устройствах, таких как центробежные форсунки. Подробную библиографию работ, посвященных этой теме, можно найти в монографиях [3, 11].

В гидродинамике понятие неопределенности («гидродинамической неопределенности») связывается с существованием множества решений задач, которые построены с помощью модели «идеальной жидкости». В качестве примера можно указать на неопределенность выбора точки отрыва свободной поверхности от гладкой поверхности обтекаемого тела [11]. В данной работе изучаются проблемы, порожденные такой неопределенностью и приводящие к необходимости выбора подхода к решению задачи о течении жидкости в центробежной форсунке (см. гл. 1).

В первой главе диссертации рассматривается выполнимость «принципа максимального расхода» (ПМР), входящего в открытие Г.Н. Абрамовича, Л.А. Клячко, И.И. Новикова и В.И. Скобелькина «Закономерность расхода жидкости в закрученном потоке» [1, 2, 13, 24, 45], в задаче о течении весомой жидкости с наличием вихря на основе дискуссии между Луговцовым Б.А. [31, 32] с одной стороны и Г.Ю. Степановым [46] с другой стороны о проблеме всеобщей применимости ПМР в центробежных форсунках, водосливах и других аналогичных течениях.

Незавершенность этой дискуссии, связанная с отсутствием теоретического обоснования разных подходов, исследований конкретных течений путем решения гидродинамических задач обуславливают актуальность диссертационной работы.

Рассматриваются два принципа расчета (на основе ПМР и на основе закона изменения импульса) относительно задачи течения идеальной невязкой весомой несжимаемой жидкости вдоль полубесконечной пластины с изломом и образованием вихря вблизи излома.

Задачи решаются в плоской и осесимметричной постановках.

В §1.1 решается осесимметричная задача течения идеальной невязкой несжимаемой жидкости в трубе, закрученной вдоль оси симметрии х. Расчет проводится на основе закона изменения импульса по схеме предложенной Луговцовым Б.А. [31,32] и на основе ПМР. В результате получается однозначная зависимость Я{=А[1 от Я2 (на основе закона изменения импульса), которая существенно отличается от зависимости Г.Н. Абрамовича

О 7? на основе ПМР), где А - параметр закрутки, ¡л = —п /= —. пЯ 42В Я

В § 1.2 рассматривается выполнимость ПМР в плоской задаче о течении весомой жидкости с наличием вихря. Находится расход жидкости на основе закона изменения импульса и на основе ПМР. Результаты сравниваются.

Вторая глава посвящена решению задачи о течении идеальной невязкой весомой несжимаемой жидкости вдоль полубесконечной пластины с изломом и образованием вихря вблизи излома. С одной стороны поток ограничен свободной поверхностью.

В §2.1 делается постановка задачи о течении с образованием вихря. Описываются граничные условия и вводится формула, определяющая область течения на плоскости комплексного потенциала.

В §2.2 проводится исследование решения частных задач при обтекании вихря потоком весомой и невесомой жидкости при различных областях течения на плоскости параметрического переменного. Также исследуется устойчивость свободного вихря в потоке весомой жидкости. Рассматривается задача об обтекании вихря невесомой жидкостью под свободной поверхностью.

В §2.3 рассматривается численное решение общей задачи о течении весомой жидкости. При решении используется видоизмененный метод Леви-Чивиты. Численно задача решается методом коллокаций. В результате численного эксперимента получаем, что число ¥г при увеличении числа точек коллокаций приближается к 2, а уА к 3. Эти значения могут быть получены из физических соображений. Также следует отметить, что некоторые результаты расчетов подтверждаются аналитически. Для оценки погрешности других численных данных применяется методика численной фильтрации, изложенная в гл. 4.

Рассматривается применимость ПМР в задаче о течении весомой жидкости с наличием вихря при различных положениях вихря.

Третья глава посвящена решению задачи об обтекании весомой жидкостью пластины с образованием каверны.

В §3.1 дается постановка задачи, объясняется выбор схемы кавитационного обтекания. Рассматривается решение задач методом с использованием функции Жуковского. В §3.2 рассматривается решение задачи с образованием каверны по схеме Рябушинского, в §3.2 - по схеме Тулина-Терентьева.

В §3.4 объясняется существование конечной подсасывающей силы, действующий на поток со стороны пластины при безотрывном обтекании.

Четвертая глава посвящена численной фильтрации, как методу уточнения результатов вычисления и оценки погрешности.

В §4.1 рассматривается метод минимизации дисперсии ожидаемой погрешности (обобщение метода наименьших квадратов) и решается основанная на этом методе задача численной фильтрации. Решение задачи численной фильтрации есть последовательное устранение степенных слагаемых суммы с помощью вычисления линейных комбинаций результатов, полученных для различных наборов узловых точек.

В §4.2 на основе априорной информации о неизвестной составляющей погрешности предложен критерий применимости фильтрации.

Вводится понятия критерия размытости оценки и критерия принятия оценки. А также рассматривается способ визуализации результатов экстраполяции и оценки погрешности в виде, удобном для проведения фильтрации в интерактивном режиме, и принятия решения о достоверности оценки на основе совместного анализа совокупности полученных путем экстраполяции данных.

В §4.3 приводятся примеры применения численной фильтрации для обработки результатов, полученных различными численными методами.

Таким образом, целью работы является анализ возможных течений в центробежной форсунке путем решения плоских модельных задач, проверка выполнения ПМР.

Для реализации поставленной цели требуется следующее:

1. Решить ряд задач с образованием вихря или каверны вблизи точки отрыва потока от стенки.

2. Выявить решения, точно или приближенно удовлетворяющие ПМР.

3. Найти решения со свободным вихрем. Исследовать устойчивость таких решений.

На защиту выносятся следующие результаты исследований, являющиеся новыми:

• Математическая модель течения в центробежной форсунке.

• Множество решений, точно или приближенно удовлетворяющие ПМР.

• Решения со свободным вихрем в ряде задач, включая задачу о течении весомой жидкости со свободной поверхностью.

• Результаты проверки устойчивости решений со свободным вихрем.

Практическая ценность

Автором разработаны алгоритмы и программы решения задачи нахождения гидродинамических характеристик течения жидкости в центробежной форсунке на основе ПМР, получены численные результаты, которые могут быть практически использованы в инженерных расчетах.

Работа проводилась по тематике госбюджетных научно-исследовательских работ Уфимского государственного авиационного технического университета: «Создание математических моделей естествознания», «Исследование взаимосвязи вычислительных алгоритмов и архитектур высокопроизводительных вычислительных систем».

Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ в рамках курсов «Вычислительная математика» и «Прикладное математическое моделирование».

Основные материалы диссертации опубликованы в работах автора [38, 39] и в соавторстве [19, 40, 41, 43, 59-61, 72, 74, 75, 83]. В работах [19, 38-41, 43, 59-61, 72, 74, 75, 83] диссертанту принадлежат разделы, касающиеся разработки численно-аналитических методов и решения плоских задач обтекания полу бесконечной пластины потоком жидкости с образованием вихря и каверны, а также задачи оценки устойчивости равновесного вихря.

Основные результаты докладывались на международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2002), на международной научной конференции «Современные проблемы атомной науки и техники» (Снежинск, 2003), на международной конференции «7th US National Congress on Computational Mechanics (USNCCM7)» (Albuquerque, USA, 2003), на международном семинаре «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT'2003 (Уфа, 2003), на Всероссийской Молодежной научно-технической конференции «Интеллектуальные системы управления и обработки информации» (Уфа, 2003), на второй международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей» (Чебоксары, 2004), на международном семинаре «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT'2004 (Будапешт, 2004), на всероссийской научно-практической конференции "Вузовская наука - России" (Набережные Челны, 2005), на международном семинаре «Вычислительная техника и информационные технологии» CSIT'2005 (Уфа, 2005), на всероссийской научной конференции «Мавлютовские чтения» (Уфа, 2006), на международной летней научной школе «Гидродинамика больших скоростей и численное моделирование - 2006» (Кемерово, 2006).

14

Результаты работы использованы в учебном процессе УГАТУ в рамках курсов «Вычислительная математика» и «Прикладное математическое моделирование».

Автор выражает признательность своим научным руководителям: профессору Житникову Владимиру Павловичу и доценту Шерыхалиной Наталии Михайловне за большое внимание и помощь в работе.

Диссертант и его научные руководители сожалеют о кончине Георгия Юрьевича Степанова, без кого не могла состояться данная работа.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации были рассмотрены задачи потенциального течения весомой жидкости вокруг полубесконечной пластины с образованием вихревых зон и каверн вблизи кромки пластины. Такими задачами моделируются течения закрученной жидкости в центробежной форсунке.

1. Абрамович Т.Н. Прикладная газовая динамика // М.: «физматгиз», 1953, изд. 2.

2. Абрамович Г.Н., Скобелькин В.И. О движении жидкости в центробежной форсунке // сборник «Технические заметки». ЦИАМ, 1948. №17, С. 35-42.

3. Биркгоф Г., Сарантонелло Э. Струи, следы и каверны. М.: Мир. -1964.-466 с.

4. Вишневский В.А., Котляр Л.М., Терентьев А.Г. Влияние сил тяжести в задачах кавитационного обтекания препятствий // Вопросы прикл. матем. и мех. Чебоксары: Чуваш, ун-т. - 1974. - Вып.З. -С.9-24.

5. Газизов Е.Р. Потенциальные течения жидкости в открытых каналах: задачи гидромеханики и электрохимии. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань: КГУ. 2000. - 107 с.

6. Газизов Е.Р. Потенциальные течения жижкости в открытых каналах: задачи гидромеханики и электрохимии. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Казань: КГУ. 2000.

7. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. -М.: Наука, 1966. -450 с.

8. Гилбарг (Джильберг) Д., Серрин Д. Свободные поверхности и струи в теории кавитации: Пер. с англ.— Механика, период, сб. перев., 1951, №2.

9. Гузевский Л.Г. Кавитационное обтекание пластины в поперечном поле силы тяжести // ПМТФ. Новосибирск. - 1971. - №15. - С. 132-136.

10. Гузевский Л.Г. Обтекание препятствий потоком тяжелой жидкости конечной глубины // Динамика слошной среды с границами раздела. Чебоксары: Чуваш, ун-т. - 1982. - С. 61-69.

11. Гуревич М.И. Теория струй идеальной жидкости. М.: Наука. -1979.- 536 с.

12. Гусев В.А., Терентьев А.Г. Об обтекании пластины с развитойкавитацией.— В кн.: Вопросы гидродинамики и низкотемпературной плазмы.— Чебоксары: изд. Чувашек, гос. ун-та, 1970.

13. Диплом №389 от 18.10.90. Закономерность расхода жидкости в закрученном потоке/ Г.Н. Абрамович, JI.A. Клячко, И.И. Новиков и В.И. Скобелькин // Бюллетень изобретений и открытий. 1991. № 19. с.2

14. Егоров И.Т., Садовников Ю.М., Исаев И.И., Васин М.А., Искусственная кавитация.—JL: Судостроение, 1971.

15. Житников В.П., Шерыхалина Н.М. Численно-аналитические методы решения задач об обтекании препятствий под поверхностью весомой жидкости с образованием солитона // Вычислительные технологии. 2000. Том 5, N 2. -С. 35-45.

16. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., Шерыхалин О.И. Исследование закритических режимов в нелинейной задаче о движении вихря под свободной поверхностью весомой жидкости // ПМТФ 2000, Т. 41, № 1. С. 70-76.

17. Житников В.П. Обобщение метода Леви-Чивиты для исследования плоских и осесимметричных течений с нелинейными условиями на неизвестных границах: Дисс. докт. физ.-мат. наук. Уфа. -1992.-314 с.

18. Житников В.П. Решение плоских и осесимметричных задач с помощью методов теории функций комплексного переменного. Уфа: УГАТУ. 1994. 106с.

19. Житников В.П., Шерыхалина Н.М. Методы верификации математических моделей в условиях неопределенности // Вестник УГАТУ. 2000.2. С. 53-60.

20. Житников В.П., Шерыхалина Н.М., УраковА.Р. Линейные некорректные задачи. Верификация численных результатов. Уфа, 2002. -90 с.

21. Жуковский И.Е. Видоизменение метода Кирхгофа для определения движения жидкости в двух измерениях при постоянной скорости, данной на неизвестной линии тока.— Матем. сборник, 1890, т. XV; см. также Собрание сочинений.

22. Зиннатуллина О.Р. Численно-аналитические методы решения осесимметричных задач Хеле-Шоу. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Уфа: УГАТУ. 2006.

23. Клячко JI.A. Вопросы гидравлики центробежных форсунок // Труды ЦИАМ, 1950. №195.

24. Кнэпп Р., Дейли Дж., Хэммит Ф. Кавитация: Пер. с англ.— М.: Мир, 1974.

25. Кузнецов A.B. Об одной схеме кавитационного обтекания.— Труды семинара по обратным краевым задачам, вып. 1.—Казань: изд. Казан, гос. ун-та, 1964.

26. Кузнецов A.B., Терентьев А.Г. Об одной схеме обтекания пластинки с частичной кавитацией,— Изв. вузов, Математика, 1967, № 7-8.

27. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука. - 1973. - 736 с.

28. Лаврентьев М.А. Вариационный метод в краевых задачах для систем уравнений эллиптического типа.— М.: Изд. АН СССР, 1962.

29. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Проблемы гидродинамики и их математические модели. М.: Наука. - 1977. - 407 с

30. Луговцов Б.А. О принципе максимального расхода // ПМТФ. -1991.-№4.

31. Луговцов Б.А. Определение основных параметров течения вцентробежной форсунке с помощью законов сохранения // ПМТФ. 1989. -№2.

32. Маклаков Д.В. Нелинейная теория докритических течений. Предельные режимы обтекания. Казань: Изд. КГУ. 1992. 48 с.

33. Маклаков Д.В. Нелинейные задачи потенциальных течений с неизвестными границами. М.: Янус-К, 1997.

34. Маклаков Д.В. Обтекание препятствия с образованием нелинейных волн на свободной поверхности. Предельные режимы // Изв. РАН. МЖГ. 1995. №2

35. Маклаков Д.В. Плоские нелинейные задачи безотрывного, кавитационного и волнового обтекания препятствий однородными и двухслойными потоками: Дисс. докт. физ.-мат. наук. Казань. - 1995. -231с.

36. Налимов В.И. Сверхкритическое течение из-под щита // ПМТФ.— 1989.-№2.

37. Ошмарин A.A. Осесимметричная задача о течении закрученной жидкости в трубе // Мавлютовские чтения: Сб. тр. Росс. науч. техн. конф., том IV. Уфа, 20-22 марта 2006. -С. 90-94.

38. Ошмарин A.A. Плоские и осесимметричные потенциальные течения со свободной поверхностью при наличии вихря // Гидродинамика больших скоростей: Матер., докл. 3-й межд. летней научной школы. Кемерово, 22 июня 28 июня 2006. -С. 441-445.

39. Режим доступа: http://www.ogbus.ru/authors/Oshmarin/Oshmarinl.pdf.

40. Ошмарин A.A., Шерыхалина Н.М. Течение весомой жидкостивблизи щита при наличии свободного вихря вблизи кромки // Вузовская наука России: Матер, науч. практ. конф., часть 1. Набережные Челны, 30 марта - 1 апреля 2005. -С. 20-22.

41. Перник А. Д. Проблемы кавитации.— JL: Судостроение, 1966.

42. Розенман A.A., Ошмарин A.A. Программно-исследовательский комплекс для решения задач вычислительной механики // Снежинск и наука 2003: Сб. науч. трудов межд. науч. конф. -Снежинск: СГФТА, апрель 2003.-С. 175.

43. Седов Л.И. Механика сплошной среды: В 2-х томах.— 3-е изд., перераб.— М.: Наука, 1976.

44. Скобелькин В.И. Теория и расчет центробежных форсунок // МАП, труды НИИ-1,1948, №17

45. Степанов Г.Ю. О статье Луговцова Б.А. «Определение основных параметров течения в центробежной форсунке с помощью законов сохранения» // ПМТФ. 1991. -№4.

46. Степанов Г.Ю., Зицер И. М. Инерционные воздухоочистители.— М.: Машиностроение, 1986.

47. Терентьев А. Г. К нелинейной теории кавитационного обтекания препятствий.—Изв. АН СССР, МЖГ, 1976, № 1.

48. Терентьев А. Г. Нелинейная теория кавитационного обтекания.— В кн.: Вопросы прикладкой математики и механики, вып. 5.— Чебоксары: изд. Чувашек, гос. ун-та, 1977.

49. Терентьев А. Г., Лазарев В. А. Кавитационное обтекание пластины ограниченным потоком. В кн.: Физико-технические проблемы.— Чебоксары: изд. Чувашек, гос. ун-та, 1969.

50. Терентьев А.Г. К линейной теории кавитационного обтекания препятствий // Вопросы прикладной математики и механики. Вып. 1. -Чебоксары: ЧТУ. - 1971. - С. 3-35.

51. Терентьев А.Г. Кавитационное обтекание плоской пластинки.—

52. Изв. вузов, Математика, 1964, № 6.

53. Терентьев А.Г. Обтекание наклонной пластинки в канале го схеме с параллельными стенами.— Изв. вузов, Математика, № 3, 1965.

54. Терентьев А.Г. Обтекание пластинки с частичной кавитацией.— Изв. вузов, Математика, 1970, № б, 112-118.

55. Туманова Е.Ю. Использование САЕ-системы FlowVision для исследования взаимодействия потоков жидкости в центробежноструйной форсунке // САПР и графика, 9 2005.

56. Упский М.В. Анализ работы центробежных форсунок. Дисс. канд. техн. наук. Владивосток: ДВГТУ. 1996.

57. Шерыхалин О.И. Методы оценки достоверности вычислительных экспериментов при математическом моделировании течений весомой жидкости. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Уфа: УГАТУ. 1997.

58. Шерыхалина Н.М. Математическое моделирование течений весомой жидкости со свободными поверхностями, индуцированных погруженным источником. Дисс. канд. физ.-мат. наук. Уфа: УГАТУ. 1996.

59. Шерыхалина Н.М., Ошмарин A.A. Задача об обтекании вихря в круглом канале // Принятие решений в условиях неопределенности: Межвуз. науч сб. -Уфа: УГАТУ. 2003. -С. 65-72.

60. Шерыхалина Н.М., Ошмарин A.A. Обтекание щита весомой жидкостью с образованием свободного вихря // Гидродинамика больших скоростей: Тез. докл. 2-й межд. науч. школы-сем. Чебоксары, 27 июня 3 июля 2004.-С. 136-139.

61. Шерыхалина Н.М., Ошмарин A.A. Численная фильтрация данных, искаженных нерегулярной погрешностью // Вестник УГАТУ, 2006. № 3. С. 193-201.

62. Эпштейн JI.A. Возникновение и развитие кавитации. Труды ЦАГИ, №655, 1948.

63. Эфрос Д.А. Гидродинамическая теория плоскопараллельных кавитационных течений.—ДАН СССР, н. с, 1946, т. 51, № 4.

64. Яцун С.Ф., Мищенко Е.В. Моделирование процесса движения жидкости в камере закручивания центробежной форсунки // механизмы и машины ударного, периодического и вибрационного действия: Матер, международного науч. симпозиума. Орел, 22-24 ноября 2000.

65. BetzA., Petersohn Е. Anwendung der Theorie der freien Strahlen.— Ing.-Archiv, 1931, Bd. 2.

66. Brillouin M. Les surfaces de glissement de Helmholtz et la resistance des fluides.— Arm. chemie et phys., 1911, t. 23.

67. Cisotti U. Idromeccanica piana.— Milano: 1.1, 1921; t. 2, 1922.

68. Gilbarg D., Rock H. H. NOL memo, 8718,1946.

69. Kelvin (Thomson W.). On the doctrine of discontinuity of fluid.— Nature, 1894, t. 50; Math, and Phys. Papers, 1910, v. IV.—Cambridge: 1910.

70. Kreisel G. Cavitation with finite cavitation numbers.— Admiralty Res. Lab. Rep. R l/H/36, 1946.

71. Numachi F.I., Chida J. Cavitation tests on hydrofoil profiles of simple form.— Report Inst. High Speed Mech. Japan, v. 9, 1958.

72. Oshmarin A.A., Sherykhalina N.M. Utyuzhnikov S.V. The Stability of a Free Vortex in a Gravity Fluid Flow. Proceedings of the 7-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT'2005, Vol. 1 Ufa, Russia, 2005. pp. 149-151.

73. Riabouchinsky D. On steady fluid motion with free surfaces.— Proc. London Math. Soc, 1920, v. 19, ser. 2 (изд. 1921 г.).

74. Sherykhalina N.M., Oshmarin A.A., Utyuzhnikov S.V. Numerical

75. Modeling of Flows with Vortex // Proceedings of the 5-th Workshop on Computer Science and Information Technologies CSIT'2003, Vol. 1, Ufa, Russia, 2003. pp. 199-204.

76. Sherykhalina N.M., Zhitnikov V.P. Application of extrapolation methods of numerical results for improvement of hydrodynamics problem solution // Computational Fluid Dynamics Journ. 2002, V. 11, N 2, pp. 155-160

77. Tulin M. P. Supercavitating flows-small-perturbation theory.— J. Ship. Res., 1964, v.7, №3.

78. Tulin M.P. Supercavitating flows-small-perturbation theory.— В кн.: Приложения теории функций в механике сплошной среды / Труды Международ, симп. в Тбилиси 17—23 сентября 1963 г. Т. 2,—'М.: Наука, 1965, с. 403—439.

79. Walchner О. Profilmessungen bei Kavitation.— Hydromechanische Probleme des Schiffsantriebs.— Hamburg: 1932.

80. Weinig F. Die Ausdehnung des Kavitationsgebietes.— Hydromechanische Probleme des Schiffsantriebs.—Hamburg: 1932.

81. Wu T.Y. A wake model for free-streamline flow theory. Part I.—J. Fluid Mech., 1962, v. 13, № 2; Part II.—J. Fluid Mech., 1964, v. 18, № 1.1

82. Zhitnikov V., Sherykhalina N., Oshmarin A.A. Gravity fluid flow past a board with appearance of a vortex // Book of Abstracts of 7th US National Congress on Computational Mechanics (USNCCM7), Albuquerque, USA, July 28-30, 2003, p 132.