Применение вероятностных методов в теории рядов Дирихле тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

рУ/

ВИЛЬНЮССКИМ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

ЛАУРИНЧИКАС АНТАНАС ПРАНОВИЧ

УДК 519.2-511.33

ПРИМЕНЕНИЕ ВЕРОЯТНОСТНЫХ МЕТОДОВ В ТЕОРИИ РЯДОВ ДИРИХЛЕ

01.01.05 - Теория вероятностей и математическая статистика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

ВИЛЬНЮС-1990

Работа выполнена в Вильнюсском университете

Официальные оппоненты:

1. Академик аН Лит.ССР, доктор физико-математических наук, профессор Б.И.Григелионис.

2. Доктор физико-математических наук, профессор А.В.Малышев.

3. Доктор физико-математических наук С.М.Воронин.

Ведущая организация - Ленинградский государственный университет

Защита состоится "__1990г. в_час.

на заседании Специализированного совета Д 061.01.06 при Вильнюсском университете по адресу: -232006, Вильнюс, ул.Нау-гардуко, 24, факультет математики, ауд.101.

С диссертацией могшо ознакомиться в научной библиотеке

Вильнюсского университета (ул.Университето, 3).

*

Автореферат разослан "_"_1990 г.

Ученый секретарь

Специализированного совета

ОЕЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Ряды Дирихле являются одним из основных инструментов, применяемых при решении многих теоретико-числовых задач. При этом чаще всего привлекаются свойства дзета-функции Римана и функций Дирихле. Более общие ряды Дирихле, в том числе ряды с мультипликативными коэффициентами, чрезвычайно полезны в вероятностной теории чисел при исследовании распределения значений арифметических функций.

Функции, представляемые рядами Дирихле, ведут себя весьма глоано. Все же оказывается, что в целом распределение значений этих функций подчинено некоторым закономерностям, для формулирования и доказательства которых могут быть применены вероят-«эстные термины и, методы. Поведение рядов Дирихле можно охарактеризовать путем изучения асимптотики их среднего значения ¡моментов), а также предельными теоремами теории вероятностей, задачей о среднем значении дзета-функции Римана занимались Г. Сарди и Дж.Литлвуд, А.Ингам, Е.К.Титчмарш, А.Сельберг, К.Рама-1андра, Д.Р.Хис-Браун, М.Ютила и многие другие авторы. Тем не (енее, до сих пор была известна асимптотика только второго и 1втвертого моментов дзета-функции Римана на критической прямой, I вблизи критической прямой результатов такого рода вообще не )ыло. Предельные теоремы, характеризующие частоту попадания качений логарифма дзета-функции Римана в данное множество в юлуплоскости , предсказанные Г.Бором (1922), были по-

[учены в работах Г.Бора и Б.Йессена (1930, 1932), Б.Йессена ш ..Винтнера (1935). Подобными задачами также занимались А.Сель -¡ерг, А.Гол, Е.М.Никншин, для [_, - функций Дирихле некоторая 1езультаты были получены П.Д.Т.А.Эллиотом, Э.Станкусом, Д.Деой-

нером.

. При использовании вероятностного подхода к теории рядов Дирихле важную роль мож т сыграть один из основных асимптотических методов .еории вероятностей-слабая сходимость мер в разных пространствах. Именно такой подход положен за основу в наших исследованиях. Слабая сходимость мер ло"воляет получить асимптотику моментов, в том числе и комплекснозначных, нормированной дзета-функции Римана вблизи критической прямой и на самой критической прямой. Следует также отметить полезность изучения слабой сходимости мер в пространстве аналитических функций с топологией равномерной сходимости на компактах. Из предельных теорем в этом пространстве могут быть выведены важные аналитические свойства рядов Дирихле (универсальность, существование нулей для производных).

Начиная с фундаментальных работ Г.Бора, основное внимание уделялось аналитическим свойствам дзета-функции Римана и [_, -рядов Дирихле. Более общие ряды Дирихле по понятной причине меньше изучены. Крупным достижением явилось открытие С.М.Ворониным (1975) свойства универсальности и его глубоких следствий для дзета-функции Римана и (_. - функций Дирихле. Возникла проблема расширить класс функций, обладающих свойством универсальности, искались новые пути доказательства (Б.Багчи). Роль катализатора в этом вопросе сыграла поставленная проф.й.Куби-люсом задача об описании аналитических свойств, связанных с асимптотическим поведением среднего значения коэффициентов рядов Дирихле. Изучение слабой сходимости мер в пространстве аналитических функний дало новый подход для доказательства универсальности рядов Дирихле.

Хорошо известно, что.всегда существует полуплоскость, в

которой функция, представляемая рядом Дирихле, не имеет нулей. Однако проблема существования нулей для данной функции всегда является очень сложной и важной, поскольку в применении рядов Дирихле к теоретико-числовым задачам определение областей, свободных от нулей этих рядов, оказывает существенное влияние на качество теоретико-числовых результатов. Как было замечено С.М.Ворониным, совместное свойство универсальности функций позволяет доказать существование нулей для некоторого класса рядов Дирихле. Применение слабой сходимости мер в пространство аналитических функций открывает возможность изучить распределение нулей для новых классов рядов Дирихле. При помощи указанного подхода можно доказать существование нулей в критической полосе производной дзета-функции Римана, что существенным образом дополняет известные результаты Е.К.Титчмарша, Б.Бернд-та, Р.Спиры и других математиков.

Цель работы. Цель настоящей работы состоит в том, чтобы на основе слабой сходимости вероятностных мер

1) дать полный спектр предельных теорем и асимптотики моментов для дзета-функции Римана и [, • - рядов Дирихле в полу-

А

плоскости 0-5- ;

2) изучить ряды Дирихле с мультипликативными коэффициентами, среднее значение которых имеет степенное понижение (получить предельные теоремы в пространстве аналитических функций, вывести свойЬтво универсальности, доказать существование нулей).

Основные результаты. К основным результата диссертации относятся:

I. асимптотика моментов нормированных дзета-функции Рима-

на и [_, - функций Дирихле вблизи критической прямой и на самой критической прямой.

2. Предельные теоремы для модуля дзета-функции Римана у [_, - функций Дирюсле вблизи критической прямой и на самой критической прямой.

.3. Предельные теоремы для дзета-функции Римана и (_, -функций Дирихле в комплексном пространстве.

4. Предельные теоремы для рядов' Дирихле с мультипликативными коэффициентами в пространстве аналитических функций.

5. Использование слабой сходимости мер :в пространстве аналитических функций для вывода свойства универсальности.

6. Применение слабой сходимости мер и универсальности > для доказательства существования нулей-новых классов рядов Дирихле.

7.' Установление существования нулей производной дзета-функции Римана в критической полосе.

Получены результаты могут быть применены в аналитической теории чисел при решении теоретико-числовых задач с использованием рядов Дирихле.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах по теории вероятностей и теории чисел Вильнюсского университета, на конференциях Литовского математического общества, на семинарах по теории вероятностей и теории чисел Математического института им.В.А.Стеклова, ЛОМИ АН СССР и Московского университета, на семинарах университетов Франции (Париж, Бордо, Страсбур, Лимож), на международных конференциях в Вильнюсе (1977, 1961, 1985, 1989), на всесоюзной школе по теории чисел в Душамб.е (1977), н& всесоюзной конференции "Теория трансцендентных чисел и.ее приложения" в Москве (1983)

на всесоюзной конференции "Теория чисел и'ее гриложения" в Тбилиси (1985), на первом всемирном конгрессе им.Бернулли в Ташкенте С19У6), на всесоюзной школе "Конструктивные метода и алгоритми теории чисел" в Минске С1989).

Публикации. Iio теме диссертации опубликовало двадцать девять печатных работ.

Объем и структура, диссертации. Диссертация состоит из введения, пяти глав, разделенных на параграфа, и списка литературы. Полный объем работы 280 страниц, библиография - 94 названий.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ РАБОТЫ

Во введении даются постановка задач, исследуемых в диссертации, краткий обзор литературы и обзор полученных результатов.

Содержание главы I. Пусть s =(T+ii - комплексная переменная, ^Qs) - дзета-функция Римана. В главе I доказыва-отся предельные теоремы для модуля функции в п. лу-

хяоскости . В §1.1 дается простое доказательство •

предельной теоремы для . при фиксированном сг>~- .

1усть - мера Лебега множества А , а

= ф тла.s^ie » ГД0 вместо многоточия указы-

зается условие, которому удовлетворяет . Методом характе-зистических функций доказана следующая теорема.

Теорема I.i.I. Пусть сг> . Тогда при Т~^ 00

Дj

функция распределения

слабо сходится к некоторой функции распределения.

Основной внимание в главе I уделяется случаю, когда

0"= сг£т)4-+ О или же С=~~ . Оказывается, что

Л»

в этом случае нужна степенная нормировка, т.е. следует рассматривать функцию распределения

где Ь(Т) —> 0 , когда

оа' . В §1.2 доказывается,

что функция распределения

не может слабо сходиться, когда Ч7—>■ оо , к никакой функг ции распределения. Это легко вытекает из следующего результата. ЛустЬ- В(Т) >0 и

С*)-\4"Г0>

0J

Теорема 1.2.1. Функция распределения

фсгЫ^)]^*),

когда оо , слабо сходится к £ (^х) тогда и только тогда, когда

р. ЬЪСТ) ' •

Важную роль при доказательстве предельных теорем для рядов Дирихле, в том числе и для ^ - функции, играют момен-

ты этих рядов, а при изучении моментов используется асимптотика полиномов- Дирихле

' V1 я о*-) «л

с мультипликативными коэффициентами ^6*0 » где О^. >4 и 0>ц \ , когда Т^ 00 • §1.^ главы I посвящен асимптотике таких полиномов Дирихле. Пусть ^ С>п) —

Т, мультипликативная функция,

при Т > То и для всех простых = ^ ЭС

Здесь оо , когда Т-> , а

некоторая функция двух параметров. Пусть

р Г «¿-о г

3 - величина, ограниченная константой, ~ не-

полная гамма-функция. При помощи контурного интегрирования получена следующая теорема.

Теорема 1.3.2. Пусть <з"т > Л » С"т -=»- <{ и И , когда Т-^ оо . Тогда равномерно по Т"гТ0 и ' в

области 15с| С < 4

■ V1 _ НМ , », ВПу'"'

, ■[,/ Л , ' В Б

Здесь £Т<ПГ и , когда Т—* 00

Результаты §1.3 используются для получения асимптотики моментов дзета-функции Римана вблизи критической прямой. П; ль 0<£т £ &гТ и Ьр-ъ-оо , а Фт >0 , и

, когда Т-> схэ . Еще положим

¿Г ; ^ТгЖТЗТТ'

где к > 0 , а [и.Д - целая часть числа ¡Л , Пусть

- фиксированное положительное число и

Т Т

Х^ т) - ^ (

О

Основным--результатом §1,4 является следующая теорема.

Теорема 1.4.2. Пусть Т ^ Т0 . Тогда равномерно по '

Здесь

"ЧТ

При доказательстве теоремы 1.4.2 основную роль играют теоремы выпуклости для интегралов.

Ь §1.5 указывается подход для изучения асимптотики с оценкой остаточного члена величины • где

^ '=■ Оь-ЬТ] • в предположении справедливости гипотезы Римана .

Теорема 1.5.3. Пусть Т ^ Те . Если справедлива гипотеза Римана,"то тогда

В §1.6 теорема 1.4.2 используется для доказательства предельной теоремы для модуля ^ - функции Римана вблизи критической прямой. Из теоремы 1.4.2 вытекает, что равномерно

ю &€.[&<[•,&Л ' о

Этсюда нетрудно перейти к "урезанным" логарифмическим моментам ¿¡^ - функции, с помощью асимптотики которых уже можно юлучить предельную теоюеиу о сходимости к функции

ф(^-х)^ Х>0} *

О } Х.40-

Теорема 1.6.1. При Т—с*3 • функция распределения

А

:ходится к функции 660 .

Из этой тгэремы вытекает асимптотика•комплекснозначных юментов ^ - функции Римана вблизи критической прямой.

Следствие 1.6.1. Пусть Т—> • Тогда равномерно

относительно ТГ в любом конечном интервале

О

В §1.7 при помощи пространств аналитических функций с топологией равномерной сходимости на компактах зона действия теоремы 1.6.1 продолжается до критической прямой СГ— . Пусть 4 (У £ СГ^ , где в определении Сгт £т= , Теорема 1.7.1. При Т-*- <х> функция распределения

СХОДИТСЯ К функции б(х) . гт—,-, 1

Ф * \ £ п, 1 . ^г У&&.Т

Таким образом, в полосе 4 СГ 4 — + -- с

Л Л . Ы I ~ - .

одной и тоР ке нормировкой имеем предельный закон оС^ ..

Отмечаем, что из теоремы т.7.1 следует асимптотика моментов нормированной дзета-функции Римана на критической прямой без применения каких-либо гипотез.

Следствие 1.7.2. Цусть -1- £ СГ £ СГТ , ¿р-^Т и <ю . Тогда для всякого 1с "г О

Т I £

\ .«е * + о60. 0)

о

Существует гипотеза, что для.всех

Эту гипотезу потвердили Г.Харди и Дк.Литлвуд (1918) для

а А.Ингам (1926) ¿е доказал для А. . Таким образом, со-

I

отношение (1)-потверждение гипотезы при —- ... .

и Ш

Для комплекснозначных моментов в полосе ^ сг^ ст , ¿у1 Ш') имеет место аналог следствия 1.6.1 (следствие 1.7.1).

Содержание главы II. Так как - комплексноз-

начная функция, то распределение ее значений более точно характеризуется при помощи предельных теорем в комплексном пространстве С • Предельным теоремам для в пространстве С и посвящена глава II.

Пусть - класс борелевских множеств пространства

^> . лсно, что изучение слабой сходимости мер на(С^СС^ может быть заменено изучением слабой сходимости мер на

^(^Д"1)) • • Считывая последнее замечание, мето-

дом характеристических функций в §2.1 дрказывается предельная

А

теорема в случае фиксированного СГ >

Теорема 2.1.1. Пусть сг> — . Тогда на (С, 3СО) существует вероятностная мера Р такая, что мера

когда Т—, слабо сходится к Р .

Следует отметить, что доказательство теоремы 2.1.1 является совершенно простым, в нем не применяется сложная техника работ Г.Бора и Б.йессена.

Когда с= <5(у)—— +0 , то и в комплексном случае, нужна степенная нормировка. -В этом случае уже удобнее пользоваться методом Характеристических преобразований. Напоминаем, что характеристическим преобразованием вероятностной мерн Р на (С,ЗСО) называется функция » определяемая

следующим образом: . ;

см

Здесь те Я , LeZ . Свойства характеристических преобразований аналогичны свойством двумерных характеристических функций. . ''

При доказательстве предельных теорем вблизи критической прямой и на самой критической прямой используются предельные теоремы для модуля дзета-функции Римана. Комплексный случай является более сложным по сравнению с рассмотренным в главе I одномерным случаем.

Если в определении СХр величина , то

возможно непосредственное вычисление асимптотики характеристического преобразования меры

^{¡^От^аутг, &а) , АеЗСс). со

Здесь ^"ОО . » «.е я »по-

нимаем как ехр^оЖ £ , где ^(л) получает-

ся из значения в точке Ъ = Л путем непрерывного передвижения вдоль ломанной, соединяющей точки Д , Д+ и В §2.2 путем замены изучения функции (ГО сначала изучением конечной суммы, а затем- конечного произведения, получено, что при

1Т < ш мера (2), когда ) оо , слабо сходится к мере, определяемой характеристическим преобразованием • В случае (!т не удается перейти от изучения функции » к изучению конечного произведения. Поэтому для доказательства слабой

сходимости меры (2) к мере с характеристическим преобразова-( хг £М"

нием ех р — - — г используются предельные теоремы для модуля функции и свойства аналитических функций.

Цусть £ О-^: (Хр , ^ = Тогда имеет место

аналог теоремы 1.7.1. В §2.3 получаем следующий результат.

. Теорема 2.3.2. Мера

ут (( а) ,

когда Т—, слабо сходится к пере, определяемой характеристическим преобразованием

Из предельных теорем в пространстве С вытекают предельные теоремы по модулю I для арг>иента . ¿7 - функции Римана.

Следствие 2.3.1. Пусть

. Тогда

сходится к функции распределения Р*><1 4 " с характеристи-' - —^

ческим преобразованием е -1

Аналогичный результат имеет место и в полосе ~ ¿<у«го1,

Следствие 2.3.2. Функция ■ • »

fj^rm L ¿Jj

угчж

когда T-> oo , сходится к функции ^определения mod А с характеристическим преобразованием £.

Следует отметить, что когда диссертация уже была подготовлена, стало известно, что А.Сельберг (неопубликовано) занимался изучением

для некоторого класса множеств А , а Д.Джойнер рассматривал функции распределения

,, flMM«!. v

т\, тг ), Л шт- У

Содержание главы III. Глава III посвящена распределению эначени.: близких по своим свойствам'к функции £63 - L -функций Дирихле.

Вероятностные методы в теории L - функций б основном применялись для доказательства предельных теорем, характеризующих поведение L - функций при возрастании модуля характера. С.Човла и П.Эрдеш получили такую теорему для LOjOc) с вещественным характером, П.Д.Т.А.Эллиотт дал теоремы такого рода для | LG-"'*}! и Lв полуплоскости СГ > ~ . Наконец, Е.Станкус обобщил результаты Эллиотта

Ли

на двумерный случай: он подучил предельные теоремы в пространстве С .

В настоящей работе получены предельные теоремы, характеризующие распределение значений каждой L - функции на вертикальных прямых, кпгда О"^ — , т.е. доказаны предельные теоремы, аналогичные теоремам глав I и II для ^ - функции Римана.

В §3.1 получена предельная теорема для L - функций в полуплоскости С > —- в пространстве С •

Теорема 3.I.I. Пусть сг>-~ • Тогда на (С JjCw) существует, вероятностная мера Р такая, что мера

когда Т—00 , слабо сходится к Р ;

Для доказательства теоремы 3.1.Г используется метод характеристических преобразований.

В том же параграфе рассмотрена вероятностная мера

(| I (pr.it, € а->~ ; А бХЮ.

(3)

Из теоремы 3.1.1 еще не вытекает слабая сходимость меры (3). Ее слабая сходимость (теорема 3.1.2) получена при помощи свойств пространств Ьезиковича и некоторых результатов Е.М. Никишина.

Пусть (х) - предельная функция функции распределения

и (_х3= Р 00 • ® 53.2 получена оценка сверху

,0~ . г \ для величины 'щ^ ^

Теорема 3.3.1. Существуют константы С< , Сл и

такие, что при фиксированном модуле характера с1

4 03 = Вгхр^ехр^/3}}.

При доказательстве теоремы используются свойства почти-периодических функций. Отметим, что теорема 3.3.1 заканчивает исследования такого рода для [_■ - функций в критической полосе, поскольку из результатов Д.Джойнера для можно получить оценку сверху для '¡у0\) в случае, когда

СГ< А .

Метод доказательства теоремы 3.2.1 позволяет оценить сверху величину

Это делается в §3.3 путем оценивания величины

и применения теоремы 3.2.1.

Во второй части главы III доказываются предельные теоремы для L -функций вблизи критической прямой и на самой критической прямой. В этом случае, как и для - функции, нужна степенная нормировка. Сначала выводятся предельные теоремы для модуля L - функций, а затем - предельные теоремы в пространстве С . Основными результатами §3.4 и §3.5 являются следующие теоремы.

Теорема 3.4.2. Пусть - примитивный характер по модулю d . Тогда при Т-> оо функция распределения

сходится к функции

GOO .

. Для доказательства теоремы 3.4.2 применяется метод моментов, изучается асимптотика "еличины

О

(теорема 3.4.1).

л

При помощи свойств пространства аналитических функций из теоремы 3.4.2 получена предельная теорема в полосе ■—¿О'^Сг

Теорема 3.5.1. Дусть СГТ &.Т и ^ -

I ^

примитивный характер по модулю а. . Тогда при Т—со функция распределения

сходится к функции

Теоремы 3.4.2 и 3.5.1 используются для доказательства

предельных теорем Для {_, - функций с примитивными характерами в пространстве С . Объединяя вместе теоремы 3.4.3 и 3.5.3; имеем следующее утверждение. Пусть - примитивный характер п модулю с{ . Тогда вероятностная : эра

Ут

когда Т-> оо , слабо сходится к мере, определяемой характе-

( гг

ристическим преобразованием — — V

Из теоремы 3.5.1 вытекает следующая теорема. Теорема 3.5.2. Пусть О" ^ СТт , (?т = , и ^ -примитивный характер по модулю Л . Тогда мера

¿А), А€Кс1 '

когда Т—> 00 , слабо сходится к мере, определяемой характеристическим преобразованием ехр-^-^-—

Из этих теорем вытекает асимптотика моментов [_/ - функций Дирихле. Например:

Следствие 3.4.1. Пусть 9( - примитивный характер по мо-пулвг и Т Оо . Тогда равномерно относительно Т ' з любом конечном Интервале / •

о I

Следствиями предельных теорем для ^ - функций в пространстве С также являются предельные теорема по модулю I для аргумента - функций (следствия 3.5.1 и 3.5.2).

Содержание главк 1У. 3 главе 1У изучаются ряды Дирихле с «ультипликативными коэффициентами, непревосходящими единицу.

Ш = I

Такие ряды часто используются в вероятностной теории чисел в задачах о среднем значении мультипликативных функций. Этими задачами занимались Й.Цубилюс, Н.М.Тимофеев, Г.Халас, Э.Чанставичюс и многие другие математики. В начале девятого десятилетия проф. Й.дубилюсоы была поставлена противоположная задача: при наличии информации об асимптотике среднего значения коэффициентов

изучить овойства функции левее единичной прямой. В

настоящей работе рассмотрены как функциональные, так и вероятностные свойства функции

В §4.1 доказано свойство универсальности для функции Отметим,'.что универсальность ^ - функции и - функций Дирихле была открыта С.М.Ворониным (1975), затем этим вопрот сом занимались а.Рейх, Ь.Багчи и другие авторы. Свойство универсальности для ^"СО утверждает, что всякая функция, аналитическая внутри некоторого круга; непрерывная вплоть до границы круга и неимеющая нулей в этом круге, равномерно приближается сдвигами ^ - функции. Есть основание думать, что универсальность является характерным свойством широкого класса рядов Дирихле, конечно, с некоторыми требованиями регулярности коэффициентов.

Пусть при х ->■ -ОО

где £.(*.) = В* , -1 . Положим СГ0= -^ - и потре-

буем, что выполнялось неравенство

'(5)

/—1 ) ^

а также имело место хотя бы одно из неравенств

Ф4 или (Л) •

Класс мультипликативных функций, удовлетворяющих указанным условиям, обозначим через т&м) . В §4.1 получена универсальность функции ¡/^(а) с коэффициентами из класса ИКС^, М) , формулируется следующим образом.

Теорема 4.1.1. Пусть ^(ы) е ,0<1< ~ ,

•^60 - функция, аналитическая внутри круга , не-

прерывная вплоть до границы круга и > ® • Тогда

для всякого £>о существует х>о такое, чго

Таким образом, теорема 4.1.1 показывает, что свойством ' универсальности обладает широкий класс рядов Дирихле. Из теоремы 4.1.1 вытекает следующее утверждение. Теорема 4.1.2. Г]усть

Мфо) и отображение ¡1: ->• С^ задается формулой

Тогда образ Я всюду плотен а С

Отметим, что теорема типа теоремы 4.1.2 ,ля дзета-функции Римана и рядов Дирихле получена С.М.Ворониным.

Из теоремы 4.1.2 следует функциональная независимость функции 21 СО • • Задача о функциональной независимости рядов Дирихле восходит к Д.Гильберту, высказавшему предположение (1902) о том, что функция

ъо,*)- Е~

не удовлетворяет никакому алгебраическому дифференциальному уравнению. Эту гипотезу Гильберта доказали независимо Д.Д.Мор-

духай-Болтовской (1914) и А.Островский (1920). Затем задача Гильберта обобщалась А.Г.Постниковым (1949, 1953) и С.М.Ворониным, получившим (1975, общую теорему о функциональной независимости (_, - функций Дирихле с попарно неэквивалентными характерами. В §4.1 получен следующий.результат.

Теорема 4.1.3. Пусть Ж& м+о) и тождест-

венно по 5 , сг> сга , выполняется равенство

где р^ - непрерывные функции. Тогда ^ = О для всех (-О^п. Пусть

2 С*-) = « Р (Л (ы) ~ со С»*)}; где ~ число различных простых делителей ,£\С>п)-

число всех 1ростых делителей Ж , причем кратные делители считаются столько раз, какова их кратность, а. а, - действительное число, не кратное ^5/" , Тогда имеем, что

Ш-Сх и для функции 2(а) справедливы тео-

ремы 4.1.1-4.1.3.

В §4.2 получена предельная теорема для функции 2Г0 в пространстве аналитических функций. Пусть а Ц - пространство аналитических в Д функций с толо-

логией равномерной сходимости на компактах. Пусть -

единичная окружность на С » ^= П - бесконечномерный тор, а т. - мера Хаара на , ЗС^У) • в вероятностном пространстве ЗС^З'1^ определим -

значный случайный элемент ^С^00следующим образо»: 0 р р

и пусть - распределение случайного элемента ^ . Основным

результатом §4.2 является следующая теорема.

Теорема 4.2.^. Пусть мультипликативная функция ^О4) удовлетворяет соотношению (4) с любым . Тогда мера

(6)

когда

Т-э- оо , слабо сходится к мере Т^

I,

Здесь ^^ ('•■) ~ 7Г ^^ [оЛ1]^^ . где вместо многоточия указывается условие, которому удовлетворяет Т

Сначала доказывается, что мера (6) слабо сходится к некоторой предельной мере. Для этой цели функция в среднем приближается абсолютно сходящимся рядом Дирихле, который приближается полиномом Дирихле, а для полинома Дирихле предельная теорема в пространстве аналитических функций доказывается легко (теорема 4.2.1).

Второй шаг доказательства теоремы 4.2.3 состоит из конкретизации предельной меры. Доказывается, что она совпадает с мерой р^ . . ,

§4.3 посвящен многомерному аналогу теоремы 4.2.3. Пусть

.где

О , . т=(

а функции (-*"■)] ^ = ) удовлетворяют соотношению (4).

Пусть Цг(_л) - значный случайный элемент 2 (я^З определен на ^(¿Г}})) 'следующим образом:

где

о р «4в< г 7

Многомерный вариант теоремы 4.2.3 выглядит так. Теорема 4.3.1. Мера

когда Т~> , слабо сходится к распределению случайного

I—I

элемента ^

Наложение дополнительных ограничений на функцию позволяет применить теорему 4.2.3 для доказательства свойства ■ универсальности функции

ш . Это показано в §4,4. Через тдм) . обогначим класс мультипликативных функций ^(Ц)^ • , удовлетворяющих условиям (4), (5) и неравенству

с>о.

Применение теоремы 4.2.3 для доказательства свойства универсальности функции 21 (X) Дает некоторое усиление теоремы 4.1.1. Во-первых, равномерное приближение аналитической функции сдвигами 260 имеет место не только для круга, но и для более общих компактных множеств. Во-вторых, множество сдвигов функции , равномерно приближающих данную ана-

литическую функцию, .ллеег положительную нижнюю плотность. Более точно, в §4.4 получен следующий результат.

Теорема 4.4.1. Пусть <|0} €. УЦЛ М) , К - компакт со связным дополнением, лежащий в полосе Л , -¡¡-С5) -функция, аналитическая внутри К. и непрерывная вплоть до границы К. . Если не имеет нулей внутри К , то для всякого £ 2-0

одесь с{ СА) — — А (]{0,Т]) -нижняя плот-

Л Т-»-«? ™ L ' ность множества Л .

Из теоремы 4.4,1 вытекает следствие.

Следствие 4.4.2. Предположим, что ^ - функция Ркмана не имеет нулей в полуплоскости Ог><5~ , < 4 , и пусть ■к. и ^б5) - те ке саше, что и в теореме 4.4.1. Тогда для всякого £ > О

Аналогичное утверждение в полосе < <У< \ имеет место и для функции

1С*) (следствие 4.4.3), где = екр|й (£1(1*.) - Со(>)} ■

В §4.5 изучено совместное свойство универсальности функций типа функции

. Дусть функции удовлетворяют условиям (4) и (5). Кроме того, пусть существуют непересекающихся множеств простых чисел Р так. **

КИХ, что

И при Х-У ^

причем , Х\>0 , $¿00 = ь . .

а ^ - некоторые действительные константы, ¿ = А, Функции на мно&вствах Р^ являются постоянными,

т.е. для р€

Пусть

а ТЖ ^ ~ множество наборов мультипликативных функций) удоалетворяющих выше перечисленным требованиям. Совместное свойство универсальности функций (д) , ^ = & , со-

держится в следующей теореме.

Теорема 4.5.1. Пусть ^ьС*"-^ и ^анг

матрицы равен I * Цусть К^' - компакты со

связными дополнениями, лежащие в полосе Д , ^ -

функции, аналитические внутри К^' и непрерывные вплоть до

границы к.^ , ^ = '(/•••; ^ . Если 'г 0 внутри

{¿^ , . то для всякого ^ £>0

При доказательстве теоремы 4-5.1 используется многомерная предельная теорема для функций (теорема 4.5.1).

<1

Отметим, что теорема 4.5.1 обобщает результаты С.М.Воронина и Б.Багчи, полученные для 1_> - функций Дирихле.

Содержание главы У. Глава У посвящена распределению нулей некоторых рядов Дирихле. При доказательстве существования нулей в критической полосе используется свойство универсальности.

В §5.1 рассматриваются ряяы Дирихле с периодическими коэффициентами. Пусть , (о,<2,)= 4 • 0<а< , <^>4 . Через и ^¿С^*4.) обозначим суммы рядов Дирих-

Л6 Лигк ' оо ягигп.

~ * ~ ' • >

и их аналитические продолжения. Доказано, что при некоторых предположениях на число о, функции 2>.(^с/) и имеют

' г I

бесконечно много нулей в полосе < СУ < 4 .

Теорема 5.1.1. Пусть й такое, ч:э существует натуральное ¡п. , <?/) = • удовлетворяющее условию з С (р^с^], т,5гда для любых О",, , таких, что ■~<СГ1<&1< существует константа с = с(о4,о^ Стакая, что при достаточно

больших ! найдется более чем сТ нулей функции лежащих в области

о;<а<сгА } |-£|<Т.

Изучение распределения нулей функции <*) является

более сложным. Пусть существуют хотя бы два примитивных характера по модулю ср . Тогда в §5.1 доказано, что для функции и^661 место теорема, аналогичная теореме 5.1.1 (теорема 5.1.2).

Функции С^и могут иметь нули и в полу-

плоскости СУ> 1 . Это получено для чисел ср , имеющих более простой вид..

Теорема 5.1.3. Пусть ср - бесквадратное число. Тогда существует константа С- С 6^)>(?такая, что при достаточно больших Ч* функция имеет более чем сТ нудей, лежащих в

области

0->1, Щ<Т-

Если - простое число, то аналогичное утверждение доказано и для функции (теорема 5.1.4).

В §5.2-доказано существование нулей для линейных к'омбина- . ций степеней нулей Дирихле. Пусть

где - комплексные числа, хотя бы два из которых отлич-

ны от нуля р и.^ - целые "положительные числа, & -

функции из §4.5. При помощи совместного свойства универсальности степеней функций С^) (лемма 5.2.2) получено следующее утверждение.

Теорема 5.2.1. Пусть и Р^1" мат-

рицы б^ц. равен >ь . Тогда для любых , % ,

существует константа С-оО > 0 такая, что при дос-

2В

таточно больших Т функция "V"CS3 имеет более чем сТ нулей, лежащих в области

о^<а<<гЛ ; |{,<Т:

$5.4 посвящен существовании нулей производной дзета-функции Римана в критической полосе. Распределением нулей функции ^s) в полуплоскости о"> i занимался Е.п.Титчмарш. Асимптотическая формула для числа нулей в полосе0<i<r? была получена Б.Берндтом. Некоторое свободные зоны от нулей функции ¿^¿V) были открыты Р.Спирой. В §5.4 сначала получена универсальность логарифмической производной ^ - функции.

Теорема 5.3.1. Пусть ^ - компакт со связным дополнением, лежащий в полосе - функция, аналитическая внутри К и непрерывная вплоть до границу К, . Тогда для всякого ¿>о

Из этой теоремы легко вытекает существование нулей «j^^sj в критической полосе.

}

Теорема 5.3.2. Для любых К ,Cl , < <г„ < CT < 4 , су-

Л/ з Л

чествует константа с = C^o^OJ,} >£> такая, что при достаточно больших Т найдется более чем сТ нулей функции ^fs), лежащих в области

<гл <<?■<: сГл \1\<Т,.

Автор искренне благодарит профессгра Й.Кубилюса, введшего его в рассматриваемый здесь круг вопросов, за постоянное внимание, советы и поддержку.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Лауринчикас А. Предельная теорема для [_, - рядов Дирихле// Матем. заметки' 1979.Т.25, №4.0.-581-485.

2. Лауринчикас А. Распределение значений производящих рядов мультипликативных функций// Лит.матем.сб. 1982.Т.XXII, И. С.101-Ш.

3. Лауринчикас А. О теореме универсальности// Лит.матем.сб. 1983. Т.XXIII, №3.С. 53-62.

4. Лауринчикас А. О теореме универсальности.II// Лит.матем. ' сб.1984.Т.ХХ1У, №2.0.113-121.

5. Лауринчикас л. О нулях некоторых•рядов Дирихле// Лит.матем.

• С6Л984.Т.ШУ, №4.0.116-126.

6. Лауринчикас А. О дзета-функции Римана на критической прямой// Лит.матем.сб. 1965.Т.У-ХУ, К.С.114-ПВ.

7. Лауринчикас л. О нулях производной дзета-функции Римана// Лит.матем.сб. 1985.Т.ХХУ, М.С.ШШ8.

8. Лауринчикас А. О моментах дзета-функции Римана на критической прямой//Матем.заметки. 1986.Т.ЭЭ,-вып.4.6.483-493.

9. Лауринчикас А. О нулях линейных комбинаций рядов Дирихле// Лит.матем.сб. 1986.X.ХХУI, №3.0.468-477.'

[0. Лауринчикас А. Предельная теорема для дзета-функции Лимана на критической прямой.1//Лит.матем.сб.1987.Т.ХХУП, №1. 0.113-132.

[I. Лауринчикас А. Предельная теорема для дзета-функции Римана на критической прямой.Н// Ли'" матем.сб. 1987.Т.ХХУП, $3.

. С.489-500.

[2. Лауринчикас а. Предельная теорема для - функций на критической прямой// Лит.матем.сб.1987.Т.ХХУП, Ж.

С.699-710.

13. Лауринчикас А.П. Предельная теорема для дзета-функции Ри-мана вблизи критической лрямой//Матем.сб.1988.Г.135С1?7), Л, С.3-й.

14. Лауринчикас л. Предельная теорема для дзета-функции Рима-на на критической прямой//Лит.матем.сб.IS69.T.29, №1. С.ВЗ-В9.

15. Лауринчикас А. Предельная теорема для дзета-функции Рима-навблизи критической прямой.П//Матем.сб. 1989.Г.180, F6. С.733-749. •

16. Laurin5ikas A. Sur las series de Dirichlet et les polyno-aes ti,lgonoiae'trlquea//SeB. de théorie des nombres. Univ. ! de Bordeaux. 1978-1979,. Expose N£ 24,

17. baurin5ii>:as A. Distribution des valeurs de certaines series

da Dirichlet// C.RiAcad. So.Par is. Série A. 1979.V.289. P.43-45. '

18. LaurinSlkaB A. Liait theorem Tor the Biemann zeta-functlon in the complex space//Fifth Internat. Vilnius conference on probability theory and math.etat. Abstracts of Communica-tiens • T. 1. Vilnius. I989 .P.3iW~305»

19. laurloèlkee A. A limit theorem for the Riemann zeta-functlon in the complex space// Acta Arlth.l990.V.53f N2 5-P.1-12.