Проблема продолжения отображений при ограничениях на градиент тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение. 3.

Глава I. Терминология и вспомогательные утверждения.

Глава II. Существование пространственно подобных поверхностей произвольной коразмерности с заданным краем в пространстве Минковского.

Глава III. Задача о продолжении пространственно подобных поверхностей в пространствах Т и И,.

Глава IV. Существование пространственно подобных поверхностей с заданным краем на "идеальной" границе Пространства МИНКОВСКОГО. - - vi , - <.' у

Глава V. Сравнение границы dDp с евклидовой.

Актуальность темы. Классическая экстремальная задача геометрии и анализа - задача отыскания поверхностей наименьшей площади, натянутых на заданную кривую или подчиненных другим граничным условиям (задача Плато). Решение этой задачи в течение долгого времени представляло большие трудности. Только в 1939 году Дуглас и Радо ([20], [21],[33]) доказали первые общие теоремы существования для задачи Плато.

Многомерными вариационными задачами, связанными с задачей Плато, особенно широко стали интересоваться в 60-е годы нашего столетия. В это время появляются работы Федерера, Флеминга, Морри, Джусти, Оссермана, Ниче, Саймонса, а из отечественных - Фоменко А.Т., Тужилина A.A. [37], [17], Аминова Ю.А.[1]

В это же время начинают привлекать внимание математиков экстремальные задачи геометрии псевдоевклидовых пространств, естественным образом возникающие в теории относительности.

Среди них важной задачей классической теории относительности является задача существования пространственно подобных поверхностей произвольной коразмерности в пространственно - временном многообразии. Такие поверхности играют большую роль, поскольку они представляют собой римановы подмногообразия со свойствами, характеризующими само пространство - время (см. напр. работы Эрдли Д., Смарра JI.[25], Масдена Дж., Типлера Ф.[30]). Соответствующая вариационная задача для этих поверхностей ставится как задача на максимум площади. (Минимум площади равен нулю [19], [16].)

Первые результаты в данном направлении были получены Флаэрти [23], Бартником и Саймоном [5], Куэном [32]. В первых двух работах шла речь о разрешимости задачи Дирихле для уравнения максимальных поверхностей д ( df/dxi 0

0.1) i=idxi [J1 |v f(x)| 2 решения которого и доставляют максимум площади. В работе Куэна [32] был рассмотрен случай поверхностей коразмерности выше 1.

Однако, в отличие от евклидового случая, где трудности при решении носят в основном топологический характер, в пространстве Мин-ковского основным препятствием при решении задачи на максимум площади является необходимость доказательства непустоты класса пространственно подобных поверхностей с заданным краем. В процессе решения задачи Дирихле для уравнения (0.1) приходится дополнительно решать задачу липшицевого продолжения граничной функции навею область. Задача продолжения отображений с ограничениями на градиент возникает при попытке доказать существование параметрических пространственно подобных поверхностей с заданным краем.

Стоит отметить, что известная теорема Кирсбрауна (см. [22], теорема 2.10.43) не отражает в полной мере сути поставленной задачи, и пригодна лишь в частных случаях (например, при строгих ограничениях на граничное отображение).

До настоящего момента указанную задачу о продолжении удалось решить лишь в классе поверхностей, заданных графиком функции (Клячин A.A., Миклюков В.М. [27], [28]).

Цель работы. Целью данной работы является получение необходимых и достаточных условий существования параметрических пространственно подобных поверхностей коразмерности выше единицы с заданным краем как в пространстве Минковского, так и в некоторых лоренцевых многообразиях.

Методика исследования. В диссертации использованы методы теории сглаживания функций, модульная техника, а также техника работы с липшицевыми функциями во внутренней и римановой метриках.

Научная новизна. Следующие результаты диссертации являются новыми:

• Получены условия существования пространственно подобных поверхностей с коразмерностью выше единицы, имеющих наперед заданную границу, в пространствах Минковского, Лоренца и Финслера;

• Найден способ сглаживания липшицевой пространственно подобной поверхности с сохранением границы;

• Доказаны интегральные и модульные признаки сравнения границ области в евклидовой и внутренней метриках;

• Приведены условия существования внешне полной пространственно подобной поверхности с заданным поведением на " бесконечности" в случае пространства Минковского и искривленного лоренцевого произведения.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на 1У-й международной конференции женщин - математиков "Математика. Моделирование. Экология." (Волгоград, 1996г.), 9-й Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 1998), 3-м Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ -98" (Новосибирск, 1998), международной конференции "Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования" (Москва, 1998), а также на конференциях молодых ученых Волгоградской области и научных семинарах кафедры математического анализа и теории функций Волгоградского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в [8] -¡14).

Содержание работы. В главе 1 даются основные понятия и приводятся вспомогательные утверждения. Определяются пространство-время Минковского, пространство Лоренца, пространство Финслера, обозначаемые далее Щ1"1*1, Н, Т соответственно. В силу структуры метрического тензора этих пространств все векторы подразделяются на пространственно подобные, времениподобные и световые (изотропные) .

Поверхность М, задаваемую С1 - погружением в Щ+1 (Л или Т) , назовем пространственно подобной, если всякий касательный к ней вектор пространственно подобен.

Будем говорить, что в пространстве Щ+1 (Н или Т) задана лип-шицева поверхность, если задано отображение ^ : Б —> Щ+1 (Н или Т соответственно) с локально липшицевыми координатными функциями, где В - область из Як.

Для определения пространственно подобных липшицевых поверхностей делается ряд вычислений для С1 - гладких поверхностей в , показывающих, что если

Г (и) = (Х1(и), .,хп(и)^(и)), ие Б с 11*

- параметрическое задание поверхности М, и матрицы С и А определены следующим образом дх! дх1 дг дг

0 = {9фку, ^ = А = {а1)П,к; ^ = то гиперболический косинус угла 6 между касательной плоскостью и ее проекцией на Rn равен ch в — -7= y/l- tr(G~lA) где tr (•) - обозначает след матрицы. При этом подкоренное выражение с точностью до величины detG есть определитель первой квадратичной формы поверхности. В связи с чем дается следующее определение .

Лишшщева поверхность Л4 называется пространственно подобной, если величина ch в (и), и Е Rk является локально ограниченной в существенном функцией, то есть для любой компактно вложенной подобласти К области D выполнено ess sup ch в (и) < оо . иек

Здесь

0(«)=sup(0*(x(u)), хМ где точная верхняя грань берется по всем касательным векторам если точка (x(u),t(u)) является точкой регулярности поверхности Л4 и в (и) = 0 в остальных случаях.

Далее аналогичное понятие вводится для пространства Т, определяемого следующим образом.

Пусть в Rn х Rn задана непрерывная неотрицательная функция Я(•,•), обладающая следующими свойствами »

1) для всех f 6 Rn и А > 0 выполнено Н(х, А£) = АН(х,£);

2) Н(х,£) выпукла по переменой

3) Множества 0(ж) = {£ : Н(х^) < 1} локально равномерно ограничены.

Определим двойственную к Н функцию

Ф (х,Г})= sup (£,71).

Обозначим через Т пространство Rn х R, в котором скалярный квадрат любого вектора х — (Уь Уп,т), приложенного в точке г = (x,t) — (х\,.,xn,t), вычисляется по формуле

IX,2, = Т2 + Ф2(ж, у), Ф(я, у) < +00 . (0.2)

С геометрической точки зрения представляют особый интерес следующие примеры таких пространств.

Пространство-время Минковского R"+1 получается при выборе функции

Если же положить

Ф(®,0 = ( Е афт)1/2, l,j= 1 где аг]{х) - измеримые в R" функции, образующие в каждой точке положительно определенную квадратичную форму E"j=i то метрика (0.2) представляет собой метрику лоренцева пространства со структурой прямого произведения (см. напр. [3], стр. 58-59).

Немаловажную роль в теории относительности играют и лоренце-вы многообразия, имеющие структуру искривленного произведения.

Под искривленным лоренцевым произведением 7i понимается прямое произведение R"xRc метрическим тензором ds2 = - 8{x)dt2 + cr(t)\dx\2, где <5 : Rn —R, <т : R —► R - положительные непрерывные функции и х 6 Rn, t g R.

Если поверхность M С H является С1-гладкой, то она называется пространственно подобной, если всякий касательный к ней вектор пространственно подобен, то есть при ds1 > 0 на этой поверхности.

Затем в главе 1 вводится понятие пространственно подобной лип-шицевой поверхности в пространстве Н.

В конце первой главы приводятся необходимые в дальнейшем результаты, доказанные в [28], [14].

В следующей - второй - главе рассматривается вопрос о существовании пространственно подобных поверхностей произвольной коразмерности в пространстве Минковского.

Пусть D С к < п, - область с кусочно-гладкой границей и пусть лшшшцево отображение

F (и) = (xl(u),x2(u),.,xn(u),t(u)) : D задает некоторую к - мерную липшицеву поверхность M с краем L = F(dD), удовлетворяющую условию:

Для любой компактно вложенной подобласти К с D ess inf det G (и) = sup inf det G (и) >0, (0.3) uei< v у zcKcD«eK\z v ; v y где, как и выше,

Q^e с)Х = < gifl м , д,}(и) = £ и точная верхняя грань берется по всем множествам Z нулевой меры Лебега, расположенным в подобласти К.

Задача состоит в нахождении необходимых и достаточных условий на край I/, чтобы существовала пространственно подобная поверхность с тем же краем.

Решение этой задачи ищется в классе поверхностей с радиус-вектором вида: (ог1(гл),.,а;п(и),/(и)), (0.4) где хг{и) - координатные функции поверхности Р(и), а функция /(к) совпадает с функцией ¿(и) на границе области дВ.

Последнее условие гарантирует, что поверхности Щи) и Р(и) имеют общий край Ь.

Пусть р(ю, у) - внутреннее расстояние в I), заданное равенством р(т, у) = Ы ^ где инфимум берется по всем спрямляемым кривым 7 из области Г>, соединяющим точки т и у.

Обозначим Вр - пополнение области Б по метрике р. (О пополнении смотри [29], стр. 83, [38].) Будем предполагать, что оно компактно.

Пусть Г (г;, т) - множество, определяемое соотношением Г(у, га) = {и е Пр : р(у, т) = р(у, и) + р(и, ии)} .

Основным результатом второй главы является следующая теорема.

Теорема 2.1. Если существует какая-либо к-мерная липшицева поверхность с краем Ь, удовлетворяющая условию (0.3), то для существования к-мерной пространственно подобной поверхности (0.4) с заданным краем Ь необходимо и достаточно выполнения двух условий у) - *(ги)| < р{у,и)) чу,и)€ дВр (0.5) и

- £(гу)| если Г('у,гу)\ (0.6)

Далее в главе 2 решается задача о возможности сглаживания полученной пространственно подобной лишпицевой поверхности.

Пусть Ь - (к — 1)-мерная замкнутая лишшщева поверхность, являющаяся границей С'1 - гладкой поверхности

Р(и) = (х1{и),.,хп(и),г(и)): Б с Я*- И?*1 такой, что в области Б выполнено условие

1^ в > 0. (0.7)

Это условие означает, что касательные плоскости к поверхности не должны содержать векторов, ортогональных плоскости проектирования.

Введем в области В риманову метрику с элементом длины в2 = ¿х2 1=1 и внутренним расстоянием в этой метрике - функцией р(т,у), где и), V Е И.

Пусть Вр - пополнение области Б по метрике р.

Теорема 2.3. Если контур Ь таков, что справедливы предположения (0.5), (0.6) и (0.7) в построенной метрике р, то существует С1-гладкая пространственно подобная поверхность, натянутая на этот контур.

В третьей главе диссертации исследуются вопросы существования пространственно подобных поверхностей с заданным краем в пространствах Т и V,.

Решение задачи ищется в классе поверхностей с радиус - вектором вида

Я(и) = (х^и), .,жп(/и), /(и)), ие Б с Я* где Х{(и) - первые п координатных функций для поверхности Л4, а функция ¿(и) совпадает с /(и) на границе области В.

Положим

1 / к г)т \ рКт,) = ^ / ф Ыи(1)), Е ^(«(0) д"№) ■ ¿Г где точная нижняя грань берется по всем локально спрямляемым кривым 7 = {и(1) : 0 < / < 1} С В, соединяющим точки Е В. Заметим, что эта величина определяет в области Б псевдометрику, то есть функцию удовлетворяющую всем аксиомам метрики кроме симметричности.

Обозначим через Вр пополнение области В по этой псевдометрике. Как и в [28] будем предполагать, что пополнение Вр компактно. Пусть также

Г(м, у) = {т' € Вр\ у) = т') + Рт(у)' , у)}.

Справедлива следующая теорема:

Теорема 3.1. При сделанных предположениях для существования к-мерной пространственно подобной липшицевой поверхности М. в Т с границей Ь необходимо и достаточно выполнения двух условий

-рр(у,ии) < - ¿(-у) < рр{у),у)^уо,у €

V)) < - Цу) < р^(у),у),пРИ Г(ги,у)\ дОр ^ 0.

Отметим, что ранее аналогичная теорема, в несколько иной формулировке была доказана в [27], [28] только для гиперповерхностей заданных графиком функции.

При исследовании задачи существования пространственно подобных поверхностей в лоренцевых пространствах используется следующая лемма.

Лемма 3.2. Если М - липшицева поверхность в Л, заданная радиус-вектором

F(u) = (х1(и),х2(и), .,xn(u),t(u)), U€ В С R*

0 ■ то гиперболический косинус ch в угла между касательной плоскостью к поверхности М. и Rn равен ch# = 1

1 - • tr (G-i А)

Положим

1 М = У Т7Т о \!сг(у)

С помощью введения в области Б специальной метрики р%{-, •), доказывается следующая теорема.

Теорема 3.2. Если существует какая-либо к-мерная поверхность с краем Ь, то для существования к-мерной пространственно подобной поверхности с заданным краем Ь-вН необходимо и достаточно если \ дБРп г.

- ?(у))I < Рн^.ю) У.гие дВр%.

Четвертая глава диссертации посвящена проблеме существования внешне полных пространственно подобных поверхностей с заданным поведением на бесконечности.

Пусть - пространство-время Минковского. Под "идеальной" границей Г пространства Минковского Щ*+1 будем понимать множество направлений 11п+1 с топологией единичной сферы Б".

Таким образом, "идеальная" граница Г есть множество векторов из единичной сферы 5П.

Следом поверхности М. на Г будем называть множество предельных направлений радиус-векторов 0Р/ , где последовательность Р\ Е М не имеет точек накопления на М.

Рассмотрим ^-мерную лшшшцеву поверхность где - ¿-мерная сфера единичного радиуса. Построим по ней конус т — \у\ »»п+д—)] ■■ - Й?+1.

I 12/1 13/1 1

0.8)

Нетрудно видеть, что след Ь1{3 на Г этого конуса состоит из направлений всех полупрямых, соединяющих начало координат с точкой

Му/Ы), ¥>2(у/М), 4>п+1(у/\у\)).

Наша цель - найти необходимые и достаточные условия на <¿>((9), чтобы существовала внешне полная пространственно подобная поверхность, след которой на Г совпадает с Ь<р.

Пусть выпуклая невремениподобная поверхность задана графиком функции Р : Яп —» И. Тогда для всякого у & Т1п существует конечный предел м ЕМ = Р(2/),

Г—ЮО у причем функция Р{у) является однородной степени 1, а ее график определяет выпуклый конус.

Таким образом, выпуклые поверхности - один из классов поверхностей, имеющих след на "идеальной" границе пространства Минков-ского. Предельные конусы выпуклых поверхностей подробно изучены в книге Артыкбаева А., Соколова Д.Д. [2].

В нашей работе доказывается следующая теорема.

Теорема 4.1. Для существования липшицевой пространственно подобной (к + 1)-мерной поверхности М в И", с заданным: следом Ь!р на Г, достаточно, чтобы конус (0.8) был невремениподобным.

В случае гиперповерхностей удается найти необходимые и достаточные условия.

Теорема 4.2. Для существования вещественно аналитической пространственно подобной гиперповерхности с заданным следом Ь^ на Г необходимо и достаточно, чтобы конус (0.8) был невремениподобным.

Решение задачи о существовании поверхности с заданным предельным конусом играет важную роль в теории поверхностей с заданной средней кривизной [6].

В конце главы дан пример 2-мерной пространственно подобной поверхности в И,!, показывающий невозможность распространения теоремы 4.2 на случай поверхностей произвольной коразмерности.

Рассмотрим теперь результаты, приведенные в последней - пятой -главе диссертации. В формулировках теорем 2.1, 2.2, 3.1 и 3.2 условия на граничые значения координатной функции I = ¿(и), и £ И С Як понимались как пределы относительно псевдометрики р{•,•)(/?%, р? соответственно). В общем случае каких-либо связей между предельными значениями и Ц£>р не существует. Поэтому важной задачей является поиск условий в общем случае на псевдометрику /?, при которых эти границы можно сравнивать. В данной главе приводятся некоторые результаты, полученные в этом направлении.

Дадим соответствующие определения. Пусть В - область в Як и функция р, заданная на В х I), является псевдометрикой.

Функция / : В —» К называется р - липшицевой, если существует постоянная Ь > 0 такая, что Ух,у Е Б

- Ьр(у,х) < ¡{х) - /(у) < Ьр(х,у).

Рассмотрим дополнительно внутреннюю метрику на В 1 х,у) /17(^1 (И, о где точная нижняя грань берется по всевозможным спрямляемым (в евклидовой метрике) путям 7 : [0,1] —> Б, 7(0) = х, 7(1) = у.

Пусть Бр - пополнение области В по псевдометрике р и пусть дВр = Ир \ П. Если дополнительно предположить, что граница дБ не имеет кратных точек, то дБ = дВ^

Далее будем говорить, что псевдометрика р(х,у) равномерно непрерывна относительно й{х,у), если для всякого е > 0 существует 8 > 0 такое, что при любых х,у £ В, й(х,у) < 6, выполнено р(х,у)+р(у,х) <6.

Внутренняя метрика (1(х,у) равномерно непрерывна относительно псевдометрики р, если равномерная малость величины р(х, у) + р(у, х) влечет равномерную малость й.

Результаты пятой главы формулируются для специально построенного класса псевдометрик, который включает в себя метрики р, р% из второй и третьей глав и псевдометрики р? главы 3. Предположим, что в В х Нк задана функция Но(х,£), удовлетворяющая свойствам

1) для всех £ Е 11" и Л > 0 выполнено = \Нв{х>£)\

2) Но(х, £) выпукла по переменой £

3) Множества 0д(ж) = {£:-#£>(ж,£) < 1}в области I) локально равномерно ограничены.

Если Ф£>(х,г}) двойственная функция, то положим р(х,у) = ЫI Ф0(х(1),х(1))<11, где точная нижняя грань берется по всем локально спрямляемым путям х(1), 0 < I < 1, соединяющим точки х,у.

В лемме 5.1 доказывается, что при условии взаимной равномерной непрерывности метрики <1{х, у) и псевдометрики р границы дВ^ и дВр совпадают.

Для эффективного описания взаимосвязей между границей области В в р-метрике дВр и евклидовой границей дВ нам потребуется понятие р-модуля семейства кривых (см., например, [39]).

Пусть {7} - некоторое семейство локально спрямляемых дуг 7, расположенных в области В С Я". Пусть р > 1 - некоторое число. р-Модулем семейства {7} называется величина пю^7> (5-3) где точная нижняя грань берется по всем неотрицательным борелев-ским функциям р(х).

Для произвольной пары точек х, у £ D определим семейство G(x,y) = {7} как семейство спрямляемых дуг 7 С D, соединяющих точки X ж у.

Будем говорить, что область D р-равномерна, если для всякого, достаточно большого, е > 0 найдется <5 > 0 такое, что при всех х,у е D, d(x,y) < 6 выполнено modpG(x,y) > s.

Пусть

HD(x) = mm HD(x,Ç).

Теорема 5.1. Если область D р-равномерна, а функцияHd(x) удовлетворяет условию dx то псевдометрика р(х,у) равномерно непрерывна относительно внутренней метрики d(x, у).

Аналогично, в теореме 5.2 формулируется признака-равномерности метрики d{x,y) относительно псевдометрики р(х,у).

В заключении обзора работы выражаю благодарность своему научному руководителю профессору Владимиру Михайловичу Миклюкову за постановку задач и полезные замечания при подготовке диссертации, а также Виктору Ивановичу Пелиху за внимательный просмотр текста диссертации.

1. Аминов Ю.А. Минимальные поверхности. Харьков: Изд-во Харьк. ун-та, 1978.

2. Артыкбаев А., Соколов Д.Д. Геометрия в целом в плоском пространстве-времени. Ташкент: ФАН, 1990.

3. Бим Дж., Эрлих П. Глобальная лоренцева геометрия. М.: Мир, 1985.

4. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегральные представления функций и теоремы вложения. М.: Наука, 1996, 480 с.

5. Bartnik R., Simon L. Spacelike Hypersurfaces with Prescribed Boundary Values and Mean Cur vat ure.//Comm. Math. Phys., 1982, v.87, n.l, p.131-152.

6. Cheng S., Yau S.-T. Maximal spacelike hypersurfaces in the Lorentz-Minkowski space.// Ann. of Math., 1976, V. 104, N2, P. 407-419.

7. Григорьева Е.Г. Существование пространственно подобных поверхностей с заданными значениями на "идеальной" границе. // Доклады РАН, N3, Т. 385, 1999, с. 306 308.

8. Григорьева Е.Г. Условия существования пространственно подобных поверхностей с заданным следом на "идеальной" границе.// Деп. ВИНИТИ 17.06.99 N 1953 В99, 1999, 15 с.

9. Григорьева Е.Г., Клячин A.A., Миклюков В.М. Проблема продолжения функций с ограничениями на градиент.// Деп. ВИНИТИ 26.04.99 N1313-B99, 1999, 37 с.

10. Гольдштейн В.М., Решетняк Ю.Г. Введение в теорию функций с обобщенными производными и квазиконформные отображения. М.: Наука, 1989.

11. Горох В.П. О минимуме площади поверхности с заданным граничным контуром в псевдоевклидовом пространстве.// Украинский геом. сборник, N 30, 1987.

12. Дао Чонг Тхи, Фоменко А.Т. Минимальные поверхности и проблема Плато. М.: Наука, 1987.

13. Джусти Э. Минимальные поверхности и функции ограниченной вариации. М.: Мир, 1989.

14. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. М.: Наука, 1985.

15. Douglas J. Minimal surfaces of general topological structure// J. Math. Phys. 1936. V.15. P. 105-123.

16. Douglas J. The most general form of the problem of Plateau // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1938. V.24. P. 360-364.

17. Федерер Г. Геометрическая теория меры. М.:Наука, 1987.

18. Flaherty F.J. The boundary value problem for maximal hypersurfaces // Proceedings of the National Academy of Sciences USA, V. 76 (1979), N 10, P. 4765-4767

19. Джонсон Ч., Хорн Р. Матричный анализ. М.: Мир, 1989.

20. Eardley D., Smarr L. Time functions in numerical relativity: marginally bound dust collapse// Phys. Rev. D. 19, 2239 (1979).

21. Келли Дж. Общая топология, пер. с англ., 2-е изд., М., 1981.

22. Клячин А.А., Миклюков В.М. Пространственно подобные гиперповерхности и задача о продолжении функций с ограничениями на градиент.//ДАН СССР, 1991, Т. 320, N4, С. 781 -784.

23. Клячин А.А., Миклюков В.М. Следы функций с пространственно-подобными графиками и задача о продолжении при ограничениях на градиент.//Матем. сб., 1992, т.183, N 7, с.49-64.

24. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и фугк-ционального анализа. М.: Наука, 1972.

25. Marsden .J., Tipler F. Maximal hypersurfaces and foliations of constant mean curvature in general relativity// Phys. Rep. 66, 109 -139(1980).

26. Натансон И.П. Теория функций вещественного переменного. М.: Наука, 1974.

27. Quien N. Plateau's problem in Minkowski space// Analysis, R. Oldenbourg Verlag, Munchen, 1985, N5, P. 43-60.

28. Rado Т. On the problem of Plateau. //Berlin, Springer Verlag, 1933.

29. Рокафеллер P. Выпуклый анализ. M.: Мир, 1973.

30. Рунд X. Дифференциальная геометрия финслеровых пространств. М.: Наука, 1981.

31. Ткачев В.Г., Ушаков А.Н. Теорема Фугледе в финслеровом пространстве // Тезисы докладов всесоюзн. матем. школы "Теория, потенциала", Киев, 1991.

32. Тужилин А.А., Фоменко А.Т. Элементы геометрии и топологии минимальных поверхностей. М.: Наука, 1991.

33. Водопьянов С.К. Формула Тейлора и функциональные пространства. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1988.

34. Vuorinen М. Conformal geometry and quasiregular mappings, Lectures Notes in Math., 1319, Springer, Berlin-Heidelberg-New York, 1988.