Проблема существования инъективных модулей над "классическими" топологическими алгебрами и инъективные гомологические размерности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Введение

0. Предварительные сведения 16 0.1. Топологические векторные пространства, алгебры и модули 16 0.2. Топологическая гомология.

1. Свойства, близкие к инъективности

1.1. Косвободные модули Фреше.

1.2. Инъективность и делимость.

2. Основные результаты

2.1. Отсутствие инъективных модулей Фреше над полными нетеровыми локальными алгебрами.

2.2. Оценка и вычисление инъективных гомологических размерностей.

Настоящая диссертация посвящена некоторым вопросам гомологической теории топологических алгебр, связанным, в первую очередь, с понятиями инъективного модуля и инъективной гомологической размерности. Гомологическая теория топологических алгебр (или, сокращенно, топологическая гомология) изучает те свойства локально выпуклых топологических алгебр, которые допускают естественную интерпретацию на языке абстрактной гомологической алгебры. Замечательно, что перечень таких свойств оказывается весьма обширным и разнообразным. Многие классические понятия, изучаемые в различных областях анализа, являются по своей сути гомологическими (хотя зачастую это далеко не очевидно) и доставляют тем самым «естественный материал» для изучения в топологической гомологии. Такие понятия встречаются, например, в гармоническом анализе (аменабельная группа, компактная группа, дискретная группа), в геометрической теории банаховых пространств (свойство аппроксимации), в спектральной теории линейных операторов (спектр, локальный спектр, свойство (/3) Бишопа), в общей топологии (паракомпактное пространство, метризуемое пространство). В каждом из указанных примеров заданному математическому объекту (группе, линейному оператору, топологическому пространству) естественно соответствует банахова или локально выпуклая алгебра, а некоторому его свойству (аменабельности группы, свойству (/?) линейного оператора, паракомпактности пространства) — определенное гомологическое свойство соответствующей алгебры. Например, группа С амена-бельна тогда и только тогда, когда первая группа когомологий алгебры Ь1(Сг) с коэффициентами в любом дуальном банаховом 1у1(С)-бимодуле тривиальна (см. [73]). Другие примеры такого рода приведены в обзорной работе А. Я. Хелемского [68]. Мы отметим лишь, что в процессе своего развития топологическая гомология не только доставляла эффективные средства для исследования тех или иных проблем анализа, но и стимулировала появление новых математических теорий (например, таких, как многомерная спектральная теория линейных операторов в банаховом пространстве [59]).

Появление и развитие топологической гомологии (впрочем, как и классической гомологической алгебры) было обусловлено в первую очередь ее «внегомологическими» приложениями. Например, необходимость в изучении расширений банаховых алгебр была замечена еще в 1954 г. Данфордом [57] при исследовании спектральных операторов. Группы ко-гомологий банаховых алгебр были впервые введены Камовицем [75] в 1962 г. (по аналогии с чисто алгебраической теорией Хохшильда [70]) и применены к некоторым вопросам структурной теории банаховых алгебр. В течение десятилетия, последовавшего за появлением основополагающей работы Камовица, группы когомологий банаховых алгебр использовались различными авторами для решения задач, связанных с расширениями [37, 72], дифференцированиями операторных [74] и групповых [73] алгебр, когомологиями локально компактных групп [64, 65] и некоторыми другими специальными вопросами.

Общий подход к гомологической теории банаховых алгебр был предложен А. Я. Хелемским [38] в 1970 г. По существу, этот подход состоял в построении некоторого варианта относительной гомологической алгебры, специально приспособленного для изучения банаховых алгебр и банаховых модулей над ними. Центральным в новой теории стало понятие проективного банахова модуля, позволившее определить производные функторы на категории банаховых модулей, а также перенести на банахов случай многие другие классические конструкции гомологической алгебры. В частности, интерпретация групп когомологий банаховой алгебры в терминах производных функторов предоставила новые удобные методы для их вычисления.

Начиная с вышеупомянутой работы Хелемского, гомологические методы стали успешно применяться в различных задачах теории банаховых алгебр. Они позволили, в частности, получить ряд результатов о наличии аналитической структуры в спектре коммутативной банаховой алгебры (см., напр., [31, 32, 90]), дать гомологическую интерпретацию некоторым общетопологическим понятиям, таким, например, как паракомпактность [39], получить глубокую информацию о структурных свойствах С*-алгебр и алгебр фон Нойманна (см. [44, 67, 69]), а также не само сопряженных операторных алгебр (см. [12, 13]). Подробный обзор этих и многих других результатов, полученных при помощи гомологических методов, дан в [68].

Что касается гомологической теории общих локально выпуклых алгебр, то первыми в этой области стали работы Киля и Вердье [77], а также Тэйлора [101], появившиеся несколькими годами позже работы Хелемского [38], но независимо от нее. С технической точки зрения, примененный указанными авторами подход был в основном аналогичен подходу Хелемского. Важно отметить, что в обеих работах гомологическая теория строилась не как самоцель, а как средство для решения конкретных математических задач. Так, статья Тэйлора появилась в связи с поиском удобного аппарата для построения мультиоператор-ного голоморфного исчисления; работа же Киля и Вердье имела своей целью приложения к некоторым вопросам комплексной аналитической геометрии. В обоих случаях использование методов топологической гомологии оказалось весьма плодотворным и получило дальнейшее развитие. Например, в комплексной аналитической геометрии с их помощью был получен ряд результатов, касающихся теории двойственности на комплексных пространствах (см. [96, 99]) и общей теоремы Римана-Роха [81]. Что же касается спектральной теории операторов, то здесь топологическая гомология не только позволила обобщить многие классические теоремы на случай нескольких коммутирующих операторов (теоремы о существовании и единственности голоморфного исчисления, теорема об отображении спектра и т.п.; см. [102, 91, 92]), но и получить новые результаты в «теории одного оператора» (см., напр., [58, 93]). Свойство (¡3) Бишопа, понятия разложимого и субразложимого оператора, понятие локального спектра получили естественную гомологическую интерпретацию, что позволило установить новые взаимосвязи между этими понятиями. Из наиболее впечатляющих результатов, полученных с использованием методов топологической гомологии, отметим следующий: оператор Т в банаховом пространстве X разложим тогда и только тогда, когда Т и его сопряженный Т' обладают свойством (/3) Бишопа [58]. По поводу других результатов в этой области и литературных ссылок см. недавнюю монографию Эшмайера и Путинара [59].

Как уже упоминалось выше, в техническом отношении топологическая гомология представляет собой вариант относительной гомологической алгебры в категориях локально выпуклых модулей над топологическими алгебрами. Напомним, что один из наиболее общих принципов абстрактной гомологической алгебры состоит в том, что для построения содержательной гомологической теории в той или иной аддитивной категории весьма желательно располагать «достаточным количеством» проективных и (пли) инъективных объектов. Как первые, так и вторые необходимы для построения производных функторов — основных технических инструментов гомологической алгебры.

С этой точки зрения, ситуация в «классической» гомологической алгебре Картана-Эйленберга [20], изучающей модули над ассоциативными кольцами, является наиболее благоприятной. Дело в том, что категория модулей над произвольным ассоциативным кольцом (или алгеброй) имеет достаточно много как проективных, так и инъективных объектов.

Это означает, что любой модуль, с одной стороны, может быть представлен в виде фактормодуля некоторого проективного модуля, а, с другой стороны, может быть вложен в некоторый инъективный модуль. Сходная ситуация имеет место и в гомологической теории банаховых алгебр и модулей1. Однако при переходе к более общим (ненормируемым) локально выпуклым алгебрам и модулям — скажем, модулям Фреше над алгебрами Фреше — положение дел существенно меняется. В то время как категория модулей Фреше над произвольной алгеброй Фреше все еще обладает достаточным количеством проективных объектов, при попытке построения достаточного количества инъективных модулей Фреше возникает ряд технических трудностей. Не в даваясь в детали (подробности см. в главе 0) и ограничиваясь для наглядности случаем алгебр и модулей Фреше, опишем некоторые из трудностей такого рода.

Пусть вначале А — унитальная (т.е. обладающая единицей) банахова алгебра, а Е — произвольное банахово пространство. Рассмотрим банахово пространство А,Е), состоящее, по определению, из всех непрерывных линейных отображений из А в Е и снабженное обычной операторной нормой. Это пространство обладает естественной структурой левого банахова А-модуля. Именно, действие А на <$?(А, Е) определяется формулой а • ф){Ь) = <р(Ъа) (а,ЬбЛ, (ре Е)) (1)

Банаховы А-модули вида А,Е) называются косвободными. Они могут быть определены также в чисто теоретико-категорных терминах и обладают рядом замечательных свойств; в частности, каждый косво-бодный модуль инъективен (см. главу 1). Если теперь X — произвольный левый банахов А-модуль, то он может быть вложен в косвободный модуль <£?(А,Х) посредством отображения г: X —> Л?(А,Х); г(х)(а) = а ■ х

Нетрудно проверить, что отображение г является допустимым мономорфизмом банаховых А-модулей (см. главу 0), т.е. обладает левым обратным непрерывным отображением. В данном случае такое отображение е: Л?(А,Х) —» X можно определить формулой е((р) = где 1 — единица алгебры А.

Итак, каждый банахов А-модуль может быть вложен в некоторый инъективный банахов А-модуль посредством допустимого мономорфизма. Этот факт, имеющий фундаментальную важность для всей теории,

1Для сохранения строгости отметим, что в топологической гомологии фразам «представлен в виде фактормодуля» и «вложен в качестве подмодуля» следует придавать не совсем традиционный смысл; см. по поводу деталей главу 0. обычно выражают, говоря, что категория левых банаховых А-модулей обладает достаточным количеством инъективных объектов. С очевидными изменениями указанная конструкция обобщается на категорию модулей Фреше над банаховой алгеброй А.

Если же А — ненормируемая алгебра Фреше, то векторное пространство Jzf (А, Е) не является пространством Фреше ни в какой естественной топологии (каково бы ни было пространство Е ф 0). Более того, на Jf(A,E) не существует никакой разумной топологии, в которой действие А х Sf(A,E) —► ^f(A.E), определяемое формулой (1), было бы совместно непрерывным (см. далее предложение 1.1.7). Таким образом, каноническая конструкция, доставляющая достаточное количество инъективных модулей над банаховой алгеброй, не переносится на ненорми-руемый случай.

Трудности такого рода были замечены в цитированной выше работе Тэйлора [101]. Он же предложил и возможный выход из этой ситуации: «расширить» категорию А-модулей таким образом, чтобы включить в нее косвободные модули Е) (снабженные топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах) и обеспечить тем самым наличие достаточного количества инъективных объектов. Разумеется, при этом не удается добиться того, чтобы действие алгебры А на всех модулях из полученной категории было совместно непрерывным (см. выше). Тем не менее, оно удовлетворяет более слабому условию — так называемой гипонепрерывности (см., напр., [47, III.5]), поэтому объекты построенной им категории Тэйлор назвал гипомодулями. Отметим, что конструкция Тэйлора фактически относится не только к алгебрам Фреше, но и к более общим локально выпуклым алгебрам с гипонепрерывным умножением, удовлетворяющим некоторым дополнительным линейно-топологическим условиям.

Другой подход к данной проблеме был предложен С. С. Акбаровым в работе [1] (см. также [50]). В построенной им теории роль «рабочей» категории топологических А-модулей играет категория так называемых стереотипных модулей. Как и категория гипомодулей, категория стереотипных модулей обладает достаточным количеством инъективных объектов; кроме того, она имеет ряд других замечательных свойств (по поводу деталей см. [50]). Однако и она с необходимостью включает в себя модули, действие А на которых не является совместно непрерывным. Другая особенность «стереотипной» теории состоит в том, что она не является расширением «банаховой» теории. В частности, топология, которая вводится на косвободных стереотипных А-модулях Jzf(A,Ü7), в случае бесконечномерной банаховой алгебры А совпадает с топологией равномерной сходимости на компактах и поэтому ненормируема даже при Е = С.

Таким образом, несмотря на все достоинства двух вышеупомянутых подходов к построению «симметричной» гомологической теории топологических алгебр, которая включала бы в себя достаточно много как проективных, так и инъективных объектов, оба эти подхода приводят к необходимости изучать более общие (и более сложные) топологические модули, чем хотелось бы. Сходные проблемы возникают и в других математических дисциплинах «гомологического характера» — например, в недавно возникшей теории «квантовых» (операторных) модулей (см. [52]).

Тем не менее, естественное желание развивать гомологическую теорию ненормируемых алгебр Фреше, оставаясь при этом в рамках категории модулей Фреше, приводит к ряду вопросов. Один из таких вопросов, сформулированный А. Я. Хелемским в [42] (см. также [66]), состоит в следующем:

Верно ли, что над произвольной алгеброй Фреше А имеется достаточно много инъективных модулей Фреше?

В работе Хелемского [66] была высказана гипотеза о том, что, возможно, над некоторыми алгебрами Фреше вообще не существует ненулевых инъективных модулей Фреше. В качестве возможных кандидатов на роль таких алгебр были предложены алгебры голоморфных функций 0{и) на областях V С Сп, снабженные компактно-открытой топологией. Эта гипотеза была подтверждена в работе автора [29], однако сам факт несуществования инъективных модулей Фреше был установлен не для алгебр голоморфных функций, а для алгебр формальных степенных рядов С[[^1,. ,гп]]. Приведенное в [29] доказательство существенно опиралось на некоторые специфические свойства алгебр степенных рядов (такие, как, например, замкнутость идеалов и нетеровость), не имеющие места для функциональных алгебр. Впоследствии в работе [87] автору при помощи несколько иных методов удалось доказать несуществование инъективных модулей Фреше для более широкого класса алгебр, включающего в себя как алгебры степенных рядов, так и алгебры гладких (бесконечно дифференцируемых) функций на областях в М", алгебры голоморфных функций на полиобластях в С", а также некоторые их некоммутативные аналоги (алгебры «голоморфных функций от нескольких свободных переменных»). Таким образом, отсутствие (или недостаток) инъективных объектов в категориях топологических модулей является, по-видимому, скорее закономерностью, чем патологией.

Несмотря на это обстоятельство, предложенный в [87] подход позволил вычислять инъективные гомологические размерности произвольных модулей Фреше над многими классическими алгебрами анализа. Например, в случае алгебры А = б'{С") целых функций от п переменных оказалось, что инъективная гомологическая размерность любого ненулевого А-модуля Фреше равна в точности п. (Для сравнения отметим, что как в «классической» гомологической алгебре, так и в ее «банаховом» варианте, инъективная гомологическая размерность может принимать любое целое значение, заключенное между нулем и глобальной размерностью данной алгебры.)

Общее свойство алгебр, для которых удалось получить вышеупомянутые результаты, состоит в том, что между их гомологиями и кого-мологиями Хохшильда существует определенное соотношение, в случае алгебр гладких или голоморфных функций по своему внешнему виду напоминающее двойственность Пуанкаре1. Оказалось, что если алгебра Фреше А удовлетворяет такому соотношению и, кроме того, является ядерной и локально мультипликативно выпуклой, то инъективная гомологическая размерность любого А-модуля Фреше оценивается снизу некоторой фиксированной положительной константой, а в ряде важных случаев совпадает с этой константой (как это происходит, например, для А = б{Сп), А = С°°(Шп) или А = С[[ги . во всех трех случаях эта константа равна п). В этой связи представляет интерес подробнее изучить класс алгебр, удовлетворяющих вышеупомянутому соотношению между гомологиями и когомологиями, а также привести новые примеры таких алгебр. Попытка исследования подобного рода была предпринята в работе автора [88]. В частности, было показано, что соотношение между гомологиями и когомологиями Хохшильда имеет место также для алгебры Фреше гладких функций С°°(М) на произвольном гладком многообразии М.

Основу настоящей диссертации составили работы [29, 87, 88], а также [86] и [28]. Некоторые доказательства подверглись при этом существенной переработке, что позволило упростить их и получить более общие результаты. Прежде чем переходить к описанию структуры работы, сформулируем еще раз вкратце ее основные выводы.

• Существует достаточно широкий класс алгебр Фреше, включающий в себя, в частности, алгебры формальных степенных рядов, алгебры гладких и голоморфных функций, а также некоторые их некоммутативные аналоги, над которыми не существует нетривиальных инъективных модулей Фреше. чисто алгебраической ситуации такие соотношения были недавно рассмотрены в работе М. Ван ден Берга [104] в связи с некоторыми вопросами некоммутативной алгебраической геометрии.

• Гомологии и когомологии Хохшильда алгебр из этого класса связаны между собой определенным соотношением («двойственностью Пуанкаре»). Это позволяет, в частности, вычислять инъективные гомологические размерности модулей Фреше над такими алгебрами, несмотря на отсутствие над ними инъективных модулей Фреше.

Общая структура настоящей работы такова.

Глава 0, носящая вспомогательный характер, содержит необходимые для дальнейшего сведения из топологической гомологии, а также некоторые обозначения и определения из теории топологических векторных пространств и алгебр.

Прежде чем приступать непосредственно к рассмотрению вопроса о существовании инъективных модулей Фреше, мы рассматриваем в главе 1 некоторые свойства модулей Фреше, в той или иной степени близкие к свойству инъективности. Основными объектами исследования для нас здесь являются косвободные и делимые модули Фреше.

В §1.1 мы изучаем вопрос о наличии косвободных модулей Фреше над ненормируемыми алгебрами Фреше. Как уже упоминалось выше, в банаховом случае косвободные модули доставляют материал для построения достаточного количества инъективных модулей. Косвободные банаховы модули, имеющие вид Е) (где Е — банахово пространство). допускают также общее теоретико-категорное определение, которое сохраняет смысл и для ненормируемых топологических алгебр — в частности, для алгебр Фреше. Хотя косвободные модули Фреше с необходимостью инъективны (предложение 1.1.1), тем не менее, из их абстрактного категорного определения никоим образом не следует, что они вообще существуют. Мы покажем, что дело тут не просто в отсутствии адекватного «конструктивного» определения. Основной результат §1.1 — теорема 1.1.2, утверждающая, что над произвольной ненормиру-емой алгеброй Фреше не существует ни одного ненулевого косвободно-го модуля Фреше. Это утверждение было доказано в [86] для частного случая алгебр Фреше-Аренса-Майкла; здесь мы приводим новое, более простое доказательство, справедливое и в неметризуемом случае.

В §1.2 исследуются некоторые вопросы, касающиеся делимых модулей Фреше. Как известно, в чистой алгебре между свойствами делимости и инъективности имеется тесная взаимосвязь. В частности, для модулей над областями главных идеалов (например, для абелевых групп) указанные свойства эквивалентны. Основная цель §1.2 — выяснить, имеет ли место такая взаимосвязь в топологической гомологии.

Хотя результаты этого параграфа предназначены в основном для использования в последующих главах, некоторые из них представляют и самостоятельный интерес. Основными утверждениями здесь являются теорема 1.2.2 о наличии кручения в делимых модулях Фреше и теорема 1.2.5 о несуществовании банаховых делимых модулей. В целом, результаты §1.2 показывают, что большинство чисто алгебраических фактов, указывающих на взаимосвязь понятий инъективности и делимости, не переносится на случай модулей Фреше.

Сходная ситуация наблюдается и при рассмотрении аналогичных вопросов, касающихся плоских модулей и модулей без кручения. Отправляясь от чисто алгебраического факта, утверждающего, что для модулей над областями главных идеалов плоскость эквивалентна отсутствию кручения, мы исследуем аналогичный вопрос для случая модулей Фреше. При этом наибольшее внимание уделяется алгебре Фреше целых функций (в которой, как известно, все замкнутые идеалы — главные). С одной стороны, мы покажем, что все конечно порожденные <^(С)-модули Фреше без кручения являются не только плоскими, но даже свободными (теорема 1.2.13). Последний результат справедлив и для алгебры ^(Х), где X — некомпактная риманова поверхность. С другой стороны, мы приведем пример <^(С)-модуля Фреше без кручения, который, тем не менее, не является плоским (пример 1.2.4). Интересно отметить, что наличие неплоских €?(С)-модулей Фреше без кручения тесно связано с существованием линейных операторов в гильбертовых пространствах, не обладающих свойством {(3) Бишопа (ср. [59]).

Большинство результатов §1.2 было получено в работах [29] и [28].

Центральное место в диссертации занимает глава 2. Здесь мы описываем класс алгебр Фреше, включающий в себя многие классические алгебры анализа, над которыми не существует нетривиальных инъек-тивных модулей Фреше. Кроме того, мы вычисляем инъективные и (в некоторых случаях) проективные гомологические размерности модулей Фреше над указанными алгебрами.

В §2.1 исследуется вопрос о существовании инъективных модулей Фреше над полными нетеровыми локальными алгебрами. Основным примером такой алгебры служит алгебра формальных степенных рядов (С[[^1, -. ,2„]]; все остальные могут быть получены как ее факторал-гебры. Полные нетеровы локальные алгебры обладают рядом замечательных алгебраических и линейно-топологических свойств; некоторые из них, необходимые для дальнейшего, описаны в предложении 2.1.1 и замечаниях 2.1.1-2.1.2. Основной результат §2.1 — теорема 2.1.2, утверждающая, что над бесконечномерными (как векторные пространства над С) полными нетеровыми локальными алгебрами не существует ненулевых инъективных модулей Фреше. Для частного случая алгебры степенных рядов этот результат был получен в [29], а в общем случае — в [88].

В §2.2 мы излагаем другой подход к проблеме существования инъективных модулей Фреше, применимый ко многим классическим алгебрам анализа и основанный на использовании некоторых соотношений между их гомологиями и когомологиями Хохшильда. Наличие такого рода соотношений для данной алгебры А позволяет не только доказывать отсутствие инъективных А-модулей, но и вычислять инъективные (а для банаховых модулей — и проективные) гомологические размерности произвольных А-модулей Фреше. Основной результат §2.2 — теорема 2.2.4, утверждающая, что если А — ядерная алгебра Фреше-Аренса-Майкла, гомологии и когомологии Хохшильда которой подчинены некоторому условию (*)„ (где п > 0 — фиксированное целое число), то инъектив-ная гомологическая размерность любого ненулевого А-модуля Фреше не меньше п. Поскольку инъективные модули Фреше — это в точности модули Фреше нулевой инъективной гомологической размерности, последняя теорема означает, в частности, что над А не существует нетривиальных инъективных модулей Фреше. Кроме того, аналогичная оценка снизу имеет место и для проективной размерности любого ненулевого банахова А-модуля. Отсюда, в свою очередь, вытекает отсутствие проективных банаховых А-шодулей.

Глава 3 целиком посвящена примерам алгебр, удовлетворяющих введенному в §2.2 условию (*)п- Большинство из них — это «классические» алгебры, встречающиеся в различных областях анализа и геометрии. В каждом конкретном случае, в зависимости от специфики рассматриваемой алгебры, вышеупомянутое условие (*)п принимает ту или иную форму — менее общую, чем требуется в основной теореме 2.2.4, но более «удобную в обращении» (см., например, соотношение (**)п из §3.1 и соотношение Ван ден Берга (***)п из §3.3). Это позволит нам попутно получить и некоторую другую информацию о гомологических свойствах таких алгебр.

В §3.1 мы рассматриваем алгебры, обладающие свободными бимо-дульными резольвентами Кошуля. Говоря неформально, это алгебры, по своим гомологическим свойствам близкие к алгебрам полиномов от нескольких переменных. Систематически такие алгебры были впервые исследованы в работе Тэйлора [102] в связи с тем, что они являются в некотором смысле «наиболее подходящими» для построения функционального исчисления от набора коммутирующих линейных операторов в банаховом пространстве. Наиболее важные примеры таких алгебр — алгебры голоморфных функций на полиобластях в С", алгебры гладких функций на областях в1"м алгебры формальных степенных рядов. Для наших целей эти алгебры важны потому, что их гомологии и когомо-логии Хохшильда удовлетворяют некоторому условию (**)„, более сильному, чем вышеупомянутое условие (*)п. Это позволит нам, применяя результаты главы 2, показать, что если ядерная алгебра Фреше-Ар енса-Майкла А обладает свободной бимодульной резольвентой Кошуля длины п, то инъективная гомологическая размерность любого ненулевого А-модуля Фреше в точности равна п. В частности, это так для алгебры голоморфных функций б"{U) (U — полиобласть в С"), для алгебры гладких функций С°°(у) (V — область в К") и для алгебры C[[zi,. формальных степенных рядов.

Алгебры, рассматриваемые в §3.2, впервые были введены в той же работе Тэйлора [102], поэтому мы называем их алгебрами Тэйлора. По своим гомологическим свойствам они наиболее близки к свободной алгебре Fn с п образующими. Благодаря этому они могут рассматриваться как наиболее подходящие топологические алгебры для построения функционального исчисления от «случайно выбранного» набора линейных операторов, не связанных между собой заранее никакими алгебраическими соотношениями. Различные явные конструкции таких алгебр содержатся в [102, 103]; см. также [82]. Наиболее простой пример — алгебра J£"n(oo) степенных рядов от п некоммутирующих переменных, коэффициенты которых растут не быстрее, чем у целых аналитических функций. Мы покажем (следствие 3.2.2), что все алгебры Тэйлора удовлетворяют условию (*)i (каково бы ни было п). Как следствие, если алгебра Тэйлора ядерна, метризуема и является к тому же алгеброй Аренса-Майкла, то инъективная гомологическая размерность любого ненулевого модуля Фреше над ней равна 1 (следствие 3.2.3). В частности, последний результат верен для алгебры #"п(оо).

Большинство результатов §§3.1 и 3.2 было получено в [87].

Основная цель §3.3 — обобщить результаты §3.1 на алгебры гладких функций на многообразиях и попутно получить некоторую дополнительную информацию об этих алгебрах. В п. 3.3.1 мы исследуем некоторые соотношения между функторами Тог и Ext, а также между гомологиями и когомологиями Хохшильда алгебр Фреше. Эти соотношения по своему виду напоминают двойственность Пуанкаре и аналогичны тем, которые были введены М. Ван ден Бергом [104] в чисто алгебраической ситуации. Мы формулируем условия, достаточные для существования таких соотношений (предложение 3.3.1 и теорема 3.3.3) и показываем, что для коммутативных алгебр наличие соотношений Ван ден Берга (***)„ влечет выполнение условия (*)„ (по поводу последнего см. выше). Как следствие, для любой коммутативной ядерной алгебры Фреше-Аренса-Майкла А, удовлетворяющей условию (***)п, инъектив-ная гомологическая размерность любого ненулевого А-модуля Фреше равна п (следствие 3.3.7).

Для того чтобы применить результаты п. 3.3.1 к алгебрам Фреше гладких функций на многообразиях, мы устанавливаем в п. 3.3.2 некоторые вспомогательные факты о пучках Фреше. Основным результатом здесь является теорема 3.3.19, представляющая собой глобальную С°°-версию теоремы о фундаментальном локальном изоморфизме, известной из алгебраической геометрии (см., напр., [51, 1.4]).

Результаты пп. 3.3.1 и 3.3.2 используются затем в п. 3.3.3 для получения некоторых результатов об алгебре Фреше С°°(М) гладких функций на многообразии М. Мы докажем, что гомологии и когомологии этой алгебры удовлетворяют соотношению Ван ден Берга (***)„ с п = dimM. Как уже упоминалось выше, отсюда следует, что инъективная гомологическая размерность любого ненулевого С°°(М)-модуля Фреше равна (топологической) размерности М. В качестве другого приложения теоремы 3.3.19 о фундаментальном локальном изоморфизме мы покажем, что если N — замкнутое подмногообразие в М, то проективная гомологическая размерность C°°(N) как С°°(М)-модуля Фреше равна коразмерности N в М (следствие 3.3.28). Этот результат обобщает теорему О. С. Огневой [24] о совпадении гомологических размерностей алгебры С°°(М) с размерностью многообразия М.

Результаты §3.3 были получены в [88].

Наконец, глава 4 содержит формулировки некоторых нерешенных проблем, имеющих непосредственное отношение к теме диссертации. Здесь же обсуждаются возможные направления дальнейших исследований в данной области.

Сделаем еще одно замечание, касающееся технической стороны изложения. Чтобы не затемнять суть дела и не вводить громоздких обозначений, при формулировке и доказательстве основных результатов мы ограничиваемся лишь случаем модулей Фреше над алгебрами Фреше. Однако многие из результатов сохраняют силу и в более общей ситуации. Единственное ограничение на природу рассматриваемых топологических алгебр и модулей, которое существенно используется на протяжении всей работы — это совместная непрерывность умножения в алгебрах и совместная непрерывность действия алгебр на модулях. Исключением является лишь §1.2, где неоднократно используется теорема

Банаха об открытом отображении, а также некоторые результаты о пучках Фреше из п. 3.3.2. Тем не менее, для сохранения единообразия изложения мы сознательно вводим подчас излишние предположения о метризуемости алгебр и модулей, несколько теряя при этом в общности, зато избавляя себя от необходимости всякий раз налагать на алгебры и модули подходящие ограничения линейно-топологического характера. Возможные обобщения на неметризуемый случай будут кратко обсуждаться в замечаниях, непосредственно следующих за доказательствами.

Автор благодарен своему научному руководителю А. Я. Хелемскому за постановку вопросов и многочисленные полезные консультации.

Глава 0.

Предварительные сведения

0.1. Топологические векторные пространства, алгебры и модули

Локально выпуклые пространства

Напомним вначале некоторые общие факты, относящиеся к теории локально выпуклых топологических векторных пространств. Большинство из них содержится в стандартных руководствах [6, 47, 48]; см. также [63] и [26]. Для определенности все векторные пространства (а также алгебры и модули) будут рассматриваться в дальнейшем над полем С комплексных чисел, хотя большинство результатов работы (за исключением §1.2) справедливо и для поля К.

Напомним, что топологическое векторное пространство называется локально выпуклым, если оно обладает базой окрестностей нуля, состоящей из выпуклых множеств. Например, любое нормированное пространство локально выпукло. Общая ситуация возникает, когда на векторном пространстве Е задана произвольная система преднорм. В этом случае конечные пересечения всевозможных «шаров», соответствующих этим преднормам, образуют базу некоторой локально выпуклой топологии на Е. Обратно, если на Е задана топология, относительно которой Е является локально выпуклым пространством (сокращенно — ЛВП), то она может быть получена указанным выше способом. Для этого достаточно рассмотреть, например, семейство всех преднорм на Е, непрерывных в данной топологии.

В отличие от терминологии, используемой в [47], мы не будем, вообще говоря, предполагать локально выпуклые пространства хаусдорфовыми. В этой связи напомним, что абсолютно неотделимая топология — это та, в которой единственным непустым открытым множеством является все пространство.

Локально выпуклые пространства и их непрерывные линейные отображения образуют аддитивную категорию, которую мы будем обозначать через JifCS. Для произвольного ЛВП Е символ 1 % обозначает тождественное отображение Е на себя. Топологическим изоморфизмом мы называем изоморфизм в J^CS, т.е. непрерывный линейный гомеоморфизм. Топологически инъективное отображение — это линейное отображение, осуществляющее гомеоморфизм на свой образ. Наконец, алгебраический изоморфизм — это просто взаимно однозначное линейное отображение, не предполагаемое непрерывным.

Пространство непрерывных линейных отображений из ЛВП Е в ЛВП F обозначается символом J^(E,F). Имеется следующий общий способ вводить на Jif(E, F) локально выпуклую топологию. Напомним, что подмножество S С Е называется ограниченным, если для каждой окрестности нуля1 U С Е имеем S С XU для некоторого А > 0. Для каждого ограниченного подмножества S С Е и окрестности нуля U С F положим

M(S, и) = { ср е F) : <p(S) С U } (0.1.1)

Если (5 — некоторая фиксированная система ограниченных подмножеств Е, то множества вида (0.1.1), где S пробегает (3, a U — произвольную предбазу окрестностей нуля в F, образуют предбазу окрестностей нуля для некоторой локально выпуклой топологии на Эта топология называется топологией равномерной сходимости на элементах из (5, или (3-топологией. Например, если 6 — система всех одноэлементных подмножеств Е, мы получаем так называемую топологию простой сходимости. Если же (3 — система в сеж ограниченных подмножеств Е1, то соответствующая ей ©-топология называется сильной. В частности, при F = С мы приходим к понятию сильного сопряженного пространства, обозначаемого через Е'р. Отметим, что для нормированных Е и F сильная топология на F) задается обычной операторной нормой.

Напомним, что направленность {ж^^л в ЛВП Е называется фундаментальной (или направленностью Коши), если для каждой окрестности нуля U С Е найдется индекс щ G А, такой, что хр — х^ G U, как

1 Следуя установившейся традиции, под окрестностью нуля в топологическом векторном пространстве мы понимаем произвольное (не обязательно открытое) множество, для которого нуль является внутренней точкой. только V У щ и ¡1 У щ. Если Е хаусдорфово и любая фундаментальная направленность в нем сходится, то оно называется полным. Полное метризуемое ЛВП называется пространством Фреше. Полная подкатегория в ^СБ, состоящая из полных пространств, будет обозначаться через ЬСБ.

Каждому ЛВП Е естественным образом соответствует некоторое полное ЛВП Е, называемое его пополнением. Сопоставление Е н-> Е представляет собой аддитивный функтор из в ЬСБ, левый сопряженный к функтору вложения ЬСЯ Он называется функтором пополнения. Отметим, что функтор пополнения перестановочен с прямыми произведениями в том смысле, что для любого семейства ЛВП {Е{ : г Е /} имеет место естественный топологический изоморфизм е/ г'е! см., напр., [26]).

Напомним, что подмножество М векторного пространства Е называется поглощающим (или радиальным), если Ул>0 АМ = Е. Типичный пример поглощающего множества — произвольная окрестность нуля в топологическом векторном пространстве. Далее, множество М называется закругленным, если ХМ С М при |А| ^ 1. Отметим, что в топологическом векторном пространстве любая окрестность нуля содержит закругленную окрестность нуля. Наименьшее выпуклое закругленное множество, содержащее заданное множество М, называется его выпуклой закругленной оболочкой и обозначается через Г(М). Оно состоит из всевозможных линейных комбинаций вида Агх-г-, где Е М и

Е"=1 М < 1.

Если М — поглощающее выпуклое закругленное множество, то его функционал Минковского, определяемый формулой

Рм(х) = Ы'{А > 0 : ж Е ХМ} (х Е Е) является преднормой на Е. Отметим, что любая преднорма является функционалом Минковского своего единичного шара.

Для заданного ЛВП Е и выпуклой закругленной окрестности нуля II С Е через Ец мы обозначаем пространство Е/р^1^), снабженное нормой, являющейся факторнормой преднормы рц- Пополнение Ец по данной норме обозначается через Ец, а каноническое отображение Е —> Еи (или, по смыслу, Е —» Еи) — через Ф[/. Если V С и — другая выпуклая закругленная окрестность нуля, то для любого х Е Е справедливо неравенство ри(х) ^ ру(х)? и поэтому корректно определено непрерывное линейное отображение Фуи'• Еу —> Еи-, такое, что Фуц о Фу = Фц. Заставляя множество II пробегать произвольную базу выпуклых закругленных окрестностей нуля в Ех мы получаем, таким образом, обратную систему (обратный спектр) {Еи,Фуи} банаховых пространств. Обратный предел этой системы совпадает, с точностью до топологического изоморфизма, с пополнением Е.

Если В С Е — выпуклое закругленное ограниченное множество, то символ Ев используется для обозначения линейной оболочки В в Е, рассмотренной как нормированное пространство относительно нормы рв-Естественное отображение Ев Е обозначается через Фд.

Пусть Е и Е — фиксированные полные ЛВП. Каждому полному ЛВП С? сопоставим пространство х Е, О) совместно непрерывных билинейных отображений из Е х Е в С. Указанное сопоставление С н-> х Е, С) можно рассматривать как функтор из ЬСБ в категорию УесЪ векторных пространств. Этот функтор представим; иными словами, существует полное ЛВП Е ® .Р, такое, что для каждого С Е ЬСБ имеет место естественный изоморфизм векторных пространств

ЩЕ х С)

Пространство Е ® Е называется полным проективным, тензорным произведением Е и Е. Оно допускает следующее явное описание. Рассмотрим алгебраическое тензорное произведение Е 0 Е, и для каждой пары непрерывныхпреднорм на Е и Ц-Ц^ на Е зададим преднорму ||-||тг(^) на Е Е формулой п

W\Um = ьг^ 1ЫЫЫи (о-1-2) г=1 где т£ берется по всевозможным представлениям вида п м = ^ ® У1

1=1

Пополнение Е 0 Е по системе всех таких преднорм — это и есть полное проективное тензорное произведение Е® Е.

В дальнейшем нам понадобится явное описание множеств, образующих базу окрестностей нуля в Е 0 Е. Для каждой пары выпуклых закругленных окрестностей нуля II С Е и V С Е определим множество и ® V С Е § Е как1 и = {х® у : х £ и, у еУ} и рассмотрим замыкание Г{II ® V) его выпуклой закругленной оболочки. Тогда всевозможные множества вида Т{11 ® V) образуют базу окрестностей нуля в пространстве Е Е. Отметим, что Г{II (х) V) — это в точности замкнутый единичный шар относительно преднормы || • Цтг^,^) (см. (0.1.2)).

Многие классические функциональные пространства обладают тем свойством, что их проективное тензорное произведение на произвольное полное ЛВП может быть интерпретировано как соответствующее пространство вектор-функций. Сформулируем один из таких результатов (принадлежащий А. Гротендику; см. [63, II.3.3]), который мы будем в дальнейшем неоднократно использовать. Пусть X — комплексное многообразие, и пусть &{Х) — пространство Фреше голоморфных функций на X, снабженное компактно-открытой топологией. Для любого полного ЛВП Е рассмотрим пространство &{Х,Е), состоящее из голоморфных функций на X со значениями в Е и также наделенное компактно-открытой топологией. Тогда имеет место топологический изоморфизм б{.Х)®Е ^ 6{Х,Е), (0.1.3) переводящий элементарный тензор / ® V Е &{Х)(§Е в голоморфную вектор-функцию, в точке х Е X равную /(ж)г/. В случае, когда Е = &{У) для некоторого комплексного многообразия V, имеет место также топологический изоморфизм

Х) % б {У) ^ 6{Х х У), 1®д^{{х,у)^!{х)д{у)) (0.1.4)

Аналогичные утверждения справедливы и для пространств гладких функций на гладких вещественных многообразиях.

Пусть Е и (7 — ЛВП. Напомним, что подмножество М С С) называется равностепенно непрерывным, если для любой окрестности нуля II С С найдется окрестность нуля V С Е1 такая, что <р{У) С II для любого (р Е М. Равностепенно непрерывные множества ограничены в любой (5-топологии. В частности, равностепенно непрерывные подмножества сильного сопряженного Е'р ограничены. Поэтому для любого сожалению, здесь имеется расхождение в обозначениях: при II = Е ж V = Р тензорное произведение Е и Р как подмножеств в Е и Е, разумеется, не совпадает с их тензорным произведением как векторных пространств.

ЛВП Е можно рассмотреть пространство Е), состоящее из всех непрерывных линейных отображений из Ер в Е и наделенное топологией равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах Е'. Если Е и Е полны, то корректно определено и непрерывно каноническое отображение Гротендика дЕЕ: Е®Е-> ЩЕ'^Е)- х)(х') = (х7х')у (0.1.5)

Замечание 0.1.1. Отметим, что по ряду причин «естественной» областью значений для отображения Гротендика дЕЕ является не все пространство ^(Е'р, Е), а его подпространство ^е(Е'Т,Е), состоящее из отображений, непрерывных относительно топологии Макки на Е'. Нам, однако, будет удобнее рассматривать дЕЕ как отображение со значениями в ^(Е'р, Г).

Напомним, что если Е ж Е — банаховы пространства, то непрерывное линейное отображение V : Е Е называется ядерным, если оно является суммой абсолютно сходящегося (относительно операторной нормы) ряда из одномерных операторов: оо г](х) =

1=1 оо

-е я', УгеЕ, £||Л|||М| <оо г=1

Известно, что v Е е, е) ядерно тогда и только тогда, когда оно принадлежит образу композиции отображений р § Е1 <е{Е\ Е), (0.1.6) второе из которых — это ограничение на подпространство Е Е". (Здесь и далее, если не оговорено противное, сопряженное к банахову пространству снабжается обычной нормированной топологией).

В общем случае, если Е и Е — ЛВП, то непрерывное линейное отображение V. Е —> Е называется ядерным, если существуют выпуклая закругленная окрестность нуля и С Е и выпуклое закругленное ограниченное множество В С Е, такие, что, во-первых, Ев полно, а во-вторых, V принадлежит образу композиции отображений

ЕвёЁ'и^ Яфи.Ев) &(Е,Е), (0.1.7) первое из которых определено выше (см. (0.1.6)), а второе действует по правилу ииФдоио Фц.

Большинство из «классических» топологических алгебр, которые будут рассматриваться в настоящей работе, являются ядерными локально выпуклыми пространствами. Напомним, что ЛВП Е называется ядерным, если в нем существует база Я выпуклых закругленных окрестностей нуля, такая, что отображения Фуи Еу Еи ядерны для всех и, V Е Я, V С II. Другие эквивалентные определения ядерных пространств, а также их основные свойства, содержатся в фундаментальной монографии Гротендика [63]; см. также [47] и [30]. Из многочисленных примеров ядерных пространств для нас наибольший интерес будут представлять следующие:

• пространство 6{Х) голоморфных функций на комплексном многообразии X, снабженное компактно-открытой топологией;

• пространство С°°(М) гладких функций на гладком вещественном многообразии М, снабженное топологией равномерной сходимости на компактах со всеми частными производными;

• пространство С[[21,. ,гп]} формальных степенных рядов, снабженное топологией покоэффициентной сходимости1.

Ядерные пространства обладают рядом замечательных свойств, многие из которых тесно связаны с операцией проективного тензорного произведения. Для удобства дальнейших ссылок выделим лишь одно из них (см. [63, 11.3.1]): для любого ядерного пространства Фреше Е и банахова пространства Е каноническое отображение Е ® Е' —► <£?(Е,Е), определенное в (0.1.6), является изоморфизмом векторных пространств. Более того, оно является топологическим изоморфизмом, если снабдить ^(Е, Е) топологией равномерной сходимости на единичном шаре в Е.

Локально выпуклые алгебры и модули

Большинство из излагаемых ниже сведений о локально выпуклых алгебрах и модулях содержится в [42, 43]. Все рассматриваемые алгебры предполагаются ассоциативными, но не обязательно унитальными (т.е. обладающими единицей). Для заданной алгебры А ее унитализация обозначается через А+.

Напомним, что локально выпуклая алгебра (ЛВА) — это хаусдор-фово локально выпуклое пространство, наделенное структурой ассоциативной алгебры так, что оператор умножения А х А А, (а, 6) ь-> аЬ

1Изоморфное, как нетрудно заметить, прямому произведению счетного числа экземпляров поля С.

раздельно непрерывен. Если А к тому же полна, а умножение в А совместно непрерывно, то она называется 0-алгеброй. В этом случае оператор умножения А х А —> А порождает непрерывный линейный оператор А 0 А —► А, однозначно определенный условием а ® Ь ь-> аЪ.

Локально выпуклая алгебра называется алгеброй Фреше, если она ме-тризуема и полна, т.е. если ее подлежащее ЛВП — пространство Фреше. Поскольку любое раздельно непрерывное билинейное отображение пространств Фреше автоматически является совместно непрерывным (см. [47, III.5.1]), любая алгебра Фреше является 0-алгеброй.

Преднорма || • || на алгебре А называется мультипликативной (или, более точно, су б мультипликативной), если |(а6|| ^ ||а|||И1 Для всех а,Ь Е А. Если || • || — мультипликативная преднорма, то соответствующий ей «единичный шар» С/ = {аЕЛ:||а||^1} является идемпотентным множеством, т.е. удовлетворяет условию и2 С и. Поэтому мультипликативные преднормы — это в точности функционалы Минковского поглощающих выпуклых закругленных идемпотентных множеств. Локально выпуклая алгебра А называется локально мультипликативно выпуклой (или мультинор мир о ванной), если ее топология может быть задана системой мультипликативных преднорм. На эквивалентном языке окрестностей нуля это означает, что в А существует база выпуклых закругленных идемпотентных окрестностей нуля. Если А к тому же полна, то она называется алгеброй Аренса-Майкла. Любая банахова алгебра является алгеброй Аренса-Майкла, а любая алгебра Аренса-Майкла — алгебр ой.

Для алгебр Аренса-Майкла справедлива следующая важная теорема, позволяющая во многом сводить их изучение к изучению банаховых алгебр (см., напр., [43, 5.2.17]): каждая алгебра Аренса-Майкла А топологически изоморфна обратному пределу некоторой обратной системы банаховых алгебр {А„ : V Е А} и непрерывных гомоморфизмов т^: АИ —> А„ (/1 >- у). Этот факт может быть выведен из соответствующего результата о полных ЛВП (см. с. 19). Для этого достаточно выбрать базу Я выпуклых закругленных идемпотентных окрестностей нуля в А и заметить, что для любой окрестности II Е Я подпространство ^^(О) является двусторонним идеалом в А. Отсюда следует, что соответствующее банахово пространство Ац имеет естественную структуру банаховой алгебры, а все канонические отображения Фуи '■ А-у Ац (для 17, V Е Я, V С II) являются гомоморфизмами алгебр.

Унитализация А+ локально выпуклой алгебры (^-алгебры, алгебры Аренса-Майкла, алгебры Фреше . ), очевидно, сама является локально выпуклой алгеброй того же типа. То же самое относится и к противоположной алгебре Аор. Если А — ^-алгебра, то ее обертывающая алгебра

А6 определяется как А+ <8> Если А к тому лее унитальна, можно рассмотреть также алгебру = Л® Аор.

Левым локально выпуклым модулем над локально выпуклой алгеброй А называется ЛВП X, наделенное структурой левого А-модуля так, что оператор А х X —> X, (а,х) а ■ х раздельно непрерывен. Если же А — ®-алгебра, подлежащее ЛВП модуля X полно, а указанный оператор совместно непрерывен, то X называется левым А-®-модулем. В этом случае корректно определен непрерывный линейный оператор А<8>Х —» X, а 0 х нн> а • х. Аналогичным образом определяются правые локально выпуклые модули и локально выпуклые бимодули. Как правило, мы будем рассматривать только хаусдорфовы локально выпуклые модули; все исключения будут оговариваться особо.

Напомним, что левый модуль X над унитальной алгеброй А называется униталъным, если для всех х Е X выполнено условие 1 • х = ж, где 1 — единица в А. Каждый левый А-модуль может рассматриваться как левый унитальный А+-модуль, и наоборот. Если, кроме того, А — ®-алгебра, то каждый А-(Э-бимодуль X может рассматриваться как левый (соответственно, правый) унитальный ^-модуль над обертывающей алгеброй Ае. Левое (соответственно, правое) действие Ае на X однозначно определяется формулой а ® 6) • х = а • х • Ъ (а, 6 Е А+, х Е X) х ■ (а®Ъ) = Ъ ■ х ■ а (а, 6 Е А+, х Е X) (0.1.8)

Указанные формулы устанавливают взаимно однозначное соответствие между А-С^-бимодулями и левыми (соответственно, правыми) униталь-ными Ае-®-модулями. Если же А унитальна, те же формулы позволяют отождествлять унитальные А-(§)-бимодули и унитальные левые (соответственно, правые) АцП-®-модули. См. по этому поводу [42, 11.5.2].

Если X и У — левые локально выпуклые модули над локально выпуклой алгеброй А, то морфизм (р: X —»- У — это непрерывное линейное отображение, удовлетворяющее условию <р(а ■ х) = а • <р(х) для всех а Е А, х £ X. Векторное пространство всех морфизмов из X в У обозначается через аЪ.{Х1У). Поскольку оно является подпространством в У), на нем можно вводить различные ©-топологии (см. с. 17). Если не оговорено противное, мы будем выбирать в качестве © систему всех ограниченных подмножеств X и снабжать У) соответствующей сильной топологией. Таким образом, базу окрестностей нуля в лЬ(Х, У) образуют множества вида

М(5, и) = {<ре аЦХ, У) : ^в) си}, (0.1.9) где U С Y — окрестность нуля, a S С X — ограниченное множество. Для дальнейшего отметим, что если Y полно, а X борнологично или является (ВЕ)-пространством, то Jf¡j(X,Y) (а, следовательно, и его замкнутое подпространство У')) полно; см. [5] и [17, 1.2].

Как и в чистой алгебре, для любого левого локально выпуклого модуля X над JIBA А имеет место алгебраический изоморфизм векторных пространств X = при котором элементу х Е X сопоставляется морфизм Rx: А+ —> X. действующий по правилу а > а ■ х. Вообще говоря, указанный изоморфизм может и не быть топологическим; тем не менее, в ряде важных случаев это так.

Предложение 0.1.1. Пусть А — JIBA, а X — левый локально выпуклый А-модулъ. Предположим, что действие А на X

А х X —» X, (а, х) i—а ■ х совместно непрерывно. Тогда линейные отображения

X л аЦА+,Х) Дх,

R(x)(a) = Rx(a) = a-x, 8 (и) = и(1+) (0.1.10) являются взаимно обратными топологическими изоморфизмами.

Доказательство. Единственное, что здесь нуждается в проверке — непрерывность отображения R. Фиксируем окрестность нуля M(S,U) в где S С А+ — ограниченное множество, a U С X — окрестность нуля. Из совместной непрерывности действия А на X следует, что найдутся окрестности нуля V С А+ и W С X, такие, что V • W С U. Подберем А > 0 так, чтобы S С XV. Тогда S ■ А-1!^ С U, что, в свою очередь, эквивалентно включению ^(А-1^) С M(S,U). Это и доказывает непрерывность отображения R. □

Замечание 0.1.2. Пусть © — некоторое семейство ограниченных подмножеств А+, линейная оболочка которых содержит 1+. Из доказательства предложения 0.1.1 легко следует, что отображение R является топологическим изоморфизмом X на пространство X), снабженное ©-топологией, тогда и только тогда, когда действие А+ на X является (3-гипонепрерывным отображением (см., напр., [47, III.5]). В частности, это всегда так, если снабдить ^h(A+,X) топологией простой сходимости, т.е. взять в качестве (5 семейство всех конечных подмножеств А+.

Аналогичным образом устанавливается следующий (чуть более общий) факт.

Предложение 0.1.2. Пусть А — ЛБА, а X — левый локально выпуклый А-модуль. Предположим, что действие А на X

А х X —> X, (а, х) I—> а • х совместно непрерывно. Пусть, далее, I С А+ — замкнутый левый идеал. Рассмотрим подпространство

Х0 = Аппх(1) = {х е X : I ■ х = 0}

Тогда линейные отображения

Я(х)(а + 1) = а-х, 8(и) = и( 1+ + I) (0.1.11) являются взаимно обратными топологическими изоморфизмами.

Замечание 0.1.3. Разумеется, если А и А унитальны, то в предложениях 0.1.1 и 0.1.2 можно заменить А+ на А.

Пусть А — 0-алгебра, X — правый А-®-модуль, У — левый А-®-модуль, а Е — полное ЛВП. Совместно непрерывное билинейное отображение Ф: X х У —> Е называется сбалансированным, если оно удовлетворяет условию

Ф(х ■ а, у) = Ф(х, а • у) для всех х £ X, у £ У, а £ А.

По определению, проективное тензорное произведение X ж У над А — это полное ЛВП X <£>а У вместе с совместно непрерывным билинейным сбалансированным отображением в: X хУ —> такое, что для каждого полного ЛВП Е и каждого совместно непрерывного билинейного сбалансированного отображения Ф: X хУ —» Е существует единственное непрерывное линейное отображение <р: X 0аУ Е, делающее следующую диаграмму коммутативной:

X хУ ф

А V

Иными словами, Х®аУ — это объект категории ЬСв, который представляет функтор, сопоставляющий каждому Е £ ЬСЭ множество всевозможных билинейных совместно непрерывных сбалансированных отображений из X х У в Е. В частности, при А = 0 мы возвращаемся к классическому понятию полного проективного тензорного произведения ЛВП (см. с. 19). Разумеется, проективное тензорное произведение единственно с точностью до топологического изоморфизма.

В явном виде проективное тензорное произведение модулей X и У строится следующим образом. Рассмотрим вначале проективное тензорное произведение пространств X ®Y и обозначим через N С X <g> У замыкание линейной оболочки элементов вида х • а® у — х®а-у (х Е X, у Е У, а Е А). Тогда X^aY — это пополнение факторпространства (X ®Y)/N, а 9 — композиция естественного билинейного отображения X х У ^ X (х) У и факторотображения X ® Y X Y. Отметим, что если X и Y — модули Фреше, то факторпространство (X ® Y)/N полно и поэтому совпадает с X (За Y. Элементы вида 9(х,у) (они же — образы элементарных тензоров из X (g) У) обозначаются через х 0а у.

Операция проективного тензорного произведения обладает следующим важным свойством, не имеющим аналога в чистой алгебре. Для удобства дальнейших ссылок выделим его в отдельное утверждение.

Утверждение 0.1.3. Пусть {Хг- : г Е 1} — произвольное семейство правых А-®-модулей, a,Y — левый А-®-моду ль. Тогда существует канонический топологический изоморфизм

П *»■) § Г П№ ® ® У ~ (Хг ® У)

A А А А г£1 г£1

Доказательство (для случая пространств) см. в [63, Chap. I, Prop. 6] или [42, II.5.19]. На ®-модули доказательство переносится практически дословно (ср. также [40]).

Пусть А, В и С — (Э-алгебры, X — A-B-<g>-бимодуль, а У — B-C-<g>-бимодуль. Тогда формулы а ■ (х <3у) = (а • х)®у, х®у) ■ с = х®{у • с) в в задают на X У СТРУКТУРУ А-С-®-бимодуля (см. [42, II.5.15]). В частности, при В = С = 0яХ = А+ мы получаем важное понятие свободного левого модуля, т.е. А-(8)-модуля вида А+ <£) У, где У — полное ЛВП. О роли свободных модулей в гомологической теории будет упомянуто ниже, в §0.2.

Как и в чистой алгебре, для проективного тензорного произведения (^-модулей имеется закон ассоциативности. Мы сформулируем его для частного случая трех <8>-бимодулей над одной и той же ®-алгеброй А.

Утверждение 0.1.4. Пусть А — алгебра, а X, У и Z — А-0-бимо-дули. Тогда существует естественный топологический изоморфизм а ае ае а однозначно определяемый формулой х®у) 1-+ х®(у®г) (хеЕ,уеГгеС) а ае ае а

Доказательство проводится по той же схеме, что и в чисто алгебраической ситуации (см. [22, VI.8]). Совместная непрерывность билинейных отображений, возникающих по ходу дела, легко выводится из закона ассоциативности для проективного тензорного произведения пространств.

Пусть теперь X — В-А-®-бимодуль, а У — Б-С-®-бимодуль. Следуя чисто алгебраической картине (см. [22, У.З]), на пространстве мор-физмов дЬ(Х, У) можно ввести структуру локально выпуклого А-С-бимодуля, полагая по определению

Из очевидного включения М(5, II) -V С М(5, II ■ V), справедливого для любого ограниченного множества 5 С X и любых окрестностей нуля II С У, V С С, легко следует, что правое действие алгебры С на вЪ.(Х,У), задаваемое формулой (0.1.13), совместно непрерывно. Однако левое действие (0.1.12) алгебры А на дЬ(Х, У) совместно непрерывным, вообще говоря, не является (хотя оно, как нетрудно убедиться, раздельно непрерывно). Более того, если В — С = 0, а I = А+, то левое действие алгебры А на пространстве У) = Л^ъ(А+1У) не является совместно непрерывным, если только А не нормируема (см. предложение 1.1.7). Это не позволяет в общем случае определить так называемые косеободные 0-модули над ненормируемыми (^-алгебрами. См. по этому поводу §1.1, а также обсуждение на с. 7.

Тем не менее, если X нормируем, то действие (0.1.12) все же совместно непрерывно.

Предложение 0.1.5. Пусть А и В — ЛВА, У — левый локально выпуклый В-модуль, а X — локально выпуклый В-А-бимодуль. Предположим, что X нормируем, и отображение X х А —» X, (х, а) > х ■ а совместно непрерывно. Тогда отображение а • <р)(х) = (р(х • а), (<р-с)(х) = ср(х) ■ с

0.1.12) (0.1.13)

АхвЦХ,У)^в Ь(Х,У), 28 задаваемое формулой (0.1.12), также совместно непрерывно.

Доказательство. Фиксируем базисную окрестность нудя М(5, II) в пространстве вЦХ,У). Не ограничивая общности, мы можем считать при этом, что 5 — единичный шар в X. Ввиду совместной непрерывности действия алгебры А на X, найдется такая окрестность нуля V С А, что 5 • V С 5. Тогда из (0.1.12) видно, что

У • М(5, и) С М(5, и)

Это и означает, что отображение (0.1.12) совместно непрерывно. □

Следствие 0.1.6. Пусть А, В и С — ®-алгебры, У — В-С-®-бимодулъ, а X — банахов В-А-®-бимодулъ. Тогда формулы (0.1.12) и (0.1.13) задают на У) структуру А-С-0-бимодуля.

Замечание 0.1.4■ Предложение 0.1.5 и следствие 0.1.6 имеют очевидные «правосторонние» аналоги. А именно, если X — .А-.В-0-бимодуль, а У — С-Б-<Э-бимодуль, то пространство Ъ.в(Х, У) становится локально выпуклым С-А-бимодулем, если положить с-<р)(х) = с-<р(х), (0.1.14) р ■ а)(х) = <р(а ■ х) (0.1.15)

Как и выше, нетрудно заметить, что левое действие (0.1.14) всегда совместно непрерывно, а правое действие (0.1.15) совместно непрерывно при условии, что X нормируем.

Полагая в описанной конструкции В = 0 и У = С, мы приходим к понятию сопряженного модуля. Именно, если X — правый (соответственно, левый) А-®-модуль, то его сильное сопряженное пространство X' является левым (соответственно, правым) локально выпуклым А-модулем относительно операции, заданной формулой (0.1.12) (соответственно, (0.1.15)). Если X нормируем, то X' — (^-модуль.

Замечание 0.1.5. Рассматривая в предложении 0.1.1 А+ как А-бимодуль, мы видим, что упомянутые там изоморфизмы векторных пространств (0.1.10) являются фактически изоморфизмами левых А-модулей. То же относится и к изоморфизмам (0.1.11) из предложения 0.1.2 при условии, что I — двусторонний идеал.

Как известно, в чистой алгебре существуют так называемые формулы сопряженной ассоциативности, связывающие между собой функторы морфизмов и тензорного произведения (см., напр., [22, У.З]). При некоторых дополнительных линейно-топологических предположениях аналогичные формулы имеют место и в топологической гомологии; ср. [101, §3] и (для банахова случая) [42, II.5.21].

Пусть А ж В — ®-алгебры, X — левый А-®-модуль, У — В-А-®-бимодуль, Z — левый 1?-модуль. Предположим, кроме того, что X и У метризуемы (т.е. являются модулями Фреше). Тогда имеет место непрерывный алгебраический изоморфизм вцу § х, г) ^ Аъ{х, вЦу, г)) а р^ф; ф(х)(у) = (р(у (3 х) (0.1.16) а

Замечание 0.1.6. Отметим, что изоморфизм сопряженной ассоциативности (0.1.16) в общем случае может не быть топологическим ввиду отрицательного решения так называемой проблемы топологий Гротен-дика (см. [100]). Тем не менее, он все же является таковым, если либо одно из подлежащих пространств X и У ядерно, либо оба они банаховы.

Замечание 0.1.7. В гораздо более общем виде (для гипомодулей над бор-нологическими ЛВА) формулы сопряженной ассоциативности были установлены Тэйлором [101].

0.2. Топологическая гомология

Мы предполагаем известными некоторые базовые понятия теории категорий и гомологической алгебры — в частности, понятия цепного и коцепного комплексов в аддитивной категории, гомотопии комплексов и т.п. По поводу общих обозначений и терминологии см., напр., [4]. Напомним лишь, что цепной комплекс X. = (Хп, йп) часто бывает удобно записывать в коцепном виде, полагая по определению Xй — Х„ и ¿п = для п Е Ъ. Кроме того, для данного коцепного комплекса X* = (X", йп) и фиксированного к Е Ж через Х[&]* обозначается коцепной комплекс, в котором Х[к]п = Хп+к и й[к]п = (-1 )Чп+к.

Примем также следующее техническое соглашение. Если (р: X —»• У — морфизм в некоторой аддитивной категории локально выпуклых модулей над фиксированной ЛВА А, то его ядро, коядро, образ и кообраз всегда будут рассматриваться по отношению к категории всех (не обязательно хаусдорфовых) локально выпуклых А-модулей. Это означает, в частности, что Кег<^ — это подмодуль /-1(0), снабженный топологией, индуцированной из X, а Сокег^ — это фактормодуль У//(Х), снабженный фактор-топологией. То же самое относится и к модулям (ко)гомологий комплексов локально выпуклых модулей.

Основные понятия и факты топологической гомологии, некоторые из которых будут приведены ниже, содержатся в монографии [42] и работе [101].

Категории топологических модулей

Как уже упоминалось во введении, топологическая гомология — это относительная гомологическая алгебра в категориях локально выпуклых модулей над локально выпуклыми алгебрами. Хотя в основном мы будем работать с алгебрами и модулями Фреше, все же время от времени нам придется использовать некоторые гомологические понятия в более широком контексте 0-модулей. Поэтому в этом параграфе мы сочли целесообразным напомнить основные определения и факты из топологической гомологии для некоторых категорий (^-модулей, более общих, чем категории модулей Фреше.

Если подлежащее пространство данной ®-алгебры А обладает некоторыми специальными линейно-топологическими свойствами (такими, как, например, нормируемость, метризуемость, ядерность . ), то естественно рассматривать те А-(8>-модули, подлежащие ЛВП которых обладают теми же свойствами. Формализуется это следующим образом. Обозначим, как и выше, через ЬСБ категорию всех полных хаусдорфовых ЛВП, и предположим, что подлежащее ЛВП данной (Я)-алгебры А является объектом некоторой полной аддитивной подкатегории ^ С ЬСЭ. В этом случае через А-то&.(с€) (соответственно, тод-А^), А-тос1~А(^)) обозначается категория всех левых (^»-модулей (соответственно, правых (х)-модулей, ®-бимодулей) над А, подлежащие пространства которых являются объектами категории ^. В качестве морфизмов в указанных категориях модулей выбираются всевозможные (непрерывные) морфиз-мы локально выпуклых А-модулей (см. §0.1).

Если А унитальна, то соответствующие категории унитальных модулей обозначаются через А-иптос1(<Й?), ипто(1-А(^7) и А-иптос1-А(с#'). Имеют место изоморфизмы категорий

А-то^) ^ А+-Ш1тоа(<Г) ^ ипто= тос!-А(^);

А-тоа-А(^) ^ Ае-иптос1(^) ^ иптос1-Ае(<Г), а также — для унитальной А —

А-ипшоа-А(^) = А^-шшюсВД = иптос!-А®п(^) см. (0.1.8)).

Для того, чтобы в категориях (§>-мо дулей указанного типа можно было построить содержательную гомологическую теорию1, на базовую категорию Чо локально выпуклых пространств обычно налагают следующие дополнительные условия:

1) Если полное ЛВП Eq изоморфно топологическому прямому слагаемому некоторого Е Е то и Eq Е

Чо"1) Если Е и F принадлежат Чо , то их полное проективное тензорное произведение Е 0 F также принадлежит Чо .

Отметим, что этим условиям удовлетворяет большинство категорий полных ЛВП, используемых в функциональном анализе. Таковы, например,

• категория Ban банаховых пространств;

• категория Fr пространств Фреше;

• категория DF полных (БЕ)-пространств;

• категория FN ядерных пространств Фреше;

• категория DFN полных ядерных (DF)-npocTpaHCTB;

• наконец, вся категория LCS полных хаусдорфовых ЛВП.

Проективные и инъективные модули

Категории ®-модулей вида A-mod^), разумеется, аддитивны, но, как правило, неабелевы. Поэтому для построения содержательной гомологической теории в этих категориях следует выделить из всевозможных эпиморфизмов и мономорфизмов так называемые допустимые. По определению, морфизм х\ X —> Y в А-тод.(Ч?) называется допустимым мономорфизмом, если существует непрерывное линейное отображение г: У —X, такое, что тх — 1х■ Аналогично, морфизм а: X —» У" в А-то&(Чо ) называется допустимым эпиморфизмом, если существует непрерывное линейное отображение р: Y —* X, удовлетворяющее условию up — 1 у. Наконец, морфизм (р: X —> Y называется допустимым, если он может быть представлен в виде ср = ха, где х — допустимый мономорфизм, а и — допустимый эпиморфизм. На геометрическом языке это именно, чтобы эти категории обладали достаточным количеством проективных объектов; см. ниже. означает следующее: морфизм (р допустим тогда и только тогда, когда его ядро Кег (р и образ 1т <р являются дополняемыми подпространствами в X и У соответственно, и, кроме того, р> осуществляет открытое отображение X на 1т (р. Отметим, что для модулей Фреше последнее из этих условий выполняется автоматически ввиду теоремы Банаха об открытом отображении.

Замечание 0.2.1. Нетрудно проверить, что категория А-тос!(<^) вместе с классом допустимых моно- и эпиморфизмов удовлетворяет аксиомам точной категории в смысле Квиллена (см. [95] или [76]), поэтому к ней применимы основные конструкции абстрактной гомологической алгебры (производные категории, производные функторы и т.п.). Для наших целей, однако, столь общий подход не понадобится.

Напомним, что А-модуль Р Е А-тов.^) называется проективным, если для каждого допустимого эпиморфизма а: X —У в А-то&(у?) индуцированное отображение

АЦР,Х) ^ аЦР,¥), (р I ► с о (р сюръективно. Двойственно, Л-модуль Е А-тос1(<^7) называется инъ-ективным1 если для каждого допустимого мономорфизма х: X —» У в А-тос1(сЙ7) отображение лЬ(У,<2)(р^(р ох сюръективно. На языке коммутативных диаграмм, модуль Р проекти-вен тогда и только тогда, когда любая диаграмма Р

X—-У—-О в которой строка является допустимым эпиморфизмом, может быть дополнена до коммутативной диаграммы Р V

X—-У—-о

Аналогично, модуль О, инъективен тогда и только тогда, когда любая диаграмма о—-X—-У я в которой строка является допустимым мономорфизмом, может быть дополнена до коммутативной диаграммы

О——-У я

Удобно также определять проективные и инъективные модули в терминах точных функторов. Напомним (см. [42, 68]), что цепной комплекс X. = (Хп,с1п) в А-тоЗ.^) называется допустимым, если все морфиз-мы йп допустимы1. Это эквивалентно тому, что Хф, будучи рассмотрен как комплекс ЛВП, гомотопически эквивалентен своей гомологии. В частности, точный допустимый комплекс — это в точности комплекс, расщепимый как комплекс ЛВП (более подробно об этом см., например, в [27, §1]). Обозначим через Уес! категорию всех векторных С-пространств (не снабженных топологией). Следуя [42], назовем функтор Р: А-тод.^) —> Уес1 точным, если он переводит точные допустимые комплексы в точные. Тогда проективность модуля Р Е А-тос1((^) эквивалентна точности функтора лМ-Р, • ), а инъективность модуля Е А-шос1(^7) — точности функтора • , <5).

Заменяя функтор морфизмов функтором проективного тензорного произведения, мы приходим к понятию плоского модуля. Именно, левый А-модуль Р Е А-тос1(сй?) называется плоским, если функтор ( • ) (£>а Р точен как функтор из тос1-А(&) в Уес1. Каждый проективный модуль является плоским, причем в следующем усиленном смысле: если Р проективен, то функтор (•) Р, будучи рассмотрен как функтор из тос!-А(^) в ЬС8, переводит точные допустимые комплексы в расщепи-мые.

Для краткости мы будем называть проективным А-®-модулем модуль, проективный в А-тос!(ЬС8). Если А — алгебра Фреше, то проективный модуль Фреше — это проективный модуль в А-тос!(Ег). Аналогичное соглашение примем для инъективных и плоских модулей.

Для гомологической теории принципиально важным является тот факт, что категория А-тос1имеет достаточно много проективных объектов. По определению, это означает, что для любого модуля X Е А-тос!найдется проективный модуль Р Е А-тос1(с^) и допустимый эпиморфизм Р X. Более того, такой эпиморфизм может быть построен следующим каноническим образом.

1 Здесь мы следует терминологии работы [68]; в [42] в определение допустимого комплекса включается также требование его точности.

Напомним (см. §0.1), что для любого полного ЛВП Е проективное тензорное произведение А+ ® Е имеет естественную структуру левого А-®-модуля относительно действия алгебры А, определяемого формулой а • (b <S> х) = ab ® х. Поскольку категория ^ устойчива относительно проективных тензорных произведений (см. аксиому (^2)), мы видим, что при Е Е ^ модуль F = А+ (g) Е является объектом категории A-mod(У?). Модули указанного вида называются свободными. Они характеризуются следующим свойством универсальности: модуль F Е A-mod(^) свободен тогда и только тогда, когда он является представляющим объектом для функтора X Jf(E,X) при некотором Е £ Ч?У Отсюда нетрудно вывести (см. [42, III.1.25]), что свободные модули проективны.

Пусть теперь X — произвольный А-модуль из A-mod(^). Рассмотрим свободный модуль А+ ®1и определим морфизм

7г :А+®Х-*Х, а®х^а-х (0.2.1)

Легко видеть, что 7г — допустимый эпиморфизм. В самом деле, непрерывное линейное отображение р: X —» А+ ® X, действующее по правилу х I—> 1+®ж (где 1+ — единица в А+), удовлетворяет, очевидно, соотношению 7тр = 1х• Поскольку свободный модуль А+ ® X проективен, отсюда следует, что для любой категории ЛВП удовлетворяющей аксиомам категория А-модулей A-mod(<^7) действительно имеет достаточно много проективных объектов.

Указанный факт имеет фундаментальную важность для всей теории, поскольку он позволяет применить к категории A-mod^) многие стандартные конструкции гомологической алгебры и определить, в частности, производные функторы Ext и Тог (см. ниже). Тем не менее, чтобы построить наилучший вариант гомологической теории, весьма желательно располагать также достаточным количеством инъективных объектов. Говорят, что категория A-mod(<^?) имеет достаточно много инъективных объектов, если для любого модуля X Е A-mod(^) найдется инъективный модуль Q Е A-mod^) и допустимый мономорфизм

X->Q.

Для построения достаточного количества инъективных объектов естественно попытаться «дуализировать» описанную выше конструкцию канонического морфизма тг. Если А — банахова алгебра и ^ = Ban

1 Иными словами, свободные модули — это в точности те объекты из категории A-mod(^), которые свободны (в теоретико-категорном смысле) по отношению к «забывающему» функтору □: A-mod(^) —сопоставляющему каждому А-мо дулю из A-mod^) его подлежащее ЛВП. По поводу общего определения объекта, свободного по отношению к функтору, см. [45] или [9]. категория банаховых пространств1, то такая «дуализация» действительно возможна. При этом роль свободных модулей переходит к так называемым косвободным, т.е. банаховым модулям вида где

Е — банахово пространство. Напомним (ср. предложение 0.1.5), что действие А на ^(А+,Е) определяется формулой а ■ <р)(Ь) = ср(Ьа) (ер е Е); а,Ъ £ А) (0.2.2)

С теоретико-категорной точки зрения, косвободные модули в определенном смысле двойственны свободным: именно, банахов А-модуль ко-свободен тогда и только тогда, когда он представляет функтор X н-»• ^(Х, Е) для некоторого банахова пространства Е (более подробно об этом будет сказано в гл. 1). Как следствие, косвободные банаховы модули инъективны. Если теперь X — произвольный банахов А-модуль, то он может быть вложен в косвободный модуль ^(А+,Х) посредством допустимого мономорфизма г: X-> &(А+,Х); х ь-> (а а ■ х) (0.2.3) ср. обсуждение на с. 6, где рассматривался унитальный случай). Как следствие, категория банаховых модулей над банаховой алгеброй обладает достаточным количеством инъективных объектов.

К сожалению, при попытке обобщения данной конструкции на случай ненормируемой А возникает ряд трудностей. Некоторые из них уже упоминались во введении на с. 7. Перечислим теперь эти трудности более детально.

1. Если ЛВП Е и Е являются объектами категории то векторное пространство ^(Е, Е) не обладает, вообще говоря, какой-либо естественной топологией, превращающей его в объект ^. В частности, если Е и Е — пространства Фреше, причем Е ненормиру-емо, то Е, Е) не имеет естественной структуры пространства Фреше.

2. Если Е и Е — произвольные полные ЛВП, то пространство Л??ь(Е,Е) может не быть полным.

3. Даже если А — такая 0-алгебра, что пространство ^(А+, Е) полно2 для любого полного ЛВП Е, то каноническое действие (0.2.2) алгебры А на <^(А+, Е) не является совместно непрерывным, если только А не нормируема (ср. предложение 1.1.7). гНа самом деле, существенна здесь только банаховость Л, категория же банаховых пространств может быть заменена на категорию Ег или на всю ЬС8.

2Например, если А — алгебра Фреше или (БЕ)-алгебра.

По-видимому, из этих трех трудностей наиболее серьезной является последняя. Именно она вынудила Дж. Тэйлора [101] включить в рассмотрение так называемые гипомодули — объекты более общей и сложной природы, чем ®-модули. По поводу деталей см. работу Тэйлора [101], а также обсуждение на с. 7.

Замечание 0.2.2. Канонический морфизм 7г: А+®Х —X (см. (0.2.1)) доставляет следующую удобную характеризацию проективных модулей: модуль X Е А-то(1(<Й?) проективен тогда и только тогда, когда 7Г — ретракция в А-тод.^), т.е. когда существует морфизм р: X — такой, что 71 р ■= 1х■ Отсюда следует, что проективность, говоря неформально, не зависит от выбора категории Чо . Более точно, если базовая категория ^ является подкатегорией некоторой большей категории с€' С ЬСБ, также удовлетворяющей аксиомам (^1)-(^2), то А-модуль X Е А-тос!^) проективен в А-тос!(<^?) тогда и только тогда, когда он проективен в А-то&(с€'). В частности, любой проективный модуль Фреше над алгеброй Фреше проективен и как (^-модуль. Однако автору неизвестен ответ на аналогичный вопрос об инъективных модулях. По-видимому, основная сложность здесь состоит в невозможности описания инъективных модулей в терминах косвободных.

Сделаем несколько замечаний по поводу конструкций, сохраняющих проективность (^-модулей. Поскольку большинство из соответствующих утверждений формулируется и доказывается точно так же, как и в чистой гомологической алгебре, мы упомянем лишь те из них, которые будут использоваться в дальнейшем. Так, например, если А, В ж С — алгебры, X — проективный А-В-®-бимодуль, а У — £-С-®-бимодуль, проективный как правый С-®-модуль, то их тензорное произведение X ®вУ является проективным А-С-(8ьбимодулем. Далее, тензорное произведение проективных 0-модулеи над коммутативной (^-алгеброй само является проективным (^-модулем. Наконец, выделим следующее утверждение, которое, в отличие от двух предыдущих, не имеет чисто алгебраического аналога.

Утверждение 0.2.1. Пусть А — алгебра, {Рг- : г Е /} — произвольное семейство проективных левых А-®-модулей. Тогда прямое произведение Пгб/ ^ также является проективным А-®-модулем.

Доказательство, которое, очевидно, достаточно провести для случая свободных модулей, сводится к непосредственному применению утверждения 0.1.3.

Отметим также, что тензорное произведение плоского и проективного (^-модулей над коммутативной алгеброй является плоским модулем. iii) Из разложения X = Xun © Xann получаем функторный изоморфизм

Ah( Xun) © АЦ •, Хапп)

Поскольку • , Хапп) точен в силу (и), отсюда следует, что

•, X) точен ¿h( • , Xun) точен, или, эквивалентно,

X инъективен Xun инъективен в A-mod

Для завершения доказательства остается воспользоваться уже разобранным случаем (i). □

Замечание 0.2.4■ Для сравнения отметим, что свободные объекты в категории A-immod, т.е. Л-модули вида А(£>Е} где Е Е уже не являются свободными в A-mod. С другой стороны, они все же проективны в A-mod в силу предложения 0.2.3 (i).

Функторы Ext и Тог

Пусть X Е A-mod(<^7) — левый А-0-модуль. Напомним (см. [42, III.2]), что комплекс над X — это пара (X., б), состоящая из цепного комплекса X. в A-mod^), в котором Хп = 0 при п < 0, и морфизма е: Хо —► X, удовлетворяющего условию еос/0 = 0. Комплекс (Р., е) над X называется проективной резольвентой, если пополненный комплекс 0 <—X Р, точен и допустим. Проективная бимодулъная резольвента алгебры А — это проективная резольвента А как А-®-бимодуля.

Поскольку категория A-mod^) обладает достаточным количеством проективных объектов, стандартное индуктивное построение показывает, что каждый А-модуль X Е A-mod(<^?) имеет проективную (и даже свободную) резольвенту. Поэтому, как и в чистой гомологической алгебре, можно определить функторы Ext^( • ,Y) как правые производные функторы от функтора • ,Y). Более подробно, для произвольного X Е A-mod(^) возьмем его проективную резольвенту Р. и положим

ExtnA(X,Y) = Hn{Ah(P.,Y))

Пространства Ext^(X, Y) не зависят от выбора проективной резольвенты Р. модуля X. Более того, Ext^( ■ , • ) представляет собой функтор от двух аргументов, контравариантный по первому аргументу и кова-риантный по второму, принимающий значения в категории JifCS всех не обязательно хаусдорфовых) ЛВП1. Как и в чистой алгебре, подстановка любой короткой точной допустимой последовательности в качестве одного из аргументов функтора •, •) доставляет длинную точную последовательность соответствующих Ext-ов. Поэтому для каждого фиксированного X (соответственно, У) последовательность функторов Ext^(X, • ) (соответственно, Ext^( • , У)) может рассматриваться как «относительный аналог» того, что Гротендик называл ковариантным (соответственно, контравариантным) когомологическим д-функтором (см. [18]). Отметим, наконец, что для любых X, У Е A-mod(£^7) имеет место естественный топологическии из оморфизм АЦХ,У) = Ext^(X,У). По поводу деталей см. [42] и [101].

Замечание 0.2.5. Функтор Ext обладает почти всеми свойствами, которыми обладает его чисто алгебраический прототип, за исключением одного: он не может, вообще говоря, рассматриваться как правый производный функтор от своего второго аргумента. Причина состоит в возможном отсутствии в категории A-mod((^7) достаточного количества инъективных объектов.

Аналогичным образом можно определить функторы Тог^( ■ , У) как левые производные от функтора (■) У. А именно, для данного правого А-модуля X Е mod-A^) и левого А-модуля У Е A-mod(^) возьмем проективную резольвенту Р, модуля X и положим

Torf (X, У) = Нп(Р.§ У) А

Как и в случае Ext'oB, это определение не зависит от выбора резольвенты Р.; кроме того, Тог^( • , •) — ковариантный функтор от двух аргументов со значениями в категории £fCS. Отметим также, что функтор Torf(X, У) можно определять и как производный функтор по У при фиксированном X.

Замечание 0.2.6. Поскольку свойство А-модуля Р Е A-mod(^) быть проективным не зависит от выбора базовой категории ^ (см. замечание 0.2.2), легко видеть, что при вычислении функторов Ext и Тог можно не заботиться о том, какую категорию ЛВП взять в качестве ^. Например, можно положить с€ = LCS и рассматривать, таким образом, Ext и Тог как функторы на категории всех А-0-модулей; потери общности при этом не произойдет.

1 Напомним, что пространства ^h(Pn, Y) наделяются по умолчанию топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах, так что ¿Ь(Р,,У) — коцепной комплекс ЛВП.

Следует отметить, что функтор проективного тензорного произведения, в отличие от своего алгебраического прототипа, не является точным справа (контрпримеры см. в [42, VII.1.2]). В результате пространства X и Tor^(X, У), вообще говоря, различны. Тем не менее, они связаны между собой следующим каноническим образом.

Задавшись правым А-модулем X Е mod-А(&) и левым А-модулем У Е A-mod(^), рассмотрим непрерывное линейное отображение t]x,y Х§А§У-+Х§У, х0а®у\-^х-а0у — х 0 а • у (0.2.5)

Тогда имеет место топологический изоморфизм

Тог^(Х,У) ^ Сокегт^у (0.2.6) см. [42, III.4.26]). С другой стороны, проективное тензорное произведение X Y отождествляется с пополнением факторпространства X 0 Y по замыканию линейной оболочки элементов вида х ■ а® у — х (х) а ■ у (см. выше). Отсюда следует, что существует каноническое непрерывное линейное отображение

7х,у: Тог£(Х,У)->Х§У, (0.2.7) а причем его образ плотен в X 0 а У и совпадает с последним, если А, X и Y — пространства Фреше. Кроме того, ядро Кег7х,у совпадает с замыканием нуля в Тогд(Х, У), и jx,Y осуществляет открытое отображение на свой образ. Как следствие, пополнение пространства Tor^(X,У) канонически изоморфно X%AY (см. [42, III.4.26]).

Если X — плоский правый А-модуль (или если Y — плоский левый А-модуль), то пространство Тог^(Х,У) хаусдорфово и полно. В этом случае jx,Y осуществляет топологический изоморфизм Тог^(Х, У) на X У, и, кроме того, Torf (X, У) = 0 при п > 0. Последние два условия полностью характеризуют плоские модули (см. [42, VII. 1.1]).

В частности, при X = А мы получаем канонический топологический изоморфизм

Тогд (А, У) = У (0.2.8)

Если X Е A-mod-A^) — А-бимодуль, то пространство п-мерных когомологий (соответственно, гомологии) Хохшилъда алгебры А с коэффициентами в V определяется как Жп(А,Х) = Ext^e(A+,X) (соответственно, Жп{А,Х) = Torfe(A+, V)). Если А унитальна, то в этих определениях можно заменить А+ на А (ср. предложение 0.2.3). Если же и X унитален, то можно заменить А6 на А®п (см. [42, III.4.2]). Отметим также, что пространство нульмерных гомологии ¿Щ(А,Х) топологически изоморфно коядру отображения ejj: АёМ -+М, й®шиа>т - т • а (0.2.9)

Пространства Torf(X, У) могут быть выражены через гомологии Хохшильда следующим образом. Напомним (см. §0.1), что для любого правого А-модуля X Е mod-А(^) и левого А-модуля У Е A-mod(c?f) их проективное тензорное произведение У (§) X является А-®-бимодулем относительно операций, однозначно определенных формулами а • (у ® х) = (а • у) ® х и (у (g) х) ■ а = у ® (х ■ а).

Ясно, что Y ®Х является объектом категории A-mod-A^).

Следующее утверждение доказано в [101, 2.8] и [42, Ш.4.25].

Утверждение 0.2.4. Пусть А — алгебра, X Е mod-А(^) — правый А-®-модуль, У Е A-mod(^) — левый А-®-модуль. Тогда имеют место естественные топологические изоморфизмы

Torf (А, У) = J%(A,Y®X) (п Е Z+)

Аналогичная взаимосвязь имеется также между функтором Ext и когомологиями Хохшильда, однако в этом случае приходится налагать некоторые дополнительные линейно-топологические условия на рассматриваемые алгебры и модули. Напомним (см. замечание 0.1.4 и формулы (0.1.14)—(0.1.15)), что для любого левого банахова А-®-модуля X и любого левого А-®-модуля У пространство Jzfb(X, У) может рассматриваться как А-С8)-бимодуль относительно операций, определенных формулами а ■ (р)(х) = а ■ ip(x) и (<р ■ а)(х) = ср(а • х).

Следующее утверждение — это частный случай [101, 3.8 и 4.1].

Утверждение 0.2.5. Пусть А — алгебра, X — левый банахов А-®-модуль, У — левый А-®-модуль. Предположим дополнительно, что А — либо алгебра Фреше, либо бочечная (DFj-алгебра. Тогда существуют естественные алгебраические изоморфизмы

Ext^(X, У) ^ JT (A, Jfb(X, У)) (п Е Z+) (0.2.10)

Замечание 0.2.7. Доказательство утверждения 0.2.5 основано на изоморфизмах сопряженной ассоциативности (0.1.16), которые в общем случае могут не быть топологическими (ср. замечание 0.1.6). Тем не менее, если А — ядерная алгебра Фреше или (БЕ)-алгебра, то (0.2.10) — топологические изоморфизмы.

Для дальнейших ссылок выделим еще одно свойство функтора Ext.

Предложение 0.2.6. Пусть А — алгебра, X — левый А-®-модуль, а {Yi : г Е 1} — произвольное семейство левых А-<£>-модулей. Тогда имеют место естественные топологические изоморфизмы п Е Z+) (0.2.11) iei iei

Доказательство. Положим Y = Yliei^i и обозначим через 7гг- проекцию Y на Yj. Из определения прямого произведения следует, что для любого левого т4-®-модуля Р имеет место естественный изоморфизм векторных пространств аЦР.У) iei

Ср I ^ (Рг)геГ, <fi = Щ О (р

Тривиально проверяется, что это — топологический изоморфизм1. Поэтому, если Р,, — проективная резольвента модуля X, мы имеем топологический изоморфизм комплексов ЛВП аЫР.Х) = цаЦР.^ (0.2.12) iei

Переходя в (0.2.12) к n-мерным когомологиям и пользуясь тем, что функтор n-мерной когомологии, определенный на категории комплексов ЛВП, перестановочен с прямыми произведениями (ср. [26]), мы получаем требуемый изоморфизм (0.2.11). □

Замечание 0.2.8. Пользуясь утверждением 0.1.3, нетрудно показать, что функтор Тог также перестановочен с прямыми произведениями.

Разумеется, здесь можно снабжать пространства морфизмов любой ©-топологией.

Канонический морфизм ExQ(X, A)§>aY —Ext^(X, У)

В чистой гомологической алгебре существует множество канонических гомоморфизмов, связывающих между собой композиции производных функторов Ext и Тог (см., например, [8]). К сожалению, применить аналогичные конструкции к категориям ^-модулей в общем случае не удается. Одно из основных препятствий здесь заключается в том, что локально выпуклые Ext- и Тог-пространства не являются, вообще говоря, полными и хаусдорфовыми. Как следствие, понятие композиции производных функторов в топологической гомологии лишено смысла. Все же в некоторых конкретных ситуациях канонические гомоморфизмы такого рода существуют и играют важную роль. Имея в виду дальнейшие приложения к алгебрам функций на многообразиях (см. п. 3.3.3), опишем некоторые (впрочем, достаточно жесткие) условия, позволяющие построить такой гомоморфизм.

Для простоты предположим, что А — унитальная алгебра Фреше, а X — левый А-модуль Фреше. Фиксируем проективную резольвенту Р, модуля X, состоящую из А-модулей Фреше. Напомним (см. §0.1), что для любого левого А-®-модуля У пространство ^h(P„, У), снабженное, как обычно, топологией равномерной сходимости на ограниченных множествах, полно для любого п Е Z+ ввиду метризуемости Рп. Полагая У = А и рассматривая А как А-®-бимодуль, мы можем ввести на аЪ.(Рп, А) структуру правого A-<g)-модуля при помощи формул (0.1.13). Тем самым коцепной комплекс А) становится комплексом правых

А-®-модулей, а его когомологии, т.е. пространства Ext^(X, А) — правыми локально выпуклыми А-модулями (не обязательно хаусдорфовыми). При этом, очевидно, действие А на Ext^(X, А) совместно непрерывно. Поэтому, если для некоторого п £ Z+ пространство Ext^(X, А) полно и хаусдорфово, то оно может рассматриваться как правый А-®-модуль.

Для произвольного левого А-®-модуля У и каждого г Е Z+ имеем естественное билинейное отображение

Фг: АЦРг,Л) xY ^ Ah(PhY), (м, у) h(ih и(х) • у)

Легко видеть, что для любого ограниченного множества S С Pi и окрестностей нуля U С А, У С У имеет место включение

Ф{ (М(5, U) х V) С М(5, U ■ V)

Отсюда следует, что Ф{ совместно непрерывно. Кроме того, Фг- сбалансировано, поскольку

Фг(и ■ а, у){х) = (и ■ а)(х) ■ у = и(х)а • у = и(х) ■ (а ■ у) = Ф{(и, а ■ у)(х) для всех и Е аЬ(Р{,А), а £ А, у £ У ж х £ X. Следовательно, Фг-индуцирует непрерывное линейное отображение \ А) (§А У лЬ(Рг-,У). Таким образом, имеем отображение комплексов ЛВП р.: АЦР.,А)ёУ ^ аЦР.Х) а

Переходя к гг-мерным когомологиям, получаем непрерывное линейное отображение нп(р.)-. НП{АЦР.,А)®У) -Ехй(Х,У) а

С другой стороны, можно рассмотреть совместно непрерывное билинейное сбалансированное отображение а г, у) ьг® у, а где через Zn обозначены пространства гг-коциклов соответствующих комплексов. Очевидно, данное отображение переводит кограницы в кограницы, поэтому на уровне когомологий получаем отображение

Ех^(Х, А) хУ^Нп (аЧР.,А) | У)

Наконец, беря его композицию с Нп((р.), мы получаем совместно непрерывное сбалансированное билинейное отображение

Е хЬпа(Х,А) хУ^ Ех^(Х,У)

Следовательно, если предположить, что оба пространства Ех^(Х, А) и Ех^(Х, У) полны и хаусдорфовы, то существует корректно определенное непрерывное линейное отображение

Ех1пА(Х, А) § У Ех^(Х, У) (0.2.13) а

Ясно, что это отображение не зависит от выбора проективной резольвенты Р. и естественно по X и У в очевидном смысле.

Предложение 0.2.7. Пусть А — униталъная алгебра Фреше, а X — левый А-модулъ Фреше. Предположим, что з/ С А-тос1(ЬС8) — полная подкатегория, содержащая А и обладающая тем свойством, что пространство Ех^(Х, У) полно и хаусдорфово для любого У Е ¿2/. Тогда существует единственный морфизм функторов

Ех^(Х, А) <§( •) —► Ех^(Х, •), (0.2.14) а действующих из в совпадающий при У = А с каноническим изоморфизмом

Ех^(Х, А) §> А Ех^(Х, А), [и]®йи [м] • а (0.2.15) а а

Доказательство. Существование указанного морфизма было доказано выше; докажем его единственность. Задавшись произвольным модулем У Е и элементом у £ У, рассмотрим морфизм правого умножения Яу: А —+ У, действующий по правилу а \—> а • у. Применяя функторный морфизм (0.2.14), получаем коммутативную диаграмму

Ех^(Х, А) Фа А —- Ех^(Х, А)

1®Иу е хйрг.ду)

Ех^(Х, А) ®А У — У)

Здесь верхнее горизонтальное отображение, по условию, совпадает с каноническим изоморфизмом (0.2.15). Поэтому значение нижнего горизонтального отображения на элементарных тензорах вида [м] у однозначно определено условием (0.2.15) и требованием коммутативности диаграммы. Поскольку линейная оболочка элементарных тензоров плотна в пространстве Ех1^(Х, А) <Эа У, мы заключаем, что существует не более одного морфизма (0.2.14) с требуемым свойством. Предложение доказано. □

Гомологические размерности

Пусть X Е А-тос1(<^7) — левый А-модуль, и пусть п Е — неотрицательное целое число. Тогда следующие условия эквивалентны (см. [42, III.5.4]):

1. Ех^(Х, У) = 0 для каждого У Е А-тос!^) и каждого р > п.

2. Ех^+1(Х,У) = 0 для каждого У Е А-тос!(<^?).

3. X имеет проективную резольвенту

О^ХДРо^----Рг+1 <--------(0.2.16) в которой Р{ = 0 для всех % > п.1

4. Для каждой проективной резольвенты (0.2.16) модуля X существует морфизм 5: Рп —> Рп+ъ такой, что йпз<1п = йп.

5. Для каждой проективной резольвенты (0.2.16) модуля X модуль 1т 4-1 С Рп-1 проективен.

Наименьшее п с указанным свойством обозначается через сШ^ X и называется проективной гомологической размерностью модуля X. Если такого п не существует, полагают сШ^Х = оо. Очевидно, что проективные модули — это в точности модули нулевой проективной гомологической размерности (см. условие 3). Из условия 4 и замечания 0.2.2 нетрудно вывести, что проективная гомологическая размерность не зависит от выбора категории (см. также [42, Ш.5]).

Двойственное понятие — инъективная гомологическая размерность модуля — определяется следующим образом. Для заданного А-модуля X £ А-и неотрицательного целого числа п Е Ъ+ следующие условия эквивалентны:

1. Ех^(У, X) = 0 для каждого У Е А-то<4(^) и каждого р > п.

2. Ех^+1(У,Х) = 0 для каждого У Е А-тос1(#).

Наименьшее п с указанным свойством обозначается через т^сШ^ X и называется инъективной гомологической размерностью модуля X. Если такого п не существует, полагают трсШ^Х = оо. Нетрудно показать, что инъективные модули — это в точности модули нулевой инъективной гомологической размерности. Для этого достаточно воспользоваться длинной точной последовательностью Ех1>пространств, возникающей при подстановке в функтор • ,Х) короткой точной допустимой последовательности А-модулей (см. [42, Ш.4.1]).

Замечание 0.2.9. Отметим, что в определении инъективной размерности отсутствуют аналоги условий 3-5 из определения проективной размерности. Причина тому — уже неоднократно упоминавшаяся «асимметрия» между свойствами проективности и инъективности. Мы не можем определять инъективную гомологическую размерность в терминах инъ-ективных резольвент, поскольку категория А-тос1(^) может не иметь

1 Наименьшее п с таким свойством часто называют длиной резольвенты Р,. достаточного количества инъективных объектов. Неясно также, может ли инъективная размерность зависеть от выбора категории ^ (ср. замечание 0.2.2). Тем не менее, если А — банахова алгебра, а ^ = Ban — категория банаховых пространств1, то желаемая симметрия восстанавливается. Например, «инъективный аналог» условия 3 формулируется следующим образом: модуль X имеет инъективную резольвенту

0 -+Х Л Q1 ----i Qi+1 • • в которой Q1 = 0 для всех i > п. Очевидным образом формулируются и условия, аналогичные 4-5.

Левой глобальной гомологической размерностью 0-алгебры А (по отношению к категории называется число dg А, определяемое следующим образом: dgA = sup{ dhAX :Х £ A-mod(^) }

Гомологическая биразмерностъ dbA алгебры А — это, по определению, проективная гомологическая размерность А+ как А-бимодуля, т.е. dh^e А+. Если А унитальна, то в этом определении можно заменить А+ на А и А6 на A®n. Биразмерность можно определить также в терминах когомологий Хохшильда следующим образом: db А = inf{ п : Жп+1 (А,Х) — 0 для всех X £ A-mod-А(^) }

Для каждой (хьалгебры А справедливо неравенство dg А ^ db А (см. [42, III.5.16] или [101, 5.3]). В частности, dh^X ^ dbA и inj.dh^ X ^ db А для любого X £ A-mod(^).

Отметим, что примеры ®-алгебр, для которых dgA < dbA, до сих пор не найдены (см. [66]).

2См. сноску 1 на с. 36.

Основные результаты

В этой главе мы переходим непосредственно к основной теме диссертации, а именно, к вопросу о наличии инъективных модулей Фреше над алгебрами Фреше и к вычислению инъективных гомологических размерностей. Как уже упоминалось во введении, наша главная задача состоит в том, чтобы показать, что над многими классическими алгебрами анализа не существует нетривиальных инъективных модулей Фреше, подтверждая тем самым гипотезу, высказанную А. Я. Хелемским в [66]. Вторая же цель работы, тесно связанная с первой — выяснить, какие значения может принимать инъективная гомологическая размерность модулей Фреше над той или иной алгеброй.

Мы рассмотрим два подхода к данной проблеме. Первый из них основан на взаимосвязи между инъективностью и делимостью и существенно опирается на результаты предыдущей главы о наличии кручения в делимых модулях Фреше (теорема 1.2.2). Используя этот подход, мы покажем, что над алгебрами формальных степенных рядов С[[^1,. , а также над их бесконечномерными факторалгебрами, не существует ненулевых инъективных модулей Фреше. Второй же подход использует некоторые соотношения между гомологиями и когомологиями Хох-шильда, имеющие место для достаточно широкого класса алгебр Фреше, и позволяет не только доказывать отсутствие инъективных модулей Фреше, но и оценивать и вычислять инъективные гомологические размерности произвольных модулей Фреше над такими алгебрами.

Техническое замечание. Начиная с этого момента, все алгебры и модули предполагаются унитальными, если не оговорено противное. Ввиду предложения 0.2.3, потери общности при этом не происходит.

2.1. Отсутствие инъективных модулей Фреше над полными нетеровыми локальными алгебрами

Напомним вначале некоторые сведения из коммутативной алгебры (см., напр., [2] или [7]). Пусть А — локальное коммутативное кольцо с максимальным идеалом т. Факторкольцо А/т является тогда полем, называемым полем вычетов кольца А. Если А — алгебра над некоторым полем к, то каноническое отображение к А/т позволяет рассматривать А/т как расширение поля к. Всюду в дальнейшем мы будем предполагать, что А/т = к.

Если А нетерова, то несложное индуктивное рассуждение показывает, что для каждого п Е N векторное ^-пространство А/тп конечномерно. В самом деле, для п = 1 это следует из только что сделанного предположения о том, что А/т — к. Если теперь го Е N произвольно, то из нетеровости А следует, что идеал конечно порожден. Поэтому тп~1 /тп — конечномерное векторное пространство над А/т = к. Для доказательства конечномерности А/тп остается воспользоваться индуктивным предположением и короткой точной последовательностью векторных пространств

О тп-1/тп А/тп А/тп~1 0 (2.1.1)

Пусть теперь к = С. Снабдим каждое из конечномерных пространств А/тп обычной евклидовой топологией и введем на А слабейшую топологию, в которой все фактор-отображения тп: А —> А/т11 непрерывны. Наряду с А, рассмотрим также алгебру А = Ит А/тп. Будучи снабжена топологией локально выпуклого обратного предела, А является алгеброй Фреше-Аренса-Майкла.

Следующее предложение описывает свойства локальных нетеровых алгебр, необходимые для дальнейшего. По существу, это предложение хорошо известно, но для сохранения целостности изложения мы приводим доказательство.

Предложение 2.1.1. Пусть А — локальная нетерова С-алгебра с максимальным идеалом ш. Тогда только что введенная топология превращает А в хаусдорфову локально мультипликативно выпуклую метри-зуемую алгебру. Кроме того, справедливы следующие утверждения. Все идеалы в А замкнуты (теорема замкнутости А. Картана; ср. [14, 1.5.4]). ii) Каноническое отображение т = lim тп : А —> А топологически инъективно и имеет плотный образ. В частности, А совпадает с пополнением1 А. iii) Все идеалы в А замкнуты и дополняемы как подпространства.

Доказательство. Поскольку А нетерова, из теоремы Крулля следует, что mпМ = 0 для любого конечно порожденного А-модуля M (см. [2, 10.19]). Возьмем произвольный идеал I С А и положим M = А/1. Тогда, как легко убедиться, условие P|n mпМ = 0 эквивалентно тому, что

I = f](I + m") = f]r.-l(rn(I)) п п

Из конечномерности А/шп вытекает, что тп(1) замкнуто в A/mn для любого п G N. Следовательно, I замкнут в А как пересечение замкнутых подмножеств т~1(тп(1)). Это доказывает (i).

Для доказательства (ii) заметим, что ядро отображения т совпадает с тп" и поэтому равно нулю в силу теоремы Крулля. Кроме того, из определения топологии в А легко следует, что она совпадает с прообразом топологии обратного предела в А при отображении т. Это доказывает, что т топологически инъективно; в частности, А, будучи подалгеброй в А, метризуема, хаусдорфова и локально мультипликативно выпукла. Наконец, из сюръективности всех тп и определения топологии в А очевидным образом вытекает, что образ г плотен в А. Тем самым (ii) доказано.

Чтобы доказать (iii), воспользуемся тем, что А — тоже нетерова локальная алгебра, причем ее максимальный идеал ш совпадает с замыканием ш в А, и имеют место изоморфизмы А/т" = А/тп (см. [2, гл. 10]). В частности, если ввести на А новую топологию при помощи той же конструкции, которая была применена к А, эта топология будет совпадать с уже имеющейся. Отсюда, принимая во внимание (i), мы заключаем, что все идеалы в А замкнуты. Далее, поскольку А — обратный предел конечномерных алгебр А/шп, ее подлежащее пространство Фреше топологически изоморфно произведению прямых См, где множество M не более чем счетно. Но, как хорошо известно (см., напр., [6, IV. 1, упр. 13] или [84]), все замкнутые подпространства в См дополняемы. Это завершает доказательство. □

1 Отметим, что А совпадает с пополнением А также и в в ш-адической топологии; см. [2, гл. 10].

На протяжении оставшейся части параграфа под полной нетеровой локальной алгеброй мы будем понимать локальную коммутативную не-терову С-алгебру с максимальным идеалом ш, удовлетворяющую условию А/т = С, снабженную вышеуказанной локально выпуклой топологией и полную в этой топологии.

Пример 2.1.1. Основной пример полной нетеровой локальной алгебры — алгебра ,. , гп]\ формальных степенных рядов с топологией по-коэффициентной сходимости (см., напр., [14, 1.0.4] и [2, 10.27]).

Замечание 2.1.1. Топология, которой мы наделяем нетеровы локальные алгебры, обладает теми же функториальными свойствами, что и ш-адическая топология, используемая в классической коммутативной алгебре (см. [2, 7]). В частности, любой локальный (т.е. переводящий максимальный идеал в максимальный) гомоморфизм в: А —> В непрерывен в указанной топологии и, как следствие, корректно продолжается до локального гомоморфизма пополнений в: А —»■ В, который, разумеется, также непрерывен. Отметим, кроме того, что образ в замкнут в В. Это можно вывести, например, из того, что А как топологическое векторное пространство изоморфна См (см. выше), и что любое непрерывное линейное отображение из См в отделимое ЛВП имеет замкнутый образ (см. [6, 1У.1, упр. 13] или [84]).

Замечание 2.1.2. Любая полная нетерова локальная алгебра А является гомоморфным образом алгебры С[[г1,. , для подходящего п. Чтобы это установить, выберем систему образующих а\, • • ■ , ап максимального идеала ш С А и определим гомоморфизм в из алгебры полиномов С[^1,. , гп] в А формулой в^) = аг- (г = 1,. , тг). Из индуктивных соображений (использующих, например, точную последовательность (2.1.1)) нетрудно вывести, что для каждого с? Е N векторное пространство А/т<1 порождается полиномами степени не выше <1 — 1 от элементов т^«]),. , тДап). Тем самым композиция т^ов: С^,. А/т^ сюръективна для каждого (I Е М, и из определения топологии на А легко следует, что в имеет плотный образ. Кроме того, ясно, что в непрерывен относительно топологии покоэффициентной сходимости на . , поэтому, ввиду полноты А, он продолжается до гомоморфизма в: С[[^1,. , гп]] А, также непрерывного и имеющего плотный образ. С другой стороны, принимая во внимание замечание 2.1.1, мы видим, что образ в замкнут. Следовательно, в сюръективен .

1 Отметим, что сюръективность в в данном случае можно установить и чисто алгебраическими средствами — например, с помощью перехода к ассоциированным градуированным алгебрам; см. [2, 10.23].

С другой стороны, ясно, что гомоморфный образ любой полной не-теровой локальной алгебры (в частности, алгебры формальных степенных рядов . , гп]\) — также полная нетерова локальная алгебра. Таким образом, полные нетеровы локальные алгебры могут быть охарактеризованы как факторалгебры . , гп]] по ее (автоматически) замкнутым идеалам.

Основной результат этого параграфа состоит в следующем.

Теорема 2.1.2. Пусть А — бесконечномерная (как векторное пространство) полная нетерова локальная С-алгебра,. Тогда над А не существует ненулевых инъективных модулей Фреше.

Доказательство будет состоять из нескольких лемм.

Лемма 2.1.3. Дополнительно к условиям теоремы 2.1.2 предположим, что А не имеет нильпотентных элементов. Тогда одномерный А-модуль С = А/т не вложим в инъективный А-модуль Фреше.

Доказательство. Предположим противное; пусть / : С —► <5 — вложение С в какой-либо инъективный А-модуль Фреше Нам будет удобно отождествить С с его сопряженным модулем С. Для каждого п рассмотрим канонический морфизм т£+1: А/тп+1 А/т", действующий по правилу а + тп+1 > а + шп, а также его сопряженный морфизм

Тп+1)' '• (А/тп)' (А/тп+1)'

Ясно, что г™+1 сюръективен, а (т™4"1)' инъективен. Поскольку, кроме того, (т™+1)' действует между конечномерными модулями, он представляет собой допустимый мономорфизм.

Пользуясь инъективностью мы можем построить по индукции последовательность морфизмов А-модулей (рп \ (А/т71)' —Ц так, чтобы (рх = / и (рп+1 о (г™+1)' = (рп. В самом деле, предположим, что морфиз-мы <рг,. ,(рп с указанными свойствами уже построены. Поскольку инъективен, а (т"+1 У — допустимый мономорфизм, мы видим, что существует морфизм (рп+1: (А/тп+1)' —> ), делающий следующую диаграмму коммутативной:

А/тпу{-^\А/тп+1у У

V ^ <рп +1

Таким образом, последовательность морфизмов рп с требуемыми свойствами построена.

Положим (р = lim^n: lim(A/mM)' —> Q. Очевидно, р> ф 0, так как ipi ф 0. Поскольку все пространства A/mn конечномерны и, следовательно, рефлексивны, мы видим, что прямой предел lim(A/mn)' топологически изоморфен сильному сопряженному А1 (см. [47, IV.5.8, IV.4.4]). Таким образом, мы получаем ненулевой морфизм локально выпуклых А-модулей (р: А' Q. Пользуясь рефлексивностью А, мы можем считать, что сопряженный морфизм р>': Q' —А" принимает значения в А.

Фиксируем элемент у Е Q' так, чтобы с = (р'(у) Ф 0. Положим I = Апп^(с) С А и X = Q'/ Кег р>. Отметим, что X, будучи факторпро-странством (DF)-npocTpaHCTBa Q', само является (БЕ)-пространством (см. [17,1.4]). Рассмотрим оператор умножения Ly: А —» QLy(a) = у-а. Очевидно, имеет место включение Ly(I) С Кег<^;. Получаем следующую коммутативную диаграмму:

A^Q'^A A/I^X^A

Здесь вертикальные стрелки — это канонические фактор-отображения, а нижние стрелки а ж (3 индуцированы операторами Ly и р' соответственно. Поскольку с = (р'(у) по определению, мы видим, что композиция p'Ly совпадает с оператором левого умножения Lc: А —> А, а композиция (За: А/1 —> А действует по правилу а + I i—са. Ясно, что отображение (3o¿ инъективно, а его образ — это главный идеал сА С А. Напомним, что все идеалы в А замкнуты (предложение 2.1.1 (i)). Применяя теорему Банаха об открытом отображении, мы заключаем, что (За топологически инъективно; следовательно, таково же и а.

Итак, мы построили топологически инъективное вложение а пространства Фреше А/1 в (DF)-np0CTpaHCTBO X. Из существования такого вложения следует, в частности, что А/1 обладает фундаментальной последовательностью ограниченных множеств1. Но пространство Фреше может обладать такой последовательностью только в том случае, если оно нормируемо (см., напр., [19, п. 4]). Таким образом, А/1 нормируемо. С другой стороны (см. доказательство предложения 2.1.1 (iii)), А/1 как топологическое векторное пространство изоморфна произведению пря

1 Говорят, что последовательность {Вп} ограниченных подмножеств некоторого JIBII Е фундаментальна, если всякое ограниченное подмножество В С Е содержится в некотором Вп. мых См, где множество М не более чем счетно. Поэтому пространство А/1 может быть нормируемо лишь тогда, когда оно конечномерно.

Конечномерность нетеровой локальной алгебры А/1 эквивалентна нильпотентности ее максимального идеала т/1 (см. [2, гл. 8]); следовательно, для некоторого п Е N имеет место включение mn С I. Возьмем минимальное п с указанным свойством и фиксируем элемент Ь Е тп~1\1. Тогда элемент а — Ьс аннулируется идеалом ш, так как mb С ш" С I = Ann/i(c). Кроме того, а Е ш, так как в противном случае а был бы обратим, и из условия та = 0 вытекало бы, что ш = 0, т.е. А = С, а это противоречит условию. Итак, йЕгои та = 0; следовательно, а2 = 0. Но, по условию, А не имеет нильпотентных элементов; значит, Ьс = а = 0. В свою очередь это означает, что Ь Е Апп^(с) = I. Это противоречит выбору элемента Ъ. Тем самым лемма доказана. □

Следующий шаг доказательства теоремы 2.1.2 состоит в том, чтобы показать, что каждый ненулевой инъективный модуль Фреше над полной нетеровой локальной алгеброй А обязан содержать изоморфную копию одномерного A-модуля С = А/т. Это будет установлено в следующих трех леммах.

Лемма 2.1.4. Пусть А — полная нетерова локальная С-алгебра с максимальным идеалом т. Предположим, что Q — ненулевой инъективный A-модуль Фреше. Тогда для любого Ь Е т существует q Е Q. q ф 0, такой, что Ь ■ q = 0.

Доказательство. Фиксируем элемент Ь Е m и рассмотрим идеал I = Апп^(6) С А. Если I не аннулирует возьмем такие с Е / и у Е Q, что q = с ■ у ф 0. Тогда Ъ ■ q = 0, и требуемый элемент q найден.

Предположим теперь, что I ■ Q = 0. Покажем, что в этом случае оператор умножения Q —► Q сюръективен, т.е. для каждого х Е Q существует у Е Q, удовлетворяющий условию Ъ-у = х. Поскольку 1-х = 0 и Ib = 0, мы имеем корректно определенные морфизмы

RX:A/I—±Q, а + I н-> а • ж, Rb: А/1 —► A, a + I\->ab

Заметим, что инъективен, а его образ — это главный идеал АЪ С А. По предложению 2.1.1 (ni), ImRb — замкнутое дополняемое подпространство в А, так что Rb — допустимый мономорфизм в силу теоремы Банаха об открытом отображении.

Пользуясь инъективностью модуля Q, мы заключаем, что существует морфизм A-модулей ф: А —> Q, такой, что следующая диаграмма коммутативна:

- Ф Я

Тогда, очевидно, элемент у = ^(1) удовлетворяет требуемому условию Ь • у = х. Тем самым оператор умножения ► О, сюръективен.

Теперь мы можем применить теорему 1.2.2 (ш) о наличии кручения в делимых С[ [2]]-модулях Фреше. Для этого рассмотрим гомоморфизм алгебр 9: С\г] —> А, переводящий образующую г в Ь. Из условия Ь Е ш вытекает, что 9 непрерывен относительно топологии покоэффициент-ной сходимости в С[г] (ср. замечание 2.1.2) и поэтому продолжается до непрерывного гомоморфизма С[[-г]] —> А. Последний гомоморфизм превращает в С[[г}\-модуль Фреше. Мы утверждаем, что этот модуль делим. В самом деле, любой ненулевой элемент а Е С[[г]] может быть представлен в виде а = где элемент с обратим. Так как оператор Ьь = Ьг сюръективен по доказанному выше, то же самое верно и для Ьа = Ь™ЬС. Следовательно, делим как С[[0]]-модуль Фреше, поэтому он имеет кручение в силу теоремы 1.2.2 (111). Это означает, что существует элемент х £ аннулятор которого 3 = Аппц^]] (х) — ненулевой собственный идеал в С[[г]]. Следовательно, <7 порожден элементом хп для некоторого п Е N. Остается положить q = гп~1 ■ х и заметить, что д ф о и Ъ ■ д = гп ■ X = 0. □

Следующая лемма — частный случай хорошо известного чисто алгебраического результата (см., например, [20, II.6.1а]).

Лемма 2.1.5. Пусть А — алгебра Фреше, I С А —замкнутый двусторонний идеал, а — инъективный левый А-модулъ Фреше. Тогда подмодуль <5о = Аппд(/) С Я инъективен как А/1-модуль Фреше.

Доказательство. Для каждого левого А//-модуля Фреше X имеют место следующие естественные алгебраические изоморфизмы:

АЦХ,<Э) ^ аЦА/1 % Х,0) = а/М.Х,аЧА/1^)) = анЬ(*,<Эо) а/1 см. (0.1.16), предложение 0.1.2 и замечание 0.1.5). Поскольку О, инъективен, функтор • , О) точен. Из последней цепочки изоморфизмов вытекает, что вместе с ним точен функтор л//Ь( •, фо)- Это и означает, что о инъективен над А/1. □

Лемма 2.1.6. Если выполнены условия леммы 2.1.4, то существует элемент q Е Я, q ф 0, такой, что т • д = 0.

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по размерности вложения emb. dim А, т.е. минимальному числу образующих максимального идеала т. Случай emb. dim А = 1 вытекает непосредственно из леммы 2.1.4. Предположим, что emb. dim А = п > 1 и выберем образующие bi,. , Ьп идеала т. Из леммы 2.1.4 получаем, что AnnФ 0. Положим Qo = AnnQ(bn); тогда Qo инъективен над А/АЬп по лемме 2.1.5. Заметим, что алгебра Фреше А/АЬп — полная нетерова локальная С-алгебра с максимальным идеалом т/АЬп. Этот идеал порожден каноническими образами элементов . , следовательно, emb. dim A/Abn < п. По предположению индукции, существует q G Qo, q Ф 0, удовлетворяющий условию (т/АЬп) • q = 0. Тогда m • q = 0, как и требовалось. □

Доказательство теоремы 2.1.2. Предположим противное; пусть Q ф 0 инъективный А-модуль Фреше. Без ограничения общности мы можем предположить, что А не имеет нильпотентных элементов. В самом деле, пусть п — нильрадикал А, т.е. множество всех ее нильпотентных элементов. Поскольку А нетерова, мы имеем nm = 0 для некоторого m G N. Выберем минимальное k G N, удовлетворяющее условию пк-Q = 0. Тогда 0 ф п^-1 • Q С Anng(n), и, в частности, Аппд(п) ф 0. По лемме 2.1.5, модуль Qo = Anng(n) инъективен как А/п-модуль Фреше. Ясно, что А/ri полная нетерова локальная С-алгебра без нильпотентных элементов. Кроме того, из бесконечномерности А как векторного пространства легко следует бесконечномерность А/п. В самом деле, пусть А/п конечномерна; тогда ее максимальный идеал m/n совпадает с нильрадикалом (см., напр., [2, 8.2]), который, в свою очередь, равен нулю. Тем самым m = n, так что m нильпотентен, и поэтому А конечномерна. Полученное противоречие означает, что А/п бесконечномерна вместе с А.

Итак, алгебра А/п удовлетворяет всем условиям теоремы 2.1.2, обладает ненулевым инъективным модулем Фреше Q о и вдобавок не имеет нильпотентных элементов. Поэтому, не ограничивая общности, мы можем считать, что сама алгебра А не имеет нильпотентных элементов.

По лемме 2.1.6, существует элемент 0 ф q £ Q, такой, что m • q = 0. Очевидно, отображение А/m —>■ Q, действующее по правилу а+ши a-q, корректно определено и является вложением одномерного А-модуля С = А/т в Q. Но это противоречит лемме 2.1.3. Теорема доказана. □

2.2. Оценка и вычисление инъективных гомологических размерностей

В предыдущем параграфе было показано, что проблема существования инъективных модулей Фреше имеет в общем случае отрицательное решение. Использованный при этом подход существенно опирался на многие специфические свойства полных нетеровых локальных алгебр, не имеющие места для подавляющего большинства классических алгебр анализа. Поэтому представляет интерес исследовать данный вопрос и для других алгебр Фреше — в частности, для алгебр гладких и голоморфных функций. Отметим в этой связи, что именно алгебры голоморфных функций были упомянуты А. Я. Хелемским [66] как «наиболее вероятные» кандидаты на роль алгебр, не имеющих нетривиальных инъективных модулей Фреше.

В этом параграфе мы опишем другой подход к данной проблеме, применимый к значительно более широкому классу алгебр Фреше — в частности, к вышеупомянутым функциональным алгебрам. С одной стороны, такие алгебры имеют существенно более сложную структуру, чем алгебры, рассмотренные в предыдущем параграфе. В частности, они обладают незамкнутыми идеалами, а также идеалами, которые хотя и замкнуты, но недополняемы как подпространства. (Впрочем, и то, и другое совершенно типично для классических алгебр анализа.) С другой же стороны, эти алгебры имеют ряд замечательных гомологических свойств, одно из которых, наиболее важное для наших целей, состоит в том, что гомологии и когомологии Хохшильда таких алгебр связаны между собой определенным соотношением. В простейшем случае это соотношение таково: существует п£М, такое, что для любого А-бимодуля Фреше X справедлива импликация зеп{А,Х) = 0 Ж>о(А,Х) = 0 (2.2.1)

Мы покажем, что если для алгебры Фреше А выполнены соотношения такого рода, то при некоторых дополнительных линейно-топологических условиях инъективная гомологическая размерность любого ненулевого левого А-модуля Фреше X удовлетворяет оценке пц.сШд X ^ п. Поскольку инъективные модули — это в точности модули нулевой инъек-тивной гомологической размерности, отсюда следует, в частности, что над А не существует ненулевых инъективных модулей Фреше.

Основные примеры алгебр, удовлетворяющих соотношению (2.2.1), будут рассмотрены в следующей главе.

Техническое замечание. Напомним (см. начало главы 2), что впредь до особого объявления все рассматриваемые алгебры и модули предполагаются унитал,ьными. Для сокращения обозначений мы пишем A-mod(cio) вместо A-unmod^); то же относится к соответствующим категориям правых А-модулей и А-бимодулей. Обертывающая алгебра А®п = А® Аор обозначается просто А6. Наконец; если А — алгебра Фреше, то через A-mod мы обозначаем категорию A-mod(Fr) левых А-модулей Фреше; аналогичные соглашения примем для категорий правых А-модулей Фреше и А-бимодулей Фреше.

Вначале мы докажем одну вспомогательную факторизационную лемму о линейных отображениях ЛВП. Напомним (см. главу 0), что для произвольных ЛВП Е и G символ Jfe(E'p,G) обозначает пространство непрерывных линейных отображений из сильного сопряженного Е^ в G, наделенное топологией равномерной сходимости на равностепенно непрерывных подмножествах Е'. Если и: Е —> F — непрерывное линейное отображение, то мы имеем индуцированное линейное отображение

UG¿£e{E'p,G) —> JifeiF'^G), определяемое формулой ис,*((р) = (рои1. Легко убедиться, что uq^ непрерывно и естественно по G.

Напомним также (см. (0.1.5)), что для любых полных ЛВП Е и G каноническое отображение Гротендика определяется формулой gG Е(у <£> х)(х') = (х',х)у.

Лемма 2.2.1. Пусть и: Е —> F — ядерное отображение полных ЛВП Е и F. Тогда для любого полного ЛВП G существует естественное по G непрерывное линейное отображение сг^: Jfe(E'p,G) —> G®F, делающее следующую диаграмму коммутативной:

2.2.2)

9 g.e aG

9g,f

Доказательство. Поскольку и ядерно, существуют выпуклая закругленная окрестность нуля II С Е и выпуклое закругленное ограниченное множество В С Р, такие, что и принадлежит образу канонического отображения (0.1.7):

Ей)' ® ^ £>(Ёи, Ев) - Р)

Здесь мы для удобства переставили в (0.1.7) местами тензорные сомножители (Еи)' и Ев

Фиксируем прообраз V Е (Еи)' ® Ев элемента и при указанном отображении и положим V — (Ф^- (Э Ф^)(г;) Е Е'^®Е. Определим линейное отображение ад: ¿£е(Е'р, С) —» С Е по правилу ад(ср) = Покажем, что ад удовлетворяет всем необходимым требованиям.

Отметим, во-первых, что ад естественно по С в очевидном смысле. Поэтому в оставшейся части доказательства мы будем опускать индекс С и писать а вместо ад и м* вместо ид^. Представим элемент V Е {Еи)' 0 Ев в виде

V = 0 Уп , п где |Л„| ^ 1, а {fn} и {уп} — сходящиеся к нулю последовательности в (Еи)' и Ьв соответственно. Положим ¡п — $поФи и уп = Фд (?/„); тогда, очевидно, и = X] •)уп и и' = хп{ ■ , Уп)1п (2.2.3) п п

Отметим, что последовательность {fn} С Е' равностепенно непрерывна, а {уп} С -Р1 ограничена (ср. [47, 7.1]).

Непосредственно из определения отображения а следует, что а(ср) = ^ А„р(/„) (8) уп , (2-2.4) п поэтому щ(ф)(Н) = р(и'(К)) = ^2 Уп)<р(и) = Од^^)^) п для каждого /г Е Это доказывает коммутативность верхнего треугольника в диаграмме (2.2.2).

Для доказательства коммутативности нижнего треугольника фиксируем произвольный элементарный тензор г 0 х Е С ®Е. Пользуясь формулами (2.2.3) и (2.2.4), получаем цепочку равенств: а9с,Е(г = а(( ' 1Х)г) = ®Уп = г ®^2к(/п,х)уп = п п г 0 и(х) = (1 д 0 и) (г 0 х)

Это завершает доказательство коммутативности диаграммы (2.2.2).

Осталось доказать, что а непрерывно. Для этого напомним (см. гл. 0), что пространство С <8> Е имеет базу окрестностей нуля, состоящую из множеств вида Г(У 0 И7*), где V и IV — выпуклые закругленные окрестности нуля вСи^1 соответственно, а Г(У (8> }¥) — замыкание выпуклой закругленной оболочки множества V = {и ® ии : V Е V, т ЕУУ}. Итак, фиксируем базисную окрестность нуля в С®]7 указанного вида. Поскольку последовательность {уп} ограничена, существует такое Л > 0, что уп 6 Х\¥ для всех п. Положим 5 = {/п}- Тогда, как уже упоминалось выше, множество в равностепенно непрерывно, поэтому множество

М(5, А"1 V) = { у е С) : 99(5) с А-1 V } является окрестностью нуля в Для каждого (р 6 М(5, А1У) мы имеем у?(/п) £ А-1У, поэтому у?(/п) <8> 2/п £ для всех п, и из

2.2.4) мы видим, что сг(^) Е ЦУ^И7). Таким образом, справедливо

включение сг(М(5, А1У)) С Г(У®И0

Это доказывает непрерывность а и завершает доказательство леммы.

Замечание 2.2.1. Предположим, что либо С, либо Е топологически изоморфно приведенному обратному пределу банаховых пространств, обладающих свойством аппроксимации. Тогда каноническое отображение дау.СёГ-^^е^О) инъективно (см. [78, 43.2]), поэтому отображение ас, делающее диаграмму (2.2.2) коммутативной, единственно.

Замечание 2.2.2. Имея в виду дальнейшие приложения леммы 2.2.1, дополнительно к ее условиям предположим, что Е и!1 — правые банахо

XV Ич вы (^-модули над некоторой (^-алгеброй А, С — левый А-0-модулъ, а и: Е Е — морфизм А-модулей. Тогда все пространства, фигурирующие в диаграмме (2.2.2), являются А-®-бимодулями (см. главу 0 и, в частности, замечание 0.1.4). Нетрудно также убедиться, что и все отображения в (2.2.2), кроме, быть может, ас, являются морфизмами А-бимодулей. Естественно ожидать, что в такой ситуации отображение а = ад также должно быть морфизмом А-бимодулей.

Прямое вычисление показывает, что а — морфизм левых А-модулей. Однако неясно, будет ли а обязательно морфизмом правых А-модулей.

Дело в том, что, как нетрудно проверить, для любых (р £ и а £ А равенство а(р> ■ а) — ст(ср) ■ а эквивалентно следующему: fn^Vn) = V® 1-F(y2xrifn <8> У', m а

Из того, что и — морфизм правых А-модулей, вытекает, что

К{а ■ /„, -)yn = Yl K(fn, " )Уп " а п п для всех а £ А. Однако это еще не значит, что элементы na-fn®yn и ^А п1п®Уп-а п п пространства Е' ®F должны совпадать. В то же время, если каноническое отображение F (g> Е' J£(E,F) инъективно (а это так, если F или Е' обладает свойством аппроксимации; см. [78, 43.2]), то указанные элементы совпадают, поэтому а есть морфизм А-бимодулей.

Другое условие, достаточное для того, чтобы а был морфизмом А-бимодулей — инъективность канонического отображения gG F. Как уже упоминалось выше (см. замечание 2.2.1), это условие выполнено, если G топологически изоморфно приведенному обратному пределу банаховых пространств, обладающих свойством аппроксимации.

Следующая простая алгебраическая лемма позволит нам в дальнейшем обойти трудность, указанную в замечании 2.2.2.

Лемма 2.2.2. Пусть А — произвольная алгебра. Предположим, что дана коммутативная диаграмма в которой М\, М2, N1, N2 — правые А-модули, а, 7 и е — морфизмы А-модулей, а (3 и 6 — произвольные отображения. Тогда tp = (За — морфизм А-модулей.

Доказательство. Доказательство — прямая проверка: р(х • а) = (За{х ■ а) = (3{а{х) ■ а) = /3(у6(х) ■ а) = /Зу(6(х) ■ а) = е(6(х) ■ а) = её(х) • а = (За(х) ■ а = (р(х) ■ а.

Равенства <р(х\ 4- х%) = (р{х\) + Р>{х<2) и <р(Хх) = \ср(х) устанавливаются аналогично. □

Нам понадобится также один вспомогательный факт из общей топологии. Пусть X = {Xv, rjf, А} — обратный спектр топологических пространств, индексированный произвольным направленным множеством Л; здесь через rjf: Х^ —»• Xv обозначены соответствующие связующие отображения (определенные при ¡л >- ъ>). Напомним, что Ж называется приведенным, если для каждого v Е Л образ канонического отображения Tv: Hm Ж —»• Xv плотен в Xv.

Лемма 2.2.3. Пусть Ж = {XV) т^,А} и W — {У^тг^А} — обратные спектры топологических пространств, индексированные некоторым направленным множеством Л. Предположим, что Ж приведен. Пусть {/г,: Xj, —> Уг,} — отображение обратных спектров, и пусть для каждого v Е А образ отображения fv \ Xv —> У, плотен в Yv. Тогда образ предельного отображения / = lim/^ плотен в lim W.

Доказательство. Положим X = lim JT, У = lirn^. Поскольку базу в пространстве У образуют множества вида , где Uv открыто в

Yv, а v пробегает Л (см. [49, 2.5.5]), нам достаточно убедиться, что для каждого v Е Л множество 7iv/(X) плотно в У. Принимая во внимание коммутативную диаграмму f

Xv f >У^ , jv получаем: = иы*)) = Ши) = У», откуда и следует утверждение леммы. □

Сформулируем теперь основной результат параграфа.

Теорема 2.2.4. Пусть А — ядерная алгебра Фреше-Аренса-Майкла, удовлетворяющая при некотором п Е N следующему условию: Если Жп(А,Х) = 0 для некоторого бимодуля X Е А-тод.-А, то пространство (А,Х) абсолютно неотделимо.

Тогда выполнены следующие неравенства:

1) inj.dh.4X ^ п для любого ненулевого X Е А-шод.; и) dh^X ^ п для любого ненулевого банахова X Е А-пк^.

Доказательство. Поскольку А — алгебра Фреше-Аренса-Майкла, ее можно представить в виде приведенного обратного предела последовательности банаховых алгебр: А = Пт(А;/, г//) (см. [43, 5.2.17] или гл. 0). Пользуясь ядерностью А, мы можем считать, что для каждого I/ Е N связующее отображение : Ау+\ —Ау ядерно. Для каждого V Е N канонический гомоморфизм ту \ А —> А1/ превращает Ау в правый банахов А-модуль. Именно, действие А на А„ определяется формулой а„-а = а1/т1/(а) (аи Е Ау, а Е А). Поэтому А'р — левый банахов А-модуль (см. гл. 0).

Предположим, что для некоторого левого А-модуля Фреше X выполнено неравенство inj.dh.4X < п и покажем, что тогда X = 0. Применяя утверждение 0.2.5, мы видим, что для любого и Е N

Жп(А,^(А'^Х)) = Ех^(А^,Х) = 0

По условию, отсюда следует, что пространство (А, ^(А^, X)) абсолютно неотделимо в своей канонической топологии. Как упоминалось в главе 0 (см. формулу (0.2.9)), это пространство изоморфно коядру отображения = 4{КгХу А® #{А!и,Х) - <?(А'„Х), а ® (р ^ а ■ (р — (р ■ а

Следовательно, образ отображения ег/ плотен в ^(А^,Х).

Полагая в лемме 2.2.1 последовательно и = а затем и = т^2, мы получаем, соответственно, отображения ау и сГу+\, делающие следующую диаграмму коммутативной:

X) X) (2.2.5)

Принимая во внимание замечание 2.2.2, мы не можем утверждать, что а у или же сГу+1 является морфизмом А-бимодулей. Тем не менее, используя лемму 2.2.2, мы видим, что композиция (1Х ® <+1) о <7^+1 — 0~у о (тщ), морфизм А-бимодулей. Кроме того, нетрудно показать, что образ Ну плотен в X (х) Ау. В самом деле, из плотности образа в Ау и коммутативности левого треугольника диаграммы (2.2.5) следует, что образ плотен в X ® А„. Аналогично, образ аи+\ плотен в X ® А1/+\. Поэтому отображение хи = (1х <8> т„+1) 0 имеет плотный образ как композиция отображений с плотными образами.

Ясно, что отображения е^, определенные формулой (0.2.9) для каждого М Е А-тод.-А, естественны по М. Поэтому, полагая ёр — - . , а (&) а. i/ мы получаем следующую коммутативную диаграмму:

1А ® Ху а§х®аи-~-*х®а„ су

Поскольку образ £„+2 плотен в 2,Х), а образ к» плотен в X ® А„, мы заключаем, что образ ё„ плотен в Х^А». Пользуясь тем фактом, что проективное тензорное произведение коммутирует с приведенными обратными пределами (см. [78, 41.6]), мы видим, что отображение = х§>а является обратным пределом отображений ё„. В силу леммы 2.2.3, отображение ё имеет плотный образ, поэтому его коядро абсолютно неотделимо. С другой стороны, используя (0.2.9), утверждение 0.2.4 и естественный изоморфизм (0.2.8), мы видим, что

Сокег ё = Ж0(А, Х§ А) Тог^(А,Х) ^ X

Поскольку X хаусдорфово, а Сокег ё абсолютно неотделимо, мы заключаем, что X = 0. Это завершает доказательство утверждения (1).

11) Допустим теперь, что X — левый банахов А-модуль, для которого сШ^ X < п, и покажем, что тогда X = 0. Из условия сШ^ X < п получаем, что Ех^(Х, А) — 0. Как и при доказательстве ([), применяя утверждение 0.2.5, мы видим, что п (А, А)) = Ех^(Х, А) = 0

По условию, отсюда следует, что пространство ¿Щ(А,^(Х, А)) абсолютно неотделимо в своей канонической топологии.

Поскольку А ядерна, имеет место топологический изоморфизм

А®Х'^ ^(Х, А), а® х'^ {х ^ (х,х)а) см. главу 0). Ясно, что это — изоморфизм А-бимо дулей Фреше. Снова применяя утверждение 0.2.4 и естественный изоморфизм (0.2.8), получаем цепочку топологических изоморфизмов

А, ££{Х, А)) = Мо(А,А§> X') ^ Тог^(X', А) = X'

Отсюда заключаем, что X' абсолютно неотделимо, и, следовательно, X = 0. Тем самым теорема полностью доказана. □

Следствие 2.2.5. в условиях теоремы 2.2.4 над А не существует ненулевых инъективных модулей Фреше и ненулевых проективных банаховых модулей.

Замечание 2.2.3. Теорема 2.2.4 сохраняет силу, если в ее формулировке заменить категорию Атос! левых А-модулей Фреше произвольной категорией вида А-тос!^), где с€ С ЬСЭ — полная аддитивная подкатегория, удовлетворяющая всем необходимым аксиомам (<йТ)-(<^2) и содержащая все банаховы пространства. При этом следует требовать выполнение условия (*)„ для любого А-®-бимодуля X, представимого в виде X = Л?(У, Я), где У — левый банахов А-модуль, ъ, Z £ А-тос1(<^7). Кроме того, теорема справедлива не только для алгебр Фреше, но и для (БГ)-алгебр; доказательство при этом практически не меняется. См. также [87] и [88].

Глава 3.

1. Акбаров С. С. Двойственность Понтрягина в теории топологических модулей // Функц. анализ и его прил., 1995, т. 29, № 4, 68-72.

2. Атья М., Макдональд И. Введение в коммутативную алгебру. — М.: Мир, 1972.

3. Ботт Р., Ту Л. В. Дифференциальные формы в алгебраической топологии. — М.: Наука, 1989.

4. Букур И., Деляну А. Введение в теорию категорий и функторов.1. М.: Мир, 1972.

5. Бурбаки Н. О некоторых топологических векторных пространствах // Математика, 2:2 (1958), 109-117.

6. Бурбаки Н. Топологические векторные пространства. — М.: ИЛ, 1959.

7. Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — М.: Мир, 1971.

8. Бурбаки Н. Гомологическая алгебра. — М.: Наука, 1987.

9. Габриель П., Цисман М. Категории частных и теория гомотопий.1. М.: Мир, 1971.

10. Гамелин Т. Равномерные алгебры. — М.: Мир, 1973.

11. Гельфанд И. М., Шилов Г. Е. Пространства основных и обобщенных функций (Обобщенные функции, вып. 2). — М.: Физматгиз, 1958.

12. Головин Ю. О. Гомологические свойства гильбертовых модулей над гнездовыми операторными алгебрами // Матем. заметки, 1987, т. 41, № 6, 769-775.

13. Головин Ю. О. Свойство пространственной проективности в классе СвЬ-алгебр с атомным коммутатнтом // Фундам. и прикл. матем., 1995, т. 1, вып. 1, 147-160.

14. Грауэрт Г., Геммерт Г. Аналитические локальные алгебры. — М.: Наука, 1988.

15. Грауэрт Г., Реммерт Р. Теория пространств Штейна. — М.: Наука, 1989.

16. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. — М.: Мир, 1982.

17. Гротендик А. О пространствах (Р) и (РР) // Математика, 2:3 (1958), 81-127.

18. Гротендик А. О некоторых вопросах гомологической алгебры. — М.: ИЛ, 1961.

19. Дьедонне Ж., Шварц Л. Двойственность в пространствах (Р) и (ЬР) // Математика, 2:2 (1958), 77-107.

20. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. — М.: ИЛ, 1960.

21. Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968.

22. Маклейн С. Гомология. — М.: Мир, 1966.

23. Митягин Б. С., Хенкин Г. М. Линейные задачи комплексного анализа // Успехи матем. наук, 1971, XXVI, вып. 4, 93-152.

24. Огнева О. С. Совпадение гомологических размерностей алгебры Фреше гладких функций на многообразии с размерностью многообразия // Функц. анализ и его прил., 1986, т. 20, 92-93.

25. Онищик А. Л. Штейновы однородные пространства редуктивных групп Ли // 15], добавление.

26. Паламодов В. П. Гомологические методы в теории локально выпуклых пространств // Успехи матем. наук, 1971, XXVI, вып. 1, 3-65.

27. Паламодов В. П. На многообразии Штейна комплекс Дольбо расщепляется в положительных размерностях // Матем. сб., 1972, т. 88(130), № 2(6), 287-315.

28. Пирковский А. Ю. Об условиях, обеспечивающих свободу топологических модулей над алгебрами голоморфных функций // Фундам. и прикл. матем., 1998, т. 4, вып. 2, 585-594.

29. Пирковский А. Ю. К проблеме существования достаточного количества инъективных модулей Фреше над ненормируемыми алгебрам,и Фреше // Изв. РАН, сер. матем., 1998, т. 62, № 4, 137-154.

30. Пич А. Ядерные локально выпуклые пространства. — М.: Мир, 1967.

31. Пугач JI. И. Проективные и плоские идеалы функциональных алгебр, их связь с аналитической структурой // Матем. заметки, 1982, т. 31, 239-245.

32. Пугач JI. И. Гомологические свойства функциональных алгебр и аналитическая структура в их пространствах максимальных идеалов // Rev. Roumaine Math. Pure Appl. 31 (1986), 347-356.

33. Уорнер Ф. Основы теории гладких многообразий и групп Ли. — М.: Мир, 1987.

34. Фелпс Р. Лекции о теоремах Шоке. — М.: Мир, 1968.

35. Форстер О. Римановы поверхности. — М.: Мир, 1980.

36. Хартсхорн Р. Алгебраическая геометрия. — М. Мир, 1981.

37. Хелемский А. Я. Аннуляторные расширения коммутативных ба-наховских алгебр // Изв. АН СССР, сер. матем., 1965, т. 29, 945956.

38. Хелемский А. Я. О гомологической размерности нормированных модулей над банаховыми алгебрами // Матем. сб., 1970, т. 81 (123), 430-444.

39. Хелемский А. Я. Описание относительно проективных идеалов в алгебрах С(П) // ДАН СССР, 1970, т.195, 1286-1289.

40. Хелемский А. Я. Гомологические методы в голоморфном исчислении от нескольких операторов в банаховом пространстве, по Тэйлору // Успехи матем. наук, 1981, т. 36, 127-172.

41. Хелемский А. Я. Плоские банаховы модули и аменабельные алгебры // Труды ММО, 1984, т. 47, 179-218.

42. Хелемский А. Я. Гомология в банаховых и топологических алгебрах. — М.: изд-во МГУ, 1986.

43. Хелемский А. Я. Банаховы и полинормированные алгебры: общая теория, представления, гомологии. — М.: Наука, 1989.

44. Хелемский А. Я. Гомологическая сущность аменабельности по Конну: инъективностъ предуалъного бимодуля // Матем. сборник, 1989, т.180, 1680-1690.

45. Цаленко М. Ш., Шульгейфер Е. Г. Основы теории категорий. — М.: Наука, 1974.

46. Шейнберг М. В. Относительно инъективные модули над банаховыми алгебрами // Вестн. моек, ун-та, 1971, № 3, 53-58.

47. Шефер X. Топологические векторные пространства. — М.: Мир, 1971.

48. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. — М.: Мир, 1969.

49. Энгелькинг Р. Общая топология. — М.: Мир, 1986.

50. Akbarov, S. S. Stereotype spaces, algebras, homologies: an outline, Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar, Nova Science Publishers Inc., 2000.

51. Altman, A. and Kleiman, S. Introduction to Grothendieck Duality Theory, Lecture Notes in Math. 146 (1970), Berlin, Springer.

52. Aristov, O. Yu. On the definition of a flat operator module, Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar, Nova Science Publishers Inc., 2000.

53. Aytuna, A. Stein spaces M for which is isomorphic to a power series space, Advances in the theory of Frechet spaces (Istanbul, 1988), 115-154, NATO Adv. Sci. Inst. Ser. C: Math. Phys. Sci., 287, Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1989.

54. Beckenstein, E., Narici, L. and Suffel, C. Topological Algebras, Amsterdam, North Holland, 1977.

55. Connes, A. N on-commutative differential geometry // Publ. Math. I.H.E.S. 62 (1985), 41-144, 257-360.

56. Connes, A. Noncommutative geometry, Academic Press, Paris, 1994.

57. Dunford, N. Spectral operators, Pacific J. Math. 4 (1954), 321-354.

58. Eschmeier, J. and Putinar, M. Spectral theory and sheaf theory. III. J. Reine Angew. Math. 354 (1984), 150-163.

59. Eschmeier, J. and Putinar, M. Spectral Decompositions and Analytic Sheaves, Oxford, Clarendon Press, 1996.

60. Fischer, G. Complex Analytic Geometry, Lecture Notes in Math. 538 (1976), Berlin, Springer.

61. Forster, O. Zur Theorie der Steinschen Algebren und Moduln. Math. Z. 97 (1967), No. 5, 376-405.

62. Gr0nbsek, N. Morita equivalence for Banach algebras, J. Pure Appl. Algebra 99 (1995), 183-219.

63. Grothendieck, A. Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires, Mem. Amer. Math. Soc., 1955, No. 16.

64. Guichardet, A. Sur Vhomologie et la cohomologie des algèbres de Banach, C. R. Acad. Sei. Paris Ser. A 262 (1966), 38-41.

65. Guichardet, A. Sur Vhomologie et la cohomologie des groupes localement compacts, C. R. Acad. Sei. Paris Ser. A 262 (1966), 118-120.

66. Helemskii, A. Ya. 31 problems of the homology of the algebras of analysis, "Linear and Complex Analysis: Problem Book 3, Part I" (eds. V. P. Havin and N. K. Nikolski), Lecture Notes in Math. 1573 (1994), 54-78, Berlin, Springer.

67. Helemskii, A. Ya. Projective homolmogical classification of C*-algebras, Comm. in Algebra 26 (1998), No. 3, 977-996.

68. Helemskii, A. Ya. Homology for the Algebras of Analysis, Handbook of algebra, Vol. 2 (ed. M. Hazewinkel), 151-274, Amsterdam, North-Holland, 2000.

69. Helemskii, A. Ya. Wedderburn-type theorems for operator algebras and modules: traditional and "quantized" homological approaches, Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar, Nova Science Publishers Inc., 2000.

70. Hochschild, G. On the cohomology groups of an associative algebra, Ann. Math. 46 (1945), 58-76.

71. Hochschild, G., Kostant, B. and Rosenberg, A. Differential forms on regular affine algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 102 (1962), 383-408.

72. Johnson, B. E. The Wedderburn decomposition of Banach algebras with finite-dimensional radical, Amer. J. Math. 90 (1968), 866-876.

73. Johnson, B. E. Cohomology in Banach algebras, Mem. Amer. Math. Soc. 127 (1972).

74. Kadison, R. V. and Ringrose, J. R. Cohomology of operator algebras, I. Type I von Neumann algebras, Acta Math. 126 (1971), 227-243.

75. Kamowitz, H. Cohomology groups of commutative Banach algebras, Trans. Amer. Math. Soc. 102 (1962), 352-372.

76. Keller, B. Derived categories and their uses, Handbook of algebra, Vol. 1 (ed. M. Hazewinkel), 671-701, Amsterdam, North-Holland, 1996.

77. Kiehl, R. and Verdier, J. L. Ein einfacher Beweis des Koharenzsatzes von Grauert, Math. Ann. 195 (1971), 24-50.

78. Kothe, G. Topological Vector Spaces II, Springer-Verlag, New York, 1979.

79. Kramm, B. A characterization of Riemann algebras, Pacific J. Math. 65 (1976), no. 2, 393-397.

80. Levy, R. The Riemann-Roch theorem for complex spaces, Acta Math. 158 (1987), 149-188.

81. Luminet, D. A functional calculus for Banach Pi-algebras, Pacific J. Math. 125 (1986), no. 1, 127-160.

82. Mallios, A. Topological Algebras: Selected Topics, Amsterdam, North Holland, 1986.

83. Martineau, A. Sur une propriété charactéristique d'un produit de droites, Arch. Math. 11 (1960), 423-426.

84. Palamodov, V. P. On the Liouville property of section spaces of coherent analytic sheaves, Functional analysis (Essen, 1991), 459-473, Lecture Notes in Pure and Appl. Math. 150, Dekker, New York, 1994.

85. Pirkovskii, A. Yu. On the nonexistence of cofree Fréchet modules over locally multiplicatively-convex Fréchet algebras, Rocky Mountain J. Math. 29 (1999), No. 3, 1129-1138.

86. Pirkovskii, A. Yu. On Arens-Michael algebras which do not have nonzero injective modules, Studia Math. 133 (1999), No. 2, 163-174.

87. Pirkovskii, A. Yu. Injective topological modules, additivity formulas for homological dimensions, and related topics, Topological Homology: Helemskii's Moscow Seminar, Nova Science Publishers Inc., 2000.

88. Priddy, S. B. Koszul resolutions, Trans. Amer. Math. Soc. 152 (1970), 39-60.

89. Pugach, L. I. and White, M. C. Homology and cohomology groups of commutative Banach algebras and analytic polydiscs, Glasgow Math. J. 42 (2000), no. 1, 15 24.

90. Putinar, M. Functional calculus with sections of an analytic space, J. Oper. Theory 4 (1980), 297-306.

91. Putinar, M. Uniqueness of Taylor's functional calculus, Proc. Amer. Math. Soc. 89 (1983), 647-650.

92. Putinar, M. Hyponormal operators are subscalar, J. Oper. Theory 12 (1984), 385-395.

93. Putinar, M. Spectral theory and sheaf theory. II, Math. Z. 192 (1986), no. 3, 473-490.

94. Quillen, D. Higher Algebraic K-theory I, Lecture Notes in Math. 341 (1973), 85-147, Berlin, Springer.

95. Ramis, J.-P. and Ruget, G. Résidus et dualité, Invent. Math. 26 (1974), 89-131.

96. Render, H. and Sauer, A. Algebras of holomorphic functions with Hadamard multiplication, Studia Math. 118 (1996), no. 1, 77-100.

97. Schilling, O. F. G. Ideal theory on open Riemann surfaces, Bull. Amer. Math. Soc. 52 (1946), 945-963.

98. Séminaire de géométrie analytique (eds. A. Douady and J. L. Verdier), Astérisque Vol. 16. Soc. Math. France, Paris, 1974.

99. Taskinen, J. Counterexamples to aproblème des topologies" of Grothendieck, Ann. Acad. Sei. Fenn. Ser. A I Math. Disserationes 63, 1986.

100. Taylor, J. L. Homology and cohomology for topological algebras, Adv. Math. 9 (1972), 137-182.

101. Taylor, J. L. A general framework for a multi-operator functional calculus, Adv. Math. 9 (1972), 183-252.

102. Taylor, J. L. Functions of several noncommuting variables, Bull. Amer. Math. Soc. 79 (1973), 1-34.

103. Van den Bergh, M. Relations between Hochschild homology and cohomology for Gorenstein rings, Proc. Amer. Math. Soc. 126 (1998), No. 5, 1345-1348.

104. Vogt, D. Charakterisierung der Unterräume von s, Math. Z. 155 (1977), 109-117.

105. Vogt, D. and Wagner, M. J. Charakterisierung der Quotientenräume von s und eine Vermetung von M artin eau, Studia Math. 67 (1980), 225-240.