Производные и стабильные категории симметрических специальных бирядных алгебр тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Санкт-Петербургский государственный университет

На правах рукописи

«I? 6-Й

АНТИПОВ Михаил Александрович

ПРОИЗВОДНЫЕ И СТАБИЛЬНЫЕ КАТЕГОРИИ

СИММЕТРИЧЕСКИХ СПЕЦИАЛЬНЫХ БИРЯДНЫХ

АЛГЕБР

01 01 06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург у 2008 г

003168920

Работа выполнена на Кафедре высшей алгебры и теории чисел мате-матико-механического факультета Санкт-Петербургского государственного университета

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ

доктор физико-математических наук, профессор ГЕНЕРАЛОВ Александр Иванович

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ

доктор физико-математических наук, профессор ГОРДЕЕВ Николай Леонидович, кандидат физико-математических наук, ЛУРЬЕ Борис Вениаминович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ.

Московский государственный университет им М В. Ломоносова

Защита состоится " ^" 2008 года часов на заседании со-

вета Д 212 232 29 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу 198504, Санкт-Петербург, Ст Петергоф, Университетский пр., д28

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке им М Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу 191011, Санкт-Петербург, Университетская набережная, д 7/9

Защита будет проходить в Петербургском отделении Математического института имени В. А Стеклова РАН по адресу Санкт-Петербург, наб реки Фонтанки, 27

Автореферат разослан "3"' М&9 2008 г

Ученый секретарь диссертационного совета, доктор физико-математических наук, профессор /71(/}»</' В. М. Нежинский

овщая характеристика работы

Актуальность темы. Изучение производных и стабильных категорий алгебр играет фундаментальную роль в теории представлений конечных групп и конечномерных алгебр В силу того, что много важной информации о представлениях конечномерной алгебры однозначно восстанавливается по внутренней структуре производной категории, особенно важную роль играет изучение производных эквивалентностей (эквивалент-ностей производных категорий) между различными неизоморфными (и даже не Морита-эквивалентными) алгебрами

Систематическое изучение производных эквивалентностей стало интенсивно развиваться с 1989 года, когда Дж Рикард доказал теорему, сводящую установление эквивалентностей производных категорий конечномерных алгебр А и В к нахождению в производной категории А объекта с определенными свойствами — наклоняющего комплекса — кольцо эндоморфизмов которого изоморфно В Все дальнейшие исследования по этой теме так или иначе связаны с применениями критерия Рикарда для определенных классов колец или его уточнениям, а также с рассмотрениями наклоняющих комплексов специальных видов, сохраняющих дополнительные структуры на производной категории

Другим мощным орудием в теории представлений конечномерных алгебр является введенная в начале 1970-х годов М Ауслендером и И Райтен стабильная категория,которая может быть сопоставлена каждой конечномерной алгебре, но особый интерес представляет для самоинъектив-ных алгебр (частным случаем которых являются групповые алгебры конечных групп), поскольку в этом случае она, наряду с производной категорией, может быть снабжена структурой триангулированной категории, как показал Д Хаппель в 1986г Дж Рикард установил, что стабильная категория является факторкатегорией производной категории, и что из производной эквивалентности двух алгебр следует их стабильная эквивалентность Однако никаких общих теорем про стабильную эквивалентность, подобных критерию Рикарда, до сих пор не доказано

Класс специальных бирядных алгебр (йВ-алгебр) естественно возникает в теории представлений групп и конечномерных алгебр как наиболее простой с точки зрения теории представлений (и все же достаточно широкий с точки зрения комбинаторного описания), класс алгебр

Он содержит, в частности, самоинъективные бирядные алгебры конечного типа представления, описывающиеся с помощью так называемых деревьев Брауэра, которые в силу своей простоты и важности наиболее

досконально изучены В частности, всякий блок групповой алгебры, имеющий циклическую группу дефекта, является алгеброй, описываемой с помощью дерева Брауэра Первым применением критерия Рикарда была (сделанная самим Рикардом) классификация таких алгебр с точностью до производной и стабильной эквивалентности Затем в 1999 г Асаши-ба, посредством вычисления группы Гротендика стабильной категории, классифицировал все самоинъективные алгебры конечного типа с точностью до стабильной эквивалентности

Симметрические 55-алгебры разбиваются на бесконечное число серий алгебр, так что внутри одной серии алгебры имеют одинаковое комбинаторное описание (и различаются значением некоторых числовых параметров ) В 1998 г ТХольм классифицировал с точностью до производной эквивалентности так называемые алгебры диэдрального типа, содержащие, в частности, все блоки групповых алгебр, имеющие диэдральную группу дефекта Класс алгебр диэдрального типа образован (за одним исключением) несколькими сериями симметрических й'.В-алгебр В серии работ 2003-2005 гг А Сковронского, ТХольма, А Луческу и других были классифицированы алгебры однопараметрического типа представления - в эту классификацию также попадают несколько серий симметрических 5В-алгебр Уже в случае произвольных симметрических 5£?-алгебр развитых упомянутыми авторами методов оказывается недостаточно для полной классификации (в частности, группа Гротендика оказывается слишком грубым инвариантом и для различения алгебр, принадлежащих одной серии, и для различения серий между собой)

С другой стороны, в последнее десятилетие О Балашовым, А И Генераловым и учениками были вычислены посредством явного построения минимальных резольвент алгебры Йонеды различных алгебр ручного типа, главным образом из так называемого "списка Эрдманн" включающего в себя (введенный К Эрдманн) класс алгебр диэдрального типа Все получающиеся алгебры оказывались конечнопорожденными как алгебры над основным полем Знаменитая теорема ГолодагВенкова-Ивенса утверждает, что конечнопорожденность алгебры Йонеды имеет место для произвольных групповых алгебр Представляет интерес- обобщение этой теоремы на другие классы симметрических конечномерных алгебр

Цель работы. Основной целью данной работы является изучение отношения производной и стабильной эквивалентности на классе симметрических 55-алгебр, в частности, нахождение инвариантов этих отношений и их вычисление или комбинаторное описание (таких, как груп-

па Гротендика, центр, подкатегория периодических модулей) В рамках этих вычислений также доказывается аналог теоремы Голода-Венкова-Ивенса для указанного класса алгебр

Методы исследования. В работе использовались современные методы гомологической алгебры — вычисления в производных и стабильных категориях, явные способы построения резольвент (диаграммный метод Бенсона-Карлсона, развитый А И Генераловым и учениками), элементарные комбинаторно-топологические построения

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем

1 Вычислена группа Гротендика стабильной категории произвольной симметрических специальной бирядной алгебры

2 Доказана конечная порожденность алгебры Йонеды симметрических специальных бирядных алгебр и получено описание в комбинаторных терминах множества простых П-периодических модулей

3 Каждой симметрической 5В-алгебре сопоставлен некоторый топологический объект — двумерный С\У-комплекс Брауэра — и доказана инвариантность ряда его характеристик относительно эквивалентности производных и стабильных категорий

4 Для симметрических 5В-алгебр рода 0 (те , таких, у которых комплекс Брауэра гомеоморфен сфере) полностью решена задача об их классификации с точностью до производной эквивалентности

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер Полученные результаты и методы могут быть использованы в изучении различных классов алгебр методами гомологической алгебры

Апробация работы. Результаты работы докладывались на Международной алгебраической конференции, посвященной памяти Д К Фад-деева (2007 г) и неоднократно на Санкт-Петербургском городском алгебраическом семинаре имени Д К Фаддеева

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, перечисленных в конце автореферата В совместной работе диссертанту принадлежит комбинаторное описание симметрических 5В-алгебр и доказательство основной теоремы, а соавтору — постановка задачи и

схема доказательства предложения 3 3 Работа [1] опубликована в журнале, входившем в перечень ВАК до 2007 г, а работа [2] — в журнале, входящем в действующий перечень ВАК

Структура и объем диссертации Диссертация изложена на 126 страницах, состоит из введения, четырех глав, разбитых на разделы и списка литературы, содержащего 66 наименований

Содержание работы

Во введении излагается история вопроса, актуальность темы диссертации, дается описание основных результатов диссертации, а также кратко изложена структура работы

Напомним определение алгебр, являющихся основным предметом исследования данной работы

Специальной бирядной алгеброй называется алгебра путей колчана с соотношениями Л = K[Q]/I, где колчан Q и идеал соотношений I удовлетворяют следующим двум условиям

1) Все входящие степени и все выходящие степени вершин колчана Q не превосходят 2

2) Для всякой стрелки а £ E(Q) существует не более одной стрелки /3 G E(Q) такой, что а/3 I, и существует не более одной стрелки у 6 E(Q) такой, что 7а I

Глава 1 настоящей работы имеет вспомогательный характер и посвящена конкретному комбинаторному описанию симметрических специальных бирядных алгебр Симметрической 5В-алгебре Л сопоставляется некоторый ориентированный граф, у которого степени всех вершин равны 4, и зафиксировано разбиение множества всех его стрелок на циклы (называемые в работе Л-циклами) с присвоенными кратностями Далее мы, несколько развивая идею графа Брауэра, сопоставляем этой алгебре двумерный клеточный комплекс Брауэра С(А), в терминах которого формулируется ряд ключевых результатов работы

Более точно, назовем комплексом Брауэра пару (С,/), где

1 CW-комплекс С гомеоморфен двумерному ориентированному многообразию (с фиксированной ориентацией),

2 / — произвольное отображение из 0-остова комплекса С в N

Предложение 1. Пусть (С, /) — комплекс Брауэра Существует единственная (неразложимая) симметрическая) SB-алгебра такая, что С(А) = С

Наконец, мы устанавливаем соответствие между комбинаторными характеристиками С (Л) и описанием алгебры Л в терминах колчанов с соотношениями В частности, вводится понятие рода симметрической специальной бирядной алгебры

Глава 2 посвящена вычислению группы Гротендика стабильной категории Б^юсЦЛ) симметрической 51?-алгебры Л В п 2 определяется структура матрицы Картана алгебры Л, в терминах которой и вычисляется искомая группа Гротендика В п 3 мы вычисляем ранг этой матрицы таким образом, свободный ранг группы Гротендика (это технически несложный, но наиболее полезный в дальнейшем результат) А именно, имеет место следующее утверждение

Теорема 2. Если граф Брауэра является двудольнъш, то ранг матрицы Картана равен к — 1, где к — количество вершин в графе Брауэра, в противном случае он равен к

Остаток главы посвящен точному вычислению группы Гротендика Завершается глава 2 следующей теоремой (пю 2 7)

Пусть Г — помеченный граф Брауэра алгебры Л, к — количество его вершин, п — количество ребер Обозначим через 1\, ,1к — кратности вершин, через рьрг, ,Рг — все простые делители чисел 1\, и

пусть 0 < а2> 1 < а,,2 < • • < (к,к — р,-адические показатели чисел ¿1, ¿2) •, 1к, упорядоченные по возрастанию

Обозначим через Кр ^компоненту Ко(Б1;тос1-Л) Пусть аг — рг-адичес-кий показатель числа 1\12 .. 1к + ц + + ^

Теорема 3. 1 Свободный ранг группы К^Ьпой-А) равен п-к в случае недвудольного графа Тип — А; + 1 в случае двудольного графа Г

2 Предположим, что Г двудолен Тогда

3 Предположим, что Г не является двудольным и рг нечетно Тогда = Лр.фВр.фСр,, где

к-2

А>, = фг/р^г

7=1

4 Предположим, что Г не является двудольным Тогда К^А^ВфС,

где

к-2 7=1

В — Ъ

Глава 3 посвящена изучению стабильной категории посредством явных вычислений с диаграммами модулей Начало главы имеет технический характер — фактически в 3 1 излагается классификация неразложимых модулей над 5В-алгебрами на подходящем для целей работы языке и с необходимыми примечаниями Далее мы формулируем описание О-сдвига на стабильной категории во введенных терминах и в 3 3 изучаются минимальные резольвенты простых модулей В частности, оказывается, что простой модуль периодичен, если соответствующее ребро в дереве Брауэра не содержится ни в каком цикле В работе (в 3 3) приводится следующая формулировка в терминах введенного понятия редуцированного б-цикла)

Теорема 4 Пусть Я — Бх — простой Л-модулъ, 0,0' — С-циклы, проходящие через X, 0,0 — соответствующие редуцированнные С-циклы

Если хотя бы один из редуцированных С-циклов, соответствующих X, не содержит X, то (во введенных выше обозначениях) 0 = О' и £ — £1-периодический модуль

Используя эти результаты, в 3 4 доказывается следующая общая теорема, являющаяся аналогом теоремы Голода-Венкова-Ивенса для групповых алгебр

Напомним, что для конечномерного модуля М над произвольной конечномерной /('-алгеброй Я прямая сумма £{М) = фтг.0 ЕхЬ^(М, М) превращается с помощью произведения Йонеды в (ассоциативную) К-алгебру, которую называют Еу±-алгеброй модуля М Если Я — базисная К-алгебра с радикалом Джекобсона J{R), то ЕхЪ-алгебра £(Я/3{Щ) называется алгеброй Йонеды алгебры Я, ее будем обозначать через У (Я)

Теорема 5. Пусть А — произвольная симметрическая специальная бирядная алгебра, J(A) — ее радикал Джекобсона, А = А/ J{A) — соответствующая фактор-алгебра. Тогда алгбра Йонеды £{А) является конечно-порожденным над К кольцом

Далее в п 3 6 доказывается, что почти все модули 2-го рода (за явно описанными исключениями) переходят при любой эквивалентности стабильных категорий (с какой-то, вообще говоря, другой 5£?-алгеброй) в модули 2-го рода С помощью этого результата мы получаем в 3 7 следующее утверждение

Теорема 6. Предположим, что АиВ — симметрические БВ-алгебры с п > 1 простыми модулями, причем их стабильные категории модулей эквивалентны (как триангулированные категории) Тогда количество и наборы длин О-циклов для колчанов алгебр АиВ совпадает

Набор С-циклов алгебры А суть мультимножество периметров граней комплекса С (А)

В главе 4 вычисляется центр алгебры Л (в п 4 1) и доказывается производная инвариантность множества кратностей вершин комплекса С (Л) Суммируя полученные ранее результаты, мы получаем следующее утверждение

Предложение 7. Набор периметров граней, количество вершин и род комплекса С (А) суть инварианты производной эквивалентности

Далее в п 4 3 вводятся элементарные преобразования комплексов Бра-уэра Оказывается, что если два комплекса можно получить друг из друга элементарным преобразованием, то соответствующие алгебры про-изводно эквивалентны Это доказывается построением сответствующих наклоняющих комплексов и вычислением их колец эндоморфизмов Оказывается, что введенных преобразований и инвариантов достаточно для полной классификации симметрических БВ-алгебр рода 0 с точностью до производной эквивалентности Более точно, доказана следующая

Теорема 8. Пусть Л: и Ло — симметрические Б В-алгебры, рода 0 Тогда Лх и Лг производно эквивалентны в том и только том случае, когда их комплексы Брауэра имеют одинаковые наборы периметров граней и одинаковые наборы меток на вершинах

Кроме того, в главе 4 приводятся примеры, показывающие, что развитая техника не позволяет доказывать аналоги этой теоремы для алгебр положительного рода А именно в 4 2 приводится пример алгебр рода 1 с одинаковыми наборами периметров граней и меток на вершинах комплекса Брауэра, но не являющихся производно эквивалетнтными, в силу того, что один из графов Брауэра двудолен, а другой — нет (так что дословный аналог классификационный теоремы для сферического случая здесь не имеет места) В 4 3 приводится пример двух комплексов

Брауэра рода 2 с одинаковыми (включая двудольность) инвариантами, не переводимых друг в друга элементарными преобразованиями

Публикации автора по теме диссертации

[1] Антипов М А Группа Гротендика симметрических специальных бирядных алгебр, Зал науч сем ПОМИ 321(2005), 5-12

[2] Антипов М А , Генералов А И , Конечная порожденность алгебр Йонеды симметрических специальных бирядных алгебр , Алгебра и Анализ 17(2005), 1-23

[3] Антипов М А, Производная эквивалентность симметрических специальных бирядных алгебр, Зап науч сем ПОМИ 343(2007), 5-33

Подписано в печать 18 04 2008 Формат 60x841/16 Бумага офсетная Печать офсетная Уел печ листов 0,71 Тираж 100 экз Заказ №23

ЦОП типографии Издательства СПбГУ 199061, С-Петербург, Средний пр, д 41

Введение.

1. Симметрические специальные бирядные алгебры.

1.1. Классификация.

1.2. Граф Брауэра и комплекс Брауэра.

2. Группа Гротендика стабильной категории

2.1. Общие сведения.

2.2. Решетка строк матрицы Картана.

2.3. Ранг и определитель матрицы Картана.

2.4. Вычисление миноров: двудольный случай.

2.5. Вычисление миноров: цикл нечетной длины.

2.6. Структура группы Гротендика.

3. Диаграммы и резольвенты.

3.1. Диаграммы модулей и диаграммные морфизмы.

3.2. Стандартные модули и морфизмы.

3.3. Минимальные резольвенты простых модулей.

3.4. Конечная порожденность алгебр Йонеды.

3.5. Морфизмы в стабильной категории.

3.6. Периодические модули 2-го рода.

3.7. Стабильная инвариантность 7Г2.

4. Производная эквивалентность.

4.1. Центр алгебры и кратности Л-циклов.

4.2. Инварианты стабильной эквивалентности.

4.3. Элементарные преобразования комплексов Брауэра.

4.4. Алгебры рода 0.

Данная работа посвящена гомологическим аспектам теории представлений симметрических специальных бирядных алгебр, в первую очередь, их классификации с точки зрения эквивалентности различных категорий, связанных с алгеброй; эквивалентности категории модулей (Морита-эквивалент-ности), эквивалентности производной категории (производной эквивалентности), эквивалентности стабильной категории (стабильной эквивалентности).

В ходе развития теории представлений конечномерных алгебр (в первую очередь групповых алгебр конечных групп в случае, когда характеристика поля делит порядок группы) одним из ключевых моментов стало разделение алгебр на ручной и дикий типы представления. Из первого типа также часто выделяют конечный тип представления. Теорема Дрозда [1] утверждает, что всякая конечномерная алгебра А над полем К либо ручная (т.е. ее представления любой размерности исчерпываются конечным числом одноиараметри-ческих семейств модулей и конечным числом модулей, не входящими в эти семейства), либо "дикая", т.е. задача описания всех ее неразложимых представлений (неразложимых А-модулей) равносильна так называемой "дикой задаче" об одновременном приведении пары матриц одинакового размера.

В настоящее время полностью изучена зависимость типа представления блоков групповых алгебр над полем характеристики р в терминах строения ее дефектной подгруппы Р. Д.Хигман в [57] показал, что если сЪы:(К) = р и р делит порядок С то КС имеет конечный тип представления тогда и только тогда, когда (7 — циклическая. С.А.Кругляк в [54] показал, что если сЬаг(ТГ) > 2, то групповая алгебра нециклической группы имеет дикий тип представления. Ш. Бреннер [55] показала, что групповые алгебры всех 2-групп, за исключением циклических, диэдральных, полудиэдральных и обобщенных групп кватернионов имеют дикий тип. Вондаренко [9] и Рингель

56] показали, что групповые алгебры диэдральных 2-групп имеют ручной тип. Наконец, Бондаренко и Дрозд ( [2]) показали, что групповые алгебры полудиэдральных групп и обобщенных групп кватернионов — ручные. Эти же результаты переносятся на блоки групповых алгебр, где те же условия накладываются не на саму группу, а на дефектную подгруппу соответствующего блока.

Поскольку групповые алгебры самоинъективны, и более того, симметрические, значительная часть общей теории развивается в контексте произвольных самоинъективных конечномерных алгебр (кроме того, важно, что стабильные категории таких алгебр триангулированы).

Более или менее удовлетворительная классификация всех самоинъективных алгебр конечного типа имеется в работах Ридтман [22], [3], [4].

Класс самоинъективных алгебр ручного типа гораздо более широк, и. по-видимому, классификация всех таких алгебр не является разумной задачей. Известны, впрочем, частичные результаты, например, классификация самоинъективных алгебр не более, чем с одним параметрическим семейством в каждой размерности, имеется в работе Сковронского и его учеников [5].

С другой стороны, классификация ручных блоков групповых алгебр (с точностью до Морита-эквивалентности) была проделана Эрдманн в 80-х годах (см. итоговую монографию [6]). Эта задача была решена так: аксиоматизировались некоторые установленные свойства категории модулей над алгеброй одного из трех типов, упомянутых выше, и были введены обобщающие эти 3 класса алгебр классы алгебр диэдралыюго, полудиэдрального и ква-тернионного типов. Классификация с точностью до Морита-эквиалентности этих трех новых классов алгебр и была осуществлена Эрдманн. Отметим, что тот факт, что все алгебры из (более широкого) списка Эрдманн в действительности являются алгебрами ручного типа, окончательно был установлен чуть позже (см. [7]).

Поскольку описарще всех неразложимых Л-модулей изначально было одной из основных задач теории представлений, класс алгебр ручного типа интересен, в частности, потому, что для этих алгебр задача имеет шанс быть полностью решенной. В случае групповых алгебр ситуация следующая. Классификация модулей над алгебрами диэдрального типа была по существу независимо проделана в работе Гельфанда—Пономарева [8] и уже упоминавшихся работах Бондаренко [9] и Рингеля [56]. Более точно, в этих работах рассматривалась задача классификации для конкретной алгебры (например, для групповой алгебры диэдральной группы порядка 8), однако оказывается, что теория представлений такой алгебры (в части классификации неразложимых модулей) легко переносится на общий случай алгебр диэдрального типа, и вообще, на более широкий класс специальных бирядных алгебр — основной предмет данной работы.

Классификация модулей над алгебрами полудиэдрального типа оказалась более трудной задачей. Она была решена (опять-таки, в модельном случае) Кроули-Боуи в 1989 году [10]. В то же время классификация неразложимых модулей над произвольной алгеброй кватернионного типа остается открытой проблемой (несмотря на то, что гомологически этот тип наиболее прост — все модули над алгеброй такого типа имеют периодическую резольвенту, т.е. "гомологическую сложность 1").

Понятие специальной бирядной алгебры возникло в 1970-х годах в работе Сковронского и Вашбгоша [11]. Как уже сказано, классификация модулей над алгебрами этого типа аналогична классификации представлений диэдральной группы. В частности, все бирядные алгебры имеют ручной тип ( [65]). В дальнейшем мы рассматриваем симметрические специальные бирядные алгебры как наиболее близкие групповому случаю.

Класс этих алгебры удается удовлетворительно описать. Более подробно, в главе 1 настоящей работы каждой симметрической специальной бирядной алгебре (более кратко, ЭВ-алгебре) сопоставляется некоторый ориентированный граф, у которого степени всех вершин равны 4, и зафиксировано разбиение множества всех его стрелок на циклы с присвоенными кратностя-ми. Далее мы, несколько развивая идею графа Брауэра (см., например, [11]), сопоставляем этой алгебре двумерный клеточный комплекс Брауэра, в терминах которого формулируется ряд ключевых результатов работы.

Естественно, что хорошее знание теории представлений позволяет решать в этом классе посредством явных вычислений задачи, которые в других случаях используют, скажем, топологический аппарат. В частности, важной задачей теории представлений конечных групп является вычисление кольца когомологий группы. Эти вычисления весьма нетривиальны уже в конкретных случаях. Знаменитым общим результатом является теорема Голода-Венкова-Ивенса (см. [12], [13], [14]), утверждающая, что такое кольцо когомологий (алгебра Йонеды тривиального простого модуля) является конечно-порожденной алгеброй над К. Даже наиболее алгебраическое доказательство этого замечательного результата использует нетривиальный аппарат пришедший из геометрии: спектральные последовательности и высшие когомологические операции.

Оказывается, что для специальных бирядных алгебр (пересекающихся с классом групповых алгебр по классу алгебр диэдрального типа) удается явно построить минимальные резольвенты простых модулей и считать с них информацию, необходимую для вычисления алгебр Йонеды. Для алгебр диэдрального типа это было сделано О. Балашовым. А.И.Генераловым, и его учениками в серии работ в 1997-2002 гг. (см. [15], [16], [17]), в которых были вычислены алгебры Йонеды большинства серий таких алгебр. В основу было положено развитие так называемого диаграммного метода Бенсона-Карлсона (см. [18]).

Дальнейшее развитие этой техники позволило сделать ряд других, возрастающих по сложности вычислений, — в частности, алгебр Йонеды для алгебр полудиэдрального типа, колец когомологий Хохшильда некоторых алгебр диэдрального и кватернионного типа (см. [51], [52], [53], [58], [59], [60],

61]). С другой стороны, в данной работе используя (отчасти) те же методы, доказывается следующая общая теорема, являющаяся аналогом теоремы Голода-Венкова-Ивенса.

Теорема 0.1. П.уешь А — произвольная симметрическая специальная би-рядная алгебра, <7(Л) — ее радикал Джекобсопа, Л = Л/</(Л) — соответствующая фактор-алгебра, Тогда алгебра Йонеды, £ (Л) является конечно-порожденным, над К кольцом,.

Отметим в этой связи работу Брауна ( [19]), в которой указан алгоритм получения образующих и соотношений для специальных бирядных алгебр конечного типа представления (для которых конечнопорожденность алгебры Йонеды очевидна ввиду периодичности резольвент). Мы предоставляем более явный алгоритм, действующий в более общем контексте. Ключевым промежуточным результатом этой части является описание (в комбинаторных терминах) множества простых периодических модулей.

С другой стороны, наблюдая параллелизм в описании неразложимых модулей для разных симметрических ЭВ-алгебр, можно задаться вопросом о сравнении категорий модулей над различными такими алгебрами. Любые две базисные Морита-эквивалентные друг другу алгебры изоморфны. Как стало хорошо понятно в последние два десятилетия адекватным контекстом поиска более тонких аналогий между категориями модулей (а равно и аппаратом объяснения неожиданных "внутренних симметрии" таких категорий) является язык производных категорий и производных эквивалентностей.

Введенное в начале 60-х годов А.Гротендиком году в нуждах алгебраической геометрии понятие производной категории (систематическое изложение соответствующего предмета появилось впервые в [20]) к 80-м годам стало активно используемым в теории представлений конечномерных алгебр. Например, некоторые совпадения в вычислениях (например, "совершенная изометрия" групп характеров групп А\ и Аь над полем характеристики 2), оказались следствием эквивалентности производных категорий главных блодоказанный Хаппелем, Келлером и Воссиком в 1987 году ( [30], [64]) факт; на стабильной категории самоинъективной алгебры имеется структура триангулированной категории. Напомним, что понятие триангулированной категории было введено в 1963 году ( [29]) как аксиоматизация свойств производной категории, и все примеры триангулированных категорий возникали из производных категорий и близких к ним. Как установил Рикард в 1989 году ( [31]), стабильная категория является факторкатегорией производной категории по подкатегории совершенных комплексов. Поэтому производная эквивалентность алгебр влечет стабильную, а стабильная инвариантность — производную инвариантность. Следует отметить, однако, что ввиду того, что для стабильной категории неизвестны аналоги теорем Мориты и Рикарда (кроме очень слабых обращений; см. Линкельман [32], Рикард [33]), и поиск стабильных эквивалентностей, и поиск стабильных инвариантов — гораздо более трудная задача, чем для производных эквивалентностей. В настоящее время доказаными инвариантами производной эквивалентности являются центр алгебры, группа Гротендика, кольцо когомологий Хохшильда ( [34]) и некоторые более тонкие структуры в этом кольце. Более того, инвариантами стабильной (а значит, и производной) эквивалентности являются стабильный АИ-колчан алгебры (см. [27]). тип представления алгебры (Краузе, [35]). Инвариантность же, скажем, кольца когомологий Хохшильда относительно стабильной эквивалентности, как и то, в каких случаях стабильная эквивалентность влечет производную, остается открытым вопросом.

В 1997-1999 гг. в работах Линкельмана и (в основном) Хольма ( [36], [7]) была произведена классификация алгебр диэдрального, полудиэдр ал ьного и кватернионного типов с точностью до производной эквивалентности. С другой стороны, в 1999 году Асашиба ( [37]) классифицировал все самоинъектив-ные алгебры конечного типа представления с точностью до стабильной эквивалентности. причем оказалось, что в этом классе алгебр понятия стабильной и производной эквивалентностей совпадают. Основным инвариантом, позволяющим различать стабильно неэквивалентные алгебры, в этом случае оказывается группа Гротендика стабильной категории (как триангулированной категории).

В главе 2 настоящей работы вычисляется группа .Яо^тосЦЛ)), где Л — произвольная симметрическая ЭВ-алгебра. В отличие от конечного типа представления этого вычисления явно не достает до классификации данных алгебр с точностью до производной эквивалентности (хотя, например, для блоков групповых алгебр с диэдральной группой дефекта оно (с использованием работы Хольма [7]) позволяет закончить такую классификацию). Для рассмотрения общего случая из результатов этой главы, видимо, наиболее полезен (хотя технически наиболее прост) следующий:

Теорема 0.2. Пусть А — симметрическая БВ-алгебра, комплекс Брауэ-ра которой содержит, п ребер и к вершин. Тогда свободный ранг группы, э1лж)с1(Л) равен либо п — к + 1 либо п — к, в зависимости от, того есть ли в графе Брауэра алгебры, Л циклы, нечет,ной длины,.

Далее этот результат применяется к доказательству того, что количество вершин в комплексе Брауэра — инвариант стабильной эквивалентности. Тот же результат для производной эквивалентности получается существенно легче — вычислением центра алгебры Л (в главе 4, где так же доказывается производная инвариантность множества кратностей вершин). Количество граней также является инвариантом стабильной эквивалентности, что можно получить из анализа А11-колчана алгебры (глава 3). Более точно, из анализа количества периодических компонент АЯ-колчана, соответствующих модулям 1-го рода и некоторым исключительным молулям 2-го рода следует доказанное в главе 3 утверждение:

Теорема 0.3. Предположим, что А и В — симметрические БВ-алгебры с п > 1 простыми модулями, причем, их стабильные категории модулей эквивалентны (как, триангулированные категории,). Тогда, для кол;на нов алгебр

А и В количество С-циклов для ком,чанов алгебр одно и то же, а наборы длин этих О-циклов совпадают,.

В главе 4 вводятся элементарные преобразования комплексов Брауэра. Оказывается, что если два комплекса можно получить друг из друга элементарным преобразованием, то соответствующие алгебры производно эквивалентны. Это доказывается построением соответствующих наклоняющих комплексов и вычислением их колец эндоморфизмов. Оказывается, что введенных преобразований и инвариантов достаточно для полной классификации симметрических ЭВ-алгебр рода 0 с точностью до производной эквивалентности. Более точно, доказана следующая

Теорема 0.4. Пусть Ах и Л2 — симметрические БВ-алгебры рода 0. Тогда Л1 и Л2 производно эквивалентны в том, и только т,ом, случае, когда, их комплексы Брауэра имеют, одинаковые наборы, периметров граней и одинаковы,е наборы меток на вершинах.

Для алгебр произвольного рода дословный аналог этой теоремы неверен — в частности, в силу того, что появляется еще один (бинарный) инвариант —• двудольность графа Брауэра. Верен ли аналог данной теоремы, учитывающий двудольность, автору неизвестно. В работе приводится пример пары комплексов (и, следовательно, алгебр) рода 2, удовлетворяющих (дополненному) условию теоремы, но непереводимых друг в друга элементарными преобразованиями. Вероятно, что ответ отрицательный и что дополнительный инвариант даст вычисление кольца когомологий Хохшильда и некоторых специальных инвариантов в нем. Эти инварианты (некоторые из которых весьма новы — см.например, изучение различных инвариантов, связанных с кольцом когомологий Хохшильда в [38], [39]) оказались полезными в серии работ, близких по теме к настоящей — статьям 2003-2006 гг. Хольма, Сковронски, Луческу ( [40], [41], [42]), в которых классифицируются с точностью до производной эквивалентности алгебры евклидова, однопараметричеекого и других типов. Не давая здесь точных формулировок, скажем, что для алгебр этих типов имеется удовлетворительная классификация, классы этих алгебр пересекаются с классом симметрических ЭВ-алгебр по нескольким (из бесконечного в обоих случаях числа) сериям, алгебры этих типов описывается несколько более простой (по сравнению с общим случаем симметрических БВ-алгебр) комбинаторной структурой, по которой, однако, строение самих этих алгебр в общем случае восстанавливается несколько сложнее и не столь единообразно. Хочется еще раз подчеркнуть, что результаты упомянутых работ, как и данной работы, как и продвижения по гипотезе Бруэ, показывают, что в подавляющем большинстве ситуаций производная эквивалентность равносильна стабильной эквивалентности, хотя пока что, все такие результаты являются лишь следствиями полной классификации того или иного класса алгебр.

Основные результаты данной диссертации опубликованы в работах [43], [44], [45].

Автор выражает искреннюю признательность профессору Александру Ивановичу Генералову за введение в круг рассматриваемых вопросов, помощь. оказанную при работе над ними, и постоянное внимание и поддержку.

Симметрические специальные бирядные алгебры

1.1. Классификация.

На протяжении всей работы мы будем рассматривать базисные конечномерные алгебры над алгебраически замкнутым полем К, т.е., К-алгебры путей некоторых колчанов с соотношениями. Композиции путей в таких алгебрах мы будем записывать слева направо; будут рассматриваться только левые модули над этими алгебрами.

Пусть ф — некоторый колчан базисной алгебры. У{0) — множество его вершин, Е{С2) — множество стрелок. Для всякого пути р в колчане (в частности, для каждого элемента Е{С})) начальная вершина этого пути будет обозначаться st(p), конечная — е(р). Далее, для всякой вершины V е через БТу (соответственно, Еу), будем обозначать множество стрелок, выходящих из данной вершины (соответственно, входящих в данную вершину). Степенью вершины V в колчане <3 мы будем называть ее степень в неориентированном мультиграфе, соответствующем <3 (т.е. величину \STyl + Маршрутом в колчане мы будем называть произвольную последовательность стрелок <21, <22,. •., ап такую, что е(щ) = «(аг-+1) для всякого натурального % < п, а путем — маршрут, все стрелки которого попарно различны.

Неразложимость алгебры Л равносильна связности колчана С}. Мы будем рассматривать лишь неразложимые алгебры (и, соответственно, только связные колчаны), поскольку все вопросы, рассматриваемые в работе, тривиально сводятся к неразложимому случаю (впрочем, в соответствующих местах нужные ремарки будут сделаны).

Определение 1. Специальной бирядной алгеброй (или более кратко, БВалгеброй) называется алгебра путей колчана с соотношениями Л = K[Q]/I, где колчан Q и идеал соотношений I удовлетворяют следующим двум условиям:

1) \STV\ ^ 2, \EV\ ^ 2 для любой вершины v £ V(Q).

2) Для всякой стрелки a Q E(Q) существует не более одной стрелки ß G E{Q) такой, что aß <£ /, и существует не более одной стрелки 7 е E(Q) такой, что 'уа ф I.

Через Si мы обозначаем простой левый Л-модуль, соответствующий вершине г колчана Q. Пусть S — множество всех представителей классов изоморфных простых А-модулей. Проективное накрытие модуля M обозначается через Р(М), радикал модуля M обозначается через RadM, а цоколь модуля M — через Soc M, Тор M — M/ Rad M. Если w — путь в колчане Q, через l(w) мы будем обозначать его длину.

Мы часто будем отождествлять вершины колчана с соответствующими им простыми модулями. В частности, говоря о "простых модулях степени fc", будем иметь в виду, что соответствующая вершина в колчане имеет степень к.

Напомним следующее определение.

Определение 2. Алгебра А называется симметрической, если существует .ЙГ-линейное отображение : А —> К такое, что </?(а&) = (р(Ьа) для любых а, 6 G А и ядро ip не содержит ненулевых правых идеалов А; такое отображение <~р называется симметрической форм,ой.

Напомним, что всякая симметрическая алгебра квазифробсниусова.

Лемма 1.1. Пусть Г — путь в колчане Q симметрической алгебры А — K{Q\/I, не лежащий в идеале соотношений I. Тогда существует путь Г1 т,акой, что ГГ1 £ I и si(rTi) = e(lTi).

Доказательство. См. например. [6],стр.16.

Лемма 1.2. Пусть А = К\0\/1 — симметрическая БЪ-алгебра, не изоморфная К[х]/(х2), а £ Е{0). Тогда существует ровно одна стрелка ¡3 £ Е{0:) такая, что ар £ I, и ровно одна стрелка 7 £ Е{0) такая, что 7а $ I.

Доказательство. В случае, когда а — не петля, существование искомой стрелки доказывается применением леммы 1.1 к пути, состоящему из одной стрелки а.

Пусть теперь а — петля в вершине в такая, что, скажем (За £ / для любой стрелки р £ Е{0). В этом случае Ыас1(Л) С аппд(а), значит а £ Зос(лА) £ 8ос(Р5). Напомним, что для симметрических алгебр Зос(лА) = Зос(Лл, так что а £ Зос(Лл) и 7а £ I для всякой 7 £ Е{0) Если \Е(з)\ — ||5Т($)| = 1, то в силу связности С} имеем = {5}. При этом, по предположению, аа = 0 и тогда Л = К[Х]/(Х2). Пусть теперь > 1. В этом случае максимальный не содержащийся в / путь вида ату, где 7 ф а, 7 £ Е(,в), х — путь в колчане, также (как и а) соответствует элементу из Зос(Р5). Заметим, что I не содержит соотношения вида а — сагу, с £ К \ {0}, так как а — сх 7 £ Ыас12(#[д]). Поэтому (Нт^ос^)) > 1, что противоречит ква-зифробениусовости алгебры Л. Точно так же разбирается случай |5Т(з)| > 1.

Наконец, единственность искомой стрелки следует из определения ЭВ-алгебры.

Из леммы 1.2 следует, что на множестве Е{0) корректно задана перестановка 7Г1 : Е{0) —> Е(0) такая, что -К1(а)а Ф 0 при любом а £ Е(0).

Определение 3. Орбиту перестановки тт\ будем называть А-циклом алгебры А.

Таким образом, Е(С5) разбивается на попарно дизъюнктные Л-циклы.

Лемма 1.3. Пуст,ь ах, <22,., аг = ао — последовательные стрелки А-цикла (т,.е. а{+\ = п\{ог) при г = 0,1,., г — I). Тогда существует, I £ N такое, что при г = 0,1,. ,г — 1 имеем

1. ага\. Щ-\)1 ф 0, oioi+i. arai. ai-i)lai = 0.

Доказательство. Рассмотрим ненулевой маршрут в Q, состоящий из стрелок {a¿}F= i максимально возможной длины. Не умаляя общности, можно считать, что его первая стрелка — (1\. Согласно лемме 1.1 такой маршрут замкнут, т.е. имеет вид р = {а\й2 . аг)1 либо р = (ai<22 * • • ar)laiü2 ■ •. as-¡ где s < г и e{as) = e(ar) = st(ai). В силу максимальности р G Soc (Л) и потому ¥>(р) ^ 0.

В случае р — {а\0Ь2 ■ • • аг)1 при всяком натуральном i < г, в силу симметричности (/?, имеем р(((цсц+1. ага\. cu-i)1) — v?(((a«a¿+1. arai. аг-1)гаг-аг-+1. ar)(a\. a¿i)) = = ¡f {{ai. 0ÍI)((0Í0Í+I . arai. a¿i)í)a¿a¿+1. аг)) = <p((ai02> ■ -ar)1) ф 0, и поэтому {a¡ai+1. ara\. üí-i)1 Ф 0. С другой стороны, a¿a¿+i. arai. a¿i)za¿ = 0, в силу предположения о максимальности длины маршрута р. В этом случае утверждение леммы доказано.

В случае р — (а\а2 . ■ ■ ar)laia2 . as, где s < г, имеем

V?((a2a3 • • • arai)la2Ci3 . as ■ ai) = ip{a\ • (a2a3 . ara{)la2aз . as) = ф 0, тогда как asai = 0 и значит, (агаз . ага\)1а2<1ъ • • • asi-(asai) = 0. Полученное противоречие показывает, что этот случай невозможен.

Определение 4. В обозначениях леммы 1.3 всякий маршрут вида a¿a¿+i. ara\. сц-if будем называть обходом соответствующего Л-цикла, а путь вида ща{+1. ага\. a¿i — основным, подобходом, этого обхода. Число I будем называть кратностью данного Л-цикла.

Определение 5. Пусть w — подпуть в обходе {а\а2 ■ ■ ■ аг)1 некоторого Л-цикла. Обозначим через A (w) дополнительный к w подпуть, т.е. такой подпуть, что wA(w) (и, следовательно, A(w)w) являются обходами того же А-цикла.

Отметим, что поскольку всякая стрелка a G v(Q) принадлежит ровно одному Л-циклу. она является первой стрелкой ровно одного обхода.

Лемма 1.4. Пусть v G V(Q),âeg(v) = 4, x\,yi G E(Q), st(x{) = st{y{) = v и s(íci) = (;X\X2 ■ • • xs)k\ s(yi) = (У1У2 ■ ■ ■ yt)k2 — обходы A-циклов (возможно, одного и m,ого же A-цикла). Тогда найдется Xv G К*, такое, чт,о s(x 1) =

Ks{yi).

Доказательство. Имеем s(xi),s(y{) G Soc А и значит, s(xx),s{yi) G SocPv в силу того, что st(x 1) = st(yi) = v). G другой стороны, dim^Soc^)) = 1 (поскольку алгебра A — квазифробениусова). Отсюда и следует утверждение леммы.

Теперь конкретизируем описание симметрических SB-алгебр в терминах колчанов с соотношениями. Напомним, что базисной конечномерной алгебре А однозначно соответствует колчан Q = Q(А), тогда как в выборе идеала соотношений / в алгебре путей этого колчана, задающего А = KQ/I имееется некоторый произвол.

Предложение 1.5. 1. Пусть А — симметрическая SB-алгебра, (Q, I) — колчан с соотношениям\и, алгебры Л. Тогда идеал, I порождается множеством, AU В U С, где:

1 )А — множество пут,ей вида ар, а,/3 — стрелки, не являющиеся, последовательными стрелками никакого А-цикла;

2) В — множество путей вида а\(а]Ол ■ ■ ■ йп)к, где а\ — произвольная, стрелка, {а\ао • ■ ■ ап)к — обход A-цикла, начинающийся, с эт,ой стрелки;

3) С — мноо1сест,во элементов вида rv = sXl — ЛvsX2 (по одном,у для, каждой вершины v степени 4 в Q), где sXl = (Х\Х2. xn)kl и sx,¿(y\y2 . ут)к2 обходы A-циклов, проходящих через v (возмоэюно, одного и того otee А-цикла), Xv — ненулевой элемент поля, К.

2.Идеал, I может быть выбран таким, образом, что все элементы A¿ равны 1.

Доказательство. 1. Выше мы уже показали, что множество A U В U С (при определенном выборе элементов Av) содержится в идеале соотношений алгебры Л.

Докажем, что любой элемент идеала Г £ / содержится в идеале, порожденном A U В U С. Действительно, пусть Г = А1Г1 + • • • 4- АГГГ, где различные пути в колчане Q, A¿ — ненулевые элементы поля. Мы можем считать, что каждый r¿ — подпуть в обходе какого-то A-цикла (слагаемые иного вида заведомо лежат в идеале, порожденном элементами множества А). Допустим, что образ какого-то из этих путей не лежит в Soc(A); пусть х — последняя стрелка в этом пути. Выберем среди всех путей, входящих в линейную комбинацию Г и заканчивающихся стрелкой х, путь Г5 наименьшей длины. Рассмотрим теперь дополнительный путь ¿(Г) так, что образ ГГ5 ненулевой элемент Soc(A). Тогда домножая исходную комбинацию путей на Г (слева), получаем, что ASITS £ / — противоречие (ГГг- может не лежать в /, лишь являясь подобходом того же А-цикла, что и Г5, по длина этого маршрута больше, чем у ITS при i =¡¿ s). Таким образом, все Г* — это максимальные ненулевые пути (т.е. обходы Л-циклов), а также произведения последовательных стрелок А-циклов, лежащие в I. Как следует из леммы 1.3, пути последнего вида порождаются элементами множества В. Выкинув из нашей суммы такие слагаемые, мы оставим линейную комбинацию обходов А-циклов, которая по-прежнему будет лежать в I. Домножая ее на всевозможные идемпотенты, соответствующие концам (оставшихся в сумме) путей Гг-, мы будем, очевидно, получать элементы вида kvrv суммой которых и является эта последняя комбинация.

2. Рассмотрим произвольный Л-цикл xi,.,xr кратности к. Заметим, что, в силу симметричности формы </?, ip(sXi) — (p{sX;)) при любых 1 < г, j < г (см. доказательство леммы 1.3). Далее, tp{sXl) ф 0, т.к. иначе ip аннулирует sXiА. Поэтому, заменив х\ = ахi при подходящем а Е К* мы можем добиться равенства ip{sXl) = 1. Проделав аналогичную линейную замену в каждом А-цикле, мы добьемся равенств ip(sx) = (p(sy) = 1 для любых х:у G E(Q\), и в частности, для любых х,у с st(x) = st(y). Поэтому в выражениях для элементов rv множества С все элементы Xv станут равными 1.

Замечание 1.6. Пусть идеал соотношений в симметрической специальной бирядной алгебре выбран так, что выполнено условие из п.2 предложения 1.5. Элементы si,i £ V(Q) образуют i^-базис Soc А; Мы будем называть их базисными цокольными элементами (и всюду ниже обозначать так же).

Определим теперь расширенный колчан с соотношениями (Qr, Ir) алгебры А следующим образом:

1. Вершины колчана Qr совпадают с вершинами колчана Q.

2. Пусть Xi, Х2,., Xs — все вершины степени 2 в колчане Q.

Множество стрелок Qr получается из множества стрелок Q добавлением петель Wi, W2,., ws в вершинах Х\, Х2,., Xs соответственно.

Эти петли мы будем называть формальны,ми петлям,и.

3. Для каждой формальной петли Wi введем соотношение u>i = s(yi), где yi G E(Q), st(iji) — Х{.

Добавив соответствующие 5 элементов к множеству АиВиС (см. предложение 1.5), рассмотрим порожденный этим множеством идеал 1Г е К[С2Г].

Отметим следующие простые наблюдения.

1.В расширенном колчане входящая и выходящая степени любой вершины равны 2.

2. К[ЯГ]/1Г = К[0\/1 * Л.

3. 1г) не является колчаном с соотношениями для Л в смысле обычного определения. Нарушено следующее условие: каждый элемент идеала соотношений должен лежать в квадрате радикала алгебры путей. Элементы и>г — з(уг) не удовлетворяют этому условию.

4. Пара (фг,/г), как и пара I), удовлетворяет описанию из формулировки предложения 1.5. А именно, объявим каждую новую (формальную) петлю в <5г А-циклом длины 1 и кратности 1 (сохранив разбиение Е{0) € Е{С2г) на ^4-циклы). Тогда идеал /г порождается системой образующих. описанной в предложении 1.5.

Пусть перестановки 7Г1,7Г2 заданы на множестве Е(С^)Г) следующими условиями:

1) е(х) = «¿(7гг(ж)) для любых х е Е(Сдг),г е {0,1}. 2) х-к\{х) ф 0 при всяком х Е Е{С^Г). 3) 7Г1 (ж) ф тг2(х) при всяком х е Е((2г).

Ясно, что орбиты перестановки 7Г1 суть А-циклы.

Определение 6. Будем называть орбиты перестановки 7Г2 С-циклами.

Таким образом, всякая неразложимая симметрическая ЭВ-алгебра над алгебраически замкнутым полем однозначно задается следующими данными:

1) некоторым связным колчаном, в котором все входящие и все выходящие степени вершин равны двум;

2) фиксированным разбиением множества стрелок колчана на циклы;

3) натуральнозначной функцией на множестве циклов.

1. Drozd Yu.A. Tame and wild, matrix problem,in: Repr.Theory, 1., Lecture notes in math 832, Springer,1980, 242-258.

2. Бондаренко B.M., Дрозд Ю.А. Тип представления конечной группы, Зап.науч.сем.ЛОМИ, 71(1977), 24-41.

3. Riedtmann Ch. RepresentaMon-finite selfinjective algebras of class An, Proceedings ICRA II, Lecture notes in math., 832 (1980), 449-520.

4. Riedtmann Ch. Representation-finite selfinjective algebras of class Dn, Compositio math., 49 (1983), 231-282.

5. Bogian R., Skowronski.A. One-parametric algebras selfinjective algebras, J.Math.Soc.Japan 57 (2005), 491-512.G. Erdmann K. Blocks of tame representation type and related agebras, Lecture notes in math., 1428 (1990).

6. Holm Th. Derived equivalence classification of algebras of dihedral, semidihedral, and quaternion type, J. Algebra., 211(1)(1999), 159—205.

7. Gelfand I.M., Ponomarev V.A. Indecom,posa,ble representations of the Lorentz group, 23(1968), 1-58.

8. Бондаренко B.M. Представления диэдра,льной группы над полем характеристики 2, Изв. Акад.Наук СССР 25(1)(1975), 58-68.

9. Crawley-Boewey W. Functorial filtrations III: semidihedral algebras, J.London Math.Soc., 40 (1989), 31-39.

10. Skowronski A., Waschbiisch J. Representa,tion-fimte biserial algebras, J. reine angew. Math., 345 (1983), 172-181.

11. Голод Е.С. О кольце когомологий конечной р-группы, Докл. АН СССР, 125(4)(1959), 703-706.

12. Венков Б.Б. Об алгебрах когомологий некоторым классифицирующих пространств, Докл. АН СССР, 127(5) (1959), 943-944.

13. Evens L. The cohomology ring of a finite group, Trans. Amer. Math. Soc., 101 (1961), 224-239.

14. Генералов А.И. Когомологии алгебр диэдрального типа, I, Зап. научн. семин. ПОМИ, 265(1999), 139-162.

15. Балашов О.И., Генералов А.И. Алгебры Йонеды для одного класса диэд-ральных алгебр, Вестник С.-Петерб. ун-та. Сер.1., Вып. 3(15)(1999), 3-10.

16. Генералов А.И., Осиюк Е.А. Когомологии алгебр диэдрального ти- па, III: сергия, D(2A), Зап. научн. семин. ПОМИ 289 (2002), 113-133.

17. Benson D.J., Carlson J.F. Diagra,m,m,a,t,ic methods for modular representations and cohomology, Commun, in Algebra, 15(1/2) (1987), 53-121.

18. Brown P. The Ext-algebra of a represents,tion-fi,nite biserial algebra^ J. of Algebra 221(1999),611-629.

19. Verdier J.-L. Categories dérivees,etat 0, SGA 4 1/2, Springer LNM 569 (1977), 262-311.

20. Broué M. Isom,¿tries de charactères et équivalences de Monta ou dérivées Pnbl. Math. IHES 71 (1990), 45-63.

21. Riedtmann Ch. Algebras, Darstellungkocher, and zuriick, Comment. Math. Helv. 55 (1980), 199-224.

22. Chuang J. Derived equivalence in Sl(2,p), Trans.AMS, 353(7) (2001), 28972913.

23. Harris M.E., tLinckelmann M. Splendid, equivalences for blocks of finite p-solvable groups, J.London mat.soc., 62(1)(2000), 85-96.

24. Rickard J. Morita theory for derive categories, J.London Math. Soc., 39(1989), 436-456.

25. Auslander M. Representation theory of artin algebras,II, Comm.in Alg., 2 (1974), 269-310.

26. Auslander M., Reiten I. Representation theory of a,Hin algebras,III,Comm.in Alg., 3 (1975), 239-294.

27. Auslander M., Reiten I. Representation theory of artin algebras, IV. Invariants given by almost split sequences, Comm.in Alg., 5 (1977), 443-518.

28. Puppe D., On the structure of stable hom,otopy theory. Colloqium on algebraictopology, Aarhus Univ. Math.Inst. (1962), 65-71.

29. Happel D. Triangulated categories in the representation theory of finite-dim, ensiona,I algebras, London Math. Soc. Lecture note series 119(1988).

30. Rickard J. Derived categories a,nd stable equivalence, J. Pure Appl. Algebra, 61(1989), 303-317.

31. Linckelmann M. Stable equivalence of Morita, type, in: Derived, equivalences for group rings, on ed,. S.Konig,a,nd, A.Zimmerm,an7?,Springer-Verlag, 1998, 221-232.

32. Rickard J. Equivalences of derived, categories for symmetric algebras J. of Algebra, 257(2) (2002), 460-481.

33. Rickard J. Derived equivalences as derived, functors, J.London Math.Soc., 43 (1991), 37-48.

34. Krause H. Stable equivalence preserves representation type, Comment.Math.Helv., 72 (1997), 266-284.

35. Linckelmann M. Derived equivalence for blocks with dihedral defect groups, J.Algebra, 164 (1994), 244-255.

36. Asashiba H. The derived equivalence classification for representation-finite selfinjective algebras , J.Algebra, 214 (1999), 182-221.

37. Zimmermann A. Invariance of generalized Reynolds ideals under derived equivalences Math. Proc. of the Royal Irish Acad. 107A(1)(2007), 1-9.

38. Zimmermann A. Fine Hochschild invariants of derived categories for symmetric algebras, J. of Algebra 308 (2007) 350-367.

39. Bialkowski J., Holm Th., Skowronski A. Derived equivalence for tame weakly symmetric algebras having only periodic modules, Colloq.math. 97 (2003), 33-47.

40. Bogian R. Holm Th., Skowronski A. Derived equivalence classification of weakly symmetric algebras of Euclidian type, J.Pure Appl.algebra 191(2004), 43-74.

41. Bogian R., Holm Th., Skowronski A. Derived equivalence classification of nonstandard algebras of domestic type, preprint, Torun, 2005.

42. Антипов M.A. Группа Гротендика симметрических специальных биряд-ных алгебр, Зап.науч.сем. ПОМИ 321(2005), 5-12.

43. Антипов М.А., Генералов А.И., Конечная, порожденность алгебр Йоне-ды, симметрических специальных бирядных алгебр , Алгебра и Анализ 17(2005), 1-23 .

44. Антипов М.А., Производная, эквивалентности симметрических специальных бирядных алгебр, Зап.науч.сем. ПОМИ 343(2007), 5-33.

45. Wald В., Waschbiisch.J Tame biserial algebras, J.Algebra, 95(1985), 480-500.

46. Lando S.K., Zvonkin A.K. Graphs on Surfaces and their Applications, Springer-Verlag, 2004.

47. Pogorzaly Z. On a construction of algebras stably equivalent to selfinjective special biserial algebras, Ann. Sei. Math. Quebec, 17(1) (1993), 65-97.

48. Ausländer M., Reiten I. Representation theory of artin algebras III, Commun. Algebra, 3(1975), 239-294.

49. Erdmann K., Skowronsky A. On Auslander-Reiten components of blocks and self-infective biserial algebras, Trans.AMS, 330(1992), 165-189.

50. Генералов А.И. Когомологии, алгебр n о луди:) драль йог о типа, I, Алгебра и анализ, 13(4) (2001), 54-85.

51. Генералов А.И., Антипов М.А. Когом,ологи,и алгебр полудиэдрального типа, II, Зап.науч.сем. ПОМИ, 289(2002), 9-36.

52. Генералов А.И. Когомологии алгебр полудиэдрального типа, III. Серил SD(3/С), Зап.науч.сем. ПОМИ, 305(2003), 84-100.

53. Кругляк С.А. О представлениях группы, (р,р) над полем, характеристики, р, Доклады акад.наук СССР, 153(6) (1963), 1253-1256.

54. Brenner S. Modular representations of p-groups, J.Algebra, 15(1970), 89-102.

55. Ringel C.M. The indecomposable representations of dihedral 2-groups, Math.Ann., 214(1975), 19-34.

56. Higman D. Indecomposable representation at characteristic p, Duke Math J., 21(1954), 377-381.

57. Генералов А.И. Когомологии алгебр полудиэдрального типа, IV, Зап.науч.сем. ПОМИ, 319(2004), 81-116.

58. Генералов А.И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдралъного типа, I. Серия Z>(3/C) в характеристике 2, Алгебра и анализ, 16(6) (2004), 53122.

59. Генералов А.И. Когомологии Хохшильда алгебр кватернионного типа, I. Обобщенные группы кватернионов, Алгебра и анализ, 18(1) (2006), 55-107.

60. Генералов А.И., Иванов А.А. Иванов С.О. Когомологии Хохшильда алгебр кват,ернионпого типа,11. Семейство Q(2B)\ в характеристике 2, Зап.науч.сем. ПОМИ, 349(2007), 53-134.

61. Гельфанд С.И., Манин Ю.И. Методы гомологической алгебры, т.1. Введение в т,еорию когомологий и производные категории, М., Наука, 1988.

62. Beilinson A., Bcrnstein J.,Deligne P., Faisceaux pervers, Asterisque, 100(1982).

63. Keller В., Vossieck D. Sous les catégories dérivees, C.R.Acad.Sci.Paris 305(1987), 225-228.

64. Crawley-Boevy W. Tameness of biserial algebras, Arch. Math. 65(1995), 399407.

65. Tachikawa H., Vakamatsn T. Cartan m,atrices and Grothendieck groups for stable catégories, J.of Algebra 144(2)(1991), 390-398.