Пространства с параметрами функций с доминирующими смешанными производными тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

АКАДЕМИЯ НАУК АЗЕРБАЙДЖАНА ИНСТИТУТ МАТЕМАТИКИ И МЕХАНИКИ

На правах рукописи

НАДЖАФОВ АЛИК МАЛИК оглы

УДК 517. 518.23

ПРОСТРАНСТВА С ПАРАМЕТРАМИ ФУНКЦИЙ С ДОМИНИРУЮЩИМИ СМЕШАННЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

(01.01.01. - Математический анализ )

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

БАКУ - 1996 г.

Работа выполнена на кафедре высшай математики Азербайджанского Инженерно-Строительного У ниверситета

Научные руководители:

- доктор физико-математических

наук, профессор А.Д. ДЖАБРАИЛОВ

- кандидат физико -математических

наук, доцент А. Ш. ГАДЖИЕВ

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических

наук. М-Б.А. БАБАЕВ

- доктор физико-математических

наук, профессор B.C. ГУЛИЕВ

Ведущая организация - Азербайджанская Государственная

Нефтяная Академия (кафедра прикладной математики)

Защита состоится " 1996г. в 11 час.

на заседании Специализированного совета Д.004.01.01 при ОФТМН и Министерстве образования Азербайджана по адресу: 370141, Баку, ул.Ф.Агаева,9.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИММ АН Азербайджана.

Автореферат разослан " ct i- " ¿j u 1996 г.

Ученый секретарь Специализированного Совета,

к.ф.-м.н., ст.н.с. Р.А.БАЙРАМОВ

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

Круг вопросов, связанных с построением и изучением различных свойств пространств дифференцируемых функций многих переменных и доказательством различных интегральных неравенств типа теорем влоаения этих пространств, относится к той области математического анализа, которая получила самостоятельное развитие под названием "теория пространств".

Основоположником и создателем этой теории является академик С.Л.Соболев, в работах которого получены фундаментальные результаты этой теории. Наряду с теориями известных пространств Wpr(G) (С.Л.Соболев - А.Н.Слободецкий), Hpr(G) (С.М.Никольский), в/в (G) (С.М.Никольский - О.В.Бесов), весовых пространств «рУа(Ш (С.Д. Соболев - Л.Д. Кудрявцев), в 1961-1972 гг. в работах'С.М.Никольского, В.П. Ильина, О.В.Бесова, П.И.Лизорки-на, А.Д.Ддабраилова, Т.И.Аманова, A.C. Джафарова, Я.С.Бугрова и других математиков были построены теории пространств

sgw(G), sjB(G), sj,^6*

дифференцируемых функций многих переменных с доминирующими смешанными производными и теории различных обобщений этих пространств.

В последние годы в связи с исследованием дифференциальных уравнений в частных производных стало необходимым изучение пространства Wрга х (G) функций многих переменных с параметрами.

Подобные функциональные пространства, построенные на базе изотропных пространств Wp(G) С.Л. Соболева, при некоторых частных значениях индексов впервые изучались в работах Морри. В частности, им было получено широко известное условие гельдеровости функций из этих пространств.

В дальнейшем результаты Морри развивались и обобщались в различных напрвлениях в работах Греко, Ниренберга, Кампанато, Петре и др. Работы В.П.Ильина посвящены исследованию функциональных пространств с параметрами 1рГа x (G).

В настоящей диссертации строятся теории функциональных пространств с параметрами типа известных функциональных пространств SpW(G) и их обобщений (см. работы С.М.Никольского, П. И. Лизоркига, А.Д.Джабраилова), функций с доминирующей смешан-

ной производной, что и обеспечивает актуальность полученных в диссертации научных результатов.

Цель работы

Целью диссертационной работы является изучение дифференциальных свойств функций, определенных в многомерной области и принадлежащих пространствам с параметрами дифференцируемых функций с доминирующими смешанными производными. Для достянения указанной цели были поставлены следующие задачи:

- ввести пространства Ьр>а>ае(в), Р = (Р^Р^ и и*

свойства;

-построить пространства с параметрами функций с доминирующими смешанными производными типов

п <11> ~<1>

и изучить их свойства;

- доказать теоремы вложения построеных пространств с параметрами;

- построить соответствуйте весовые пространства с параметрами и доказать теоремы вложения этих пространств.

- сравнить полученные результаты с соответствующими известными результатами.

Результаты исследования и научная новизна.

Построены новые функциональные пространства с параметрами типа (*). При зтом изучен ряд свойств построенных пространств. Доказаны теоремы вложения этих построеннных пространств с параметрами, характеризующие дифференциальные свойства функций из этих пространств. Доказаны, что для функций из построенных пространств с параметрами обобщенные производные удовлетворяют кратному интегральному условию Гельдера в' метрике Ьч(Ст>- Построены соответствующие весовые пространства с параметрами и доказаны теоремы вложения этих пространств.

Все полученные в диссертации результаты новые.

Теоретическая и практическая значимость.

Теоретическая и практическая значимость исследований проведенных в диссертационной работе, заключается в том, что полученные новые результаты представляют самостоятельный научный интерес в теории функциональных пространств и могут быть применены в теории дифференциальных уравнений в частных производных при решении граничных задач и при исследовании дифференциальных свойств обобщенных решений квазиэллиптических и гипоэллиптических дифференциальных уравнений в частных производных.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на научном семинаре кафедры "Высшая математика" в АзИСУ; на IX, X и XI республиканских научных конференциях аспирантов Вузов Азербайджана; VII республиканской конференции молодых ученых по математике и механике в ИМИ АН Азербайджана, а также на XV Всесоюзной школе по теории операторов в функциональных пространствах (г. Ульяновск 1990 г.); на семинаре д.ф.-м.н., проф. B.C. Гулиева в БГУ им. U.A. Расул-заде и на семинаре отдела математического анализа Института математики и механики АН Азерб. под руководством д.ф.-м.н. Ы-Б.А.Бабаева.

Структура и объем работы . Диссертационная работа состоит из введения и четырех глав и изложена на 127 страницах машинописи. Библиография содержит 48 наименований.

Публикации. Основные результаты диссертации достаточно полно изложены в 8 статьях автора, список которых приводится в конце автореферата.

Содержание диссертации .

Диссертационная работа состоит из введения и четырех глав. В первой главе строятся и изучаются (с точки зрения теорем

вложения) функциональные пространства Sp^^WiG) с параметрами функций с доминирующими смешанными производными, где

M^.ij,,...,^), 1j>0- целые; р=(р.,,р2,...,!>„), 1<Рj<*;

•4 ■■■■■■

ае=(эе1 ,ае2,...,зеп), ауо; а=(а1,а2,...,ап), 0<а^<1, /=1,п

Сначала даются необходимые обозначения и определения. Пусть Gc Е", гМ^,^,....-^), J=1,п.

Положим для хеЕ11

I (х)=

1 36 ,

у: ^ГЧ^ 2 V' J=1,n

36

G (х) = Gai <х), mes G (x) < mesl (x) = П vJ. & & -J*

Обозначим = mini 1,1^3, /= 1,п

Под целочисленным вектором понимается вектор с целыми координатами.

Определение 1. Будеы говорить, что измеримая на G функция ieLpja>Je(G) , если существует константа Nf такая, что

Ш

P,G^g<X>

- {![■■■{ I

G <Х ) G (х_) G (Х-)

«26L .X * .32 1

ггп 4Ç2 i^i

ДЛЯ любого X€G И VJt 0<Vj<oo , Js 1,П.

Норму на множестве Lp а X(G) введем равенством

1Г|

Р,а,эг;о Х€(3'

f п р»

аир П ШЛ J Ul i,0<Vj«x> t/-1 J

VX)J

Доказывается ряд свойств пространства Ър a>œ(G).

« ее е Пусть Iе = где

Î у, /ее

е

lJ =

О, /ееп\е

еп = (1,2,...,n), е с еп, ег - является носителем вектора I. Определение 2. Будем говорить, что i^Sp^^KG),

если

** e Lp,a,a<G) при всех e с ejj, т.е.

г ге

sp,a,*«<G> =П1рЛ1(е). (2)

ecen

Норыа в этом пространстве определяется равенством

msl w<«f 5 Р.вЛв- <3>

sp,a,a!w<G) е=еп

Доказываются три теоремы, характеризующие свойства функций из пространства

W,(G>

Пусть р=(р1,р2), рЧр.,,...^),?2^?^.,,...^), Ч=(<11»®)»

Теорема I. Пусть GeG<H), Kp<q<a>, ж = cae, где - = maxljXj, v=(v1>V2»*"'V» VJ>0 ~ цалН9» e^d.g,...,!!!}. m -

любое натуральное число < п. Предположим, что

1)

8/-

У» ^

i

lrvr(^fJ] Vj ' 1131 Jeen4em

6/,о = Щ' при ^

2) е^>0 при /=1,2,...,п.

Тогда при любых фиксированных хпн-1 ,хпн-г.....хп

(вд^Сг^Хд^согш^... ,хп=сопа-Ш

Теорема 2. Пусть удовлетворяются условия теоремы 1 с той

разницей, что вместо условия 2) имеет место следующее:

существует положительный целочисленный вектор такой, что Ь■J<£J при ^еепвщ; Q<£j при /ееп\(епет).

Тогда при любых фиксированных хЕН.1,хш.2,...,хп

В теореме 3 доказано, что, если в условиях предыдущих

теорем потребовать, чтобы СеСа( Н), то производная Л будет

удовлетворять кратному условию Гельдера в метрике Ъч1 с показателем ; точнее, получена оценка:

• Он ч>|0«| т р 1

|А(г ,2 >| а1 0 < и г • п х/, (3)

где - любое число, удовлетворяющее неравенствам 0<Ру<1, если

0<р^<1, если при/ее-е,^ при /е(еп-е) -е^

С - константа, независящая от Г и X. Во второй главе построены пространства

п <1'>

с параметрами и исследованы дифференциальные свойства их функций где р1=(р{,р|,...,р£), Кр)«», а*=(а|,а£,...,а*), (Ка|<1, ае0=(ж1о1,аега2>...,зепоп), ге^>0, сро,

- целые , /=1,п , *=0,п ; точнее говоря, показатели гладкости

точек ^({=0,1,2,...,п) одновременно не лежат на (п-1) -мерной плоскости (т.е. они как векторы линейно независимы).

Сначала даются соответствующие определения и обозначения.

Пусть: Е0- п-мерное евклидово пространство точек х=(х1, х2,..., хп); всЕ"; Ь>0; у2,..., уп); Ьа=(Ь°\ Ьг,..., Л

11° ~ I ьатД ' <1,1..... }

11°

с координатами, равными единице, (м,

Определение 3. Будем говорить, что измеримая на в функция Х( у) принадлежит (множеству) Ьр а , если существует константа Ыt такая, что

Еа рз

Ы р.«^<х> - {[[••■ {г ( ЦЧ..

в (X ) С (Х?) в (X.) 1/*о>п Мг г/*с>1

*п

п

для любого и любого 0<гкт, при чем (а^,а) аеузуву, [•и]. =т1п{1,и>. в (х = в.Ш (х«), где

I (х.) = {у/:|угх,|< Х-о^у, ;=1,п.

I (х,)

п <1'>

Определение 4. Будем говорить, что Ге п Ь_1 ~ (О,

{=о ** •а '"ТУ

если на всЕ" существуют обобщенные производные Б I , причем г1

Г Г е Ь 1 / (О <е=0,п),

Р ,а\эе0

т.е., если Г принадлежит всем пространствам

Ьп1 Л „ (О (1=0,п) одновременно.

" ,ы »"по

Полунорму в этом пространстве определим как сумму полунорм в

<г£>

п

1X1

л <1"> <1 >

(О)

1 * <*£> "А,г| <л

У.в1.«

п

- 5 |В И ( I (4)

V | >

Ш = аир ([-и], |Г| . в (х))

и

Теорема 4. Пусть I ф, £=0,п одновременно не

лежат на (п-1) -мерной плоскости, причем - целые; 1^0

целые, - целые <Л<1), /=1, 2, ... ,п, где

^ = юах1^(а^. Пусть 1<р*<1*® ({=07п), V = (у^ уп)-

целочислешшй неотрицательный вектор, п - любое натуральное число < п.

Предположим, что

1) щи

при /еег< (1=1 ,п)

(М)

2) VI = - ^ й\„),а)

О / с 1 ш

= (Г-у-(и-жа1)( ),о)

3) бе А(Що))

п <1{>

Тогда, если ^ {>0 , то при фиксированных х^, хпи.2.....

Теорема 5. Пусть удовлетворяются условия теоремы 4 с той разницей, что вместо условия 1) имеет место следующее: Г)существует положительный целочисленный вектор

Яп) с носителем еЛ_=(1,2,... ,га> такой, что > при /€е #

• Гии) ■ г _

Тогда,'если 0<£^ 1= I - . С=0,п), то при фиксированных ^н' хт+г..... хп

и п <11> <\> /. .

Г:П V Я1 » (б) — ь_1ь *1((3т> (Р 1<Р1<®).

(=о Р >а >жо р, ь,ж0 т Теорема 6. Пусть (Л(о)), функция Г и векторы р1, р, эе0, V, вт е° { удовлетворяют условиям теоремы 4. Тогда при фиксированных • хт+1, ..... Хп и гй+1> 1тг..... гп производная

удовлетюряет на Сщ условию Гельдера в метрике Ьр с показателем

Вели в пространстве п <11>

ДУ.аЧ (В)

положить р{=(р{, р1,..., рЬ , а1=(а*, а1',..., а{),

1°=(0, 0 ,..., О ) и 2*=(0 II,..., О )<*=0,п ), это пространство совпадет с известным пространством

Р0» Р^-»«»!^» вд» в^»•.••«

рассмотренным В.П.Ильиным - Т.А. Иубочкиной.

В тротьой гляво строятся и исслодуются пространства с . параметрами, показателем" дифференциальных свойств которых являются 2П свободных векторов. Это пространство обозначим

2n <ll>

п V t (G) , (5)

tm1 P.a.*

где i£=<zj, l*---' • целые, р1=(р[,... ,pj), 1<pJ<«>,

а(=(а}, а*,..., aj), 0<aj<1, »=(».,,...,а^), зеро, /=1,п , t=1,2n.

Пусть I =(г1» 1л) Oj>0 - натуральные /=1,п)- неко-

торый вектор. В случае, когда

Pj. W

J lo , .fee^e1 и p s p, a sa (t=1,2n), пространство (5) совпадает с пространством sJ.a.*w<G>>

изученным в первой главе. В главе III доказываются три теоремы, характеризующие свойства функций из пространства (5). Доказаны теоремы вложения типа

Dv: nL( t (G) —* L 1 <(y f-1 p ,а\эе рЧъ.эе1 ш

2"<zl> <*> (p^p1«*)

Dv: л L i ( (G) Lni . (-1 p ,a ,ae P

m Pj

и получена оценка

[Л(1,С)Л| <С|Г| -пг,

Р г" <г(>

В четвертой главе строятся пространства с параметрами

ЧХ^0^ (6)

и изучаются с точки зрения теорем вложения некоторые свойства их функций,

где I =(1,, 1п) , г^Х) целые, р =(р1,—,рп), 1<р^<ш,

а=(а,, а2,..., ап), эе0=(зв^.'Уг'-

0, /=1,п , en=(1,2,...,n), е - любое подмножество еп. Вели h =(h1, h2,..., l^) - фиксированный вектор, то пусть гдо

*-С.

, .fee

Пусть i(x) -функция, определенная в эвклидовом пространстве Еп. Iе

Для каждого e=en, D i(x) есть производная функции f(x) порядка Iе

соответственно по хе. Порядок дифференцирования - любой, например:

Iе . Iе

■ Iе ■ а 1 д п D i(x) = —-е ... —-е- 1(х). Пусть

«х/ v

J(-)dye = Jdy® T.. Jay® , где Jdyj - jdyj

О О О 0 0

при Jee и Jdyj - единичный оператор при j€en\e. о

Пусть О - любое фиксированное подмножество из еп- Даны векторы h=(h1,...,hn), о=(а1,...,оп) и v=(u1,...,un) с положительными

компонентами. Пусть G^E11. хеЕп,

1 *fj 1 *fj I ^ (хЫу: \yrx,\< - Vj , /feO; |yr*j\<-v0 ,

v~ - 2

Уееп\СЗ>

GJl) = Gnl у (X),

.. > _

[G ж (X)]^ = {yj: y=(y1,y2,:. .yn)€G ж (х)> /=1,п, v 0 - v °

J l^rrlo \fl mes G » (x)smes I - (х) = П v, , enN Jo fa Jen J 0

- н -

Определение 5. Будем говорить, что ГсЬ., „ ж (П,О,если

Р>н> о

существует константа А. такая, что

Ъ РЭ

р.о^хГ {]"[••• {I ( ^.Ч]'1 аУг}Ра-

Ых>]п Ых)]г К^Н1

0 1

На множестве Ь_ _ Лй) введем норму р, а,«

|Г1 = зир

р,а,ае;о хеб, оо^«х>

J-1, п

п р; IV з

^ ; 1 0 1

Р 'еп\П.

III

р'вЛ(х)

<1°>

Опродоление 6. Будем говорить, что ГеЬ,. „ » (О,с) ,

у . ы I «о

если функция Г(х) имеет обобщенную производную в смысле С. Л. Iе

Соболева Т (х)еЬ__ _ „ (0,0. Полунорма в этом пространстве опроде-ляется так:

= аир

а^ «да

П ПЫ^ [иГ1 'еп>П- |Бге1|

№

<1е,14>

Определение 7. Будем говорить, что 1€Ър а „ (П.в) если обобщенная производная

l, в Ъ <l°> D l(x) m -T^rOp^ #ab (Q,G);

д ' <l°>

dx t

полунорму определим слэдунцим обрезом:

Основное определение. Будем говорить, что feW^ ^»S) , если для любого ecfl, и любого iee^XO

i€LpU% (n>G)>

о

где e2=ejU{0>, lQ=0; норну в этом пространстве определим так:

lt,wil>a3Jp,G)l =2L S |Dieutl}f| (7)

Пространство Sp^g gj(p,G) при ft= 0 и ег=еп совпадает с пространством Wp>a ffi(6), которое определено при целых lj>0, /=1,п р=(р,р,...,р) и а=(а,а,...,а) В.П.Ильиным, а при (Ье^совпадает с пространством Sp a SW(G) из главы I. Пространство ^Q.G) сохраняет ряд свойств пространств W* _ _(G) и s! . ,f(G).

У.

Пространством назовем замыкание множества гладких

финитных функций по норме

В 8той главе доказываются некоторые теоремы о свойствах функций из пространства с параметрами

1

Теорема 7. Пусть G€B(Qq(o)), Kp<q<<of ^ = max T-j^fj,

__J-i7n

v - (V1# vz, Vj> о целые, /=1,п, em={1,2,...fm>, го-любое

натуральное число Предположим, что

к

Тогда, если е^>0 и е^О, то для любых фиксированных

.....*П

— У.Ь <Р1^1<">

Теорема 8. Пусть удовлетворяются условия теоремы 7 и пусть

целочисленный положительный вектор к - ..., таков,

что его компоненты удовлетворяют условиям:

а) 0<Яуэ^ , при /«П*

б) 0<|^|ешЧП*<е0 , где

Тогда при любых фиксированных х^.,, хПН2,..., хп

Терема 9. Пусть в€В^(0д(о)), функция 1, вектор* р, ч, зе^, V и параметры е^, е^ 0 удовлетворят условиям теоремы 7.

. Тогда при любых фиксированных хщ+1, хю+2,.... хп и

..... производная 1>у1 удовлетворяют на условиям

Гельдера в метрике Ъчл с показателем точнее, получена оценка

О

|A(t\t2; G)Dvr 1 < |Г|

4 'Gm

P.a.^j

где числа, удовлетворяющие неравенствам: 0<р^<1, если

если щи /€(еиШ)пеа; /€ею\(еиШ)пет (9;

если

Б §1.4, §2.4, §3.4, §4.4 построены соответствующие весовые

пространства с параметрами

г п <г*> гп <г1>

а ае¥<е> » V а1 ,п V ае

В заключение считаю приятным долгом поблагодарить

профессора А-Д.Дяабраилова и доцента А.Ш.Гадвиева за постоянное

внимание щи выполнении диссертационной работы.

По теме диссертации опубликованы следующие работы:

1. Наджафов А.Ы. Пространства с параметрами функций со смешанной производной. Деп. АзНЙШГИ, J5680, с. 30. 1987 г.

2. Наджафов А. И. Пространства с параметрами дифференцируемых функций со смешанными дифференциально-разностными характеристиками. Мат. VII Республиканской конференции молодых ученых по математике и механики. ИМИ АН Азерб. ССР. 1987 г. стр. 215-218.

3. Наджафов А.Ы. Пространства с параметрами дифференцируемых функций, смешанные производные которых удовлетворяют кратному интегральному условию Гельдера. Мат. VII Республиканской конференции молодых ученых по математике и механике. МММ АН Азерб. ССР, 1987 г, стр. 219-222.

4. Наджафов A.M. Весовое пространство с параметрами дифференцируемых функций со смешанной производной. IX республиканская научная конференция аспирантов Вузов Азербайджана. АзПИ им. Ч.Ильдрыма, 1987 г, стр.9-11.

5. Наджафов А. И. Пространство с параметрами дифференцируемых функций с доминирующими смешанными производными. X республиканская юбилейная научная конференция аспирантов

Вузов Азербайджана. Ш им. С.«.Кирова, 1987 г, стр.57.

6. Надаафов А.Ы. Исследование пространства с параметрами функций, "показателем" дифференциальных свойств которых являются п+1 свободных векторов. XI республиканская научная конференция аспирантов Вузов Азербайджана. АПИ им. В.И.Ленина. 1988 г, стр. 73-74.

7. Надаафов A.M. Пространства с параметрами функций со смешанной производной. XV Всесоюзная школа по теории операторов в функциональных пространствах. г.Ульяновск, 1990 г., II часть, стр. 25.

8. Надаафов A.M. Теоремы вложения пространства с параметрами дифференцируемых функций, определенных на n-мерной области. Тез. докл. конф. профессорско-преподавательского состава и аспирантов с участием представителей научных, производственных и проектных организаций, стр. 260-261. 1996 г. АзйСУ, Баку.

Нэчефов Алек Малик оглу Гарышыг теремэлари доминиант олан функся^аларын паракетрли фезасы.

Хуласэ.

Обласда tö'Jhh олунмуп чохда¿ишэнли дифференсиалланан (JyHKCHjanapuH Jem парамегрли фезалары гурулур. Бу фезапардан квтурулмр функсиЛаларын дифференсиал хассэлэрини характернее едэн дахнлолма теоремлэри нсбат олунур. Ьзмин функс^аларын умртшшлэшиш теореилоршши L (G )-дв чохгат Кедцер шэртини едемеси исбат олунур (l<mci).