Простые алгебры Ли и кососимметрические тензоры тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РГ6 од

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени В. И. ЛЕНИНА

Специализированный совет К 053.01.02

На правах рукописи

ШШЧУК.Ирппа Александровна

ПРОСТЫЕ АЛГЕБРЫ ЛИ II КОСОСИММЕТРИЧЕСКИЕ. ТЕНЗОРЫ

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на сонсканне ученой степени : .-. кандидата,фкзпкогматематлчесиих наук

Москва 1993

Работа выполнена в Московском педагогическом университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор О. В. МАНТУРОВ

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Л. В. САБИНИН,

кандидат физико-математических наук Г. М: ФАРАФОНОВА

Ведущая организация — Московский государственный университет им. М. В. Ломоносова.

в .... час. на заседании специализированного совета К 053.01.02 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических паук в Московском педагогическом государственном университете, пм. В. И. Лешша по адресу: 107140, Москва, ул. 'Краспопрудная, 14, математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МПГУ им. В. И. Ленина: 119435, Москва, ул. М. 'Пироговская, 1,

г»

диссертации состоится «

У/ .......199.:?.. г.

МПГУ.

Автореферат разослан « Ученый

6.....» 199.т?..г.

ОНДАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАГОТЫ Актуальность теш. Ф. Клейн в 1872 году сформулировал общий взглдц на геометрию в известной Эрлангенсной программе: любая геометрия изучает свойства пространства, инвариантные относительно группы преобразований этого пространства,

С созданием теории по.чу про с тих групп и алгебр Ли и их инвариантов в работах Г. Вейля, Э. Картана, В. Киллинга вычисление инвариантных тензоров и инвариантов связывается с решением двух задач теории представлений: разложение тензорного произведения двух неприводимых представлений групп (или алгебр) ч сушу неприводимых слагаемых и разложение на неприводимые слг-гаемые ограничения представления группы Ли на ее подгруппу. Прг этом нахождение инвариантных тензоров и инвариантов пространств, в которых действует полупростая груша или алгебра, сводится к отысканию одномерных инвариантных подпространств, в которых действует нулевое представление (так как для полупростых групп и алгебр эти понятия эквивалентны).

• Один из способов построения тензоров, инвариантных относительно заданного представления, описан О.В. Мантуровкм ^ и известен как принцип включения.

Все это позволяет сделать вывод о значительной роли полупростых алгебр Ли в современной математической теории, а следовательно, велика роль моделей.простых алгебр Ли.

Для бесконечных серий простых алгебр Ли Ал , Вп , С^ , хорошо известны их матричные модели, упрощающие работу с этими

алгебрами. С особыми алгебрам Ли дело обстоит слсянее.

_. . • »

I/ Мантуров О.В. Однородные пространства и инвариантные тензоры // . Итоги науки И техники: Проблема геометрии / Науч. ред. проф.

Н.М. Остиану. - К.: Изд. ВИНИТИ, 1986. - Т.; 18. - С. 105-142.

Их, как известно, всего пять: Еб, Е^, Ед, Сни имеют

довольно сложную структуру, что связано, в первую очередь, с боль-шиш, не образующими какой-либо системы размерностями этих алгебр (особенно, Е^, Ег,, Ед). Громоздкое и сложное описание структур этих алгебр весьма затрудняет работу с ними, использование особых алгебр в физике и механике. В связи с отим задача построения удобных, просто описываемых моделей особых алгебр Ли, очевидно, крайне актуальна.

Вопросы построения моделей особых алгебр Ли рассматривались

в работах 'многих математиков. Так, например, Й.Л. Кантор описал

модели градуированных особых алгебр Ли в терминах так называемых

р /

обобшенно-йордмковых тернарных операциях '. Э.Б. Винберг и А.Г.

Златвили построили модель особой алгебры Ли Ед, связанную с классу

сификацией тривекторов девятимерного пространства ',

Главная цель работы состоит в построении моделей особых алгебр Ли типа Е§, Ег, и Ед, а также бесконечных серий простых алгебр Ли типа А п. , Вп , С п. иСп , используя только алгебру Ли Ац (К- 5, 6, 7 соответственно для Е£, Е^ и Ед, и К»Л - I для алгебр Ли типа Аг». , Вп. , и 0<г) и несколько кососимметричес-ких неприводимых представлений этой алгебры (исключение составляет только модель алгебры С к. , для построения которой используются симметрические неприводимые представления алгебры А*) , Возможность такого построения обусловлена существованием эквивариант-ного отображения, определении которого удовлетворяет оперший ком-

2/ Кентор И.Я. Модели особых алгебр Ли // Докл. АН СССР. - М.,-

1575. - Т. 208, К0 6. - С. 1276 - 1279.' . 3/ Винберг Э.Б., Элашвили А.Г. Классификация тривекторов девяти-ыерного пространства II Труда сем. по вект. и тенз. анализу.-М., 1Й78. - Вал. 18. - С. 157-233.

Мутирования простых алгебр Ли. Это отображение задается тензором структурных констант С|* , инвариантным относительно присоединен- ' ного представления рассматриваемой простой алгебры Ли. ,

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Впервые вычислены числовые коэффициенты, позволявшие выразить операцию коммутирования, действующую в алгебрах Ли, через операцию свертки кососишетрических тензоров, принадлежащих различным пространствам представлений алгебры А к .

Метода исследования. Основными для выполнения работы явились следующие метода: метод простых корней п^чупростой алгебры Ли, методы теории представлений групп и алгебр Ли, построение градуировки простой алгебры Ли по ее простым корням, принцип включения О.В. Мантурова и эквивгриантные отображения векторных пространств.

Практическая и теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Результаты диссертации могут найти приложения в теории полупростых алгебр Ли. Рекомендуется их использование при составлении спецкурсов и спецсеминаров в педагогических университетах и институтах..

Практическая ценность исследования состоит в построении таких моделей особых алгебр Ли & , которые являются конструкциями значительно более простыми и уд обними для использования в прикладных целях, чел собственно особые алгебры Ли О . Это связано с тем, что алгебра Ли типа и ее кососимметрические непризодимые представления изучены достаточно подробно, они обладают относительно несложными структурами, и их использование не представляет осо-

• »

бых трудностей.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на семинаре "Приложения теории инвариантных тензоров" в МПУ,

- б -

на научных конференциях преподавателей и аспирантов Физико-математического Факультета ШУ (1990, 1991 гг., Москва), на ХП Конференции молодых ученых Университета дружбы народов и*. П. Лумумбы '(1969 г., Москва).

Публикации. Основное содержание диссертаций отражено в 5 опубликованных работах, список которых приводится в конце автореферата.

Объем и структура работы. Диссертационная работа изложена на 125 машинописных страницах и состоит из введения, трех глав и десяти приложений. Библиография оодерясит 51 наименование.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении прослеживается краткая история развития теории полупростнх алгебр Ли и теории инвариантов, обосновывается актуальность теш исследования, формулирует с я основная задача иссле-довения и описывается способ ее. решения.

Для решения основной задачи исследования градуированные особые алгебры Ли О представляются в виде прямой суммы нескольких пространств, одно из которых совпадает с алгеброй А п. , остальные являются пространствами нососимиетрических представлений алгебра Ал:

+ I : + + I + -V \ • + С1)

где через |_о обозначено пространство алгебры (плюс некоторое одномерное дополнение), Ц и 1—1 - пространства кососшиетричес-ких неприводимых контрагредиентах представлений Ф1 и Ф( алгебры А п. , I принедлатат множеству ненулевых градусов градуировки алгебры Ст . Каждое из подпространств прямой суммы является одних из градусов градуировки алгебры (г . Проведенная градуировка позволяет каждому элементу из Ст поставить в соответствие некоторый тензор, пршздлоя£гци;: одному из подпространств прямой суммы (I).

В алгебре-(д- определена операция коммутирования, которая

"Ч

осуществляет отображение й С . и это отображение эквива-рионтно. С другой стороны, в построенной сумме (I) действует операция тензорного умножения или свертка тензоров, ста операция тензорного умножения осуществляет отображение декартова произведения подпространств суммы (I) 1-1 и 1] в подпространство I * где к = 1+3 (мы рассматриваем тленно такие свертки тензоров, чтобы результаты юс применения были согласованы с построенной градуировкой особой алгебры й ). В силу эквивериантности коммутирования свертка тензоров из подпространств прямой суммы (I) совпадает с тестированием с точностью до числового множителя, с тот гисловой множитель зависит не от того, какие именно элементы коммутируют, а от того, каким классам градуировки алгебры, О они тоинадлежат. Поэтому указанные числовые коэффициенты мы обозначали А о , где 1 и ] определяются выбором подпространств 11 и из (I). Вычисление всех таких коЕЙфициентов и завершает построение моделей особых алгебр Ли О .

Вместе с тем рассматренные конструкции, являющиеся прямыми суммами алгебры А п. и пространств ее неприводимых кососишетричес-ких представлений (I) с действующей на этих конструкциях операци-

V

ей свертки тензоров,, вводит целый класс некоторых алгебр О (назовем их алгебрами,, порождаемыми простит алгебрами Ли типа Ал ). Связь их с особыми алгебрами Ли О такова. Как уже отмечалось, прямая суша (I) превращается в особую алгебру & в том случае, когда т умножаем результат свертки тензоров из подпространств и 1-3 суммы (I) на некоторый определенный числовой коэМициентД^, Если не результаты свертки тензоров из Ц и Ц умножать на лю-> бые другие числовые коэффициенты у • , то тем самым в пространстве (I) мы определяем некоторую.операцию # »совпадающую с коммутированием с точностью до числового множителя. Операция ¥г , оп-

ределенная на пространстве (I) , превращает это пространство в но-

V V

вую алгебру G . Существенным отличием этой новой алгебры (3- от

V

алгебры Ли Ст является то, что в алгебре О не выполняется тож-

V

дество Якоби. В то же время алгебра О обладает большой группой автоморфизмов БЦ^С) и, по-видимому, имеет интересные алгебраические свойства, изучение которых не входило в задачу предлагаемого исследования.

Таким образом, выбирая различные числовые коэффициенты 9с! ,

V '

мы получаем целый класс алгебр О , которые мы и назвали алгебрами, порождаемыми простыми алгебрами Ли типа А к . При таком подходе особые алгебры Ли О' можно рассматривать не как какие-то исключительные алгебры, не подчиняющиеся общим закономерностям, а как некоторые из алгебр О , порождаем!* простыми алгебра™ Ли типа Ап, тек как сам выбор именно коэ^ициентов - XI) , а следовательно, и происхождение особых алгебр Ли & , не является чем-то исключительным.

Подобный метод построения моделей применим и к бесконечным сериям алгебр Ли типа Ап , Вп' , Сл и ,

3 первой главе содержатся предварительные сведения, описывается математический аппарат исследования, обосновывается постановка задачи исследования и приводятся полученные результаты.

В § 1.1 приводится описанный выше математический аппарат исследования и некоторые достаточно известные понятия и факты теории полупростых алгебр Ли и их представлений. В частности, отмечеется, что операция коммутирования, определенная в .полупростой алгебре Ли (Зг , удовлетворяет определению зквивариартиого отображения произведения (т в салу алгебру О (теорема Г.1.12). Рассматривав »тс я такие градуировки простых алгебр Ли по простым корням, что нулевой градус этих градуировок представляет собой прямую сумму ал-

гебры Ли А* (где К зависит от того, какая алгебра Ли,градуируется) и одномерного пространства тривиального представления алгебры А к | остальные градусы совпадают с пространствами некоторых представлений алгебры А к (леммы 1.1.14 - 1.1.20).

В § 1.2 обосновывается и конкретизируется основная задача ис-. следования с учетом описанного в § 1.1 использованного математического аппарата и перечисляются полученные результаты.

Для особых алгебр Ли типа Ед, Ег, и Ед указан способ построения адаптированных весовых базисов присоединенных представлений. • этих алгебр. В построенных базисах структурные константы этих'ал- ' гебр выражаются целыми числами, равными * I. Далее рассмотрены градуировки алгебр ЕпХн. в 6, 7, 8^) по простым корням , все весовые векторы вычисленных базисов распределены по соответствующим градусам, во всех градусах выбраны тензорные базисы и каждому весовому вектору поставлен в соответствие определенный элемент тензорного базиса. Далее в любых двух градусах Ц и Ь] градуировки алгебры Еа по простому корню ¿и. (л * 6» 8) таких, что 1+3 является градусом градуировки, выбрались два весовых вектора, вычислялся коммутатор этих векторов. С другой стороны, представив эти векторы как тензоры пространств Ц и I] , находилась свертка этих тензоров так, чтобы результат этой свертки лежал в пространстве 1_ 1.*] . Из сопоставления результата двух операций над одними и теми яе элементами вычислялся коэффициент А^ , показывающий, на что надо умножить результат свертки тензоров из пространств Ц и 1} с тем, чтобы получить значение коммутаторе тбх же элементов.

Для бесконечных серий алгебр Ли Ал , В* , С*, и 0Л задача вычисления коэффициентов решалась несколько иначе. Вит использованы известные • матричные модели указанных алгебр тл то, что тензорные пространства градусов градуировок этих алгебр по простым кор-

ням с*», удобно.также представлять в виде матричных пространств. Это позволило для етих алгебр свертку тензоров задать с помощью обычного умно:;сения матриц, и через умножение матриц выразить операцию коммутирования, действующую в алгебрах АЛ , В^ , С* и .

В результате проведенного исследования для всех рассмотренных типов простых алгебр Ли С* вычислены совокупности коэффициентов А13 » показывающих, нв что надо умножить результат свертки тензоров из пространств Ц и Л] градуировки алгебры. О- по ее простор корню оЦ , чтобы получить результат коммутаторе элементов, соответствующих сворачиваемым, тензорам.

Вторая глава посвящена проблеме построения тензорных моделей особых алгебр Ли Е6, Е^, Ед.

В § 2.1 главы П выполняется построение адаптированного весо-. вого беэиса присоединенного представления особой алгебры Ли типа ■Щ, в котором в дальнейшем вычислялись структурные константы операции коммутирования. Для построения весового базиса использовались известные алгоритмы вычисления всех весов представления простой алгебры Ли (д- по старшему весу и построения весового базиса неприводимого представления алгебры Сг по старшему вектору этого базиса. Для реализации последнего алгоритма необходимо умение среди всех векторов, принадлежащих некоторому весу Д присоединенного представления алгебры Ли Е^ выбирать базисный и вкрачсать остальные векторы через выбранный. Если первая часть этой задачи • решается достаточно просто, то решение второй части задачи непосредственно существенно затруднено достаточно большими размерностями рассматриваемого представления..Правила, по которым это можно выполнить, содержатся в теореме 2.Г.5, основенной на свойствах системы положительных и отрицательных весов присоединенного представления алгебры Е6 (леммы 2.1.1, 2.1.2) и соотношениях, справедливых для алгебры Ли типа

§ 2.2 посвящен построению весовых базисов присоединенных представлений алгебр Ли типа Е^ и Ед, Системы весов присоединенных представлений алгебр Еу и Ед обладают свойствами, подобными свойствам системы весов присоединенного представления алгебры Ли Е^ (леммы 2.2.1 и 2.2.2), что позволяет весовые базисы этих .алгебр вычислять на основании теореш 2.2.3, аналогичной теореме 2.1.5 для весового базиса алгебры Е^.

В § 2.3 вычисляются опереции коммутирования в построенных весовых базисах особых алгебр Ли Е^, Е^ и Ед. Доказывается, что 'построенные базисы являются так называемыми базисами П'евалле, т.е.- все структурные константы опереции коммутирования, вычисленные в этих базисах, выражаются целыми числами и равны * I (теорема 2.3.2).

В § 2.4 устанавливается связь между операцией коммутирования алгебр Ли £3, Ег, и Ед и стандартной операцией свертки тензоров.' С- ; этой целью рассматриваются градуировки алгебр Ли Еа(п- 6, 7, 8) по простому корню <Ап. , каждый из градусов градуировок описывается как определенное тензорное пространство (леммы 2.4.1, 2.4.6, 2.4.10), что позволяет базису этого градуса, состоящему из весовых векторов алгебры Еа (лемш 2.4.2, 2.4.7, 2.4.II), поставить в соответствие некоторый тензорный базис (леммы 2.4.3, 2.4.8, 2.4.12).

Ревение основной задачи исследования заключается в следующем: из катзднх двух градусов Ц и 1-] градуировки простой алгебры Е п.

» 6, 7, 8), где 1 и \ такие, что в данной градуировке существует градус "1-»-] , выбираем по одному произвольному вектору базиса элгеб-. ры и 1] ) так, что [вр/б^]* 0. Такие вектбры можно

всегда выбрать в Ц и Ц , так как 11+] по определению гра-

дуированной алгебры Ли, а 1*1+] * 0 в силу выбора градусов I; и Ь] . Пусть, результат коммутирования векторов -вр и пропорционален базисному вектору вг , принадлежащему, очевидно, градусу 11+] . Коэффициент пропорциональности, как доказывается в § 2.3, мочет бнть

равен * I . Не нарушая общности рассуждений будем считать его равным I, тогда имеем: ,

- ' IX«*] С2)

Пусть теперь векторам , и 8г соответствуют тензоры ^р /Г^. и ^<1 из тензорных базисов Ц , I] и Ц+.). Выполнив свертку тензо-. ров Тр и Я!^ так, чтобы получить результат в пространстве (а подобная свертка всегда выполнила из-за эквивариантности отображения Ц*^"*!"^) в силу той же эквивариантности получаем тензор, пропорциональный «с :

4,,®^ = ./*;^. СЗ)

Сопоставляя равенства (2) и (3) и учитывая соответствие между вектором и^т. замечаем, что для нахождения коммутатора любых двух' векторов базиса алгебры Е а таких, что один из них лежит в градусе Ц , а другой - в градусе 1-] , достаточно вычислить свертку тензоров, соответствующих им, и полученный результат умножить на множитель Л; ¡= ^^ » где индексы I и ] означают, что один из тензоров принадлежит градусу II , а другой - I) .

Таким образом, перебирая все возможные значения и и ] такие, что такие является градусом градуировки алгебры Е^ по простому корню сЛгС, для каждого такого набора градусов I и 3 вычисляем ко-«Ммциенты Д*.] , позволяющие свести операцию коммутирования, определенную в алгебре Ли Е^. к стандартной операции свертки кососимметри-ческих тензоров.

Основные результаты исследования содержатся, з теоремах 2.4.4, 2.4.9 и 2.4.13 для алгебр Ли типа Е£, Ег,, Ед соответственно, а все вычисленные коейфициенты А1] приведены в таблицах 1,2,3 (приложение IX). • т

Третья глава описывает.тензорные модели бесконечных серий гра-ду1фованных алгебр Ли типа А и, ,' Вн. , С*, и 0*. •

В § о.1 говорится о тоы, что тензорные модели алгебр Ли А ^ ,

В п. » С п. и 0„. можно построить в точности тем же способом, что и модели алгебр Ли Е£, Ег, и Ед. Блеете с тем возможен и другой, более удобный для бесконечных серий простых алгебр Ли, подход для построения тензорных моделей. Он основан на том, что элементы алгебр А п. , В г. , С,,, и 0п удобно изображать матрицами определенных видов. Кроме этого, все тензорные пространства градусов градуировок алгебр А^ , Вп , Сл и по простым корням с^п. являются пространствами тензоров только первой или второй валентностей,.что также позволяет задавать элементы этих пространств обычными матрицами, ' т.е. рассматривать эти пространства как матричные пространства различных размерностей. В данном параграфе приведены леммы 3.1.1 - . \ 3.1.4, которые позволяют в каждой из алгебр Ли А^ , В* , Сл иОа любой элемент из любого класса градуировки представить как элемент алгебры Ли (в виде матрицы определенного типа), а также как тензор соответствующего тензорного пространства, задаваемый в матричной форме. Такое представление этих элементов не требует явного задания весового и тензорного базисов градусов градуировок.

В § 3.2 завершается построение тензорных моделей алгебр Аа , Вл , С п. иОц.С этой целью, используя результаты лемм предыдущего параграфа, из любых двух градусов градуировок Ц ц 1) бесконечных серий алгебр Ли выбираются элементы * и V (задаваемые в са- , мом общем виде), они -коммутируются в матричном веде по известной Формуле [Х,У] = УУ-УХ а свертка тензоров, соответствующих этим элементам, задается с помощью умножения матриц. Из сопоставления полученных результатов вычисляются коэффициенты А'^' , на крторне надо, умножить результат свертки тензоров из пространств I; и I] , чтобы получить коммутатор соответствухщих элементов алгебры Ли,

Теоремы Б.2Л - 3.2.4 описывают предложенные тензорные модели алгебр Ли типа Ап. , Вн. , Сп. и Оп. , а все.'вычисленные коэффициенты А; 1 ^ эткх алгебр собраны в таблицах 4-7 (приложение X).

В качество приложений к диссертационной работе оформлены следующие материалы исследования: схемы положительных и отрицательных веров присоединенных представлений особых алгебр Ли Eg, Кг, и Ед ! (приложения I - У1), вычисленные весовые базисы присоединенных представлений алгебр Ли Ег, и Ед (приложения УЛ, УШ), а также таблицы значений ковффициентов Aîj , связывающих свертки тензоров с коммутированием в простых алгебрах Ли Eg, Ег,, Ед и А„_ , В^ , С ^ » D и. (приложения IX, X). :

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА НО ТИЛЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. К вопросу о градуировке полупростой алгебры Ли ^ по одному из простых корней // Инвариантные тензоры на однородных пространствах / Моск. обл, пед. ин-г ш. Н.К. ' Крупской. - М. ,1987. - С. 120 - 125. - Деп. в ВИНИТИ № 3843 - Б87.

2. Особая алгебра Ли типа Eg как тензорная алгебра // ДиФференциаль-, ная геометрия н мультипликативный интеграл / Моск. обл. пед. ин-т

им. Н.К. Крупской. - М., 1989. - С. 18 - 28. - Деп. в ВИНИТИ № В299 - В89. -

3. Тензорная алгебра, изоморфная особой алгебре Ли типа Eg // Материалы ХП Конференции молодых ученых Ун-та дружбы народов / У-т дружбы неродов им. П. Лумумбы.'- M., 1989. - С. 107 - НО. Деп. в ВИНИТИ № 4615 - В89.

4. Тензорная модель алгебры Ли типа // Однородные- пространства

и мультипликативный интеграл / Моск. обл. пед. ин-т им. Н.К. Крупской.. - M., 1990. - С.' 81 - 92. Деп. в ВИНИТИ !!° 248 - В90. б. Об одном из способов построения тензорных моделей особых алгебр Ли // Алгебра, геометрия и дискретная математика в нелинейных . задачах / МГУ им. М.В. Ломоносова. - М.: Изд. Моск. ун-та, 1991. - С. 137 - 143.