Прямо-обратные краевые задачи и задачи типа Стефана для вырождающегося параболического уравнения первого рода тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

? (

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ КАЗАХСТАН КАЗАХСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ АЛЬ-ФАРАБИ

На правах рукописи ТУЙЧИЕАЕВ Назимжон Салиевич

ПРЯЛО-ОБРАТНЫЕ КРАЕШЕ ЗАДАЧИ И ЗАДАЧИ ЯША СТЕФАНА ДЛЯ НУЖДАЮЩЕГОСЯ ПАРАБОЛИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ ПЕРВОГО РОДА

01,01.02 - дифференциальные уравнения

АВТОРЕЙРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма-Ата,1992

Работа выполнена в Институте теоретической и прикладной математики АН Республики Казахстан.

Научные руководители: доктор физико-математических наук» член-корр.АН Республики Казахстан • 0ЖПБАЕВ М.О.

кандидат физико-математических наук САдаЕЕКОВ М.А.

Официальные оппоненты:доктор физико-математических наук,

член-корр.АН Республики Туркменистан МЕРЕДОВ М.М.

кандидат физико-математических наук, снс ИПМ АН Республики Казахстан КОЙЯЫШОВ У.К.

Ведущая организация: Новосибирский государственный университет.

Защита состоится "13 " января_199зг. в час.

на заседании Регионального специализированного совета К 058.01.17 по присуждению ученой степени кандидата наук в Казахском государственном университете им.Аль-^араби по адресу: 480012, г.Алма-Ата.ул.Масанчи, 39/47*

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке КазГУ.

■ Автореферат разослан " /О " tyM&J/?** 1992г.

Ученый секретарь Регионального специализированного совета, кандидат физико-математи-

ческлх наук, доцент Бедельбаев A.A.

ОБЦАЯ ХАРАКТЕРНО ТИКА РАБОШ

Актуальность теш. Теория параболических уравнений, в силу ее прикладной важности является одним из основных разделов современной теории дифференциальных уравнений с частными производными. Основы этой теории были заложены в фундаментальных работах М.Ковре, В.Погоржельского, А, Фридмана, А.М.Ильина, A.C. ¡Калашникова, О.А.Олейника, О.А.Ладыженской, Л.И.Камынина.

Последние года характеризуется повышением научного и практического интереса к задачам для уравнения смешанного типа. Задачи возникающие в приложению, приводящие к задачам для уравнения смешанного типа послужили моделью для выделения новых направлений в указанной теории.

Осноеы уравнений смешанного типа исследованы в значительной степени в трудах Ф.Трикоми, С.Геллерстедта, Ф.И.Франкля, А.В.Би-цадзе, М.М.Смирнова, А.М.Нахушева, М.С.Салахитдинова, Т.Д.Дду-раева.

Синим из вакшх классов прикладных задач теории параболических уравнений являются задачи, приводящие к уравнениям с меняющимся направлением времени и задачи со свободной границей, В настоящее время имеется ряд работ, в которых для таких уравнений исследуются различные краевые задачи. Ло своим свойствам краевые задачи с меняющимся направлением времени можно отнести к уравнениям смешанного типа. Зккио задачи называют еще прямо-обратными задачами или задачами для прямо-обратных уравнений.

Обзор работ по параболическим уравнениям с монягогрмкя направлением временя содержится в работах СД.Терсонова, по задачам со свободными границами изложены в трудах А.Фршгана, Л.И,

Рубинштейна, И.И.Дашшжа, А.М.Мейрманова, С.Н.Кружкова.

Как известно, некоторые задачи тспло-массопереноса, газогидродинамики или же задачи определения напряженности (электрического) магнитного полей'в области, заполненной вещественной средой с малой, проводимостью сводятся к решению краевых задач для уравнения гиперболического и параболического типов. В изучении процессов тепло-массопереноса учитывается тот факт, что при умеренных градиентах температуры тепло-перенос описывается уравнением теплопроводности, а при высоких градиентах температуры гиперболическим уравнением, кроме того образуется подвижная линия раздела, при переходе которой тип уравнения меняется.

В последние годи появились работы, где рассматриваются краевые задачи типа Стефана для смешанного параболо-гиперболичес-кого уравнения.

Следует отметить, что краевые задачи для вырождающихся пара-боло-гиперболических уравнений со свободной линией раздела относятся к малоизученным задачам.

Цель работы. Постановка и исследование корректности первой краевой задачи с изменяющимся направлением времени и о,дно-двухфазных задач типа Стефана для вырождающегося параболического уравнения первого рода.

Общая методика исследования. Исследуемые задачи эквивалентно редуцируются к интегральным уравнениям типа Вогатерра, либо фредгояша, либо к сингулярным интегральным уравнениям нормального типа.

Научная новизна. В работе подучены следующие ноше результаты:

I. Доказаны единственность и существование ретпш первой

краевой задачи для вырождающегося параболического уравнения^ ' первого рода с изменяющимся направлением времени, с разными порядками вырождения, с младшими коэффициентами в областях о криволинейной границей,

2. Доказано существование и единственности решения задача типа Стефана для вырождающегося параболического уравнения первого рода.

3. Доказано существование и единственность решения двухфаз^ ной задачи типа Стефана для шрождатацегося параболо-гиперболи-ческого уравнения первого рода.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты работы представляют прежде всего теоретический интерес. Они могут быть использованы в теории краевых задач для вырождающихся уравнений в частных производных, а также при изучении математических вопросов тепло-массолереноса, газо-гидродинамики и других разделов механики и физшеи.

Апробация работы. Основные результаты диссертации доклада- • вались и обсуящались на семинарах член-корр. АН ЕК Т.Ш.Кальме-нова (КазГУ), академика АН Р.Узбекистан М.С.Салахитдинова, акаг-демика АН Р.Узбекистан Т.Д.Лзураева (ИМ АН Р.Узбекистан), на • семинаре лаборатории математического анализа ИТПМ АН РК, на Всесоюзной научной конференции в г. Ашгабаде (1990г.), на Международной научной конференции в г, Самаре (1992г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликована в работах [г-Б^ . В совместных работах У.Э.Эгамбердиеву прилад-» лежит постановка задач, а М.А.Садыбекову - некоторые идеи дока-зателств. . '

Структура диссертации. Диссертационная работа состоит из введения, где дается краткое содержание работы, двух глав - по два параграфа в каждой и списка литературы. Нумерация формул (утверждений ) - двойная: первая цифра указывает параграф, а вторая - номер формулы (утверждения) в нем.

Перейдем к обзору содержания диссертации.

ГЛАВА Г, Краевая задача для вырождающегося параболического уравнения с меняющимся направлением времени.

Пусть 1) -криволинейная трапеция, основаниями которой являются отрезки прямых У^о | У в I • а бокоше стороны ограничены кривыми эс^З^у) , 1,г > (у) неубывающие функции и не имеют общих точек с осью ординат внутри области I) I причем (о) = 1 , (4.) = -1.

Обозначим X) = ^ и Т^ и I .где 1 = (о, 1)

= ^ (ас,у) : 0< х< 54(у) , 0< у< 4 } ,

Б, 51(УУ<Х<0, 0<У<1).

В области £ ■ рассмотрим уравнение

Всюду в работе предполагается, что = соп^^О ,

1=1,2. . Дня определенности будем считать, что 6 с^ . Случай рассматривается аналогично. 1 *

Под регулярным решением уравнения (I) будем понимать функцию

-и (а,У> в с (Ъ) л а1 (х>) л с^ ( б, и ог)

обращающую уравнение (I) в тождество,

ЗАДАЧА А. Найти регулярное решение уравнения (I), удовлетворяющее условиям:

И(51(у'),У) = , (2)

и(5г(У),У)= Ф2(.У), 1 (3)

г1(эс,о; = 0 ,05x^1

Отметим, что в случае уравнения без вырождения: р1=рг= О, в прямоугольной области ( Б^У) = соая^) задача Л была исследована С.А.Терсеновым. Сфордулируем основной результат главы,

ТЕОРЕМА 0.1«. Пусть заданные функции удовлетворяют условиям

ч

^СЛеСЧод], Ч\.(У)€Н 'М.са^.^^о, 1=1,г.

Тогда регулярное решение задачи А единственно и при выполнений условия

п г»

(6)

о

или

существует. При этом 11х(0,у) -непрерывна в (0,1)

а на концах отрезка может обращаться в бесконечность не выше чем порядка ^/а .

Здесь Г (У,4) и Г(у,-1) - резольвенты некоторых интеодальных уравнений типа Зредгояьма второго рода, а функции Г0 (4.) и зависят от данных задачи А.

Единственность регулярного решения задачи А доказывается методом интегралов энергии, то есть с помощью интегральных неравенств. Доказательство существования решения задачи А проводится методом тепловых потенциалов с использованием фундаментального решения уравнения (I), построенного при С^ О,

1= ¿,2 , М.Жевре. Однозначная разрешимость задачи А при выполнении условий (6) или (7) эквивалентным образом редуцируется к однозначной разрешимости интегрального уравнения типа Фредгольма второго рода при с^ или сингулярного

интегрального уравнения нормального типа при С^.

Первый параграф главы посвящзн подробному исследованию задачи А в случао С1.(эс,у) = 0 , 1,2..

Основываясь на результатах § I, во втором параграфе проводит";-

исследование задачи А для уравнения (I) с младшими коэффициентами, удовлетворяющим условию единственности решения: Сь(х,у)<?о в Е^ , 1 = 1,2 .

Отметим, что условия (6) и (7) являются условиями тйпа "условий согласования". Такие условия Обычно возникают при ро-, шении задач для уравнений в частных производных, когда кривая (часть граница), на которой задаются краевые условия,является разрывной.

ГЛАВА 2. Краевые задачи для шрождающегося параболического уравнения первого рода в областях с неизвестной границей.

В первом параграфе главы в области I) = ((хД): о<с*<5(1), о<-I <Т]

для уравнения

ихх~ , р>о (0)

рассмотрена однофазная задача типа Стефана.

ЗАДАЧА СТЕФАНА. Найти 3(4-) >О и И^Д) такие, что

1. ОЦхД) удовлетворяет уравнению,-(8) в области Т) ;

2. и(о,±)=Ч>(+)у Ч>(*)*0 , , О)

3. -и(*,0) = Ч'(х), , 04 X« С (10)

4. 5(о)Л>0, о^-ит (II)

5. К=соп^>0 (12)

ю.

функция ОС=5(Л) -"свободная" граница, которая не задана и которая должна быть определена шесте с и (а,4). Далее будем предполагать, что Ч'(0)= Ч'(о).

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пару функций назовем регулярным решением задачи Стефана (8-12), если:

б) 5(40€С1Цо,тЗ

и удовлетворяется условие (8-12).

Отметим, что в случае уравнения без вырождения ( р= о) задача Стефана (8)-(12) подробно исследована А,Фридманом. Ос! ноешм результатом параграфа является ТЕОРЕМА 0.2, Пусть Тогда существует единственное регулярное решение -и(хД),

5(4;) задачи (8)-(12)4 Кроме того, функция -мо-

нотонно неубывающая.

Доказательство теоремы проводится в несколько этапов. Сначала доказывается, что если "Ц.(*»£), 5("Ь) регулярное решение задачи (8)-(12), то 8(-Ь) -монотонно неубывающая функция. Это условие необходимо для корректности поставленной задачи.

Существование и единственность регулярного решения задачи Стефана (8)-(12) доказывается сведением задачи (8)-(12) к системе нелинейных интегральных уравнений типа Вольтерра второго рода, разрешимость которого доказывается с применением теоремы о неподвижной точке. Заметим, что во второй главе попользуется второе фундаментальное решение уравнения (8) юстроенное также

М.Жевре,

Второй параграф главы 2 посвящен исследованию двухфазной задачи типа Стефана, то есть краевой задачи с неизвестной границей для уравнения смешашюго параболо-гиперболического типа.

В области I) = и , где

В^Сх.-Ь): о<х<5С±),о<1<т1,

рассмотрим уравнение

0= «( * (13)

ЗАДИА СТЕ<Ш1А. Найти 8(4;) и функции и(хД), .

О"такие, что

1, -определена и непрерывна при Об^^Т причем Б (0)^1>0

2, * т, Ь(1)>0 , 04±(гТ, (14)

3, 11 (х Д.}, и Д) непрерывны в О ;

4, и(х,Ь), и"(аД) удовлетворяют в 1> уравнению (13) и условиям:

а) 1*(*,0>=Ч'(х),Ч'(х):&0|04ай£ (16)

; 12.

о) гфД) , ЧЧ-^о, о«1*Т це)

в) = ш)

о<

здесь

■Хунедия зс= 5 (4:) - неизвестная граница, которая должна . быть определена вместе с и Ц'Сх.'Ь) .

%дем предполагать выполненными условия согласования:

В случае невырокдаю'дегося уравнения (13) (р=о) задачи,

аналогичные задача Стефана (13)-(19) рассматривались в работах Р.Н.Хубиева, Т.Д.Ддураева, С.Якубова, У.Э.Зшлйердаева, ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Функции {5(4:), гЦхД) назовем регулярными решением задачи (13)-(19), если.

а) иСх^еС^Си^ПСЧВ,) ;

а) ича.-^еЧв^пс1^) ^

в) $(■*)€ С1 [о,т1,

и удовлетворяются условия (13)-(I9).

Основным результатом параграфа является

ТЕОРЕМА 0.3. Пусть функция -|-(эО -удовлетворяет условиям

Тогда ре17Дярное решение задачи Стефана (13)-(19) существует л единственно.

Доказательство теоремы проводится следующим образом. Пользуясь общим решением уравнения колебания струкны и пользуясь условиями (18), (19) разрешимость задачи сводится к разрешимости системы нелинейных интегральных уравнений типа Вэльтерра второго рода, разрешимость которых доказывается с помощью теоремы о неподвижной точке. . .

Публикации по теме диссертации:

1. '^йчибаев Н.С., йгамбордиев У.Э. йадача Стефана для вырождающихся параболических уравнения // Тезисы докладов Бессоюзной научной конференции "Дифференциальные уравнения и оптимальное управление", г. Ашгабад, 1990, с.138-139.

2. Туйчибаов И.О., Эгаыбердаев У.Э, Краевая задача для вырождающихся параболического уравнения с меняющимся направлением времени. Доп. б КазШШШ от I7,0I.92r.f & 3601, Ка-92,

3. Туйчибаев U.C., Садабоков M.А. Краевая задача' с меняющимся направлением времени для вырождающегося параболического 'уравнения с младшими коэффициентами. Деп, в КазШШНКИ от 4,02.92, й 3615, lia-92.

4. Туйчибаев Н.С., Садабеков М.А. Однофазная задача Стефана для вырождающегося параболического уравнения первого рода. Деп. в КаэНШНКИ от 22.04.92г., № 3691, Ito-92.

5. "Суйчибаев Н.С., Эгаыбердиев У.Э. Об одной задаче типа Стефана для параболо-гиперболических уравнений // Иззисы докладов Международной тучной конференции "Дифференциальные и интегральные уравнения", "Математическая физика и специальные функции", 1992, г, Самара. С.275-276,

Маэмундакя. Нумыстыц неггог! нотижелерт мнпнлар:

1.Б1р1Н131 тект1 айныган п-чраболалнк тепдеу ушхн уацыт багыты езгерухне байланмсты турлг дарекелгк оИным бойынша жэне к;исыц сызык;ты шекаралы облистарда !ши коэффиценттер1 крсылган Спрпчп шектхк есебзшн бхрмэн-Д1Л1Г1 жене де шеипмд! екенд1Г1 дэлелденген.

2.Б1рпш текли айныган пароболалык тевдеудп! Стефан теитес есебппц шеиш,п бар екеид1Г1 жене бтрмэнд:лтг1 дэлелденген.

3.Ехр1(ш тект1 айныган паряболялыК тендеудп! виг фззальи$ Стефан тектпс есеб! уш!н шешхмЬш'. бар екя!'Д1Г1 уене бгр мандШг: дэлелдендЬ

Жумыста негтзп1ен задлу потгтциалднк, эД1С1 к,олдаинлг<ш.

Подписано к печати 23.XI. 92г. Заказ 157 Тираж ЮОэкз Отпечатано на ротапринте ЖАН Республика Узбекистан г.Ташкент ул.Муиинова 13