Расчет элементов конструкций с концентраторами напряжений методом сингулярных конечных элементов тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

^ л

> ^ ТЕХНИЧЕСКИЕ УНИВЕРСИТЕТ МОЛДОВЫ

________________________________________________________ ' __________,

Ра правая рцоопигн Ш 539.3

Бшмчук Сергей Михайлович

Расчет элементов конструкций с концентраторами напряжений метолом скагулярных конечных элементов.

Специальность:01.02.04 - механика деформируемого твердого тела.

ЛЕТ0Р21ЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени доктора технических паук.

Работа- выполнена в Техническом Университете Молдовы.

Научный руководитель Ыорару Георгий Антонович Л доктор хабилитат

физико-математических цаук

Официальные оппонента:

В.А. Гришин доктор хабилитат технических наук, профессор

В.Г. Чббан

доктор хабилитат физико-математических наук, профессор

В.Д. Шеремет доктор технических наук, доцент

Защита состоится £ Цц-?.о!л ■.. 1995 в часов, на заседании специализированного Совэт^ Ш - 05.93.45 при Техническом Университете Молдовы по адресу: г. Кишинву, бульвар Дачия 39.

О диссертацией можно ознакомится в библиотеке Технического Университета Молдовы: г. Нишинву, ул. Студенческая 9/9, корп. б.

Просим Вас принять участие в защите диссертации и направить отзыв по адресу:. 277060, г. Кишинэу, бульвар Дачия 39.

Автореферат разослан 1996.

-----------------------------ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА" РАБОТЫ 7---------------------

Актуальность теш. Сопротивление деформируемых тел в большой степени зависит от наличия в шк концентраторов напряжений. Ьэли-чпо концентраторов напряжений ( тша трещин,.вырезов, включений и т.д.) моют привести к преждевременному разру 'ешт конструкций п которых они находятся. Для тел составленных из нескольких упругих материалов концентраторами напряжений могут быть трещины или вырази и вершиной на границе раздела материалов. Контактные задачг являюгся задачами с поверхностными концентраторами напряжений. Поэтому Еыработка эффективных методов для анализа нэпряжэнно-дэ-фэрмировшпюго состояния конструкций с кощентраторами напряжений является актуальной научно-технической задачей.

Задачам определения напряжено-деформируемого состояния тел с внутренними концентраторами напряжений (трещины, вырезы, . включения) посвящены монографии: A.B. Андрейкива, Л.Т. Бережницкого,

A.Ii. Гузя, Г.С. Кита II К.В. Хая, M.S. Морозова, В.В. Панасюка,

B.З. Партона, Г.Я. Попова, Г.П. Черепанова и др.

Задачам с поверхностными концентраторами напряжений (контактные задачи) посвящены известные монографии: В.Ы. Александрова, В.А. Бабешко, Л.А. Галина, В.И. 1,'оссакоЕ 1кого, Г.Я. Попова, В.Л. Рвзче'зз и B.C. Проценко, Н.Я. Штаэрмана г др.

Для изучения задач с сингулярными точками (вершина • трещины или включения) используются различные методы: метод функций комплексного переменного, метод интегральных преобразований, метод коночных разностей а также другие метода.

Одним из наиболее распространенных численных методов анализа пглрякешю-дефор.'дированного состояния тел с концентраторами напряжений является метод сингулярных конечных элементов. Гак как поле перемещений в окрестности вершины трещины является сингулярным, для расчетов с использованием традиционных конечных элементов необходима очень густая сетка конечных элементов, что значительно усложняет расчеты. Поэтому в настоящее время разработпно достаточно много сингулярных конечных элементов, для анализа шюсгак тол содоржаидах трещину, которые с определенной точностью

описывают поле перемещений и напряжений всяфуг трещины. Среда ученых разработавших различные сингулярные конечные элементы для плоских задач с трещиной в однородной упругой среде, можно отметить: У.К. Уилсон, Ж.Л. Суедлоу, Р-Д, Хилтон, Г.С. Си, Е. Бисков, Р. Жонес, Р.Н. Каллинан, Тонг Пин, С.Н. Атлури, Д.М. Трасей, Г.Р. Никишков, Е А. Вайншток, Е.Ы. Морозов и другие. Сингулярные конечные, элементы для контактных задач упругих, тел и задач со смешанными граничными условиями разработали: С.К. Чан, И.С. Туба, ¿.П. Буздалов, В.П. Матвеенко, Л.Л. Кожевникова, E.G. Рида, А.К. Pao, В. Радманбхэн.и другие. Поля напряжений и перемещений во1фуг -■пещины находящейся на границе раздела между, изотропными упругими материалами, которые составляют изучаемое тело, были изучены с помощью сингулярных конечных элементов разработанных учеными: К.У. Лайн и К.У. Map, Е.П. Чен, Е.А. Хашуш и С.Х. Ахманд, P.P. Рейнольде, П.Л. Матос и др.

Разработанные сингулярные конечные элементы имеют ряд недостатков: неадекватно описывают поле перемещений или напряжений вокруг концентраторов напряжений, не обеспечивают непрерывность полей перемещений иекду сингулярными конечными элементами и соседними с ниш традиционными конечными элементами. Сингулярные конечны, элементы разработанные для задач о трещине в плоских упругих телах не могут быть использованы для шализа налряженно-деформировакного состояния тел с прямоугольными вырезами, хотя граничные условия идентичны. Конечные элементы разработанные для контактных задач не учитывают тот факт, что точка смены граничных. , условий является также сингулярной точкой. Для анализа тел о остроугольными включениями л настоящее время не разработаны соответствующие конечные элементы.

В' настоящей работе разработан новый тип сингулярного конечного элемента, который может быть использован для задач с различными концентраторами лапряжений, которые в настоящее время не Пыли изучены или изучены недостаточно.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ.

О Систематизирование и определение асимптотики для различны:» --чячч а сингулярном точками.

ГплрлЧ'.'ТКЧ ГИИгу.КЯрНЫХ конечных 'VF'MAHIOS для рвчдочных

л

задач'с концентраторами-напряжений, которые могли бить свободными от недостатков разработанных конечных элементов.

__3) Доказательство эффективности использования- разработанных---------

сш:гулярных конечных элементов на известных и возмозжость использования их для решения новых задач.

Тема диссертации является составной частью научной тематики " Исследование прочности и долговечности современных строительных конструкций " (регистрационный номер 024010), которой занимается кафедра строительных конструкций Технического Университет Молдовы по заданию Министерства Науки и Образования Республики Молдова.

Практическое значение.

Сингулярные конечные элементы разработанные в диссертации могут быть использованы для анализа яап; женно-деформированного состояния плоских тел с различными концентраторами напряжений.

Научная новизна.

1) Разработан новый тип сингулярного конечного элемента для анализа задач с концентраторами напряжений.

2) Определено-напряженно-деформированное состояние для плоских задач с концентраторами напряжений, которые не были изучены до сих пор.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались и обсуздались: на 1У-ой Всесоюзной конференции по смешанным задачам механики деформируе?/ого твердого тела ( Одесса 1939), х-ой школе-семинор ■■ Метод конечных элементов и граничных элементов в строительной механике" (Одесса 1992), на второй национальной конференции по методам конечных и граничных элементов. (Сибиу, Румыния 1993), на зпгп-ом съезде Румыно-Американской Академии Наук и .Исск^ств (Кишинев 199? \ на конференции посвещенной тридцатилетию Технического Университета Молдовы, ва семинаре института Математики Академии Наук Молдовы.

Публикации. Основные результаты полученные в диссертации отражены в 5 публикациях.

Обьем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, списка использованной литературы и четырех приложений. Работа изложена на 165 страницах, содержит 24 рисунка и 32 таблицы.

Достоверность исследований подтверждается корректностью математической постановки задачи, сравенениэм численных результа-

той для некоторых, задач с известными из литерэт;^ результатами.

СОДЕРКАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении диссертации аргументирована актуальность изучаемой темы, приведено понятие задачи теории упругости о сингулярными точками и класифицированы различные сингулярные точки. Сделан анализ современного состояния изучения плоских задач теории упругости с сингулярными точками тшга: трещины, Т-образного выреза, включения в однородной срздз, трещина влв Т-образный вырез с вершинами «а границе раздела различных упругих изотропных материалов составляющих изучаемое тело, точек смены граничных условий для смешанной и контактной задачи с помощью метода .сингулярных коночных элементов. В введении перечислены и проанализированы недостатки раз тачных конечных элементов разработанных для изучегяя плоских задач с концентраторами напряжений различного типа.

Глава первая. В П1.1 изучено плоское изотропное упругое гаш в виде клина для которого приведены выражения для гарзмзщеиий и напряже яй в окрестности вершхшы клина. Перемещения в полярной системе координат с основанием б воршике клина тент следу ациС вид:

(1)

где А, - параметр (показатель сингулярности) а /ее; к ¿(0) - аут-ции, которые зависят от формы и упругих констант материала южна и соответствующих граничш" .условий.

В ш .2 приведены выражения для перемещений и характеристи-ч окне трансцендентные уравнения, решением которых является показатель сингулярности А,, для различных плоских задач теории упругости:

.а) для клина со следующими граничными условиями: - стороны клина овобогш от напряжений; перемещения на сторонах клина равны нулю;

ь

• 0) для зсесзкого штампа, который действует па упругое тело с учетом л бзз учета сал сиепления под кзекпсм.

В П1.3 для плоского тела составленого из дву;:__материалов в

вида хлиньок с различными упругими характеристиками (коэффициент Пуассона, шдуль упругости) соединенными вдоль одной иг стороп, а на двух других напряжения равны пулю, получены выракенпя для перемещений и характеристическое уравнение длл определения показателя сингулярности к, который может иметь комплексные зяччвшя. Так кву. показатель сингулярности X может иметь кошлекеиг» значения ( Х- к^ I ?,2) в даном параграфе приЕэдеш дейстзьтвльные части выражений для перемещений, которые затек, используются зля ВЯЧЯСЯ8П2И катршщ аэсгкойя Сйнгулярного конечного элемента рав-реботаиого в диссертации.

Глава II. В §2.1 разработан сингулярный конечный элемент в виде равнобедренного треугольника с узшга l,Jtk одна вершина которого (узел {) расположена з синсулприой точке. Для улучшения сходаюсти и болэе адекватного описания ноля перемещений в ок рзстноста сингулярной точки, перемещения 'сингулярного конечного ялемента представляются коя суша полинома и есиштогики в окрестности сингулярной тстзз:

и » и* + и" ;

V - у* + Vе ;

гда и*, и* могут Сть представления в традиционней форчэ, например в случае линейного распределения смещений:

и* = а, + а^с +а3у ; (3)

V* = а4 + а^с +а6у .

Асимптотика в окрестности сингулярной точки может быть представлена в следующем виде:

и' = А Ф+(х,у,Х) + В Ф_(х,у,Х) ш

Vе = А ФГх.уД) + В ;

или для случая жесткого штампа в отсутствии сил трения между Ш'. .мпом и упругим телом на которого он действует:

и" = В Ф (х,у,к) ; 1 ~ (4.0)

•i® = В Ф+(х.у,к) ;

где А , В - некие константы, а функции <¡>Jx,y,:.),QJx,y,k), Ш_(х,у,\), ®+(х,у,\) зависят от граничных условий задач, формы и упругих характеристик изучаемого тела.

Фукции OJx.y.k), Qjx.y.k), Ф_(х,у,\), Q+(x,y,\) определяются согласно, выражениям (Z) в которых множитель г* заменяется на функцию о(г,к) следующего вида:

с(г.К) = т* с (г,k) = г* [í - (5)

где го длина стороны сингулярного конечного элемента.

Функция с*(г.к) равна нулю в точках J, к для того, чтобы обеспечить непрерывность перемещений между сингулярными элементами и сос. (ними, с ними традиционный конечными элементами. Кроме того функция с* (г,к) не изменяет асимптотику в точке ( (когда г*0). •

Согласно принципа минимума ''потенциальной энергии матрица жесткости сингулярного конечного элемента имеет вид:

(К] » Л |{е> ío/dPg (б)

где h - толщина сингулярного конечного элемента (в работе принимается равной единице ), Fe - площадь сингулярного элемента, . (к - вектор деформаций и (о) - вектор напряжений.

Интегрирование в аналитической форме по площади сингулярного конечного элемента в виде треугольнике достаточно сложно, а чис-лечн-"? тггп!р"роРание затруднительно потому, что интеграл не-

д

собственный н в этом случае необходимо разрабатывать специальные Формул« для численного интегрирования. Поэтому в данной работе предлагаемся заменить численное интегрирование по площади треугольника на аналитическое интегриретакге по сектор}- с радиусом г = г0 и углом в $ вг. Полученные численные результата в глаьс 3 а также результаты исследований в параграфе 2.2 денпоЛ рабо'ы показывают, что переход от интегрирования по треугольнику к интегрированию по сектору существенно не влияет на результата расчетов потому, что вносится ошибка порядка 0(го).

Матрица жесткости сингулярного конечного элемента с тремя узлами записывается в виде!

вгго

[к] = X X [к*] г <3г 6В ;

(7)

0, О

где:

ПН

1К„1 1"1г]

\г1гУ 1кгг]

(8)

- - стандартная матрица жесткости треугольного конечного

элемента для плоски,: задач теории упругости; - [к,2Ь -

вклад в матрицу жесткости сингулярной части.

В работе приведены выражения для определения членов матриц» жесткости (КЗ. "

Эта стуктурз мзтраци жесткости позволяет, без сущ^ственых изменений известных алгоритмов, разработать эффективную программу для анализа задач теории упругости с различными сингулярными точками.

В П2.2 изучается сходимость перемещений сингулярного конечного элемента разработанного в п2.1 и установление, что она имеет порядок 0(г^'5). Так как интегрирование элементов матрицы жесткости производится по площади сектора а не но площади треугольника, вычисление раРшщп между глемритзми матрицами жесткости определенна)! но илстеди сектора я по площади треугольника и устянов-

ленно, что эта разница пропорциональна длине стороны сингулярного конечного елемента г0 , то есть разница мезду элементами матриц жесткости вычисленными по площади сектора и по площади треугольника конечна и с уменьшением размера сингулярного конечного элемента уменьшается и разница между элементами матриц жесткости вычисленными по площади сектора и но площади треугольника .

Вычислены коэффициенты интенсивности напряжений для трещины расположено!! симетрично относительно центра квадратной плоской пластинки, в зависимости от размеров сингулярного конечного элемента с помощью которого производятся расчеты и показание, что с уменьшением разницы между размерами сингулярных конечных элементов, уменьшается и разница мезду коэффициентами интенсивности напряжений вычисленных с помощью сингулярных элементов и коэффициентом интенсивности напряжений вычисленного ранее другими методами.

В п2.э получены выражения для коэффициентов интенсивности напряжений согласно следующим выражениям:

Кт = llm(2vr),-K о.,

»

6=0

(9)

0=0

Приведены выражения для коэффициентов интенсивности напряжений кх и кХ1 для случая когда показатель сингулярности Л. вещественный или комплексный (V = X, + 1\г).

Глава их. В пз.1 определены значения коэффициентов интенсивности напряжений в сингулярных точках для . следующих плоских упругих те-»; ,

а) квадратной пластинки с в"утреним отверстием, расположенным симетрично отноечтельне центра пластинки ;

б) прямоугольная пластинка с боковым вырезом в виде квадрата;

в) прямоугольная пластинка с двумя сишетричнэ расположенными

квадратными боковыми вырезами;

Вычисления были произведены для различных значений отношения между сторонами пластинки и отверстия.-------------------------

Установлено, что размеры вырезов существенно влияют на значения коэффициентов интенсивности напряжений вычисляемых в вершинах вырезов.

В пз.2 рассматривается квадратная плоская пластинка, которая содержит в себе жесткое включение в виде ромба, расположенного сшетрично центра пластинки. Определены значения коэффициентов интенсивности напряжений вычисляемых в вершинах включения, в зависимости от значений внутрених углов ромба. Дня тонкого жесткого включения, находящегося в квадратной пластинке, определены размеры пластинки к шслючения для которых задача считается как для тонкого жесткого включения в бесконечной пластинке.

В пз.з определены значения коэффициентов интенсивности напряжений в сингулярных точках прямоугольных пластин, которые составлены из двух изотропных упругих материалов с различными упругими характеристиками;

а) У-образный вырез с.вершиной на границе раздела материалов;

б) два у-образных выреза с вершинами на границе раздела материалов, ра^п- •» -!пше симметрично относительно центра пластинки;

• в) боко1-:у„ .ълина на границе раздела материалов;

г) внутреняя трещина на границе раздела материалов.

Приведет значения коэффициентов интенсивности напряжений в зависимости от следующих величин:

а) отношения между длинами вырезов или трещин и шириной пластинки в которых они находятся;

б) угол раскрытия У-образного выреза или угол наклона трещины;

в) отношений между модулями упругости и коэффициентом Пуассона материалов, которые составляют прямоугольную пластинку.

Результаты расчетов для прямоугольной пластинки с боковой трещиной на границе раздела материалов с различными упругими характеристиками, сравниваются с результатами аналогичных расчетов методом граничных элементов и устаноьленно, что разница меаду коэффициентами интенсивности напряжений не превышает 5%.

В пз.4 определены напряжения в упругом плоском теле не которое действует жесткий штамп (в отсутствии сил трения между штампом и упругим телом), которые сравниваются с аналогичными резуль-

татами полученными другими авторами.

В пэ-5 изучается поле напряжений в двух упругих телах которые находятся в контакте, при этом одно из них в виде штампа одна сторона которого расположение под произвольным углом по отпек- -шзз к лишш контакта, а другое тело игазет форму квадрата. Вычислении значения коэффициентов интенсивности напряжений - в сингулярной точке (точке смены граничных условий) в зависимости от угла наклона боковой стороны штампа и отношения между упругими константами материалов тел.

■ В конце диссертации сфсрмуллрованы основные выводы. Приложения I и II содержат значения интегралов соответствующих функций для вычисления элементов матриц жесткости для вещественных (приложение I) и комплексных (приложение II) значений показателя сив- -гулярности Приложение III содержит краткое описание программы. В приложении IV приведены расчетные схемы для квадратной пластинки с внутренней трещиной, расположенной симметрично относительно центра пластинки а также пряведзн пример исходных данных для определения коэффициентов интенсивности напряжений в вершине трещины согласно представленной расчетной схемы.

Отметим наиболее важные результаты полученные в диссертации:

1. Разработан новый тип сингулярного конечного элемента, который ■может быть использован для плоских задач с различными шшгулярш-ми точками. Многочисленна примеры показывают эффективность итйо-льзовшия разработанного сингулярного конечного элемента;.

2. Получены впразкэния для перемещений в окрестности вершины У образного выреза с вершиной на границе раздела материалов с различными упругими характерлстикамч, которые составляют па^чааноо тело;

3. Разработана программа для анализе напржекио-дайоржроввнного состояния плоских упругих тел с сингулярными точками, которая использует сингулярные конечные элементы полученные, в данной работе. Эффективность использования данной программы потверждается множеством численных примеров;

4. Покаоано, что форма и размеры вырезов в плоском теле, существенно влияют на значения коэффициентов интенсивности напряжений вычисленных в вершинах вырезов;

5. Полученно значение отношения между длиной жесткого включения и стороны квадратной пластинки в которой око находится, для кэуоро-

хо задача мокет считатся как для кесткого включения в бесконечной пластинке ;

—6г Устаповленяо г что " форма "и" размёры'зэ сткото ыйючёвшя суще ст-вокно влияют на значения коэффициентов интенсивности н-таряяшшй вычисленных в вэршнах включения;

7. Установление, что для плоской пластинки содержащей v-сбразный вырез, с взршиней па границе раздела различных упругих материалов составляющих изучаомбе тело , существует значения углов раскрытий у-обрсЕЬ'ого выреза к значений отношения между упругим: г;ог'станга--ми, для которых значения коэффициентов интенсивности напряжений - вычисленных в в#ряине вырезе имеют «таима яьяш» значения. Таки-образом с помолг ^ сингулярного конечного элемента разработанного в диссертации ï.-.сжно добится минимизаций эффекта концентрации напряжений: путем изменения соответствующих значений угла раскрытия выреза или подбором материалов с определенными упругими характеристиками.

в. Уст сдавленно, что на значения коэффициентов интенсивности иап-, ряженка гкписленных в верите трзщвшы, респогкжглкой на границе раздзлй различных упругих материалов,' существенно амио* месторасположение трещины а таю® значения упругих xapste^paenot »Сериалов.

9. Для «вух ч\ч. о различными упругаш характеристиками находятся в контакте, одно тело в виде квадрата а другод в квдэ мтшга, боковые стороны которого • расположены под произвольном углем по отношению к линии контакта, существуют значения углов наклона • боковой стороны штампа, для которых коэффициенты ийтрпсштосг--, напряжений вычисленные- в сингулярной точке равны нул», то есть напряжения в сингулярной топке конечны.

Основные результаты диссертации отра^гия в слздуэдкг» tiyôjus-кациях:

1). Виличук с.м. Метод конечных элементов в плоских задачах об отслоившихся включениях - В об.: Смешанные задачи механика деформимруемого тела. Тезиса докладов TV Всес. коиф., Ч. I, Одесса, 1989 . - с.43.

2). Bîliehiik S. Singular finite element analysis for A stress

concentrator in cUrs}milar materials. - In: Proceeding of the 2-ncl Rational Conference on Boundary and Finite Element. Sibiu, ПгчпргНа. Wpy, 1993, Çectinn Т.- r>.

3). Bilichuk 3. Plane problem of elasticity tlusoiy tor two-layer* medium with stress concentrators. - in: " Moldova deschideri §tiin$iiice gi culturale spre vest. Coiigresul XVIII al Academici Romano-Americane de §tiir4e Arte", 13-fб iulie 1993, Clii^inau, r. 2. p. - 157.

4). Eilioiuc S., L'craru G- Utilizarea elcmer.ieler iinits singulars pentru ргзМекеХи plane ale teoriei elastioitayii cu concentrator! ds tensiuni. Conferin^a tehnioo-^.tiin^ificS Oubiliara a Universita$it Tehnieo a I'oldovci, 2-3 iunie 1994, p.14-15.

5). Вштпчук С.1Л. Me год сщз'уллрлых конечных элементов б плоски; задачах с концентраторам: напряжений на грзницэ раздела материалов. - Проблема срочно ста, 1994, 11 ,с. 75-79.

АШОТЩЯ.

. Б дисертации разработай новый тип сингулярного конечного элемента, который может быть исгго.'ьсован дгл изучения различных ялосша задач теории упругоск? с, концентратора:^ напря-ййкй ъзтв: тро'глг:. включений, вырезов в различных однородных укрутах срадзг и па границе раздала различных упруп-гх сред которые сост&атхя тел'й'.

Поло пэреыэщвнга сингулярного конечного злемэнта ппвдстаа-ляэтся как сумма аолинома к аск; лтотики около концентратора напряжений.

Приведены значения коэфЦпщентов 'шггонсжяосш напряЕеий для разлачжзс плоских задач тоораи упругости, с. ея^гуларшии точками при различных физических'и геометрических параметрах задач.

и

ADfiOTARS.

In tezS eBte elaborat un nou tip de element singular finit, oare poata fi tolosit pentru analiza problemelor plana La diferi^i oonoentratori de tenaiuni da tipul: fisuriui, inoluziu-nii, decupSrii fntr-un material elaatio sau la frontiera dintre diferite materiale elastioe oe formeazS corpul studiat.

GSmpul deplaBSrilor elementului singular finit sa prezinta oa Buma unui pollnom i?i asimptotica in veoin&tatea apropiat& a oonoetratorului de tenaiuni.

Sunt aduv- /alorile faotorilor de intensitate a tensiunilor problemelor plane a teoriei elastioitatii ou punote singulare pentru diferi^i parametri gaometrioi ^i Xizioi a problems!.

ABSTRACT

In the thesis is elaborated new type of singular finite element »o? ysis different plane problems of elasticity

theory with the wnoentrators of tensions oraoks, inclusions, V - notoh in elastio body in dissimilar materials.

The displacemt-nt field for finite element is prezent in the form of sum polinom and singular funotion near tip of stress concentrator.

Stress intensity factors - values for plan« problem^ with

different singular points when at various geometrical and physical problem parametrs are given.

TexHniecKHA ynnaepetuoi M<»i;i0Bti.UaK8i0;i&C9S0,,Kapsn ynmepcHtopB"