Распределение нулей функций из обобщённых пространств Бергмана и некоторые применения в теории аппроксимации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

им. М.В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517 547 7

Бирюков Лев Николаевич

РАСПРЕДЕЛЕНИЕ НУЛЕЙ ФУНКЦИЙ ИЗ ОБОБЩЁННЫХ ПРОСТРАНСТВ БЕРГМАНА И НЕКОТОРЫЕ ПРИМЕНЕНИЯ В ТЕОРИИ АППРОКСИМАЦИИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

<->|-1о л о о и о (

Москва, 2007

003163037

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета им. М В Ломоносова

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук А М. Седлецкий.

доктор физико-математических наук Е А Севастьянов.

кандидат физико-математических наук Г.Г Брайчев.

Московский технический университет связи и информатики.

Защита диссертации состоится 14 ноября 2007 г в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д 501 001.85 в Московском государственном университете им M В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан 9 октября 2007 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д 501 001 85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор ТП Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации исследуется вопрос о распределении нулей функций из обобщенных пространств Бергмана — пространств аналитических функций в единичном круге, модуль которых интегрируем с некоторым весом, а также связанный с ним вопрос о полноте систем экспонент в весовых пространствах U>{ R+)

Поведением нулей функций из различных пространств в свое время занимались Неванлинна, Карлесон, Шапиро, Шилдс, Ко-грен, Шамоян, Йевтич, Горовиц и другие

Пусгь / — аналитическая в единичном круге Д = {z G С \z\ < 1} функция, и пусть {zTi}^Lq — упорядоченная в порядке неубывания модулей последовательность нулей функции /, причем каждый нуль участвует в последовательности столько раз, какова его кратность

Хорошо известно, что если функция f(z) принадлежит пространству Харди HP, то есть удовлетворяет условию

(2тг \

[ \f(re*)\r М ) < оо, 0 < р < оо,

I )

то её нули удовлетворяют условию Бляшке1 2 3

оо 71=0

То же условие выполняется и для нулей функций, принадлежащих более широкому пространству Неваплшшы, состоящему из аналитических в единичном круге функций, удовлетворяющих условию

sup I f log+ |/(гег0)| d9 ) < оо,

_°<r<1 \{ J

1Кусис П Введение в теорию пространств Нг — М Мир, 1984 2Duren Р L , Theory of Нр spaces Academic Press, New York, 1970 3Garnett J В , Bounded, analytic functions, New York, Academic Press, 1981

где log+(x) = max(logx,0)

Сложнее ведут себя нули функций из пространств Бергмана Ар — пространств аналитических в единичном круге функций, таких что

№)И?= \ J\f{z)\vdxdy<oo, z = x + iy, 0 < р < оо А

Горовиц4 показал, что нули функций из пространств Ар удовлетворяют условию

hmsupn(l-lz„l)£l

п-+оо lOg П р

В той же работе Горовиц показал, что нули функций из пространств АРа (—1 <а<оо, 0<р< оо) — пространств аналитических в единичном круге функций, таких что

ll/(«* = ^/l/(2)|P (1 -\z\2)adxdy<00, Z = X + iy, д

— удовлетворяют условию

hmsup!fcM<l±^

n-H-oo log Tl р

Несколькими годами позже Беллер5 доказал точность константы 1/р в правой части (1).

В первой главе диссертации изучается распределение нулей функций из пространств АР с весом в виде правильно меняющейся функции, то есть произведения степенной и медленно меняющейся функции

4Hoiowitz С , Zervs of /unctions in the Bergman, spaces//Duke Math. J 41 (1974), 693-710

sBeller E, Zeros of Ap functions and related classes of analytic functions"//Israel J of Math , Vol 22, № 1,1975

Результаты первой главы применяются во второй главе, в задачах, связанных с полнотой систем экспонент в весовых про-странсгвах ЬР(Е.+)

Такие задачи рассматривали Мюнц и С ас (в пространствах Со[0,1] и Ь2(О,1) соответственно, и в эквивалентных постановках для полноты систем степеней), а также Шварц, Грам, Зигель, Ле-винсон и другие А М Седлецкий6 рассмотрел такую задачу для весовых пространств — состоящих из функций, удо-

влетворяющих условию

оо

И/|1£,а = / 1/(<)|Р

1а(И<оо

о

и получил следующие условия полноты систем {е~Аг>4} в этих пространствах

Пусть 1<р<2,а>р — 2 Обозначим через ЛГд(х) число точек последовательности Л = (Ап) в круге радиуса (х2 — I)1/2 с центром в точке х > 0 Тогда если

г/лч , ^л(ж) а — (р — 2)

5(А) — Пшвир —>-—-(2)

х-,оо хк^х р

то система {е_Ап4} полна в Ь^,. Если же р > 2, а > р — 2, то для сколь угодно малого е > 0 найдется последовательность Л = (Ап) такая, что система {е_А"'} неполна в и

Р

Таким образом, при р = 2 константа (а — (р — 2))/р в правой части (2) является точной

В диссертации исследуется вопрос полноты систем {е~Л"'} в пространствах с дополнительным весом в виде медленно меняющейся функции, в пограничном для приведённой выше задачи случае а — р — 2

6 Седлецкий А М , "Проблема Мюнца-Саса и нули аналитических функций // Теория функций и приближений — Тр 3 Саратовской зимней школы — СГУ, 1987 - с 59-63

Цель работы Исследование распределения нулей функций из пространств Бергмана с весом в виде правильно меняющейся функции и условий полноты систем экспонент в пространствах ЬР(Ш+) с весом в виде правильно меняющейся функции

Научная новизна. В диссертации получены

- в некотором смысле неулучшаемая оценка модифицированной плотности нулей функций из пространств Бергмана с весом в виде правильно меняющейся функции

- неулучшаемое, в некотором смысле, условие полноты систем экспонент в пространствах V с весом в виде правильно меняющейся функции

- оценка роста функций из пространств Бергмана с весом в виде правильно меняющейся функции и неулучшаемость, в некотором смысле, этой оценки

Все перечисленные результаты являются новыми

Методы исследования. В работе применяются методы комплексного анализа, теории аппроксимации и аппарат медленно меняющихся функций

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут найти применение в исследовании функций из обобщенных пространств Бергмана и аппроксимаций функций из весовых пространств Ьр.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались

на семинаре мех.-мат. ф-та МГУ "Негармонический спектральный анализ"под руководством профессоров А М Седлецко-го и В В Власова (2004 г, неоднократно);

на 12-ой Саратовской зимней школе "Современные проблемы теории функций и их приложения"(Саратов, 2004 г)

на международной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" (Тула, 2005 г)

на семинаре мех-мат ф-та МГУ "Негармонический анализ" под руководством профессора А М. Седлецкого (2006 г),

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 4 работах автора Их список приведен в конце автореферата. Работ, написанных в соавторстве нет

Структура работы. Диссертация состоит из введения и трех глав Общий объем диссертации 71 страница Список литературы включает 29 наименований

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении даётся краткий обзор по теме диссертации — распределениям нулей аналитических функций на единичном круге, модуль которых интегрируем с весом, и их применению в теории аппроксимации, приводится краткое содержание работы и основные результаты

Медленно меняющейся (на бесконечности) функцией называется измеримая, положительная на полуоси [А, +оо), А > 0 функция £(t), такая что дога произвольного Л > 0 выполняется соотношение

1,ш!М = 1 (3)

t—<Х> l(t) у '

Функция 1(х) называется медленно меняющейся в нуле, если 1(\/х) медленно меняется (на бесконечности)

Здесь и далее z = х + гу = гегв

Пусть р > 0, а > —1, l(t) — медленно меняющаяся на бесконечности функция Тогда через Ара ^ обозначим пространство функций, аналитических в единичном круге Д, таких чго

11/11^(0 = \ / l/(z)lP (1 - г2Г I (¿г) dxdy < оо д

При рассмотрении пространства Ap_lt^ на функцию l(t) на-

кладывается дополнительное условие

1

/1|())«<» (4)

О

Условие (4) необходимо и достаточно для того, чтобы классы а щ были нетривиальны

Кроме того, мы, как правило, предполагаем, что ¿(¿) ограничена и отделена от нуля в любой окрестности нуля

Первая глава посвящена поведению нулей функций из пространств А^ щ Поскольку случаи а > —1 и а = —1 существенно различаются, они рассматриваются отдельно Имеет место следующая теорема

Теорема Пусть / е А1дгу /(0) ^ 0, 0 < р < оо, а > —1, {¿к} — последовательность нулей функции f, упорядоченная в порядке неубывания модуля, 1(Ь) — функция, медленно меняющаяся на бесконечности и ог1тниченная в любой окрестности нуля Тогда имеет место оценка

N 1 г

пеМ (5)

В случае а = — 1 оценка (5) заменяется следующей:

N

П ^ с(рА*)) (цюгК (6)

где

1/х

= / т '(т

<И

Из (6) вытекает следующая оценка

, ЛГ(1~Ы) . 1 Т^ЩЩЩ р

Константа 1/р в правой части последней оценки точна, что доказано в следующей теореме

Теорема Пусть 0 < р < оо Тогда для любого е > 0 найдутся медленно меняющаяся на бесконечности функция l{t), удовлетворяющая условию С{ 1) < оо, и функция / G Ар } l(ty такие, что

, iyq-Ы) ^ 1

lim sup-7——--г > —т--7.

и^оо log (1 /C{N)) р( 1 + е)

В доказательстве теоремы используются полученные в настоящей работе достаточные условия принадлежности функций пространствам Ava в терминах ее коэффициентов Тейлора. Они также находят свое применение при изучении роста модуля функций из этих пространств в третьей главе. Остановимся подробнее на этих условиях при а — —1.

оо

Пусть f(z) — Y1 akZk Положим к—О

-¿КГ

к=1

оо

теорема Пусть f(z) = akzk ~ аналитическая функция

к=о

в единичном круге A, l(t) — медленно меняющаяся на бесконечности функция Тогда f £ А2_1 ^ тогда и только тогда, когда

оо

¡ап\2С(п) < оо

п= 1

оо

теорема Пусть f(z) = £ anzn, i + j = l, p > 2, l(t)

71=0

— медленно меняющаяся на бесконечности функция Тогда если

оо q(q)

1 у _*Ц .£(п)9-1 < оо,

п=1

2 S<«> Cq-l{n) = O(l), ть —> оо

то /(г) еАр_1[(1)

Теорема Пусть О < р < 2, 0 < 5 < 2/р и 1{€) — медленно меняющаяся на бесконечности функция, такая что

}1 (1\ . ^

I - 1ъ\-\аг<оо

0

Пусть = О Тогда /(г) = £ апгп е Ар

п=0 '

В первой части первой главы аналогичные теоремы доказаны для пространств АРа а > — 1.

Во второй главе, опираясь на результаты первой, изучается вопрос о полноте систем экспонент в пространствах функций, интегрируемых с некоторым весом на полупрямой

Определение. Через Ьра1^(Ш+) (1 < р < оо, а > -1 ,/(£) — медленно меняюищяся на бесконечности функция) обозначим пространство функций / на таких что

оо

11/11^ = / л<°о

о

Рассматривая пространство ЬРа мы будем предполагать, что функция 1(1) ограничена и отделена от нуля на любом интервале вида (а, Ь), 0 < а < Ъ < оо Как уже упоминалась, наибольший интерес представляет случай а = р — 2.

Неполнота системы

{е-А"4)°° , ЗгЛп >0 (7)

1 ) 71 = 1

в Ьра равносильна существованию нетривиальной аналитической функции вида

Ор) = I е~™1д(Ь) Л, и = Мы > 0, (8)

такой что G(An) = 0 и g(t) Е LQ_aq/p Здесь и далее 1/р +

1/д = 1

Таким образом, вопрос о полноте систем (7) в пространствах Lpa сводится к вопросу о поведении нулей функций вида (8) с функциями g(t) € L4 ^^ щ-iir Важным промежуточным шагом при этом служат доказанные в диссертации теоремы о преобразовании Лапласа как операторе на Lva ^ Вначале нам понадобится следующее определение

определение. Обозначим через Ара ^{sftu; > 0} пространство функций, аналитических в полуплоскости {!Rw > 0}, таких что

ll/llp,e,i= / l/MPV^Q) dudv<oo

и>0

Теорема Пусть 2 < q < оо, 1(х) — медленно меняющаяся в 0 и на бесконечности функция, отделенная от 0 и ограниченная на всех интервалах вида (а, Ь), 0 < а < Ъ < оо Пусть также С{х) < оо, 0 < х < оо, lim £(х) = оо Тогда если

х—>0

9 е L4q-2,C(l/t)> т0 ФУ^ЦиЯ

G{w) = j e~wig(t) dt R+

принадлежитп пространству Ая г > 0} и

IICHIIg,-1,1(1) < с|Ы19,9-2,£(1/ф

где константа с не зависит от д.

Теорема Пусть медленно меняющаяся в 0 и на бесконечности функция 1{х) ограничена и отделена от 0 на интервалах вида (а,Ь), 0 < а < Ь < оо, и пусть £(:т) < оо при 0 < х < оо, lim С(х) = оо Тогда если G(w) е >

0)i 1 < <7 < 2, то G(w) представима в виде

G(w) = J e~wig(t) dt,

1R+

где g(t) е L4q_2 C(1/t) и

Ы\д,ч-2,с{1/1) < c\\G(w)\\4i_im,

причем с не зависит от G(w).

При <7 = 2 из последних двух теорем вытекает следующая теорема типа Пэли-Винера

Следствие. Пусть медленно меняюищяся в 0 и на бесконечности функция 1(х) ограничена и отделена от 0 на unrnej>-валах вида (а,Ь), 0 < а < Ь < оо Пусть С{х) < оо при О < х < оо, lim С{х) — оо Тогда пространство А^ > 0}

совпадает с пространством функций, представимых в виде G(w) = Je-Wtg(t)dt, geLl>c{1/t),

причем

ci||.9ll2,o,£(i/t) < l|G(w)||2_u(t) < c2\\g\\2fl,c(i/t)

Константы c\ и сг не зависят от функции g

Аналогичные теоремы доказаны для пространств L1'^ ^ при !3<д-2

С помощью перечисленных теорем в диссертации доказывается следующая теорема.

Теорема Пусть L(t) — дифференцируемая, медленно ющаяся на бесконечности функция, ограниченная вне некоторой окрестности 0, и такая, что L(t) —> оо, t —> 0 Пусть также функция

Kt) = -(g/pt)L(l/t)-'L'(l/t)

ограничена, отделена от нуля на всех интервалах вида [0, а), 0 < а < оо, и медленно меняется в 0 и на бесконечности Тогда

1) если 1 < р < 2, и последовательность Л = та-

кова, что

6(A) = lim sup-. . >-, (9)

то система {е полна в щ)-

2) если р >2, то для любого е > 0 и для любой функции Ь, с описанными выше свойствами, и такой что

> -V—^ < оо,

п + 1

п—1

найдется последовательность Л — {Лп}; такая что система КАпЧГ=1 пеполна в Ьрр_2М1) и ¿(Л) > £ - е

При р = 2 из второго пункта теоремы вытекает точность константы 1/д в правой части (9)

Третья глава посвящена изучению роста функций из весовых пространств Бергмана на единичном круге.

Теорема Пусть функция /(г) принадлежит пространству АГа ¡(¿)> 0 < р < оо, а > —1, ¿(4) — медленно меняющаяся па бесконечности функция Тогда имеет место следующая оценка роста модуля функции при приближении к единичной окружности■

|/(ге")| = о ((1 - гГ^Г1,Р (гЪ)) ' г (10)

Далее показано, что при а > — 1 в оценке (10) нельзя заменить символ "о" ни на одну конкретную положительную, стремящуюся к 0 функцию

Теорема. Пусть (р{г) > 0, 0 < г < 1 и пусть <р(г) —> 0, г —> 1 — 0. Тогда существует такая функция / Е А^ щ, (2 < р < оо, а > —1), что

|/Ы| > с<р(гп)( 1 - Гп)-(2+а)/|>Г1/р '

где гп — последовательность вещественных чисел, таких что 0 < Г! < <гп< <1, Гп.—>1, с — некоторая константа

Кроме того, в третьей главе при определенных ограничениях на функцию 1(Ь) получено утверждение о факторизации, то есть

разложение произвольной функции из пространств Ара ^ в произведение функции из того же пространства, не имеющей нулей, и произведения типа Бляшке.

Пусть {г/.} — произвольное подмножество последовательности нулей функции /,

Ca(z) = (Н<1)

x clz

Ba(z) = = (0 < |a| < 1)

a a 1 — az

Bq{z) = -co(z) = z

oo

h(z) = П^й^-^й) fc=l

Тогда функция 5(2) = f(z)/h(z) также принадлежит пространству Ара , причем

||0||р,а,< < с||/||р,а,г

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Анатолию Мечиславовичу Седлецкому за постановку интересной задачи, ценные советы и постоянное внимание к работе.

Список работ автора по теме диссертации

[1] Бирюков JI.H. Распределение нулей функций из классов Ар// Вестн. Моек ун-та Матем Механ. 2005 N5. С 13-20

[2] Biryukov L.N Some theorems on mtegrability of Laplace transforms and their applications // Integral Transforms and Special Functions. 2007. V.18, N7 P.459-469.

[3] Бирюков JI.H Классы Бергмана с весом в виде медленно меняющейся функции // Тезисы 12-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения" Саратов. Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2004. С 24-25

[4] Бирюков Л Н Полнота систем экспонент в простраснтвах Ьр,а,1 // Тезисы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" Тула: Изд-во ТулГУ, 2005 С 55-56.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Подписано в печать 08 /Л О 7 Формат 60x90 1/16 Уел печ л 0, Тираж УОО экз Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

1 Нули функций из пространств Ара ^ 15

1.1 Вспомогательные утверждения.I.15

1.2 Случай а> -1.20

1.2.1 Поведение нулей функций из пространств Аращ.20

1.2.2 Оценка считающей функции.23

1.2.3 Условия принадлежности функций пространствам А?ащ. 26

1.3 Случай а = — 1.31

1.3.1 Условия принадлежности степенного ряда пространствам Арт.33

1.3.2 Точность оценки для пространства Арг < р < оо. . 38

2 Интегрируемость преобразований Лапласа и их применение 43

2.1 Интегрируемость преобразования Лапласа.43

2.1.1 Вспомогательные утверждения.43

2.1.2 Преобразование Лапласа.46

2.2 Применение к вопросу полноты систем экспонент.53

3 Рост функций из пространств и их факторизация. 57

3.1 Рост функций.57

3.2 Факторизация.60

1. Бирюков J1.H., Распределение нулей функций из классов Ар-// Вестн. Моск. ун-та. Матем. Механ. 2005, N5, с.13-20.

2. Бирюков Л.Н., Классы Бергмана с весом в виде медленно меняющейся функции // Тезисы 12-й Саратовской зимней школы "Современные проблемы теории функций и их приложения". Саратов: Изд-во ГосУНЦ "Колледж", 2004, с.24-25.

3. Бирюков JI.H., Полнота систем экспонент в простраснтвах LPA¿ // Тезисы международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики". Тула: Изд-во ТулГУ, 2005, с. 55-56.

4. Джрбашян М.М., К проблеме представимости аналитических функций // Сообщения ин-та матем. и мех. АН Арм. ССР, 1948, 2, с.3-40.

5. Зигмунд А., Тригонометрические ряды, Т.П. М.: Мир, 1965.

6. Кусис П., Введение в теорию пространств Нр. М.: Мир, 1984.

7. Неванлинна Р. Однозначные аналитические функции. М.: ГИТТЛ, 1941.i

8. Седлецкий A.M., О нулях аналитических функций классов Ар // Сб. "Актуальные вопросы теории функций", изд-во РГУ, 1987, с.24-29.

9. Седлецкий A.M., Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации. М.: Физматлит, 2005

10. Седлецкий A.M., Проблема Мюнца-Саса и нули аналитических функций // Теория функций и приближений. — Тр. 3 Саратовской зимней школы. СГУ, 1987, с. 59-63.

11. Сенета Е., Правильно меняющиеся функции. М.: Наука, 1985.

12. Титчмарш Е.К., Введение в теорию интегралов Фурье. М.: Гостехиздат, 1948.

13. Шамоян Ф.А, Факторизационная теорема М.М. Джрбашяна и характеристика нулей аналитических в круге функций с мажорантой конечного роста // Изв. АН АрмССР. Мат., 1978, 13, №5-6, 405-422

14. Шведенко C.B., Классы Харди и связанные с ними пространства аналитических функций в единичном круге, поликруге и шаре // Итоги науки и техники. Математический анализ, 23, с. 3-124

15. Beller E., Zeros of Ap functions and related classes of analytic functions // Israel J. of Math., 1975, V. 22, Ж 1, 68-80.

16. Benedetto, J. J., Heinig, H.P. and Jonson, R., Weighted Hardy spaces and the Laplace transform II // Math. Nachr., 1987, 132, 29-55.

17. Biryukov L.N., Some theorems on integrability of Laplace transforms and their applications // Integral Transforms and Special Functions, 2007, V.18, N7, 459-469.

18. Carleson L., On the zeros of functions with bounded Dirichlet integral // Math. Z., 1952, 56 N 3, 289-295.

19. Caughran J.G., Two results concerning the zeros of functions with finite Dirichlet integral // Can. J. Math., 1969, 21, N2, 312-316

20. Djrbashian A.E., Shamoian A.F., Topics in the Theory of A-pi-alfa Spaces. Leipzig: BSB Teubner, 1988.

21. Duren P.L., Theory of Hp spaces. Academic Press, New York, 1970.

22. Garnett J.В., Bounded analytic functions. New York, Academic Press, 1981.

23. Hardy G.H., Littlewood E., A convergence criterion for Fourier series // Math Z., 1928, v. 28, 612-634.

24. Horowitz G., Zeros of functions in the Bergman spaces // Duke Math. J., 1974, v. 41, 693-710.

25. Jevtic M. Zeros of functions of Dp'a spaces // Мат. весн., 1981, 5, №1, 59-64.

26. Shapiro H.S., Shields A.L., On the zeros of functions with finite Dirichlet integral and some related function spaces // Math.Z., 1962, 80, N3. 217-229.

27. Shapiro H.S., Shields A.L., On some interpolation problems for analytic functions // Amer. J. Math., 1961, 83, N 3, 513-532.

28. Shapiro J.H., Zeros of functions in weighted Bergman Spaces // Mich. Math. J., 1977, 24, N 2, 243-256.

29. Taylor G.D., A note on the growth of functions in HPJ/ Illinois J. Math., 1968, vol. 12, 171-174.