Расширения топологических пространств и далекие точки тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

■■I, V I'- О м

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова Механико-математический факультет

На правах рукописи

КАЗАКОВ Алексей Николаевич

УДК 513.83

РАСШИРЕНИЯ ТОПОЛОГИЧЕСКИХ ПРОСТРАНСТВ И ДАЛЕКИЕ ТОЧКИ

(01.01.04 — геометрия и топология)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1992

Работа выполнена на кафедре общей топологии и геометрии механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук, профессор В. И. Пономарев.

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук, профессор В. И. Малыхин, кандидат физико-математических наук, доцент А. Г. Елькин.

Ведущая организация — Институт математики Уральского отделения РАН.

<Ж>-Ж

1992 г совете

Защита диссертации состоится «. в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного Д 053.05.05 при Московском государственном университете им М. В. Ломоносова по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория_

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико математического факультета МГУ (14-й этаж).

Автореферат разослан «.

Ж

1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета Д 053.05.05 при МГУ доктор физико-математических наук

РОССИЙСКАЯ

1 °5 Ш1ИО Т Е"КГ А Я 0Ш'т ВДАЖГВЙВУШКА РЛБС1Н

-AKïyajr&HonTb теш. Одним нз основшос направлений в обдай ¡Si; : топорргия янзявгил яостроегао расшмэний топологических проет-paiîcrà и пзучэяив их свойств. Налйольшое 'развитие .получила теория бикомпактных расаирйний. Много интересных, развообразгшх и большей -частью шрешеаякх задач содэраю теория фипатьно коетак-тннх расширений. В связи о прокгкновзшюм троругико-мпохсотеен-нах л логических методов s odiqyio тоыологп» болъсоо развитие получило построение в наростах расширений пространств особого типа точек, получтшга нэзвгяие далеких» / Точка нароста ос е \ )( казшзаэтся далекой от класса ^сг е^уь X i ссхл &чя любого Mirasse ства 2> пз класса вьсю-гнявтся услозлз: а; ^С®]^ Удачэншав! татадая прышто яавнвать далеки® от аягда не ллотннх iiHo.TtooTB точа;. /

Построения далогах "точек позволила ус^аповгть коме интересные Факты о райгарэюызх тгаалопгческпх. пространств» Эта построения сстдуляровалясь такта изучением свойств ькстремэльяой кеспя-паоетя в точках йароста, а таетэ изучением вопросов однородности.

Еие в 1962 году Н.Файн в Л.Гшшак в нрсдаолояеюй йонтануум-гйнстэеы построили.в точку, далекую от дкскротшх подаю-

жеста прямой ж получили некоторое друтаз результаты" [ I ] . Поело этого до насада 80-ях годов но било' эамэкгах продвЕшязй

в данной области.

В течете последних пятнадцати лет обът ясслвдоваяяй точок варостов, далеких в да кясм смысле от исходного лрсс^ракстк^

I Fiai M. J QritiirLOJn, L.. Rewwlâ. fxUfuts Pzoc. AU*' «A Soe

возрастая, причем использовались все ноше теоретические констру-нвди и мэтоды. История событий в данной области очень интересна я следует ожидать яоязл&щш иович результатов.

В 1981 году Я.БамДауэд / я вэзаниокмо О.Чай s Я.Сшт / достроили в наросте кепсевдо;соыаа1лиого пространства счетного веса уделвхщю точку- [2] [ ¿3 ] . Б ГЭ89 голу А.Лоу с исподь-зовшаеы форсилга Сакса лоатроядъюдэль, в которой сутцвогвуе"? седарабелыюе недсевдокомпакгноо пространство без удаденнзх то- ' чек [ 43- Изг-iaracb далекие точки з произведениях пространств вида j3()(h), S иастокцеЗ• работа ксслелуются далекие точки в ¡шростэд «ада Х**» воярсу восвящзяа парвач глава

диссертант, •

. а.ВДрхангеяьскщу врииадлеккг общая вадача, остающаяся вв-решоиной; охарактеризовать гшюлогглескио пространства, шеющю жндр-леФово расшреняя с -диагональю,, Им аз поставлены слз-Ярсящъ белее частные вопроса: верно лд, что, если топологическое пространство уплотняется на пространство со счетной базой, то оно имеет линделофово расширение с &S -диагональю? Кмэот ли такое расширение плоскость Ншьпвюго? Во второй глава исследуется проблема существования финально компактных / раракошакт-шх / расширений со счетной дсездобазой / с -диагональ» / дая пространств, ушюшзющкхоя на пространство со счетной базой.

5>о<ллое*ь t • X. victft.. Rumotl

vd. m., .

mitA «J, Н» Remote f>oitU& mut й- - ЛроСад. - To/>e£cff Afipi.t /980, vot. /, p. Ш-М6. 4, &krvj A. A ¿J&f>a/iajr& лр<М& АаЛ no /w^s.- Тъллц. Am$k. MotA. See., i9$S, ■Vt/ за, дТ/, p.33i'~Z5T3.

■Дактся отрщатольше ответы на посяедяяв юга рояросз.

Воптосч, тгрямо явя еосвокно_ свя&ашшв с т&лоЧ люсоргящш,

рассглагрчвалкоь п работах сдедухтах: тоггологое: А./иГрязлош, Я.Бан Мяллае Г.Я.Язтерса.С.Шелаха, Т.Гаралн, К.Хуивна, И.Рляксбо-рга, Д.!{»Якпвчз®а и других.

Цель работк. Ксслэдованиэ вопросов существования и классз-фикаяка даяешвс точек в произведениях пространств вида //з> УУГ а так&а вопросов существований финально яотагкотьпе / гаракемпа-жтанх / расширим со счетной псовдобазсй / с ¿^г -догичшалыз / для пространств, унлотняшгосся на пространства со счетной <5азо?1,

Научная новизна. В диссертации получат» результата о су-'пэствовании в произведегаях лроотрапечэ точек, далеких от различите классов множеств. Доказана классиуккацпоккгл георема о дштаяюс от здадкнутнх дискретов точках. Вводится и язучаэтея новая понятие К -чоредушости* .Резгеин дта яадата А.В.Архапгели-ского о яйнделе^ошх расизгоэяиях о -даагокалда.

Все осногашо результаты диссертации является ноет® я по-лучшм автором самостоятельно.

Методе исследования. - ~3 дассертацпи ясаюиьоуюгоя теоратлко-мнокественние, коткЗинаторнкв и топологические метода исследований, а тазша развивается самостоятельная ^техника дта когкротннх задач«

Приложения. Работа имеет теорзточзскш! характер. Результата диссертация могу? бить полезна специалистам по различным направлениям топологит, (Тзущтшона^нсму анализу, тгорго гЕрнкш?. Они представляют самостоятельный лнтерео и являются продвикеиирм в оЛяастя теории расширений толологпчвекях гространоте.

Апробация диосертащя. Основные результата тиссбргаши» дсяяэднваяиоь на шучгю-иссугодовагсадс-клх семшкарах »¿еханпхо- .

катенаи:т<аског-о факультета Ш7, «а ссшяарах и г,Екатеринбурге 'ц г.йшвеке, на 6-ом Тарашгояьском симпозиуме по общей тсяо~ ' лоша. ...

Публикации» Оокошне р&зуяътаты дассертанки опубликована в работах автора, список которых приведен в конце аз-

торзферата, .

Структура л объем диссзртадаи. Работа состоит и? введения, двух глав 5 списка циткрогаакой литературы. Глава I состоит нз' трех, Гласа 2 - ив четырех параграфов. Список литёразурн. содержит 49 кшленовадвй,'■ ОйцаЗ о<Зпи диссертации 63 стр. '

Содержание диссертация* ■ Вовьедешга показана актуальность темы работу» проводится обзор ранее ъолуаднкых результатов по этой теме, дается six кра-тю'й анализ, йор^лирркгоя основные-результат диссертации,

. В перки главе исследуются далекие от класса & точка Ь наростах произведете пространств шда ^ X ' .

Б § I главы I вводится общае определение далекой от &лас- ■ ф

са ^ точка.

ф

даРВ.ШП2й'1Е. Пусть J - :юкоторпй класс подмножеств э нроетранотЕе X » ¿^Х - йшюшшкткое расширенна. Tow хе £Х \ X назовем далеко/, от класса ¿Р » если дяя любого ггножастЕа ® us luacaa бшслшются условие; ¡¡с ф £ id 3 . „ Удалению; to'Snai® принято называть далекиз от пггде не мотню: множеств «очка* - -

Об удаленных торсах получены следующие теоремы,

tEOKM I.I о Пространство П| jiKi во имеот дадзйах ■or <шу:е но плитных шокзегз из П /">» ~ точек при лзосэом веккад^ачном А , \ k | ъ ад „

Пространство X нагибается псевдо- ТЧ-комцактнш, ослк каждое локально конзчноа семзйстао открытых множеств кмезт мощность меньше . т . Пусть ййршй измертшй кардкнал..

ПОРЕМ 1*2. Пусть пространство X псовдс-^<,-компактао, а пространство У сепарабалшс . Тогда узХ*ß>y tie ЯМ05Т -точек, далеких о? нкгдв не юготшис мксдазств пз Х*У.

СйдаЖИЕ. Золи X - сепарабзльето проопэаилтво, rö(ßX)

к/Г ' ' ■

шеет далекахот нигде Но плотных множеств ез а точек при дабом £ о

О точках, далеких от дискретов, палучэян слолуш'Ш результаты.

ШЮТШИЕ Ufi Пространство назовем ге -сепара-

белышм, если существуй1)* счатноа всюду плотное шожгство Ас-Х, каждая точка которого является проделом нетршшьной последовательности.

ТЕОРШ 1*5» Пусть . / <£ ti j- - кокочноо C<Z> { }

семойстьо еепарабелышя яроо.трзяств, прачзм хотя бн одно иэ пах se -сепарабелЕдо. Тогда не'шеэт точек; далеких от

декретов. \

Й0ША1.4. Ист {У*:*1б АУ бесконечное стойство

оёларабелышх пространств, то Г\ в X«f не ямоег точек» да-

J

jretatx от дискретов^

стасТВЩ ГЛ. • Пространство — ие ттет далекий

от дискретов точек ара любой V>.4 »

TEOFffiA I.S. Пусть { Xf : ^конечное еемойотво ло:сально компактных пространствs причем хотя би одаб из них -мшактно. Тогда П йУ ; имеет точку, далерув от замкнут: дискретов.

СЯЩЛБйЕ 1,2. В пространстве (рЩ* ость далекая от гам-

кнута: дискретов точка прз любом конечном »г .

/НШЫА 1.6. Пусть Х,У лжбые пространства из числа сдодувдих: '

I/ й? - рациональные числа, 2/ 3 - сррациональнда числа, -3/ "стрелка" Зс-ра-енфрея. , Тогда не имеет точек, д&леадк от яашшугсас декретах;,

. ТЕ0ША1.7,. - Пусть т-> ю , нрастранотво X сапарабе-льир к ЗХт)^ ХГ . Тогда не имзет точек, даяе -

км 05? замкнуты! даскттов, .

В § 2 глава I доказана сведущая теорема о координатной классификаций точек.

Буквой, р , ьозшдага с индекссы„ обозначаются только далекие о? замгшугах даскретов точка, буквой У* - точки нароста, не ятяштся далектш ог зашдаугих дискретов, буквемз ^ » у ■Фочка пространства X и V .

таОЖЦ 1.8. Пусть X » У локально компактно, <Г--ког.иактнис пространства. Тогда точки вала ("X, р) , являются далекими от аанкнутнх диочеретов, а точки вида (х, п) , , «я.) не являотся далэкиш. Если, кроме того, пространстве сесауабедано, то точки вида (р* не'является далекн-аи рт замкнутых дискретов.

Б качестве сдодатввд получается аодаая координатная квде-оэ^акццш "точек даа пространсгва ^Н^рН ,

В V З главд I яаучаитоя даяакав точки в наростах вида фХ)*\ Xе, а таюм новое понятно Н -черэдуемоста. Определим кардан&шш ¡ипзардактн:

( X"; = СО- $>( <¿1*) ) .<=■ У ^ ,

ТЕОРЕМА 1.9» Пространство (р> УУ~т шест точек, далеких от дискретов, ври любом

' ТЕОРЕМА I.IO. Пространство (fiX)*" т шеет точек, далеких от- замкнутых дискретов, при лзобом кеизшрпмш f вида S3- , где k>-de СХ) ,

ТЕОР0.1А I.I2. Если , то для любого пространства

• X ; мощности;, íX/^Тд. ¿^ЭДЪо держит точку, далекую от íma -кеств мощности „

ГЕОКЩ. 1.Г2. Пусть - измеримый кардинал, мощность - либо неиЕмэримый кардинал, либо ¡Xl~ К Тогда С f Х)^ не шлеат точку, далекую от аамкпутшс дискре-. тов,

У Здесь обозначает нашиеньаяй кардинал среди таких

"X < что' X < "X , и дня любого т < X выполняется А/

ОПРЕЕЕЛ-Н-Ш 1.2. Пара (X, ^J называется К—череду-, кедей, если sea кардинальные числа молно разбить 'на к1 интервалов таких, что, если для всех Т* из одного интервала (р Х)т кмоет далекие от точки / лиоо соответственно не имеет /, то для всех ^ иг соседнего интервала (рХ) не имеет №-. леких точек / имеет

Здесь ваяно, чтобы евойство-семейсгео

формулировалось едшшы образом для ьсэх cveueaeft' Х^" •

ТЕОРША I.I3. Пара (Я , является й-чередуяцей для следующих классов ; ,

а/ ¿ft - гласо счегаис замкнутых дас^ретов, 6/ ¿fi - класо -счетных дискретов, D следутаяей теоремз в характеристика класса ^ res кошостннх ограмчеккй. <1латой за эго явгазтск npaa.iQ".eiir-s дс-полнитёлышх теоретжо-?.гно2эстьешшг п?одло,то?,е;ви;,

7

ТШРШ. 1.14. Пусть - класс .замкнутых-дискретов, Тогда (Я, ^является з-чаредуйдай горой при дополнительном условия - первый слабо недоотзотшнй кардвдаи измерим и существует, Воли слабо недостижимых кардиналов нет, то ^ является г-чередуюзвк парой.. ' :

Во второй гларе исследуются финально компактные расширения с -диагональю.

В §§ 1-2 глава % решается одна задача к .В.Архангельского о линдеяефовнзс расяшрекайх с -диагональю.

Верно ли, что, если топологической пространство уплотняется на пространство со счетной базой, то ояо юязет яиядачйфово расширение с 05" -диагональю? ¡Ь«еет да такое расширение' плоскость Нешакого?

Следующая теорема отвечает на оба вопроса. . ТШРШ «1.1. Плоскость Чешцкого неимеетрегулярного фйналь^г/компактного расккрйнвя со счетной псевдобазой.

ПЙЙЕР 2.1. У плоскости Иемьккого есть хаусдорфово, фк-начмо компактнее расширений с в-У ^диагональю.

В § 3 главы 2 изучается -финально компактные расширь-, ния с -диагональю. , .. '

Отвечая на поставленный 'зшт вопрос, можно показать, что, челк неходкое пространство уплотняется на пространство со счзт-цой Заэой, га ояо не обязано иметь не•только регулярного, но и % -финально компактного расшареяяя с -длагояапью. ■ Пример такого пространства дает еяедуктеш ТЕОРЕМА 2.2. Квадрат прямой. Йоргеяфрея не имеет т, -финально компактного расширения со счетной псевдобазой,

ИМ,ер 2.2. / пространство "гриб" /. В примера построено хаусдорзово пространство, которое уплотняется на пространство

со счетной базой, зиеет "Г; -финально компактное расшлрэште с (з-З"-диагональ», не но и'/еет хаусдор$ова оииг-шю компактного ' расапреяия с б-3"-диагональю.

Й доказательствах важнуа роль играют следующие понятия, свойства которых также исследуются.

(ШНЭДШЯЮЗ 2.1. Подмножество вещественной прямой Ас.(Я ' назовем суперилотншл, если л«>св открытое ¿тожество, содерзр-адее А , содержи? бси гриму» , г.»а исключаяием, быть может, счетного числа точек. л

ОПгдаяв:ИЕ Э.Й. Родаъоаество плоскости Д сг назовем послойно супорилотным,, ездя лгрбое открытое множество, содержащее Д , содержит а любую прямую, параллельную нркгай, заданной уравнением «•«• у.» О „за исклшоаиегл, йьть может, счетного числа точек этой прямоЗ.

Множество первой категории на ярккой но может быть суязр-. шгатдач а тожество первой к^тегорж на плоскости не может быть послойно сулерплотным

Б § 4 главы 2 полученные ранее результата обосмокь на случай шрэкомпактних раешгр&най.

ТЕ0РШ1 2.3. У плоскости Иеглыцяого нет хаусдо]>|-ова пара» компакткого расширения со счзтлой псевдобазой, но естъ хаус-дорфово финально поклахтаов раширанае с -тшгйитэ.

ТЮРШ 2.4. У КЕЗ/оата прямо! £орген£реа нет "Т< ракомпактного расширения по счетной ясзздоэазсЗ»

ТШРВЯА. 2,5. Существует хьуедорфово пространство, которое . угиотияется на пространство со ччвтной базоЯ, дочлг -ф»-. ■ нальио компактное расшар^нае о -диагональ», ио нь вме-эт хаусдор$свз паракомпакткого расширения со счетной пеэвдобазок.

Э'

СД2ДСТШЕ 2.3. Существует хаусдор$ово / тайге' регулярное / пространство, утиэтнялцаеся на катризушоо пространство» Которое не имеет хнусдорфог-а паракомпактногр расширения, уплотняющегося на иетрязучкое пространство« ' .

СЛЕДСТВИЕ 2,4* Существует регулярное пространство, уплот-шшцаося на метразуеяое пространство» любое лявдеяефово расширение которого нельзя уплотнить ни на какое. пространство с этвм ае свойством. '

Д'лК;юе'следствае представляет иатерес еве н'в связи со'следующие! результатам, полученными Д.Н.Якивчиком.

Им доказано, что сущзстаует хаусдорфово финально компактное пространство, квадрат которого нельзя уплотнять ни на какое / пространство с этим яе свойством .

Существует лшдзлерово пространство У оо счетным числом Хаусдорфа, удовлэтворятаэе первой аксйоке «четности, дня которого'днагокальное члсло У) ~с .

То есть пространство У опять чэ не уплотняется на метркзуемов пространство. Т.к. «о езрзстяоЯ твср?ме Окуямн-Борджеса ¡Г хаусдорфово паракомлактное пространство X можно уплотнять на метризуемое пространство тогда к только тогда,

5» Якпзчкк А.И. Об уплотнениях произведения финально компактнее пространств. - Вестник 'ЯГУ, сер.1, матем., 1.989, ¡г 4, с.84-06,'

С, Якквтях А.Н. О диагональном числе топологических пространств.

- Везглик МГУ, сер.1, згатей., 1990, й 6, с,64-86. 7. Энгел.ькюг Р. Обз5ая топология. - М., 1586«

когда диагональ' Л« ки-зет тяп 2Г .в

' Получается некая иерархия влошоюстей, где объеадвщзо пространство нельзя угототшгаь >?а другое 'пространство та определенного кльсса.

В заключения аатор''выражает глубокую благодарность сьсе:/у научному руководителю, доктору фгзико-матевдатическЕХ. наук, профессору Владимиру Ивановичу Ясношреву за постоянное внийщ;-з , и работе, '

Работы автора'по теке дкссертащш. • •

1. Казаков А.Н. • Далекие точки в. лроязведеиша дроотранств. ~ Кгрдшальныа' инвариантц и расширения топологических пространств. Ижевск, 1989, п. 21-27.

2. Казаков АЛ.-Далекие точки в (рХ) .'- Вестник МГУ, сер. матем., 1991, $ 3, о. 20-?3. .

3. Казаков А.Н, Финалы» комгкдтыне. расширения с . -дка-гональэ. - 6-й Ткраспольский сшпоуиуи по обхэй топологии.

- .Кишинев, 1391, с, ".16.

4. Казаков А.Н, О финально яЬмггяктьнх расширениях с -диагональю; - Вэстнт МГУ, сер. матам., » 3, с. 13-22.

*Л