Расслоения, ассоциированные с иерархией Кортевега - де Фриза тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

Введение. Постановка задач и основные результаты

1 Иерархия КдФ и абелевы функции

1.1 Иерархия КдФ, представление Лакса, соотношение Ленарда

1.2 Универсальное расслоение Якобианов.

1.3 р-функции Клейна.

1.4 Отображение Абеля.

1.5 Иерархия КдФ как гамильтонова система.

1.6 Резольвента Гельфанда-Дикого оператора £ = — и

1.7 т-функция иерархии КдФ

2 Многомерные коммутирующие дифференциальные операторы третьего порядка, задающие КдФ-иерархию

2.1 Построение семейства многомерных коммутирующих дифференциальные операторов третьего порядка {£4}.

2.2 Обобщенный сдвиг, ассоциированный с иерархией КдФ

2.3 Гиперэллиптическая кривая, ассоциированная с решением стационарного уравнения КдФ.

2.4 Расслоение пространства решений g-тых стационарных уравнений КдФ над пространством гиперэллиптических кривых

2.5 Обратное отображение Абеля

2.6 Алгебраическое соотношение, связывающее операторы С, Uu.,Ug.

2.7 Общие собственные функции операторов £, U\,. ,Ug

2.8 Спектральное многообразие, параметризующее общие собственные функции операторов £, U\,. ,Ыд.

2.9 Соотношение однородности для общей собственной функции

3 w-функция иерархии КдФ

3.1 Фундаментальная производящая функция решения стационарного уравнения КдФ.

3.2 Построение ги-функции.

Уравнение Кортевега - де Фриза (КдФ) было впервые выведено Д. Кор-тевегом и Г. де Фризом ([20]) в 1895 году как дифференциальное уравнение, описывающее солитонные волны, открытые С. Расселом ([25]).

Уравнение КдФ занимает важное место в современной математической физике. Оно оказало большое влияние на современную математику. Теория иерархии КдФ тесно связана со спектральной задачей для оператора Шредингера, с дифференциальной и алгебраической геометрией. Результаты, полученные при исследовании уравнения КдФ, применимы к другим интегрируемым системам нелинейных дифференциальных уравнений. Открытие новых свойств этого замечательного уравнения актуально для теории интегрируемых систем в целом.

Это уравнение было проинтегрировано Гарднером, Грином, Круска-лом и Миурой ([6]) с помощью преобразования рассеяния в 1967 году. Начиная с работы Лакса([21]) в теории уравнения КдФ активно используется метод L-A пары, позволяющий представить это уравнение с помощью коммутатора оператора Шредингера С и диференциально-го оператора третьего порядка. Этот метод привел к высшим уравнениям КдФ, совокупность которых образует так называемую иерархию КдФ. Аналоги представления Лакса существуют и для других известных уравнений в частных производных, в частности для уравнения

Кадомцева-Петвиашвили, нелинейного уравнения Шредингера, уравнения Sin-Гордон. Метод L—A пары оказался очень эффективным и позволил получить значительные результаты в теории интегрируемых систем. Его дальнейшее развитие также представляется многообещающим.

В работе С.П. Новикова [24] была впервые установлена связь между высшими стационарными уравнениями КдФ и спектральной задачей для оператора Шредингера с периодическими и почти-периодическими потенциалами. Был введен и изучен класс так называемых "конечнозон-ных"потенциалов. С каждым таким потенциалом связывается гиперэллиптическая кривая, возникающая как спектральное многообразие оператора £. При дальнейшем развитии этой теории [9,12] были широко использованы методы алгебраической геометрии римановых поверхностей и теории абелевых многообразий. В частности, было получено описание пространства всех конечнозонных потенциалов уравнения Шредингера как многообразия модулей гиперэллиптических якобианов с отмеченной точкой второго порядка, расслаивающегося над пространством гиперэллиптических кривых. При исследовании уравнения КдФ была доказана унирациональность пространства универсального расслоения якобианов гиперэллиптических кривых (теорема Дубровина - Новикова). Было получено выражение решений стационарных уравнений КдФ в терминах 0-функций, областью определения которых являются якобианы гиперэллиптических кривых ([16]).

Настоящая диссертационная работа посвящена построению и исследованию расслоений, ассоциированных с иерархией КдФ. Глава 1 содержит краткий обзор необходимых фактов об иерархии КдФ и абелевых функциях.

Решения высших стационарных уравнений КдФ естественно рассматривать как функции многих переменных. Исходя из этого возникла

Задача 1. Построить многомерные коммутирующие операторы типа оператора А пары Лакса, которые полностью определяют решение и как функцию многих переменных.

Глава 2 настоящей работы посвящена решению этой задачи и исследованию найденного семейства коммутирующих дифференциальных многомерных операторов {Ui}. Построение таких операторов стало возможным благодаря описанию соотношений между смешанными производными решения стационарного уравнения КдФ. Вывод этих соотношений опирается на эффективное описание всех соотношений между логарифмическими производными сг-функции (р-функциями), которое было найдено в работах [3, 4].

В работе активно используется техника обобщенного сдвига и метод производящих функций. С помощью операторов {Ui} получены принципиально новые результаты и найден новый подход к некоторым ранее известным фактам в теории иерархии КдФ. В разделе 2.3 дана алгебраическая конструкция, сопоставляющая решению <7-того стационарного уравнения КдФ гиперэллиптическую кривую рода д. В разделе 2.5 описано расслоение пространства решений д-тою стационарного уравнения КдФ над пространством гиперэллиптических кривых рода д. В разделе 2.5 изучается зависимость нулей & уравнения 2 — и(£) = 0 от переменных x,t2,., tg. Показано, что & можно рассматривать в качестве локальных координат, вычислены частные производные ди(т])/д& и dv!(tj)/Основное внимание уделено двум крайним случаям: случаю неособой кривой и рациональному случаю.

Общий подход к построению теории многомерных коммутирующих операторов был заложен в работе [17], там же были даны условия, при которых возникают так называемые п-алгебраические операторы. Каждому семейству п-алгебраических операторов сопоставляется алгебраче-ское многообразие. Следуя этому подходу в целях исследования полученного семейства многомерных коммутирующих операторов ставится

Задача 2. Найти алгебраическое соотношение, связывающее операторы {Ui} и оператор Шредингера и описать пространство общих собственных функций этих операторов.

Такое соотношение найдено в разделе 2.6. Кроме этого, получено разложение оператора А пары Лакса уравнения КдФ по степеням оператора С с коэффициентами из исследуемого семейства многомерных коммутирующих операторов.

Далее мы рассматриваем спектральное многообразие V, параметризующее общие собственные функции изучаемого семейства коммутирующих операторов. Многообразие V содержит в качестве подмногообразия спектральную кривую Г, параметризующую общие собственные функции операторов С и А. Определена проекция 7Г : V —>■ Г, такая что тройка (К, Г, 7г) задает линейное расслоение над кривой Г, причем это расслоение тривиально над аффинной частью Г*.

Раздел 2.9 посвящен исследованию поведения общей собственной функции при стремлении собственного значения Е оператора С к бесконечности. Показано, что ограничение собственной функции Ф на кривую Г имеет особенность вида Ф|г ~ exp > гДе — локальный параметр в окрестности особой точки, а на аффинной части кривой Г эта функция мероморфна. Таким образом, функция Ф|г имеет особенности того же типа, что и функция Бейкера - Ахиезера.

Начиная с работы [26|, наряду с уравнением КдФ рассматривается так называемое билинейное уравнение Хироты, решением которого является r-функция. Эта функция, а также 0-функция, сг-функция и полиномы Адлера-Мозера, описывающие рациональные решения КдФ, удовлетворяют уравнению

0.0.1) -2дгх log/ = u, где функция и — решение стационарного уравнения КдФ.

В целях сопоставления этих функций была поставлена

Задача 3. Дополнить уравнение (0.0.1) естественными условиями, приводящими к задаче, допускающей единственное решение при заданном решении и стационарного уравнения КдФ.

Решению этой задачи посвящена третья глава диссертации. Предложенная конструкция опирается на введенное понятие фундаментальной производящей функции решения стационарного уравнения КдФ. Функцию, выделенную таким образом из класса решений уравнения (0.0.1), мы называем w-функцией иерархии КдФ.

В главе 4 в явном виде строятся гамильтоновы системы, совместные решения которых задаются в терминах стационарного решения уравнения КдФ, причем динамика соответствует движению вдоль канонических координат на якобиане.

В главе "Приложения"приведены формулы, описывающие рассмотренные конструкции в случае малых родов.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю д.ф.м.н., профессору Виктору Матвеевичу Бухштаберу за постановку задач, большое внимание к работе, постоянную поддержку и помощь на всех этапах работы над диссертацией.

1. M.Adlcr, J.Moser, "On a class of polynomials connected with the Korteweg - de Vries equation", Commun.Math.Phys., 61 (1978), С. 1 -30.

2. A.B. Борисов, И.С. Мамаев, Современные методы теории интегрируемых систем, Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

3. B.M. Бухштабер, В.З. Энольский, Д.В. Лейкин. Рациональные аналоги абелевых функций. Функциональный анализ и его приложения, т 33, N 2, 1999.

4. С. Gardner, J. Green, М. Kruskal, М. Miura, A method for solving the Korteweg de Vries equation. Phys. Rev. Lett. 19 (1967), 1095 - 1098.

5. И.М. Гельфанд, Л.А.Дикий, Асимптотика резольвенты Штурм-Лиувиллевских уравнений и алгебра уравнений Кортевега де Фриза, Успехи математических наук, т 30, вып 5 (1975), С. 67 - 100.

6. И.М. Гельфанд, Л.А.Дикий, "Nonlinear integrable equations and Liouville theorem", Func. Anal. Appl. 13(1) (1979), C. 3 20.

7. Б.А.Дубровин, Периодическая задача для уравнения Кортевега-де-Фриза в классе конечнозонных потенциалов, Функциональный анализ и его приложения, т. 9, вып. 3 (1975), С. 41 51.

8. Б.А.Дубровин, "Тета-функции и нелинейные уравнения", Успехи математических наук, т 36, вып 2 (1981), С. 11 79.И. Б.А.Дубровин, "Римановы поверхности и нелинейные уравнения", НИЦ "Регулярная и хаотическая динамика", Ижевск (2001), С. 1 -152.

9. Б.А.Дубровин, В.М.Матвеев, С.П.Новиков, "Нелинейные уравнения типа Кортевега-де-Фриза, конечнозонные линейные операторы и абелевы многообразия", Успехи математических наук, т. 31, вып. 1 (1976), С. 55 136.

10. B.Dubrovin, Y Zhang, Normal forms of hierarchies of integrable PDEs, Frobenius manifolds and Gromov-Witten invariants, SISSA Preprint (2001), p. 1 189.

11. B.E. Захаров, С.В. Манаков, С.П. Новиков, Л.П. Питаевский, "Теория солитонов. Метод обратной задачи", М. Наука, 1980.

12. А.Р. Итс, В.Б. Матвеев, Об одном классе решений уравнения КдФ, Сб. "Проблемы математической физики", 8, Л. изд. ЛГУ (1976), С. 70 90.

13. А.Р. Итс, В.Б. Матвеев, Об операторах Хилла с конечном числом лакун. Функциональный анализ и его приложения, т. 9, вып. 1 (1975), С. 69 70.

14. И.М.Кричевер "Методы алгебраической геометрии в теории нелинейных уравнений", Успехи математических наук, т 32, вып 6 (1977).

15. И.М.Кричевер, С.П.Новиков "Голоморфные расслоения над алгебраическими кривыми и нелинейные уравнения", Успехи математических наук, т. 35, вып. 6, (1980)

16. И.М. Кричевер, Интегрирование нелинейных уравнений методами алгебраической геометрии, Функц. анализ, 11 вып 1 (1977), С. 15 -31.

17. D. Korteweg, G. de Vries, On the change of form of long waves advancing in a rectangular canal, and on a new type of long stationary waves. Phil. Mag, 39 (1895), C. 422 443.

18. Б.М.Левитан, Теория операторов обобщенного сдвига, Москва, Наука, 1973.

19. Д. Мамфорд, Лекции о тета-функциях, ИО НФМИ, Новокузнецк, 1998.D. Mumford, Tata lectures on theta, I, II, Birkhauser Boston, 1983, 1984.

20. С.П.Новиков, Периодическая задача Кортевега де Фриза. Функц. анализ, , т.8, вып. 3 (1974), С. 54 - 66.

21. J.S. Russell, Report on Waves, British Association Reports (1844)

22. P. Хирота, "Прямые методы в теории солитонов", сб. Солитоны, Москва, Мир, 1983, С. 175 192.R. Hirota, "Direct methods in soliton theory", Topics in Current Physics, 17 (1980), C. 157 175.