Разложение Брюа для двойных грассманианов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский государственный университет имени М. В. Ломоносова

Механико-математический факультет

Разложение Брюа для двойных грассманианов

Специальность: 01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи УДК 512.743

Смирнов Евгений Юрьевич

Москва - 2008

003454021

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Эрнест Борисович Винберг.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Владимир Леонидович Попов; кандидат физико-математических наук Дмитрий Альфредович Шмелькин.

Ведущая организация:

Санкт-Петербургский государственный университет.

Защита диссертации состоится 5 декабря 2008 г. в 16 часов 40 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М. В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, д. 1, МГУ, Механико-математический факультет (Главное здание, 14 этаж).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Автореферат разослан 5 ноября 2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 при МГУ доктор физ.-мат. наук, профессор /

А. О. Иванов

Общая характеристика работы Актуальность темы

Грассманианы и многообразия флагов. Пусть V — векторное пространство размерности п над алгебраически замкнутым полем. Множество подпространств в V данной размерности к < п может быть снабжено структурой алгебраического многообразия. Такое многообразие называется грассманианом; мы будем обозначать его через Gr(fc, V). Оно является однородным пространством для полной линейной группы GL(F).

Обозначим через В подгруппу верхнетреугольных матриц в GL(y). Разложение многообразия Gr(&, V) на орбиты группы В, называемое также разложением Шуберта, обладает массой интересных свойств. Впервые оно было определено в конце XIX века для нужд исчислительной геометрии. Тогда же была получена комбинаторная параметризация этих орбит (клеток Шуберта) и описаны их замыкания (многообразия Шуберта). Геометрия последних также представляет большой интерес; она активно изучалась на протяжении всего XX века. В частности, доказано, что многообразия Шуберта являются нормальными и коэн-маколеевыми, и что их особенности рациональны (см., к примеру, записки лекций Бриона1 или монографию Бриона и Ку-мара2). Также известно разрешение их особенностей, впервые появившееся в работе Ботта и Самельсона3 и впоследствии обобщённое в работах Демазюра4 и Хансена5, и описание их множеств особых точек.

Понятие разложения Шуберта для грассманианов допускает

'М. Brion, Lectures on the geometry of flag varieties, Topics in cohomological studies of algebraic varieties, 33-85, Trends Math., Birkhauser, Basel, 2005.

2M. Brion, S. Kumar, Frobenius splitting methods in geometry and representation theory, Birkhauser, Boston, 2005.

3R. Bott, H. Samelson, Applications of the theory of Morse to symmetric spaces, Amer. J. Math. 80 (1958), 964-1029.

4M. Demazure, Désmgulansation des variétés de Schubert généralisées, Ann. Sci. Ec. Norm. Supér. 7 (1974), 53-88.

5H. C. Hansen, On cycles on flag manifolds, Math Scand. 33 (1973), 269-274.

j

прямое обобщение на случай многообразий флагов G/P, где G — связная редуктивная алгебраическая группа, а Р — её параболическая подгруппа. «Экстремальный» (и в некотором смысле самый сложный) случай такого многообразия соответствует ситуации Р = В\ в этом случае G/B называется многообразием полных флагов. Для многообразий флагов можно осуществить ту же программу по описанию комбинаторики и геометрии многообразий Шуберта, что и для грассманианов. Однако некоторые из поставленных вопросов оказываются более сложными; в частности, описание множеств особых точек многообразий Шуберта в этом случае было получено лишь в начале 2000-х годов, практически одновременно в работах JI. Манивеля6, С. Билли и Дж. Уоррингтона,7 О. Кортез8 и К. Касселя, А. Ласку и К. Рой-тенауэра9.

Кратные многообразия флагов. В 1998 году П. Мадьяр, Е. Вей-ман и А. Зелевинский10 поставили и решили следующую задачу. Пусть G = GL(F); возьмём кратное многообразие флагов, то есть прямое произведение г обычных многообразий флагов (полных или частичных) G/Pi, и рассмотрим диагональное действие группы G на

G/Pi X ••• X G/Pr.

В каких ситуациях (при каких условиях на г и Pi,..., Рг) число орбит этого действия будет конечным? (Говорят, что такие многообразия имеют конечный тип).

Очевидно, это равносильно конечности числа орбит группы Pi

6L. Manivel, Le lieu sunguliér des variétés de Schubert, Int. Math. Res. Notices 16 (2001), 849-871.

7S. Billey, G. Warrington, Maximal singular loci of Schubert varieties in SL(n)/J3, Trans. Amer. Math. Soc. 335 (2003), 3915-3945.

8A. Cortez, Singularités génériques et quasi-résolutions des variétés de Schubert pour le groupe linéaire, Adv. Math. 178 (2003), no. 2, 396-445

9C. Kassel, A. Lascoux, C. Reutenauer, The singular locus of a Schubert variety, J. Algebra 269 (2003), 74-108.

10P. Magyar, J. Weyman, A. Zelevinsky, Multiple flag varieties of finite type, Adv. Math. 171 (1999), 285-309.

на произведении G/Рг х • • • х G/Pr. Если Р\ = В, то конечность числа Pi-орбит равносильна сферичности этого многообразия; классификация всех таких ситуаций (в случае произвольной полупростой группы G) принадлежит П. Литтельману11.

В случае G — GL(V) и произвольного Р\ Мадьяр, Вейман и Зелевинский доказывают, что число этих орбит может быть конечно только при г < 3; ответ при этом приводится в терминах колчанов некоторого специального вида, классификация которых весьма близка к классификации Каца колчанов конечного типа12 (хотя и отлична от неё). Кроме того, в этих ситуациях приводятся комбинаторное описание этих орбит и некоторые частичные результаты насчёт их примыканий.

В частности, классификация кратных многообразий флагов конечного типа включает в себя серии колчанов Дынкина конечного типа, т.е. колчаны типа Ап (при п > 1), Dn (при п > 4) и Еп (при б < п < 8). Серия А соответствует случаю г = 2, то есть действию Pi на G/Рг- Как частный случай получается описание орбит действия н В на G/P: это классическая ситуация разложения Шуберта для многообразия флагов.

Серия D (являющаяся в некотором смысле «следующим по сложности» случаем) соответствует действию группы G на G/P\X GjPi х G/P3, где Рг, Р3 суть максимальные параболические подгруппы, или, иначе говоря, действию Pi на Gr (к, V) х Gr (Z, V). В частности, эта серия включает в себя наиболее интересный случай Pi — В.

Итак, естественным образом возникает ряд вопросов, аналогичных тем, что ставятся для разложения Шуберта в многообразиях флагов. Как параметризовать орбиты группы В, действующей диагонально на произведении Gr(k,V) х Gr(Z,V)? Какие орбиты содержатся в замыкании данной орбиты? Что можно сказать о геометрии этих замыканий (аналогов многообразий

UP. Littelmann, On spherical double cones, J. Algebra, 166 (1994), 142-157.

12V. Kac, Infinite root systems, representations of graphs and invariant theory, Invent. Math. 56 (1980), 57-92.

Шуберта)? Когда они гладки? Если они особы, то как описать их множество особенностей, как разрешить эти особенности? Настоящая диссертационная работа посвящена ответу на часть этих вопросов.

Ещё одной мотивировкой для изучения 5-орбит в Gr (к, V) х Gr(i,V) служат недавние работы Г. Бобиньского и Г. Звары13. Ими были выявлены некоторые взаимосвязи между представлениями колчанов и многообразиями Шуберта. А именно, имеют место следующие результаты. Особенности замыканий орбит группы GL(p) в представлении р колчана типа Ап оказываются такими же, как особенности многообразий Шуберта в многообразиях полных флагов. Далее, особенности замыканий орбит GL(p) в представлениях колчанов типа Dn — такие же, как особенности многообразий Шуберта в многообразиях полных флагов и произведениях двух грассманианов.

Цель работы

Целью работы является изучение орбит борелевской подгруппы в полной линейной группе, действующей диагональным образом на прямом произведении двух грассмановых многообразий, их замыканий (аналогов клеток Шуберта и многообразий Шуберта соответственно), и исследование их геометрических и комбинаторных свойств.

Структура и объем диссертации

Диссертационная работа изложена на 94 страницах и состоит из введения, двух глав и приложения. Библиография включает 30 наименований.

13G. Bobinski, G. Zwara, Normality of orbit closures for Dynkin quivers of type A„, Manuscrip-ta Mathematica 105 (2001), 103-109.

G. Bobinski, G. Zwara, Schubert varieties and representations of Dynkm quivers, Colloquium Mathematicum 94 (2002), 285-309.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Получен критерий примыкания орбит группы G = GL(F), действующей диагональным образом на прямом произведении многообразия флагов и двух грассмановых многообразий G/P х Gr(/c, V) х Gr(7, V).

2. Построено разрешение особенностей для замыканий орбит группы В невырожденных верхнетреугольных матриц, действующей диагональным образом на прямом произведении двух грассмановых многообразий Gr(к, V) х Gr(Z, F).

3. Показано, что частичный порядок в множестве орбит группы В невырожденных верхнетреугольных матриц, действующей на прямом произведении двух клеток Шуберта в Gr(A;, У) > Gr(7, V), совпадает с рассмотренным в работах А. Мельниковой14 частичным порядком в множестве орбит группы верхнетреугольных матриц в многообразии строго верхнетреугольных матриц, квадрат которых равен нулю.

Основные методы исследования

В первой части работы используются комбинаторные методы и методы теории представлений, в частности, теория представлений колчанов и теория Ауслендера-Рейтен. Во второй части для построения разрешений особенностей привлекаются методы алгебраической геометрии и теории сферических многообразий.

14A Melnikov, B-orbits m solutions to the équation X2 = 0 in triangular matrices, J. Algebra 223 (2000), no 1, 101-108

A. Melnikov, Description of B-orbit closures of order S in uppcr-tnangular matrices, Transf. Groups, 11 (2006), No. 2, pp. 217-247.

A. Melnikov, B-orbits ofnilpotent order 2 and hnk patterns, preprint, arXiv:math.RT/Q703371.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Доказанные в диссертации теоремы представляют интерес для алгебраической геометрии, теории представлений, комбинаторики.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих семинарах и конференциях.

1. Семинар «Группы Ли и теория инвариантов» под руководством Э. Б. Винберга и А. Л. Онищика, мех-мат МГУ. Доклады: «О шубертовском разложении для двойных грассма-нианов», 2005 г.; «Кратные многообразия флагов и колчаны Ауслендера-Рейтен», 2006 г.

2. Конференция «Journeés des jeunes en cotutelle», Лаборатория им. Ж.-В. Понселе (НМУ и CNRS), Москва, 2006 г. Доклад: «Bruhat decomposition for double Grassmannians».

3. Семинар «Algèbre et géométrie» под руководством M. Бриона и Л. Манивеля, Институт Фурье, г. Гренобль (Франция), 2007 г. Доклад: L'ordre de Bruhat et le carquois d'Auslander-Reiten.

4. Зимняя школа «Winter Solstice Master Class in Enveloping Algebras», Институт Вейцмана, Израиль, 2008 г. Доклад: Schubert decomposition for double Grassmannians and a partial order on involutive permutations.

Публикации автора по теме диссертации

Основное содержание диссертации опубликовано в двух работах, список которых приведен в конце автореферата [1-2].

Краткое содержание работы

Диссертация состоит из введения, двух глав и приложения.

Критерий примыкания Р-орбит в двойных грассманиа-н ах

В первой главе мы рассматриваем определённые конфигурации подпространств в n-мерном векторном пространстве V над алгебраически замкнутым полем К. Эти конфигурации (U,W,V,) будут состоять из двух подпространств U ж W пространства V, размерностей к и I соответственно, и частичного флага V. = (Vdl С Vd2 С • • - С Vdm = V), где dimVd; = d{.

Наша задача заключается в описании таких конфигураций с точностью до линейной замены координат в пространстве V и всевозможных вырождений одних конфигураций в другие. Иначе говоря, мы рассматриваем прямое произведение X = Gr(fc, V) х Gr(Z,V) х Fl ¿СЮ двух грассманианов и одного многообразия частичных флагов типа d = (di,..., dm) в V с диагональным действием GL(F) на этом многообразии, и описываем орбиты этого действия и отношения примыкания между ними.

Нетрудно показать, что число этих орбит конечно. Произведение нескольких многообразий флагов, обладающее этим свойством, называется кратным многообразием флагов конечного типа. Мадьяр, Вейман и Зелевинский15 приводят полный список таких многообразий и описывают орбиты полной линейной группы, действующей на них диагонально. Они также получают необходимое условие того, что одна GL(V)-op6nTa содержится в замыкании другой ОЬ(У)-орбиты. Это условие следует из результатов К. Ридтманн16 о вырождениях представлений колчанов.

15Р. Magyar, J Weyman, A Zelevinsky, Multiple flag varieties of finite type, Adv. Math. 171 (1999), 285-309.

16C. Riedtmann, Degenerations for representations of quivers with relations, Ann. Sei. Éc. Norm. Sup. (4) 19 (1986), 275-301.

Вопрос о том, является ли это условие критерием (т.е. необходимым и достаточным условием), открыт. Как указывается в ра, это верно в отдельных случаях: это следует из результатов К. Бонгартца17 о представлениях колчанов. Ещё один случай разбирается в статье П. Мадьяра18, где подобный критерий доказывается для конфигураций, состоящих из двух флагов и прямой. Подход Мадьяра является элементарным и использует лишь комбинаторику и линейную алгебру.

Решение задачи в случае X = Gr(k,V) х Gr(l,V) х Fl d(V) следует из результатов Бонгартца. Однако мы приводим более простой критерий того, что одна конфигурация может быть вырождена к другой. Вот этот критерий:

Теорема 1. Пусть (U,W,V,.) и {U',W',V^) — две тройки, каждая из которых состоит из двух подпространств размерностей h и I соответственно, и флага глубины р с вектором размерности {аъ...,ар). Тогда (U,W,V.) G GL (V)(U\ W\Vi) тогда и только тогда, когда

dim Vüt П U > dim I/', ГШ'; dim К, П U > dim V^ П W'\

dim К, nUHW > dimV^n f/'пГ

при всех i G [l,p], и

dim VC]nUnW + dim К, П ((Vaj П U) + (Ve, П W)) >

> dim V'aj nU'nW' + dim V;t fi ((V^ П U') + (V^ П W')) при всех 1 < i < j < p.

В частном случае p = n и (ai,...,ap) = (1, ...,n) эта теорема даёт критерий примыкания В-орбит в произведении двух грассманианов.

17К. Bongartz, On degenerations and extensions of finite iimensionalmodules, Adv. Math. 121 (1996), 245-287.

K. Bongartz, Degenerations for representations of tame quivers, Ann. Sei. Ее. Nonn. Sup., (4) 28 (1995), 647-668.

18P. Magyar, Bruhat order for two flags and a line, J. Algebraic Combin. 21 (2005), no. 1, 71-101.

Доказательство этого критерия использует лишь элементарные методы. Для этого мы в основном действуем аналогично работе Мадьяра. Однако при этом для параметризации орбит на X мы используем кардинально иной комбинаторный подход, существенную роль в котором играют колчаны Ауслендера-Рейтен.

B-орбиты в двойных грассманианах. Разрешения особенностей замыканий Б-орбит.

Во второй главе работы мы рассматриваем случай Р\ = В, то есть изучаем действие борелевской подгруппы на прямом произведении двух грассманианов Y = Gr (к, У) х Gr(/, V). Мы приводим другое комбинаторное описание орбит, схожее с классическим описанием S-орбит на Gr (к, V) при помощи диаграмм Юнга. Оказывается, что это описание лучше, чем приведённое в предыдущей главе, помогает установить некоторые комбинаторные и геометрические свойства B-орбит. Кроме того, для него не требуются результаты Мадьяра, Веймана и Зелевинско-го19: в случае Р — В всё может быть сделано «вручную», лишь с использованием линейной алгебры. Это описание обобщает описание орбит в симметрическом пространстве GLfc+//(GLfc х GL/), приведённое в диссертации С. Пина20.

Далее мы переходим к изучению слабого порядка на множестве В-орбит в У. Определение слабого порядка таково: Определение. Орбита G меньше или равна орбиты О' относительно слабого порядка (обозначение: О 0'), если Ö' может быть получено как результат нескольких последовательных «поднятий» замыкания орбиты О при помощи стандартных минимальных параболических подгрупп:

0^0' ^ 3(г'х, ...,ir):ö' = Pir... Pnö = Pir... Phö,

18P. Magyar, J. Weyman, A. Zelevinsky, Multiple flag varieties of finite type, Adv. Math. 171

(1999), 285-309.

20S. Pm, Adhérences d'orbites des sous-groupes de Borel dans les éspaces symétriques, thèse de doctorat, Institut Fourier, Grenoble, 2001.

где Р{ суть стабилизаторы флагов У\ С • • • С С • • • С Уп, отличающихся от стандартного пропуском одной компоненты.

Многообразие У не является однородным пространством группы СЬ(У); оно распадается на -орбиты, элементы каждой из которых соответствуют парам подпространств (17, РУ), размерность пересечения которых равна некоторому фиксированному числу (I. Будем обозначать каждую такую орбиту через Уа. Поскольку действие минимальных параболических подгрупп не может выводить за пределы СЬ(У)-орбиты, описание слабого порядка на У равносильно описанию слабого порядка на каждой из орбит У<1.

Слабый порядок на множестве 5-орбит в У^ обладает рядом хороших свойств, которые, вообще говоря, не обязаны иметь место для произвольных сферических многообразий. В частности, все В-орбиты, являющиеся минимальными для этого порядка, имеют одинаковую размерность. Более точно, имеет место

Теорема 2. В каждом Xгде й Е [тах{/г + 1 — п, 0}, тт{&, /}], содержится минимальных орбит. Они все замкнуты в

Уц их размерности равны (к — с?)(/ — й). Они являются прямыми произведениями клеток Шуберта в грассманианах Ст(к, V) и Ог(/, V).

Описание замыканий В-орбит, минимальных относительно слабого порядка, позволяет построить разрешения особенностей для замыканий всех .В-орбит в У. Эти разрешения строятся аналогично разрешениям Ботта-Самельсона для многообразий Шуберта в грассманианах.

Теорема 3. Пусть О — В-орбита в У, получаемая при помощи действия последовательности минимальных параболических подгрупп (Рч, ..., Р^) из некоторой минимальной (в смысле слабого порядка) орбиты 0тщ = Хш х Х„, где Хы и Хь, суть многообразия Шуберта в грассманианах Сг(к, У) и Ст(1, V) соответственно. Обозначим через —► Х№ и Р„: Zv —> Ху

разрешения Ботптпа-Самелъсона для этих многообразий Шуберта. Тогда отображение

PlrxB...xBPh xB(ZwxZv)->0,

(p.v. • • • .Pin (*и>1 Zv)) ^РгГ.....Ph(Fw(zw), Fv(zv))

есть разрешение особенностей для многообразия 0.

В заключительной части работы мы обнаруживаем некоторые интересные и неожиданные взаимосвязи между топологическим порядком на множестве В-орбит на Gr(fc, V) х Gr(7, V) и аналогичным порядком на множестве орбит борелевской подгруппы В С GL(F), действующей сопряжениями на верхнетреугольных матрицах из Mat(V), квадрат которых равен нулю. Последний порядок был описан в работах Анны Мельниковой21, причём В-орбиты параметризуются инволютивными перестановками. В нашем случае В-орбиты в данной (В х В)-орбите параметризуются некоторым подмножеством множества инволютивных перестановок; таким образом на этом подмножестве также определяется частичный порядок, происходящий из топологического порядка на множестве орбит. Выясняется, что эти два частичных порядка совпадают, несмотря на то, что они возникают в достаточно непохожих ситуациях.

Работа снабжена приложением, в котором приводятся диаграммы примыкания В-орбит в двойных грассманианах Gr(к, V) х Gr(/, V) при малых к, I и dim У.

21 A. Melnikov, B-orbits m solutions to the equation X2 = 0 in triangular matrices, J. Algebra 223 (2000), no. 1, 101-108.

A. Melnikov, Description of B-orbit closures of order S in upper-triangular matrices, Transf. Groups, 11 (2006), No. 2, pp. 217-247. A. Melnikov, B -orbits ofnilpotent order 2 and link patterns, preprint, arXiv:math.RT/0703371.

Благодарности.

Я благодарю моего научного руководителя доктора физико-математических наук, профессора Эрнеста Борисовича Винберга за постановку задач и постоянное внимание к моей работе. Значительная часть работы была выполнена во время моих визитов в Институт Фурье (Гренобль, Франция); я весьма признателен ведущему научному сотруднику Национального центра научных исследований Франции Мишелю Бриону за гостеприимство и ценные замечания и советы. Я также благодарю всех участников семинара «Группы Ли и теория инвариантов» под руководством Э. Б. Винберга и А. Л. Онищика за полезные обсуждения.

Публикации по теме диссертации

[1] Е .Ю. Смирнов, Разрешения особенностей для многообразий Шуберта в двойных грассманианах, Функц. анализ и его прил. 42 (2008), № 2, с. 56-67.

[2] Е. Ю. Смирнов, Порядок Брюа для двух подпространств и флага. Депонировано в ВИНИТИ РАН, 2008, №777-В2008, 28 с.

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ имени М. В. Ломоносова

Подписано в печать 30.Ю,0 Я Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. {,0 Тираж /¿7/7 экз. Заказ £4

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета

Введение

0.1 Мотивировки.

0.2 Критерий примыкания Р-орбит в двойных грассманианах . . 9 0.3 В-орбиты в двойных грассманианах. Разрешения особенностей замыканий В-орбит.

0.4 Содержание работы.

1 Порядок Брюа для двух подпространств и флага

1.1 Орбиты и представители: общий подход.

1.2 Комбинаторное описание объектов с данным вектором размерности

1.2.1 Случай А: два флага.

1.2.2 Случай V: два подпространства и флаг.

1.3 Три частичных порядка.

1.3.1 Топологический порядок.

1.3.2 Ранговый порядок.

1.3.3 Пошаговый порядок.

1.4 Основной результат

1.4.1 Из пошагового порядка следует топологический порядок

1.4.2 Из топологического порядка следует ранговый порядок

1.4.3 Из рангового порядка следует пошаговый порядок

1.5 Доказательство теоремы о минимальности.

2 Разрешения особенностей многообразий Шуберта в двойных грассманианах

2.1 Описание орбит.

2.1.1 Обозначения

2.1.2 Комбинаторное описание

2.1.3 Разложение У в объединение СЬ(У)-орбит.

2.1.4 Подсчёт количества орбит.

2.1.5 Стабилизаторы и размерности орбит.

2.2 Слабый порядок на множестве орбит

2.2.1 Комбинаторное описание действия минимальных параболических подгрупп.

2.2.2 Слабый порядок с точки зрения колчанов Ауслендера-Рейтен.

2.2.3 Минимальные орбиты.

2.3 Разрешения особенностей для замыканий орбит.

2.4 Порядок Брюа на В х 5-орбите.

А Несколько примеров

А.1 Р1 х Р1 = Сг(1,2) х Сг(1,2).

А.2 Р2 х Р2 = Сг(1,3) х Сг(1,3).

А.З Р2 х Р2* = Сг(1,3) х Сг(2,3).

А.4 Р3 X Р3 = Gr(l, 4) X Gr(l, 4).

А.5 Р3 X Р3* = Gr(l, 4) X Gr(3,4).

Настоящая работа посвящена исследованию действия борелевской подгруппы в СЬ(п) на прямом произведении двух грассмановых многообразий.

0.1 Мотивировки

Пусть V — векторное пространство размерности п над алгебраически замкнутым полем. Множество подпространств в V данной размерности к < п может быть стабжено структурой алгебраического многообразия. Такое многообразие называется грассманианом; мы будем обозначать его через Ст(к,У). Оно является однородным пространством для полной линейной группы СЬ(У).

Обозначим через В подгруппу верхнетреугольных матриц в Разложение многообразия Сг(к, V) на орбиты группы В, называемое также разложением Шуберта, обладает массой интересных свойств. Впервые оно было определено в конце XIX века для нужд исчислительной геометрии. Тогда же была получена комбинаторная параметризация этих орбит (клеток Шуберта) и описаны их замыкания (многообразия Шуберта). Геометрия последних также представляет большой интерес; она активно изучалась на протяжении всего XX века. В частности, доказано, что многообразия ТТТуберта являются нормальными и коэн-маколеевыми, и что их особенности рациональны (см., к примеру, записки лекций [8] или книгу [9]). Также известно разрешение их особенностей, впервые появившееся в работах Ботта-Самельсона, Демазюра и Хансена ([4], [12], [14]), и описание их множеств особых точек.

Понятие разложения Шуберта для грассманианов допускает прямое обобщение на случай многообразий флагов G/P, где G — связная редуктивная алгебраическая группа, а Р — её параболическая подгруппа. "Экстремальный" (и в некотором смысле самый сложный) случай такого многообразия соответствует Р = В] в этом случае G/B называется многообразием полных флагов. Для многообразий флагов можно осуществить ту же программу, что и для грассманианов. Однако некоторые из поставленных вопросов оказываются более сложными ; в частности, описание множеств особых точек многообразий Шуберта в этом случае было получено лишь в 2000 году, практически одновременно в работах JL Манивеля ([23]), С. Билли и Дж. Уоррингтона ([3]) и, наконец, К. Касселя, А. Ласку и К. Ройтенауэра ([17]).

Мотивировка данной работы имеет двойное происхождение. Во-первых, в 1998 году П. Мадьяр, Е. Вейман и А. Зелевинский поставили и решили следующую задачу (см. [21]). Пусть G = GL(y); возьмём кратное многообразие флагов, то есть прямое произведение г обычных многообразий флагов (полных или частичных) G/Pi, и рассмотрим диагональное действие группы G на

G/Pi х . х G/Pr.

В каких ситуациях (при каких условиях на г и P\z., Рг) число орбит этого действия будет конечным? (Говорят, что такие многообразия имеют конечный тип).

Очевидно, это равносильно конечности числа орбит группы Pi на произведении G/P2 х • • • х G/Pr. Если Pi = Р, то многообразие G/P2 х • • ■ х G/Pr в этом случае является сферическим. Вопрос о конечности числа орбит в этой ситуации был решён П. Литтельманом для произвольной полу простой группы G при следующих дополнительных предположениях: Pi = В, а Р2 и Р3 суть максимальные параболические подгруппы (см. [19]).

В случае G = GL(y) и произвольных параболических подгрупп Pi,., Рг в работе [21] показано, что конечность числа орбит может иметь место только при г < 3; конечный ответ получается в терминах некоторых колчанов, классификация которых весьма близка к классификации Каца [16] колчанов конечного типа (хотя и отлична от неё). Кроме того, в этих ситуациях приводится комбинаторное описание этих орбит и некоторые частичные результаты насчёт их примыканий.

В частности, классификация кратных многообразий флагов конечного типа включает в себя серии A, D и Е. Серия А соответствует случаю г = 2, то есть действию Pi на G/P2. Как частный случай получается описание орбит действия В на G/P: это классическая ситуация разложения Шуберта для многообразия флагов.

Серия D (являющаяся в некотором смысле "следующим по сложности" случаем) соответствует действию группы G на G/Pi х G/P2 х С/Р3, где Р2, Р3 суть максимальные параболические подгруппы, или, иначе говоря, действию Pi на Gr(k, V) х Gr(¿, V). В частности, эта серия включает в себя наиболее интересный случай Р\ = В.

Было бы интересно узнать в этих случаях ответы на вопросы, аналогичные тем, что ставятся для разложения Шуберта в многообразиях флагов. Как параметризовать орбиты группы В на произведении V) хСг(/, V)? Какие орбиты содержатся в замыкании данной орбиты? Что можно сказать о геометрии этих замыканий? Когда они гладки? Если они особы, то как описать их множество особенностей, как разрешить эти особенности? Настоящая диссертация посвящена ответу на часть этих вопросов.

Другая серия вопросов касается координатных колец многообразий Шуберта и их аналогов. В работе Ходжа [15] 1943 года было доказано, что при вложении грассманиана в проективное пространство по Плюккеру к

От (к, V) ^ Р Д V, многообразия Шуберта можно получить как сечения грассманиана некоторыми проективными подпространствами пространства Р Д^ V. Это верно не только в теоретико-множественном, но и в схемном смысле, то есть уравнения этих подпространств порождают идеалы многообразий Шуберта в однородном координатном кольце грассманиана. Этот результат является ключевым для описания однородных координатных колец этих многообразий. Было бы интересно обобщить эти результаты на наш случай. Гипотетически, замыкания .В-орбит могут быть получены как линейные сечения произведения двух грассманианов, вложенного в проективное пространство по Плюккеру-Сегре: к I к I

Ст(к,У) х Сг(г,У) -^рДу хРДу ->Р(Д У<8> Ду).

Однако же описание однородных координатных колец этих многообразий представляется нам значительно более сложной проблемой.

Дополнительной мотивировкой для изучения В-орбит в От(к, У)хОт(1, V) служат недавние работы Г. Бобиньского и Г. Звары. Ими были выявлены интересные взаимосвязи между представлениями колчанов и многообразиями Шуберта. В их статьях [5], [6] доказываются следующие результаты. Особенности замыканий орбит группы СЬ(р) в представлении р колчана типа Ап оказываются такими же, как особенности многообразий Шуберта в многообразиях полных флагов. Далее, особенности замыканий орбит СЬ(р) в представлениях колчанов типа Оп — такие же, как особенности многообразий Шуберта в многообразиях полных флагов и произведениях двух грассманианов.

0.2 Критерий примыкания Р-орбит в двойных грассма-нианах

Мы рассматриваем определённые конфигурации подпространств в тг-мерном векторном пространстве V над алгебраически замкнутым полем К. Эти конфигурации (II, И7, К) будут состоять из двух подпространств II и ]У пространства V, размерностей к и I соответственно, и частичного флага У. = (У* С У(12 С ■ ■ • С Уат = V), где дзтУ* = (к.

Наша задача заключается в описании таких конфигураций с точностью до линейной замены координат в пространстве V и всевозможных вырождений одних конфигураций в другие. Иначе говоря, мы рассматриваем прямое произведение X = Ст(к, V) х Сг(/, V) х Р1 а(^) двух грассманианов и одного многообразия частичных флагов типа с! = (¿1,., с1т) в V с диагональным действием ОЬ(У) на этом многообразии, и описываем орбиты этого действия и отношения примыкания между ними.

Нетрудно показать, что число этих орбит конечно. Произведение нескольких многообразий флагов, обладающее этим свойством, называется кратным многообразием флагов конечного типа. В работе [21] Мадьяр, Вейман и Зелевинский приводят полный список таких многообразий и описывают орбиты полной линейной группы, действующей на них диагонально. Они также получают необходимое условие того, что одна СЬ(У)-орбита содержится в замыкании другой СЬ(У)-орбиты. Это условие следует из результатов К. Ридтманн [27] о вырождениях представлений колчанов.

Вопрос о том, является ли это условие критерием (т.е. необходимым и достаточным условием), открыт. Как указывается в [21], это верно в отдельных случаях: это следует из результатов К. Бонгартца о представлениях колчанов ([10, §4], [11, §5.2]). Ещё один случай разбирается в статье [20] П. Мадьяра, где подобный критерий доказывается для конфигураций, состоящих из двух флагов и прямой. Подход Мадьяра является элементарным и использует лишь комбинаторику и линейную алгебру.

Решение задачи в случае X = Сг(&, V) х Сг(1, V) х И а(^) следует из результатов Бонгартца. Однако мы приводим более простой критерий того, что одна конфигурация может быть вырождена к другой. Вот этот критерий:

Теорема 0.1. Пусть (£/, И7, К) и (С/', \У', VI) — две тройки, каждая из которых состоит из двух подпространств размерностей к и I соответственно, и флага глубины р с вектором размерности (ai,.,ap). Тогда (U, W, V,) € GL(V)(C/', W', VI) тогда и только тогда, когда dim Vaif\U > dim V'a. D U'\ dim Va.r\ U > dim V^'. П W'\ dim Vai Г) U DW > dim V'a. П П W' при всех i G [l,p], и dimVaj П U П W + dimK, П {{Vaj П U) + (Vaj П W)) > dimV'a. nf/'пГ + dimV'a. П {{V'a. П U') + (Va'. П W')) при всех 1 < г < j < p.

В частном случае р = п и (ai,., ар) = (1,., п) эта теорема даёт критерий примыкания £?-орбит в произведении двух грассманианов.

Доказательство этого критерия использует лишь элементарные методы. Для этого мы в основном действуем аналогично работе Мадьяра [20]. Однако при этом для параметризации орбит на X мы используем кардинально иной комбинаторный подход, существенную роль в котором играют колчаны Аус л ен дера-Рейтен.

0.3 5-орбиты в двойных грассманианах. Разрешения особенностей замыканий 5-орбит

В третьей главе настоящей работы мы рассматриваем случай Р\ = В, то есть изучаем действие борелевской подгруппы на прямом произведении двух грассманианов У = Сг(к, V) х Сг(/, V). Мы приводим другое комбинаторное описание орбит, схожее с классическим описанием В-орбит на От (к, V) при помощи диаграмм Юнга. Оказывается, что это описание лучше, чем приведённое в предыдущей главе, помогает установить некоторые комбинаторные и геометрические свойства 5-орбит. Кроме того, для него не требуются результаты работы [21]: в случае Р = В всё может быть сделано "вручную", лишь с использованием линейной алгебры. Это описание обобщает описание орбит в симметрическом пространстве х 01^), приведённое в диссертации С. Пина [26].

Далее мы переходим к изучению слабого порядка на множестве В-орбит в У. Определение слабого порядка таково:

Определение. Орбита О меньше или равна орбиты О' относительно слабого порядка (обозначение: О ■< О'), если О' может быть получено как результат нескольких последовательных "поднятий" замыкания орбиты О при помощи стандартных минимальных параболических подгрупп:

О^О' ^ 3(гь.,гг): & = Д. Ркб = Р{т. Рф, где Р{ суть стабилизаторы флагов С • • • С Кч-1 С • • • С отличающихся от стандартного пропуском одной компоненты.

Многообразие У не является однородным пространством группы СЬ(У); оно распадается на ОЬ(У)-орбиты, элементы каждой из которых соответствуют парам подпространств (17, ТУ), размерность пересечения которых равна некоторому фиксированному числу й. Будем обозначать каждую такую орбиту через У([. Поскольку действие минимальных параболических подгрупп не может выводить за пределы СЬ(У)-орбиты, описание слабого порядка на Y равносильно описанию слабого порядка на каждой из орбит

Yd•

Слабый порядок на множестве В-орбит в Yd обладает рядом хороших свойств, которые, вообще говоря, не обязаны иметь место для произвольных сферических многообразий. В частности, все В-орбиты, являющиеся минимальными для этого порядка, имеют одинаковую размерность. Более точно, имеет место

Теорема 0.2. В каждом Yd, где d £ [max{k+l—n, 0}, min{&, Z}]; содержится (k+klZdd) минимальных орбит. Они все замкнуты в Yd; их размерности равны (k — d)(l — d). Они являются прямыми произведениями клеток Шуберта в грассманианах Gr(k, V) и Gr(Z, V).

Нас также интересуют замыкания 5-орбит в Y. Они являются аналогами многообразий Шуберта в грассманианах. Особенности шубертовских многообразий хорошо изучены: для них имеются разрешения, построенные Bottom и Самельсоном; про них известно, что они являются нормальными и рациональными; множества особых точек могут быть явно описаны. Подробнее об этом можно прочитать, к примеру, в записках лекций [8] pi книге [22]. Таким образом, было бы естественно задать те же вопросы (разрешение особенностей, нормальность, рациональность) и для замыканий jB-орбит в Y. Теорема 0.2 позволяет нам построить разрешения особенностей замыканий £?-орбит, аналогичные разрешениям Ботта-Самельсона.

Теорема 0.3. Пусть О — В-орбита в Y, получаемая при помощи действия последовательности минимальных параболических подгрупп

Р^,., Р{г) из некоторой минимальной (в смысле слабого порядка) орбиты От\п = Хи1хХь, где Хш и Ху суть многообразия Шуберта в грассмани-анах Ст(к,У) и От(1:У) соответственно. Обозначим через —» Хи, и Zv —> Ху разрешения Ботта-Самельсона для этих многообразий Шуберта. Тогда отображение

Р1г хв хв Рк хв (гю х г») (5, к., • • • ,Рч, IV) ^и)) ^ Ръг.^ЙЫ, К^)) есть разрешение особенностей для многообразия О.

В заключительной части работы мы обнаруживаем некоторые интересные и неожиданные взаимосвязи между топологическим порядком на множестве Р-орбит на V) х Сг(/, V) и аналогичным порядком на множестве орбит борелевской подгруппы В С действующей сопряжениями на верхнетреугольных матрицах из Ма^У), квадрат которых равен нулю. Последний порядок был описан в недавних работах Анны Мельниковой ([24], [25]), причём Р-орбиты параметризуются инволютивными перестановками. В нашем случае Б-орбиты в данной (В х В)-орбите параметризуются некоторым подмножеством множества инволютивных перестановок; таким образом на этом подмножестве также определяется частичный порядок, происходящий из топологического порядка на множестве орбит. Неожиданно оказывается, что эти два частичных порядка совпадают, несмотря на то, что они возникают в достаточно непохожих ситуациях.

0.4 Содержание работы

Здесь мы кратко опишем структуру работы. Диссертация состоит из введения, двух глав, разбитых на разделы, которые, в свою очередь, разбиваются на пункты, и приложения. Теоремы, предложения, рисунки и т.п. нумеруются в пределах главы.

1. M. Auslander, 1. Reiten, S. O. Smal0. Representation theory of Artin algebras. Cambridge University Press, 1995.

2. M. Barot, Representation of quivers, Lecture notes of ICTP school in representation theory, 2006, http://www.matem.unam.mx/barot/articles/notesictp.pdf

3. S. Billey, G. Warrington, Maximal singular loci of Schubert varieties in SL(n)/B, Trans. Amer. Math. Soc. 335 (2003), 3915-3945.

4. R. Bott, H. Samelson, Applications of the theory of Morse to symmetric spaces, Amer. J. Math. 80 (1958), 964-1029.

5. G. Bobiriski, G. Zwara, Normality of orbit closures for Dynkin quivers of type An, Manuscripta Mathematica 105 (2001), 103-109.

6. G. Bobiriski, G. Zwara, Schubert varieties and representations of Dynkin quivers, Colloquium Mathematicum 94 (2002), 285-309.

7. M. Brion, On orbit closures of spherical subgroups in flag varieties, Comment. Math. Helv. 76 (2001), 263-299.

8. M. Brion, Lectures on the geometry of flag varieties, Topics in cohomological studies of algebraic varieties, 33-85, Trends Math., Birkhâuser, Basel, 2005.

9. M. Brion, S. Kumar, Frobenius splitting methods in geometry and representation theory, Birkhâuser, Boston, 2005.

10. K. Bongartz, On degenerations and extensions of finite dimensional modules, Adv. Math. 121 (1996), 245-287.

11. K. Bongartz, Degenerations for representations of tame quivers, Ann. Sci. Éc. Norm. Sup., (4) 28 (1995), 647-668.

12. M. Demazure, Désingularisation des variétés de Schubert généralisées, Ann. Sci. Ec. Norm. Super. 7 (1974), 53-88.

13. W. Fulton, Young tableaux, Cambridge Univ. Press, 1997.

14. H.C. Hansen, On cycles on flag manifolds, Math. Scand. 33 (1973), 269274.

15. W. Hodge, Some enumerative results in the theory of forms, Proc. Camb. Phil. Soc. 38 (1943), 22-30.

16. V. Kac, Infinite root systems, representations of graphs and invariant theory, Invent. Math. 56 (1980), 57-92.

17. C. Kassel, A. Lascoux, C. Reutenauer, The singular locus of a Schubert variety, J. Algebra 269 (2003), 74-108.

18. F. Knop, On the set of orbits for a Borel subgroup. Comment. Math. Helv., TO (1995), No. 2,285-309.

19. P. Littelmann, On spherical double cones, J. Algebra, 166 (1994), 142157.

20. P. Magyar, Bruhat order for two flags and a line, J. Algebraic Combin. 21 (2005), no. 1, 71-101.

21. P. Magyar, J. Weyman, A. Zelevinsky, Multiple flag varieties of finite type, Adv. Math. 171 (1999), 285-309.

22. L. Manivel, Fonctions symétriques, polynômes de Schubert et lieux de dégénérescence, Société Mathématique de France, 1998

23. L. Manivel, Le lieu sunguliér des variétés de Schubert, Int. Math. Res. Notices 16 (2001), 849-871

24. A. Melnikov, Description of iB-orbit closures of order 2 in upper-triangular matrices, Transf. Groups, 11 (2006), No. 2, pp. 217-247

25. A. Melnikov, 5-orbits of nilpotent order 2 and link patterns, arXiv: math.RT/0703371

26. S. Pin, Adhérences d'orbites des sous-groupes de Borel dans les éspaces symétriques, thèse de doctorat, Institut Fourier, Grenoble, 2001. http://www-fourier.uj f-grenoble.fr/THESE/ps/t107.ps.gz

27. C. Riedtmann, Degenerations for representations of quivers with relations, Ann. Sci. Éc. Norm. Sup. (4) 19 (1986), 275-301.

28. R. W. Richardson, T. A. Springer, The Bruhat order on symmetric varieties, Geom. Dedicate,, 35 (1990), 389-436.Публикации автора по теме диссертации

29. Е .Ю. Смирнов, Разрешения особенностей для многообразий Шуберта в двойных грассманианах, Функц. анализ и его прил. 42 (2008), No. 2, с. 56-67.

30. Е. Ю. Смирнов, Порядок Брюа для двух подпространств и флага, 28 е., Деп. в ВИНИТИ РАН 30.09.2008, 777-В2008.0П