Разложение по собственным функциям систем обыкновенных дифференциальных уравнений, удовлетворяющих условию Дуглиса-Ниренберга тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ЛЬВОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. И. ФРАНКО

На правах рукописи

МОХАМАД АЛЬ-ТУНДЫ1

РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫ!,1 ФУНКЦИЯМ СИСТЕМ ОБЫКНОВЕННЫХ ДИИЕРВЩШЫЖ УРАВНЕНИЙ, УДОВЛЕТВОШЩИХ УСЛОВИЮ ДУГЛИСА-НИРЕНЕЕРГА

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискаиие ученой степени 1сандидага физико-математических наук

Львов - 1992 г.

Работа выполнена на кафедре математического и функционального анализа Львовского государственного университета им. И. Ф|«нко.

кандидат физико-математических наук, доцент Микитюк Я.В.

доктор физико-матег.тиче ских наук, профессор Горбачук Ы.Л.

кандидат физико-математических наук, доцент Черемных Е.В.

Институт прикладных проблем механики и математики, г. Львов

Защита диссертации состоится "10" декабря 1992 г. в

30

15^" час. на заседании специализированного совета К 068.12.13 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук во Львовском государственном университете им. И.4ранко / 290000, г. Львов, ул. Университетская, I/.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Львовского госуниверситета /г. Львов, ул. Драгоманова, 5/.

Автореферат разослан ноября 1992 г.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

Ученый секретарь специализированного совета

Я.В.Микитюк

ОЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА. РАБОТЫ

Актуальность теш. Работа посвящена изучению спектральных свойств несамосоиряженного дифференциального оператора "У с матричными коэффициентами, действующего в пространстве При этом т удовлетворяет условию Дуглиса-Ниренберга, а коэффициенты при младших производных достаточно быстро убывают на бесконечности.

Работа выполнена в русле исследований, инициированных немуаром 1,1.А.Наймарка о разложении по собственным функциям несамосопряженного сингулярного оператора Штурма-Лиувилля, а затем продолженных в работах В.Э.Лянце, Дне.Шварца, Х.Х.Муртази-на, Я.В.Микитюка и ряда других авторов.

Цель работы.

1. Изучение строения спектра и множества спектральных особенностей оператора Т .

2. Построение разложения единицы оператора Т .

3. Нахождение достаточных условий конечности множества собственных значений и опектральных особенностей.

Методика исследований. В работе используются методы спектральной теории операторов и теории возмущений. Изучаются операторы, в определенном смысле мало отличающиеся от самосопряженных, где малость возмущения понимается не как малость по норме, а как малость по размерности (относительная компактность и определенная "гладкость").

Научная новизна и теоретическая ценность. Полученные результаты являются новыми. В диссертации построено разложение единицы для достаточно широкого класса несаыосопряженных дифференциальных операторов, удовлетворяющих условию Дугласа-

'' [.енберга. Описано структуру множества спектральных особенностей оператора Т , в частности, получены достаточные условия конечности множества собственных значений и спектральных особенностей оператора Т .

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на межвузовском семинаре по функциональному анализу во Львовском госуниверситете (руководитель — просу. В.Э.Лшще), на международной конференции, посвященной 100-летию со дня рождения С.Банаха (г.Львов, май 1992 г.).

Публикации. По теме диссертации.опубликовано 4 статьи.

Структура и обьем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литерагуры. Обндай объем работы -93 страницы.

содаш-Еш РАБОТЫ

Работа начинается небольшим введением, в котором изложены основные результаты работы.

Пусть И , & - гильбертовы пространства, № - множество всех линейных, замкнутых,' плотно определенных операторов Т: Н И • Через бгп , рт

мы обозначаем соответственно область определения, область значений и через

ОДТ) • К(Т) • соответствен,!° спектр, точечный

спектр, непрерывный спектр, резольвентное множество оператораТ. Через{В(1~}*&) (¡ШНЬ '-и обозначаем пространство всех линейных непрерывных операторов, действующих из И в & '( И ). Если £> - борелевское множество в комплексной плоскости, то В(М обозначает совокупность всех борелевскях-множеств

- b -

комплексной плоскости, содержащихся в & .

Пусть Т eS(H) , причем множество состоит

из изолированных собственных значений оператора

Определение I [i] . Обозначим через YL (~П совокупность всех /ь. £ » таких, что :

а) для любого Д^е В( D и любых б\-\ существует и конечен предел

б) Ч ч IPIU.OU"'

Д^ВШ 1||1ЫЦП«1 где "TgJ^ (Х- . Точку ш назовем опектраль-

Г^ I»

ной особенностью оператора \ , если ни одна из ее окрестностей в не принадлежит . Мнокеотво спектральных особенностей оператора

т

мы обозначаем через Определение 2 [i]. Точку с/ щ назовем правильной

точкой непрерывного спектра, если для некоторой ее окрестности & (в С ) существует'проектор » который ком-

мутирует о оператором 1 и такой, что а) оператор TIP.H ( Т|!дН - орте кие оператора

т

на Р.Ц ) подобен самосопряженному оператору с абсолютно непрерывный спбктром; б) спектр оператора Т | (I - Ц содержится в замыкании С/1~П\ h . Иножество всех правильных точек непрерывного спектра one ¡втора т ш обозначаем через ) и полагаеи

Из определений вытекает, что иножества (У^ГП , Cj^(T) зашснуты и

tl]. Микитюк Я.В. Операторы со спектральншш особенностям. Кандидатская диссертация, Львов, 1981.

Определение 3. Пусть Г - полуторалинейная форма о оолас-тъю определения TKtWl, *Ха I где , - всюду плотные в И линейные многообразия. Мы будем говорить, что оператор Т: И —H ассоциирован с формой £ , если Т)(Т) ооотоит из всех тех \ е Х^ . для которых непрерывен функционал и дай всех ив m.

справедливо равенство tn.l-t/M).

Очевидно, что оператор, ассоциированный о формой t всегда существует (возможен случай

m) = ы ) и единственен.

Невозмущенный оператор Llfi).

Пусть И =Lj(Il?Xn) I • в качестве невозмущенного оператора ыы будем рассматривать самосопряженный дифференциальный оператор

LI0J с постоянными матричными коэффициентами, действующий в пространстве H , т.е.

ILJ0I ... LJDI КОШ , ;

(V

\LJ81 ий)/и

3)1 КОЛ л \\«Н . Ш)ЬЦ], ш

где £) = Д. , |_ ( О) - дифференциальные операторы о 4 V»

комплексными коэффициентами. Формулу (2) при атом следует понимать в сыыоле теории распределений. Ма будем также очитать, что выполнено условие

(ОН ) существуют числа ^ ). „, I*, € Л/ такие, что

причем матрица |в\а|.п является положительно определенной, Г

Условие ШN ) является условием Дуглиса-Ниренберга, ва-писалным для систем обшсновеннюс дифференциальных уравнений.

Нетрудно убедиться, что если выполнено условие (ОМ )» то оператор I— () ограничен снизу, а его спектр чисто абсолютно непрерывный и совпадает с некоторой полупрямой [с , +е«[ . Кроме того,

с( ¡ш) |"г) = н!=н!!(рь...,н>ь

где I г (!ц, ..., ) , (¡Р) - пространство Соболева порядка % 6 .

Возмущенный оператор. Обозначим через

т

несамосопряженный дифференциальный оператор, ассоциированный о полуторалинейной формой

н 1/Ы щ * } к

где Р = Г^.....( I.....К - и же, что и в (3)),

Ы1.....> Относительна

коэффициентов (Р/з X —>~ ^ (х)е£ предполагаем, что они являются измеримыми функциями и при некотором £>о .удовлетворяет одному из условий :

SupU+M)4+í \ < оа , (5)

^е41 - (в)

Чисто фи]мально оператор т можно определить, формулой

т_ LIO + Z D'W

Определение 4. Обозначим через fíl ( Y¡ ) множество операторов

, ассоциированных с полуторалинейными формами вида (4), в которых коэффициенты RQ . удовлетво-

JyOtp

ряют условию (5) (условию (6)).

Основными результатами работы являются теоремы 1-3, которые формулируются ниже.

Теорема I. Пусть Те Ш . Тогда Т£$(Н) и :

а) (ГШ)С^(Т) .

б) множество

и состоит из изолированных собственных значений конечной алгебраической кратности, причем его предельные точки принадлежат (j¿ (Т) ;

в) множества D¿ (Т) , ограничены и имеют линейную меру равную нулю. '

Теорема 2. Пусть Те Уй . Тогда оператор Т имеет однозначно определенное разложение единицы —Р( , заданное на алгебре •

(С):

Здесь Fi А - граница множества Д. . При. этом, если & е Y. т

и Л Г\ОьД~П = ф , то оператор~[^=Т|Р(^Ц является спектральнш.

Теорема 3. Пусть Те п . Тогда :

а) множества , 0^(Т) , ОкДТ) конечны ;

б) справедливо включение

в) число является собственн«м значением конечной алгебраической кратности.

Первая глава диссертации тлеет вспомогательный характер. В ней приведены определения и утверждения, которые используется в последующих главах. Здесь мы ограничимся тем, что дадим определение пространств ф , которые будут фигурировать в дальнейшем.

Определение 5. Пусть

. Обозначил через ф , н>о, линейное пространство, состоящее из всех тех $е Н • для которых , „

и Г" . «

где | - преобразование Фурье функции | . Пространство ф , наделенное нормой (7), является гильбертовым пространством.

Вторая глава диссертации посвящена изучении спектральных свойств операторов, являющихся результатом возмущения оператора умножения на независимую переменную в пространстве где Е - сепарабельноа гильбертово пространство. Результаты этой главы играют важную роль при доказательстве теорем 1-3 и являются обобщением результатов, полученных ранее Ц.Э.Дянце. Изложит,I суть этих результатов.

Пусть

Е - сепарабальные гильбертовы пространства,

-IDS' - оператор умножения на независимую переменную в прост-

рано^вН-^Р.Е).

Определение 6. Обозначим через*//(п,и1/ множество, состоящее из всех тех линейных операторов (\И (у , для которых существует оператор-функция Об : S?—(?) такая, что: I) функция Об непрерывна на f? всюду, за исключением, быть

может, конечного числа точек;

г) 1 "Мт1' *» < о» '

3) если для некоторого $6 ^ сходится интеграл

б?

то Щ)1М«

^ ост Ы ^ •

Очевидно, что если

AeiiH.fi) , то существует только одна оператор-функция Об , удовлетворяющая условиям I) - 3). Условимся, что если

, то запись И будет означать, что функция Об удовлетворяет условиям I) - 3). Определение 7, Обозначим через

Ж

множество операторов

Т~: (-] —>- |-] , ассоциированных с полуторалинейными формами вида

которые удовлетворшот следующим условиям : D » причем

Б ?>о Н&мИ . 11/9(^1 =

где 06 ^ [\ , р л, В I *

2) при некотором ¿зб Г]— : !)ум ъф-операторы

компактны;

Ч

3) , % + .

равномерно в П ;

4) оператор-функция

допускает продолжение из верхней полуплоскости П а нижней полуплоскости П до оператор-функций

непрерывных всюду в [1 а соответственно, за исключением, быть может, конечного числа точек действительной оои.

Доказывается, что если "Те ЦТ" > то оператор ~Т" плотно определен и замкнут, а множество

^-^«П > необратим^Ь*П"

К {¿р\- необратиц^и

- точка разрыва для одной из функций К+ ,1ч_

ограничено, замкнуто, причем его предельные точки принадлежат Ц? . а множество 8Т ® имеет нулевую линейную меру. Основным результатом второй главы является следующая Теорема 4. Пусть "Т~£ Ц/ . Тогда

I) ОЦ-ПзРч^ I

2) РоОЧ-ПсРиБт '

3) йтсОН'Пс'МО;

причем множества (ХСУ) , » замкнуты

ограничены и имеют нулевую линейную меру;

4) множество ограничено и состоит из изолированных 'собственных значений конечной алгебраической кратности, причем его предельные точки принадлежат »

б) оператор ~Т обладает однозначно определенным счетно аддитивным разложением единицы А заданным на алгебре

6) для всех Ле таких, что А Р\ ^ХГП = </) > оператор "II =Т |Е(^Ц является опектралышм.

Третья глава диссертации посвящена доказательству теорем, сформулированных во введении (теоремы 1-3). Пусть

Н-ЦР.аб

- сепарабельное гильбертово пространство, -оператор умножения на матричный многочлен в пространстве Н .

Определание 8. Мы Оудем говорить, что оператор удовлетворяет условию ( РИ ), если условию (ОН). удовлетворяет оператор

иг».

Если оператор удовлетворяет условию ( ОМ), то существует только одна матричная функция у. —V- С М вида

для которой предел

Lt C(ti i in) С fx»4

существует и является положительно определенной матрицей.

Всюду в дальнейшем мы будем считать, что оператор L является самосопряженным и удовлетворяет условию (ON).

Определение 9. Пусть Q:H—>-Н - оператор умножения на матричный многочлен if? эт.е.

Р С '

Обозначим через множество всех тех операторов Q вида (8), которые удовлетворяют условию

II = .

Определение 10. Мы будем говорить, что оператор (\е, удовлетворяет условию (ЛХ ), если при некотором V& имеет место включение

Ф

ч условию

иг,

, если при некотором Е>0

Riff) = Ф£ •

Определение II. Обозначим через JU

(через

Jif) множество

операторов Т: Ц —Н » ассоциированных с полуторалинейными формами вида

¿/исшивши-

»did ,

Ш) е Н!(Р.П

где :

1) оператор 1_ удовлетворяет условию (О N) и самосопряжен;

2) операторы 1\»В'. И —=>- & ( Ме Л/ ) определены формулами

, ...Х&И. иШ&ГМ.

ВЗ^ВДУ, ■■•■ВАЗ). ЬЩ^Ш^

в которд ^, • а операторы

удовлетворяют условии (условию (У)).

Очевидно, что JTc.il . к Предложение^. Пусть Те У/1 ( Те У) ). Тогда оператор

~Т( - преобразование Фурье в пространствеЦ / принадлежит классу

ив.

Предложение I позволяет свести доказательства теорем 1-3 к доказательствам аналогичных теорем для операторов из классов

ккА яЛ^.

В первой половина третьей главы изучаются свойства резольвенты оператора Г61Х/ ("Те). В частности, здесь проделана значительная подготовительная работа по доказательствам теорем I и 3.

Вторая половина третьей главы посвящена доказательству того, чго оператор

Т еМ

о точноотью до унитарной эквивалентности являвтоя частью некоторого оператора 1 сЦ/ . Это позволяет в полной маре использовать результаты второй глава (теорему 4) ври доказательстве теоремы 2 и завершении доказательств творец I и 3.

Результаты диссертации опубликованы в следующих статьях

Микитюк Я.В., Аль-Тунджи М. Об оператора умножения на матричный многочлен // Укр. мат. журн. - 1992. - Г.44, № 9 -0. 1288 - 1290.

!. Микитюк Я.В., Аль-1ундяси М. Об операторе умножения на мат-ришшй многочлен // В сб.: Международная математическая конференция посвященная 100-летию со дня рождения С.Банаха /Львов, 6-8 мая 1992 г./ : Тез. докл. - Львов: Львовский гпсуниверситет. - 1992. С. 68. 3. Аль-Тундки М., Микитюк Я.В. О резольвенте оператора умножения на матричный многочлен.- Львов, 1992. - 9 С. - Деп. в . УкрНШШШ

I. Аль-Тунджи М., Микитюк Я.В. Об операторе умножения на матричный многочлен. - Львов, 1992. - 7 С. - Деп. в УкрНИШТИ

МОХАМАД АЛЬ-ТУНДШ РАЗЛОЖЕНИЕ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ СИСТЕМ ОШКНОВЕШШ ДКФЕРЕНЦШЫШХ УРАВНЕНИЯ, УД0ВЛЕ1В0ШШ1Х УСЛОВИЮ ДУГЛИСА-НИРЕНБЕРГА

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано к печати 5.П.92. Формат 60x84/16. Буц.тип'. №1. Леч.О']сетЛел.печ.л.0,9О. Усл.кр.от. 1,13.Уч.изд.л.0,95. Тираж 100. Зак. 408.

Мамишю-о^сзгная лаборатория Львовского государственного университета, 290602, Львов, ул'.Униворситетская, I