Разложения по собственным функциям функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

САРАТОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ИМ. Н.Г.ЧЕРНЫШЕВСКОГО

□□345642 1

На правах рукописи

Луконина Анна Сергеевна

РАЗЛОЖЕНИЯ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ФУНКЦИОНАЛЬНО-ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ОПЕРАТОРА С ИНТЕГРАЛЬНЫМ ГРАНИЧНЫМ УСЛОВИЕМ

01.01.01 - математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0 5 ДЕК»

Саратов 2008

003456421

Работа выполнена на кафедре дифференциальных уравнений и прикладной математики механико-математического факультета Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Хромов Август Петрович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

доцент Платонов Сергей Сергеевич кандидат физико-математических наук Бурлуцкая Мария Шаукатовна Ведущая организация: Самарский государственный университет

Защита состоится« 18 » декабря 2008 года в 16 ч. 30 мин. на заседании диссертационного совета ДМ 212.243.15 при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83, СГУ, механико-математический факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан « '¡3^ » ноября 2008 года.

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физико-математических наук, доцент

/¿^уп В.В. Корнев

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Многие вопросы построения и исследования математических моделей физических явлений приводят к задачам спектрального анализа самосопряженных и несамосопряжеиных операторов, т.е. исследованию спектра и разложению заданной функции в ряд по собственным и присоединенным функциям (в дальнейшем с.п.ф.) оператора. В связи с развитием квантовой механики, при решении многих задач которой спектральный анализ является основным математическим аппаратом, в последние десятилетия интерес к спектральной теории велик, и в ее развитии достигнуты значительные успехи.

Большое внимание в спектральной теории уделяется вопросам равносходимости разложений по с.п.ф. операторов и по известным системам функций. Начало исследований по равносходимости было положено в работах В.А. Стеклова, Е. Гобсона А. Хаара для случая дифференциального оператора Штурма-Лиувилля; а также Я.Д. Тамаркина, М. Стоуна для дифференциального оператора произвольного порядка с произвольными краевыми условиями (на базе асимптотических формул для собственных значений и собственных функций, полученных Дж, Бирк-гофом). Большой в клад в развитие этих вопросов внесли отечественные математики В.А. Ильин, A.M. Седлецкий, А. П. Хромов, А.А. Шкаликов и др.

Данная работе также посвящена исследованию равносходимости разложений по с.п.ф. (с тригонометрическим рядом), а также исследуются равномерная сходимость разложений по с.п.ф. к разлагаемой функции (аналог теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических

рядов) и вопросы сходимости средних Рисса вида1, 2

-¿ J gMRxfdX, (1)

|А|=г

(где R\f - резольвента рассматриваемого оператора, г такие, что на окружности |А| = г нет собственных значений рассматриваемого оператора), которые обобщают рассматриваемые М. Стоуном средние Рисса спектральных разложений

-¿/O-í)*^ (с>о)-

|А|=г

В настоящей диссертационной работе рассматривается оператор L, порожденный функционально-дифференциальным выражением

1{у) = /У(я) +1/(1 - х) + pi(x)y(x) + Р2(х)у{1 -х), х 6 [0,1], (2)

где 01 ф 1, Pj(x) 6 С1 [0,1] (j = 1,2), и интегральным граничным условием

1

U(y) = Jp{t)y(t)dt = О, = (3)

о

где 0 < Q < 1, k(t) € С[0,1] П V[0,1] 3, и удовлетворяет

(fc2(0) - 7V(1)) (k2(l) - 72кЩ ф 0, 7 = Р ~ VW^Í.

1 Гургеич А.П. Суммируемость по Риссу разложений спектральных разложений одпого класса интегральных операторов |Текст] / А.П. Гуревич, А.П. Хромов // Дифференд. уравнения. - 2001. - Т. 37, № 6. - С. 809-814.

2Гуревт А.П. Суммируемость по Риссу разложений по собственным функциям интегральных операторов [Текст] / А.П. Гуревич, А.П. Хромов // Известия ВУЗов. Сер. Математика. - 2003. -№ 2(489). - С. 24-35.

'Здесь и в дальнейшем запись k(t) е C¡0,1] П V[0,1] означает, что функция í:(í) непрерывна на [0,1] и является на этом отрезке функцией ограниченной вариации.

Оператор (2) с общим краевым условием U(y) = 0 относится к классу функционально-дифференциальных операторов с инволюцией t?(x) = = 1 — х, которая порождает оператор отражения Sy(x) = y(l — х). Операторы, содержащие оператор отражения, имеют давнюю историю и интенсивно исследуются в настоящее время (Ch. Babbage, Ch. Dunkl, A.A. Андреев, C.C. Платонов и др.) Наиболее полно эти операторы, возникающие в различных спектральных задачах (в частности, при изучении разложений по с.п.ф. интегральных операторов, ядра которых имеют разрывы на диагоналях и кодиагоналях4,5), изучены А.П. Хромовым и его учениками.

Рассматриваемый функционально-дифференциальный оператор (2) замечателен своими свойствами: выступает как обобщение квадратного корня из оператора у"{х) (главная часть рассматриваемого оператора /о (у) — ßif{x) + j/(l — х) обладает тем свойством что Iq (lo(y)) = = (ß2 — l) у"{х))\ другое достоинство рассматриваемого оператора состоит в том, что он представляет собой интересный частный случай системы Дирака.

Граничное условие (3) было впервые введено и изучено А.М. Сед-

лецким 6. A.M. Седлецкий рассматривал разложения суммируемой функ-

Г т — 11 00

ции в ряд Фурье по системе Е\ — j {хкегХ*х}к20 } t, где А = {Ai}^Li -занумерованная в порядке неубывания модулей последовательность кор-

4Хромов А.П. Об обращении интегральных операторов с ядрами, разрывными на диагоналях [Текст] / А.П. Хромов // Матем. заметки. - 1998. - Г. 64, № 6. - С. 932-942.

L Корпев В.В О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с ядрами, допускающими разрывы производных на диагоналях [Текст] / B.B. Корне», А.П. Хромов // Матем. сб. - 2001. - Т. 192, Л"' 10. - С. 33-50.

6 Седлецкий A.M. О равносходимости и равносумммируемости негармонических разложений Фурье с обычными тригонометрическими рядами (Текст) / А.М. Седлецкий // Матем. заметки. -1975. -Т. 18. - » 1. - С. 9-17.

ней целой функции L(z) — f etztdcr(t), тп - кратность А„. Порождающая

—а

мера dcr(t) имеет вид

, k{t)dt k{t)dt

a S (0,1), var k{t) < oo, к (a — 0) j= 0, fc(-a-f 0) ф 0. Ранее в литературе этот случай не рассматривался, его исследование связано с преодолением значительных трудностей. С точки зрения спектральной теории операторов A.M. Седлецким была рассмотрена задача разложения функции из L\ [—7Г,7г] в ряд Фурье по с.п.ф. оператора дифференцирования

a

с граничным условием / у(х) da(x) = 0. Граничное условие (3) заменой

—а

т = 1/2 — t приводится к виду, рассматриваемому A.M. Седлецким.

А.П. Хромовым7 был изучен оператор (2),(3) при р\ (х) =р2(х) = = 0. Для него был получен аналог теоремы Жордана-Дирихле из теории тригонометрических рядов. Оказалось возможным добавить потенциалы {функции Pj(x), j — 1,2), которые создают значительные трудности при изучении сходимости разложений по с.п.ф.

Цель работы состоит в том, чтобы для функционально-дифференциального оператора (2) с интегральным граничным условием (3), весовая функция которого имеет степенную особенность, доказать теорему равносходимости разложений по с.п.ф. и в обычный тригонометрический ряд Фурье, получить аналог теоремы Жордана-Дирихле и исследовать суммируемость обобщенных средних Рисса этого оператора.

Методы исследования. Основной метод, применяемый в работе, - это метод Коши-Пуанкаре интегрирования резольвенты рассматриваемого оператора по расширяющимся контурам в комплексной плоско-

1 Хромав А.П. Об аналоге теоремы Жордана-Дирихле для разложений по собственным функ-

циям дифференциально-разностного оператора с нтегральньга граничным условием [Текст] /

А.П. Хромов // Докл. РАЕН. - 2004. - № 4. - С. 80-87.

сти спектрального параметра. При этом широко используются результаты из теории функций вещественной и комплексной переменной, функционального анализа.

Научная новизна. Основные результаты работы являются новыми и состоят в следующем:

1) Сформулирована и доказана теорема равносходимости разложений произвольной суммируемой функции по с.п.ф. функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием, весовая функция в котором имеет степенную особенность, и разложений в тригонометрический ряд Фурье (внутри отрезка).

2) Получен аналог теоремы Жордана-Дирихле равномерпой сходимости (на всем отрезке) разложений по с.п.ф. функционально-дифференциального оператора со степенной особенностью в граничном условии к разлагаемой функции.

3) Найдены условия на функцию /(х), обеспечивающие равномерную сходимость к ней (на всем отрезке) обобщенных средних Рисса функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием, весовая функция в котором имеет степенную особенность.

Практическая и теоретическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут найти применения в спектральной теории несамосопряженных операторов, при рассмотрении граничных условий со степенными особенностями.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались и обсуждались на объединенном научном семинаре математических кафедр СГУ (под руководством профессора А.П. Хромова), на Воронеж-скойзимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (Воронеж, 2005), на Воронежских весенних

математических школах "Понтрягинские чтения - XVI, - XIX" (Воронеж, 2005, 2008), на 13й и 14й Саратовских зимних школах "Современные проблемы теории функций и их приложения" (Саратов, 2006, 2008), на апрельских конференциях сотрудников механико-математического факультета СГУ "Актуальные проблемы математики и механики" (Саратов, 2005, 2006, 2007, 2008).

Публикации. Основные результаты исследований опубликованы в 7 научных работах [1] [7|. Среди них 1 статья в научном журнале [6], 2 статьи в сборниках научных трудов [3], [5] и 4 тезиса докладов на международных конференциях [1], [2], [4], [7]. 6 работ опубликованы без соавторов. В статье [6] результаты каждого автора имеют свой пункт и не перемешиваются, в диссертацию вошли только результаты, принадлежащие диссертанту.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и списка литературы. Первая и вторая главы разделены на три и два параграфа соответственно. В каждой главе своя нумерация параграфов, определений, лемм, теорем и формул. Общий объем диссертации 117 страниц, из которых 6 страниц занимает список литературы, состоящий из 54 наименований.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность темы, обозначаются направления и методы исследования, приводится обзор результатов по исследуемой теме, описывается структура и краткое содержание основных этапов работы.

Первая глава диссертационной работы посвящена рассмотрению резольвенты оператора L, порождаемого функционально-дифференциальным выражением (2) и интегральным граничным условием (3).

В параграфе 1.1 нахождение резольвенты оператора L, скалярной функции ЯЛ/ = (L — AE)~l f (Е - единичный оператор, Л - комплексный параметр), сводится к решению краевой задачи в пространстве вектор-функций размерности два:

Ви'(х) + Р(х)и(х) = Ли{х) + F(x), х е [0,1],

'' - 1 (4)

U(u) = J N (т) и (т) dr = О, о

где и (х) = (х), и2 (х))Т (Т - знак транспонирования), В — f

\l -ß

р(х) = ( М») Ш J 7 F{x) = (/(l)j/(1_;t))Ti n(t) =

\р2( 1-х) PI (1-х) ) = diag (р (г) ,р (1 — т)). Система (4) есть система Дирака частного вида.

Лемма 1.1. Если А таково, что Rxf существует, то и(х) = = (щ (х) ,«2 (х))г, где щ (х) = Rxf, Щ (х) = щ (1 — х), удовлетворяет системе (4). Обратно: если и (х) удовлетворяет (4) и соответствующая однородная краевая задача имеет только тривиальное решение, то R\f существует и Rxf = щ (х), и2 (х) = щ (1 — х).

Далее проводится диагонализация матрицы В и преобразование и(х) = Qv(x), приводящее краевую задачу (4) к виду

v'{x) + P(x)v(x) = \Dv[x) + F(x), Ü(Qv) = 0, где ?{x) = DQ'lP(x)Q, F(x) = DQ^F(x), Q=\ 7 , D = diag (w, -u

V V

ш = -jL==. Затем проводится преобразование Я (х, Л) = Ho(x) + \Hi(x), #о(х) = diag (hn (х), h'22 (х)), Щ(х) = [ М _ кодиагональ-

\Ых) О J

ная матрица, hjj (х) = ехр /pjj (t) dtj (j = 1,2), hn{x) = ¿pi2(x) ■

• h22(x), k-n(x) = ~^p2i{x)hn{x), рц{х) (i,j = 1,2) - элементы матрицы P(x). Данное преобразование хорошо известно (для дифференциальных уравнений 8 и для систем Дирака 9). После преобразования v(x) = Н (х, А) w(x) краевая задача принимает вид

w'{x) + P\{x)w(x) = XDw(x) + F\(x), Ux (■w) = 0,

где Px(x) = {II~l (x,X) [Н[(х) + P(x)Ih{x)] , Fx(x) = Я"1 (x, X) F(x), U\(w) = U (QH (x,X)w). Заметим, что элементы матрицы Р\(х) допускают оценку O(j), что важно при исследовании асимптотического поведения решения краевой задачи.

Далее, в рассмотрение вводится вспомогательная краевая задача

z'(x) = XDz(x) + Ф(я), х 6 [0,1], Ux (z) = 0, (5)

где г(х) = (zi(i), z2{x))T, Ф(х) = (^(¡с), <pj(x) € h[0,1] (j = 1,2).

Пусть Л таково, что обратима матрица Д(А) = U\ (Z) := (Ux (Z\), Ux (Z2)) 1 Zj (x, X) (j = 1,2)- столбцы матрицы Z (x, Л) = diag (e^1, e_Awx) . Тогда решение (5) задается формулой:

Я1,дФ = J9о (х, t, Л) Ф(0 dt-Z (х, А) A~l(\)Ux (j до (х, t, А) Ф(4) dtj ,

где д0 (х, f, Л) = diag (gi (х, t, Л), д2 (х, L, А)), -e(i, при Re Aw > 0

gi(x,t,X) =

s(x, t)eau(x-'> при Re Xuj < 0

8Ралопорт И.М. О некоторых асимптотических методах в теории дифференциальных уравнений. [Текст] / И.М. Рапопорт. - Киев: Изд-во АН УССР, 1954.

9Хромое А.П. О равносходимости разложений по собственным функциям интегральных операторов с переменными пределами интегрирования [Текст] / А.П. Хромов // Интегральные преобразования и специальные функции. Информационный бюллетень. - 2006. - Т. 6, № 1. - С. 46-55.

д2(х,г,Х) = <

е(х, ПрИ Яе Ас; > О

-е(г,х)е-Хи^ при 11е Аш < О

е(х, £) = <

1 при < < х

- функция Хевисайда.

О при I > х

В параграфе 1.2 с помощью метода, разработанного А.П. Хромовым и О.И. Амвросовой 10,111 приводится необходимое изучение некоторых интегралов при больших значениях параметра, базирующееся на асимптотике функции типа Миттаг-Леффлера. С опорой на эти исследования, в параграфе 1.3 получаются оценки второго слагаемого в формуле для Я1>ЛФ при |А| —> оо. Справедливо утверждение

Лемма 1.24. В области Б = и 5г при больших значениях |А| имеют место оценки

где ||'||1 и Ц-Ц^ понимаются как нормы в пространстве вектор-функций размерности два Ь\ и Ь00 соответственно,

(5г) - область, получающаяся из полуплоскости ТЬг > 0 (ИеАа; < 0) удалением всех нулей функции ао+ах е~'ЛаЧ-а2 е~г>ш (&о + еА" + 62 е2Лы)

10 Амвросова О.И. Асимптотика собственных значений и теоремы равносходимости для операторов со степенными особенностями в краевых условиях [Текст] / О.И. Амвросова Сб. "Функциональный анализ". // Ульяновск, 1983. - Вып. 21. - С. 3-11.

п Амвросова О.И Теоремы равносходимости для операторов со степенными особенностями в краевых условиях [Текст]: Автореф. дне. на соиск. учен. стен. канд. физ.-мат. наук / О.И. Амвросова. -Саратов, 1985. - 13 с.

ИД^ФЦ, = о(*(А) ИФИЛ, пади = о (!№)

*(Л)=<

НеЛи>

ИеЛи

при ЯсА^О, ■5^(1-1^1) при ЯеАо; < О,

вместе с круговыми окрестностями одного и того оке достаточно малого радиуса ¿! (&), где <ю - Лц(1) {к2( 1) - 72^(0)) , &2 = (—1)г(в-1,а0,

01 = 61 = (-1)<-1(1 -72Жо)ед(1 + Лп(1)М1)), «2 = (-1)*°-%, Ьо = М1) (^2(0) — у2к2(1)).

В параграфе 1.3 получено представление для резольвенты Дд/.

Теорема 1.1. Резольвента оператора (2), (3) является первой компонентой вектора С^Н (х, А) МдД^д/'д, М\ = (Е + Л^дРд)-1.

Вторая глава посвящена получению теоремы равносходимости разложений произвольной суммируемой функции по с.п.ф. функционально-дифференциального оператора (2) с интегральным граничным условием (3), весовая функция в котором имеет степенную особенность, и разложений в тригонометрический ряд Фурье (внутри отрезка).

В параграфе 2.1 с использованием оценок для Д^дФ проводятся вспомогательные рассуждения и доказывается

Теорема 2.1. Для любой функции /(ж) € ¿1 [0,1] справедливо соотношение

Цщ

Г 'С Х-

I дн(х, А) (мА л,, Л ^А (х) - Яи\НцХ (х) Ё (х)) й\ |А|=г

= 0.

Данное соотношение является ключевым моментом при доказательстве теоремы равносходимости.

В параграфе 2.2 в рассмотрение вводится вспомогательная краевая задача с периодическим краевым условием:

г'(х) = А£>2(х) + Ф(х), хб[0,1], Щ (г) = г(0) - г(1) = 0, (6)

где г(х) = (г1(х),г2{х))Т, Ф{х) = (^(х), <р2{х))Т, щ{х) 6 ¿х[0,1] Ц = 1,2). Находится решение задачи (5):

Лемма 2.6. Для всех А, таких что Хи ф 2тгij, где г - мнимая единица, j € Z, краевая задача (6) однозначно разрешима и ее решение задается формулой

Да, лФ = J 9о i, Л) Ф (i) rfi-Z (х, Л) 1 (Л) f70 ^J g0 (х, t, А) Ф (t) Лj , где До (А) = i/o {Z).

Заметим, что Я2,лФ = (Дд^ь ^aJ^, ), где = (¿о - ЛЯ)-1 -резольвента оператора Lo, порожденного у' и периодическим краевым условием 2/(0) — у(1) = 0.

Теорема 2.2 (теорема равносходимости). Для любой функции f (х) £ Li [0,1] и для любого <5 € (0,1/2) имеет место соотношение

Нш || Sr (/,*) - <rrM {f,x) ||С|41М = 0,

где Sr (/, х) - частная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора L для собственных значений, попавших в круг |А| < г, 0r\u\(fix) ~ частная сумма тригонометрического ряда Фурье по системе экспонент {exp2irijx}^^_00 для тех j, для которых 2ir\j\ < г|ш|.

В третьей главе доказан аналог теоремы Жордана-Дирихле равномерной сходимости (на всем отрезке) разложений по с.п.ф. функционально-дифференциального оператора (2) с интегральным граничным условием (3) к разлагаемой функции.

Теорема 3.1. (аналог теоремы Жордана-Дирихле) Пусть

1

функция f(x) € С [0,1] Г) V [0,1] и U (/) = [р (т) / (г) dr = 0. Тогда

о

выполнено соотношение

lim \\f(x)-Sr(f,x) [|с[ид! = 0, г—»00 1 1

где Sr(f,x) - частная сумма ряда Фурье по с.п.ф. оператора L для собственных значений, попавших в круг |А( < г.

В четвертой главе найдены условия на функцию /(х), обеспечивающие равномерную сходимость к ней (на всем отрезке) обобщенных средних Рисса вида (1), где R\f - резольвента оператора L, д(Х,г) удовлетворяет следующим условиям: 1) д(Х,г) непрерывна по А в круге |А| < г и аналитична по А в круге |А| < г при любом г > 0; 2) существует такая константа С > 0, что Iff (А, г) | < С при всех г > 0 и |А| < г; 3) существует £ > 0, что

ff(reiare\г) =

о ((í-«)')•

0 < в < §, f < в < ж,

7T<0<f,

f < в < 2тГ,

гдев — aigAcj.

: о ((*-*)<),

4) д (А, г) —1 при г —* оо и фиксированном А.

Для рассуждений, проводимых в этой главе, оценки, полученные ранее оказываются недостаточными. Следуя работам A.M. Седлецко-го 12'13, оценки получаются с помощью другого метода, базирующегося уже не на асимптотике финкций типа Миттаг-Леффлера, а на применении аппарата функций свертки.

Теорема 4.1. Для функции f(x) е С [0,1] и удовлетворяющей i

граничному условию U (/) = f р (г) f (т) dr = 0 выполняется соотно-

о

шение

lim

г~*оо

/(x) + ¿ / aMRjdX

|A|=r

= 0.

С[0,1]

12 Седлщкпй A.M. Аналитические преобразования Фурье и экспоненциальные аппроксимации, П. (Текст] / A.M. Седдецкий // Современная математика. Фундаментальные направления. - Т. 6, 2003. - 162 с.

13 Седлецкий A.M. Классы аналитических преобразований Фурье и экспоненциальные аппроксимации (Текст) / A.M. Седтецкий. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 504 с.

Автор выражает искреннюю признательность и глубокую благодарность своему научному руководителю профессору А.П. Хромову за постановку задачи и постоянное внимание к работе.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 0601-00003.

Публикации автора по теме диссертации

[1] Луконина A.C. О равносходимости разложений по собственным и присоединённым функциям одного дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием [Текст] / A.C. Луконина // Современные методы теории функций и смежные проблемы: Материалы Воронежской зимней математической школы. - Воронеж: ВГУ, 2005. -С. 149.

[2] Луконина A.C. Асимптотические оценки для решения одной краевой задачи с интегральным граничным условием [Текст] / A.C. Луконина // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понтрягинские чтения -XVI". - Воронеж: ВГУ, 2005. - С. 101-102.

[3] Луконина A.C. О сходимости разложений по собственным и присоединённым функциям одного дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием [Текст] / A.C. Луконина Математика. Механика: Сб. науч. тр. // Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2005. -Вып. 7. - С. 66-69.

[4] Луконина A.C. О суммируемости по Риссу спектральных разложений дифференциально-разностного оператора с интегральным граничным условием [Текст] / A.C. Луконина // Современные проблемы теории функций и их приложения: Тезисы докладов 13-й Саратовской зимней школы. - Саратов: "Научная книга", 2006. - С. 109.

[5] Луконина A.C. О суммируемости по Риссу спектральных разложений одного функционально-дифференциального оператора с интегральным граничным условием [Текст] / A.C. Луконина Математика. Механика: Сб. науч. тр. // Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 2006. - Вып. 8. -С. 69-72.

[6] Бурлуцкая М.Ш. Функционально-дифференциальный оператор с инволюцией [Текст] / М.Ш. Бурлуцкая, В.П. Курдюмов, A.C. Луконина, А.П. Хромов // Доклады Академии наук. - 2007. - Т. 414, № 4. -С. 443-446.

[7] Луконина A.C. Об асимптотике собственных значений функционально-дифференциального оператора с иптегральным граничным условием {Текст] / A.C. Луконина // Современные методы теории краевых задач: Материалы Воронежской весенней математической школы "Понт-рягинские чтения - XIX". - Воронеж: ВГУ, 2008. - С. 131-132.

Работа [6] соответствует списку ВАК РФ.

Подписано в печать 14.11.2008 Формат 60x84 1/16. Бумага офсетная. Гарнитура Times New Roman. Печать RISO. Объем 1,0 печ. л. Тираж 120 экз. Заказ № 102.

Отпечатано с готового оригинал-макета Центр полиграфических и копировальных услуг Предприниматель Серман Ю.Б. Свидетельство № 3117 410600, Саратов, ул. Московская, д. 152, офис 19, тел. 26-18-19,51-16-28