Размерности коммутативных подалгебр и подгрупп в конечномерных алгебрах и нильпотентных группах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 512.544.33+512.554.3+512.552+512.812

МИЛЕНТЬЕВА Мария Владимировна

РАЗМЕРНОСТИ КОММУТАТИВНЫХ ПОДАЛГЕБР И ПОДГРУПП В КОНЕЧНОМЕРНЫХ АЛГЕБРАХ И НИЛЬПОТЕНТНЫХ ГРУППАХ

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва — 2006

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор А.Ю. Ольшанский

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Н.С. Романовский кандидат физико-математических нау доцент Ю.С. Семенов

Ведущая организация: Тульский педагогический

государственный университет им. Л.Н. Толстого (ТПГУ)

Защита диссертации состоится 16 июня 2006 года в 16 часов 15 минут на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан 16 мая 2006 года.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук, профессор

В.Н. Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Исследование коммутативных подгрупп и подалгебр является одной из классических алгебраических задач, вызывавшей интерес ученых уже в начале прошлого века. И. Шуром1 в 1905 году были найдены абелевы подгруппы максимальной размерности группы всех невырожденных матриц. Этот результат был перенесен А.И. Мальцевым на произвольные полупростые группы. В его работе2 1945 года найдены коммутативные подалгебры максимальной размерности всех простых комплексных алгебр Ли.

Целая серия работ посвящена исследованию абелевых подгрупп максимального порядка в простых конечных группах. В нескольких последовательных статьях Барри и Уонг3,4' 5' 6 получили порядки и строение унипотентных абелевых подгрупп максимального порядка в классических конечных группах Шевалле. Далее, в работе Е.П.Вдовина7 были найдены верхние оценки порядков абелевых подгрупп во всех конечных простых группах. В последующих работах этого автора 8' 9 найдены порядки больших унипотентных абелевых подгрупп в максимальных унипотентных подгруппах конечных исключительных групп Шевалле, и завершено описание абелевых подгрупп максимального порядка в конечных группах Шевалле.

1 Schur I. Zur Tkeorie der vertauschbaren Matrizen Journ Reine Angew Math , 130(1905), 66-76.

^Мальцев А.И. Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли М , Известия АН СССР, сер. матем., 9(1945), № 4, 291-300.

3Ваггу M.J.J. Large Abelian subgroups of Chevalley groups. J Austral Math. Soc., Ser. A, 27(1979), № 1, 59-87.

4Barry M.J.J., Wong W.J. Abelian 2-subgroups of finite symplectic groups in characteristic 2. J. Austral. Math. Soc., Ser. A, 33(1982), Ms 3, 345-350.

5WongW.J. Abelian unipotent subgroups of finite orthogonal groups J Austral Math Soc, Ser. A, 32(1982), № 2, 223-245.

®Wong W.J. Abelian unipotent subgroups of finite unitary and symplectic groups, J. Austral Math. Soc., Ser. A, 33(1983), № 3, 331-344.

7Вдовин Е.П. Порядки абелевых подгрупп в конечных простых группах. Алгебра и Логика, 38(1999), № 2, 131-160.

8Вдовин Е.П. Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных группах Шевалле Мат. Заметки, 69(2001), № 4, 524-549

9Вдовин Е.П. Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Шевалле. Алгебра и Логика, 40(2001), М? 5, 523-544. ___

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА 1 С.-Петербург

ОЭ 200£актУ£ У

В работах Брауна и Колла10, Куртера11 и Паза12 изучались максимальные коммутативные подалгебры матричных алгебр.

Функцию, ограничивающую минимальное число порождающих конечной р-группы в зависимости от числа порождающих ее абе-левых подгрупп, или близкую к ней функцию F, такую что jf^ — максимально возможный порядок конечной р-группы, у которой порядок любой абелевой подгруппы не превосходит рп, рассматривали Бернсайд13, Альперин14, Томпсон15 и Паттерсон16. Наконец, А.Ю. Ольшанским17 было установлено, что порядок роста этих функций квадратичен.

В 1982 Дж. Уилсоном в "Коуровскую тетрадь"18 был записан вопрос о взаимоотношении между рангом без кручения конечно порожденной нильпотентной группы и рангами ее абелевых подгрупп (вопрос 8.76). В издании "Коуровской тетради"19 1992 года этот вопрос был сформулирован им более строго: "Дать реалистическую верхнюю оценку для ранга без кручения конечно порожденной нильпотентной группы в терминах рангов ее абелевых подгрупп. Более точно, для каждого целого тг обозначим через /(п) наибольшее целое число h, для которого существует такая конечно порожденная нильпотентная группа ранга без кручения h, что ранги без кручения всех ее абелевых подгрупп не превосходят п. Легко заметить, что число /(п) ограничено сверху величиной Описать поведение f(n) при больших п. Ограничена ли функция

10BrownW.C., Call F.W. Maximal commutative subalgebras of пуп matrices. Comm. Algebra, 21(1993), Mb 12, 4439-4460.

"Courter R.C. The dimensions of maximal commutative subalgebras of Kn. Duke Math. J , 32(1965), 225-232.

12Paz A. An application of the Cayley-Hamilton theorem to matrix polynomials in several variables. Linear and Multilinear Algebra, 15(1984), 161-170.

13Bumside W. On some properties of groups whose orders are powers of primes Proc London Math. Soc., 11(1912), >fe 2, 225-245.

14A!perin J.L. Large abelian subgroups of p-groups. Trans Amer Math. Soc., 117(1965), № 5, 10-20.

15Huppert B. Endliche Gruppen, I, Berlin - New York, Springer-Verlag, 1967, стр. 343.

lePatterson (Mac Williams) A.R. The minimal number of generators for p-subgroups of GL(n,p). J. Algebra, 32(1974), № 1, 132-140.

17Олыпавский А.Ю. К вопросу о числе порождающих и порядках абелевых подгрупп конечных р-групп. Мат. Заметки, 23(1978), № 3, 337-341.

1ЯКоуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). 8-е изд , ред • Мазуров В Д , Мерзляков Ю.И., Чуркин В.А , Новосибирск, Институт математики, 1982.

™Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). 12-е изд., ред ■ Мазуров В.Д , Хухро Е.И., Новосибирск, Институт математики, 1992.

/(п) снизу нелинейной квадратичной функцией от п?"

Стандартные примеры конечно-порожденных нильпотентных групп без кручения, такие, как свободные конечно-порожденные нильпотентные группы, группы унитреугольных матриц и группы Гайзенберга дают только линейную оценку снизу для функции /(п). Тем не менее, в диссертации получен положительный ответ на последний вопрос Уилсона, то есть приведена конкретная нижняя квадратичная оценка для /(п). Также в диссертации рассматриваются аналоги функции /(п) для алгебр и групп Ли и ассоциативных алгебр, и доказывается их квадратичный порядок роста. Особое внимание уделяется нильпотентным ступени 2 группам и алгебрам.

Цель работы

Цель настоящей работы состоит в исследовании зависимости между размерностью алгебры или группы и размерностями ее коммутативных подалгебр или, соответственно, подгрупп для различных алгебраических структур, таких как группы и алгебры Ли, ассоциативные алгебры и конечно порожденные нильпотентные группы.

Методы исследования

В диссертации используются методы и результаты теории нильпотентных групп, теории групп и алгебр Ли и теории ассоциативных алгебр, а также метод подсчета размерностей многообразий, разработанный в алгебраической геометрии. Особенностью метода исселдования является доказательство "общности" или "типичности" класса нужных алгебраических объектов, в то время как явное построение требуемых серий примеров представляется весьма затруднительным.

Научная новизна

Полученные в диссертации результаты являются новыми. Основные результаты состоят в следующем:

• Дана нижняя квадратичная оценка для ранга без кручения конечно порожденной нильпотентной группы в терминах рангов ее абелевых подгрупп.

• Доказано, что функции, ограничивающие размерность ниль-потентных ступени 2 ассоциативных алгебр (алгебр Ли) над произвольным полем, у которых ограниченны размерности коммутативных подалгебр, имеют квадратичный порядок роста. Аналогичный результат получен для нильпотентных ступени 2 комплексных групп Ли.

• Вычислено точное значение функций, ограничивающих размерность конечномерных нильпотентных ступени 2 ассоциативных алгебр (алгебр Ли) над алгебраически замкнутым полем, у которых ограничены размерности коммутативных подалгебр. Аналогичный результат получен для нильпотентных ступени 2 комплексных групп Ли.

• Установлено, что функции, ограничивающие размерность конечномерных ассоциативных алгебр (алгебр Ли) в зависимости от размерности их коммутативных подалгебр, имеют квадратичный рост. Как следствие, получены также аналогичные оценки для размерности группы Ли с ограниченными размерностями абелевых подгрупп Ли.

Теоретическая и практическая ценность

Работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут найти применения в различных разделах алгебры.

Апробация результатов

Основные результаты работы неоднократно докладывались на следующих семинарах МГУ им. М.В. Ломоносова: на "Научно-исследовательский семинаре по алгебре", на семинаре "Теория групп" под руководством профессоров Шмелькина А.Л., Ольшанского А.Ю. и доцента Клячко A.A. и на семинаре "Группы Ли и теория инвариантов" под руководством профессоров Винберга Э.Б.

и Онищика А.Л.; а также на "Topology & Group Theory Seminar" университета Vanderbilt (Нэшвилл, США, 2004 г.), на Международной алгебраической конференции, посвященной 250-летию Московского университета и 75-летию кафедры высшей алгебры, (Москва, 2004 г.) и на Международной алгебраической конференции "К 100-летию со дня рождения П.Г. Конторовича и 70-летию Л.Н. Шеврина" (Екатеринбург, 2005 г.)

Публикации

Результаты диссертации опубликована в 4 работах автора, список которых приводится в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения, четырех параграфов, списка литературы и списка основных обозначений. Для удобства основные определения и теоремы собраны в начале каждого параграфа в отдельный пункт. Полный объем диссертации — 74 страницы. Библиография включает 37 наименований.

Краткое содержание работы

Во введении отражена история вопросов, рассмотренных в диссертации, приведены обзор результатов, полученных в работе, и некоторые идеи их доказательства.

В параграфе 1 расположены теоремы о вполне изотропных подпространствах набора билинейных кососимметрических форм, играющие ключевую роль при доказательстве большинства основных результатов.

Пусть V — некоторое векторное пространство, и пусть — билинейная кососимметрическая форма на V. Подпространство U С V называется вполне изотропным относительно формы </?, если сужение <р на U тождественно равно нулю.

А.Ю. Ольшанским было доказано следующее утверждение (см. сноску [17] на с. 2).

Утверждение 1.1. Пусть числа к, t и п таковы, что

2п < г(к - 1),

и пусть К — некоторое конечное поле. Тогда существует набор Ф — {<£>1,..., билинейных кососимметрических форм на п-мерном пространстве V над К такой, что никакое к-мерное подпространство из V не является вполне изотропным для всех форм одновременно.

В §1 доказывается несколько усиленный аналог этого утверждения для бесконечного поля К:

Теорема 1.1. Пусть числа к, Ь и п таковы, что

2п < г(к - 1) + 2к.

И пусть V — п мерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем К. Тогда существует набор Ф — {</?ь • ■ •, <л} билинейных кососимметрических форм на V такой, что никакое к-мерное подпространство не является вполне изотропным для всех форм ,..., одновременно. Более того, для любого фиксированного базиса пространства V и любого бесконечного подмножества Т поля К формы <р-1,... можно выбрать так, что они будут задаваться в этом базисе матрицами с коэффициентами из Т.

Следствие 1.1. Пусть числа к, Ь итг таковы, что

2п < Цк - 1) + 2к.

И пусть V — п-мерное векторное пространство над бесконечным полем К. Тогда существует набор Ф — {<¿>1,...,^} билинейных кососимметрических форм на V такой, что никакое к-мерное подпространство не является вполне изотропным для всех форм (/?],..., одновременно.

Также в §1 доказывается следующая теорема, которая является, с небольшой оговоркой, обратной к теореме 1.1:

Теорема 1.2. Пусть натуральные числа к, I и п таковы, что

2п > г(к - 1) + 2к, Ь ^ 2.

И пусть V — п-мерное векторное пространство над алгебраически замкнутым полем К. Тогда для любого набора Ф = {<£>ь..., <#} билинейных кососимметрических форм на V существует к-# мерное подпространство пространства V, являющееся вполне

I изотропным для всех форм ..., щ одновременно.

^ Эти теоремы доказываются методом подсчета размерностей

многообразий, используемым в алгебраической геометрии. В пункте 1.2 собраны необходимые предварительные сведения из алгебраической геометрии, а в пункте 1.3 излагаются непосредственно сами доказательства. В конце этого пункта приведен при-4 мер, показывающий, что последняя теорема не верна, если основ-

1 ное поле не является алгебраически замкнутым.

I

г В параграфе 2 рассматриваются нильпотентные группы с огра-

ниченными рангами абелевых подгрупп.

Аналогом понятия размерности в нильпотентных группах служит ранг без кручения, равный для конечно порожденных групп числу бесконечных циклических факторов в полициклическом ряде группы.

Следующая теорема дает положительный ответ на вопрос Уил-сона (см. с. 2):

Теорема 2.1. Функция /(п) удовлетворяет неравенству

п2- 1

Интересно, что примеры групп "большого" ранга с "маленькими" абелевыми подгруппами находятся уже среди нильпотентных

ступени 2 групп. То есть теорема 2.1 следует из более сильной теоремы 2.2, в которой даются верхняя и нижняя квадратичные оценки функции /2(п), равной максимальному числу h, для которого существует нильпотентная ступени 2 конечно порожденная группа без кручения полициклического ранга h, не содержащая абелевых подгрупп с рангом большим, чем п.

Теорема 2.2. Для функции f2(n) справедлива следующая оценка:

п2 -1 ^ ,2/ ч —g— + п < /2(п) < — + п.

I

Для доказательства этой теоремы мы используем соответствие между конечно порожденными нильпотентными группами без кручения и наборами целочисленных билинейных кососимметриче- i ских форм. При этом абелевым подгруппам соответствуют вполне изотропные для всех форм из набора Z-подмодули.

Ключевым шагом доказательства теоремы 2.2 является теорема 1.1, суть которой состоит в том, что множество наборов билинейных кососимметрических форм, имеющих "большое" общее 1 вполне изотропное подпространство содержится в некотором замкнутом в топологии Зарисского подмножестве, размерность которого строго меньше размерности пространства всех наборов. По- 1 этому множество наборов, соответствующих группам с "маленькими" коммутативными подалгебрами не пусто. Таким образом, конкретные примеры таких групп не приводятся, а только доказывается их существование.

Верхняя оценка для функции /2(п) получается асимптотически вдвое лучшей, чем для /(п), так что /2(п) имеет достаточно близкие верхнюю и нижнюю оценки.

Строение нильпотентных ступени 2 конечномерных алгебр Ли и ассоциативных алгебр очень схоже со строением нильпотентных ступени 2 конечно порожденных групп. Поэтому можно рассмотреть аналоги функции /2(тг) для этих объектов.

Для каждого целого п будем обозначать через 1\{п) (соответственно а2к(п) или д%(п) ) наибольшее число h такое, что существу-

ет нилытотентная ступени 2 алгебра Ли (ассоциативная алгебра или группа Ли) размерности к над полем К, у которой все коммутативные подалгебры (подгруппы Ли) имеют не превосходящую п размерность. (В случае групп Ли К — в поле комплексных или вещественных чисел.)

Изучению этих функций посвящен параграф 3. Теорема 3.1 является аналогом теоремы 2.2. Она утверждает, что новые функции также имеют квадратичный порядок роста и для них справедливы те же оценки, что и для функции /2(п).

Теорема 3.1. Пусть Н — это одна из функций 12к, а\ или д\. Тогда, если поле К конечно, то к удовлетворяет неравенству

п2 + 4п - 5 п2 -д-< КЩ < + п.

Если же поле К бесконечно, то

Т,I2 — 1 П2

----1- П < Ып) < —- + П.

8 4

Вторая теорема параграфа 3, теорема 3.2, дает формулу для вычисления функций 1%(п), а\(п) и д2к(п) в случае, когда поле К алгебраически замкнуто. Оказывается, что их значение совпадает с нижней оценкой, приведенной в теореме 3.1.

Теорема 3.2. Если поле К алгебраически замкнуто, то определенные выше функции можно вычислить по следующей формуле:

{

Лп-1, 1 < п < 7;

Заметим, что в силу соответствия между подгруппами группы Ли и подалгебрами ассоциированной с ней алгебры Ли, д2к{п) — 1\{п). Также, проводя аналогию между способом задания нильпотентных ступени 2 ассоциативных алгебр и алгебр Ли наборами билинейных форм, нетрудно показать, что а2к(п) = 1х(п). Два этих равенства доказываются в пункте 3.2. Исходя из них,

теоремы 3.1, 3.2 остается доказать только для случая алгебр Ли (пункт 3.3). Доказательство первой из них переносится со случая конечно порожденных нильпотентных групп практически дословно. Во второй для получения верхней оценки, совпадающей с уже известной нижней, используется теорема 1.2 о существовании "достаточного большого" общего вполне изотропного подпространства набора билинейных кососимметрических форм, которая является обращением теоремы 1.1. Как и в теореме 1.1 такое подпространство не предъявляется явно, а только показывается его существование.

В параграфе 4 рассматриваются аналоги выше определенных функций для произвольных ассоциативных алгебр, алгебр с единицей и алгебр и групп Ли.

Для каждого целого п будем обозначать через 1к(п) (соответственно ак(п), а1к{п) или дк(п)) наибольшее число Н такое, что существует алгебра Ли (ассоциативная алгебра, алгебра с единицей или группа Ли) размерности /г над полем К, у которой все коммутативные подалгебры (подалгебры с единицей, подгруппы Ли) имеют не превосходящую п размерность. (Здесь также, как и выше, в случае групп Ли К — поле комплексных или вещественных чисел.)

Формально, из определения не следует, что данные функции заданы корректно, так как они не обязаны принимать конечные значения. Тем не менее, в §4 показано, что в случае поля комплексных или вещественных чисел, а также в некоторых других случаях они конечны и, более того, имеют квадратичный порядок роста. Более точно, верхние квадратичные оценки получены для вещественных и комплексных алгебр и групп Ли и для ассоциативных алгебр, в том числе и алгебр с единицей, над алгебраически замкнутым полем или полем нулевой характеристики. А нижние квадратичные оценки справедливы для каждой из только что определенных функций и для любого поля К.

Теорема 4.1. Определенные выше функции имеют квадратичный порядок роста. Точнее, справедливы неравенства;

n2 - 1 n2 + 17n —— + n ^ ic(n) <-^-;

n2 - 1 ^ , . n2 + 17n —g— + n ^ flc(n) ^---;

n2 — 1 ^ / \ ^ «2 —---h n ^ ac(n) < — + 5n;

2n2 + n ^ ZR(n) < 4n2 + 18n; 2n2 + n < дц(п) < 4n2 + 18n; n2 - 1 „ , , . n2

■ 4- n < oR(n) ^ — + 5n;

если поле К имеет нулевую характеристику, то

, . ^ Зп2 + п оаг(П) <

2 ' ! . Зп2 + П ак(п) < —2—'

если иоле К алгебраически замкнуто, то

ак{п) ^ у + 5п, п2

ая(п) < у + 5п; если поле К конечно, то

I / \ п* + 4п ~ 5

i*(n) ^-g-,

. . ^ п2 + 4п - 5

Ойг(п) >---,

! п2 + 2п

> —g—;

если поле К бесконечно, то

п2 - 1 h{n) > + п,

п2 -1

«И") ^ —g— + п, \ ^ п2 + 6п

W) > —g—• 11

Очевидно, что также, как и в случае нилыютентных ступени 2 групп и алгебр, функции для групп Ли и для алгебр Ли над одним и тем же полем совпадают (предложение 4.1), а оценки для алгебр с единицей следуют из оценок для произвольных ассоциативных алгебр (теоремы 4.4' и 4.6). Поэтому основными являются случаи алгебр Ли и ассоциативных алгебр.

Естественно, нижние квадратичные оценки, по определению, следуют из аналогичных оценок для нильпотентных ступени 2 алгебр. Для вещественных алгебр Ли оценку можно улучшить, используя в качестве примеров "больших" алгебр с "маленькими" размерностями коммутативных подалгебр простые вещественные алгебры Ли (теорема 4.5). Отметим, что для комплексных алгебр Ли этого сделать невозможно, так как для полу простых комплексных алгебр существует линейная зависимость между размерностью алгебры и размерностями ее максимальных абелевых подалгебр (лемма 4.4).

Для получения верхних оценок используются стандартные результаты о строении алгебр и групп Ли, такие как классификация простых алгебр, теоремы о разложении алгебр в полупрямую сумму полупростой и разрешимой подалгебр и т.д.

Структура этого параграфа следующая. В пункте 4.2 доказываются верхние квадратичные оценки для случая комплексных алгебр и групп Ли, в пункте 4.3 — для вещественных алгебр и групп Ли, а в пункте 4.4 — для ассоциативных алгебр. В последнем пункте 4.5 расположены доказательства нижних квадратичных оценок для функций 1ц(п) и ахк(п), не следующих непосредственно из полученных ранее.

Вопрос о точной асимптотике изучаемых функций, т.е. о вычислении предела ^ при та —» оо, пока остается открытым. (Исключение составляют функции, вычисленные в теореме 3.2.)

Пользуясь случаем, автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, профессору А.Ю. Ольшанскому за постановку задачи и постоянное внимание к данной работе, доктору физико-математических

наук профессору Шмелькину А.Л. за внимание к работе, а также доктору физико-математических наук, профессору Куликову В.С, кандидату физико-математических наук, доценту Кляч-ко A.A., кандидату физико-математических наук, доценту Аржан-цеву И.В., кандидату физико-математических наук, доценту Ти-машеву Д.А., кандидату физико-математических наук Гутерма-ну А.Э., кандидату физико-математических наук Вдовину Е.П. и кандидату физико-математических наук Миносяну А. за полезные обсуждения.

Работы автора по теме диссертации

[1] Милентьева М.В. О размерностях коммутативных подалгебр и подгрупп в нилъпотентных ступени 2 алгебрах и группах Ли. МГУ, М., 2006, 20 с. Деп. в ВИНИТИ 13.01.2006 № 28-В2006.

[2] Милентьева М.В. О размерностях коммутативных подалгебр и подгрупп. Фундаментальная и Прикладная Математика, 12(2006), № 2, 90-102.

[3] Milenteva M.V. On the torsion-free ranks of finitely generated nilpotent groups and of their abelian subgroups. J. Group Theory, 7(2004), № 3, 403-408.

[4] Милентьева М.В. О размерностях коммутативных подалгебр и подгрупп. Международная алгебраическая конференция: К 100-лелтию со дня рождения П.Г. Конторовича и 70-летию Л.Н. Шеврина, Тез. докл. - Екатеринбург: Изд-во Урал, ун-та, 2005, 63-65.

Р1 15 0 5

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать

Формат 60 х 90 I /16 . Усл. печ л.

Тираж 100 экз. Заказ

Введение

1 Вполне изотропные подпространства набора билинейных

• кососимметрических форм

1.1 Определения и формулировка результатов.

1.2 Предварительные сведения об алгебраических многообразиях

1.3 Доказательство теорем 1.1 и 1.2.

2 Конечно порожденные нильпотентные группы

2.1 Определения и формулировка результатов.

2.2 Нижняя оценка функции /2(п).

• 2.3 Верхняя оценка функции /2(п).

3 Нильпотентные ступени 2 алгебры и группы Ли

3.1 Определения и формулировка результатов.

3.2 Сведение теорем 3.1 и 3.2 к случаю нильиотентных ступени 2 алгебр Ли.

3.3 Доказательство теорем 3.1 и 3.2 для функции 12к(п)

4 Произвольные алгебры и группы Ли

4.1 Определения и формулировка результатов. 4.2 Комплексные алгебры Ли

4.3 Вещественные алгебры Ли.

4.4 Ассоциативные алгебры.

4.5 Нижние оценки функций и а}к(п).

Исследование коммутативных подгрупп и подалгебр является одной из классических алгебраических задач, вызывавшей интерес ученых уже в начале прошлого века. И. Шуром [31] в 1905 году были найдены абелевы подгруппы максимальной размерности группы всех невырожденных матриц. Этот результат был перенесен А.И. Мальцевым на произвольные полупростые группы. В его работе [12] 1945 года найдены коммутативные подалгебры максимальной размерности всех простых комплексных алгебр Ли.

Целая серия работ посвящена исследованию абелевых подгрупп максимального порядка в простых конечных группах. В нескольких последовательных статьях [22], [23], [32] и [33] Барри и Уонг получили порядки и строение унипотентных абелевых подгрупп максимального порядка в классических конечных группах Шевал-ле. Далее, в работе Е.П.Вдовина [2] были найдены верхние оценки порядков абелевых подгрупп во всех конечных простых группах. В работах [3], [4] этого автора найдены порядки больших унипотентных абелевых подгрупп в максимальных унипотентных подгруппах конечных исключительных групп Шевалле, и завершено описание абелевых подгрупп максимального порядка в конечных группах Шевалле.

Функцию, ограничивающую минимальное число порождающих конечной р-группы в зависимости от числа порождающих ее абелевых подгрупп, или близкую к ней функцию F, такую что pFМ — максимально возможный порядок конечной р-группы, у которой порядок любой абелевой подгруппы не превосходит рп, рассматривали Бернсайд [25], Альперин [21], Томпсон (см. [27, стр. 343]) и Паттерсон [29]. Наконец, А.Ю. Ольшанским [14] было установлено, что порядок роста этих функций квадратичен.

В работах Брауна и Колла [24], Куртера [26] и Паза [30] изучались максимальные коммутативные подалгебры матричных алгебр.

Настоящая работа посвящена оценке максимальных размерностей коммутативных подгрупп и подалгебр в конечно порожденных нильпотентных группах, группах Ли, ассоциативных алгебрах и алгебрах Ли. Особое внимание уделяется нильпотентным ступени 2 группам и алгебрам.

Основные результаты, полученные в диссертации, следующие:

• Дана нижняя квадратичная оценка функции, ограничивающей ранг без кручения конечно порожденной нильпотентной группы, в терминах рангов ее абелевых подгрупп.

• Доказано, что функции, ограничивающие размерность нильпотентных ступени 2 ассоциативных алгебр (алгебр Ли) над произвольным полем, у которых ограниченны размерности коммутативных подалгебр, имеют квадратичный порядок роста. Аналогичный результат получен для нильпотентных ступени 2 групп Ли.

• Вычислено точное значение функций, ограничивающих размерность конечномерных нильпотентных ступени 2 ассоциативных алгебр (алгебр Ли) над алгебраически замкнутым полем, у которых ограничены размерности коммутативных подалгебр. Аналогичный результат получен для нильпотентных ступени 2 комплексных групп Ли.

• Установлено, что функции, ограничивающие размерность конечномерных ассоциативных алгебр (алгебр Ли) в зависимости от размерности их коммутативных подалгебр, имеют квадратичный рост. Как следствие, получены также аналогичные оценки для размерности группы Ли с ограниченными размерностями абелевых подгрупп Ли.

Диссертация состоит из введения, четырех параграфов, списка литературы и списка основных обозначений. Для удобства основные определения и теоремы собраны в начале каждого параграфа в отдельный пункт. Полный объем диссертации — 74 страницы. Библиография включает 37 наименований.

1. Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы 1.III, М., "Мир", 1976.

2. Вдовин Е.П. Порядки абелевых подгрупп в конечных простых группах. Алгебра и Логика, 38(1999), № 2, 131-160.

3. Вдовин Е.П. Максимальные порядки абелевых подгрупп в конечных группах Шевалле. Мат. Заметки, 69(2001), № 4, 524-549.

4. Вдовин Е.П. Большие абелевы унипотентные подгруппы конечных групп Шевалле. Алгебра и Логика, 40(2001), № 5, 523-544.

5. Винберг Э.Б., Онищик А.Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам. М., "УРСС", 1995.

6. Гриффите Ф., Харрис Дж. Принципы алгебраической геометрии. М., "Мир", 1982, т.1.

7. Джекобсон Н. Алгебры Ли. М., "Мир", 1964.

8. Каргаполов М.И., Мерзляков Ю.И. Основы теории групп. М., "Наука", 1972.

9. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). 8-е изд., ред.: Мазуров В.Д., Мерзляков Ю.И., Чуркин В.А., Новосибирск, Институт математики, 1982.

10. Коуровская тетрадь (нерешенные вопросы теории групп). 12-е изд., ред.: Мазуров В.Д., Хухро Е.И., Новосибирск, Институт математики, 1992.И. Кэртис Ч., Райнер И. Теория представлений конечных групп и ассоциативных алгебр. М., Наука, 1969

11. Мальцев А.И. Коммутативные подалгебры полупростых алгебр JIu. М., Известия АН СССР, сер. матем., 9(1945), № 4, 291-300.

12. Наймарк М.А. Теория представлений групп. М., "Наука", 1976.

13. Ольшанский А.Ю. К вопросу о числе порождающих и порядках абелевых подгрупп конечных р-групп. Мат. Заметки, 23(1978), № 3, 337-341.

14. Скорняков Л.А. Элементы общей алгебры. М., "Наука", 1983.

15. Спрингер Т.А. Линейные алгебраические группы. Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 55. Алгебраическая геометрия -4. 6-136.

16. Фултон У. Теория пересечений. М., "Мир", 1989.

17. Херстейн И. Некоммутативные кольца. М., "Мир", 1972.

18. Холл Ф. Нильпотентные группы. Математика. Сборник переводов, 12(1968), № 1, 3-36.

19. Шафаревич И.Р. Основы алгебраической геометрии. 2-е изд., М., "Наука", 1988, т. 1.

20. Alperin J.L. Large abelian subgroups of p-groups. Trans. Amer. Math. Soc., 117(1965), № 5, 10-20.

21. Barry M.J.J. Large Abelian subgroups of Chevalley groups. J. Austral. Math. Soc., Ser. A, 27(1979), № 1, 59-87.

22. Barry M.J.J., Wong W.J. Abelian 2-subgroups of finite symplectic groups in characteristic 2. J. Austral. Math. Soc., Ser. A, 33(1982), № 3, 345-350.

23. Brown W.C., Call F.W. Maximal commutative subalgebras of nxn matrices. Comm. Algebra, 21(1993), № 12, 4439-4460.

24. Burnside W. On some properties of groups whose orders are powers of primes. Proc. London Math. Soc., 11(1912), № 2, 225-245.

25. Courter R.C. The dimensions of maximal commutative subalgebras of Kn. Duke Math. J., 32(1965), 225-232.

26. Huppert B. Endliche Gruppen, I, Berlin — New York, Springer-Verlag, 1967.

27. Kleiman S., Laksov D. Amer. Math. Monthly, 79(1972), № 10, 1061-1082.

28. Patterson (Mac Williams) A.R. The minimal number of generators for p-subgroups of GL(n,p). J. Algebra, 32(1974), № 1, 132-140.

29. Paz A. An application of the Cayley-Hamilton theorem to matrix polynomials in several variables. Linear and Multilinear Algebra, 15(1984), 161-170.

30. Schur I. Zur Theorie der vertauschbaren Matrizen. Journ. Reine Angew. Math., 130(1905), 66-76.

31. Wong W.J. Abelian unipotent subgroups of finite orthogonal groups. J. Austral. Math. Soc., Ser. A, 32(1982), № 2, 223-245.

32. Wong W.J. Abelian unipotent subgroups of finite unitary and symplectic groups. J. Austral. Math. Soc., Ser. A, 33(1983), № 3, 331-344.Работы автора по теме диссертации

33. Милентьева М.В. О размерностях коммутативных подалгебр и подгрупп в нильпотентных ступени 2 алгебрах и группах Ли. МГУ, М., 2006, 20 с. Деп. в ВИНИТИ 13.01.2006 № 28-В2006.

34. Милентьева М.В. О размерностях коммутативных подалгебр и подгрупп. Фундаментальная и Прикладная Математика, 12(2006), № 2, 90-102.

35. Milenteva М. V. On the torsion-free ranks of finitely generated nilpotent groups and of their abelian subgroups. J. Group Theory, 7(2004), № 3, 403-408.