Разработка микроструктурных моделей сложных кристаллических решеток с целью описания упругих свойств графена и алмаза тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

л

На правах рукописи

Беринский Игорь Ефимович

РАЗРАБОТКА МИКРОСТРУКТУРНЫХ МОДЕЛЕЙ СЛОЖНЫХ КРИСТАЛЛИЧЕСКИХ РЕШЕТОК С ЦЕЛЬЮ ОПИСАНИЯ УПРУГИХ СВОЙСТВ ГРАФЕНА И АЛМАЗА

Специальность 01.02.04 — механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1

1 НОЯ 2010

Санкт-Петербург 2010

004612368

Работа выполнена в Учреждении Российской Академии наук Институте проблем машиноведения РАН.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук Кривцов Антон Мирославович

Официальные оппоненты — доктор физико-математических наук

Фрейдин Александр Борисович — кандидат физико-математических наук Семёнов Борис Николаевич

Защита состоится 11 ноября 2010 г. в 14 часов на заседании диссертационного совета Д 002.075.01 при Учреждении Российской Академии наук Институте проблем машиноведения РАН по адресу: 199178, Санкт-Петербург, Большой пр. В. О. 61.

С диссертацией можно ознакомиться в ОНТИ ИПМаш РАН

Ведущая организация

Учреждение Российской Академии наук Институт химической физики им. Н. Н. Семёнова РАН (Москва)

Автореферат разослан

октября 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доктор технических наук

В. В. Дубаренко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Объект исследования и актуальность темы. Вопросы, связанные с влиянием микроструктуры на физико-механические свойства материалов привлекают внимание ученых из различных областей науки — механики, материаловедения, физики твердого тела, химии и пр. Особенно актуальными эти исследования стали в последние годы в связи с интенсивным внедрением наноматериалов в различные области промышленности.

Отдельный класс наноматериалов составляют углеродные наноструктуры. Их механические свойства тесно связаны со сложным строением кристаллической решетки, в связи с чем аллотропы углерода существенно отличаются друг от друга. В данной работе рассматриваются решетки графена и алмаза, элементарные ячейки которых содержат два атома. При этом графен, представляющий собой монослой решетки графита, является плоской наноструктурой, в то время как алмазы являются трехмерными объектами. Полученный в лабораторных условиях относительно недавно, графен находит все большее применение как элемент электронных приборов, нано- и микроэлектромеханических систем (NEMS и MEMS). Алмазы широко применяются для резки, сверления, шлифовки (резки алмазными гранями) и полировки. Все большее применение находят наноалмазы, которые применяются как антифрикционные и конструкционные материалы, добавки и модификаторы к маслам и упрочняющим покрытиям, используются как элементы наноэлектроники и т.д. Таким образом, детальное изучение упругих свойств этих материалов, является необходимостью. При этом важно отметить, что существует ряд других материалов, обладающих кристаллической структурой графена (силицен) и алмаза (например, кристаллы кремния и германия, а также нитрид бора). Кремниевые подложки активно применяются в микро- и наноэлектронике, а нитрит бора используется как абразивный материал, по многим характеристикам превосходящий алмаз.

Современные эксперименты свидетельствуют, что микроструктура оказывает существенное влияние на поведение материала при деформации и разрушении. Технологические возможности сегодня позволяют не только исследовать внутреннюю структуру твердых тел, но и оказывать влияние на нее, и даже создавать ее элементы из атомов и молекул. В

связи с этим особую важность приобретает развитие аналитических и компьютерных моделей, которые могли бы корректно описывать такие среды и структуры.

Цель работы. Разработка и анализ моделей двухатомных кристаллических решеток, различными способами учитывающих микроструктуру, и использование этих моделей для определения связи упругих характеристик графена и алмаза с параметрами потенциалов межатомного взаимодействия. В соответствии с целью исследования были поставлены следующие конкретные задачи:

- разработка и анализ моделей сложных двухатомных решеток на основе использования многочастичного взаимодействия, определение связи между параметрами этих моделей и упругими свойствами графена и алмаза;

- определение связи параметров силового поля AMBER и потенциалов семейства Терзоффа-Бреннера с параметрами разработанных многочастичных моделей. Анализ потенциалов с точки зрения адекватного описания упругих свойств графена и алмаза;

- разработка и анализ модели графена на основе учета моментно-го взаимодействия между атомами углерода в дополнение к силовому, и определение связи параметров этой модели с упругими свойствами графена;

- разработка моделей, связывающих дискретное и континуальное описание межатомных связей кристаллических решеток на основе линейной теории упругости и теории стержней.

Методы исследования. В данной работе для построения и исследования механических моделей кристаллов используются методы трехмерной классической и моментной теории упругости, и теории стержней. Также используется метод частиц, который состоит в представлении вещества совокупностью взаимодействующих материальных точек или твердых тел, описываемых классическими уравнениями движения.

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты, выносимые на защиту.

а) Разработаны модели многочастичного взаимодействия атомов кристаллической двухатомной решетки, содержащие различное число параметров. Найдена связь между упругими модулями решетки и параметрами моделей.

б) Разработаны методики, позволяющие свести некоторые распространенные потенциалы взаимодействия к двупараметрической и четырехпараметрической многочастичным моделям. С использованием этой методики определена применимость некоторых эмпирических потенциалов к описанию механических характеристик графена и алмаза.

в) Предложена модель решетки графена, в которой атомы моделируются частицами специального вида. Учтено моментное взаимодействие как дополнение к силовому. Определена связь между параметрами модели и упругими характеристиками графена. Показана эквивалентность многочастичной двупараметрической модели и модели, построенной с учетом моментного взаимодействия.

г) Разработан обобщенный моментный потенциал, описывающий взаимодействие частиц общего вида. Рассчитаны параметры этого потенциала для описания графена.

д) Развит подход, позволяющий связать дискретное описание взаимодействия частиц, моделирующих атомы решетки, и континуальное описание с помощью классической теории стержней и линейной трехмерной теории упругости. Построены модели решетки графена, в которой межатомные связи моделируются линейно-упругими цилиндрическими стержнями. Показано, что такие модели могут использоваться для трехмерного компьютерного моделирования графенового слоя.

Научная и практическая ценность. Натурные эксперименты по определению упругих свойств и оценки напряженно-деформируемого состояния наноматериалов со структурой графена и алмаза требуют использования специального дорогостоящего оборудования и материалов, либо в принципе неосуществимы на данном уровне развития технологий. Раз-

работанные модели могут быть использованы для проведения компьютерных экспериментов с целью исследования упругого поведения материалов на наноуровне. Предложенная в диссертации методика анализа эмпирических потенциалов определенного типа позволит усовершенствовать существующие формы описания взаимодействий и разработать новые.

Обоснованность и достоверность результатов подтверждается применением строгих математических методов и апробированных физических теорий; сравнением результатов аналитических расчетов с результатами численного и натурного эксперимента; сравнением аналитических результатов, полученных с применением различных подходов.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на конференциях: Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А. Ф. Сидорова, Абрау-Дюрсо (2004); Всероссийская школа-конференция молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках", Пермь (2005, 2006); Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород (2006); Неделя науки СПбГПУ. Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция, Санкт-Петербург (2006, 2007); Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов (ВЕМ&ГЕМ), Санкт-Петербург (2007); Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела, Пермь (2008); Международный форум по нанотехнологиям, Москва (2008); Международная школа-конференция молодых ученых "Механика 2009", Агавнадзор, Армения (2009); Международная школа-конференция "Актуальные проблемы механики" (АРМ), Санкт-Петербург (2004, 2005, 2007, 2008, 2009, 2010).

Результаты работы обсуждались на семинарах в следующих организациях: Учреждение Российской академии наук Институт проблем машиноведения РАН (Санкт-Петербург); кафедра теоретической механики СПбГПУ (Санкт-Петербург); Дом ученых СПбНЦ РАН (Санкт-Петербург); Учреждение Российской академии наук Институт машиноведения им. А. А. БлагонравоваРАН (Москва); Учреждение Российской академии наук Институт геохимии и аналитической химии им. В. И. Вернадского РАН (Москва); Учреждении Российской академии наук Институт хими-

ческой физики им. Н. Н. Семенова РАН (Москва); Технологический университет "Технион" (Хайфа, Израиль); Университет Браун (Провиденс, США).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 16 научных работ. Список основных публикаций приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения. Объем работы составляет 128 страниц, в том числе 9 рисунков, 4 таблицы. Список литературы содержит 117 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность исследований, дана общая характеристика работы, приведен обзор публикаций, связанных с темой диссертации, изложена методика исследования.

В первой главе приводятся сведения о графене, алмазе и материалах, имеющих схожую структуру. Приводится обзор данных о механических свойствах графена и алмаза, полученных из экспериментов. Перечислены математические методы моделирования наноструктур, среди которых выделены метод расчета из первых принципов, метод молекулярной динамики, дискретные модели и модели, основанные на использовании механики деформируемого твердого тела.

Во второй главе рассматриваются модели сложных решеток, имеющих минимальное число параметров. Показано, что двухпараметрическая модель позволяет точно удовлетворить механическим свойствам графена при плоском деформировании, что невозможно, в частности, при использовании парных силовых моделей. Модель основана на учете взаимодействия между связями — энергия взаимодействия зависит от угла между смежными межатомными связями. Это частный случай многочастичного взаимодействия, точнее трехчастичного, так как для задания угла требуются координаты трех частиц (атомов).

Предлагается форма энергии, приходящейся на объем, занимаемый одним атомом: Предлагается форма энергии, приходящейся на объем, за-

нимаемыи одним атомом:

^¿(сЕ^+^Е'оУ (D

\ " a,ß J

Здесь а — длина связи, с — жесткость связи, с7 — приведенная жесткость углового взаимодействия, И) — объем элементарной ячейки, ка и К/3 — деформации соответствующих связей, £aß — изменение угла между связями.

Используется то, что энергия деформации может быть также представлена как квадратичная форма тензора деформации и вектора невязки:

VK=^e-4C-e = ie-4C,-e+ic-C-C + C-3C-£ (2)

При однородной деформации, наложенной на кристалл, вектор невязки должен обеспечить такой сдвиг подрешеток, при котором будет реализован минимум энергии деформирования, что позволяет получить его связь с тензором деформации. Это позволяет выразить тензор жесткости в виде

4С = 4С* -3 СТ-С_1-3С (3)

Деформации связей и углов могут быть представлены в виде:

к а = nana-e + na<, Kaß = nan,g--e + ~ (па + riß)-C,

(4)

(ка + Kß)cos<p -2naß

Saß = -:-,

Sin (¿5

где орты na,nß задают направления от частицы к ее ближайшим соседям, </> — угол между связями. Тензоры жесткости различных рангов представлены в виде:

4С* = ^г { Hl nanaIlQna + #2 паПаЩЩ+

a,ß

+#3 (ПаП/зП^Па + nanßnanß) j , (5)

a,ß

I 2 _,

3С= — Нд22папапа, 2С = — Н522папа.

а а

Из сравнения форм (1)-(2) коэффициенты II \ —11-, были определены как функции жесткостей си с7. На основании компонент тензора жесткости были определены упругие характеристики для решетки графена

Е = 8\/3——, К=^с. (6)

с+ 18с7 С+ 18С7 6 w

Также были определены компоненты тензора жесткости решетки и модуль объемного сжатия алмаза

Сп = ^(с+12с7), С12 = ^(с-Сс7)

г г W

с4 - 3 сс7 _ УЗс

2а с + 8с7 ' 12а '

Проведено сравнение двухпарарметрической модели с однопараметриче-ской, в которой связи моделируются как абсолютно жесткие. Показано, что преимущества однопараметрической модели — простота и наглядность, а также естественное обобщение на большие сдвиговые деформации. Двухпараметрическая модель более сложна, но она позволяет удовлетворить всем жесткостным характеристикам, описывающим плоское деформировании графена.

Силовое поле AMBER в случае графенового листа сведено к двухпа-раметрической модели. В Таблице 1 приведено сравнение столбцов значений, содержащих параметры взаимодействия модели и упругие характеристики (Е — модуль Юнга, и — коэффициент Пуассона). Под ошибкой понимается отклонение значений из столбца под номером 2, полученных с использованием силового поля AMBER, от значений из столбца под номером 1, полученных с использованием экспериментальных данных. Показано, что использование поля AMBER вносит значительную погрешность в определение упругих характеристик.

Показано, что в случае графена двухпараметрическая модель при определенном подборе параметров эквивалентна моментной модели.

В третьей главе рассматривается многочастичная модель, имеющая четыре параметра. Разрабатывается подход, позволяющий в рамках линейного деформирования вычислить упругие характеристики некоторых кристаллов, используя их микропараметры. Такие микропараметры могут быть найдены в результате структурного анализа или извлечены из

Параметр Эксперимент АМВЕИ Ошибка

1 2 3

а, им 0.142 0.140 1%

с, Н/м 730 652 11%

с7, Н/м 67 43 36%

Е, МПа 350 274 22%

V 0.17 0.27 59%

Таблица 1 — Сравнение параметров двухпараметрической модели и упругих характеристик, полученных различными способами.

широкого класса эмпирических потенциалов взаимодействия, рассмотренных в работе. В результате определяется применимость потенциалов семейства Терзоффа-Бреннера к описанию механически характеристик гра-фена и алмаза.

Предлагается форма энергии, приходящейся на объем, занимаемый одним атомом:

а а,/3 а,/3 а,/3,7

Здесь за Уо обозначен объем элементарной ячейки, ка и К/з - деформации связей а и /3, £п1з - изменение угла между связями.

Применяя подход, использованный ранее в Главе 2, можно представить тензоры жесткости различных рангов в виде:

4С„ =4 С.+4 С„, 3С=3С+3С, 2С=2С+2С. (9)

Здесь слагаемые со знаком совпадают с формулами (5). Слагаемые со знаком отвечают за вклад смежных углов при связях:

4С* = ( Я V папапапа + ТЗг + и (Л2 + Л3) ] ,

V а ) (10)

3С = — 2С=—<?4^У>апа

а а

Здесь коэффициенты К, Т, II, V, IV определяются геометрией решетки, а Н\,Н2,Нз являются функциями коэффициентов и С73. Далее в

результате вычислений определяются упругие характеристики решетки

графена:

36G!(2GI G2-GxG4-GI)

E =

V0(G\ + 18GIG2 - 9GIG4 - 6G3 - 2v/3GiG3)

Gj - 6G1G2 + 3G!G4 + 6G3 - 2\Z3GiG3 , _ 3Gi

^ ~ G? + I8G1G2 - 9GIG4 - 6G| - 2\73GIG3 ' V ~ 2Vo '

(H)

где Е — модуль Юнга, и — коэффициент Пуассона, К — модуль объемного сжатия. Показано, что упругие характеристики для решетки алмаза можно вычислить по формулам:

^ 8 Gj + 12G2 - 12G4 _ 8 Gi - 6G2 + 6G4 ~ 9 V0-' = 9-Vb-

С = 16(GIG2 - Gj) K = 8G1

44 K0(Gi + 8G2 - 4G3y/2) ' ^ 9Vb '

(12)

Коэффициенты G%,G2, G3,G4 определяются на основании связи энергии, приходящейся на атом, и потенциала взаимодействия Па:

w = v0^Ua (13)

а

Проводится разложение потенциала по малым деформациям

Га -Гр= а{ка - кр) , ©а/з = ©0 + £а/3 (14)

где га, Г/з — это радиус-векторы ближайших соседей данного атома, а это начальная длина связи, а ка и кр — деформации соответствующих связей, t;ap — изменения углов между связями. Показано, что, в результате разложения, энергия, приходящаяся на каждый атом системы, имеет вид:

щ = — (иа+«iн<*

а а,Р

+ (15)

а а,/9

_ / _ / ч

+ Сз > . (ка + К/з)£а/3 + G4

а, /3,7

Коэффициенты разложения вычисляются на основании параметров потенциалов Терзоффа, Бреннера (1-го поколения) и Бреннера (2-го поколения). Результаты приведены в таблицах 2 и 3). Вычисленные на основе

коэффициентов разложения упругие характеристики приведены в таблицах 4 и 5. Здесь и далее ПТ — потенциал Терзоффа, ПБ-1 — потенциал Бреннера 1-го поколения, ПБ-2 — потенциал Бреннера 1-го поколения.

Потенциал Gi g2 G3 g4

ПТ 40.568 9.2607 3.2795 -3.7687

ПБ-1 45.634 1.5905 3.1089 -0.13979

ПБ-2 43.945 1.5601 3.6373 -0.13773

Таблица 2 — Коэффициенты разложения энергии (графен).

Потенциал Gi G2 G3 g4

ПТ 33.887 3.3137 3.7386 -2.7442

ПБ-1 38.323 1.0123 3.1112 -0.16670

ПБ-2 35.187 4.1248 4.4724 -0.39410

Таблица 3 — Коэффициенты разложения энергии (алмаз).

К, Н/м Е, Н/м и Способ Источник

176 407 -0.158 ПТ, 1988 Данная работа

201 236 0.412 ПБ-1, 1990 Данная работа

201 236 0.412 ПБ-1, 1990 М. Arroyo et al., 2004

194 227 0.416 ПБ-2, 2002 C.D. Reddy et al., 2006

201 243 0.397 ПБ-2, 2002 Данная работа

201 243 0.397 ПБ-2, 2002 M. Arroyo et al., 2004

240 360 0.249 Эксперимент J.C. Bowman et al., 1958

211 350 0.170 Эксперимент O.L. Blakslee et al., 1970

212 371 0.125 Эксперимент A. Bosak at al., 2007

Таблица 4 — Сравнение значений упругих констант графена.

В четвертой главе используется подход, который состоит в учете мо-ментного вклада в межатомное взаимодействие. Рассматривается приложение этого подхода к построению двумерной кристаллической решетки графена (монослоя графита), в которой атомы (частицы) моделируются как твердые тела. В качестве примера такого тела рассматривается система из трех жестко связанных между собой материальных точек, взаимодействующих с материальными точками других частиц посредством

№ К Си С\2 С44 Источник

1 426 1337 -31 566 Данная работа, ПТ

2 485 664 395 230 Данная работа, ПБ-1

3 442 1123 101 670 Данная работа, ПБ-2

4 442 1079 124 578 McSkimin (1972)

5 442 1076 125 577 Grimsditch and Ramdas (1975)

6 442 1076 125 576 Шутилов (1980)

7 443 1080 125 577 Oilman (2002)

Таблица 5 — Сравнение значений упругих констант алмаза, ГПа. Значения из строк 1-3 получены с использованием потенциалов взаимодействия, значения из строк 4-7 получены из экспериментов.

парных потенциалов Леннарда-Джонса (Рис. 1). Полученное в результате взаимодействие является нецентральным и состоит из двух компонент — силовой, описываемой вектором силы, и моментной, описываемой вектором момента.

А 'ф

Рисунок 1 — Частицы специаьного вида. Первая и вторая координационные сферы

Показано, что две частицы специального вида взаимодействуют друг с другом посредством сил и моментов

¥ = ¥° +А-е + В-к, М = М° + е В + С к (16)

где Р°,М° — начальные напряжения, которые обращаются в ноль в положении равновесия. Векторы деформации имеют вид

£ = г -г0 + X ((¿>1 +<р2), К = <р2-<Р1, Г = Г2-Г1. (17)

Здесь Г1, гг — радиус-векторы частиц, и <¿>2 — векторы поворотов. В равновесном положении г2 — Г1 = Го, <Р1 = 0, <¿>2 = 0. Компоненты тензоров жесткости определяются как функции от размеров частиц. Исходя из условия положительной определенности энергии взаимодействия, определяется верхняя граница размера частицы (условие устойчивости на микроуровне). С другой стороны используется то, что энергия взаимодействия может быть представлена в виде

\¥=±ет--4А--е + ет--*В-.к + \кт-4С • -к; (18)

где IV — энергия на единицу объема; А, В и С — тензоры жесткости материала; еик - тензоры деформации

е=ГУи + Еху>, к = У <р; (19)

где и и — перемещение и поворот элемента среды, Е — единичный тензор. Определены компоненты тензоров жесткости А, В и в и показана их связь с компонентами тензоров жесткостей межатомных связей. Показано, что условие положительной определенности формы (18) (условие устойчивости на макроуровне) дает то же ограничение на размер частицы, что и условие на микроуровне. Рассмотрение соседей, лежащих на второй координационной сфере, показало, что условие устойчивости на макроуровне может быть дополнено оценкой минимального размера специальной частицы I (радиус окружности, описанной вокруг частицы, с центром в ее центре масс), и в результате сводится к виду 0.074 го < I < 0.226 го, где го - равновесное расстояние между частицами для потенциала Леннарда-Джонса.

Показано, что модель со специальными частицами способна удовлетворить некоторым экспериментальным данным, но дает заниженное значение поперечной жесткости связи по отношению к продольной, что, в конечном счете, приводит к неправильной оценке коэффициента Пуассона. Для решения этой проблемы для моделирования графена предложена

форма обобщенного потенциала, не связанного с формой взаимодействующих частиц:

и (г, %«) = А Здесь

7 = в-к = (21)

где углы щ отвечают за поворот г-й частицы вокруг собственного центра масс, в — определяет направление прямой, соединяющей частицы. Параметры потенциала определены так, чтобы удовлетворить экспериментальным данным:

р = 0.184 им; А = 0.266 эВ, Б2 = -0.210 эВ. (22)

В пятой главе предлагается подход, позволяющий связать дискретное описание взаимодействия частиц (атомов) посредством сил и моментов, и континуальное описание межатомных связей с помощью классической теории стержней. Таким образом, устанавливается связь между теорией стерженей и моментной теорией, а через последнюю — связь с экспериментальными данными. В результате, на основании известных из моментной теории значений продольной и поперечной жесткости связи были определены параметры стержней Е, V и <1, соответствующие модулю Юнга, коэффициенту Пуассона и диаметру стержня соответственно. Параметры были определены с использованием трех моделей: МБЭ — модель Бернулли-Эйлера, МТ — модель Тимошенко, МСБД — модель стержня большого диаметра. Из таблицы видно, что разница между упру-

Модель С А Со Е, ТПа 1/ <1, нм

МБЭ ЕпеР 41 3 ЕтиР 16 Р 8.928 — 0.122

МТ ЕЫ2 3 ЕтгЧ4 8.928 -1 0.122

4/ Ытт213 + Ш2(1 + и)1 ЕЫ2

МСБД ЕЫ2 1-1/ 8.928 -0.111 0.120

41 (Х-21/)(1+у) 81(1 +и)

Таблица 6 — Значения параметров моделей.

гими характеристиками стержней, полученных их этих трех моделей, составляет не более 3%.

В заключении сформулированы основные результаты работы.

а) В работе развит подход, позволивший в рамках линейного упругого деформирования однозначно связать упругие характеристики графена и алмаза с параметрами их микроструктуры.

б) Построена модель кристаллической двухатомной решетки, содержащая два упругих параметра, на основе использования взаимодействия, энергия которого зависит от положения двух ближайших соседей данного атома (трехчастичное взаимодействие). Найдена связь между упругими модулями графена и параметрами модели. Показано, что двупараметрическая модель позволяет удовлетворить всем упругим характеристикам, необходимым для описания плоского деформирования графенового слоя. Показана эквивалентность двупараметрической модели и модели, построенной с учетом моментного взаимодействия. С использованием эмпирического потенциала взаимодействия (силового поля AMBER) определены параметры двупараметрической модели, на основе которых вычислены упругие характеристики графенового слоя.

в) Предложена четырехпараметрическая модель двухатомных кристаллических решеток, учитывающая вклад изменения смежных углов при межатомных связях. Определена связь между упругими модулями кристаллических решеток графена и алмаза и параметрами модели. Показано, что двупараметрическая модель является частным случаем четырехпараметрической. Рассмотрено многочастичное описание решеток графена и алмаза с использованием эмпирических потенциалов взаимодествия типа Тер-зоффа-Бреннера. Предложена методика, позволяющая свести такое описание к четырехпараметрической модели.На основе параметров потенциалов вычислены параметры модели и определены упругие свойства графена и алмаза.

г) Предложена модель решетки графена, в которой атомы моделируются частицами специального вида. За основу взят подход,

учитывающий моментное взаимодействие в дополнение к силовому. Определена связь между параметрами модели и упругими характеристиками материала

д) Исследована область устойчивости моментной модели в зависимости от относительного размера частиц и числа атомов, чей вклад учитывается во взаимодействии. Показано, что парное моментное взаимодействие способно обеспечить устойчивость гексагональной решетки, однако оно дает сильно заниженное отношение поперечной жесткости связей к продольной по сравнению с экспериментальными данными для графена.

е) Исследование модели с частицами специального вида позволило разработать обобщенный моментный потенциал, описывающий взаимодействие частиц общего вида, позволяющий задать отношение жесткостей, согласующееся с экспериментальными данными.

ж) Развит подход, позволяющий связать дискретное описание взаимодействия частиц, моделирующих атомы решетки, и континуальное описание с помощью классической теории стержней. Построены модели решетки графена, в которой межатомные связи моделируются линейно-упругими цилиндрическими стержнями. Модели основаны на использовании теорий Бернулли-Эйлера и Тимошенко. Построена модель межатомной связи, представляющая связь как толстый стержень, и определены ее параметры с использованием линейной теории упругости. Проведено сравнение трехмерной и стержневых моделей. Сравнение показало близость параметров стержней, полученных с использованием всех трех моделей.

Основные положения работы отражены в публикациях:

1) Беринский И. Е., Иванова Е. А., Построение обобщенного парного моментного потенциала для описания взаимодействия атомов решетки графита. XXXV Неделя науки СПбГПУ: Материалы всероссийской межвузовской научно-технической конференции. СПб.: Изд-во Политех, ун-та, 2006. С. 103-104

2) Berinskiy I. E., Krivtsov A. M. Stability analysis of graphite crystal lattice with moment interactions. Proc. of XXXIV Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics". St.-Petersburg, Russia. 2007. P. 63-71.

3) Berinskiy I. E., Krivtsov A. M., Kudarova A. M. Determination of macroscopic characteristics for graphene layer using angle-depending atomic interactions. // Proc. of XXXVI Summer School-Conference "Advanced Problems in Mechanics". St. Petersburg. 2008. P. 122-132

4) Беринский И. E., Иванова E. А., Кривцов A. M., Морозов H. Ф. Применение моментного взаимодействия к построению устойчивой модели кристаллической решетки графита. Известия РАН. Механика твердого тела. 2007. № 5. С. 6-16.

5) Беринский И. Е. Теоретическая механика. Упругие и тепловые свойства идеальных кристаллов. / Беринский И.Е. и др.; под редакцией A.M. Кривцова. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2009. — 144 с.

6) Беринский И.Е., Кривцов A.M., Кударова A.M. Двупараметри-ческая многочастичная модель для описания упругих характеристик графена / / Успехи механики сплошных сред: к 70-летию академика В. А. Левина. Владивосток: Дальнаука, 2009. С. 67—82

7) Беринский И.Е., Кривцов A.M. Об использовании многочастичных межатомных потенциалов для расчета упругих характеристик графена и алмаза // Изв. РАН. МТТ. 2010. №6.

8) Беринский И. Е. Стержневая модель кристаллической решетки графена // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2010. №3. С. 12-16

Лицензия ЛР № 020593 от 07.08.97

Подписано в печать 06.10.2010. Формат 60x84/16. Печать цифровая. Усл. печ. л. 1,0. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 6494b.

Отпечатано с готового оригинал-макета, предоставленного автором, в Цифровом типографском центре Издательства Политехнического университета. 195251, Санкт-Петербург, Политехническая ул., 29. Тел.: (812) 550-40-14 Тел./факс: (812) 297-57-76

Введение.

1 Общие сведения.

1.1 Графен и алмаз среди других наноматериалов.

1.2 Экспериментальное определение упругих свойств графена и алмаза

1.3 Математическое и компьютерное моделирование углеродных наноструктур

2 Кристалл графена при трехчастичном взаимодействии

2.1 Однопараметрическая модель решетки графена.

2.2 Тензор жесткости двухатомной решетки при трехчастичном взаимодействии.

2.3 Двухпараметрическая модель решетки графена.

2.4 Сравнение однопараметрической и двухпараметрической моделей

2.5 Сравнение с эмпирическим потенциалом.

2.6 Сравнение двухпараметрической модели с моментной теорией

3.2 Общий вид тензора жесткости двухатомной решетки .44

3.3 Вычисление упругих констант графена и алмаза.50

3.4 Линеаризация потенциала Терзоффа на основе разложения в ряд по малым деформациям.52

3.5 Линеаризация потенциала Терзоффа на основе последовательного разложений входящих в него функций.58

3.6 Линеаризация семейства потенциалов Бреннера на основе разложения в ряд по малым деформациям.61

3.7 Расчет упругих характеристик графена и алмаза на основе параметров потенциалов взаимодействия.65

3.8 Заключение.68

4 Кристалл графена при моментном взаимодействии.ТО

4.1 Общие сведения.70

4.2 Взаимодействие частиц специального вида.71

4.3 Устойчивость системы из двух частиц.73

4.4 Устойчивость графенового слоя, приближение ближайших соседей.76

4.5 Определение макроскопических характеристик материала . 78

4.6 Рассмотрение соседей второго порядка.79

4.7 Построение обобщенного парного моментного потенциала. 82

4.8 Заключение.85

5 Стержневые модели кристаллической решетки графена . 87

5.1 Описание межатомных взаимодействий на основе моментной теории .88

5.1.1 Смещение и поворот частицы под действием приложенной к ней внешних усилий.90

5.2 Основные уравнения линейной теории прямолинейных стержней.92

5.2.1 Растяжение стержня под действием продольной силы .93

5.2.2 Кручение стержня вокруг собственной оси симметрии.94

5.2.3 Задача об изгибе стержня. .94

5.2.3.1 Задача о вертикальном смещении конца стержня под действием поперечной силы. Модель Бернулли—Эйлера . 95

5.2.3.2 Задача о вертикальном смещении конца стержня под действием поперечной силы. Модель Тимошенко. 96

5.2.3.3 Изгиб стержня под действием момента, приложенного на правом конце. 97

5.3 Связь между дискретным и континуальным подходами. 98

5.4 Определение параметров стержневой модели решетки графена102

5.5 Модели на основе трехмерной теории упругости.104

5.6 Заключение. 107

Заключение.108

А Приложение. Определение деформаций межатомных связей 110

Б Приложение. Некоторые соотношения для компонент тензора жесткости.112

В Приложение. Особенности учета смежных углов.114

Список использованных источников.117

Введение

Объект исследования и актуальность темы. Вопросы, связанные с влиянием микроструктуры на физико-механические свойства материалов привлекают внимание ученых из различных областей науки — механики, материаловедения, физики твердого тела, химии и пр. Особенно актуальными эти исследования стали в последние годы в связи с интенсивным внедрением наноматериалов в различные области промышленности.

Отдельный класс наноматериалов составляют углеродные наноструктуры. Их механические свойства тесно связаны со сложным строением кристаллической решетки, в связи с чем аллотропы углерода существенно отличаются друг от друга. В данной работе рассматриваются решетки графена и алмаза, элементарные ячейки которых содержат два атома. При этом гра-фен, представляющий собой монослой решетки графита, является плоской наноструктурой, в то время как алмазы являются трехмерными объектами. Полученный в лабораторных условиях относительно недавно, графен находит все большее применение как элемент электронных приборов, нано- и микроэлектромеханических систем (NEMS и MEMS). Алмазы широко применяются для резки, сверления, шлифовки (резки алмазными гранями) и полировки. Все большее применение находят наноалмазы, которые применяются как антифрикционные и конструкционные материалы, добавки и модификаторы к маслам и упрочняющим покрытиям, используются как элементы наноэлектроники и т.д. Таким образом, детальное изучение упругих свойств этих материалов, является необходимостью. При этом важно отметить, что существует ряд других материалов, обладающих кристаллической структурой графена (силицен) и алмаза (например, кристаллы кремния и германия, а также нитрид бора). Кремниевые подложки активно применяются в микро- и наноэлектронике, а нитрит бора используется как абразивный материал, по многим характеристикам превосходящий алмаз.

Современные эксперименты свидетельствуют, что микроструктура оказывает существенное влияние на поведение материала при деформации и разрушении. Технологические возможности сегодня позволяют не только исследовать внутреннюю структуру твердых тел, но и оказывать влияние на нее, и даже создавать ее элементы из атомов и молекул. В связи с этим особую важность приобретает развитие аналитических и компьютерных моделей, которые могли бы корректно описывать такие среды и структуры.

В связи с вышеизложенным, целью диссертационной работы является разработка и анализ моделей двухатомных кристаллических решеток, различными способами учитывающих микроструктуру, и использование этих моделей для определения связи упругих характеристик графена и алмаза с параметрами потенциалов межатомного взаимодействия. В соответствии с целью исследования были поставлены следующие конкретные задачи:

- разработка и анализ моделей сложных двухатомных решеток на основе использования многочастичного взаимодействия, определение связи между параметрами этих моделей и упругими свойствами графена и алмаза;

- определение связи между параметрами разработанных моделей и параметрами потенциалов семейства Терзоффа-Бреннера и силового поля AMBER, основанных на многочастичном взаимодействии. Анализ потенциалов с точки зрения адекватного описания упругих свойств графена и алмаза;

- разработка и анализ модели графена на основе учета моментного взаимодействия между атомами углерода в дополнение к силовому и определение связи между параметрами этой моделей и упругих свойств графена;

- разработка моделей, связывающих дискретное и континуальное описание межатомных связей кристаллических решеток на основе линейной теории упругости и теории стержней.

Научную новизну диссертации составляют следующие результаты, выносимые на защиту. а) Разработаны модели многочастичного взаимодействия атомов кристаллической двухатомной решетки, содержащие различное число параметров. Найдена связь между упругими модулями решетки и параметрами моделей. б) Разработаны методики, позволяющие свести некоторые распространенные потенциалы взаимодействия к двупараметрической и четырех-параметрической многочастичным моделям. С применением этой методики определена применимость некоторых эмпирических потенциалов к описанию механических характеристик графена и алмаза. в) Предложена модель решетки графена, в которой атомы моделируются частицами специального вида. Учтено моментное взаимодействие как дополнение к силовому. Определена связь между параметрами модели и упругими характеристиками графена. Показана эквивалентность многочастичной двупараметрической модели и модели, построенной с учетом моментного взаимодействия. г) Разработан обобщенный моментный потенциал, описывающий взаимодействие частиц общего вида. Рассчитаны параметры этого потенциала для описания графена. д) Развит подход, позволяющий связать дискретное описание взаимодействия частиц, моделирующих атомы решетки, и континуальное описание с помощью классической теории стержней и линейной трехмерной теории упругости. Построены модели решетки графена, в которой межатомные связи моделируются линейно-упругими цилиндрическими стержнями. Показано, что такие модели могут использоваться для трехмерного компьютерного моделирования графенового слоя.

Научная и практическая ценность. Натурные эксперименты по определению упругих свойств и оценки напряженно-деформируемого состояния наноматериалов со структурой графена и алмаза требуют использования специального дорогостоящего оборудования и материалов, либо в принципе неосуществимы на данном уровне развития технологий. Разработанные модели могут быть использованы для проведения компьютерных экспериментов с целью исследования упругого поведения материалов на наноуровне. Предложенная в диссертации методика анализа эмпирических потенциалов определенного типа позволит усовершенствовать существующие формы описания взаимодействий и разработать новые. Предложенный обобщенный мо-ментный потенциал нашел применение и получил развитие в [36],[109], а созданный на его базе новый потенциал использовался для моделирования фуллеренов в [37].

Обоснованность и достоверность результатов подтверждается применением строгих математических методов и апробированных физических теорий; сравнением результатов аналитических расчетов с результатами численного и натурного эксперимента; сравнением аналитических результатов, полученных с применением различных подходов.

Апробация работы. Результаты работы были представлены на конференциях: а) Всероссийская конференция "Актуальные проблемы прикладной математики и механики", посвященная памяти академика А. Ф. Сидорова, Абрау-Дюрсо (2004); б) Всероссийская школа-конференция молодых ученых "Математическое моделирование в естественных науках", Пермь (2005, 2006); в) Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике, Нижний Новгород (2006); г) Неделя науки СПбГПУ. Всероссийская межвузовская научно-техническая конференция, Санкт-Петербург (2006, 2007); д) Математическое моделирование в механике деформируемых тел и конструкций. Методы граничных и конечных элементов (ВЕМ&РЕМ), Санкт-Петербург (2007); е) Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела, Пермь (2008); ж) Международный форум по нанотехнологиям, Москва (2008); з) Международная школа-конференция молодых ученых "Механика 2009", Агавнадзор, Армения (2009); и) Международная школа-конференция "Актуальные проблемы механики" (АРМ), Санкт-Петербург (2004, 2005, 2007, 2008, 2009, 2010).

Результаты работы обсуждались на семинарах в следующих организациях: Институт проблем машиноведения РАН (Санкт-Петербург), кафедра теоретической механики СПбГПУ (Санкт-Петербург), Дом ученых СПбНЦ РАН (Санкт-Петербург), Институт машиноведения им. А. А. Благонравова РАН (Москва), Институт Геохимии и Аналитической Химии им. В. И. Вернадского РАН (Москва), Институт химической физики им. Н. Н. Семенова РАН (Москва), Технологический университет "Технион" (Хайфа, Израиль), Университет Браун (Провиденс, США).

Структура и объем работы. Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав и заключения. Объем работы составляет 128 страниц, в том числе 9 рисунков, 4 таблицы. Список литературы содержит 117 наименований.

Заключение а) В работе был развит подход, позволивший в рамках линейного упругого деформирования однозначно связать упругие характеристики гра-фена и алмаза с параметрами их микроструктуры. б) На основе использования взаимодействия, энергия которого зависит от положения двух ближайших соседей данного атома (трехчастич-ное взаимодействие), построена модель кристаллической двухатомной решетки, содержащая два упругих параметра. Найдена связь между упругими модулями графена и параметрами модели. Показано, что двупараметрическая модель позволяет удовлетворить всем упругим характеристикам, необходимым для описания плоского деформирования графенового слоя. Показана полная эквивалентность двупарамет-рической модели и модели, построенной с учетом моментного взаимодействия. С использованием эмпирического потенциала взаимодействия (силового поля AMBER) определены параметры двупараметри-ческой модели, на основе которых вычислены упругие характеристики графенового слоя. в) Предложена четырехпараметрическая модель двухатомных кристаллических решеток, учитывающая вклад изменения смежных углов при межатомных связях. Определена связь между упругими модулями кристаллических решеток графена и алмаза и параметрами модели. Показано, что двупараметрическая модель является частным случаем четырехпараметрической. Рассмотрено многочастичное описание решеток графена и алмаза с использованием эмпирических потенциалов взаимодествия типа Терзоффа-Бреннера. Предложена методика, позволяющая свести такое описание к четырехпараметрической модели.На основе параметров потенциалов вычислены параметры модели и определены упругие свойства графена и алмаза. г) Предложена модель решетки графена, в которой атомы моделируются частицами специального вида. За основу взят подход, учитывающий моментное взаимодействие в дополнение к силовому. Определена связь между параметрами модели и упругими характеристиками материала д) Исследована область устойчивости моментной модели в зависимости от относительного размера частиц и числа атомов, чей вклад учитывается во взаимодействии. Показано, что парное моментное взаимодействие способно обеспечить устойчивость гексагональной решетки, однако оно дает сильно заниженное отношение поперечной жесткости связей к продольной по сравнению с экспериментальными данными для графена. е) Исследование модели с частицами специального вида позволило разработать обобщенный моментный потенциал, описывающий взаимодействие частиц общего вида, позволяющий задать отношение жест-костей, согласующееся с экспериментальными данными. ж) Развит подход, позволяющий связать дискретное описание взаимодействия частиц, моделирующих атомы решетки, и континуальное описание с помощью классической теории стержней. Построены модели решетки графена, в которой межатомные связи моделируются линейно-упругими цилиндрическими стержнями. Модели основаны на использовании теорий Бернулли-Эйлера и Тимошенко. Построена модель межатомной связи, представляющая связь как толстый стержень, и определены ее параметры с использованием линейной теории упругости. Проведено сравнение трехмерной и стержневых моделей. Сравнение показало близость параметров стержней, полученных с использованием всех трех моделей.

1. Аннин Б. Д., Коробейников С. Н., Бабичев А. В. Компьютерное моделирование выпучивания нанотрубки при кручении. // Сибирский журнал индустриальной математики. 2008. т. 11, №1. С. 3-22.

2. Беленков Е. А., Ивановская В. В., Ивановский А. Л. Наноалмазы и родственные углеродные материалы. Компьютерное материаловедение. Екатеринбург: УрО РАН, 2008. 86 с.

3. Беринский И. Е., Иванова Е. А., Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Применение моментного взаимодествия к построению устойчивой модели кристаллической решетки графита // Изв. РАН. МТТ. 2007. № 5. С. 6-16.

4. Беринский И. Е. Упругие и тепловые свойства идеальных кристаллов. / Беринский И. Е. и др.: под редакцией А. М. Кривцова. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та, 2009. 144 с.

5. Бызов А. П., Иванова Е. А. Математическое моделирование момент-ных взаимодействий частиц с вращательными степенями свободы. // Научно-технические ведомости СПбГПУ. 2007. №2. С. 260 268.

6. Вахрушев А. В., Липанов А. М., Суетин М. В. Моделировние процессов адсорбирования водорода наноструктурами. // Альтернативнаяэнергетика и экология. 2007. №1(45). С. 22 29.

7. Галимов Э. М., Кудин А. М., Скоробогатский В. Н. и др. Экспериментальное подтверждение синтеза алмаза в процессе кавитации. // ДАН. 2004. Т. 395, №2. С. 187191.

8. Голъдштейн Р. В., Ченцов А. В. Дискретно-континуальная модель на-нотрубки. // Изв. РАН. МТТ. 2005. №4. С. 57-74

9. Голъдштейн Р. В., Осипенко Н. М., Ченцов А. В. К определению прочности наноразмерных объектов. // Изв. РАН. МТТ. 2008. № 3. С. 164-181.

10. Голъдштейн Р. В., Городцов В. А., Лисовенко Д. С. Мезомеханика многослойных нанотрубок и наноусов. // Физическая мезомеханика. 2008. Т. И, вып. 6. С. 25-42.

11. Городцов В. А., Лисовенко Д. С. Упругие свойства графитовых стержней и многослойных углеродных нанотрубок (кручение и растяжение) // Известия РАН. МТТ. 2005. №4. С. 42-56.

12. Даниленко В. В. Синтез и спекание алмаза вызрывом. М.: Энергоатом-издат. 2003. 272 с.

13. Даниленко В. В. Из истории открытия синтеза наноалмазов. // Физика твердого тела. 2004. Т. 46, вып. 4. С. 581-584

14. Долматов В. Ю. Ультрадисперсные алмазы детонационного синтеза. Получение, свойства, применение. Спб.: Изд-во СПбГПУ. 2003. 344 с.

15. Долматов В. Ю., Веретенникова М. В., Марчуков В. А., Сущее В. Г. Современные промышленные возможности синтеза наноалмазов. // Физика твердого тела. 2004. Т. 46, вып. 4. С. 596-600

16. Долматов В. Ю. Детонационные наноалмазы: синтез, строение, свойства и применение. // Успехи химии. 2007. Т. 76, вып. 4. С 375-396

17. Дьячков П. Н. Углеродные нанотрубки: строения, свойства, применения. М.: Бином. Лаборатория знаний. 2006. 293 с.

18. Жилин П. А. Прикладная механика. Теория тонких упругих стержней. Учебное пособие. СПб: Изд-во СПбГПУ. 2007. 101 с.

19. Иванова Е. А., Кривцов А. М., Морозов Н. Ф, Фирсова А. Д. Учет мо-ментного взаимодействия при расчете изгибной жесткости наноструктур // Доклады Академии наук. 2003. Т. 391, №6. С. 764-768.

20. Иванова Е. А., Кривцов А. М., Морозов Н. Ф., Фирсова А. Д. Описание кристаллической упаковки частиц с учетом моментных взаимодействий // Изв. РАН. МТТ. 2003. №4. С. 110-127.

21. Иванова Е. А., Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Получение макроскопических соотношений упруости сожных кристаллических решеток при учете моментных взаимодействий на микроуровне// ПММ. 2007. Т. 71, Вып. 4. С. 595-615.

22. Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. Аномалии механических характеристик наноразмерных объектов.// Доклады Академии наук. 2001. Т. 381., Вып. 3. С. 345 347.

23. Кривцов А. М., Морозов Н. Ф. О механических характеристиках наноразмерных объектов.// Физика твердого тела. 2002. Т. 44, Вып. 12. С. 21582163.

24. Кривцов А. М. Деформирование и разрушение твердых тел с микроструктурой М.: Физматлит. 2007. 304 с.

25. Кривцов А. М. Упругие свойства одноатомных и двухатомных кристаллов. СПб.: Изд-во Политехи, ун-та. 2009. 124 с.

26. Лурье А. И. Теория упругости. М.: Наука. 1970. 940 с.

27. Нанотехнологии. Азбука для всех / Под. ред. Третьякова Ю. Д. М.: ФИЗМАТЛИТ. 2009. 2-е изд. испр. и доп. 368 с.

28. Павлов И. С. Упругие волны в двумерной зернистой среде. // Проблемы прочности и пластичности: Межвуз. сборник. Нижний Новгород: Изд-во Нижегородского госуниверситета. 2005. Вып. 67. С. 119131.

29. Пул Ч., Оуэне Ф. Нанотехнологии. Издание 4-е, исправленное и дополненное. М.: Техносфера. 2009. 336 с.

30. Романченко В. На ближних подступах к эре графеновой электроники URL:http://www.3dnews.ru/editorial/itelgraphene/ (размещено 10.05.2009)

31. Самардак А. Графен: новые методы получения и последние достижения URL:http://elementy.ru/news/430857 (размещено 30.09.08)

32. Сегал М. Прорыва ждите через год. Пер. с англ. URL: http://www.nanometer.ru/2009/10/27/12566498911870157791.html (дата обращения: 27.08.2010).

33. Теслепко В. Перспективы наноалмазов. http: //rough-polished. com/ги/analytics/31816. html (размещено 19.10.2009)

34. Товстик П. E., Товстик Т. П. Модель двухмерного графитового слоя. // Вестник СПбГУ. 2009. Вып. 3. С. 134142

35. Товстик Т. П. Построение модели нанотрубок и фуллерена. // Межд. конф. "Пятые Поляховские Чтения". Избранные труды. СПб. 2009. С.333-338.

36. Фок В. А. Начала квантовой механики. М.: Наука, 1976. 376 с. Часть IV. стр. 273 279.

37. Харрис П. Углеродные нанотрубы и родственные структуры. Новые материалы XXI века. М.: Техносфера. 2003.336 с.

38. Хартри Д. Расчёты атомных структур. М.: ИИЛ, 1960. 256 с.

39. Шумилов В. А. Основы физики ультразвука. Л.: Изд-во ЛГУ. 1980.280 с.

40. Яновский Ю. Г., Никитина Е. А., Никитин С. М., Карнет Ю. Н. Квантово-механические исследования механизма деформации углеродных нанотрубок. // Механика композиционных материалов и конструкий. 2009. т. 15, т. с. 345-368.

41. Яновский Ю. Г., Никитина Е. А., Карнет Ю. Н., Никитин С. М. Квантово-мехаиические исследования механизма деформации и разрушения графена. // Физическая мезомеханика. 2009. т. 12, №4. с. 61-70.

42. Ailingег N. L., Yuh Y. Н., Lii J.-H. Molecular mechanics. The MM3 force field for hydrocarbons. 3. The van der Waals' potentials and crystal data for aliphatic and aromatic hydrocarbons. //J. Am. Chem. Soc. 1989. V. 111. №23. 8576-8582.

43. Arroyo M., Belytschko T. Finite crystal elasticity of carbon nanotubes based on the exponential Cauchy-Born rule // Phys. Rev. B. 2004. V. 69. 115415

44. S. Bhagavantam, J. Bhimuassenachar. Elastic Constants of Diamond. // Proc. Roy. Soc. London., Ser. A. 1946. V. 187. №1010 P. 381-384.

45. Blakslee 0. L., Proctor D. G., Seldin Е. J., Spence G. В., Weng T. Elastic constants of compression-annealed pyrolytic graphite. //J. Appl. Phys. 1970. V. 41, №8. P. 3373-3382.

46. Bosak A., Krisch M., Mohr M., Maultzsch J., Thompsen C. Elasticity of single-crystalline graphite: inelastic X-ray scattering study. // Phys. Rev. B. 2007 V. 75.153408(4).

47. Bowman J. C., Krumhansl J. A. The Low-Temperature Specific Heat of Graphite. // J. Phys. Chem. Solids. 1958. V.6. № 4 P. 367-379.

48. Brenner D. W. Empirical Potential for Hydrocarbons for Use in Simulating the Chemical Vapor Deposition of Diamond Films // Phys. Rev. B. 1990. V. 42. №15. P. 9458-9471.

49. Brenner D. W., Shenderova 0. A., Harrison J. A., Stuart S. J., Ni В., Sinnott S. B. A second-generation reactive empirical bond order (REBO) potential energy expression for hydrocarbons. //J. Phys.: Condens. Matter. 2002. V. 14. P. 783 802

50. Case D. A., Cheatham T. E., Darden T., Gohlke H., Luo R., Merz K. M., Onufriev A., Simmerling C. Wang B., Woods R. The Amber biomolecular simulation programs. // J. Computat. Chem. 2005. V. 26. №16. P. 1668-1688.

51. Cornell W. D., Cieplak P., Bayly C. I., Gould I. R., Merz K. M., Ferguson D. M. et al. A second generation force-field for the simulation of proteins, nucleic acids and organic molecules.// J. Am. Chem. Soc. 1995. V. 117. P. 5179-5197

52. Galimov E. M. On Possibility of Natural Diamond Synthesis under Conditions of Cavitation, occurring in a Fast- moving Magmatic Melt. // Nature. 1973. V. 243. P. 389 391.

53. Gelin B. R. Molecular Modeling of Polymer Structures and Properties. Hanser/Gardner Publishers, Cincinnati. 1994. 168 P.

54. Frank I. W., Tanennbaum D. N., Van der Zande A. M., McEuen P. L. Mechanical properties of suspensed graphene sheets. // J. Vac. Sci. Technol. B. 2007-V. 25,№ 6. P. 2558-2561.

55. Fu Z.-J., Ji G.-F., Chen X.-R., Gou Q.-Q. First-Principle calculations for elastic and thermodynamic properties of diamond. // Commun. Theor. Phys. (Beijing, China). 2009. vol51. P. 1129-1134.

56. Fukumoto A. First-Principles pseudoelectrical calculations of the elastic properties of diamond, Si and Ge. // Phys. Rev. B. 1990. V. 42, № 12. P. 7462-7469.

57. Gauster W. B., Fritz I. J. Pressure and temperature depencences of the elastic constants of compression-annealed pyrolytic graphite. // J. Appl. Phys. 1974. V. 45, № 8. P. 3309-3314.

58. Gilman J. «/.Origins of the outstanding mechanical properties of diamond. // Springer-Verlag, Mat. Res. Innovat. 2002.V.6 №3. P112-117.

59. Grimsditch M. H., Ramdas А. К. Brillouin scattering in diamond. // Phys. Rev. 1975 V. В 11. №10. P. 3139-3148

60. Grimsditch M. Shear elastic modulus of graphite. //J. Phys. C: Solid State Phys. 1983. V. 16. P. L143-L144.

61. Hass J. et. al. Highly ordered graphene for two dimensional electronics. // Appl. Phys. Lett. 2006. V. 89. 143106

62. Хартри Д. Расчёты атомных структур. М.: ИИЛ, 1960. 256 с.

63. Hearmon R. F. S. The Elastic Constants of Anisotropic Materials. // Rev. Modern. Phys. 1946. V.18, №3. P. 409-440.

64. Hernandez Y., Nicolosi V., Lotya M. et al. High-yield production of graphene by liquid-phase exfoliation of graphite //Nature Nanotechnology. 2008. V.3. P. 563-568

65. Hohenberg P., Kohn W. 1964. 11 Phys. Rev. V.136. P.B864B871

66. Iijima S. Helical microtubules of graphitic carbon // Nature. 1991. V. 354, №6348. P. 56-58.

67. Zakharchenko К. V., Katsnelson M. I., Fasolino A. Finite temperature lattice proprerties of graphene beyond the quasiharmonic approximation. // Phys. Rev. Lett. 2009. V. 102 046808

68. Kohn W. and Sham L. J. Self-consistent equations including exchange and correlation effects. // Phys. Rev. 1965. V. 140 PA1133A1138

69. Kudin К. K., Scuseria G. E., Yakobson В. I. C2F, BN and С nanoshell elasticity from ab initio computations // Phys. Rev. B. 2001. V. 64. 235406.

70. G. Le Lay et al. Physics and chemistry of silicene nano-ribbons. // Applied Surface Science. V. 256, № 2. P. 524 529

71. Lee C., Wei X., Kysar J. W., Hone J. Measurment of the Elastic Properties and Intrinsic Strength of Monolayer Graphene. //Science. 2008. V. 321. P. 385-388.

72. Li C., Chou T. W. A structural mechanics approach for the analysis of carbon nanotubes. // Int. J. Solids Struct. 2003. V. 40. № 10. P. 2487-2499.

73. Li C., Chou T. W. Quantized molecular structural mechanics modeling for studying the specific heat of single-walled carbon nanotubes// Phys. Rev. B. 2005. V. 71. 075409

74. Li X., Zhang G., Bai X. et al. Highly conducting graphene sheets and Langmuir-Blodgett films. // Nature Nanotechnology. 2008. V. 3. P. 538-542

75. Li X., Wang .X, Zhang L., Lee S., Dai H. Chemically Derived, Ultrasmooth Graphene Nanoribbon Semiconductors. // Science. 2008. V.319. №. 5867. P. 12291232

76. Lin Y.-M., Dimitrakopoulos C'., Jenkins K. A., Farmer D. B., Chiu H.-Y., Grill A., Avouris Ph. 100-GHz Transistors from Wafer-Scale Epitaxial Graphene. // Science. 2010. V. 327., №5966. P. 662

77. Levy M. Universal variational functionals of electron densities, firstorder density matrices, and natural spin-orbitals and solution of the h-representability problem. // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1979. V. 76. P. 6062 6065.

78. Markham H. F. 1965. National Phisical Laboratory measurements (UK), presented Musgrave, M. J. P., Diamond Conference, Reading (unpublished)

79. McSkimin H. J., Bond W. L. Elastic Moduli of Diamond. // Phys. Rev. 1957. V.105. P. 116-987.

80. McSkimin H. J., P. Andreatch. Elastic Moduli of Diamond as a Function of Pressure and Temperature. //J. Appl. Phys. 1972. V. 43. №7. P. 2944-2948.

81. Meyer J. C., Geim A. K., Katsnelson M. I., Novoselov K. S., Booth T. G., Routh. S. The structure of suspended graphene sheets. // Nature. 2007. V.446. P. 60 63

82. Mounet N., Marzari N. First-principles determination of the structural, vibrational and thermodynamic properties of diamond, graphite andderivatives. // Phys. Rev. B. 2005. V.71. 205214

83. Nicklow R., Wakabayashi N., Smith H. G. Latice Dynamics of Pyrolitic Graphite. // Phys. Rev. B. 1972. V. 5. P. 4951-4962.

84. Novoselov K. S., Geim A. K., Morozov S. V., Jiang D., Zhang Y., Dubonos S. V., Grigorieva I. V., Firsov A. A. Electric Field Effect in Atomically Thin Carbon Films. // Science. 2004. V. 306. №5696 P. 666-669.

85. Novoselov K. S., Geim A. K., Morozov S. V., Jiang D., Katsnelson M. I., Grigorieva I. V., Dubonos S. V., Firsov A. A. Two-dimensional gas of massless Dirac fermions in graphene. // Nature. 2005. V. 438. P. 197-200

86. Odegard G. M., Gates T. S., Nicholson L. M., Wise K. E. Equivalent-Continuum Modeling of Nano-Structured Materials // Compos. Sci. Technol. 2002. V. 62. №14. P. 1869-1880

87. Parvizi F., et. al. Graphene Synthesis via the High Pressure High Temperature Growth Process. // Micro Nano Lett. 2008. V.3. P. 29

88. Ponder J. W., Case D. A. Force fields for protein simulations. // Adv. Prot. Chem. 2003. V. 66. P. 27-85.

89. Poot M., Van der Zant S. J. Nanomechanical properties of few-layer graphene membranes. //Appl. Phys. Lett. 2008. V. 92. 063111.

90. Pavlov I. S., Potapov A. IMaugin G. A. A 2D Granular Medium With Rotating Particles. // Int. J. of Solids and Struct. 2006. V.43,№20. P. 6194—6207.

91. Prince E., Wooster W. A. Determination of elastic constants of crystals from diffuse reflections of X-rays. III. Diamond. //Acta crystallogr. 1953. V. 6, P. 450-454.

92. Reddy C. D. , Rajendran S., Liew K. M. Equilibrium configuration and continuum elastic properties of finite sized graphene. // Nanotechnology. 2006. V. 17. P. 864-870.

93. Rollings E. et. al. Synthesis and characterization of atomically thin graphite films on a silicon carbide substrate. //J. Phys. Chem. Solids. 2006. V. 67. 2172

94. Ruoff R. R., Qian D., Liu W. K. Mechanical properties of carbon nanotubes: theoretical predictions and experimantal measurements. // C. R. Physique. 2003. V.4. P. 993-1008

95. Scarpa F., Adhikari S., Srikantha Phani A. Effective elastic mechanical properties of single layer graphene sheets. // Nanotechnology. 2009. V. 20. P. 065709

96. Schedin F. et. al. Detection of Individual Gas Molecules Absorbed on Graphene. // Nature Materials. 2007. V.6. P. 652.

97. Scott Bunch J. et al. Electromechanical Resonators from Graphene Sheets. // Science. 2007. V. 315, P. 490.

98. Scott Bunch J. et al. Impermeable Atomic Membranes from Graphene Sheets. // Nano Lett. 2008. V. 8, № 8. P. 2458-2462

99. Sears A., Batra R. C. Macroscopic properties of carbon nanotubes from molecular-mechanics simulations. // Phys. Rev. B. 2004. V. 69. №23. P. 235406

100. Seldin E. J., Nezbeda C. W. Elastic Constants and Electron-Microscope Observations of Neutron-Irradiated Compression-Annealed Pyrolytic and Single-Crystal Graphyte // J. Appl. Phys. 1970. V. 41, №8. P. 3389-3400.

101. Springer Handbook of Nanotechnology/ Edit. B. Bhushan. Springer-Verlag. 2004. 783 P.

102. Staley N. et. al. Lithography-free fabrication of graphene devices. // Appl. Phys. Lett. 2007. V. 90. P. 143518

103. Stankovich S.; Dikin D., Geoffrey H. B. et al. Graphene-based composite materials. // Nature 2006. V. 42. P. 282-285

104. Superlubricity/ Eds. A. Erdemir and J.-M. Martin. Amsterdam: Elsevier. 2007. 524 P.

105. Tersoff J. New empirical approach for the structure and energy of covalent systems. // Phys. Rev. B. 1988. V.37. №12. P. 6991-7000.

106. Tersoff J. Empirical Interatomic Potential for Carbon, with Applications to Amorphous Carbon. // Phys. Rev. B. 1988. V.61. №25. P. 2879-2882.

107. Tserpes K. I., Papanikos P. Finite element modeling of single-walled carbon nanotubes. // CompositesB. 2005. V. 36. P.468-477.

108. Valalvala P. K., Odegard G. M. Modelling techniques for determination of mechanical properties of polymer nanocomposites. // Rev. Adv. Mater. Sci. 2005. V.9. P. 34-44.

109. Vvedensky D. D. Multiscale modelling of nanostructures. // J. Phys.: Condens. Matter. 2004. V.16, №50. P. R1537-R1576.

110. Wan H., Delale F. A structural mechanics approach for predicting the mechanical properties of carbon nanotubes.// Meccanica. 2010. V. 45, P. 43-51.

111. Wang J. J. et. al. Free-standing subnanometer graphite sheets. // Appl. Phys. Lett. 2004. V. 85. P. 1265.

112. Yakobson B. I., Brabeck C. J., Bernholc J.// Nanomechanics of Carbon Tubes: Instabilities beyond Linear Response. Phys. Rev. Lett. 1996. V. 76. №14. P. 2511-2514.

113. Zhang P., Huang Y., Gao H., Hwang K. C. Fracture nucleation in singlewall carbon nanotubes under tension: A continuum analysis incorporatinginteratomic potentials.// Trans ASME. J. App. Mech. 2002. V. 69. №4. P. 454-458

114. Zhang P., Huang Y., Geubelle P. H., Klein P. A., Hwang K. C. The elastic modulus of single-wall carbon nanotubes: a continuum analysis incorporating interatomic potentials. // Int. J. Solids and Struct. 2002. V.39., №13 P. 3893-3906