Разрешимость граничных уравнений в задачах нестационарной дифракции акустических волн тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

ря И , ■

я ОПТ КОЗ ХАРЬКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

С&лпу ДИЕНГ

Разрешимость граничк лх уравнений в задачах нестационарной дифракции акустических волн

01.01.03. — Математическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физнко-матеманиеских наук

Харькоп-1993

Диссертация является рукописью.

Работа выполнена на кафедре математической физики и вычислительной математики Харьковского государственного университета.

Научный руководитель:

-— доктор физико-математических наук, профессор Чудпнович Игорь Юрьевич

Официальные оппоненты:

— доктор фпз1шо:матемашческш наук, ведущий научный сотрудник Физико-технического института низких температур НАНУ им. Б.И. Веркина Кохляров Владимир Петрович

■— кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Института радиофизики и электроники НАНУ Тучкин Юрий Александрович

Ведущая организация — Виннищсий государственный педагогический институт.. >

Защита состоится "3 " ноября 1995 г; на заседании специализированного совета К 02.02.17 при Харьковском государственном университете по адресу:

310077, г. Харьков, пл. Свободы, 4, ауд. VI—48^В

С диссертацией можно ознакомиться в Центральной научной библиотеке университета по адресу: .310077, г. Харьков, пл. Свободы, 4.

Автореферат разослан 1995 г.

Ученый секретарь ученого совета

Общая характеристика работы.

Методы теории потенциала, позволяющие сводить краевые задачи для уравнении и систем уравнений в частных производных в многомерных областях к интегральным (псевдодифференциальным) уравнениям на многообразиях меньшей размерности, давно стали классическими в математической физике.

Первоначальное их развитие в эллиптических краевых задачах связано с именами Э. Фредгольма, К. Неймана, Ж.А. Пуанкаре, JI. Гельдера, A.M. Ляпунова., В.А. Стеклова. и др. Эти методы получили дальнейшее развитие в работах С.Г. Михлина, В.Д. Купрадзе и многих других математиков (см. обзор В.Г. Мазья "Граничные интегральные уравнения" в книге "Итоги науки и техники, серия современные проблемы математики -фундаментальные направления." Том 27. Москва, 1988 г.).

Применение аналогичных методов в параболических краевых задачах связано с именами Э. Хольмгрена, П. Леви, М. Жевре, Г. Мюнтца, П. Зе-рапш, O.A. Ладыженской, A.A. Самарского, Л,Н. Слободепкого, В.П. Михайлова, Л.И. Камынина, Е.А. Бадерко и др.

Можно утверждать, что построение теории потенциалов для классических эллиптических и парабол1гческпх уравнений математической физики в настоящее время практически завершено. Однако, этого'нельзя сказать о гиперболических уравнениях.

По-видимому, первыми строгими математическими работами в этой области явились работы С.Г. Михлина, В.Д. Сапожникопой (1976г.), посвященные граничным свойствам скалярных запаздывающих потенциалов, а также работы А. Бамбергера, Т. Ха Дуонга (1986г.), в которых доказана однозначная разрешимость двух граничных уравнений, возникающих при решегаш с помощью этих потенциалов двух основных начально краевых задач для трехмерного волнового уравнения. Эти исследования в конце 80-х начале 90-х годов были продолжены в цикле работ И.Ю. Чудиновича, посвященных граничным уравнениям в разнообразных задачах динамической теории упругости. . •

Цель работы состоит в изучении свойств псевдодифференциальных граничных операторов, возникающих в задачах дифракции акустических волн, порожденных запаздывающими потенциалами, в шкалах пространств типа соболевскнх; исследовании на основе этих свойств вопросов разрешимости соответствующих граимнш. уравнений, гладкости их решений и связи между решениями граничных уравнений и исходных начально краевых задач. Существенным моментом работы является рассмотрение импеданс-ных краевых условий.

. Метод исследований: Для получения результатов в работе использованы методы функционального анализа и вариационные методы математической физики.

Научная новизна: Полученные в работе результаты являются новыми - автору не известны строгие математические работы других авторов, посвяШенные вопросам разрешимости рассмотренных ниже граничных уравнений в задачах дифракции акустических волн с импедансным краевым

условием.

Теоретическая и практическая ценность работы.

Теоретическая ценность работы состоит в изучении свойств основных граничных операторов в задачах нестационарной дифракции акустических волн в шкалах соболевских пространств, что позволило дать ответ на вопросы об однозначной разрешимости соответствующих граничных уравнений и о.гладкости их решений.

Практическая ценность: На основе полученных теоретических результатов могут быть построены сходящиеся методы приближенного решения рассмотренных нестационарных граничных уравнений галеркинского типа.'

Для зашиты выдвигаются следующие основные результаты полученные в диссертации.. .

1. Теоремы о свойствах в шкалах соболевских пространств псевдодиф-ференциалыйп операторов, возникающих при решении задач нестационарной дифракции акустических волн с помощью запаздывающих потенциалов.

2. Теоремы об однозначной разрешимости и гладкости решений граничных уравнений в задачах дгфракции акустических волн на замкнутых поверхностях. •

3. Исследование разрешимости и гладкости решений граничных уравнений, полученных в рамках, так называемого, "прямого варианта".

4. Теоремы об однозначной разрешимости нестационарных граничных уравнений в задачах дифракции акустических волн на многообразиях с краем (экранах).

5. Теоремы об однозначной разрешимости граничных уравнений в задачах дифракции акустических волн со смешанными краевыми условиями.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на республиканских семинарах "Междисциплинарные исследойания и оптимизация в задачах математической физики" и "Эффективные методы решения задач математической физики'' Научного Совета АН Украины по проблеме "Кибернетика", а также на се\ашарах Харьковского государственного университета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти (5) работах. Список публикаций автора приведен в конце автореферата.

Объем работы. Диссертация изложена на 89 страницах и состоит из введения, четырех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы (74 наименования).

Содержание работы.

Во введен!м представлен краткий обзор методов исследования задач нестационарной дифракшш акустических волн и полученных .этими методами результатов. Заметим, что к настоящему моменту сформировались два

основных подхода к изучению граничных уравнений. Первый, традиционный, состоит в исследовании ядер'граничных операторов, участвующих в соответствующих граничных уравнешшх, с последующим применением альтернативы Фредгольма для доказательства их разрешшостп. Этот метод позволил провести полное исследование граничных уравнении в задачах установившихся электромагнитных и акустических колебаний /С.Г. Мих-лин, Д. Колтон и Р. Кресс, В.Д. Куярадэе и др./.

Второй подход к изучению граничных уравнений использует тесную связь между ними и исходными краевыми задачами. Такой подход в частности, использовали Ж.Л. Лионе, В.Г. Мазья в недавнем цикле работ, посвященных разрешимости граничных уравнений в задачах статики упругих сред в областях в кусочно-гладкой границей, а также И.Ю. Чудинович в работах, посвященных, разрешимости граничных уравнений в задачах динамики упругих сред. Именно этот подход использован в диссертации.

Перейдем к изложению полученных в диссертации результатов.

Первая ее глава посвящена теоремам существования решений нестационарных граничных уравнешш на замкнутых поверхностях.

Пусть S - замкнутая поверхность класса С2, разделяющая М3 на обла^ сти П+ (внутреннюю) и П~ (внешнюю). В областях G± = П* х К+) R+ = (0, сс) ищем потенциал скоростей U{x,t) = U(X), X = (x,t) точек среды, который является решением начально краевой задачи

Utt{X)+Tti{X)-(bU)(X)=0, Хб G*, (1)

U(x, +0) = Ut(x, +0) = 0, x&Q±, (2)

i^f {X)±Kx)(Ui + 1UnX)^g±{X), 16Е+, (3)

где 7 > 0, А(х) - заданная на S гладкая комплекснозначная функция удо-атетворяющая условиям: Ее А(х) > 0, y(2Re Д(г) — |Im A(r)|) > 0.

В §1.1 вводятся акустические запаздывающие потенциалы и излагаются известные сведения об их поведении при переходе точки х через гиперповерхность £ = 5-х R. Акустические запаздывающие потенциалы простого и двойного слоев с заданными на Е плотностями а, ß вводятся формулами

(4)

(5)

соответственно. В (4) и (5) через Ф обозначено фундаментальное решение уравнения (1) удовлетворяющее условию причинности: Ф(Х) = 0 при < < 0, щ-j - нормальная производная по переменной у. Очевидно, оба потенциала при гладких финитных плотностях а, ß, равных нулю при t < 0, удовлетворяют (1) н условиям (2). Формулы скачков потенциалов (4) и (5) аналогичны формулам скачков соответствующих гармонических потекши-

J*:

{Va)(X) = f а{У)Ф(Х-Y)d6y {Wß)(X) = / ß(Y)~-^{X - Y)dSy

лов:

(Уа)+(Х) = (Уа)-(Х) = (Уа)(Х), (КаУ(Х)-(Ка)-(Х) = а(Х), (К0)ЧХ) - т:{Х) = -р{Х),

где .

индексы "±" обозначает предельные значения соответствующих функций при X —* £ из О"1 х Е соответственно.

Основные граничные операторы, действующие в функциональных пространствах на £+, вводятся формулами

Уа = (Уа)±(А*) = (Уа)(Х), IV* р =

К±а = (Ка)±(Х), ХеЕ

Изучение свойства операторов Ц 1У±, К*, Г, и Л^ является одним из центральных моментов работы. В ней постоянно используется переход к. преобразованиям Лапласа по переменной 4: •

» оо

и(р) =«(г,р) = J и(х. ¿) ехр(-рг) Л (6)

о

Как видно из (б), для оригиналов и их изображений Сохранено одно и тоже обозначение (это не приведет недоразумениям). После перехода к преобразовании Л алласа уравнение (1) принимает вид

(.Р2 + 7Т)и{х,р) - Ли(х,р) = 0 х е О*, (7)

потенциалы (4) и (5) после перехода к преобразованиям Лапласа обозначаются через (Ура)(Х), {\\')1р)(Х), основные граничные операторы - через V \\!± К* Г Аг±,

Представляя решешш задач ¿Г* потенциалом простого слоя:

и(Х) = (Уа)(Х), А" «С* (8)

после предельного перехода X —► Е+ из С* приходим к граничным уравнениям .

{1^а)(Х) = д±(Х), ; . (9)

где Л"? = ЛдН'.

Предста&тяя решение этих же задач потенциалом двойного слоя

. - ■ и{Х) = (WP){X), х е G±, (10)

приходим к граничным уравнениям

(F?0)(X)=9%X), X € Е+ ' (11)

где F* = NfW*.

Отметим, что граничные уравнения (9) и (11) содержат внеинтеграль-•ные члены —+7/)/3 соответственно. Входящий в (9) интегральный член представлен сингулярным интегралом с запаздьшающим аргументом подинтегральной функции.' Интегральный член в (11) является гиперсингулярным.

В §1.2 вводятся функциональные пространства, в которых действуют граничные операторы, определенные в § 1.1. Обозначим через Ятр(К3), т £ R, пространство, состоящее из обобщенных функций и(х) 6 S'( обладающих конечной нормой .

1Мкр= /(1 + |£1 + М)2т№

1дз

где й(£) —- преобразование Фурье и(х). Через Ят^П^) обозначим пространство, состоящее.из сужений на П± элементов пространства Ятр(К3). Норма в ЯШ,Р(П±) вводится формулой

где гп/1тит берется по всем продолжениям элемента ц до элементов /±« 6 Я,п.,.р3). '

Пространства Ят|Р(5) функций, заданных на граничной поверхности 5, вводятся аналогично. В случае 5 = К2 норма в пространстве Нт р(3) определяется формулой ' ...

• ||<r;S = /(1 + Ю + |р|)2т1«-

кг

В случае произвольной гладкой поверхности 5 норма вводится с помощью стандартной процедуры, использующей разбиение единицы и переход к локальным координатам. При р = 0 пространства Я^1Р(П±) и Ят,р(5) превращаются в стандартные пространства Соболева Нт{0.±), Нт{5), нормы которых обозначаются через || ■ ||т,п±.. II ■ ||т,5 соответственно.

Пусть ус > 0. Обозначим Сх ='{р = а + гг : <г > я-}. Введем при всех т,к 6 Н пространства Я^;,,,,*,*^*), состоящие из функций С~(р) = и(.г,р). обладающих следующими свойствами:

1. и(р) голоморфно отображает Сх в Ят(П*).

Норма в пространстве Я^т,*,*^*) вводится формулой

К

Аналогично вводятся пространства функций, заданных на

граничной поверхности Б, с нормой

Е •■■

Пространства Яг;тд.1Х(С±), Яг;1П^1Х(Е+) состоят из обратных преобразований Лапласа элементов пространств Я^т^^П*). Ццт,к',х(3) со-ответствеино. Нормы в этих пространствах введем формулами:

|(«||.п,М;С4 = I |С/

в которых и(р) = (Си)(х,р) — преобразование Лапласа «(Л") по перемен' ной I.

Обозначим через 7* операторы следов, непрерывно при т > | отображающие Ят,р(П±) на Ят_1р(5).

§' 1.3 посвящен изучешЬо свойств основных граничных операторов во введенных функциональных пространствах. Заметим, чго результаты § 1.3 справедливы для кусочно гладких поверхностей класса С , состоящих из "кусков" класса С '° , а > 0. В случае же гладких 5 эти результаты могут быть обобщены и усилены, что и сделано в главе 2. Объектом исследования являются операторы Л^, V, К*, ИР*.

Сначала рассматриваются операторы Л'*.- Приведем строгое определение операторов полученных из после перехода к преобразованиям Лапласа. Пусть Ф - произвольный элемент пространства Опреде-

лим при всех р 6 Со операторы на элементе ц> £ Я1 р(5) равенствами

(Л&*?, = ± { / К*7*+ + + (Р + 7) {V. Ф)0,5|,

' ' (И)

з

где (о,Ь) =. Б а,Ь;, < • , • > - скалярное произведение в ¿2(5), 1-1

г(х) — произвольный элемент пространства Я^ДП*), такой, что 7*1) = Ф, и(х) - (обобщенное) ¡решение задачи

Г (р2 + ур)и(х) - (Ди)(х) = О',

принадаежащее пространству Я]1Р(П±). Формула (14) определяет как операторы, отображающие Н\_ р(5) в Н_1р{8)-' Доказано, что эти отображения биективны, более того, для любого элемента £ Н1 р(5) при всех р 6 С* , х > 0, справедливы оценки

{15)

с независящей от.р £ С* постоянной с. Заметим, что оценка (15) в случае гладких 5 может быть усилена (см. результаты главы 2).

Определим операторы Л'^д на пространствах Я^'^и(5) формулами

Исследования, проведенные в §1.3, в которых существеш1ую роль играют оценки (15), позволили доказать утверждение о непрерывности операторов = С~1 NI X £ и обратных к шм в функциональных пространствах, указанных в теореме 1.1.

Далее изучаются свойства операторов потенциала простого слоя V, = операторов предельных значеив! потенциала двойного слоя

= = л^д-тг-. ...

Основным утверждением § 1.3 является

Теорема 1.1.

При всех & 6 К,х > 0 основные граничные операторы осуществляют непрерывные инъектшные отображения: . ' :

Л? ! Яг;иДЕ+) — ЯГ.„1,»-1>(Е+), ' . ' V : —» Н^^), ..

И^:Я,лЛх(Е+) Яг;^_2|Х(Е+)„

- . 5

Их области значении плотны в соответствующих пространствах.

Обратные операторы, продолженные с плотных множеств на эти Пространства, осуществляют при всех к £ К, х > 0 непрерывные отображения:

V-1 : Я,,и,х(Е+) Яг;:^л_1,х(Е+), (Т^Г': Я,,1Лх(Е+)-Яг;М_2,х(Е+),

(^Г)"1 : Яг;_м,х(Е+) Яг;хд_2,х(Е+).

Из результатов § 1.3 следуют утверждения об однозначной разрешимости граничных уравнений (9), (11) . Формулировки этих утверждении приведены в § 1.4. В этом же разделе приведена теорема 1.2, в которой сформулированы условия на у* при которых потенциалы простого или двойного'

слоев с плотностями, являющимися решениями уравненш (9), (11) принадлежат пространству НП1]о к(0±), то есть являются обобщенными решения- . N01 задач ^.

■ § 1.5. посвящен разрешимости нестационарных граничных уравнений в рамках так называемого "прямого варианта". Эти уравнения возникают . после предельного перехода точки X на граничную гиперповерхность в формуле, являющейся динамическим аналогом 3-ей формулы Грина. Со. ответствующие утверждения составляют содержание теоремы 1.3.

Глава 2 посвящена исследованию гладкости решений нестационарных граничных уравнения, существование которых доказано в § 1.4. В этой гла-■ ве обобщаются и уточняются результаты § 1.3, касающиеся свойств основных граничных операторов. Здесь предполагается, что 5 - поверхность . класса С°°. Основным моментом исследований является получение оценок норм граничных операторов в случае, когда Г2+ = Е" = {х 6 К", хп > 0}. Затем эти оценки переносятся на случай произвольных областей П*. , Рассмотрим уравнение

Ари{х) = д(х), х € (16)

где Ар = (р^+ур)1—5,-а;; 9,-, в котором у > О, I — тождественный оператор, = щ, комплексный параметр р меняется в С*, * > 0, (г, ] = 1,. '.. ,п) операторы умножения на вещественные функций ау(х), удовлетворяющие ■ при а; £ К" следующим условиям:

ац{х) = ал(х), ' г,;'= !,...,« (17)

• афШ} > а]£\2, а>0, У£еМ", (18)

а<Дх) = + «/,-,• (х),

где а^о - постоянные,- также удовлетворяющие условиям симметричности (17) и эллиптичности (18), ¿¿Дг) £ Со°(Кп), %,] — 1,.... гг. Здесь и далее ' используется правило суммирования по повторяющимся индексам от 1 до н.

Введем граничные дифференциальные выражения

(7» (х) = (|г)±(х) ±А(х)(р + 7)«±(х),х 65,' '

где = а^{х)1/({д^)(х) — производная по конормали.

Результаты'исследований, проведенных в первых двух разделах главы 2, собраны в следующем утверждении:

Теорема 2.1. .

Пусть и € Я|+1(Г2±,/ >1. Обозначим: (Ари)(х) = д(х) . Существуют положительные постоянные *(/) , такие, что, при р е справедливы оценки:

< с (ИтМ!^ + Ы-ЧкП/-!^)(19)

Н«11?.р;й* < (И 117^11,-^.5 + • (20) .

В § 2.1 утверждения теоремы 2.1 доказаны в случае полупространства, в § 2.2 с помощью стандартной процедуры локализации эти результаты перенесены на случай произвольных областей П* с гладкой границей.

В § 2.3 получена одна из центральных теорем работы, касающаяся свойств основных граничных операторов нестационарной дифракции акустических волн.

Теорема 2.3.

При т > 6 К,у. > х(1) основные граничные операторы осуществляют непрерывные инъективные отображения:

А^ : Яг.т.*.я(2+) — ЯР,т_,,*.„(£+), ■ V •• — ЯР,гаД._1,х(£+),

—» Яг,т,*-1,х(2+),

■ Яг.т_и,х(Е+) — ЯГ|т_и_11Х(Е+), : Яг,тЛх(£+) — ЯГ1т_1,4-11Я(2+).

Их области значений плотны в соответствующих пространствах.

Обратные операторы, продолженные с плотных множеств на эти гфо-странства, осуществляют при тех же т, к, х непрерывные отображения

(-УГ)-1: Яг.т-и,х(2+) —

V-1 : Нг.тлЛЯ*)

(IV*)-1 : Я,,П1|*.Х(Е+) — Яг,т,1_1,)<(Е+). • (Л'?)"1 : Яг,т_1Л,х(£+) —. Яг,т_1,4_1,х(Е+), ■ (Г?)-1 : Я,,т_м,х(£+) —♦ ЯТ,т,*_1,ж(Е+). ■

Результаты теоремы 2.3 позволяют существенно уточнить и обобщить утверждения о разрешимости граничных уравнений (9), (11), полученных в § 1.4. Обобщаются при этом также результаты теоремы 1.2 главы 1.

Теорема 2.4

Пусть / е Яг1,п-111ь,к(Е+), т > к £ К.; а и 0 решения граничных уравнений Л'^а = д*, = д±. В обоих случаях функщм и(Х), равная (Уа)(А) и (1К/?)(Л") соответствешю, при х > принадлежит пространству Нг т+1к_1<х(С±) и при к > | является решением задачи . •

Глава 3 посвящена граничным уравнениям в задачах нестационарной дифракции акустических волн на многообразиях с краем (незамкнутых поверхностях - экранах).

Пусть 5о - незамкнутая гиперповерхность, являющаяся частью замкнутой поверхности Я, П = М3\30, С = П х Е+, = 50 х

В С решается уравнение (1) с начальными условиями (2). Краевые условия в задаче 0\ имеют вид ь

■и+(г) = /+(х), ' и-(аг) =/-(х/, хеЙ?, (22)__

в задаче £>2 -

(Гли)+ (х-) = (РУ (х) + А(х) («, + (х) =

хеЕ?. (23)

(Тди)" (х) = (г) - А(х)(и, + ти)-(х') = д~(х)

Решение обеих задач ищется в виде

и(х) =(М*) + (»7?)(х), геС, (24)

с плотностями а, /3, сосредоточенными на Ед . Граничные условия (22) приводят к системе граничных уравнений

Г + Н-= /+ '

\ - и'-;з = /<--/-.

или

(З^а, /?} = / = {Г, /+-Г} (25)

Система граничных уравнения в задаче имеет вид

Г Тд+Ка - Гд-И* + ТдПК/? = 5+- <г

. • . . \TiVa-TiWp~g-

или

<Ыа,/?} = 5 = {<?+-<Г,5"}. . (26)

Введем пространства Нг-,т,к,х (Ео) , Яг;т,*,х(ЦГ)> состоящее из элементов V = о/ = £-1И', являющихся обратными преобразованиями Лапласа элементов V, IV пространств Нс-,т,к,х (5о)> Нь,т,к,х{3о),

о

соответственно. Пространства Н^т.к.х (5о) состоят из элементов про-■ странств Н^тд,х(5) с носителями, сосредоточенными на йо- Пространства Н1-т,к,к(3о) состоят из сужений на 5о элементов пространств Я£;гП1*1Ж(5).

В § 3.2 определяются действующие в этих пространствах основные граничные операторы.

' В § 3.3 введены оператор нормальных производных потенциала простого слоя Л"д и двойного слоя Гх, а также изучены их свойства.

На основании этих свойств в § 3.4 доказана однозначная разрешимость граничных уравнений (25), (26). Теорема 3.3:

Операторы фГ1, (¿21 при всех к € К, х > хц > 0 осуществляют непрерывные отображения: -

' О? ■ ¿Ца*(еО+)Х Нф,* (Е0+) Нг^ц. (Е0+)* Яг; (Е0+) Яг1 (Е?) х Яг;Чл„(Е0+) к-» (Е0+)х Я^,,* (Е0+).

Теорема 3.3 дает ответ на вопрос о разрешимости граничных уравнении (25), (26).

Четвертая глава посвящена граничным уравнениям в задачах нестационарной дпфракщш акустических волн М± со смешанным краевым условием. Эта задача состоит в решении в 6'+ или 0~ уравнения (1) с условиями (2). Для формулировки граничного условия предположим, что 5 разбитая на две части ¿1 и 5г ненулевой поверхностной меры: 81 П 52 = 0, ?! и 3*2 — 5. Обозначим = 5,- х ¿=1,2. На части поверхности ставится краевое условие типа Дирихле:

и*(Х) = /±(Х), А-6Е+, (27)

на оставшейся части поверхности йз - импедансное краевое условие:

' (—)±(Л')±А(г)(Д« + ^)±(Х) = р±(Л'), Л'€Е2+. (281

Предложены четыре варианта представления решения этих задач: в виде потенциала простого слоя, двойного слоя и га суммы с плотностями, сосредоточенными на разных частях гиперповерхности £+, Рассмотрим здесь лишь один из вариантов. Представим решение задачи М* в виде

«(г)=.(И»1)(4)+.(И%)(г),»еС±, (.29)

где плотность «1 потенциала V сосредоточена на Е[", плотность /З? потенциала \¥ - на ЕЗ".

Представление (29) приводит к системам граничных уравнений

Г Я! {(№,)№ + = /(*), .хеЦ

\1Ь{{К}а1){Х) + №Ь){Х)} = д{Х), ХеЪ$

в которых Щ - операции сужения функций с Е+ на Е/", л = 1,2. Запишем формально эти системы в виде

АГйуЬ.й} = {/,<?}• (30)

о ,

Еведемпри т, к € К, г* > 0 пространства Яг;т,(,* (Е/), г = 1,2, т\т~ ющихся подпространствами 1Гг;т,*,х(£ ) состоящими из элементов .и с носителями вирр и С Е*. . Через I = 1,2, обозначим пространства образованные сужениями на Е/" элементов пространства Яг;тд;Х(£+). Основным моментом исследования систем граничных уравнений в задачах М± является изучение свойств операторов Ид;1^,р, I,} = 1,2, г ф которые сопоставляют элементам и € Я1р(5) пары {Щри, Я^/УДи} £ Я},„(й) х •

Свойства этих операторов исследованы в § 4.3. Сочетание полученных в этом разделе результатов со свойствами основных граничных операторов

позволило в ij 4.4 доказать однозначную разрешимость всех четырех типов граничных уравнении в задачах М*. Приведем здесь результат, касающийся непрерывности разрешающего оператора системы (30), составляющий часть утверждений теоремы 4.1.

Разрешающий оператор системы (30) при всех х > xq > 0,

к 6 R осуществляет непрерывное отображение

Яг;-*.*-** (2Г)х Нщ,^,«.(SÎ).

Теорема 4.2 утверждает, что при выполнений условий / 6 5 G ^ > ^о 0 вектор-функция и(Л') построенная по фор-

муле (29),. в которой ai, /32 - решение системы (30), дает решение задачи Л/*.

В заключении отметим, что результаты, полученные в работе, остаются справедливыми при i, меняющемся на конечном штервале (0, Г).

. Публикации

1. Чудинович И.Ю., Диенг С. Граничные уравнения в задачах нестационарной д¡фракции акустических волн с импедансным краевым условием. I. Теоремы существования решений / Харьк. ун-т.- Харьков, 1994 - 34с. Библиогр.: С.34- Деп. в ГНТБ Украины 20.07.94,

. К« 1330- УК94.

2. Диенг С. Граничные уравнения в задачах нестационарной дифракции ' акустических волн с импедансным краевым условием. II. Теоремы о

гладкости решений / Харьк. ун-т.- Харьков, 1994.- 20с. Библиогр.: С.20 - Деп. в ГНТБ Украины 20.07.94, № 1329- УК94. •

' '3. Диенг С. Граничные уравнения в задачах нестационарной дифракции акустических волн на многообразиях с краем / Харьк. ун-т.-Харьков, 1994,- 18с. Библиогр.: С.18- Деп. в ГНТБ Украины 10.01.94, № 46-УК94.

4. Chudinovich Î.Yu., Dieng S. Les méthodes de la théorie des potentiels dans les problèmes de la diffraction des ondes acoustiques // C.R. Acad. • Sci. Paris.- T.320, Ser.l.- 1995- № 7. - P.885-889.

5. ' Chudinovich I.Yu., Dieng S. Résolubilité des équations aux limites dans

les problèmes de la diffraction non stationnaire d'ondes acoustiques sur des variétés â bord // C.R. Acad. Sci. Paris.- T.320, Ser.l - 1995 -' № 8. -P.1019-1023. ' *

С'ал!у Дкнг. Розв'язшсть граничних р'тнянь у задачах нестационарно! дафракцц акустичних хвиль. Р-укопис. Дисертащя на здобуття наукового ступеня кандидата ф1зико-математинних наук за спещальшстю 01.01.03. -Математична ф1зика. Харювсышй державний университет. XapKiB. 1995.

Дисертащя, присвячена вивченню розв'язносТ1 граничних р1внянъ у ¡стотно нестацшнарних задачах дифракци акустичних хвиль на замкнених та незамкнегаа поверхнях. Розв'язки цих задач були представлеш у ви-гля/ц дгшашчних поверхиевих потенщал1в простого та подвитого шар!в.

представления ведуть до рЬномаштшк граничних р1внянь в1лносно не-, в ¡дом к густин потеншал1В, Доведено однозначну розв'язшсть цих р1внянь у шкалах функщональних простор1в типу соболевсышх.

Saliou Dieng. The solvability of boundary equations in nonstationary problems of the diffraction of acoustic waves. Manuscript. The dissertation is to achieve the degree of Doctor of Philosophy in mathematics on the speciality 01.01.03 - Mathematical Physics, Kharkov State University. Kharkov. 1995.

The dissertation deals with the study of the solvability of boundary equations in essential nonstationary problems of the diffraction of acoustic waves both on closed and unclosed surfaces. The solutions of these problems were represented in a form of dynamic surface single- and double-layer potentials. These representations lead to various' boundary equations with respect to the unknown densities of the potentials. The unique solvability of these equations is proved in the scales of functional spaces of Sobolev type.

Клк>чов1 слова: дифраюдя акустичних хвиль, поверхнев! потенц!али, граничш р1вняння, розв'язшсть у .просторах Соболева.

П1дп. до друкуФормат ООХ84'/ц. Ibnip друк . Друк пфсетннй Умовн.-зрук »рк. // О .

ОблЫ.-внд. арк. ftQ . Тираж ¿¿f прин. Зам. . Безллатио.

Пол1граф1чна фЁрма <Пр!нтал>. 310093, Харк1в, вул. Свердлова. П5.