Разрушение адиабатической инвариантности в некоторых задачах физики плазмы и гидродинамики тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 533.95

ВАЙНШТЕЙН ДМИТРИЙ ЛЕОНИДОВИЧ

РАЗРУШЕНИЕ АДИАБАТИЧЕСКОЙ ИНВАРИАНТНОСТИ В НЕКОТОРЫХ ЗАДАЧАХ ФИЗИКИ ПЛАЗМЫ И ГИДРОДИНАМИКИ

01.04.02 - теоретическая физика

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1997

^ Л

^ «У

Г ^

\

г

Работа выполнена в Институте космических исследований РАН

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Нейштадт А.И.

доктор физико-математических наук Тимофеев А.В.

кандидат физико-математических наук Сидоренко В.В.

Ведущая организация:

НИИЯФМГУ

Защита состоится " 26 " декабря 1997 г. в 10 часов на заседании специализированного совета Д 002.94.01 в Институте космических исследований РАН по адресу: г. Москва, ул. Профсоюзная, д. 84/32, подъезд^

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИКИ РАН.

Автореферат разослан

шидм

~7Г V

1997 г.

Ученый секретарь

специализированного совета, г^&^Р Нестеров В.Е.

к.т.н.

Актуальность темы

В последние десятилетия все возрастающее внимание привлекают к себе разнообразные проблемы, связанные с динамическим хаосом. Возможность хаотического поведения динамических систем классической механики была замечена еще Пуанкаре [1], но лишь в последнее время новые теоретические результаты, применение ЭВМ и более совершенная техника эксперимента привели к пониманию того, что явление динамического хаоса встречается в природе повсеместно и оказывает существенное влияние на физические процессы. Наиболее значительные результаты, полученные в этой области, а также основные методы исследования динамических систем со стохастическим поведением отражены в появившихся в последние годы монографиях обобщающего характера [2, 3, 4, 5, б].

Наличие в системе динамического хаоса или, иначе говоря, стоха-стичности, означает, что решения нелинейных уравнений, описывающих эволюцию системы, чувствительны к начальным условиям: траектории, исходно находившиеся сколь угодно близко друг от друга, быстро разбегаются. Это приводит к тому, что на длительных временах решения, по сути дела, ведут себя случайным образом. Существенным является тот факт, что хаотическое движение может иметь место в системах с малым числом степеней свободы.

Среди различных динамических систем, в которых наблюдается хаотическое движение, особое место занимают системы, близкие к интегрируемым, т.е. получаемые из интегрируемых путем наложения малого возмущения. Одним из ключевых понятий, используемых при исследовании систем такого рода, является понятие адиабатического инварианта (АШ)- величины, приближенно сохраняющейся в процессе движения.

Среди многочисленных приложений теории адиабатических инва-

рпантов можно выделить, например, описание движения заряженных частиц в магнитных ловушках, движения квазнчастиц в электромагнитных полях в твердых телах, распространения света внутри волновода.

В последние годы большое внимание уделялось как поиску условий "вечного" сохранения АИ, так и условий, при которых сохранение АИ нарушается. Важность такого рода исследований связана с тем, что если в процессе движения АИ сохраняется, то движение является близким к регулярному, в то время как разрушение адиабатической инвариантности может привести к хаотической динамике. Одной из причин, приводящих к разрушению адиабатической инвариантности в системах, близких к интегрируемым, являются скачки адиабатического инварианта при прохождении через сепаратрису [7, 8, 9, 10]. При этом важным является тот факт, что данный механизм возникновения хаотической динамнки ведет к образованию области хаоса, размер которой велик при сколь угодно малом возмущении.

Одной из активно развивающихся в последние годы областей применения теории адиабатических инвариантов является исследование движения заряженных частиц в хвосте магнитосферы Земли. Принципиальный результат, полученный в последние годы, состоит в том, что стохастпзацня движения частиц связана с разрушением адиабатической инвариантности вследствие переходов через сепаратрису, и эти эффекты в значительной степени определяют крупно- и мелкомасштабную структуру распределения плазмы в магнитосфере. В многочисленных публикациях, в частности в работах [11, 12, 13, 14], была исследована динамика частиц в рамках квазиадиабатической теории, описывающей эволюцию движения частиц, в частности, их ускорение под влиянием электрического поля. При этом оставались открытыми вопросы как о границах применимости квазиадиабатической теории, так и о более аккуратном исследовании эволюции адиабатических ин-

вариантов как в диффузионном, так и в недиффузионном режимах.

Еше одним классом систем, в которых наблюдается хаотическая динамика и в которых применение теории адиабатических инвариантов приводит к получению новых результатов, являются системы, сохраняющие фазовый объем, в частности, течения несжимаемой жидкости. Возросший в последние годы интерес к хаосу пиний тока в течениях Стокса вызван связью данной проблемы с двумя классами задач: возникновение хаотической адвекции (в частности, перемешивания в жидкости) [15, 16, 17] и рост магнитного шля (модель кинематического динамо) [18, 19]. В работе [20] было показано, что наличие динамо требует существования по крайней мере одной линии тока с положительным показателем Ляпунова. В работах [21] и [22] были предложены два примера ограниченных течений Стокса несжимаемой жидкости, поля скоростей которых отличаются малым возмущением от соответствующих интегрируемых полей и в которых, как показало численное моделирование, присутствует хаос линий тока. При этом вопросы о причинах возникновения хаоса линий тока и о характерном времени развития хаоса оставались открытыми.

Основные цели работы:

При исследовании поведения заряженных частиц в различных областях хвоста магнитосферы Земли основными целями являются:

• полное аналитическое исследование динамики заряженных частиц в области с обращением магнитного поля и в окрестности Х- и О-лшпш в хвосте магнитосферы Земли под влиянием неднородного магнитного (в том числе изменяющегося вдоль области обращения) и однородного электрического поля;

• вывод условий возможности использования адиабатических инвариантов при наличии переходов через сепаратрису;

• определение параметра, характеризующего меру хаотизацни движения частиц при наличии скачков адиабатического инварианта и дрейфа по уровню энергии;

• вывод формулы, описывающей ускорение частиц в случае, когда скачки адиабатического инварианта малы по сравнению с дрейфом по уровню энергии.

При исследовании хаоса линий тока в течениях Стокса основными целями являются:

• получение формулы, описывающей изменение адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису в трехмерных ограниченных течениях Стокса: в течении с квадратичным полем скоростей и в течении внутри капли, помещенной в линейный набегающий поток Стокса;

• исследование диффузии адиабатического инварианта вследствие многократных переходов через сепаратрису;

• определение размера области хаотической динамики и характерного времени развития хаоса линий тока.

Научная новизна

В диссертации приведен ряд новых теоретических и численных результатов, полученных при исследовании регулярной и стохастической динамики заряженных частиц в различных областях хвоста магнитосферы Земли под влиянием неоднородного (в том числе изменяющегося вдоль хвоста) магнитного и однородного электрического полей, а также при исследовании хаоса линий тока в трехмерных ограниченных течениях Стокса несжимаемой жидкости.

Аналитически исследована гампльтонова динамика заряженных частиц в различных областях хвоста магнитосферы Земли в случае, когда кривизна магнитных силовых линий много меньше характерного ларморовского радиуса частиц (что выполяется для основной части распределения ионов (XV > 50Эв) и энергичных электронов), вследствие чего теория ведущего центра не применима. Задача исследована в рамках теории возмущений, которая строилась на малости отношения характерных градиентов системы вдоль и поперек поля и малости электрического поля. В этом приближении введена иерархия движений.

Полностью исследовано движение в "дрейфовой" (усредненной по быстрым осцилляциям перпендикулярно к области обращения магнитного поля) системе. Построены все фазовые портреты дрейфовой системы. Выведены формулы, описывающие величину скачков АИ при переходе через сепаратрису быстрого движения. Определена область значений параметров задачи, при которых возможно использование квазиадиабатического описания движения частиц при наличии переходов через сепаратрису в области с обращением магнитного поля и в окрестности Х- и О- линий.

Показано, что накопление скачков при многократных пересечениях сепаратрисы приводит к диффузии АИ, что, в свою очередь, ведет к стохастизацип движения частиц. Введен параметр, определяющий меру хаоса в системе; этот параметр равен отношению характерного времени диффузии АИ к характерному времени дрейфа по уровню энергии под влиянием электрического поля. Показано, что наличие дрейфа по уровню энергии приводит к последовательной смене типов движения п видов фазовых портретов дрейфовой системы в задачах о, движении частиц в окрестности Х- и О- линий. Показано, что. это приводит К СТР-хастпзации движения частиц в окрестности Х-линии и регуляризации движения частиц в окрестности О-линии.

В частном случае, когда скачки АИ малы по сравнению с дрейфом

по уровню энергии, построен универсальный фазовый портрет и получена формула, которые описывают квазиадиабатическос ускорение частпп.

Исследовано возникновение хаоса линий тока в двух стационарных ограниченных течениях Стокса несжимаемой жидкости, введенных ранее в работах [21,22] и отличающихся малым возмущением от соответствующих интегрируемых течений. Показано, что это явление объясняется несохранением некоторого АИ, скачкообразно меняющегося при пересечении малой окрестности сепаратрисы невозмущенного течения возмущенной линией тока. Получена формула, описывающая эти изменения. Демонстрируется, что при сколь угодно малой величине возмущения область хаоса остается большой (порядка размера всей области течения). Показано, что изменения АИ при многократных переходах через сепаратрису могут рассматриваться как случайные блуждания и что накопление скачков приводит к диффузии АИ, полному разрушению адиабатической инвариантности и хаосу линий тока. На основе формулы для изменения АИ при переходе через сепаратрису определено характерное время развития хаоса линий тока, за которое линия тока, лежащая в области, где возможны переходы через сепаратрису, пройдет вблизи любой точки этой области.

Научное и практическое значение работы

Полученные в диссертации результаты могут быть использованы при решении ряда проблем физики плазмы и гидродинамики, а именно: исследование нелинейной динамики заряженных частиц в магнитных ловушках (в частности, в магнитосфере Земли), проблемы формирования функций распределения в бесстолкновительной плазме, теории перемешивания вязких жидкостей, возникновения кинематического динамо.

Объем и структура диссертации

Диссертация состоит из четырех глав, введения и заключения, изложена на 179 страницах машинописного текста и содержит 47 рисунков и 125 наименований в списке цитируемой литературы.

Апробация результатов

Основные результаты работ, составивших содержание диссертации, докладывались на международных конференциях "Динамические дни" в Будапеште, Венгрия (июнь 1994 г.), "Гамильтоновы системы с тремя и более степенями свободы" в Барселоне, Испания (июнь 1995 г.), "Транспорт, хаос и физика плазмы И" в Марселе, Франция (июль 1995 г.), "Перемешивание: хаос и турбулентность" в Каргезе, Франция (июль 1996 г.).

По теме диссертаций опубликовано 7 работ, список которых приведен в конце автореферата.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность темы работы, сформулированы

цели работы, приведены общая постановка задачи и основные урав-

«

нения, дан обзор работ по тематике диссертации и кратко изложены основные результаты, полученные диссертантом.

В первых двух главах теория АИ и, в частности, формула для изменения Ай при переходе через сепаратрису в гамильтоновых системах, используется при исследовании динамики заряженных частиц в хвосте магнитосферы Земли под влиянием неоднородного магнитного и однородного электрического полей.

В главе I в рамках теории возмущений рассматривается задача о поведении заряженных частиц в ближней зоне хвоста магнитосферы Земли, характерной чертой которой является обращение магнитного

где ось х направлена к Земле, ось у лежит в экваториальной плоскости и направлена с утра на вечер, ось 2 направлена перпендикулярно экваториальной плоскости с юга на север; (3 (•) - нормированная нормальная компонента магнитного поля. Теория возмущений строится на плавности изменения магнитного поля г/, малости нормальной компоненты магнитного поля по отношению к продольной к и малости электрического поля е. Для ионов выполняются соотношения V < /с, е <С 1. В этом приближении можно ввести иерархию движений. Самым быстрым является движение в плоскости (г,Р*) (г-движение). Далее, после усреднения по г-движению, можно исследовать движение на плоскости (х,Рх) (г-движение). В последнюю очередь рассматривается движение на плоскости (¿, /г).

. Усреднение по г-двшкению сводит задачу к системе, содержащей степени свободы, параметром которой является адиабатический инвариант г-движения 1г. Наличие на фазовом портрете ¿-движения сепаратрисы приводит к хаотизации траекторий тех частиц, которые пересекают ее в процессе я-движения. Причиной этого являются скачки АИ 1г, происходящие при каждом пересечении. Получена формула, описывающая величину скачка АИ. Фазовый портрет ^-движения делится на две части: область стохастического движения, заполненную траекториями частиц, пересекающих сепаратрису ¿-движения, и область регулярного движения.

Помимо скачков АИ, на динамику частиц влияет наличие электрического поля, которое, вследствие неоднородности продольной компо-

поля. Движение описывается гамильтонианом с 2| степенями свободы:

21

центы магнитного поля приводит к дрейфу по фазовому портрету х-движення, соответствующему дрейфу по энергии, т.е. ускорению частиц. Демонстрируется, что на ускорение частиц влияют только крупномасштабные изменения магнитного поля, размер которых сравним с амплитудой я-колебаннй. Дрейф по энергии приводит к переходу частиц из области регулярного в область стохастического движения. Получена формула, определяющая время, необходимое для этого перехода. Кроме того, ускорение частиц приводит к их дрейфу в сторону Земли в реальном пространстве.

Таким образом, тнп движения частиц (регулярное пли стохастическое) определяется соотношением между характерными временами изменения АИ и дрейфа по энергии. Показано, что параметр 6 = к3/е1> служит мерой хаотичности движения частиц. При <5 -С 1 определяющим является дрейф, скачки суть лишь малые поправки на его фоне, и движение частиц практически регулярно. Это соответствует тому, что частицы ускоряются и выходят из хвоста раньше, чем их движение успевает хаотизироваться. В противном случае, наоборот, можно пренебречь дрейфом на фоне скачков. В этом случае движение частиц полностью хаотическое.

В случае, когда скачки 1г можно считать малыми добавками на фоне дрейфа, задача допускает асимптотически точное решение по теории возмущений. Демонстрируется, что в этом случае обосновано применение квазиадиабатической теории. В частном случае орбит с /, С 1, что соответствует сильно вытянутым орбитам с далекой точкой отражения, получены аналитические формулы, описывающие ускорение частиц.

В главе II рассматривается задача о движении заряженной частицы в хвосте магнитосферы Земли в окрестности особых прямых (О- и X-лншш), на которых магнитное поле обращается в нуль.

Движение частиц описывается гамильтонианом с степенями свободы:

1

"=2

Задача исследуется в рамках теории возмущений, которая строится на двух малых параметрах: малости отношения характерных размеров систем в г- и я- направлениях (Л) и малости электрического поля (г); в - параметр, равный +1 в задаче об Х-линии и —1 в задаче об О-линии. Величина Ру является интегралом системы.

Экспериментальные данные дают значения •¡^<А2<|иу^<г< Таким образом, новое время т = Ру + е< будет медленным, и, так как £ С А < 1, можно ввести иерархию движений, совпадающую с приведенной в главе I.

Усреднение по г-движению приводит к так называемой дрейфовой гамильтоновой системе с одной степенью свободы, зависящей кале от параметров от медленного времени т и АИ г-движения /,. В адиабатическом приближении построены все возможные типы фазовых портретов дрейфовой системы.

В ходе изменения медленных переменных в дрейфовой системе фазовая точка пересекает сепаратрису .г-движения. Показано, что наличие хаоса в этой задаче связано с несохранением АИ при переходе через сепаратрису. Получена формула для скачка 1Х на сепаратрисе, что дало возможность оценить характерное время диффузии АИ, по прошествии которого движение частиц полностью хаотизируется. Однахо наличие электрического поля приводит к тому, что частицы ускоряются и уходят из рассматриваемой области. Таким образом, стеиень хаотизации частиц определяется соотношением характерного времени ускорения и

характерного времени скачков АИ. Это соотношение описывается па-дз

раметром 6 = —. При 6 <С 1 определяющим является дрейф, скачки -

лишь малые поправки на его фоне п движение частиц практически регулярно. В противном случае, наоборот, можно пренебречь дрейфом на фоне скачков. В этом случае движение частиц полностью хаотическое.

Наличие малого электрического поля приводит к ускорению частиц, медленному изменению параметра (медленного времени) дрейфовой системы, последовательной смене типов ее фазового портрета, транспорту частиц из области регулярного движения в область движения с переходами через сепаратрису в задаче об Х-линии и в обратную сторону (т.е. из области стохастического в область регулярного движения) в задаче об О-линии. Эти процессы описывает построенный универсальный фазовый портрет усредненной по дрейфовому движению системы на плоскости время - энергия. Получена формула, описывающая ускорение частиц.

В третьей и четвертой главах теория адиабатических инвариантов применяется при исследовании течений, сохраняющих фазовый объем. Исследуется хаос линий тока в двух трехмерных ограниченных течениях Стокса несжимаемой жидкости.

В главе III рассматривается введенное в работе [21] стационарное течение несжимаемой жидкости с квадратичным полем скоростей и хаотическими линиями тока, имеющее ограниченную инвариантную область - единичный шар и удовлетворяющее уравнениям Стокса; причем поле скоростей отличается на величину порядка е от интегрируемого. Рассматривается случай малых значений параметра е: 0 < е <С 1-При е = О линии тока регулярны. В [21] численно показано, что при сколь угодно малом е ф 0 весь единичный шар становится областью хаоса линий тока (типичная линия тока при неограниченном продолжении стремится заполнить всюду плотно единичный шар). Это свойство отличает рассматриваемое течение от многих других течений, получаемых малым возмущением течения с регулярными линиями тока.

В рассматривавшихся ранее примерах таких течений область хаоса стремится к нулю при стремлении к нулю величины возмущения (см., например, [5]).

Для приближенного описания поведения линий тока используется метод усреднения [23]. Усредненная система имеет интеграл, который для точной системы является адиабатическим инвариантом. Численное интегрирование показывает, что значение Ай вдоль линии тока испытывает скачок, когда линия тока пересекает малую окрестность сепаратрисы невозмущенной (е = 0) системы. Накопление этих скачков при многократных переходах через сепаратрису приводит к диффузии АИ и возникновению хаоса линий тока.

В рассматриваемой главе получена асимптотическая формула для скачка АИ при переходе через сепаратрису. Скачок пропорционален величине е3^4 и является квазислучайным: величина скачка сильно меняется при малом изменении начальных условий. Скачки приводят к диффузии Ай на величину порядка 1 за время порядка е-5/2. Это вре-_ мя является и характерным временем диффузии пассивной примеси в рассматриваемой системе.

Следует отметить, что данная задача не сводится к задачам, рассмотренным в |8, 9, 10] и в первых двух главах настоящей диссертации. Для систем из [8, 9, 10] сепаратриса невозмущенной задачи состоит из траекторий, проходящих через семейство вырожденных особых точек. Сепаратриса данной системы состоит из траекторий, проходящих через невырожденные особый точки.

В главе IV рассматривается еще один пример сохраняющего фазовый объем течения Стокса внутри сферы, в котором, как показало компьютерное моделирование, имеет место хаос линий тока.

Это течение, введенное в работе [22], реализуется в задаче о течении внутри сферической капли жидкости, погруженной в поток другой

жидкости (жидкости несжимаемы, имеют одинаковую плотность, но разные вязкости), вдали от капли скорость потока является линейной функцией координат.

Если набегающий поток вдали от капли безвихревой на бесконечности (невозмущенное течение), то задача интегрируема, почти все линии тока внутри капли замкнуты. Численное исследование задачи, выполненное в [22], показало, что при сколь угодно малой завихренности набегающего потока, если ее вектор не параллелен оси симметрии невозмущенного течения, внутри капли возникает область хаоса линий тока, размер которой не стремится к нулю при стремлении завихренности к нулю. Имеется также область, заполненная регулярными линиями тока. Соотношение между размерами областей регулярного и хаотического движений определяется углом между направлением вектора вихря и одной из главных осей тензора скорости деформации набегающего потока вдали от капли.

В настоящей главе показано, что хаотическая адвекция в течении, введенном в [22], возникает в результате квазислучайных скачков АИ системы при многократных переходах линии тока через некоторую особую поверхность - сепаратрису невозмущенной задачи.

Невозмущенное течение имеет двумерную сепаратрису, состоящую из гетероклинпчеекпх траекторий, соединяющих невырожденную особую точку с семейством вырожденных особых точек. Для приближенного описания поведения линий тока точной системы использован метод усреднения [23]. Усредненная система имеет ннтеграл, который является АИ точной системы. Вблизи сепаратрисы невозмущенной системы, однако, точность метода усреднения ухудшается, поскольку "быстрая" фаза, по которой проводится усреднение, здесь меняется медленно, В этой области требуется отдельное рассмотрение точности сохранения АИ.

При наличии завихренности, если се вектор не параллелен оси

симметрии, некоторые лшшп тока пересекают сепаратрису. В малой окрестности сепаратрисы значение АИ вдоль линии тока испытывает квазислучапное изменение, что приводит к хаотизации линий тока. В то нее время вдоль линий тока, которые целиком располагаются вдали от сепаратрисы, АИ сохраняется с высокой точностью, и движение остается регулярным для большинства линий тока.

В работе выводится формула для скачка АИ при переходе через сепаратрису в рассматриваемом течении. Показано, что величина скачка велика (порядка т/ё) п квазислучайна, т.е. сильно зависит от малых изменений начальных условий. Такие скачки при многократных переходах через сепаратрису приводят к диффузии АИ на величину порядка 1 за время t ~ £~2. За это время линия тока проходит вблизи любой точки области хаотического движения. Размер этой области, вообще говоря, велик (порядка 1) и зависит от направления вектора вихря возмущения.

С точки зрения необходимой математической техники основное отличие данной задачи от рассмотренных ранее (в том числе в предыдущих главах настоящей диссертации) задач об изменении АИ при переходе через сепаратрису состоит в следующем. В данной задаче сепаратриса проходит как через невырожденную, так и через вырожденные особые точки. В рассмотренных ранее задачах имелись либо невырожденные (глава III настоящей диссертации), либо семейства вырожденных особых точек (работы [8, 9,10] и главы I и II настоящей диссертации).

В Заключении приводятся основные результаты и выводы работы.

Основные результаты и выводы

1. В рамках теории возмущений аналитически исследована гамиль-

тонова динамика заряженных частиц в различных областях хвоста магнитосферы Земли под влиянием продольно неоднородного магнитного и однородного электрического полей.

2. Проведено разделение движения частиц на быстрое перпендикулярно к области обращения магнитного поля, более медленное вдоль области обращения и самое медленное, соответствующее движению на плоскости (время, энергия). Построены все фазовые портреты дрейфовой системы. Выведены формулы, описывающие величину скачков адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису быстрого движения в задачах о движении частиц в области с обращением магнитного поля, при учете его продольной неоднородности и в окрестности Х- и О- линий.

3. Определена область значений параметров задачи, при которых возможно использование квазиадиабатнческого описания движения частиц при наличии переходов через сепаратрису.

4. Продемонстрировано, что накопление скачков при многократных пересечениях сепаратрисы приводит к диффузии адиабатического инварианта. Введен параметр, определяющий меру хаотичности движения частиц; этот параметр равен отношению характерного времени диффузии адиабатического инварианта к характерному времени дрейфа по уровню энергии под влиянием электрического поля.

5. В частном случае, когда скачки АИ малы по сравнению с дрейфом по уровню энергии, построен универсальный фазовый портрет и получена формула, которые описывают квазиадпабатиче-ское ускорение частиц.

6. Исследовано возникновение хаоса линий тока в двух стационарных

ограниченных течениях Стокса несжимаемой жидкости, отличающихся малым возмущением от соответствующих интегрируемых полей. Показано, что в рассмотренных течениях это явление объясняется несохраненпем некоторого адиабатического инварианта, скачкообразно меняющегося при пересечении малой окрестности сепаратрисы невозмущенного течения возмущенной линией тока. При сколь угодно малой величине возмущения область хаоса остается большой (порядка размера всей области течения).

7. Построены фазовые портреты усредненных систем, что дало возможность определить область хаоса в течении внутри капли, помещенной в линейный набегающий поток Стокса.

8. Продемонстрировано, что накопление скачков при многократных переходах через сепаратрису приводит к диффузии адиабатического инварианта, полному разрушению адиабатической инвариантности и хаосу линий тока. Определено характерное время развития хаоса линий тока.

Основные положения настоящей диссертации опубликованы в работах:

1. Vainshtein D.L., Vasiliev А.А., and Neishtadt A.I. Changes in the adiabatic invariant and streamline chaos in confined incompressible Stokes flow //Chaos. 1996. V.6. P.67-77.

2. Neishtadt A.I., Vainshtein D.L., and Vasiliev A.A. Diffusion of adiabatic invariant and chaotic advection in a confined incompressible

. Stokes flow //In: Transport, chaos, and plasma physics 2, Advanced Sériés in Nonlinear Dynamics - V.9. Eds. S.Benkadda, P.Doveil, and Y.Elskcns. World Scientific. 1996. P.154-163.

3. Vainshtein D.L., Vasiliev A.A., and Neishtadt, A.I. Adiahatu: chaos in a two-dimensional mapping //Chaos. 1996. V.G. P.514-518.

4. Вайнштейн Д.Л., Зеленый JI.M., Нсйштадт А.И. Квазнадиабати-чсскос оппсанпс движения заряженных частиц в конфигурациях с обращением магнитного поля //Физика Плазмы. 1995. Т.21. н.6. С.484-491.

5. Vainshtein D.L., Neishtadt A.I., and Zelenyi L.M. The regular and stochastic motion of charged particles in the earth magnetotail. //In: Transport, chaos, and plasma physics 2, Advanced Series in Nonlinear Dynamics - V.9. Eds. S.Benkadda, F.Doveil, and Y.Elskens. World Scientific. 1996. P.230-237.

6. Вайнштейн Д.Л., Зеленый Л.М., Нейштадт А.И. Квазиадиабатическое описание движения заряженных частиц в окрестности X' линии //Физика Плазмы 1996. Т.22. н.11. С.1039-1045.

7. Neishtadt A.I., Vainshtein D.L., and Vasiliev A.A. Chaotic advection in a cubic Stokes flow //UIUC ТАМ report 857. 1997.

Список литературы

[1] Poincare H. Les metodes nouvelles de la mechanique celeste. V.l-3. Paris 1892 - 1894. (Русский перевод: Пуанкаре А. Новые методы небесной механики. Т. 1-2, - М.: Наука. 1971-1972. 450с.)

[2] Лихтенберг А., Лпберман М. Регулярная и стохастическая динамика. - М.: Мир. 1984. 528с.

[3] Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической п небесной механики - Итоги науки и техники. Современные проблемы математики. - М.: ВИНИТИ, сер. Современные проблемы матсметшот. 1985. Т. 3. 220с.

[4] Заславский Г.М., Сагдсев Р.З. Введение в нелинейную физику. -М.: Наука. 1988. 372с.

[5] Заславских! Г.М., Сагдсев Р.З., Усиков Д.А., Черников A.A. Слабый хаос и квазнрегулярные структуры. - М.: Наука. 1991. 240с,

[6] Katok A.B., Hasselblatt В. Introduction to the modern theory of dynamical systems. - Cambridge, New York, NY, USA: Cambridge University Press. 1995. 802p.

[7] Тимофеев A.B. К вопросу о постоянстве адиабатического инварианта при изменении характера движения //ЖЭТФ. 1978. Т.75. н.10. C.1303-130S.

[8] Нейштадт А.И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису //Физика плазмы. 1986. Т.12. С.992-1000.

[9] Нейштадт А.И. Об изменении адиабатического инварианта при переходе через сепаратрису в системах с двумя степенями свободы //ПММ. 1987. Т.51 н.5. С.750-757.

[10] Сагу J.R., Escande D.F., Tennyson J.L. Adiabatic invariant change due to separatrix crossing //Phys. Rev. 1986. V.A34. P.4256-4275.

[11] Chen J. and Palmadesso P.J. Chaos and nonlinear dynamics of single-particle orbits in a magnetotail-like magnetic field //J. Geophys. Res. 1986. V.91. P.1499-1508.

[12] Büchner J., Zelenyi L.M. Regular and chaotic charged particle motion in a magnetotail-like magnetic field reversals, 1, Basic theory of trapped motion //J. Geophys. Res. 1989. V.94. P-11821-11842.

[13] Зеленый Л.М., Зогин Д.В., Бюхнер Й. Квазиадиабатическая динамика заряженных частиц в магнитосферном хвосте //Космпч. псслед. 1990. Т.28. н.З. С.430-444.

[14] Moses R.W., Finn J.M. and Ling К. M. Plasma heating by collisionless magnetic rcconncctiori: Analysis and computation //J. Geophys. Res. 1993. V.98. N. A3. P.4013-4040.

[15] Chaiken J., et al. Experimental study of Lagrangiaa turbulence in a Stokes flow //Proc. Roy. Soc. London. A 1986. V.408. P.165-174.

[16] Chaiken J., et al. Lagrangiaa turbulence and spacial complexity in a Stokes flow //Phys. Fluids. 1987. V.30. P.687-694.

[17] Swanson P.D., and Ottino J.M. A comparative computational and experimental study of chaotic mixing of viscous fluids //J. Fluid Mech. 1990. V.213. P.227-249.

[18] Вайнштейн С.И., Зельдович Я.Б. О происхождении магнитных полей в астрофизике //УФН. 1972. Т.106. н.З. С.431-457.

[19] Вайнштейн С.И., Зельдович Я.Б., Рузмайкин А.А. Турбулентное динамо в астрофизике. - М.: Наука. 1980.

[20] Вишик М.М. О генерации магнитного поля трехмерным стационарным течением проводящей жидкости при больших магнитных числах Рейнольдса //Известия АН СССР. Физика Земли. 1988.

. Т.З. С.3-12.

[21] Bajer К., Moffatt Н.К. On a class of steady confined Stokes flows with chaotic streamlines //J. Fluid Mech. 1990. V.212. P.337-363." '

[22] Stone H.A., Nadim A., and Strogatz S.H. Chaotic streamlines inside drops immersed in steady Stokes flows //J. Fluid Mech. 1991. V.232. P.629-646.

[23] Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. - М.: Наука. 1974. 504с.