Регуляризованный спектральный анализ и решение уравнений 1 рода с конечномерной нелинейностью тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

О

со а.

На правах рукописи

АГЕЕВ Александр Леонидович

РЕГУЛ ЯРИЗОВАННЫЙ СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ И РЕШЕНИЕ УРАВНЕНИЙ 1 РОДА С КОНЕЧНОМЕРНОЙ НЕЛИНЕЙНОСТЬЮ

01.01.07 - вычислительная математика

АВТОРЕФЕРАТ

диссертация па соискание ученой степени доктора фпзико-математических наук

Екатеринбург - 1997

Работа выполнена в Отделе некорректных задач анализа, н приложений Института математики н механики УрО РАН.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М.М.Карчевский, доктор физико-математкчсских наук,

профессор И.В.Мельникова, доктор физико-математических наук, профессор В.А.Морозов

Ведущая организация: Институт математики СО РАН

в 11 час. на заседании диссертационного совета Д 053.29.10 при Кэ-

420008, г/Казань, ул. Университетская, 17, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Казанского государственного университета.

занском государственном университете по адресу:

1997 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Большое количество научных и инженерных задач некорректно поставлены, т.е. малые возмущения исходных данных могут приводить к большим изменениям b результатах. Благодаря прежде всего работам А.Н.Тихонова, В.К.Иванова, М.М.Лаврентьева и их учеников был разработан общий подход к решению некоррект пых задач - метод регуляризации, построены многочисленные конкретные регуляризируюшие алгоритмы и проведена их апробация на модельпых и реальных задачах. Среди других авторов, внесших существенный вклад на этапе становления теория, необходимо упомянуть D.L.Fliillips, R.Lattes, J.-L.Lions, В.Я.Арсешпта, А.Б.Бакушинского, В.В.Васипа, В.А.Винокурова, А .Ю.Веретеннякова, Ф.П.Васильева, Г.М.Вайникко, В.П.Гласко, Ю.Л.Гапоненко, А.В.Гончарского. А.С.Леонова, О.А.Лисковца, В.А.Морозова, В.Н.Страхова, А.Г.Яголу и др. Дополнительные ссылки можно найти, например, в [2], [4j-[7j, [10]-[12], (11], (25] и обзоре (13].

Особенно хорошо разработана, теория линейных некорректных задач в ситуации, когда работает аппарат спектрального разложения самосопряженных операторов. Не претендуя на полноту, упомянем несколько авторов. Спектральный анализ использовался для построения методов (А.Б.Бакушянский, В.К.Иванов), изучения сходимости методов и различных правил останова (Г.М.Вайникко), оценки погрешности методов регуляризации на компакте (см.обзор [13]). Для линейных уравнений знание спектральных характеристик позволяет обеспечить гарантированный уровень качества приближенного решения.

Проблема в том, что, за исключением специальных уравнений (типа свертки, типа Вольтерра и т.п.), для широкого класса некорректных задач существующие в настоящее промя аналитические методы не позволяют определять спектральные Характеристики оператора задачи. Существенные сложности в применении спектрального анализа также возникают в случае ^коммутируемости оператора задачи и информационного оператора. Решение интегральных уравнений 1 рода.

г '

возниканнцих в структурных исследованиях неупорядоченных материалов, выявило ряд трудностей и недостаточность имеющегося аппарата.

С развитием вычислительных средсти наряду с аналитическими приемами исследования стали интенсивно-развиваться алгоритмические (*шслеты«) методы, заключающиеся, например, в аппроксимации оператора зад ачи матрицей и использовании алгоритма сингулярного разложения (ЭУЮ). В частности, на основе БУО-расчетов можно исследовать задачу решения системы линейных алгебраических уравнений на (неединственность [3].

Некорректные задачи о;щако характеризуются тем, что 0 не яшш-ется изолированной точкой спектра оператора задачи. В этом случае способ действий, описанный выше, не дасг разумных результатов при определении собственных (сингулярных) функций, отвечающих собственным (сингулярным) числам близким к 0., ввиду неустойчивости возникающей задачи. Поэтому необходимо развитие регулярных (устойчивых) методов спектрального анализа и создание на этой основе эффективных и надежных алгоритмов решения некор!>ектно носта-вленных задач.

Цель работы состоит в построении регулярного (устойчивого) варианта спектрального апализа и развитии на этой основе методов решения линейных и нелинейных уравнений 1 рода.

Методы исследования. Работа полностью укладывается в рамки теории и методов решения некорректно поставленных задач. В диссертации используется аппарат функционального ан длиэа, спектральной теории, дискретной аппроксимации и вычислительной линейной алгебры.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1) Для неустойчивой невыпуклой задачи определения собственного подпространства линейного непрерывного ¿»ператор^, отвечающего неизолированной точке спектра, разработаны два новых регулярных метода; изучена связь между этими методами и методом Тихоно-

ва; в терминах аппарата дискретной сходимости получены достаточные условия конечномерной аппроксимации регуляризованных задач. Практическое построение регуляризованного решения сведено к частичной проблеме собственных значений л ля симметричной матрицы, зависящей от параметра регуляризации, при подходящем выборе этого параметра.

2) Введено новое определение (пе)единственности решения для совокупности эквивалентных по точности уравнений 1 рода а условиях приближенно заданного оператора при фиксированном уровне возмущений. Построены алгоритмы, позволяющие исследовать (неединственность решения линейных некорректно поставленных задач.

3) На основе аппарата дискретной аппроксимации предложен подход, позволяющий построить методы регуляризации в гильбертовых пространствах ш! при 0 < (3 < 1, содержащих разрывпые функции как для задачи решения уравнения 1 рода, так и для аппроксимации собственного подпространства линейного оператора. Отличительной особенностью этих алгоритмов является их линейность, в отличие от методов восстановления разрывных функций в пространствах функций ограниченной вариации (И.Ф.Дорофеев, А.С.Леонов, В.И.Затонов и др.).

4) Выделен новый класс уравнений 1 рода с конечномерной нелинейностью, для которого построены два регулярных итерациоппых процесса, сходящихся к решению уравнения при минимальных требованиях на гладкость искомого решения, что существенно дополняет результаты других авторов {14], [16]. Полученные результаты позволяют обосновать для широкого круга прикладных задач метод коррекции параметров решения линейных уравнений 1 рода, работоспособный в условиях больших систематических погрешностей.

5) Эффективность построенных методов продемонстрирована па решении прикладных интегральных уравнений 1 рода, возникающих в структурных исследованиях материалов, зондировании ионосферы, геофизике.

' Теоретическая и практическая ценность работы заключается

в том, что

— построены новые методы регуляризации неустойчивой задачи определения базиса собственного подпространства линейного оператора, отвечающего неизолированной точке спектра этого оператора;

— разработаны методы исследования (не)единственности решения линейных уравнений 1 рода; <

— развита методика эффективного вычисления оценок погрешности регуляризушших алгоритмов на компакте;

— предложены новые итерационные методы решения операторных уравнений 1 рода с конечномерной нелинейностью;

— построенные алгоритмы успешно применены для решения ряда трудных прикладных задач, возникающих при исследовании структуры материалов, радиозондировании ионосферы, в геофизике.

Апробация работы. Работа выполнена в отделах прикладных задач и некорректных задач анализа и приложений Института мате- J ыатики и механики УрО РАН. Основные результаты диссертации докладывалась на: семинаре чл.кор. АН СССР В.К.Иванова в УрГУ (1984, Свердловск); семинаре д.ф,-ы.н. В.А.Морозова в НИВЦ МГУ (1984, 1996, Москва); Всесоюзной конференции "Условно-корректные задачи математической физики" (1989, Алма-Ата); Международной конференции "Некорректно-поставленные задачи в естественных науках" (1991, Москва); XI конференции по теории операторов в функциональных пространствах (1986, Миасс); Всероссийской научно-практической конференции, посвященной памяти В.К.Иванова (1995, Екатеринбург); Междунарсдной конференции "Обратные и некорректно • поставленные задачи", посвященной памяти А.Н.Тихонова (1996, Москва); семинаре д.ф.-ы.н. А.Г.Яголы на физическом факультете МГУ (1996, Москва).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [17] - [27]. В книгах [25], [27} автор} принадлежит содержание гл.3; §5,6 гл.5; частично гл.6 и приложение в [27]. В [24], [26] автором были предложены и обоснованы регулярные итерационные процессы решения задач с конечномерной нелинейностью.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения и списка литературы, содержащего 109 наименований. Объем работы - 198 страниц.

Автор считает своим приятным долгом поблагодарить прежде всего своего научного руководителя чл.-кор. РАН В.В.Васина и коллег по совместной работе Ю.А.Бабанова, Б.В.Воронину, Н.В.Ершова, Т.В.Антонову.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении сДелан обзор литературы, примыкающей к теме диссертации, кратко изложено содержание работы и приведено доказательство некорректности задачи аппроксимации А'сгА (ядра или нуль пространства) линейного непрерывного оператора А с незамкнутой областью значений R(A), по приближенно заданному оператору ЛА : ||Л - Лай <

Всё рассмотрения в гл.1 проводятся в сепарабельных бесконечномерных гильбертовых пространствах X, Y, Z. Линейный непрерывный оператор задачи А действует из X в У, а линейный неограниченный оператор L (информационный оператор) действует из X в Z с областью определения D(L), всюду плотной в X . Относительно L также предполагается, что Kerb конечномерно, область значения X есть все пространство Z и на Z существует вполне непрерывный правый обратный оператор L"1 , т.е. LL~l — I и R(L~X) = KtrLL.

В §1-3 главы 1 построены вариационные методы регуляризации задачи аппроксимации Кет А по оператору Ah (аналоги методов Тихонова, невязки, Лаврентьева и квазирешений). Постановка задачи возникла при исследовании интегрального уравнения, имеющего неединственное решение [17]. Близкая по постановке задача позднее изуча лась в работе В.П.Тананы и М.А.Реканта (1984)'. Отметим также работы В.П.Тананы, С.А.Рогожина, В.П.Тананы и Т.Н.Рудаковой, в которых рассматривались вопросы оптимальности методов регуляризации для уравнений, имеющих неединственное решение.

В §4 обсуждается вопрос вычисления модуля непрерывности ш{Ь, г) на компакте и задача оценки погрешности оптимального на компакте метода в условиях точно заданного оператора. Отметим, что в случае возмущенного оператора точные по порядку оценки погрешности большинства методов регуляризации выражаются через функцию и>(&.> ) (см. [4]). Изучение этого круга проблем началось с работ В.К.Иванова, Т.И.Королюк, С.Б.Стечкина, В.Н.Страхова. За дальнейшими ссылками отошлем к обзору [13] (см. также [2]). Использование аналитических методов вычисления ш(6,г) требует знания спектра оператора А и коммутируемости операторов А и Ь (или А*А и Ь'Ь). Алгоритмический подход сйимает эти трудности. Построенные алгоритмы, реализующие формулу вычисления и(6, г), полученную е [15], работоспособны при минимальных требованиях на операторы А а Ь (аналогичный подход для коммутирующих операторов А а Ь позднее рассматривался в [2]).

В §5 изучается вопрос о (не)единствепности решения уравнений 1 рода. Поскольку классическое понятие (не)единственности неустойчиво относительно малых возмущений оператора, вводится понятие (не)единственности для всей совокупности уравнений, эквивалентных по точности. Отметим, что идея перехода от решения индивидуальной системы линейных алгебраических уравнений к решению совокупности уравнений, эквивалентных по точности, высказывалась А.Н.Тихоновым в работах [8], [9].

Перейдем к более подробному изложению содержания главы.

В §1 введено понятие Ь—базиса и исследованы его свойства, Обо/ значим через Ь\ сужение оператора £ на #егЛп£>(£). Напомним, что правыми сингулярными числами 14 и правыми сингулярными векторами XI оператора Ь\ называются квадратные корни из собственных чиссл оператора Ь\Ь\ и соответствующие собственные функции.

Определение 1.1 Оргонормироваяный базис из правых сингулярных векторов {х,} оператора занумерованных так, что соответствующие собственные числа упорядочены по возрастанию, называется 1-базисом ядра оператора А или просто ¿-базисом. Совокупность всех

Г-базисов обозначается МЬ.

Для исследования свойств ¿-базисов удобно дать эквивалентное определение для его элементов, являющееся выражением экстремал!.-ного свойства для сингулярных векторов оператора Ь\.

Определение 1.2. Пусть Х\ = КегА П В{Ь) ф {0}. Обозначим через х,- решения экстремальных задач

тт{81х1: х € X,, И = 1}, (1)

где X,- = {г € Х1 : ~ 0 для ] = 1,2,...,» — I}. Совокупность

{г,} решений (1) называется £~базпсом ядра оператора А.

Далее вводится понятие близости между совокупностями ортоно-рированных базисов. Пусть М\ и Мц есть два множества ортонорми рованных базисов в подпространствах Л'1 и X2 соответственно. Определим расстояние между ними:

(1Ы(М,. М2) = вир Ы игах Цх,- - ; [2)

тм(МиМ2) = вир Ы шах - . (3)

{г()сЯ1 Ыелм<'<л

ХЛтределеш.е 1.3. Будем говорить, что Мг(Д) сходится (Ь-сходщся) к М-2 при Д —<• 0, и обозначать М{(Д) —► Мг (М\{&) Мч) при Д —* 0, если (ИтХ1(Д) > сИтХ2 и для любого натурального N \ 1 < N < (ИтХ2 справедливо

¿н(М1(А),М) 0 (глг(М,(Д),М) — 0) при Д 0.

Методы Тихонова и Лаврентьева конструируются в §2. Регудяри-зованным решением в методе Тихонова является решение следующей спектральной задачи

ооА_оА _ \oA_oA -. \оА гл\

¡3 XI , — ^ / (4/

где 5лЛ = А^А/, -\-ceL*!., а обозначение А?л У говорит, что собственные числа упорядочены по возрастанию. Множество всех регуляризовзн-ных решений обозначается через Мак. Существонание регуляризован-

ной системы {:rfA} и эквивалентность задачи (4) соответствующей вариационной проблеме устанавливается в теореме 1.1. В теоремах 1.2, 1.3, 1.4 изучены свойства сходимости метода Тихонова.

Теорема 1.2. Если К er А Л D(L) ф {0}, то Mah ML при a,h,h2/a 0.

Теорема 1.3. Если Кет А П D(L) ф {0}, то Mah —► ML при a, h -» 0, h2/a < const.

В теореме 1.4 рассмотрен случай KerAf)D(L) = {0} и доказано неограниченное возрастание при a,h —* 0, h2/a < const. Это

утверждение диалогично известному для уравнений 1 рода результату В.П.Маслова Об эквивалентности существования решения и сходимости регуляризукнцего алгоритма.

В методе Лаврентьева предполагается, что операторы А и Ah симметричны. Вместо оператора Sah используется оператор SfA = А^ + aL*L и регуляризованное решение есть решение спектральной

задачи

Sfxf = \fxf (Л?*/*)- (5)

Множество всех регуляризонанных решений обозначается через М{\

В теореме 1.5 устанавливается существование решения задач (5).

Теорема 1.6. Если КегА П D{L) ф {0}, то M?h ML при а,/»,Л/а-+0.

В §3 изложены методы невязки и квазирешений, установлены связи между методами Тихонова, невязки, квазирешений.

Обратимся к методу невязки. Пусть Xi = D(L), {х*}-решения следующих вариационных :>адач:

min{||Ix||: х е Xif |х|| = 1, ¡AHxl<h}, (6)

где Xi ~ {х 6 A'i : (г,xj) — 0 для j — 1,2,... ,t — 1}. Множество всех регуляризоаанных решений обозначается через МА.

Метод квазирешений определяется с помощью последовательности вариационных задач. Пусть A'f = D(L), {г,-А}-решения задач

: х е XU ||*|| = 1, |£х|| < г}, ,(7)

где Х[ = {х € Х{ : {х,*?) = 0 для = 1,2,...,»- 1}; г-парлметр, задающий компакт. Множество всех регуляризованных решений обозначается через МгА.

В теоремах 1.7 и 1.10 при условии, что Кет А П ф {0} устанавливается сходимость МАс (К = сЛ, с < 1) и Мг\ к совокупности базисов в КегАоБЩ. Если КсгАГ\0(Ь) = {0}, то в теореме 1.8 для метода невязки доказывается неограниченное возргютание |£.е{| при /»-* 0.

В теоремах 1.9 и 1.11 выясняется связь решений задач (6) и (7) с решением задачи (4) при соответствующем выборе параметра регуляризации а. Таким образом обоснованы дна принципа (невязки и квазирешений) выбора параметра регуляризации а в методе Тихонова.

Приведем формулировку теоремы 1.11, несколько упрош;ш исходные условия. Введем обозначения хоН € = {я : БпНж -А?лх, ЦхЦ = 1, х е ХГ}. Если КегАн П В{Ь) П XI ф {0}, то определим Е,(0) как множество решений задачи

шЦЦЬхВ: I € Кег АнГ\В{Ь), И 1, х е Л',г}.

Нам также ьападобится условие

а) Существуют {г,} 6 МЬ такие, что ||£х,-|| < г для г ~ 1,2,..., N.

Теорема 1.11. Если выполняется условие а), то реализуется один из двух случаев

1) Если 1нп0—о8ир|£;Е,?А| > г, то существует 0 < а < оо такое, что множество Ог — {х°Л 6 Е,(а) : |Ьх"А| = » } ф 0 и (¿г есть множество решений задачи (4) при этом а.

2) Если Шп„_»о вир )£х"Л| < г, то £,(0) состоит из множества реше-нйй задачи (4).

В леммах 1.13-1.22 указаны пределы изменения многозначных функций )ЛлхоЬ}, |1х°Л| при 6 Ц'(о') и доказана их монотонность (убывание и возрастание соответственно). Пользуясь этими свойствами, легко построить алгоритмы для определения подходящего ас, при котором метод Тихонова эквивалентен методу квазирешенмй (нешика). Для снятия ограничения х С Х[ (х С Л',) на каждом шаге метода

квазирешений (невязки) можно использовать хорошо разработанные в линейной алгебре методы исчерпывания.

В §4 рассматривается уравнение 1 рода с точно заданным оператором.

Ах = у6. (8)

Предполнгается, что искомое решение х* € Мг = {х : ||£.х| < г} и вместо точнойправой части у* — Ах* задано у1 : — ¡/| < 6. Через Р* обозначается решение уравнения (8) вариационным методом Тихонова, а через Д(/^-погрешность метода Р на компакте Мт. Вводятся модуль ¿¡енрерывности обратного оператора и нуле

и>(6, г) г-, яар{|х|: х е МР1 \Ах\ < й}, (9)

и функции

—хГ*

где — наименьшее собственное число, а х".~ соответствующая собственная функция оператора Б" ~ А*А 4- аЬ*Ь.

Согласно [15] Р" оптимален на компакте при а0,,(, доставляющем минимум функции При этом Д(Р<*) = и(6, г) = [^(а)]1/2.

Алгоритмы минимизации функции ф(а) и а^ основываются да свойствах функций и ф{а), доказанных в теореме 1.14: множество точек, в которых функция ф(а) достигает минимума, является отрезком [оь «г!; на этом отрезке монотонно возрастающая многозначная функция ф(а) меняет знак.

В §5 рассматривается проблема (не)единственности решения уравнения 1 рода при фиксированном возмущенном операторе А/, и фиксированном известном уровне возмущения Л > 0, Пусть г > 0, т > 0--известные константы. Через Е обозначим совокупность уравнений (8) с эквивалентными по точности данными А ; — А|,§ < Н. Введем множество КЛг = Шен-{® : х € КегАГ\Мг }. Если Лат(К"Лг) < г (здесь (Иат(К) есть диаметр множества К), то будем считать, что класс уравнений 1 рода Е имеет единственное в рамках заданной точности решение, в противном случае - неединственное.. Утверждения

о связи между понятиям» (не)единствепносто для томного оператора Ä и (не)единствешюсти для класса, уравпепий Е приведены в теореме 1.15.

Практическое исследование на (неединственность с помощью леммы 1.29 сводится к установлению пустоты или непустоты множества

Krhr = {х 6 D(L): И > г, \Ahxl < А.г, \{Щ < г}.

Разумные соображения по выбору параметров г, г обсуждаются в гл.4.

В теореме 1.17 формулируются три критерия выполнения условия Krhr — 0. Для примера приведем одно из этих условий:

inf{|Lx| : х е D(L), ||ЛЛх|) < fcr, ||х|| = г} > г.

Задача вычисления левой части этого неравенства обсуждается в §3 гл.1 и практическая реализации алгоритмов сводится к частичной проблеме собственных значений для симметричной положительно определенной матрицы S", аппроксимирующей оператор Sah (п -+ со), при соответствующем выборе а.

В §1 главы 2, следуя [1], излагается функциональный аппарат дискретной аппроксимации. В §2 рассматриваются конечномерные приближения задач (4), (6), (7), (9). Отметим, что ввиду пепыпуклостн этих проблем применение известных результатов для выпуклых задач (см. §1-4 гл.5 [25]) невозможно. В §3 предлагается новый подход (конечномерная аппроксимация функции от неограниченного оператора), позволяющий строить регуляризнруювще алгоритмы для широкого класса стабилизирующих функционалов как для вариационного метода Тихонова, так и для задачи (4). В частности, на основе этого подхода в §3 конструируются линейные регуляризугощке алгоритмы л соболевских пространствах M 'f(a, 6] при дробном ft. Для уравнений типа свертки пространства Uj'f-oo.oo) применялись в работе В.Н.Страхова и Г.А.Павленко. Специальный регуляризатор как функция неограниченного оператора из Wf (-оо, со) в L2(—ос, со) также рассматривался в ряде работ А.В.Чечкипа.

Перейдем к более подробному изложению содержания главы. Как и в гл.1, все используемые пространства гильбертовы.

В §1 вводится понятие семейства связывающих операторов рп : X Х„ ~ рпX (п = 1,2,...), где А' имеет смысл аппроксимируемого бесконечномерного, а Х„- конечномерных пространств. Связывающие операторы {р,,} должны удовлетворять условию линейности (асимптота ческой линейности) и свойству

Vre А Шд 8р„Г|Лп .-= \х\х •

В этом случае Говорят, что последовательность {А'„} образует дискретную аппроксимацию А" с семейством связывающих операторов р = {ря}. Дп$ упрощение записи индексы Х„,Х при нормах опускаются.

Определение 2.2. Последовательность моментов {.г„}, х„ б Х„ называется дискретно (сильно) сходящейся v х € X (обозначаем ■с„--»х), если lim„-<(X. ЙР»37 " Г«Н — 0.

Определение 2.3. Последовательность {г„} элементов х„ 6 Х„, дискретно слабо сходится к х ( обозначаем х„— —»х) если для любой последовательности t„ £ А'Я1 u„— —>• v, v (E X справедливо соотношение (i/„, x„) = (v,x).

Пусть {А,,}, {У,,} образуют дискретную аппроксимацию пространств Х,У с системами связывающих операторов р — {р„},3 = {д„}. -

Определение 2.4. Последовательность {Л„} операторов Ап ~ Хп —>

Уп дискретно сходится к оператору А : X —* У, если х„---» х влечет

Ах„~ -* Ах; для этой сходимости примем обозначение Ап---► А.

В §2 получены достаточные условия сходимости днск}>ешых аппроксимаций методов Тпховоаа (4), невязки (6), квазирешений (7) и задача вычисления модуля непрерывности (9). Сходимость донимается в смысле дискретных аналогов псевдометрик (2), (3).

Пусть S? = {/•„} -система связывающих операторов между Z и А„ : Х„ У„, Ln : Х„ Z„. Положим Т - L*L,Tn =•• Х*1„. Тогда услоиня сходимости имеют вид:

1) An- Ah, п оо;

2) Для каждого х € ЩТ) существует последовательность хп--*

ас, п оо такая, что {Тпх„,х„) (Тх,х), п.—> оо;

3) Если --,z,n-* ос, то (Tn)~l^zn--► (Г)-1/;!2, n С».

Если последовательности операторов Ап, L„ удовлетворяют условиям 1)-3), то реализация мсюда Тихопова сводится к хорошо обусловленной частичной проблеме собственных значений для симметричной матрицы S" = А*пАп + aL*nLn. Реализации конечномерных аналогов методов (6), (7), (9) также, как и для бесконечномерного случая, сводятся к вычислению собственных функций симметричной матрицы 5" при соответствующем параметр регуляризации а.

Перейдем к изложению содержания §3. Чтобы проиллюстрировать основную идею, рассмотрим следующий пример. Пусть L{ft) есть оператор, обратный к оператору вложения W.¿[a,6] в I<i[a.i], и на концах отрезка [а, 6] заданы нулевые грапичные условия. Тогда хорошо известно, что Т( 1) = L'(l)L(í) — I — A1/As"2. Для реализации вариационного метода Тихопова и задачи (4) для дробных (3 необходим оператор Т(в) = L*(fi)L(Jj), который, в огличие! от случая ¡3 — .1, в явном виде неизвестен. Заметим, что практически нужен не оператор Т(/3) = Т1' (1) (здесь (3 означает степень), а его конечномерная аппроксимация - матрица Тп(0).

Основная идея состоит в численном построении Тп([3) н виде ТЦ( 1). Это построение просто осуществить, если известны собственные числа и собствегаые функции оператора Т„(1), пользуясь формулой

да(1)) = £данпх(/?)г, сю)

1=1

где i¡j(\) — Обоснование этого подхода состоит в доказательстве аппроксимации оператора 7^(1) матрицами Tj¡(1).

§3 начинается с исследования задачи конечномерной аппроксимации оператора 4>{Т) матрицами t¡'(T„), где Т— неограниченный самосо-пряжеиный оператор, i¡'(.\)— неотрицательная непрерывная действительнозначная функция, Ф(Х) —► оо, А —► оо. Обозначим через A¿, А£ собственные числа (упорядоченные по возрастанию) и собственные функции /,-, I" оператора Т и матриц Т„ и введем следующие условия; 5) А" —♦ А,. I"--► li при п —* оо для i — 1,2, • • •.

6) Для всех t = 1,2, • • • V»(A") < Ci¡>(A¡), где С- константа.

Условия 2) и 3) для операторов гр(Т„), ф(Т) проверять не очень удобно, когда функция ф(Х) достаточно общего вида. Основным j>e-зультагом §3 является

Теорема 2.6. Ш условий 5), 6) следуют условия 2), 3), в которых матрица Т„ заменена на матрицу ф(Тп), а оператор Т заменен па оператор ф(Т). , •

Доказанная теорема для случая, когда собственные числа и собственные функции Т и Т„ известны, дает просто проверяемые достаточные условия выполнимости 2) и 3). Заметим, что теорема также полезна для случая ф(Х) ~ А.

Далее теорема 2.6 применяется к случаю, рассмотренному выше (tp(X) — Т(/3) = L*(j3)L(fi), где L~l есть оператор вложения соболевского пространства W¡f [a, d] в Х2[а,Ь]; на концах отрезка [а, 6] заданы нулевые граничные условия). Для вычисления [Г„(1)]/3 используется формула (10).

В термина^,,собственных чисел и собственных функций матрицы jr„(l) и операто])а Т(1) формулируются просто проверяемые достаточные условия сходимости решений конечномерных аппроксимаций вариационного метода Тихонова и задачи (4) со стабилизатором а к решениям соответствующих бесконечномерных задач. Приводятся примеры конечномерных аппроксимаций, для которых все полученные условия выполняются. Конструируется экономичная схема pea-, лизации формулы (10), требующая 0(п2) операций, вместо 0(п3) операций при реализации этой формулы "в лоб".

В главе 3 изучгьется задача решения нелинейного уравнения 1 рода специального вида. Предполагается наличие искомого решения и существование первой и второй производпой Фреше от оператора задачи в окрестности этого решения. Строится итерационный процесс, сходящийся с любого достаточно хорошего начального приближения.

Ясно, чго для некорректно поставленных задач обычное условие непрерывности оиера гора, обратного к производной оператора задачи, Не выполняется. Построением итерационных методов для решения'

нелинейных неустойчивых задач занимались многие авторы: А.Б.Бакушппский, В.В.Васин, М.Нанке, НЖЕид,[, ДУ.С.ШнепЬокН, г.Ме!, Н.ГЛУоБсег, Ь.ТЛУа1.чоп, А^епЬаиег, О.БсЬеггег и др. Библиографию по этому вопросу можно найти в [14], [25], [27].

При обосновании сходимости итерационного процесса наряду с традиционными условиями ограниченности F'[x] и /""[х] приходится накладывать дополнительное ограничение либо на оператор задачи, либо на гладкость искомого решения. Кратко опишем основные типы используемых условий.

От оператора задачи требуется, чтобы невязка была псевдовыпуклым функционалом [б], либо монотонность оператора задачи в смысле вариационных неравенств [14], либо выполнение равенства в окрестности искомого решения х* : Г'(т) = ЛхГ'(х*), — < С ||х — я*| (см. [16]), где Е- единичный оператор (в несколько более общей форме это условие было введено в работе В.Вквске, А.№иЬаиег^ О.БсЬеггег).

Сходимость итерационного процесса можно обеспечить для оператора задачи общего вида с помощью требования истокообразной представимости искомого решения х* — хпр = где элемент у имеет малую норму, хпр— пробное решение (см. [14]).

В работах А.Б.Бакушннского использовалось условие: |х° - х,|р| ~ О(а) (или где ха- решение регуляризованной задачи (мето-

дом Тихонова).

В [25] требовалась квазинерастягиваемость или псевдосжимаемость отображения Т в задаче х — Тх поиска неподвижной точки, эквивалентной проблеме решения исходного нелинейного уравнения.

В работах М.Напке, А^еиЬаиег, О.БсЬеггег (1995, 1996) был выделен новый класс пелннейных уравнений 1 рода с оператором Р. удовлетворяющим условию

№] - Г[х'] - - *')й < >> НЖ - Г[х']|, (И)

где г/ < 5, х,х' принадлежат окрестности искомого решения. Для такого рода уравнений доказана сходимость для методов простой итсра-

цин, наискорейшего спуску, минимальных ошибок и некоторых других (насколько известно автору, модификаций методов Ньютона и Гаусса-Ньютона не рассматривались). В этих работах приведены примеры обратных коэффициентных задач с операторами, удовлетворяющими условию (11).

Независимо в работах автора [26], [27] был выделен класс уравнений 1 рода с конечномерной нелинейностью, невырожденных по нелинейным поименным, являющийся подклассом уравнений, удовлетворяющих условию (11). Для этих уравнений доказана локальная единственность решения, построены два новых метода, являющихся модификацией метода Гаусса-Ньютона, и получены оценки сходимости для нелинейных переменных (см. [23], [24]).

Уравнения с конечномерной нелинейностью возникают для широкого круга обратных задач в процессе применения метода коррекции параметров. Этот метод предназначен для решения линейных уравнений 1 рода при наличии больших систематических погрешностей. Проиллюстрируем применение метода коррекции параметров на примере решения следующего линейного уравнения 1 рода определения функции х* € £<¿(—00. ос), существование которой предполагается, по заданной функции ,у(£) 6 ¿¡(-оо, оо) и приближению <т к неизвестному точному значению параметра а* > 0.

Т (1з = у(г), г е (-ос, оо), О < а е Я,

—оо

/ 2вЗтв/(82 ~ 7Г2)х(«)(*8 = 1. —оо

Для уравнения (12) можно использовать-известные методы регуляризации решения линейных уравнений, полагая в (12) а — а. Однако, если возмущение в операторе задачи (12), вызванное неточным задание») сг, не позволяет восстанавливать искомое решение х* с удо-с четворительной точностью, то имеет смысл перейти к уравнению с конечномерной нелинейностью определения пары {а',х*} (оператор задачи (12) действует из Я1 х Ь2(-оо,оо) в оо,оо) х Я1).

В общем случае метод коррекции параметров состоит в описании основных систематических ошибок в параметрическом виде и решении

12)

возникающего уравнения с конечномерной нелинейностью. Заметим, что введение параметрической модели ошибок для прикладных задач часто требует специальных рассмотрений.

Перейдем к более подробному изложению содержания главы.

В §1 вводится определение оператора с конечномерной нелинейностью и условия, нужные в дальнейшем. Пусть задано г;»—мерное семейство параметров /// } = 1,2, • • •, ш. Оператор А = А[/<] и правая часть у — зависят от вектора ¡л с координатами Прп каждом ¡1 оцератор А[ц\ и его производные по ^ есть линейные непрерывные операторы, действующие из Л' в У. Обратимость оператора Л(/<], вообще говоря, не предполагается. Обозначим через г*[/1,х] ~ А[р\х — у*[//| невозмущенный нелинейный оператор из Л"' х X в У, через т{/1, х] = — у*[ц] - Ду оператор, возмущенный аддитив-

ной помехой Лу : ЦДуЦ < 6, через возмущенную правую часть

?/[/<] = У*Ы + Д^-

Следующее равнение называется уравнением с конечномерной нелинейностью

ф,г]=0. (13)

Предполагается, что существует точное искомое решение о* — {ц'\ х*) = 0. Поскольку единственности ]:*, вообще говоря, может не быть, то под х* понимается нормальное решение уравнения Ау' ближайшее к х"р (пробному решению).

Пусть производная оператора г)//, х] по переменным ц, а

Рг3 — оператор проектирования на подпространство КегА'[ц'\. Положим т.= Ргг г^[/4*,х*|. Среди всех уравнений с конечномерной нелинейностью с помощью следующего условия выделим уравнения, невырожденные по нелинейным переменным ц.

3) Л"егЛ*|/<*] ф {0} н оператор г^ обратим, т.е. минимальное сингулярное число > 0.

Также используется песколько более сильное условие 3'), где вместо проектора Рг? в условии 3) фигурирует проектор на подпространство КегА*[ц'\(\0(Ь) (1){Ь)— область определения оператора Ь).

В §2 формулируется схема вычислений двухшагозого втерационло-

го процесса П1) решения уравнения (13). Первый шаг процесса совпадает с вариационным методом регуляризации Тихонова определения х" при текущем фиксированном fi*. На втором шаге при фиксированном ха выполняется шаг по ц метода Гаусса-Ньютона.

В теореме 3.1 доказывается, что при выполнении условия 3) и обычных условий на первую и вторую производные оператора r[/i, х] с любого достаточно хорошего начального приближения {//,£} итерационный процесс за конечное число шагов выдаст регуляризованиую пару :сге,}> которая сходится к {/¡*, х*} при 5 —► 0; имеет место оценка II/í"' — /.'*|| < Мб, где М- константа.

Второй метод П2) (с проектированием) основан на приближении оператора проектирования Рга па подпространство KerA*[n*\C\D(L) оператором Pif . Этот оператор построен с помощью метода невязки (см.§3 гл.1). В теореме 3.2 доказывается, что при выполнении условия 3') и обычных условий на первую и вторую производные оператора т[я,х] с любого достаточно хорошего начального приближения {/},£} итерационный процесс за конечное число шагов выдает регуляризо-ианную пару {ц"',хгея}, которая сходится к {/í*,x*} при 6 —► 0; имеет место оценка ||//е'' — /í*|| < М\5, где М\~ константа.

Далее разработанная техника применяется к нелинейным уравнениям общего вида.

Лх]=0, (14)

где /' : X i—> У есть непрерывный нелинейный оператор; X, У- гильбертовы пространства. Существует х* : F[x*] = 0 и оператор F непрерывно дифференцируем в окрестности х*. .

Пусть гп—мерное пространство Хт задано своим ортонормирован-ным базисом {t/'¡} и известна априорна оценка ||т/*|| < ¿i, где х* — + *)*, П* ортогонально Л'т.

Перейдем от уравнения (14) к уравнению с конечномерной нелине Иностыо

ml т -

ч] г М'.\П + F\£ mrl'i) = 0. i i

В этом случае процессы П1), П2) сходятся к паре г/"'}, для ко-

торой справедлива оценка Ц/Г- — /»ге,|] < СЬ\. В отличии от метода с проектированием в [14], где конечномерное подпространство натянуто на собственные функции оператора отвечающие пер-

вым собственным значениям этого оператора, пространство Л'т никак не связано с оператором К

В §3 приводятся примеры уравнений 1 рода с конечномерной нелинейностью. В п.3,1 приведены два модельных примера (в том числе уравнение (12)), для которых можно проверить аналитически выполнение условий применимости итерационных алгоритмов П1) и П2), В п.3.2 обсуждается вопрос об апостериорной оценке точности определения параметров. В п.3.3 рассматриваются примеры прикладных уравнений 1 рода с конечномерной нелинейностью, возникающие в методе коррекции параметров.

В главе 4, разработанные ранее алгори тмы, применяются к инто-гратьным уравнениям Фредгольма 1 рода, возникающим в приклад 1шх исследованиях, В §1 апробируются методы гл.1. В §2 конструируется метод решения нелинейного уравнения гравиметрии с двумя границами раздела на основе комбинирования итерационных процессов для монотонных в смысле порядка операторов (см! §8 [27]) и движения по ядру линеаризованного оператора задачи с использованием метода Тихонова. В §3 численно изучается эффективность методов коррекции параметров.

Перейдем к более подробному изложению содержания главы.

Все изучаемые ег§1 задачи естественно делятся на две группы. Первая - это модельные примеры, для которых известен точный оператор и аналитическими методами доказана обратимость оператора задачи или вычислен его ¿—базис (определение 1.1). Расчеты в этом случае иллюстрируют методы §1-3 гл.1. Рассмотрены два интегральных' уравнения Фредгольма-Стилгьеса (для первого в работе Г.ММолчана доказала обратимость, ядро второго известно). Возмущения оператора в этих примерах саязаны с ошибками дискретизации и машинных вычислений.

Далее изучаются интегральные уравнения, возникающие в при

кладных исследованиях. 0 этих задачах имеющийся в нашем распоряжении оператор возмущен, хотя эффективно оценить уровень возмущения можно не во всех случаях. Поэтому естественно применять идеологию §5 гл.1 и проблема состоит в оценке уровня погрешности Л и выборе порогов-параметров т, г. Приводятся соображения, позволяющие выбрать пороги разумным образом, и применяются разработанные алгоритмы.

В первых двух примерах исследуется (не)единственность решения уравнений 1 рода. Отметим, что настоящее время отсутствует доказательство (аналитическими методами) обратимости изучаемых операторов. Эти примеры уже рассматривались в диссертационной работе автора (см. также [25], гл.б). Здесь дается новая интерпретация проведенных расчетов, как исследование (не)единственности совокупности эквивалентных по точности уравнений 1 рода.

В следующих двух примерах исследуется нетривиальность ядра оператора, сопряженного к оператору задачи, в связи с методом коррекции параметров для уравнений рентгеноспектрального структурного анализа (РССА) и обратной задачей ядерного гамма резонанса (ЯГР) [27].

Метод РССА предназначен для определения функции радиального распределения атомов (ФРРА) д(г), описывающей локальную атомную структуру неупорядоченных материалов. Основное уравнение в этом методе имеет вид (для однокомпонентного материала)

" Ад = ^/(5) /0°° е~и'0213г/' 8ш(2*г + ф(а))д(г)*г = х(а). (15)

Здесь з 6 [с, ¿], /(в) (амплитуда) и (фаза) - известные функции; ро (плотность материала) и £/ (параметр затухания электронной во^ны) - известные константы; я - модуль волнового вектора.

В обратной ЯГР задаче восстанавливается функция Р(Н) для Н € [Нт?п,Нтах], которая зависит как от взаимного расположения атомов материала, так и от взаимодействия между ними. Основное уравнение

для обратной ЯГР задачи имеет вид

Р{Н) <1Н = 1(ь), (16)

где V 6 [с, (¡¡, Нтлх, Нтт, , <*>, Аь, Г*, с, это известные константна. Суммирование обычно производится по А; = 1,2, • • •, б. ^ В конце §1 исследуется уравнение Фредгольма-Стшгтьеса п "волноводе" (В.М.Маркушевич, В.Т.Левшенко), возникающее при радиозондировании ионосферы на двух частотах.

где р € (р2,р1), правая часть этого интегрального уравнения Я(р) определяется по экспериментально измеренным функциям. Искомая функция Р(г) является важной характеристикой распределения концентрации электронов в волноводе. Функция д, входящая в уравнение (17), зависит от частот зондирования.

Было принято, что оператор задачи известен без погрешностей и задана приемлемая точность определения искомого решения. Цель расчетов состояла в определении уровня погрешности в исходных данных, позволяющего гарантированно восстанавливать решение с заданной точностью. Использованные алгоритмы основываются на методике вычисления модуля непрерывности, описанной в §4 гл.1.

В §2 рассматривается плоская нелинейная задача гравиметрии с двумя границами раздела при наличии дополнительной информации об искомых границах. Базовое уравнение имеег вид

Л/" = (' агс1д -5-- - агсгд

1* \Pi-P2

дЦг) - дЦрх)

АР (г) = Щр), (17)

\9Чрг)-9Чр)

где г = (г!,г2)Т, г],22- искомые границы раздела, оператор А действует из £2[-1,1] х 12[-1,1] в 12(-1,1).

Необходимо по приближенно заданной /(у) восстановить границы раздела. В качестве дополнительной информации известны некоторые приближения к решению (пробные функции) г — (¿1, Математическая формулировка поставленной задачи может быть дана в форме задачи минимизации (метод невязки)

шш{|г-1||:ИИ-/Я<в}, (19)

где 6~ малый параметр, характеризующий погрешность исходных данных и ошибки дискретизации.

В работе В.В.Васина (см. также §8 гл.2 [27]) были предложены специальные итерационные процессы для решения нелинейного уравнения с монотонным по конусу оператором. Эти процессы, в частности, использовались (В.В.Васин, И.Л.Пруткин, Л.Ю.Тимерханова) для решения пространственной нелинейной задачи гравиметрии с одной границей раздела и показали свою эффективность.

Оператор уравнения (18) также является монотонным относительно конуса, положительных функций. На первом этапе используются монотонные процессы для получения любого решения уравнения (18). Датее для удовлетворения условий (19) конструируется итерационный процесс минимизации ||г —-г|| с сохранением условия ||Л[г] - /Ц < 6 на каждом текущем шаге, что обеспечивается выбором шага Л 6 Кег. Для аппроксимации Кег~£ используется метод Тихонова (4).

Приведенные результаты показывают достаточную эффективность предложенного метода. Изложение следует работе А.Л.Агеева, Т.В.Болотовой, В.В.Васина. Часть, связанная с монотонными процессами, принадлежит В.В.Васипу, идея второй части алгоритма принадлежит автору, реализация алгоритма и проведение расчетов выполнено Т.В.Болотовой.

В §3 решаются уравнения 1 рода с конечномерной нелинейностью, возникающие в методе коррекции параметров. Для обратной ЯГР задачи без теоретического обоснования такой способ действий использовался в статье В.П.Горькова, А.С.Меченова Алгоритмы коррекции

параметров в задачах структурного исследования материалов были реализованы Т.В.Антоновой, а для ЯГР задачи физическая постановка и реализация алгоритма принадлежат Е.В.Ворониной.

В расчетах использовалась процедура П1). По заданной функции х* с исходными точными параметрами синтезировалась модельная функция у*, затем решалась обратная задача восстановления х*, но с параметрами, заданными с погрешностями.

Метод применялся к следующим задачам:

1) Аналог уравнения (12) определения пары {«г*, х*} (.?, t G [—1,1]).

2) Однокомпонентный РССА (уравнение (15)) для исследования аморфных и кристаллических материалов.

3) Расшифровка структуры аморфных бинарных сплавов.

4) Обратная ЯГР задача (16).

На основе расчетов можно сделать вывод, что применение вариационного метода Тихонова без корректировки параметров не позволяет восстанавливать решение удовлетворительным образом. В то время kÎik, метод коррекции параметров обеспечивает хорошую точность решения для всех рассмотренных примеров.

В §1 Приложения приведено краткое описание интегральных уравнений и систем интегральных уравнений, возникающих при исследовании структуры неупорядоченных материалов: однокомпонентнЫе уравнения РССА и дифракции, система интегральных уравнений 1 рода для бинарной задачи (2 РССА+1 дифракция), уравнение ЯГР. Также описаны: задача радиозондирования ионосферы и нелинейная одномерная задача гравиметрии с двумя границами раздела сред.

В §2 Приложения описаны конкретные методы дискретизации интегральных уравнений, использованные в практических расчетах.

Литература

1. ВайниккоГ. М. Анализ дискретизацнонных методов. Тарту, Иэд-во Тарт. ун-та. 1976, 161 с.

2. Вайникко Г. М., Веретенников А. Ю. Итерационные процедуры в некорректных задачах. М.: Наука, 1986. 182 с.

3. Годунов С. К., Антонов А, Г., Кирилнж О. П., Костин В. И. Гарантированная точность решения систем линейных уравнений в евклидовых пространствах. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. 456 с.

4. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978. 206 с. "

5. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980. 286 с.

6. Морозов В. А. Регулярные методы решения некорректно поста-, вленных задач. М.:Наука,1987. 240 с.

7. Морозов В. А., Гребенников А. И. Методы решения некорректных задач. Алгоритмический аспект. М.: МГУ,1992. 320 с.

8. Тихонов А. Н. О задачах с неточно заданной информацией// ДАН СССР. 1985. Т. 280, 3, С.559-562.

9. Тихонов А. Н. О приближенных системах линейных алгебраических: уравнений// Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1980. Т. 20, (>, С.1373-1383.

1(1. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. М.:Наука,1979. 285 с.

11. Тихонов А. Н., Гончарский А. В., Степанов В. В., Ягола А. Г. Регуляризирующие алгоритмы и априорная информация. М.: Наука. 1990. 198 с.

Ш. Тихонов А. Н., Леонов А. В., Ягола А. Г. Нелинейные некорректные задачи. М.: Наука. 1995. 308 с.

13. Тихонов А. Нм Морозов В. А. Методы регуляризации некорректно доставленных задач.// Вычисл. методы и программир. М: Изд-во МП', 1981. - Вып.35, с. 3-34.

14. Bakushinsky А. В., Goncharsky А. V. Ill-Posed Problems: Theory and Applications. Amsterdam: Kluver, 1994. 256 p.

15. Melkman A A., Micchelli C.A. Optimal estimation of linear operators in Hilbert spaces from inaccurate data // SLAM J. Numer. Anal. 1979, V. 16,1. P.87-105.

l8. Neubauer A. Scherzer O. A Convergence Rate Result for a Steepest Descent Method and a Minimal Error Method for the Solution of Nonlinear

Ill-Posed Problems // J. Anal. Appl., 1995, 2, P.369-377.

Основные результаты диссертации изложены в работах:

17. Агеев A. JI. Об одном регулярном алгоритме нахождения базиса ядра липейного оператора // Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1983. Т. 23, 5, С. 1041-1051.

^ 18. Агеев A. J1. К вопросу о построении оптимального метода решения линейного уравнения 1 рода. // Изв. Вузов. Математика. 1983., 3, С. 67-68.

19. Агеев A. JI. Метод квазирешений для задачи определения собственных функций линейного оператора// Журн. вычисл. математики и мат. физики. 1987. Т. 27, 5, С.643-650.

20. Агеев A. Л. К вопросу выбора параметра регуляризации в задаче определения базиса ядра линейного оператора// Числеппые и аналитические методы моделирования в механике сплошной среды. Свердловск, 1989. С.3-9.

21. Агеев А. Л. Алгоритмы конечномерной аппроксимации стабилизирующих добавок// Журп. вычисл. математики и мат. физикн.Т. 31, 7, 943-952 .

22. Агеев А. Л. Регуляризованный спектральный анализ и решение уравнений 1 рода// Изв. Вузов. Математика. 1995. 11, С. 3-16.

, 23. Агеев А. Л. Методы решения уравнений 1 рода с конечномерной нелинейностью// Изв. Вузов. Математика. 1997. 3.

24. Агеев А. Л., -Антонова Т. В., Воронина Е.В . Методы уточнения параметров при решении интегральных уравнений 1 рода. // Матем. моделирование. 1996. 12. С.110-124.

. 25. Васин В.В., Агеев А.Л. Некорректные задачи с априорной информацией. Екатеринбург: Наука, 1993, 260 с.

26. Ageev A.L., Voronina E.V. Algorithm of parameter correction for solving the inverse problem of Mössbauer epectroscnpy.//Nucl. Iastr. Metb. B. 1996. V. 108, P.417-424.

27. Vasin V.V., Ageev A.L. Ш-Poeed Problems with A Priori Information. Utrecht: VSP,1995.255 p. (Inverse and Ill-Posed Probl. Ser, )