Регулярность роста систем целых функций и ее применения

Ганцев, Сергей Николаевич

Регулярность роста систем целых функций и ее применения тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

Ганцев, Сергей Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Уфа МЕСТО ЗАЩИТЫ

2004 ГОД ЗАЩИТЫ

01.01.01 КОД ВАК РФ

Диссертация по математике на тему «Регулярность роста систем целых функций и ее применения»

Автореферат диссертации на тему "Регулярность роста систем целых функций и ее применения"

На правах рукописи

Ганцев Сергей Николаевич

РЕГУЛЯРНОСТЬ РОСТА СИСТЕМ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ

01.01.01 - математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Уфа 2004

Работа выполнена на кафедре специальных глав математики Уфимского Государственного Авиационного Технического Универистета.

Научный руководитель: д.ф. - м.н., профессор А.С. Кривошеев

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н., профессор Б.Н. Хабибуллин

к.ф.-м.н. О.В. Одиноков

Ведущая организация: - Ростовский госуниверситет

Зашита состоится "10" июня 2004 г. в часов на заседании Диссертационного Совета при Институте математики Уфимского научного центра РАН (450000, г.Уфа, ул. Чернышевского, 112)

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Института математики УНЦ РАН

Автореферат разослан ^ с. л_2004 г.

Ученый секретарь Диссертационного Совета

к.ф.-м.н. С.В.Попенов.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Диссертация посвящена изучению поведения систем целых функций на основе поведения их необщих нулей. В качестве базовых понятий выступают регулярность и слабая регулярность роста систем целых функций введенных в работе [1]. В диссертации приведены определения, эквивалентные указанным выше, основанные уже не на оценках максимума модулей функций на некоторых ограниченных множествах, а на оценках в необщих нулях системы. В качестве применения регулярности и слабой регулярности роста систем целых функций рассматриваются две задачи. Это задача о разрешимости систем неоднородных уравнений свертки, с новыми, введенными в диссертации условиями и задача о порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа в плоскости с общими нулями.

Частным случаем регулярности систем целых функций является обычная регулярность роста одной функции. Это понятие достаточно часто используется в работах по теории функций одного комплексного переменного. Это объясняется, в частности, тем, что регулярность роста характеристической функции является необходимым и достаточным условием разрешимости одного сверточного уравнения в гладкой выпуклой области. Для изучения систем уравнений свертки американской школой математиков (Л. Эренпрайс, К.А. Бе-ренстейн, Б.А. Тейлор) было введено и усиленно разрабатывается в настоящее время понятие медленного убывания системы целых функций. Однако, в общем случае это понятие является достаточно сложным и громоздким. Кроме того, оно малоэффективно при исследовании систем неоднородных уравнений свертки и дает некоторые результаты лишь при изучении пространств решений систем однородных уравнений свертки.

Случай с неоднородной системой уравнений свертки намного сложнее. Это объясняется тем, что необходимо ввести характеристику роста таким образом, чтобы в каждой точке некоторого угла хотя бы одна из характеристических функций имела "хорошие"оценки. Подобную характеристику можно встретить, например, в работах В.В. Напалкова, для п -мерного комплексного пространства, когда у характеристических функций нет общих нулей. Но общем случае, у характеристических функций могут быть общие нули. В работе А.С. Кривошеева (1] были введены характеристики взаимного поведения системы целых функций с общими нулями. Причем введенная там же регулярность роста систем целых функций совпадает с обычной регулярностью роста для одной функции. В данной диссертации приведены аналоги этих определений, основанные не на оценках в кругах максимума модулей функций, как в работе [1], а на оценках в самих необщих нулях системы. Также решаются две задачи. Это задача о разрешимости систем неоднородных уравнений свертки с новыми, введенными в диссертации условиями. В отличие от работы- [1], приведенный здесь метод доказательства не использует индуктивных построений и существенно более прост. Данный метод является комбинацией метода использованном Волффом для решения задачи о Короне и некоторых идей из работы [1]. Вторая задача связана с порождающими в идеалах целых функций конечного порядка и типа с общими нулями.

Перейдем к рассмотрению задачи о разрешимости систем неоднородных уравнений свертки. Для одного сверточного уравнения имеется большое количество работ отечественных и зарубежных математиков, посвященных проблеме разрешимости. Частным случаем уравнений свертки являются дифференциальные уравнения конечного и бесконечного порядка с постоянными коэффициентами, разностные уравнения с по-

стоянными коэффициентами и другие. Вопросы разрешимости таких уравнений можно найти в работах Р. Кармикаэля, X. Мугля, Р. Боаса, А.Ф. Леонтьева, А.О. Гельфонда, П. Сик-кемы, Б. Мальгранжа и др. В случае общих уравнений свертки можно выделить работы Ю.Ф. Коробейника, B.C. Азарина и В.В. Напалкова. Полное ее решение можно найти в работах А.С. Кривошеева и В.В. Напалкова. В случае систем неоднородных уравнений свертки можно отметить работы Л. Эренпрайса и Б. Мальгранжа, где изучались системы дифференциальных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами. В работах Л. Эренпрайса и В.В. Напалкова исследовалась разрешимость во всей комплексной плоскости, когда у преобразований Лапласа нет общих нулей. В общем случае (когда у преобразований Лапласа могут быть общие нули) рассмотрен в работе А.С. Кривошеева [1], где приведены достаточные условия разрешимости сверточных уравнений. Показано также, что для областей с гладкой границей разрешимость оказывается эквивалентной регулярности роста системы преобразований Лапласа.

Перейдем теперь к рассмотрению задачи о порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа. Пусть определяет множество всех целых функций таких, что для некоторых положительных констант

\f(z)\ <С1ехр[с2И'], zeC.

Другими словами, [р, оо) - это множество всех целых функций порядка (не выше) р и конечного типа (при порядке р).

Через \р, оо)(Л), где Л = {Aj}^ - последовательность комплексных чисел, обозначим идеал который состоит из всех функций из [р, оо) множество нулей которых содержит в себе Л.

Как обычно, обозначим через порожденный функциями т.е множество

вида

Пусть Л = {А;} последовательность общих нулей функций Л) • • • ч /п- Возникает вопрос: при каких условиях на Д,... ,/п идеал /(/1,... , /п) совпадает с идеалом [р, оо)(Л)? Эта задача — полный аналог хорошо известной теоремы о Короне. Согласно этой теореме, для любых функций /1,... ,/п € Н°° (где - это множество функций аналитических и ограниченных в единичном круге) для некоторого 5 > 0 удовлетворяющих оценке:

8ир|/.(*)1 > 6,

существуют такие, что

Опираясь на данную теорему, Келлехер и Тейлор доказали, что идеал совпадает со всем

множеством [1, оо) в том и только в том случае когда для некоторых положительных констант £ и А выполнено неравенство:

Основная идея доказательства теоремы о Короне, предложенной Волффом, состоит в решении д - уравнения. Эта методика позволила расширить данную задачу уже на более широкий класс функций, рассмотренных в работах В.В. Напалкова и Л. Хер манд ера. Существенное ограничение во всех выше перечисленных работах состоит в том, что функции не. имеют общих нулей, т.е. указанная нами задача рассматривалась в одном частном случае когда идеал совпадает со всем [р, оо). В отличие от этих работ в работе А.С. Кривоше-ева [1] был рассмотрен общий случай, но для порядка равного 1. Здесь был найден критерий совпадения идеалов, который

основывается на введенном там же понятии регулярного роста системы функций. В данной диссертации также рассматривается общий случай, но уже для произвольного порядка.

Цель работы. Изучение регулярности роста для систем целых функций. Приведение этих условий в дискретном виде, основанном на оценках в необщих нулях системы. На основе регулярности роста доказать разрешимость систем неоднородных уравнений свертки и решить задачу о порождающих в идеалах целых функций.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. В диссертации приведены новые условия регулярности роста систем целых функций. Приведено новое доказательство разрешимости систем неоднородных уравнений свертки. Решена задача о порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа.

В первой главе рассматриваются понятия регулярности и слабой регулярности роста систем целых функций, введенных в работе [1]. Приведена теорема показывающая переход от дискретных оценок в некоторой системе многочленов к непрерывным. На этой основе вводятся эквивалентные определения, указанным выше.

Во второй главе рассматривается задача о разрешимости систем неоднородных уравнений свертки. В отличие от работы [1], приведенный здесь метод доказательства не использует индуктивных построений и существенно более прост. Данный метод является комбинацией метода впервые использованном Волффом и некоторых идей из работы [1].

В третьей главе рассматривается задача о порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа. Приведен критерий совпадений идеалов на основе слабой регулярности роста. Методика доказательства достаточных условий совпадает с методикой доказательства разрешимости систем

неоднородных уравнений свертки. Доказательство необходимых условий основано разделенности необщих нулей системы и доказано от противного.

Методы исследования. Использованы методы теории уравнений свертки, функционального анализа и теории множеств.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертация носит теоретический характер. Результаты могут быть использованы в теории уравнений сверток, теории целых функций. Методика исследования применявшаяся в диссертации, может быть использована при изучении совместного поведения целых функций по распределению их корней.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались автором на семинарах по теории функций в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН, на конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, 2001 г., на региональной школе-конференции для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физики, Уфа, 2001, 2002 годах.

Публикации. По теме диссертации опубликованы пять статей.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения и двух глав. Объем 87 страниц. Библиография 44 названия.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во Введении дается обзор литературы, формулируются постановки задачи, приводятся основные результаты диссертации, а также кратко описывается содержание параграфов.

Краткое содержание Главы 1

В главе 1 изучается регулярность систем целых функций. Приводятся новые определения регулярности и слабой регулярности роста систем целых функций. Доказывается их эквивалентность определениям из работы А. С. Кривошеева [1].

п. 1.1. В этом пункте даются первоначальные сведения о регулярности роста систем целых функций.

Пусть S - единичная окружность с центром в нуле и z G S. Через E(z, 5), 5 > 0, обозначим совокупность последовательностей {zjt}^, лежащих на луче {tz,t > 0} и удовлетворяющих условиям: и

Кроме того, пусть E{z) обозначает множество последовательностей {zjfc}jfcli) лежащих на луче {tz,t > 0} и таких, что для каждого 6 > 0 и некоторого к(6) последовательность {¿t}*!^ принадлежит

Далее, пусть Л = Х} 6 С множество с ограниченной

верхней плотностью и zq 6 С\Л. Тогда для каждого 5 > 0 определим функцию

где B(z$, ф0|) - открытый круг центром в точке Zq и радиусом S\zq\. В случае, если Af) B{zq,8\zq\) = 0 положим qs(z,ZQ, Л) = 1.

Мы все подготовили для того, чтобы привести определения регулярности и слабой регулярности роста систем целых функций введенных в работе [1].

Определение 1. Будем говорить, что система целых функций (ifii,... , фп) из [/9, схз) имеет регулярный рост вдоль луча ty,(y Е S), если существует последовательность {zk} (= Е(у),

удовлетворяющая условию: для каждых г £ (0,1) ие > О найдутся 5(г,е) > О и номертакие, что при любом 5 Е (О, <5(г,е)) выполнены неравенства:

где Л = {А^}^ - множество общих нулей функций . ,"фп с учетом их кратностей.

Определение 2. Будем говорить, что система целых функций ,"фп) из [р,оо) имеет слабый регулярный рост вдоль луча ¿у (у € Б), если для любых г > г > Существует 50 > О, удовлетворяющее условию: для каждого 5 € (0, <5о] найдутся последовательность Е Е(у, 6) и число А > 0 такие, что

> -А\г\р, г € В(гк,т5\гк\)1к > 1,

где А = {А^}?^ - множество общих нулей функций тр\,... , ~фп с учетом их кратностей.

п. 1.2. В этом пункте приводится теорема, показывающая переход от оценок в кругах в определениях 1 и 2 к оценкам лишь в необщих нулях системы.

Определения 1 и 2 основываются на оценках максимума модулей функций "фх,... ,1рп в кругах, но по сути они выражают некую разделенность необщих нулей системы {фх,... ,фп)-Эту разделенность можно охарактеризовать в другой более простой форме. Для этого нам необходим результат, который содержится в ниже приведенной теореме. Рассмотрим п наборов комплексных чисел

Для каждого из этих наборов построим следующий многочлен:

гдеЬ* еС\{0}.

Теорема 1. Пусть некоторого В > 0 выполнены неравенства:

Тогда для всех -г € С

тах [1п \Рх(я) | + А* 1п 2] > -В.

п. 1.3. В этом пункте приводится новое определение регулярности роста систем целых функций и доказывается его эквивалентность определению 1.

Определение 3. Будем говорить, что система целых функций (^1, - • • , фп) из [р, оо) имеет регулярный рост вдоль луча ¿у, {у € в), еслисуществуетпоследовательность{гк} € Е{у), удовлетворяющая условию: для каждых г € (0,1) и £ > 0 найдутся > 0 и номер к$ такие, чтоприлюбом5 6 (0,^(г,е)) выполнены следующие условия:

1) тах[1п \ф,(гк)\ - К^к)} > -е\гк\р, к > кй,

1<г<п

2) для любого индекса 1 <р <п и для всех Л^ 6 В(гг8\гк\)

выполнены неравенства:

где Л = {А^}^ - множество общих нулей функций , фп,

а Ар — - множество необщих нулей функццус уче-

том ихкратностей.

Теорема 2. Определения 1 и 3 эквивалентны.

В конце этого пункта, на основе нового определения, приведен общий пример системы двух функций имеющих регулярный рост вдоль луча {ty,t > 0}.

Пусть ipi,i¡>2 £ [р, оо) имеют по отдельности регулярный рост вдоль луча {ty,t > 0},у € S. Далее, необщие нули Ai = {Aj}^ и Л2 = -f А^ функций и чр2 удовлетворяют оценке:

где £ > 0. Покажем, что если и

тогда система функций (^1,^2) имеет регулярный рост вдоль луча

Здесь же приводится пример системы функций не обладающей регулярным ростом.

п. 1.4. В этом пункте приводится новое определение слабой регулярности роста систем целых функций и доказывается его эквивалентность определению 2.

Определение 4. Будем говорить, что система целых функций ("01,-•• ,Фп) из [р,оо) имеет слабый регулярный рост вдоль луча ty (у G S), если существует удовлетворяющее условию: для любого ó Е (0, ¿о] существуют числа Tq и А > 0 такие, что для всех zq Е {ty,t > 0}, zo ^ U"=1A„ |2o| > tq, для любого индекса 1 < р < п и для всех Х^ G АрП B(zq, 5|zo|) выполнено:

шах ln|<7j(Af, 2о,Л,)| > -Л\г0\р,

где Л< = {Л$}£ ! - множество необщих нулей функции ф{ с учетом их кратностей.

Теорема 3. Определения 2 и 4 эквивалентны.

В конце этого пункта приводится теорема, показывающая существование двух целых функций конечного порядка

и типа с произвольным общем нулевым множеством, причем система (/ь/г) будет иметь слабый регулярный рост вдоль любого луча из

Теорема 4. Пусть Л = {А^}^ - множество с ограниченной верхней плотностью при порядке р, т.е. для некоторого С > О справедливо неравенство:

Тогда существуют функции /ь/г система из которых (/ь/2) будет иметь слабый регулярный рост вдоль любого луча из С, причем Л является множеством общих нулей с учетом их кратностей.

В главе 3 этот результат применяется к хорошо известному результату о порождающих в идеалах целых функций.

Краткое содержание Главы 2

В главе 2 приводятся и доказываются достаточные условия разрешимости систем неоднородных уравнений свертки.

п. 2.1. В этом пункте формулируется постановка задачи разрешимости систем неоднородных уравнений свертки.

Пусть D - выпуклая область в С. Через H(D) обозначим пространство функций, аналитических в D с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах из В. Сильно сопряженное к нему пространство обозначим Н*(И). Элементы Н*(П) называются аналитическими функционалами в D. Пространство H(D) является замкнутым подпространством пространства непрерывных функций в области D.

Далее пусть /¿1,... ,цп - аналитические функционалы в С, /ъ • • • >/п и Ки... ,Кп - соответственно их преобразования Лапласа и сопряженные диаграммы. Положим

Тогда для каждого г = 1,... ,п функционал р, определяет оператор свертки Ми действующий из пространства H(D) в пространство #((?,). Рассмотрим систему сверточных уравнений:

М1[ф] = ди... ,Мп[ф] = дп. (1)

Положим и

Оператор Ж действует из Н(О) в произведение Н = //((?!) х ... X Л"(С?П). Пусть М* - сопряженный к М оператор, действующий из - пространство целых функций экспоненциального типа, сопряженные диаграммы которых лежат в области В.

Пусть д € Н лежит в образе оператора М, т.е. М[Н\ = д для некоторого Н € Если V - произвольный функционал из

то

Следовательно, необходимым условием разрешимости системы (1) с правой частью является равенство для любого Правую часть системы (1) удовлетворяющую указанному условию будем называть допустимой.

В силу представления множества D подпространство кег М допускает спектральный синтез. Ниже приведенная лемма сводит задачу разрешимости системы (1) к проблеме специального представления функций из подпространства

Лемма 1. [1] Следующие два утверждения эквивалентны.

1) Для каждой функции Р (Е 1(0, А) существует элемент (<,01,... ,</?п) проетранетваРс1 х ...х Рсп такой, что

2) Система уравнений свертки (1) разрешима в пространстве Н(Б) при любой допустимой правой части д € Н.

Таким образом, задача разрешимости сводится к представлению функции Р € /(Х?,А). Это представление реализуется в два этапа. На первом представление (2) осуществляется локально, т.е. на элементах некоторого специального покрытия комплексной плоскости. Далее, из этих локальных представлений, путем склейки, получается глобальное представление при помощи разрешимости д задачи. Первым очень важным шагом на этом пути является построение конечного покрытия комплексной плоскости.

п. 2.2. В этом пункте как раз и строится конечное покрытие комплексной плоскости

Фиксируем произвольное £ > 0 и замкнутое подмножество 2 единичной окружности Б. Пусть (/[,... , /п) - система целых функций конечного порядка и типа в удовлетворяющая условиям:

О (Л > ■ • • 1 /п) имеет регулярный рост на 2 (на каждом луче

и) (Л)-- - >/п) имеет слабый регулярный рост на множестве Б \ Z

Пусть теперь у <Е Ъ. Согласно система (/ь... , /„) имеет регулярный рост вдоль луча Гу. Для выбранного £ > 0 и

обозначим величину - число, существование которого требуется в определении 3. Для каждого такое, что

Из покрытия Zсовокупностью кружков В(у,5(у)/4),у 6 Я, выделим конечное подпокрытие

I — 1,... , /о- Через обозначим последовательность

{"^¿Ы^ ^ ВЫ)) Для которой выполнены неравенства в определении 1. Согласно определениям Е{у{) и Е(у1,5) при помощи изъятия конечного числа элементов из последовательности можно добиться того, чтобы было верно включение С учетом этого включения нетрудно видеть, что для каждого найдется такое, что вне круга (с вершиной в нуле), порожденный кружком покрывается объединением икВ(гкг1,6\гк)1\). Пусть

Тогда найдется 6 > 0 такое, что для каждого х € £ кружок компактно принадлежит углу (с вершиной в нуле), порожденному множеством 8 \ Z.

Согласно условию п) для т = 2,г = 4 и каждого х €'£ найдем число 5о — 5о(х), фигурирующее в определении 2. Для каждого фиксируем произвольное число удо-

влетворяющее неравенству:

8(х) < тт{£',5,<50(х)}.

Как и выше, найдем точки 6 — 1,... такие, что выполнено включение

где Согласно определению 2 для каждого

мы можем выбрать последовательность

и число так, чтобы неравенство в этом опре-

делении было выполнено дня — /,, г = 1,... , п, с заменами {гк},А и 5 соответственно на {уик,1},А1 и Как и выше, найдутся Т} > 0,1 = 1,... ,¿1, такие, что вне крута .6(0,7]) угол,

порожденный кружком В(х1,5[/2), покрывался объединением 00

и В{юк>1,2фк11\).

к=I

Пусть © = ^тах Л;. Через Щ^) (соответственно

игк1{(1)) обозначим открытое подмножество точек г круга В(гк>1^§1\гк>1\) (соответственно круга В^^Щы^), удо-

влетворяв

(соответствен"*

где Л = {Л^} - общие нули с учетом их кратностей функций

J тах 1п |/,(г)/98Яь(г,®о,А)| > -¿в'\г\<>, Уг 6 Я(0,2<Шо). 1<»<в

Для каждого г = 1,... , п через Щ (ё) обозначим подмножество точек г круга ь > „¿^^.неравенство:

Тогда, как и выше, круг В(0,2(Шо) совпадает с объединением Положим

Таким образом, для каждого й = 1,2 построено открытое покрытие комплексной плоскости Это покры-

тие определяется £ > 0, функциями /1,. •. , /п, удовлетворяющими условиям и п), и множеством 2 С в. Введем следующее обозначение:

где ¿¡и Х[ - те же, что и выше.

Построенное покрытие обладает одним хорошим свойством: расстояние между границам множеств V(l) и V (2) имеют подходящие для нас оценки снизу. Что и утверждается в следующей лемме.

Лемма2. Существуютположителъныепостоянные с, ата-кие, что для каждого номера г = 1,... , п и любого г Е 1^(1) \ {0} верна оценка:

Для указанной выше склейки нам необходимо построить специальное разбиение единицы, подчиненное данному покрытию. Первом шагом на этом пути выступает ниже приведенная лемма.

Лемма Ъ. Пусть П - открытое множество К -замкнутое подмножеств01 и числа А > 0,а € (0,1) такие, что

Шгф, 90) > 2аехр[-А|г|'], V* € К.

Положим

П' = {г е П : <Игф, дП) > а ехр[-А(|г|р + 2)]}.

Тогда существуют числа с > 0 и функция е(г) Е С°°(С)такие, что

В следующей лемме строится собственно само разбиение.

Лемма 4. Существует разбиение единицы Ех € Ссс(С),г = 1,... ,п, соответствующее покрытиюК(2),... ,Уп(2) комплексной плоскости (т.е. Е^ равна нулю в окрестности границы множествйК(2) и вне него), такое, что для некоторых с, Ъ > О выполнены неравенства:

ф[(2 +2Р+1 +22р)е|г|р], г/\г\ ф Х{2)

\йЕг{г)/(й

сехр[£>|г|р], г/\г\ 6 Х(2)

В заключении этого пункта строится специальная функция позволяющая избавиться от общих нулей функций /х,... , /п. И специальная весовая функция применяемая для решения д задачи.

Для последовательности Л = {Л^} - общих нулей с учетом кратностей функций /1,... ,/п б [р,оо) определим функцию по формуле:

где - кратность общего нуля функций (воз-

можно равная нулю) и - наименьшее целое число удовлетворяющее условию:

Для всех положим:

Для всех к = 1,2,... и I = 1,... ,¿1 определим еще функцию по предыдущей формуле, где

и 94,5,(2, Л) нужно заменить соответственно на В(и)к>и 1б?г|и^;|) и <3^(2,1^, Л). Пусть также

Ъ|/(*)|, г <£ В(хо,1611о)

Положим теперь

}, 2£В(хо,16Ло)

ф(г) = &\1?{фо{г),фк11(г), фР]Г}, г £ С,

где супремум берется по всевозможным значениям индексов М.Р.Г-

п. 2.3. В этом пункте формулируются и доказываются достаточные условия разрешимости систем неоднородных уравнений свертки. Для выпуклой области !)СС положим

Если D ограничена, то, очевидно, /о - пустое множество.

Теорема 5. Пусть области В, С, компакты Кооператоры и функции - те же, что и выше. Предположим, что выполнены следующие условия:

1) Система • ■> /п) имеет регулярный рост на луче ¿г, í > О, для каждого z из замыкания множества Б \ /с;

2) Система(/1,... , /„) имеет слабый регулярный рост на луче ¿2, t> 0, для каждого г е Б Р) /<?.

Тогда системауравнений свертки

разрешима в пространстве Н(Б) при любой допустимой правой части (51,... , дп) 6 Н.

В случае, если область D с гладкой границей, то условия регулярности роста являются и необходимыми. Справедлива следующая теорема.

Теорема 6. Пусть О - область с гладкой границей такая, что 1с - открытое множество (возможно пустое). Тогда для того чтобы система (1) была разрешима в H(D) для любой допустимой правой части из Н необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) Система функций (Л,... , /п) имеет регулярный рост на луче ¡у для каждого у 6 Б \ 1с-

2) Система функций (/ь... , /п) имеет слабый регулярный рост на луче 1у для каждого у € Б {]1с-

Краткое содержание Главы 3

п. 3.1. В этом пункте доказываются достаточные условия представления для представления Р 6 [р, оо)(Л).

Теорема 7. Рассмотрим функции /1,..- ,/п принадлежащие и имеющие общее нулевое множество Пусть система имеет в слабый регулярный рост вдоль каждого луча > 0} (у € Б). Тогда для любой функции можно найти такие, что

п. 3.2. В этом пункте доказываются необходимые условия представления.

Теорема 8. Рассмотрим /1,.-. ,/п € [р,оо) и Л = их общее нулевое множество. Пусть для любой функции [р,оо)(Л) существуют <71,... ,дп 6 [р, оо) такие, что

П*) = Шф) +... + Шф\ V* € С,

тогда система (/i,..• ,/п) имеет слабый регулярный рост вдоль каждого луча {ty, t > 0} (у ES).

Мы все подготовили для того, чтобы сформулировать основной результат третьей главы.

Теорема 9. Рассмотрим конечный набор функций fu-" , /п £ \Pi со), имеющих общее нулевое множество Л = {Aj}^. Идеал I(fi,...,fn) совладает с идеалом [р, оо)(Л), в том и только в том случае, когда система [fu-" j/n) имеет слабый регулярный рост вдоль каждого луча {ty,t > 0} (у Е S).

п. 3.3. В этом пункте применяется задача о порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа к известному результату о порождающих в замкнутых идеалах целых функций.

В работе [2] доказан известный результат, что для каждого замкнутого идеала, с определенными условиями на весовую функцию, существуют как минимум две образующие. В этом пункте мы подтверждается этот результат для весовой функции p(z) = \z\p. Как следствие, из теорем 4 и 9 вытекает следующее утверждение.

Теорема 10. Каждый идеал, состоящий из целых функций конечного порядка р и типа (при порядке р) порождаетсядву-мяэлементами.

ЛИТЕРАТУРА

1. Кривошеев А. С. Регулярность роста системы функций и системы неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях комлексной плоскости // Известия Академии наук, 2000, Т. 64, №5, С. 69-132.

2. Braun W. Weighted algebras of entire functions in which each closed ideal admits two algebraic generators // Michigan Math. J., 34 (1987).

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кривошеев А. С., Ганцев С.Н. О порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа в плоскости // Сиб. мат. жуонал, 2002, Т. 43, №5, С. 1046-1063.

2. Кривошеев А.С., Ганцев С.Н. Разрешимость систем неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях в // Алгебра и анализ, 2003, Т. 15, вып. 6.

3. Ганцев С.Н. Образующие в некоторых идеалах целых функций // Труды XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, Москва, 2001, С. 94-97.

4. Ганцев С.Н. Об образующих в некоторых идеалах целых функций // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Сборник трудов, Уфа, 2001, Т.1, С. 60-68.

5. Ганцев С.Н. Построение системы целых функций конечного порядка и типа имеющей слабый регулярный рост в // Сборник трудов, Уфа, 2002, Т.1, С. 48-54.

6. Ганцев С.Н., Кривошеев А.С. Регулярность роста систем целых функций конечного порядка и типа // Актуальные проблемы математики. Математические методы в естествознании. Уфа, 2000, С.51-56.

Ганцев Сергей Николаевич

РЕГУЛЯРНОСТЬ РОСТА СИСТЕМ ЦЕЛЫХ ФУНКЦИЙ И ЕЕ ПРИМЕНЕНИЯ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Лицензия на издательскую деятельность № 150 от 21.04.99. Подписано в печать 07.05.2004. Формат 60x84Уч. печ. л. 1,4.

Тираж 100 экз. Заказ 07-04. Отпечатано методом ризографии в типографии НИИБЖД РБ.

Адрес НИИБЖД РБ: 450005, г.Уфа, ул.8 Марта, 12/1.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ганцев, Сергей Николаевич

Введение

1 Регулярность роста систем целых функций.

1.1 Вводные сведения.

1.2 Теорема об оценках снизу многочленов.

1.3 Изучение регулярности роста систем целых функций.

1.4 Изучение слабой регулярности роста систем целых функций.

2 Разрешимость систем неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях в С.

2.1 Предварительные сведения.

2.2 Построение конечного покрытия комплексной плоскости.

2.3 Разрешимость систем неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях в С.

3 О порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа в плоскости.

3.1 Достаточные условия представления.

3.2 Необходимые условия представления.

3.3 Применение задачи о порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа.

Введение диссертация по математике, на тему "Регулярность роста систем целых функций и ее применения"

Диссертация посвящена изучению поведения систем целых функций на основе поведения их необщих нулей. В качестве базовых понятий выступают регулярность и слабая регулярность роста систем целых функций введенных в работе [16]. В диссертации приведены определения, эквивалентные указанным выше, основанные уже не на оценках максимума модулей функций на некоторых ограниченных множествах, а на оценках в необщих нулях системы. В качестве применения регулярности и слабой регулярности роста систем целых функций рассматриваются две задачи. Это задача о разрешимости систем неоднородных уравнений свертки с новыми, введенными в диссертации условиями и задача о порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа в плоскости с общими нулями.

Частным случаем регулярности систем целых функций является обычная регулярность роста одной функции. Данное понятие достаточно часто используется в работах по теории функций одного комплексного переменного. Это объясняется, в частности, тем, что регулярность роста характеристической функции является необходимым и достаточным условием разрешимости одного сверточного уравнения в гладкой выпуклой области. Для изучения систем уравнений свертки американской школой математиков (J1. Эренпрайс, К.А. Беренстейн, Б.А. Тейлор) было введено и усиленно разрабатывается в настоящее время многими зарубежными учеными понятие медленного убывания системы целых функций. Однако, в общем случае это понятие является достаточно сложным и громоздким. Кроме того, оно малоэффективно при исследовании систем неоднородных уравнений свертки и дает некоторые результаты лишь при изучении пространств решений систем однородных уравнений свертки. Случай с неоднородной системой уравнений свертки намного сложнее. Это объясняется тем, что необходимо ввести характеристику роста таким образом, чтобы в каждой точке некоторого угла хотя бы одна из характеристических функций имела "хорошие"оценки. Подобную характеристику можно встретить, например, в работе В.В. Напалкова [27], для п - мерного комплексного пространства, когда у характеристических функций нет общих нулей. Но общем случае, у характеристических функций могут быть общие нули. В работе А.С. Кривошеева [16] были введены характеристики взаимного поведения системы целых функций с общими нулями. Причем введенная там же регулярность роста систем целых функций совпадает с обычной регулярностью роста для одной функции. В данной диссертации приведены аналоги этих определений, основанные не на оценках в кругах максимума модулей функций, как в работе [16], а на оценках в самих необщих нулях системы. Также решаются две задачи. Это задача о разрешимости систем неоднородных уравнений свертки с новыми, введенными в диссертации условиями. В отличие от работы [16], приведенный здесь метод доказательства не использует индуктивных построений и существенно более прост. Данный метод является комбинацией метода использованном Волффом (см. [20], дополнение) и некоторых идей из работы [16]. Вторая задача связана с порождающими в идеалах целых функций конечного порядка и типа с общими нулями. Перейдем к более подробному рассмотрению поставленных задач и анализу результатов полученных ранее.

В пунктах 1.3 и 1.4 первой главы приводятся эквивалентные определения регулярности и слабой регулярности роста систем целых функций. В качестве основы используется теорема 1 в пункте 1.2. Остановимся на ней поподробнее. Пусть у нас имеется некоторый набор многочленов Pi,. ,Р„. Причем их нулевые множества в совокупности имеют пустое пересечение. Рассматривается максимум модулей этих многочленов на их нулевых множествах. Он должен быть ограничен снизу. Оказывается, что из этих дискретных оценок можно получить непрерывные оценки уже на всей комплексной плоскости. Естественно, эти оценки будут несколько хуже и будут зависеть от количества нулей заданных многочленов, что собственно и показывает теорема 1. Данная теорема, без существенных изменений, может быть расширена для случая бесконечной последовательности многочленов.

Определения регулярности и слабой регулярности роста системы целых функций (/i,. , /п), введенных в работе [16], требуют оценок максимума модулей на совокупности некоторых кругов. В этой связи стояла задача получить более прозрачные эквивалентные определения регулярности и слабой регулярности, основанные лишь на взаимном расположении необщих нулей функций /х,. , fn• Это взаимное расположение, конечно, должно характеризоваться оценками снизу максимума модулей функций /х,,/п или оценками снизу максимума модулей некоторых многочленов построенных по этим функциям. Одним из первых и основных шагов на пути получения эквивалентных определений является теорема 1 сформулированная и доказанная в пункте 1.2. Далее в пунктах 1.3 и 1.4 приводятся новые определения регулярности и слабой регулярности роста систем целых функций и доказывается их эквивалентность определениям из работы [16]. В конце пункта 1.4 приводится теорема 4, показывающая существование системы целых функций с произвольным общим нулевым множеством, имеющей слабый регулярный рост вдоль любого луча из С. Причем, как видно из определения слабой регулярности, общее нулевое множество не влияет на совместное поведение функций. Сложность состоит в том, что нужно достроить это нулевое множество таким образом, чтобы полученные функции были конечного типа и нули их были разделены. В дальнейшем эта теорема будут применена в главе 3 для другого более простого доказательства одного важного результата из теории замкнутых идеалов. В работах [8],[11],[21] были также рассмотрены задачи сравнения функций на основе взаимного поведения их нулей. В частности, в [21], стр. 130 и 143 сравниваются функции корни которых различаются по аргументу. Аналогичный вопрос затрагивается также в статье [8]. В работе [11] И.Ф. Красичкого-Терновского изучается изменение поведения целой функции конечного порядка, когда ее нули Aj Е С сдвигаются в точки тi так, что |Лг- — 7г| < с?|Л»|, где d < 1/2.

A.Ф. Леонтьева [22], [23] , А.О. Гельфонда [6], [7], П. Сиккемы [41], [42] и Б. Мальгранжа [38]. В случае общих уравнений свертки можно выделить работы Ю.Ф. Коробейника [10], B.C. Азарина [1] и В.В. Напалкова [26]. Полное ее решение можно найти в работах А.С. Кривошеева [15] и А.С. Кривошеева, В.В. Напалкова [14]. В случае систем неоднородных уравнений свертки можно отметить работы Л. Эренпрайса [34] и Б. Мальгранжа [39], где изучались системы дифференциальных уравнений конечного порядка с постоянными коэффициентами. В работах Л. Эренпрайса [34] и

B.В. Напалкова [27], [28] исследовалась разрешимость во всей комплексной плоскости и когда у преобразований Лапласа нет общих нулей. В общем случае (когда у преобразований Лапласа могут быть общие нули) рассмотрен в работе А.С. Кривошеева [16], где приведены достаточные условия разрешимости сверточных уравнений. Показано также, что для областей с гладкой границей разрешимость оказывается эквивалентной регулярности роста системы преобразований Лапласа.

Перейдем теперь к рассмотрению задачи о порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа. Пусть [р, оо) определяет множество всех целых функций / таких, что для некоторых положительных констант ci и С2 z)|<ciexp[c2Ha zeC.

Другими словами, [р, оо) - это множество всех целых функций порядка (не выше) р и конечного типа (при порядке р).

Через [р, оо)(Л), где Л = {А^}^ - последовательность комплексных чисел, обозначим идеал, который состоит из всех функций из [р, оо) множество нулей которых содержит в себе А.

Как обычно, обозначим через /(/ь. ,/п) идеал в [р, со), порожденный функциями /х,. , fn £ [р, оо), т.е множество вида fi(z)gi(z) + . + fn(z)gn(z)}, gj{z) <Е [р, oo)J = 1,. , п.

Пусть Л = {Aj] последовательность общих нулей функций /1,. , fn-Возникает вопрос: при каких условиях на /1,. ,/п идеал /(Д,. ,/п) совпадает с идеалом [р, оо)(Л)? Эта задача полный аналог хорошо известной теоремы о Короне (см., например, книгу [20]). Согласно этой теореме, для любых функций /х,. , /п G Н°° (где Н°° - это множество функций аналитических и ограниченных в единичном круге) для некоторого S > 0 удовлетворяющих оценке: sup|/i(z)| > 5, i существуют gi,.,gn€ Н°° такие, что fm + • • • + fngn = l.

Опираясь на данную теорему, Келлехер и Тейлор в работе [37] доказали, что идеал /(/i,. ,/п £ [1,оо)) в [1,оо) совпадает со всем множеством [1, оо) в том и только в том случае когда для некоторых положительных констант е и А выполнено неравенство: ш\ + . + \Ш\ > eexp[-A\z\], Vz £ С.

Основная идея доказательства теоремы о Короне, предложенной Волф-фом, состоит в решении д - уравнения. Эта методика позволила расширить данную задачу уже на более широкий класс функций, рассмотренных в работах В.В. Напалкова [27] и JI. Хермандера [29]. Существенное ограничение во всех выше перечисленных работах состоит в том, что функции /ъ • • • ) /п не имеют общих нулей, т.е. указанная нами задача рассматривалась в одном частном случае когда идеал [р, оо)(А) совпадает со всем [р, оо). В отличие от этих работ, в работе А.С. Кривошеева [16] был рассмотрен общий случай, но для порядка р равного 1. Здесь был найден критерий совпадения идеалов, который основывается на введенном там же понятии регулярного роста системы функций.

В данной диссертации также рассматривается общий случай, но уже для произвольного порядка.

Структура диссертации

Краткое содержание Главы 1

Пусть S - единичная окружность с центром в нуле и г G S. Через E(z, 5), 5 > 0, обозначим совокупность последовательностей лежащих на луче {tz,t > 0} и удовлетворяющих условиям: \zk\ —> +оо и z*+i|/|z*|< 1 + J, к = 1,2,.

Кроме того, пусть E(z) обозначает множество последовательностей {2fc}b=i> лежащих на луче {tz, t > 0} и таких, что для каждого S > 0 и некоторого к(5) последовательность {zk}kLk{s) принадлежит E(z,S).

Далее, пусть Л = {А^}^, Aj G С множество с ограниченной верхней плотностью и zq G С\Л. Тогда для каждого 5 > 0 определим функцию qs(z, zo, Л) = Д (z - \j)/(z0 - Aj), XjeB{z0,S\z0\) где B(zq,S\zq\) - открытый круг центром в точке zq и радиусом В случае, если Л р| B(zq, ^|^о|) = 0 положим qs(z,zo,A) = 1.

Мы все подготовили для того, чтобы привести определения регулярности и слабой регулярности роста систем целых функций введенных в работе [16].

Определение 3. Будем говорить, что система целых функций (■01,. , фп) из [р, оо) имеет регулярный рост вдоль луча ty (у Е S), если существует последовательность {zk} G Е(у), удовлетворяющая условию: для каждых г G (0,1) и е > 0 найдутся 5(r, е) > 0 и номер ко такие, что при любом 5 G (0,6 (г, е)) выполнены неравенства: -e\z\p, z е B(zk,r6\zk\),k > где А = {Aj}^! - множество общих нулей функций ф\,. , фп с учетом их кратностей.

Определение 4. Будем говорить, что система целых функций (фх,. , фп) из [р, оо) имеет слабый регулярный рост вдоль луча ty (у Е S), если для любых г > т > 1 существует 5q > 0, удовлетворяющее условию: для каждого 5 G (0, Jo] найдутся последовательность {zk} £ Е{у,8) и число А > 0 такие, что max In \if>i(z)/qrs(z, zkl Л)| > ~A\z\p, z G B(zk, r5\zk\), k> 1,

1 <i<n где A = {Aj}^! - множество общих нулей функций ф\,. ,фп с учетом их кратностей. п. 1.2 В этом пункте приводится теорема, показывающая переход от оценок в кругах в определениях 3 и 4 к оценкам лишь в необщих нулях системы. шах

1<г<п

ФМ qs(z,zk,A)

Определения 3 и 4 основываются на оценках максимума модулей функций ф\,. , фп в кругах, но, по сути, они выражают некую разделенность необщих нулей системы (-01,. ,фп)- Эту разделенность можно охарактеризовать в другой более простой форме. Для этого нам необходим результат, который содержится в ниже приведенной теореме. Рассмотрим п наборов комплексных чисел

Для каждого из этих наборов построим следующий многочлен: ki

Pi(z) = bi\[{z-a))1 zeC, j=l где G С \ {0}.

Теорема 1. Пусть для некоторого В > 0 выполнены неравенства: maxln|Fi(af)| > -В, 1 < р < n, 1 < I < кр.

1 <i<n

Тогда для всех z G С max [In |PAz) | + ki In 2] > -B. l<i<n n. 1.3 В этом пункте приводится новое определение регулярности роста систем целых функций и доказывается его эквивалентность определению 3.

Определение 5. Будем говорить, что система целых функций (фх,. , фп) из [р, оо) имеет регулярный рост вдоль луча ty (у G S), если существует последовательность {z^} Е Е(у), удовлетворяющая условию: для каждых г 6 (0,1) и е > 0 найдутся 5(г, е) > 0 и номер ко такие, что при любом 6 G (0,5(г, с)) выполнены следующие условия:

1) max [In №i(zk)\ - h^Xzk)] > ~e\zk\p, k > k0,

1 <l<n

2) для любого индекса 1 < p < n и для всех A? G B(zkirS\zk\) выполнены неравенства:

Ж) max l<i<n

In qs(Xf,zk,A)

-MA?) 10 -e|Af k > k0, где Л = {Ajj^ij - множество общих нулей функций ф\,. ,фп, а Ар = - множество необщих нулей функции фр с учетом их кратностей. Теорема 2. Определения 3 и 5 эквивалентны.

Пусть ф\, фч Е [р, оо) имеют по отдельности регулярный рост вдоль луча {ty,t > 0},y Е S. Далее, необщие нули Ai = {Aj} и Лг = {А^} функций ф\ и фч удовлетворяют оценке:

Ai+il - Wl > ^il1"". i = 1,2. fe = 1,2,. , где £ > 0. Покажем, что если min |Л1 - A?|/|Ai| > exp[-e|Aj k = 1,2. j и minlAj - ЛЦ/|А?| > exp[-c|Ajn, j = 1,2,. , К тогда система функций {ф\,фо) имеет регулярный рост вдоль луча {ty, t > 0}.

Здесь же приводится пример системы функций не обладающей регулярным ростом. п. 1.4 В этом пункте приводится новое определение слабой регулярности роста систем целых функций и доказывается его эквивалентность определению 4.

Определение 6. Будем говорить, что система целых функций (фх,. , фп) из [р, оо) имеет слабый регулярный рост вдоль луча ty (у Е S), если существует So удовлетворяющее условию: для любого 6 Е (0, существуют числа го и А > 0 такие, что для всех zq Е {ty, t > 0}, zq ф U"=1Aj, |zo| > го, для любого индекса 1 < р < п и для всех af е крС\ В(zq,8\zq\) выполнено: max ln|^(Af,z0jAi)| > ~Л\г0\р,

1 <i<n где А{ = {А*}^ - множество необщих нулей функции ipi с учетом их кратностей.

Теорема 3. Определения 4 и 6 эквивалентны.

В конце этого пункта приводится теорема, показывающая существование двух целых функций /i, /2 конечного порядка и типа с произвольным общем нулевым множеством, причем система (/i, /2) будет иметь слабый регулярный рост вдоль любого луча из С.

Теорема 4. Пусть Л = {А^}^ - множество с ограниченной верхней плотностью при порядке р, т.е. для некоторого С > О справедливо неравенство: j

Ал = Нш < С. j-юо \Xj\p

Тогда существуют функции f\, /2 система из которых (Д, /2) будет иметь слабый регулярный рост вдоль любого луча из С, причем Л является множеством общих нулей с учетом их кратностей.

В главе 3 этот результат применяется к хорошо известному результату о порождающих в идеалах целых функций.

Краткое содержание Главы 2

В главе 2 приводятся и доказываются достаточные условия разрешимости систем неоднородных уравнений свертки. п. 2.1 В этом пункте формулируется постановка задачи разрешимости систем неоднородных уравнений свертки.

Пусть D - выпуклая область в С. Через H(D) обозначим пространство функций, аналитических в D с топологией равномерной сходимости на компактных подмножествах из D. Сильно сопряженное к нему пространство обозначим H*(D). Элементы H*(D) называются аналитическими функционалами в D. Пространство H(D) является замкнутым подпространством пространства непрерывных функций в области D. Далее пусть fjLii. ,[1П - аналитические функционалы в С, /1,. , /п и . , Кп соответственно их преобразования Лапласа и сопряженные диаграммы. Положим

D = G + Kl + . + Kn, Gi = G + Ki + . + Ki-i + Ki+i + + = ,п.

Тогда для каждого г = 1,. ,п функционал щ определяет оператор свертки Mi, действующий из пространства H(D) в пространство H(Gi). Рассмотрим систему сверточных уравнений:

М1[ф]=ди. ,Мп[ф]=дп. (1)

Положим М = (Mi,. , Мп) и

ЩФ] = (ЩФ], • • •

Оператор М действует из H(D) в произведение Н = H(G\) х. х H(Gn). Пусть М* - сопряженный к М оператор, действующий из H*{G\) х . х H*(Gn) в H*(D), и Pd - пространство целых функций экспоненциального типа, сопряженные диаграммы которых лежат в области D

Пусть д G Н лежит в образе оператора М, т.е. M[h] = д для некоторого h G H(D). Если и - произвольный функционал из kerM*, то

Следовательно, необходимым условием разрешимости системы (1) с правой частью д = (<7i,. ,дп) является равенство (и,д) = 0 для любого v Е ker М*. Правую часть д системы (1), удовлетворяющую указанному условию, будем называть допустимой.

Определим /(ДА) как множество функций ф G Pd таких, что А является частью нулей ф.

Ниже приведенная лемма сводит задачу разрешимости системы (1) к проблеме специального представления функций из подпространства

ДА)

Лемма 2. [16] Следующие два утверждения эквивалентны. 1) Для каждой функции F £ I(D,A) существует элемент (tpi,. , <рп) пространства Pq1 х . х Рдп такой, что

F(z) = y>i(*)/iM + • • • + ¥>»(*)/»(*). Vz £ С. (2)

2) Система уравнений свертки (1) разрешима в пространстве H(D) при любой допустимой правой части g £ Н.

Таким образом, задача разрешимости сводится к представлению функции F £ /(£),Л). Это представление реализуется в два этапа. На первом представление (2) осуществляется локально, т.е. на элементах некоторого специального покрытия комплексной плоскости. Далее, из этих локальных представлений, путем склейки, получается глобальное представление при помощи разрешимости д задачи. Первым очень важным шагом на этом пути является построение конечного покрытия комплексной плоскости. п. 2.2 В этом пункте как раз и строится конечное покрытие комплексной плоскости.

Фиксируем произвольное е > 0 и замкнутое подмножество Z единичной окружности S. Пусть (/i,. , /п) - система целых функций конечного порядка и типа в С, удовлетворяющая условиям: i) (/ъ • • • 1 fn) имеет регулярный рост на Z (на каждом луче ty, у £ Z); ii) (/i,. , fn) имеет слабый регулярный рост на множестве S \ Z. Пусть теперь у £ Z. Согласно i) система (/i,. , /п) имеет регулярный рост вдоль луча ty. Для выбранного е > 0 и г = 1/2 через 5'(у) обозначим величину 5(г, е)/4, где 5(г, е) - число, существование которого требуется в определении 3. Для каждого у £ Z фиксируем 6(у) > 0 такое, что

Из покрытия Z совокупностью кружков B(y>S(y)/4:),y £ Z, выделим конечное подпокрытие B(yi,6i/4) (где Si = S(yi)), I = 1,. ,/о- Через обозначим последовательность {zk}kLk0 £ E{yi), для которой выполнены неравенства в определении 3. Согласно определениям Е{у{) и E{yi,8) при помощи изъятия конечного числа элементов из последовательности {zjb,/} можно добиться того, чтобы было верно включение {zk,i} £ E(yi,5i/2). С учетом этого включения нетрудно видеть, что для каждого I = 1,. , Iq найдется Ri > О такое, что вне круга В (О, Щ) угол (с вершиной в нуле), порожденный кружком B(yi,Sif4), покрывается объединением \JkB(zk,i,5\zk,i\). Пусть = S \ о

Li=l

Тогда найдется S > 0 такое, что для каждого х € Е кружок В(х,85) компактно принадлежит углу (с вершиной в нуле), порожденному множеством S \ Z.

Согласно условию ii) для т = 2, г = 4 и каждого х € Е найдем число So = So(x), фигурирующее в определении 4. Для каждого х £ Е фиксируем произвольное число £(х) > 0, удовлетворяющее неравенству:

5(:с) < min{5', S,

Как и выше, найдем точки xt £ E,Z = 1,. Л\, такие, что выполнено включение h

1=1 где Si — S(xi). Согласно определению 4 для каждого I = 1,. мы можем выбрать последовательность {ги^/} £ E(xi,Si) и число Ai > О так, чтобы неравенство в этом определении было выполнено для ipi = fi,i = 1,. ,п, с заменами {zk},A и 5 соответственно на {wk,i},Ai и Si. Как и выше, найдутся 7} > 0,/ = 1,. такие, что вне круга B(0,Ti) угол, порожденный кружком B{xi%Sif2), покрывался объединеоо нием (J B{wk,i,2Si\wkyi\). k=i Пусть © = max Ai. Через Ukl{d) (соответственно Ulkl{d)) обозначим открытое подмножество точек z круга B(zk,i,dSi\zk,i\) (соответственно круга B(wk,i,2d6i\wk,i\), удовлетворяющих неравенству:

- hfi(z) > -de\z\p, соответственно неравенству: где Л = {Aj} - общие нули с учетом их кратностей функций Д,,/п.

1 <i<n

Для каждого г = 1,. ,rc через обозначим подмножество точек г круга .8(0,2dRo) таких, что выполнено неравенство:

Ь|ДМ/<№(*.*о,Л)| > -d&\z\p.

Тогда, как и выше, круг B(0,2dRo) совпадает с объединением U"=1 Положим

Vi(d) = Ul0(d) [J оо /0 и оо U

UU^wW k=n=i иивд

Lfc=i1=1

Таким образом, для каждого d = 1,2 построено открытое покрытие комплексной плоскости V\(d),. ,Vn(d). Это покрытие определяется е > 0, функциями /ь. ,/п, удовлетворяющими условиям i) и и), и множеством Z С S. Введем следующее обозначение:

X(d) = Sf| h jB(xh2dSl)

1=1 где Si и xi - те же, что и выше.

Построенное покрытие обладает одним хорошим свойством: расстояние между границам множеств V"(l) и V(2) имеют подходящие для нас оценки снизу. Что и утверждается в следующей лемме.

Лемма 4. Существуют положительные постоянные с, а такие, что для каждого номера г = 1,. ,п и любого z £ \ {0} верна оценка: dUtfrm2))> I + + cexp[-as\z\p],z/\z\ 6 1(1)

Лемма 5. Пусть Q - открытое множество в С, К - замкнутое подмножество П и числа А > 0, о £ (0,1) такие, что dist(z,dtt) > 2aexp[-A|z|p], Vz £ К.

Положим

Q' = {z £ Q : dist(z,dfi) > aexp[-^(|z|p + 2)]}. Тогда существуют числа с > 0 и функция e(z) £ С°°(С) такие, что

0 < e(z) <1, Vz £ С; e(z) = 1, Vz £ К; e(z) = 0, Vz£C\ft'; \de(z)/dz\ < cexpA\z\?, Vz e C.

В следующей лемме строится собственно само разбиение. Лемма 6. Существует разбиение единицы Ei £ С°°(С),г = 1,. ,п, соответствующее покрытию VJ(2),. , Vn{2) комплексной плоскости (т.е. Е{ равна нулю в окрестности границы множества 2) и вне него), такое, что для некоторых с, b > 0 выполнены неравенства: сехр[(2 + 2P+1 + 22p)e\z\p], z/\z\ £ Х{2) dEi{z)/dz\ < cexp[6|z|p], z/\z\ £ X{2) l,-- - ,n.

В заключении этого пункта строится специальная функция позволяющая избавиться от общих нулей функций /ь . , fn. И специальная весовая функция применяемая для решения д задачи.

Для последовательности Л = {Aj} - общих нулей с учетом кратностей функций /х,. , fn G [р, оо) определим функцию f(z) по формуле:

П^-ЙехР^,.^), zeC, где то - кратность общего нуля z = 0 функций /1,. , fn (возможно равная нулю) и р - наименьшее целое число удовлетворяющее условию:

00 l/IA.r^oo.

3=1

Для всех к = 1,2,. и / = 1,. , Iq положим: I ln|/(z)|, z <£ B(zkh8Si\zk,i\) maxjln \f(z)\, In \f(z)/q4st(z, zkj, Л)|}, -г G B(zkh SSi\zkjt\)

Для всех к = 1,2,. и I = 1,. определим еще функцию ijjk,i(z) по предыдущей формуле, где B(zkj,85i\zkj\) и q45t{z, zkj, А) нужно заменить соответственно на B(wkj, 168i\wki/|) и q^t{z, wkj, Л). Пусть также maxjln |/(г)|, In |/И/№(2,а:о,Л)|}, 2 G B(xq, I6R0) ' Положим теперь ip(z) = sup{^oИ.^И,^}, ^ G С, где супремум берется по всевозможным значениям индексов к,1,р,г. п. 2.3 В этом пункте формулируются и доказываются достаточные условия разрешимости систем неоднородных уравнений свертки. Для выпуклой области D с С положим

Id = {z G С : HD(z) = +00}.

Если D ограничена, то, очевидно, Id - пустое множество.

Теорема 5. Пусть области D, G, Gi, компакты К{, операторы Mi и функции fi - те же, что и выше. Предположим, что выполнены следующие условия:

1) Система (/ь . , fn) имеет регулярный рост на луче tz, t > О, для каждого z из замыкания множества S \ Iq;

2) Система (/ь. , fn) имеет слабый регулярный рост на луче tz, t > О, для каждого z £ S П /<?.

Тогда система уравнений свертки

Mi[h] = gu. ,Mn[h] = gn разрешима в пространстве H{D) при любой допустимой правой части ,9п) € Я.

Теорема 6. Пусть G - область с гладкой границей такая, что Iq -открытое множество (возможно пустое). Тогда для того чтобы система (1) была разрешима в H(D) для любой допустимой правой части из Н необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

1) Система функций (/ь. , /п) имеет регулярный рост на луче tr] для каждого г] £ S \ Iq.

2) Система функций (/i,. , /п) имеет слабый регулярный рост на луче trj для каждого Г} £ Sf] Iq

Краткое содержание Главы 3

В главе 3 показывается, что слабая регулярность роста всюду в С есть необходимое и достаточное условие для того чтобы идеал, состоящий из функций, обращающихся в нуль на общих нулях системы, ими порождался. п. 3.1 В этом пункте доказываются достаточные условия представления для представления F £ [р, со)(Л).

Теорема 7. Рассмотрим функции /1,. ,/п принадлежащие [р,оо) и имеющие общее нулевое множество А = {Aj}^. Пусть система (/ь • • • )/п) имеет в С слабый регулярный рост вдоль каждого луча ty,t > 0} (у £ S). Тогда для любой функции F е [р,оо)(Л) можно найти <71,. , дп е [р, оо) такие, что

F{z) = fi(z)9l(z) + . + fn(z)gn{z), zeC. п. 3.2 В этом пункте доказываются необходимые условия представления.

Теорема 8. Рассмотрим /ь. ,/„ G [р, оо) я Л = {Aj}®^ их общее нулевое множество. Пусть для любой функции F е [р, оо)(Л) существуют 9i, • • • , G [р, оо) такие, что

F{z) = fi(z)9l(z) + . + fn(z)gn(z), Vz e С, тогда система (/ь. , fn) имеет слабый регулярный рост вдоль каждого луча {ty, t>0} (ye Sj.

Мы все подготовили для того, чтобы сформулировать основной результат третьей главы.

Теорема 9. Рассмотрим конечный набор функций Д,. , fn Е [р, оо), имеющих общее нулевое множество Л = {Aj}?^. Идеал I(fi,. , fn) совпадает с идеалом [р, оо)(Л), в том и только в том случае, когда система (Л> • • • j fn) имеет слабый регулярный рост вдоль каждого луча {ty, t > 0} (у е S). п. 3.3 В этом пункте применяется задача о порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа к известному результату о порождающих в замкнутых идеалах целых функций.

В работе [31] доказан известный результат, что для каждого замкнутого идеала, с определенными условиями на весовую функцию, существуют как минимум две образующие. В этом пункте мы подтверждаем этот результат для весовой функции p(z) = \z\p. Как следствие, из теорем 4 и 9 вытекает следующее утверждение.

Теорема 11. Каждый идеал, состоящий из целых функций конечного порядка р и типа (при порядке р) порождается двумя элементами.

Список источников диссертации и автореферата по математике, кандидата физико-математических наук, Ганцев, Сергей Николаевич, Уфа

1. Азарин B.C. Об одном характеристическом свойстве функций вполне регулярного роста внутри угла // Теория функций, функцион. анализ и их прилож., Харьков, 1966, №2, С. 55-67.

2. Ганцев С.Н. Образующие в некоторых идеалах целых функций // Труды XXIII Конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ, Москва, 2001, С. 94-97.

3. Ганцев С.Н. Об образующих в некоторых идеалах целых функций // Региональная школа-конференция для студентов, аспирантов и молодых ученых по математике и физике. Сборник трудов, Уфа, 2001, Т.1, С. 60-68.

4. Ганцев С.Н. Построение системы целых функций конечного порядка и типа имеющей слабый регулярный рост в // Сборник трудов, Уфа, 2002, Т.1, С. 48-54.

5. Ганцев С.Н., Кривошеев А.С. Регулярность роста систем целых функций конечного порядка и типа // Актуальные проблемы математики. Математические методы в естествознании. Уфа, 2000, С.51-56.

6. Гельфонд А.О. Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами бесконечного порядка и асимптотические периоды целых функций // Труды МИАН, 1951, Т. 38, С. 42-67.

7. Гельфонд А.О. Исчисление конечных разностей М.: Гостехиздат, 1952.

8. Гольдберг А.А. Интеграл по полуаддитивной мере и его приложения // IV, Матем. сб., 1965, Т. 66 (108), С. 411-457.

9. Дьедоне Ж.,Шварц J1. Двойственность в пространствах (F) и (LN) // Сб. Математика, 1958, Т. 2, №2, С. 77-107.

10. Коробейник Ю.Ф. О решениях некоторых функциональных уравнений в классах функций, аналитических в выпуклых областях // Матем. сб., 1968, Т. 75(117), №2, С. 225-234.

11. Красичков-Терновский И.Ф. Сравнение целых функций конечного порядка по распределению их корней // Матем. сб., 1966, Т. 70 (112), С. 198-230; Матем. сб., 1966, Т. 71 (113), С. 405-419.

12. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. I. Спектральный синтез на выпуклых областях. // Матем. сб., 1972, Т.87 (129), № 4, С. 459-489.

13. Красичков-Терновский И.Ф. Инвариантные подпространства аналитических функций. II. Спектральный синтез на выпуклых областях. // Матем. сб., 1972, Т.88 (130), № 1, С. 3-30.

14. Кривошеев А.С., Напалков В.В. Комплексный анализ и операторы, свертки // Усп. матем. наук, 1992, Т. 47, вып. 6(288), С. 3-58.

15. Кривошеев А.С. Критерий разрешимости неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях пространства Сп // Изв. АН СССР. Сер. матем. 1990. Т. 54, №3, С. 480-500.

16. Кривошеев А.С. Регулярность роста системы функций и системы неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях комлексной плоскости // Известия Академии наук, 2000, Т. 64, №5, С. 69-132.

17. Кривошеев А.С. Системы неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях из С // Доклады РАН, 1998, Т. 361, № 3, С. 311-313.

18. Кривошеев А.С., Ганцев С.Н. О порождающих в идеалах целых функций конечного порядка и типа в плоскости // Сиб. мат. журнал, 2002, Т. 43, №5, С. 1046-1063.

19. Кривошеев А.С., Ганцев С.Н. Разрешимость систем неоднородных уравнений свертки в выпуклых областях в С // Алгебра и анализ, Т. 15 (2003), вып. 6.

20. Кусис П. Введение в теорию пространств Нр с приложением доказательства Волффа теоремы о короне М.: Мир, 1984.

21. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций М.:Гостехиздат, 1956.

22. Леоньтьев А.Ф. Диссертация . докт. физ. мат. наук 1947.

23. Леоньтьев А.Ф. Ряды полиномов Дирихле и их обобщений // Труды МИАН, 1951, Т. 39, С. 1-215.

24. Леонтьев А.Ф. Целые функции. Ряды экспонент М.:Наука, 1983.

25. Лейхтвейс К. Выпуклые множества М: Наука, 1985.

26. Напалков В.В. Об одном классе неоднородных уравнений типа свертки // УМН, 1974, Т.29 ,№3 С. 217-218.

27. Напалков В. В. Уравнения свертки в многомерных пространствах -М.: Наука, 1982.

28. Напалков В.В. О системах неоднородных дифференциальных уравнений в частных производных бесконечного порядка // Матем. заметки, 1979, Т. 26, №, С.217-226.

29. Хермандер Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными, I. Теория распределений и анализ Фурье М: Мир, 1986.

30. Boas R. Differential equations of infinite order // J. Indian Math. Soc. , 1950, V. 14, JM, P. 15-20.

31. Braun W. Weighted algebras of entire functions in which each closed ideal admits two algebraic generators // Michigan Math. J., 34 (1987).

32. Carleson L. Interpolation by bounded analytic functions and the corona problem // Ann. of Math. 1962. V. 76, P. 547-559.

33. Carmichael R. Linear differential equations of infinite order // Bull. Amer. Math. Soc., 1936, V. 42, №4, P. 193-218.

34. Ehrenpreis L. Fourier analysis in several compex variables // New York: Wiley-Interscience publishes, 1970.

35. Hoffman K. Banach spaces of analytic functions // Prentice-Hall, Englewood Cliffs, N.J. 1962. P. 163-164.

36. Hormander L. Generators for some rings of analytic functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V.73, P. 943-949.

37. Kellher J., Teylor B. An application of the Corona theorem to some rings of entire functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73, P. 246-249.

38. Malgrage B. Existence et approximation des solutions aux des equations derivees partielles et des equations de convolution // Ann. Inst. Fourier, 1955-56, V.6, P.271-355.

39. Malgrange B. Systemes differentiells a coefficients constants // Seminaire Bourbaki, Paris, 1962/63, №246.

40. Myggli H. Differentialgleichungen unendlich honer ordnung mit constanten koeffizienten // Comment Math.Helvet, 1938, V. 11, P. 151179.

41. Sikkema P. Differential operators and differential equations of infinite order with constant coefficients. Researches in connection with integral functions of finite order // Djakarta: Groningen, 1953.

42. Sikkema P. A generalization of Norlund's theory of principal solution of linear difference equations // Proc. Konikl. Akad. Wetensh, 1955, V.58, №5, P.608-620.

43. Sigurdsson R. Convolution equations in domains of Cn // Arkiv For Mat., 1991, V.29, P. 285-305.

44. Wiegerink J.J. Growth properties of Paley-Wiener functions on Cn // Nederl. Akad. Wetensch. Proc., 1984, V. 87, P. 95-112.