Римановы многообразия и поверхности постоянной дефектности тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

РГ6 од

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УВДВЕРСИТЕТ

10МАЯ-Ш

На правах рукописи

УДК 514 ■

УШАКОВ Виталий Геннадиевич

РИМАНОВЫ МНОГООБРАЗИЯ И ПОВЕРХНОСТИ _ ПОСТОЯННОЙ ДЕФЕКТНОСТИ

01.01,04 - геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

Санкт-Петербург' - 1993

Работа выполнена в Центральном конструкторском осро "Протон", г. Харьков.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор ¡0. Д.Бураго кандидат физико-математических наук, . • доцент И.Х.Сабитов

Ведущая организация - Российский государственный педагогический университет им.А. И. Герцена

Завита диссертации. состоится "<=?£" 05_1993 г.

в-/7 час, на заседании Специализированного совета К 063. 57.45 по присуждение ученой степени кандидата физико-математических наук в С.-Петербургском государственном университете (адрес совета: 1В8904, С.-Петербург, Ст.Петергоф, Библиотечная пл., 2, математико-механический факультет СПбЮ. Завдта будет проходить по адресу: 191011, С.-Петербург, наб.р.Фонтанки, 27, 3-й этаж, зал 311 Спопечение КОМИ).

С диссертацией можно ознакомиться в бйблиоотеке им. А. И. Горького С. -Петербургского. государственного университета, Университетская наб., 7/9. • .

Автореферат разослан -23« ¿>4 1993 г.

Ученый секретарь Специализированного совета, кандидат физкко-маткматических наук

Р. А. Шмидт

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Изучение поверхностей постоянной дефектности имеет давнюю традицию. Еш,ё в 1876 году Биц установил, что для существования изгибаний гиперповерхности необходимо, чтобы гиперповерхность имела достаточно большую дефектность. Именно изучение проблем изгибания стимулировало дальнейшие исследования Картана, Яненко. В их работах дано достаточно полное описание метрик и поверхностей постоянной дефектности.

В 1952 году появилась работа Черна и Кёйпера, очень быстро ставшая классической: каждый из авторов, приближающийся к этой области исследования, непременно ссылался (и ссылается) на неё. В этой работе впервые появился "точечный подход" Ст. е., были введены пространства дефектности метрики и поверхности,которые являются линейными подпространствами касательных пространств метрики или поверхности в каждой трчке; термин "постоянная дефектность" означает постоянство размерности пространств дефектности), которому мы следуем в диссертации Справда, в работах Яненко содержалось практически то же самое определение, но вместо наглядных пространств дефектности он использовал более формальный аппарат.внешних форм). Далее следует упомянуть работы Черна -Лашофа, Акивиса, Рыжкова, Савельева, Сэкстедера, О'Нейла - Штайла, Акивиса - Рыжкова, Хартмана, Штайла, Розенталя, Шефеля, Мальца, Феруса,. Эйба, Мура, Александера - Мальца, Борисенко, Родригиса. Проблема постоянной дефектности распространялась на пространства постоянной' кривизны; римановы пространства, комплексные пространства. Оказалось, что эти поверхности естественным образом возникают при исследовании многомерных поверхностей с одинаковым

грассмановым образом, а также при изучении других геометрических проблем.

Исследования, вылившиеся в настоящую работу, начались с поиска ответа на вопрос о вг можности погружения римановых многообразий постоянной дефектности (РМПД) в классе поверхностей постоянной дефектности СППД) 'начиная с этого места, мы будем активно использовать сокращения; их перечень приведен в конце автореферата перед списком работ автора). Этот вопрос поставил автору А. А. Борисенко.

Несмотря на активное использование подвижного репера й. аппарата■внешних форм, во всей ' диссертации удаётся сохранить достаточно низкие требования гладкости, поскольку все интересупщие нас ВДС решаются в явном виде без критерия инволютивности Картана, а значит, и без теоремы Коши - Ковалевской.

Цель работы состоит в

1). выписывании ВДС на многомерные ППД, РМПД;

2) систематическом изучении ¿-мерных поверхностей ПД 1.-1 ;

3) выделении и полном описании 3-Мерных метрик ПД 1 из специального класса (2 ;

4) получении критерия изометрического погружения метрик класса ¡2 в классе ППД евклидова пространства;

5) описании погружаемых метрик класса <2 ;

6) изучении локальных и глобальных ППД, несущих метрики класса (2 ;

7) выяснении роли ППД, несущих метрики класса <2 , в проблеме' изгибания гиперповерхностей.'

Научная новизна.' Все основные результаты ' работы является новыми. Впервые: выписана ВДС на многомерные ППД, РМПД;

систематически изучены I-мерные поверхности ПД 1-1 ;' дано уточнение теоремы об аффинно устойчивых погружениях метрик постоянной дефектности; введена взаимная система координат; выделены и полностью описаны 3-мерные метрики ПД 1 из специального класса 0. ; получен критерий изометрического погружения метрик класса б в классе ППД евклидова пространства; описаны погружаемые метрики класса й ; изучены локальные и глобальные ППД, несушде метрики класса Ц ; указана риль этих поверхностей в проблеме изгибания гиперповерхностей.

Методы исследований - метод подвижного репера, метод внешних форм Картана, введение взаимной системы координат, методы римановой геометрии и линейной алгебры.

Практическое и теоретическое значение. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в проблеме изгибания поверхностей," в проблеме единственности восстановления поверхности по её' грассманову образу. Материалы работы могут быть также использованы при чтении спецкурсов • студентам; специализирующимся по специальности "геометрия". .

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на Харьковском городском геометрическом семинаре Срук. - акад. А. В. Погорелов], на семинаре 'кафедры геометрии ХГУ (рук. -проф. Ю. А. Аминов), на семинаре" МГУ по геометрии "в целом" С рук. -проф. Э. Г. Позняк, доц. И.Х.Сабитов, доц. Э. Р.Розендорн), на семинаре ЛОМИ АН СССР (рук. - проф. Ю. Д. Бураго, проф. В. А. Эалгаллер), а также на Всесоюзной конференции по Геометрии "в целом" (г.Новосибирск, 198В г.), на IX Всесосзной конференции по геометрии (г.Кишинев, 1988 г.), на Всесоюзной конференции по геометрии и анализу (г.Новосибирск, 1989 г.), на Международной конференции

"Лобачевский и современная геометрия" Сг.Казань, 1992 г.), на конференции по геометрии "в целом" Сг.С.-Петербург, 1992 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликованы 2 работы, 2 тезисов С список приведен в конце автореферата); тезисы, написанные совместно с Л. Н. Сергиенко, содержат равный вклад авторов.

Объём и структура работы. Работа состоит из введения и шести параграфов. Объём работы - 118 страниц машинописного текста, список литературы содержит 58 названий.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ И ОСНОВШЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

В первом параграфе дано систематическое описание поверхностей постоянной дефектности СППД). Основной метод исследования - метод подвижного репера. Даётся два эквивалентных определения ППД :

Определение 1. Поверхность Т1 с Е1 называется ППД к , если в каждой точке й е Г1 размерность пространства дефектности Т1ХЧС0 равна Ь .

Пространством дефектности Т'дх*СЮ называется нуль-пространство векторнозначной второй фундаментальной формы А поверхности Г1 с Е1'' :

Т'0ХЧСО = (х е ТаТ1 | АСх, 0= 0)-,

Определение 2. Поверхность Г1 с Е1*й называется ППД £ , если она является ^-линейчатой поверхностью с касательной плоскостью, стационарной вдоль образующих.

ППД являются многомерным обобщением развёртывающихся поверхностей Г2 с Е3 .

Заметим,, что разные авторы использовали разные термины для

обозначения этого же класса поверхностей :

- поверхности постоянного ранга (Яненко, Акивис);

- тангенциально вырожденные поверхности СРыжков, Акивис);

- k-раэвёртывающиеся поверхности СТопоногов, Шефель);

- сильно М-параболические поверхности .(Борисенко);

- поверхнс-ти постоянной дефектности (все англоязычные авторы, начиная с Черна и Кййпера),

В п,1.9 первого параграфа выводится внешняя дифференциальная . система СВДС) на ГВД , являющаяся одни« из основных инструментов, исследования в диссертации.

В п. п. 1.10, 1.11 изучены поверхности размерности I ПД 1-1.

Теорема 2. Поверхность раз периост L ПА l-i в окрестности ■ тачки общрго положения является торсои или цилиндраконусои над юрсом.

Теорема 3. Поверхность с тачечной коразмерностью 1 и глобальной коразмерностью > I является поверхностью размерности I ПА 1-Í .

t

Теорема 4. Поверхность с плоской метрикой и точечной коразмерностью i является поверхностью размерности I ПА 1-1, и наоборот.

Теорема S. Поверхность размерности I ПА . l-i является 1-мерной (L-lJ-линейчатсй поверхностью с плоской метрикой, и наоборот.

Поверхности размерности I ПД 1-1 естественно возникают в проблеме аффйнно-устойчивых погружений римановых многообразий постоянной дефектности (РМПД), что подробно обсуждаетйя в Параграфе 3 диссертаций.

Во втором параграфе изучаются РМПД, для которых также выписана ВДС. -

Римановым многообразием постоянной дефектности к называется многообразие, в каадо'-', точке <3 которого размерность пространства дефектности С внутреннего) Т^ССО равна к .

Пространством дефектности Г^'Сй) в точке 0. е М1 называется множество векторов из касательного пространства ТаН1 , обращающих в нуль тензор кривизны Л ;

Т^ССО = | х е ТаН1\ Я.Сх, = О }

Третий параграф посвящен анализу связи между РМПД и ППД. Легко видеть, что ППД к несёт метрику ПД к Суравнение Гаусса). Довольно естественно возникает обратная задача: любое ли РМПД & допускает изометрическое вложение в евклидово пространство в качестве ППД к Сподробное исследование, этого вопроса проводится в параграфе 5 диссертации). На естественность такой постановки вопроса указывает схема Шефеля, устанавливающая удобное соответствие между некоторыми классами метрик и поверхностей. Обсуждению схемы Шефеля и её применимости к проблеме постоянной дефектности посвящены пункты 3. 2, 3.3. Одним из основных элементов конструкции Шефеля . является понятие аффйнно-устойчивого погружения.

Пусть задан класс метрик И1 . Поверхность Г1 называется аффинно-устойчивым погружением метрики из К1 .если

- она несёт метрику из клгсса Я1;

- для любого аффинного преобразования . § объемлющего эвклидового пространства поверхность несёт метрику из класса К1 .

В пункте 3.4 параграфа 3 обсуждаются аффинно-устойчивые погружения РМПД .

Теорема 6. Адхринна-устоичивьш погружением РМПА к являетгся Ю ППЛ к, если к < I ; б) ППА или ППЛ I, если к = I.

Пункт а) теоремы'был доказан А.А.Борисенко в 1882 году. В диссертации приведено другое доказательство, опирающееся на специальную алгебраическую лемму.

В четвёртом параграф вводится взаимная система координат, которая позволяет переходить от -заданного ортонормирозанного Снеголономного) репера на ркмановом многообразии к голокомкому реперу,' порождаемому некоторой системой координат. Взаимная система координат однозначно определяется неголокомнкм репером и выбором фиксированной точки Ра - начала системы координат. Все дальнейшие рассмотрения ведутся во взаимной системе координат.

В пятом параграфе выделяется специальный класс ¡2 3-мерных РМПД 1.

Классом 0. назван набор всех 3-мерннх РМПД 1, для которых Гг = Г1 = Г2 = Гг = О , Г2 * 0 , Я * 0 ,

1 3! 32 32 22 ' 131 '

где Г - символы Кристоффэля неголомного репера: ~ •

Теорема 7. Аля задания иешрики класса (2 функции Г'^Си1, иг, Ю = <рСи*, иЪ , ■ Г^Си1, О, 0) = * О

выбираются произвольно, а оставшиеся восстанавливаются па <рараулаи

Г^Си', и2, и3) = рСи', и2:,

.и2

Г2/иг, и2, и3) = у(иЬ ехрС-^и' ,ОсЮ ,

. ВСи', и2, и3) = -<рг - -Ц .

ди*

Теорема 8. Коэффициенты метрического тензора метрики класса О, определяемой функциями рСи1, игЭ, уСи1) , задаются формулами

еи = ехрСг^рСи', IУйО + КиЬ2 + Си3)2]у12Си'Э,

о

= иЗуСи'Э, @13 - -и2у(и'),

&22 ~ &33 ~ ^23 ~ 0- ■

Теорема 9. Али существования изометрического погружения РНПА класса О. 6 классе ППА произвольного 'евклидова пространства, необходимо и достаточно выполнение двух условий: а) Я < О ; '

б.) -&В-; + 6(р + 4р3 - О СдиЬ2 диг

или С УРАВНЕНИЕ ПОГРШЕМОСТИ )

д2Я

Сди2.

Теорема 10. Если метрика класса (3 погружает в некоторое Еп, та она погружает в Е4 . г'

Теорема 11. Аля задания погружаемой метрики класса 0 достаточно выбрать три функции, одной переменной

АСи'Э , ВСиЬ > 0 , уСиЬ * 0. Оставшиеся функции восстанавливаются по формулам

Г'2,Си\ и2, и3) * ¿и1, -Л = " + и2 21 В + (А + иг)2

Г2, Си1, и2, и3) =

В * А

40 + (А + иЪ2

яги',- и2, иЪ = --гг.. .

[В + (А + и2)2]2

Саш функции А(и'Э и ВСи' Э восстанавливаются по К = КС и', 0, 03 и /?* = ¿^Си', 0, 03 «ш:

4 = в _ -256-к5

~ ¡би3 - ¡ей»)2 ' г/бк3 - ск':>2;2

В пятом параграфе выписан метрический тензор непогружаемой метрики класса (3 , обладающей следующим любопытным свойством: секционные кривизны по площадкам, содержащим вектор, дефектности, обращаются в нуль, а по площадке,- ор;тональной этому вектору, равны -1 в каждой точке.

В шестом параграфе изучаются локальные и глобальные ППД, несущие метрики класса 3 . Указан способ построения локальных поверхностей по заданной метрике в £"* Стеорема 12), в Еп (теорема 13), определён произвол задания таких поверхностей. Доказано, что существует единственная глобальная поверхность в Е4, реализующая заданную метрику класса 0 (теорема 15). В последнем пункте шестого параграфа анализируется проблема изгйбания гиперповерхностей й роль ППД класса <2 в решении этой нроблеш.

СПИСОК СОКРАЩЕНИЙ

ЭДС

ИД

ппд

РМПД

внешняя дифференциальная система ' постоянная дефектность поверхность постоянной дефектности риыаново многообразие постоянной дефектности

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Ушаков В.Г. О базе сильно параболического риманова многообразия // Укр. геометр, сб. - 1391. - Выя. 34. - С. 112 - 121.

2. Ушаков В.Г. Характеристические свойства римановых многообразий с нулевыми секционными кривизнами вдоль геодезического слоения // Междунар. научн.. конф. "Лобачевский и современная гео-мeтpия■■. Часть I. - Казань, 1992. - С. 103 - 104.

3. Сергиенко Л. Н., Ушаков В. Г. Линейные неголономные многообразия постоянной дефектности в ' Е71 // ;Мевдунар. научн. конф. "Лобачевский и современная геометрия". Часть'I. - Казань, 1992.-С. 90 - 91.

4. Ушаков В.Г. Римановы многообразия и поверхности постоянной дефектности / Харьков, 1992. - 116 с. - Деп. ■ в ВИШИ 22.12.92, К! 3607 - В92.