Римановы структуры почти произведения на касательном расслоении гладкого многообразия тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

На правах рукописи

афт

Сухова Ольга Владимировна

РИМАНОВЫ СТРУКТУРЫ ПОЧТИ ПРОИЗВЕДЕНИЯ НА КАСАТЕЛЬНОМ РАССЛОЕНИИ ГЛАДКОГО МНОГООБРАЗИЯ

01.01.04. — геометрия и топология

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Казань - 2009

А ! Г ! • г,----

I • и '-> ., :)

003458959

Работа выполнена на кафедре геометрии Пензенского государственного педагогического университета им. В.Г. Белинского

Научный руководитель: кандидат физико-математических наук,

профессор

Паньженский Владимир Иванович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор

Евтушик Леонид Евгеньевич

Защита состоится 5 февраля 2009 года в 14ч. ЗОмин. на заседании Диссертационного совета Д 212. 081. 10 при Казанском государственном университете им. В.И. Ульянова-Ленина гю адресу: 420008, г.Казань, ул. Профессора Нужина, 1/37, НИИММ, ауд. 324.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. Н.И. Лобачевского Казанского государственного университета им. В.И. Ульяпова-Ленпна / г.Казань, ул.Кремлевская,18 /

доктор физико-математических наук, профессор

Степанов Сергей Евгеньевич

Ведущая организация: Московский педагогический

государственный университет

Автореферат разослан

декабря 2008г.

Ученый секретарь Дисс ертациопного совета канд. физ -мат. наук, доцент

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Систематическое исследование структур почти произведения (7г - структур), в том числе и рнмановых структур почти произведения, было начато в середине 50-х годов прошлого столетия. К числу первых работ в этом направлении следует видимо отнести работы Легранда [12] - [14|. В работе [14] Легранд исследовал естественную тг-структуру на главном расслоенном многообразии, горизонтальное распределение которой задавалось инфинитезимальной связностью. Большое, число работ посвящено построению различных связностей, согласованных с тг-структурой [11], [13]. В работах Б.Н. Шапукова [4] - [б] изучались естественные тг-структуры и связности на расслоенных пространствах и их автоморфизмы.

Имеется большое число различных классов (римановых) структур почти произведения. В работе [15] Навейра получил 64 класса римановых структур почти произведения аналогично тому, как это было сделано Греем и Хервелла в [9] для почти эрмитовых структур. В работе [3] С.Е. Степанов выделил восемь основных классов структур почти произведения, заданных на гладком многообразии с линейной связностью без кручения. Указанным классам даны геометрические характеристики и получены инвариантные признаки принадлежности тому или иному классу.

Изучение специальных римановых метрик на касательном расслоении ТМ гладкого многообразия М начинается с известной работы Сасаки [16], в которой вводится и исследуется естественный класс метрик, являющихся эрмитовыми относительно почти комплексной структуры, порожденной связностью Леви-Чивита рныановой метрики д базисного многообразия М.

Изучались также римановы метрики на ТМ, у которых по главной диагонали стоят разные блоки. Такие метрики уже не являются эрмитовыми, а принадлежат классу римановых метрик естественной структуры почти произведения. Примером такой метрики является известная метрика Чигера-Громола, [10], [17|. В указанных работах получены некоторые оценки различных кривизн касательного расслоения в зависимости от кривизны базы.

Автоморфизмы касательных расслоений со специальными римановыми метриками исследованы в работал [1], [7].

Целью диссертационной работы является изучение римаиовых структур почти произведения, заданных на касательном расслоении гладкого многообразия, в частности, получение инвариантных характеристик классов Навейра и С.Е. Степанова, а также исследование кривизн касательного расслоения риыанова многообразия, наделенного специальной римановой метрикой структуры почти произведения.

Методы исследования. Основным методом исследования, применяемым в работе, является аппарат тензорного анализа. Большая часть вычислений проводится в бескоординатной форме с использованием исчисления Кошуля. Исследования носят локальный характер н ведутся в классе достаточно гладких функций.

Научная новизна. Результаты работы, выносимые на защиту, являются новыми.

Результаты, выносимые на защиту:

1. Исследованы обобщенные лагранжевы пространства с: метрикой Тамма

<7и = у{г)дц + ф{г)угу3,

где <р п ф - произвольные функции аргумента г = ?/; = ШрУр,

т^ 0, у5 + 2гф ф 0, а дг^х) - компоненты (псевдо) риманова метрического тензора. Выяснено, что метрика Тамма принадлежит классу обощенных финслеровых метрик тогда и только тогда, когда она является локально конической, [2|. Установлено, что среди метрик Тамма пет финслеровых метрик. Доказано, что экстремали ассоциированного лаграпжева пространства с метрикой Тамма совпадают с геодезическими риманова пространства с метрикой а усеченная связность Картана метрики Тамма совпадает со связностью Лсви-Чивита метрики д.

2. На касательном расслоении риманова многообразия тучен слсцчамь-

ный класс римановых метрик структуры почти произведения

д = дч{х)йх1 ® йх1 + ди{х, у)6х1 <Э ¿V,

где gгJ - компоненты риманова метрического тензора базисного многообразия, - компоненты метрики Тамма, причем <р > 0, ф > 0. Данный класс содержит как частный случай метрику Сасаки, метрику Чигера-Громола. Вычислена связность Леви-Чнвита метрики д, получены выражения для тензора кривизны, тензора Рпччи, секционных кривизн касательного расслоения, наделенного метрикой, принадлежащей рассматриваемому классу. Установлена зависимость скалярной кривизны касательного расслоения от функций ф и объектов базисного многообразия. В случае, когда базисное многообразие является пространством постоянной секционной кривизны, найдены условия на метрику д и размерность базы, при которых скалярная кривизна касательного расслоения является постоянной величиной. Для некоторых частных случаев римановых метрик д установлена зависимость промежутков знакопостояыства скалярной кривизны касательного расслоения от размерности и крнвизны базы.

3 Установлены условия принадлежности классам Навепра римановых структур почти произведения, заданных на касательном расслоении гладкого многообразия с помощью инфшштезималыюй связности и метрики

9 = ® + У)&хг 0

где 9ч = А*. 9ч = ¿е1\\дч\\ ф 0, йе^^ ф 0.

4. Получены инвариантные характеристики классов С.Е. Степанова структур почти произведения в случае, когда в качестве исходного многообразия выступает касательное расслоение, структура почта произведения определена инфшштезималыюй связностью, а в качестве линейной связности выбрана связность Леви-Чпвита римаиовой метрики д структуры почти произведения.

5. Получены тензорные признаки классов Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур, естественным образом возникающих на касательном

расслоении почти снмплектического многообразия.

Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении структур почти произведения, римановых метрик структуры почти произведения, геометрии касательного расслоения, в аналитической механике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на геометрическом семинаре физико-математического факультета Пензенского гос. пед. университета (2004-2008гг.), на Четвертой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2005г.), на Пятой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2006г.), на Международной конференции "Лаптевские чтения"(Пенза, декабрь 2006г.), на Шестой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2007г.), на XIX международной летней школе - семинаре "Волга-2007"по проблемам теоретической и математической физики (Казань, июнь 2007г.), на геометрическом семинаре им. Г.Ф. Лаптева при МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, октябрь 2008г.), на геометрическом семинаре КГУ (Казань, октябрь 2008г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав основного текста, включающего в себя 15 параграфов, и списка литературы, содержащего G9 работ. Диссертация изложена на 150 листах машинописного текста.

ОБЗОР СОДЕРЖАНИЯ ДИССЕРТАЦИИ

Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности темы и краткое содержание работы.

Глава 1 (§1-5) в основном носит реферативный характер.

В §1 вводятся понятия структуры почти произведения, рнмановой структуры почти произведения, почти эрмитовой структуры. В §2 приводится

G

классификация С.Е. Степанова структур почти произведения на многообразии с линейной связностью. Даются определения и геометрическая интерпретация для каждого из классов, прослеживаются принципы построения данной классификации. §3 посвящен классификации Навейра римано-вых многообразий почти произведения. Рассматриваются алгебраические основы построения данной классификации, а также геометрические свойства некоторых классов, [8]. В §4 приводятся основные идеи классификации Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур

В §5 главы 1 исследуется пространство с метрикой Тамма Гладкое п-мерное многообразие М называется пространством Тамма, если в каждом касательном пространстве ТХМ задана (псевдо) риманова метрика, инвариантная относительно всех вращений и зависящая гладким образом от х £ М. Компоненты метрического тензора пространства Тамма имеют вид

9г] =<р(г)9,] + Ф(г)УтУ], (1)

где (р к Ф - произвольные функции аргумента z = \дрлут'у!', такие, что ¡р ф 0, <р + 2гф ф 0, а д,}(х) - компоненты (псевдо) риманова метрического тензора, у, = д1рур. Получены условия, при которых метрика Тамма является метрикой обобщенного финслерова пространства (Лемма 5.1). Установлено, что среди метрик Тамма нет фпнелеровых метрик (Лемма 5.2), но есть лагранжевы метрики (Лемма 5 4) Доказано, что экстремали ассоциированного лагранжева пространства с метрикой Тамма совпадают с 1еодезическими риманова пространства с метрикой д (Лемма 5.5); усеченная связность Картаиа регулярного обобщенного пространства с метрикой Тамма совпадает со связностью Леви-Чивита метрики д (Лемма 5.6).

Глава 2 (§6-9) посвящена классификациям структур почти произведения, римановых структур почти произведения и почти эрмитовых структур, естественным образом возникающих на касательном расслоении гладкого многообразия с заданной инфинитезимальной связностью.

В §6 на касательном расслоении гладкого многообразия вводятся структура почти произведения Р и почти комплексная структура ./, определяемые заданной инфинитезимальной связностью. Рассматривается риманова

метрика структуры почти произведения. В адаптированных координатах матрица компонент метрического тензора этой структуры имеет вид

Л (2)

\ 0 9,j{x,y) J

Вычислены коэффициенты связности Леви-Чивита данной метрики. Установлен также вид матрицы произвольной эрмитовой метрики на ТМ и выделен естественный частный случай

У -Wy(x) 0 J когда базисное многообразие М наделено почти симплектической структурой ш = \bJijdxL A dx1.

В §7 исследуются инвариантные характеристики классов С.Е. Степанова структур почти произведения, заданных на касательном расслоение гладкого многообразия, распределение горизонтальных площадок которых определяется пнфинитезимальной связностью с коэффициентами N¡(x,у), а в качестве линейной связности выступает связность Леви-Чивита метрики (2). Инвариантные признаки классов получены в виде условий, накладываемых на компоненты метрического тензора ди, тензора

Щ = ъ% - г* = djN? - \gkVi9,J + SjSu - 6*9,j) (4)

и подобъект объекта неголономности fí¿j = SjNf — ¿'¿А^, где {6,} - локальный базис горизонтального распределения пнфинитезимальной связности. Доказаны следующие утверждения:

Теорема 7.1. Структура почти произведения на ТМ является интегрируемой тогда и только тогда, когда Яу = 0. Если Ф 0, то структура полуиптегрируема.

Теорема 7.2. Для того. чтобы структура почти произведения на ТМ была плоской необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия:

9,j-m - gmpKj = 0, gPJврпи + gipBpmj = 0. (5)

В случае, когда справедливо только одно из данных равенств, структура является полуплоской.

Теорема 7.3. Для того чтобы структура почти произведения на ТМ была чебышевской необходимо и достаточно, чтобы выполнялись условия

94 т + дтрЩ, = о. дА 4- д1рВ^ = 0. (б)

Если выполняется только одно из данных равенств, то структура является. получебышевской.

Теорема 7.4. Для того, чтобы структура почти произведения на ТМ была полугеодезической необходимо и достаточно, чтобы выполнялось одно из агедцющих условий:

дтди= о, 4 = 0, (7)

д„В^ + дг1,В% = 0. (8)

В случае одновременного выполнения условий (7).(8) структура является геодезической и полудекартовой.

В §8 получены инвариантные характеристики классов Навейра рциановых структур почти произведения в случае, когда в качестве исходного многообразия выступает касательное расслоение ТМ, структура почти произведения определяется инфшштезимальной связностью, а метрика (2) рассматривается как риманова метрика почти произведения. Доказаны, следующие утверждения (Теоремы 8.1 - 8.14).

Горизонтальное распределение римановой структуры почти произведения (ТМ,д,Р) удовлетворяет

а) условию Р1 (является интегрируемым), если и только если Я* = 0;

б) условию АР (является вполне геодезическим) тогда и только тогда, когда

4 <?,; = 0; (9)

в) условию ТСР (задает вполне геодезическое слоение), если и только если

= 0, = 0; (10)

г) условию (является минимальным) югда и только тмда, когда справедливо равенство

п

= 0; (И)

г —1

д) условию ^ (задает минимальное слоение), если и только если выполняются условия

п

4 = °> = (12) 1=1

е) условию £>2 (является омбилическим), тогда и только тогда, когда

1 "

д,п9ч - ~9ч Е 1П?Фт9Р* - 9ш1-Ф = 0; (13)

¡=1

ж) условию (задает омбилическое слоение), если и только если имеют место равенства:

4 = 0. дт9ч - ¿70- Е = 0- (14)

¡=1

Вертикальное распределение рассматриваемой римановой структуры почти произведения (ТМ.д, Р) является интегрируемым, и удовлетворяет

а) условию а следовательно и ТС?Р (задает вполне геодезическое слоение) тогда и только тогда, когда

+ = 0; (15)

б) условию £>1, а следовательно и ^ (задает минимальное слоение) тогда и только тогда, когда справедливо равенство:

п

Е СГ етаХр + зА) = 0; (16)

1=1

в) условию а следовательно и (задаст омбилическое слоение), если и только если выполняется условие:

дк]Вкт1 + д,кВкт] - Ё + дркВкта) = 0. (17)

' ¿=1

Здесь /,", /„"+/" - функции на ТА/, || ^ 0, **|Ю| ^ являющи-

еся коэффициентами разложения ортонормированного базиса Бп+Л. Е", € Я, /?,,,+,• € К, по векторным полям естественного адаптированного базиса на ТМ\ = £„+, = Имеет место

Теорема 8,15. Если на ТМ задана риманова метрика д = дч{х)йх' ® д..х7 + дч5уг ® ¿у-1, где §= + Ф(г)у>У1 - компоненты метрики

Талила, и иифииитезшюлъиая связность порождается усеченной связностью Картана метрики Тамма, то риманоеа структура почти произведения (ТМ,д,Р) принадлежит классу Навейра {АР, ТОР).

В §9 получены признаки классов Грея-Хервеллы почти эрмитовой структуры, заданной на касательном расслоении гладкого многообразия с эрмитовой метрикой (3), в случае, когда инфинитезимальпая связность порождается связностью V, согласованной с почти снмплектической структурой и. Доказаны следующие утверждения:

Теорема 9.1. Почти эрмитова структура (ТМ,д, является келе-ровой тогда и только тогда, когда форма и! является симплектическои, связность V не и.иеет кручения и является тыоской.

Теорема 9.3. Почти эрмитова структура (ТМ,д,./) является почти келеровой тогда и только тогда, когда базисное многообразие (М,и>) является симплектическим пространством, с нулевым тензором кривизны.

Также установлено, что для почти эрмитовых структур (ТМ, д, ./) классы приближенно келеровых, локально конформно келеровых, эрмитовых и эрмитовых семи-келеровых структур сводятся к классу келеровых (Теорема 9.2), а класс квази келеровых структур - к классу почти келеровых (Теорема 9.4).

В главе 3 (§10-15) на касательном расслоении риманова многообразия (М,д) рассматривается структура почти произведения, горизонтальное распределение которой определяется связностью Левн-Чивита метрики д. Изучается класс римановых метрик структуры почти произведения, матрицы которых в адаптированных к структуре почти произведения координатах имеют следующий блочно-диагональный вид:

Яи = ( ^ ° V (18)

\ о ф)д-11 + ф{г)у,у3 )

где у> - некоторые функции аргумента 2 = ¿др^'у* • такие что <р > 0 и 1р > 0. Для метрик данного класса, содержащего как частные случаи метрику Сасаки, метрику Чигера-Громола, исследуются различные кривизны касательного расслоения (ТМ,д).

В §10 для метрик рассматриваемого класса получены выражения, определяющие связность Леви-Чпвита. В §11 вычислен тензор кривизны касательного расслоения с метрикой (18). В §12 построен специальный орто-нормированный репер касательного расслоения с метрикой (18), состоящий из лифтированных векторов ортонормированного репера базисного многообразия. Получены равенства, определяющие тензор Риччи пространства (ТМ,д).

В §13 найдены секционные кривизны риманова многообразия (ТА/, д). Доказано (Теорема 13 1), что в случае, когда базисное многообразие является пространством постоянной секционной кривизны к, для секционных кривизн касательного расслоения с метрикой д справедливы следующие утверждения: К{Х,1,УН) неотрицательны при 0 < к < К(Х'\УХ') неотрицательны; К(Х", У) знакопеременны.

Вычислены секционные кривизны пространства (ТМ,д) вдоль двумерных направлений, определяемых векторами построенного ортонормированного репера. Справедлива

Теорема 13.2. Среди пространств (ТМ,д) нет пространств постоянной ненулевой секционной кривизны.

В §14 найдена скалярная кривизна пространства (ТМ,д) В случае, когда базисное многообразие имеет постоянную секционную кривизну к, получена формула, выражающая зависимость скалярной кривизны касательного расслоения с метрикой (18) от кривизны к. размерности п базы и функций ср н ф. Имеет место

Теорема 14.1. Если базисное многообразие, является пространством

2

постоянной секционной кривизны к, а функции (риф таковы, что <р = ф > 0, где а - отличная от нуля константа, то касательное расслоение с метрикой д имеет постоянную скалярную кривизну.

В §15, полагая что (М,д) - риманово многообразие постоянной секционной кривизны к, исследованы промежутки знакопостоянства скалярной кривизны касательного расслоения (ТМ, д) для некоторых частных случаев метрики д Доказаны следующие утверждения:

Теорема 15.1. Пусть риманово многообразие (М,д) имеет постоян-

ную секционную кривизну к. <р = ф > 0, (а = ccnsf ф 0). Тогда скалярная кривизна S пространства (ТМ,д) равна нулю при к ~ —v 2 3—-;

, ^ ,n-Wn2+2(11-2) 11+^/142(71-2).

положительна при к € (—v 2 —i, —v 2a¿ —i); отрицательна при к € (—оо, —v 2aí —-) U (—v 2fl2 -', +oo).

Теорема 15.2. Пусть (Л/, g) - ри.м.аново многообразие постоянной секционной кривизны k, tp = 1, ф = с, г<?е с = corasí > 0. Тог^а скалярная кривизна S касательного расслоения (ТМ,д) отрицате.иьна npxi k G (—оо, —с], положительна при к = 0, и знакопеременна в остальных случаях.

Если (М,д) - риманово многообразие постоянной секционной кривизны k, д - метрика Сасаки, то скалярная кривизна S касательного расслоения ('ТМ, д) отрицательна при к < 0, равна нулю при к — 0 и знакопеременна при к > 0.

Список литературы

[1] Ибрагимова, Р.Х. Движения на касательных расслоениях, сохраняющие ортогональную и касательную структуры/ Р.Х. Ибрагимова// Известия ВУЗов. Математика. - 1996,- N8. — С.29-34.

[2] Паньжснскпй, В.И. Исследование локально-конических многообразий с помощью соприкасающихся римановых метрик / В.И. Паньженский // Геометрия погруженных многообразий. — М. МГПИ. — 1986. -- C.G5-70.

[3] Степанов С.Е. О классификации структур почти произведения на многообразии с линейной связностью/ С.Е. Степанов // Известия ВУЗов. Математика - - 1999. - N1. -- С.61-68.

[4] Шапуков, Б.Н. Линейные связности векторного расслоения Б.Н. Шапуков// Труды геометрического семинара. Межвз'З. темат. сб. науч. тр. -вып.8. - Казань, 1975. - С. 118-131.

[5] Шапуков, Б.Н. О структуре почти произведения на векторном расслоении / Б.Н. Шапуков//' Труды геометрического семинара. Межвуз те-

мат. сб. науч. тр. — вып.11 — Казань, 1979. — С.100-110.

[6] Шапуков, Б.Н. Автоморфизмы расслоенных пространств > Б.Н. Ша-пуков// Труды геометрического семннара. Межвуз. темат. сб. науч. тр. — вып.8. - Казань, 1982. - С.97-108.

[7] Blanuta V., Yawata M. Infinitesimal transformations of the 2-я structures on tangent bundle / Victor Blanuta, Makoto Yawata // Tensor N.S. — 1994 — Vol.55. - P.43-52.

(8| Gil-Medrano, 0. Geometric properties of some classes of Riemannian almost-pioduct. manifolds / 0. Gil-Medrano // Rend. Circ. mat. Palermo. — 1983. - 32, N3. - P.315-329.

[9] Gray A., Hervella Luis M. The sixteen Classes of almost Hermitian manifolds and their lincare invariants / A. Gray, M. Luis Hervella /' Ann. mat. pura ed appl. 1980. 123. P.35-58.

|10j Gudmundsson S., Kappos E. On the geometry of the Tangent Bundle with the Cheeger-Gromoll Metric / S. Gudmundsson, E. Kappos /, Tokyo J.Math. - 2002. - Vol.25, N1. - P.75-83.

[11] Hsu Chen-Jung. On some properties of тг-structures on differentiable manifold / Chen-Jung Hsu // Tohoku Math. J. - 19G0. - 12, N3. - P. 429454.

[12j Lcgrand G. Sur les variétés a structure de presque-produit complexe ,' G. Legrand ,// C. r. Acad. sci. - 1956. - 242, N3. - P.335-337.

[13] Legiand G. Etude d'une generalisation des structures presque complexe sur les variétés differentiables / G. Legrand // Rend. Circolo mat. Palermo. — 1958. - 7, N3. - P.323-354; - 1959. - 8, N1. - P. 5-48.

[14] Legrand G. Une interpretation de la forme de courbure d'une connexion infinitesimale / G. Legrand // C. r. Acad. sci. - 1960. - 250, N21. - P.3441-3442

[15] Navcira, A M. A classification of Riemannian almotit-product manifolds /' A.M. Naveira // Rend. mat. eappl. - 1983. 3, X3. - - P 577-592.

[16] Sasaki Shigeo. On the differential geometry of tangent bundles of Rie-mannian manifolds I / S. Sasaki // Tohoku Math. Jour.— 1958 —10, N3. — P.338-354.

[17] Sekizawa, M. Curvatures of Tangent Bundle with the Cheeger-Gromoli Metric / M. Sekizawa // Tokyo J.Math. - 1991. - Vol 14, N2. - P.407-417.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

[1] Паньженский В.И. К геометрии пространств с метрикой Тамма / В.И. Паньженский, О.В. Сухова // Лаптевские чтения: Сборник трудов Международного геометрического семинара им. Г. Ф. Лаптева. - Пенза:ПГПУ, 2004. - С. 95-101.

[2] Сухова О.В. Инвариантные характеристики классов Степанова структур почти произведения на касательном расслоении / О.В. Сухова// Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научн. тр. — Выпуск 36. - Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2005 — с. 141-14G.

[3] Сухова О В. О вполне геодезическом слоении, определяемом пнфинп-тезнмальной связностью касательного расслоения обобщенного лагранже-ва пространства , О В. Сухова // Движения в обобщенных пространствах: Межвуз. сб. научи тр. - Пенза: ПГПУ, 2005. - с.136-139.

[4] Сухова О В. Инвариантные характеристики некоторых классов На-вейра риыановых структур почти произведения на касательном расслоении гладкого многообразия / О.В. Сухова /: Дифференциальная геометрия многообразий фигур: Межвуз. темат. сб. научн. тр. - Выпуск 37. — Калининград: Изд-во РГУ им. И. Канта, 2006. 0.168-175.

[5] Сухова О.В. О некоторых классах Навейра римановых структур почти произведения на касательном расслоении гладкого многообразия / О.В. Сухова /,' Вестник Чувашского гос. пед. ун-та им. И.Я. Яковлева. — ГОУ ВПО Чувашский гос. псд. ун-т пм. И.Я. Яковлева. - 2006г. -- N5(52). - С. 175-179

[Gj Сухова О.В. О кривизнах касательного расслоения римапова многообразия со специальной метрикой структуры почти произведения / О.В. Сухова !/ Лаптевские чтения: Сборник трудов Международного геометрического семинара им. Г. Ф. Лаптева. — Пенза: ПГПУ, 2007 . - с.114-121.

[7] Паньженскнй В.И. Почти эрмитовы структуры на касательном расслоении почти симплектического многообразия / В.И. Паньженский, О.В. Сухова // Известия высших учебных заведений. Математика. — Казань: Издательство КГУ им. В.И.Ульянова-Ленина. -- 2007г — N11. - с.75-78.

1С

Подписано к печати 18 12.2008 г. Формат 60x84 1/16 Печать методом ризографии. Усл. печ. л 1,0. Тираж 120 экз.

Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии «Копи-Ризо» ИП Поповой М Г. 440600, г. Пенза, ул. Московская, 74, к. 213 Тел. 56-25-09.

Введение.

Глава 1. Структуры почти произведения и почти эрмитовы структуры. Метрика Тамма.

§1. Структуры почти произведения; римаповы структуры почти произведения, почти эрмитовы структуры.

§2. Классификация С.Е. Степанова структур почти произведения на многообразии с линейной связностью.

§3. Классы Навейра римановых структур почти произведения и их геометрические характеристики.

§4. Почти эрмитовы структуры Грея-Хервсллы.

§5. Пространства с метрикой Тамма.

Глава 2. Инвариантные характеристики некоторых классов римановых структур почти произведения и почти эрмитовых структур на касательном расслоении гладкого многообразия.

§6. Римановы структуры почти произведения и почти эрмитовы структуры на касательном расслоении гладкого многообразия • • ■

§7. Инвариантные характеристики классов С.Е. Степанова структур почти произведения па касательном расслоении гладкого многообразия.

§8. Условия принадлежности классам Навейра римановых структур почти произведения, заданных на касательном расслоении

§9. Тензорные признаки классов Грся-Хервеллы почти эрмитовых структур на касательном расслоении почти симплектического многообразия.

Глава 3. Исследование кривизн касательного расслоения со специальной римановой метрикой структуры почти произведения.

§10. Специальная римаиова метрика д на ТМ. Связность Леви

Чивита метрики д.

§11. Тензор кривизны пространства (ТМ,д)

§12. Тензор Риччи пространства (ТМ,д).

§13. Секционные кривизны касательного расслоения с метрикой д и их свойства

§14. Скалярная кривизна касательного расслоения с метрикой д • ■ ■

§15. Промежутки зпакопостоянства скалярной кривизны касательного расслоения с метрикой д.

Актуальность темы. Систематическое исследование структур почти произведения (7г - структур), в том числе и римановых структур почти произведения, было начато в середине 50-х годов прошлого столетня. К числу первых работ в этом направлении следует видимо отнести работы Легранда [42] - [47]. В работе [46] Леграпд исследовал естественную тг-структуру на главном расслоенном многообразии, горизонтальное распределение которой задавалось ипфипитезпмалыюй связностью. Большое число работ посвящено построению различных связноетей. согласованных с 7г-структурой [43], [44], [29]. В работах Б.Н. Шапукова [17] - [18] изучались естественные тг-структуры и связности па расслоенных пространствах и их автоморфизмы.

Имеется большое число различных классов (римановых) структур почти произведения. Например, в работе [51] Навсйра получил 64 класса римановых структур почти произведения аналогично тому, как это было сделано Греем и Хервелла в [35] для почти эрмитовых структур. В работе [14] С.Е. Степанов выделил восемь основных классов структур почти произведения, заданных на гладком многообразии с линейной связностью без кручения. Указанным классам дана геометрическая характеристика и получены инвариантные признаки принадлежности тому или иному классу.

Изучение специальных римановых метрик па касательном расслоении ТМ гладкого многообразия Ы начинается с известных работ Сасакп [56]. [57], в которых вводится и исследуется естественный класс метрик, являющихся эрмитовыми относительно почти комплексной структуры, порожденной связностью Леви-Чивита римановой метрики д базисного многообразия М. Однако, как было замечено некоторыми авторами, [40], [53], класс метрик Сасакп является достаточно узким. Например, метрика Сасакп является келеровой лишь в случае, когда базисное многообразие является локально евклидовым; среди указанных метрик нет метрик ненулевой секционной кривизны.

Более общие метрики главной диагонали типа Сасакп исследовались многими авторами [39], [38], [9]. [11]. В указанных работах предполагалось, что базисное многообразие наделено более общей метрикой, чем (псевдо) риманова, например, финслсровой или лагранжевой (обобщенной финслс-ровой, обобщенной лагранжевой). Изучались также метрики на ТМ, у которых по главной диагонали стоят разные блоки. Такие метрики уже не являются эрмитовыми, а принадлежат классу римановых метрик естественной структуры почти произведения. Примером такой метрики является известная метрика Чигера-Громола [36], [58]. В указанных работах получены некоторые оценки различных кривизн касательного расслоения в зависимости от кривизны базы.

Автоморфизмы касательных расслоений со специальными римановыми метриками исследованы в работах [3], [4], [28].

Следует отметить, что геометрия касательных расслоении как фазовых пространств конфигурационных многообразий широко используется в аполитической механике, например, при исследовании динамических (гамиль-тоновых) систем . [1], [2].

Целью диссертационной работы является изучение римановых структур почти произведения, заданных па касательном расслоении гладкого многообразия, в частности, получение инвариантных характсрпстйк'клао-.-. сов Навейра и С.Е. Степанова, а также исследование кривизн касательного расслоения риманова многообразия, наделенного специальной римановой метрикой структуры почти произведения.

Методы исследования. Основным методом исследования, применяемым в работе, является аппарат тензорного анализа. Большая часть вычислений проводится в бсскоординатной форме с использованием исчисления Кошуля. Исследования носят локальный характер и ведутся в классе достаточно гладких функций.

Научная новизна результатов, полученных в диссертации и выносимых па защиту, заключается в следующем:

1. Исследованы обобщенные лагранжевы пространства с метрикой Тамма, [15], [16], [63],

Шз = 4>{2)9ц + ^(¿ОВД, гле ю и Ф - произвольные гЬутткттии апгумепта, х = * та,кие. что р ф 0, (р + 2гф ф 0, а - компоненты (псевдо) римапова метрического тензора, у{ = д{Рур. Выяснено, что метрика Тамма принадлежит классу обощенных фнпелеровых метрик тогда и только тогда, когда она является локально конической, [8]. Установлено, что среди метрик Тамма нет финслсровых метрик. Доказано, что экстремали ассоциированного лаграпжева пространства с метрикой Тамма совпадают с геодезическими риманова пространства с метрикой д, а усеченная связность Картапа пространства с метрикой Тамма совпадает со связностью Лсви-Чивита метрики д.

2. На касательном расслоении римапова многообразия изучен специальный класс рнмановых метрик структуры почти произведения где д^ - компоненты риманова метрического тензора базисного многообразия, д^ - компоненты метрики Тамма, причем (р > 0, ф > 0. Данный класс содержит как частный случай метрику Сасаки, метрику Чнгера-Громола. Вычислена связность Лсви-Чивита метрики д, получены выражения для тензора кривизны, тензора Риччи, секционных кривизн касательного расслоения, наделенного метрикой, принадлежащей рассматриваемому классу. Установлена зависимость скалярной кривизны касательного расслоения от функций ср, ф и объектов базисного многообразия. В случае, когда базисное многообразие является пространством постоянной секционной кривизны, найдены условия на метрику д и размерность базы, при которых скалярная кривизна касательного расслоения является постоянной величиной. Для некоторых частных случаев римаповых метрик д установлена зависимость промежутков знакопостоянства скалярной кривизны касательного расслоения от размерности и кривизны базы.

3. Установлены условия принадлежности классам Навсйра рнмановых структур почти произведения, заданных па касательном расслоении гладкого многообразия с помощью инфинитезимальной связности, и метрики д = д^{х)йх1 ® (1х3 + у)5у7 0 5у3 а — Опп(х. и)Н,хг (£) в,х3 -4- а^(х. Т1)6иг (Я> Ьь3. где д7] = дзп д13 = дзи с1еЬ\\д^\\ =/=■ 0, с^Н^Н -ф О.

4. Получены инвариантные характеристики классов С.Е. Степанова структур почти произведения в случае, когда в качестве исходного многообразия выступает касательное расслоение, структура почти произведения определена ипфииитезпмалыгой связностью, а в качестве линейной связности выбрана связность Лсви-Чивита римановой метрики структуры почти произведения д.

5. Получены тензорные признаки классов Грея-Хервеллы почти эрмитовых структур, естественным образом возникающих на касательном расслоении почти симплсктичсского многообразия.

Теоретическая значимость. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы при дальнейшем изучении структур почти произведения, рпмановых метрик структуры почти произведения, геометрии касательного расслоения, в аналитической механике.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались н обсуждались па геометрическом семинаре физико-математического факультета Пензенского гос. пед. университета (2004-2008гг.), на Четвертой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2005г.), на Пятой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2006г.), на Международной конференции "Лаптевские чтения"(Пенза, декабрь 2006г.), на Шестой молодежной научной школе конференции (Казань, декабрь 2007г.), на XIX международной летней школе - семинаре "Волга-2007"по проблемам теоретической и математической физики (Казань, июнь 2007г.), на геометрическом семинаре им. Г.Ф. Лаптева при МГУ им. М.В. Ломоносова (Москва, октябрь 2008г.), на геометрическом семинаре КГУ (Казань, октябрь 2008г.).

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в 7 работах [63]-[69].

Краткое содержание диссертации.

Введение содержит обзор литературы по теме диссертации, обоснование актуальности темы и краткое содержание работы.

1. Арнольд, В.И. Математические методы классической механики: Уч.пособие для вузов/ В.И. Арнольд. — М.: Наука, 1989. — 431с.

2. Ибрагимова, Р.Х. Движения па касательных расслоениях, сохраняющие ортогональную и касательную структуры/ Р.Х. Ибрагимова// Известия ВУЗов. Математика. 1996.- N8. - С.29-34.

3. Кириченко, В.Ф. Дифференциально-геометрические структуры на многообразиях/ В.Ф. Кириченко. — М., 2003. — 495с.

4. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии. В 2 т. Т.1/ Ш. Кобаяси, К. Номидзу. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. — 344с.

5. Кобаяси, Ш.Основы дифференциальной геометрии. В 2 т. Т.2/ Ш. Кобаяси, К. Номидзу. — М.: Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981- 416с.

6. Паньженский, В.И. Исследование локально-конических многообразий с помощью соприкасающихся римаиовых метрик / В.И. Паньженский // Геометрия погруженных многообразий. — М.: МГПИ. — 1986. — С.65-70.

7. Паиьженский, В.И. Инвариантные характеристики некоторых классов почти эрмитовых структур / В.И. Паиьжснский // Труды геометрического семинара. Вып. 23. — Казань, 1997. — С.77-83.

8. Папьжеиский, В.И., Сурина О.П. Об одном классе обобщенных лагран-жевых пространств / В.И. Паиьженский, О.П. Сурипа. // Движения в обобщенных пространствах. Межвузовский сборник научных трудов. -Пенза:ПГПУ им. В.Г. Белинского. 2002. - С.183-189.

9. Сорокина, М.В. Об ппфииитезимальпых автоморфизмах почти эрмитовой структуры на касательном расслоении гладкого многообразия/ М.В. Сорокина // Движения в обобщенных пространствах. Мсжвуз. сб. науч. тр. / Пенз. гос. пед. ун-т. — Пенза, 2005. С.105-111.

10. Степанов С.Е. Об одном классе римаповых структур почти произведения / С.Е. Степанов // Известия ВУЗов. Математика. — 1989. — N7. С.40-46.

11. Степанов С.Е. Техника Бохнсра в теории римаповых структур почти произведения / С.Е. Степанов // Мат.заметкп. — 1990. — 48, N2. — С.93

12. Степанов С.Е. О классификации структур почти произведения на многообразии с линейной связностью/ С.Е. Степанов // Известия ВУЗов. Математика. 1999. — N1. - С.61-68.

13. Тамм, И.Е. О кривом импульсном пространстве / И.Е. Тамм // Собрание науных трудов II. М., 1975. - С.218-225.

14. Тамм, И.Е, Вологодский, В.Г / Об использовании кривого импульсного пространства при построении нелокальной евклидовой теории поля / И.Е. Тамм // Собрание науных трудов II. М., 1975. — С.226-253.

15. Шапуков, Б.Н. Линейные связности векторного расслоения/ Б.Н. Ша-пуков// Труды геометрического семинара. Межвуз. темат. сб. науч. тр. вып.8. - Казань, 1975. - С.118-131.98

16. Шапуков, Б.H. О структуре почти произведения и а векторном расслоении / Б.И. Шапуков// Труды геометрического семинара. Мсжвуз. темат. сб. науч. тр. — вып.11 — Казань, 1979. — С.100-110.

17. Шапуков, Б.Н. Автоморфизмы расслоенных пространств/ Б.Н. Шапуков// Труды геометрического семинара. Межвуз. темат. сб. науч. тр. — вып.8. Казань, 1982. - С.97-108.

18. Ширяев, К.Б. Связность и кривизна метрики типа Чигера-Громола па касательном расслоении гладкого многообразия / К.Б. Ширяев // Движения в обобщенных пространствах: межвуз.сборник паучн.трудов, ПГПУ. Пенза, 2000. - С.182-186.

19. Ямпольский, А.Л. К геометрии сферических касательных расслоений римаиовых многообразий / А.Л. Ямпольский // Украинский геометрический сборник. — Харьков, 1981. N24. - С.129-132.

20. Ямпольский, А.Л. Кривизна метрики Сасаки сферических касательных расслоений. — Харьков, 1985. — N28. — С.132-145.

21. Ямпольский, А.Л., Борпсепко, A.A. Секционная кривизна метрики Сасаки 1\Мп / А.Л. Ямпольский, A.A. Борисепко // Украинский геометрический сборник. — Харьков, 1987. — N30. — С. 10-17.

22. Abassi, Mohamed Tahar Kadaoui, Sarih Maati. On natural metrics on tangent bundles of Riemannian manifolds / Abassi Mohamed Tahar Kadaoui, Maati Sarih // Archivurn mathematicum(BRNO) 2005. - 41, N1. - P.71-92.

23. Asanov, G.S., Kawaguchi Tomoaki. A post-Newtonian estimation for the metric Jij(x) +ac~2yiïjj / G.S. Asanov, Tomoaki Kawaguchi // Tensor, N.S. 1990. - Vol.49. - P.99-102.

24. Asanov, G.S., Kawaguchi Tomoaki. Anomalously-Fislerian corrections to specd-of-light given by metric tensor gij(x, x) = г^(х) ßklj / G.S. Asanov, Tomoaki Kawaguchi // Tensor. N.S. 1991. - Vol.50. - P.170-176.

25. Blanuta V., Yawata M. Infinitesimal transformations of the 2-7T structures on tangent bundle / Victor Blanuta, Makoto Yawata // Tensor N.S. — 1994- Vol.55. P.43-52.

26. Chen-Jung Hsu. On some properties of 7r-structures on differentiable manifold / Hsu Chen-Jung // Tohoku Math. J. 19C0. - 12, N3. - P. 429-454.

27. Gil-Medrano. O., Naveira, A.M. Some remarks about the Riemannian curvature operator of Riemannian almost-product manifold / O. Gil-Medrano, A.M. Naveira // Rev. roum. math, pures et appl. — 1985. — 30, N8. — P.647-G58.

28. Gray A. Some examples of almost Hermitian manifolds / A. Gray // 111. J. Math. 1966. - 10, N2. - P.353-366.

29. Gray A. Pseudo-Riemannian almost product manifolds and submesions / A. Gray // J. Math, and Mech. 1967. - 16, N7. - P.715-737.

30. Gray'A., Hervella Luis M. The sixteen Classes of almost Hermitian manifolds and their lineare invariants / A. Gray, M. Luis Hervella // Ann. mat. pura ed appl. 1980. - 123. - P.35-58.

31. Gudmundsson S., Kappos E. On the geometry of the Tangent Bundle with the Cheeger-Gromoll Metric / S. Gudmundsson, E. Kappos // Tokyo J.Math.2002. Vol.25, N1. - P.75-83.

32. Johnson, David L., Whitt, Lee B. Totally geodesic foliations / David L. Johnson, Lcc B. Whitt // J. Differential Geometry. — 1980. N15. — P.225-235.

33. Kawaguchi Tomoaki, Miron Raclu. On the generalized Lagrange spaces with the metric 7¿j(.т) + (^t)yiVj / T. Kawaguchi, R. Miron // Tensor, N.S.- Vol. 48. 1989. - P.52-63.

34. Kawaguchi Tomoaki, Miron Radii. Generalized Lagrange metric derived from a finsler function / T. Kawaguchi, R. Miron // Reports of Mathimatical Phisics. Vol. 30, N1. - 1991. - P.41-52.

35. Kovalski 0., Sekizawa M. Natural transformations of Riemannian metrics on manifolds to metrics on tangent bundles a classification / 0. Kovalski, M. Sekizawa // Bull. Tokyo Gakuci Univ. - 1988. - Sect IV, 40. - P. 1-29.

36. Kushner, A. Almost product structures and Monge-Ampere Equations / A. Kushner // Lobachevskij Journal of Mathimatics. — 2006. — Vol.23. — P.151-181.

37. Legrand G. Sur les variétés a structure de presque-produit complexe / G. Legrand // C. r. Acad. sci. 1956. - 242, N3. - P.335-337. :

38. Legrand G. Structures presque hermitiennes au sens large / G. Legrand // C. r. Acad. sci. 1956. - 243, N19. - P.1392-1395.

39. Legrand G. Etude d'une generalisation des structures presque complexe sur les variétés differentiables / G. Legrand // Rend. Circolo mat. Palermo.- 1958. 7, N3. - P.323-354; - 1959. - 8, N1. - P. 5-48.

40. Legrand G. T structures sur les variétés differentiables / G. Legrand // C. r. Acad. sci. - 1960. - 250, N20. - P.3266-3268.

41. Legrand G. Une interpretation de la forme de courbure d:une connexion infinitesimale / G. Legrand // C.r.Acad. sci. 1960. - 250, N21. - P.3441-3442.

42. Legrand G. Notions diverses cle formes de torsion / G. Legrand // C.r.Acad. sci. 1963. - 256. N10. - P.2087-2088.

43. Miquel, V. Some examples of Riemannian almost-product manifolds / V. Miquel // Pasif J. Math. 1984. - 111, N1. - P.163-178.

44. Mishra, R.S. On almost product and almost decomposable manifolds / R.S. Mishra // Tensor, N.S. 1970. - 21, N3. - P.255-260.

45. Montesinos, A. On certain classes of almost product structures / A. Montesinos // Mich. Math. J. 1983. - 30, N1. - P.31-36.

46. Naveira, A.M. A classification of Riemannian almost-product manifolds / A.M. Naveira // Rend. mat. cappl. 1983. - 3, N3. - P.577-592.

47. Niminct V. New geometrical properties of generalized Lagrange spaces of relativistic optics / V. Niminet // Tensor, N.S. — Vol.68. 2007. - P.66-70.

48. Papaghiuc, N. A locally symmetric pseudo-Riemannian structure on the tangent bundle / N. Papaghiuc // Publ. Math. Debrecen. — 59, N3-4 — 2001. P.303-315.

49. Pripoae, Gabriel Teodor. A sharper classification of semi-riemannian almost product manifolds / Gabriel Teodor Pripoae // Tensor, N.S. — 2005.- Vol.66. P.9-17.

50. Sasaki Shigeo. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds 1 / S. Sasaki // Tohoku Math. Jour.— 1958 -10, N3. -P.338-354.

51. Sasaki Shigeo. On the differential geometry of tangent bundles of Riemannian manifolds II / S. Sasaki // Tohoku Math. Jour.- 1962 -14, N2. — P.146-155.

52. Sekizawa, M. Curvatures of Tangent Bundle with the Chccgcr-Gromoll Metric / M. Sekizawa // Tokvo J.Ma.th. — 1991. — Vol.14. N2. P.407-417.

53. Singh, U.P. On the generalized Lagrange space ancl corresponding lagrange spacc arising from the metric tensor gij(x.y) 4- (1 /c2)yiyj / U.P. Singh // Indian J. pure apple Math. 2004. - 35(4). - P.501-512.

54. Stepanov, S.E. An integral formula for a Riemannian almost-product manifold / S.E. Stepanov // Tensor, N.S. 1994. - Vol.55. - P.209-214.

55. Stepanov, S.E. Riemannian almost product manifolds and submersions / S.E. Stepanov // Journal of Mathematical Sciences. — 2000. — Vol.99, N6.- P. 1788-1810.

56. Yano Kentaro, Kon Masahiro. CR Submanifolds of Kaehlerian and Sasakian Manifolds / K. Yano, M. Kon. — Boston; Basel; Stuttgart: Birkhauscr. 1983. - 213p.Список публикаций автора по теме диссертации

57. Панъжсиский В.И. К геометрии пространств с метрикой Тамма / В.И. Паиьженский, О.В. Сухова // Лаптевскис чтения: Сборник трудов Международного геометрического семинара им. Г. Ф. Лаптева. Пеи-за:ПГПУ, 2004. - С. 95-101.