Сильная асимптотика аппроксимаций Паде и интерполяционных многочленов тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

004699322 На правах рукописи

Христофоров Денис Викторович

Сильная асимптотика аппроксимаций Паде и интерполяционных многочленов

Специальность 01.01.01 — математический анализ

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

3 О СЕН 7010

Москва — 2010

004609322

Работа выполнена в отделе комплексного анализа Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

С.П. Суетин

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессорП.В. Парамонов

кандидат физико-математических наук, доцент К.Ю. Федоровский

Ведущая организация: Институт вычислительной математики РАН

Защита диссертации состоится 14 октября 2010 г. в 14.00 на заседании диссертационного совета Д 002.022.01 при МИАН по адресу: 119991, Москва, ул. Губкина, д.8.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МИАН.

Автореферат разослан сентября 2010 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 002.022.01 при МИАН, доктор физико-математических наук, профессор

В.А. Ватутин

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Понятие локально наилучших рациональных аппроксимаций степенного ряда впервые возникло в конце XIX в. в работах Фробениуса и Паде. Классические результаты Чебышёва, Маркова и Стилтьеса о фундаментальных свойствах таких рациональных функций, сформулированные в терминах непрерывных дробей, положили начало развитию новой области в теории рациональных приближений. Во второй половине XX в. появилось большое количество работ, связанных с аппроксимациями Паде и их обобщениями. Такой интерес объясняется широким применением рациональных приближений в задачах механики, теоретической физики, технических расчетах. В ряде случаев хорошо известно поведение физической величины в локальной окрестности одной или нескольких точек и необходимо ее вычислить на некотором интервале значений. Аппроксимации Паде строятся только по локальным данным и позволяют эффективно приближать и вычислять соответствующую функцию. Асимптотическое поведение аппроксимаций Паде позволяет проводить анализ глобальных свойств локально заданной функции: находить расположение и распознавать характер ее особенностей, исследовать свойства аналитического продолжения и т.п.

Настоящая диссертация посвящена сильной асимптотике диагональных аппроксимаций Паде и интерполяционных многочленов, являющихся частным случаем рациональных приближений. Сильная асимптотика дает возможность определить поведение отклонения аппроксимаций от приближаемой функции при увеличении порядка аппроксимаций. Такая асимптотика позволяет делать выводы о скорости сходимости, поведении нулей и полюсов аппроксимаций, получать результаты теоретико-числового характера.

Цель работы. Исследовать вопросы сходимости как классических одноточечных аппроксимаций Паде, так и двухточечных аппроксимаций Паде мероморфных функций марковского типа. В случае отстутствия равномерной сходимости построить максимально простую конструкцию, которая бы включала в себя аппроксимации Паде и приближала исходную функцию равномерно. Получить сильную асимптотику интерполяционных многочленов для функций, голоморфных на произвольном континуме в комплексной плоскости со связным дополнением.

Методы исследований. При исследованиях применяется как классическая теория комплексного анализа на плоскости (формула Коши, принцип

максимума, теория вычетов), так и современные методы теории краевых задач на римановых поверхностях.

Научная новизна. Результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Для случая алгебраической функции, мероморфной на торе, получен результат, характеризующий поведение аппроксимаций Паде в точках так называемой ложной интерполяции.

2. Для случая мероморфной функции марковского типа с четырьмя точками ветвления построена конструкция, включающая две соседних аппроксимации Паде и приближающая исходную функцию равномерно.

3. Для случая мероморфной функции марковского типа получена сильная асимптотика двухточечных аппроксимаций Паде.

4. Для случая функции, голоморфной на произвольном континуме в комплексной плоскости со связным дополнением, получена сильная асимптотика интерполяционных многочленов.

Теоретическая и практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Полученные результаты могут быть использованы в теории рациональных аппроксимаций и в качестве теоретической основы для численного анализа в ряде прикладных задач.

Апробация работы. Результаты настоящей диссертации докладывались и обсуждались на научном семинаре отдела комплексного анализа Математического института им. Стеклова РАН по руководством академика А.А. Гончара, член-корр. РАН Е.М. Чирки и профессора, д.ф.-м.н. А.И. Ап-текарева в 2007-2010 гг., на семинаре по вопросам теории функций в МГУ им. Ломоносова под руководством профессора, д.ф.-м.н. А.И. Аптекарева и профессора, д.ф.-м.н. В.Н. Сорокина в 2006-2009 гг., на международном симпозиуме "Troisièmes Journees Approximation" в Лилле (Франция) в 2008 г., на международной научной конференции "Комплексный и гармонический анализ 2009" в Арханах (Крит, Греция), на международной научной конференции "Современные проблемы анализа и преподавания математики", посвященной 105-летию академика С.М. Никольского в Москве в 2010 г.

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора, три из которых опубликованы в журналах, входящих в Перечень ВАК РФ. Список работ приведен в конце автореферата.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, содержащего 47 наименований. Объем диссертации составляет 57 страниц.

Краткое содержание диссертации

Введение содержит краткий обзор, определяющий актуальность темы диссертации, и краткое описание структуры работы.

Первая глава тесно связана с изучениям явления так называемых ложных полюсов, препятствующих равномерной сходимости аппроксимаций Паде. Глава состоит из трех разделов.

В разделе 1.1 приводятся исторический обзор и формулировка основных результатов.

Раздел 1.2 посвящен изучению явления так называемой ложной интерполяции и поведению аппроксимаций Паде в точках ложной интерполяции.

Пусть функция / задана сходящимся рядом Лорана в окрестности точки z = оо:

оо

/(*) = £?• (!)

к-О

Рассмотрим последовательность аппроксимаций Паде fn(z) Pn{z)/qn{z), где полиномы рп и qn имеют степень не выше n, qn ф 0, и удовлетворяют условию касания

M^)-=Qn(z)f(z)-Pn(z)=o(~^, z оо. (2)

Если deg qn = п, полиномы рп и qn взаимно просты, то индекс п является нормальным. Функция Rn(z) называется функцией остатка.

Согласно общим результатам Шталя1, если ряд (1) представляет алгебраическую функцию, то существует "симметричный" компакт (компакт Шталя) S = S(f) С С со следующими свойствами:

Stahl, "The convergence of Pade approximants to functions with branch points", // J. Approx. Theory, 91:2,139-204, 1997.

(1) 51 состоит из конечного числа кусочно-аналитических дуг и множество Б := С \ - область;

(2) / продолжается мероморфным образом в область Б = £>(/);

(3) /п —^ / на компактных подмножествах области Б, где /„ - диагональные аппроксимации Паде для функции / в точке г = оо, а " означает сходимость по логарифмической емкости.

Область Шталя Б = С\5 является максимальной областью сходимости по емкости последовательности {/„}. Пусть функция / имеет вид

= (3)

где ю(г) = у/[г — — ег)(2 — ез)(г — е4), ех,..., в4 - попарно различные точки на комплексной плоскости , ветвь корня выбрана таким образом, что ю(г) ~ г2, г —> оо, д 6 С [г] - полином фиксированной степени т, все нули которого расположены в области Шталя функции ь)(г), г £ С(г) есть сумма главных частей мероморфной в области Б функции ю(г)/д(г). Таким образом, функция / € Н(Б), т.е. голоморфна в области Б.

С.П. Суетиным2 было отмечено, что в случае рациональной независимости некоторых вещественных параметров ту = т\{е\, е2, е3, е4), 72 = Т2 (в1, ег, ез, 64) и единицы полюсы аппроксимаций Паде /п функции / всюду плотны в С. Параметры Г1 и гг вычисляются как деленные на 2т чисто мнимые периоды комплексной функции Грина области Б с особенностью в точке г = оо (см. в работе2 стр. 69).

Пусть й{х, у) - расстояние в сферической метрике в С между точками х и у. В разделе 1.2 доказывается следующая

Теорема 1.1. Пусть точки е\,...,е4 таковы, что компакт Шталя Б для функции

= ч/С2 ~ е1)(г ~ е2)(2 ~ ез)(-г ~ 64) ~ + 61 + 62 * в3 + 64 г (4)

состоит из двух непересекающихся дуг и ¿2 и соответствующие вещественные параметры т\(е 1,..., 64), 72(еъ • -., 64) и единица рационально независимы. Предположим, что для функции ¡(г) = — г(х),

2С. П. Суетин, "О сходимости чебышевских непрерывных дробей для эллиптических функций", // Матем. сб., 194:12,63-92, 2003.

голоморфной в области В = С \ 5*, все достаточно большие индексы п нормальны. Тогда существует последовательность Л = Л(/) натуральных чисел, точки (Зп £ С \ Я, п € Л, и числа рп | 0, п € Л, такие, что множество {(Зп,п € Л} всюду плотно в С и

Шп) = НРп) и /П(ВД = С, где К^ = {геВ:д(2,Рп)<рп},

Условия теоремы определяют случай "общего положения". Из теоремы 1.1 следует невозможность локально равномерного приближения функции / аппроксимациями Паде в области Шталя. В разделе 1.3 приводится конструкция, учитывающая природу ложного полюса, включающая в себя две соседних диагональных аппроксимации Паде и приближающая заданную функцию / локально равномерно в области Шталя И.

Пусть 5 - компакт Шталя для функции (4). Фиксируем произвольным образом на дугах компакта Б ориентацию. Рассмотрим класс функций

где г € С(,г), комплекснозначная функция р(£) ф 0 и голоморфна на 5, функция / голоморфна в бесконечности. Здесь под ш+(С) подразумевается предельное значение выбранной в области Б ветви корня при г ( слева от дуги компакта 3.

Если р € С(г) и не имеет на 51 ни нулей, ни полюсов, то /(г) — п (г) + Г2(г)/т(г), где г\, Г2 € С(г), Г2 Ф 0, оо на 5. Будем называть функции вида (5) мероморфными функциями марковского типа с четырьмя точками ветвления.

В разделе 1.3 доказывается следующее утверждение

Теорема 1.2. Предположим, что функция / из класса (5) и /„, п = 1,2,..., -ее диагональные аппроксимации Паде в точке г = оо. Пусть для г 6 О

где иг(г) - круговая окрестность точки г радиуса г в сферической метрике. Тогда в случае общего положения /п —* / локально равномерно в сферической метрике в области Шталя И.

/(г) = —ги(г)/д(2) — г (г) - другая ветвь функции /.

Ш :=

/п(г) при /п(г) ф оо в ^/„(г), /„+1(2) в противном случае,

Вторая глава содержит вывод сильной асимптотики двухточечных аппроксимаций Паде мероморфных функций марковского типа. Глава состоит из трех разделов.

В разделе 2.1 приводится исторический обзор и формулируются основные результаты.

Рассмотрим на вещественной оси отрезок Д = [а, /3], 0 ф А. Пусть ком-плекснозначная функция ги(г) = у/(г — а) (г — Р), ветвь корня выбрана таким образом, что ~ г, г —> оо. Зададим на отрезке А положительное направление от а к /3. Пусть И := С \ Д.

Введем класс Т = {/(•£)} функций следующего вида:

комплекснозначная функция р 6 И.(А), рф 0 на А, рациональная функция г £ С(,г.) голоморфна на Д и г(оо) = 0. Здесь под го+(ж) подразумевается предельное значение выбранной в области В ветви корня при г —► х слева от отрезка Д.

Функции из класса Т мероморфны в области В := С \ Д. Будем называть их мероморфными функциями марковского типа.

Пусть а\,..., ат - полюсы г с учетом кратностей. Пусть Лп = {рп/Яп}, где рп и д„ - полиномы степени не выше п, ^ 0.

Введем функцию Сегё

где под log z подразумевается фиксированная непрерывная на р(А) ветвь функции Lnz. При разном выборе ветви значение функции S(z) будет отличаться на ±1.

Пусть Ф(,г) - конформное отображение внешности отрезка А на внешность единичного круга, нормированное условиями: Ф(оо) = оо,Ф(.г) ~ 4z/{(3 — a) ,z —» оо.

Обозначим символом локально равномерную сходимость в сферической метрике.

Основным утверждением главы является следующее утверждение:

(6)

где

Теорема 2.1. Для произвольной функции / 6 Т справедлива следующая импликация:

/„етг„, (/-/„)(*) = 0(.гп), г-> 0, (/-/„)(*) = 0(1/*п+1), г-*оо,

т-ш

1

с геометрической скоростью при г £ В, п —+ оо, где

П Г 2 ГФ(^)-Ф(0)1"-гтГ1-ФЫФ(^)12 1

п{) Ф»(г)ш(2)11-Ф(0)Ф(г)] Ш Ф(^) - Ф(^) 52(г) "

Пусть в области И заданы две точки интерполяции (1,(2 € О и заданы порядки интерполяции 1п и (2п +1 — 1п), где 0 ^ 1п ^ 2п +1. Диагональной двухточечной аппроксимацией Паде степени п мероморфной в области £> функции / в точках интерполяции £1, (2 при порядках интерполяции 1п и (2п+1 —/„) называется рациональная функция /„ £ Т1п, удовлетворяющая следующим условиям:

(1) (/-/„)(*) = 0((г-С1)'

(2) (/ - /„)(*) = 0((г - (2)2п+1~Ч, г - Сг-

В случае, если одна из точек равна бесконечности, то условия переписываются соответствующим образом. Например, если (2 — оо, то условие (2) будет выглядеть так:

(2') (/ — 1п){г) — 0(1/г2п+1~1"), г со.

Теорема 2.1 вытекает из следующего более общего утверждения об асимптотике двухточечных аппроксимаций Паде:

Теорема 2.2. Пусть /п - последовательность двухточечных аппроксимаций Паде функции / € .Т7 в точках 0 и оо при заданных порядках интерполяции 1п и (2п + 1 — 1п).

Справедливо следующее соотношение:

П„(г)

с геометрической скоростью при г € В, п —► оо, где

Ф(г)-Ф(0) Лг1-Ф(ал-)Ф(г)

п М = 2 г Ф(г) — Ф(Ц) 1'" пг

ф2п-иг)ги(1г)[1 _ ф(0ШИ] 1

Ф2п-'»(г)ш(г) 11 - Ф(0)Ф(г)] АД Ф(г) - Ф(а,) 1

Теоремы 2.1 и 2.2 продолжают ряд работ3'4'5'6'7, посвященных исследованию как классических одноточечных, так и многоточечных аппроксимаций Паде функций вида (6) при различных условиях на меру Л и рациональную функцию г.

Раздел 2.2 является вспомогательным и содержит формулировку и доказательство некоторой краевой задачи Римана. В разделе 2.3 приводится доказательство теоремы 2.2.

Третья глава содержит изучение асимтотики многочленов, интерполирующих функции, голоморфные на континуме в комлекскной плоскости. Глава состоит из трех разделов.

В разделе 3.1 содержится исторический обзор и сформулированы основные результаты.

Раздел 3.2 посвящен выводу сильной асимптотики интерполяционных многочленов вне области их сходимости.

Пусть в комплексной плоскости С задан произвольный континуум Е со связным дополнением, не вырождающийся в точку; без ограничения общности будем считать, что cap Е = 1. Пусть w = Ф(г) - конформное отображение внешности Q := С\Е континуума Е на внешность единичного круга {ш : > 1}, нормированное условиями:

Ф(оо) = оо, lim ^^ = 1.

z-> оо z

Через Un , R > 1, будем обозначать внутренность линии уровня Гд := {z G С : |Ф(г)| = R}\ такие области Ur будем называть каноническими (относительно Е).

Зададим на Е интерполяционную таблицу а = j — 1,..., п, п = 1,2,... } с Е и положим

п

Un{z) = Y[{z-Oij,n), п = 1,2,....

3=1

3А.А. Markov, "Deux demonstrations de la convergence de certaines fractions continues", //Acta Math., 19, 93-104, 1895.

4A. A. Гончар, Г. Лопес Лагомасино, "О теореме Маркова для многоточечных аппроксимаций Паде", //Матем. сб.,105(147):4,512-524, 1978.

5V. Totik, "Orthogonal polynomials with respect to varying weights", Journal of Computational and Applied Mathematics, 99: 1-2, 373-385, 1998.

6A. И. Аптекарев, "Точные константы рациональных аппроксимаций аналитических функций", // Матем. сб., 193:1,3-72, 2002.

7Ь. Baratchart, M. Yattselev, "Multipoint Pade approximants to complex Cauchy transforms with polar singularities", // Journal of Approximation Theory, 156, p. 187-211, 2009.

Наложим на таблицу а следующее ограничение - условие Каке-хаши (символом обозначается локально равномерная сходимость

в соответствующей области):

z еС\Е, (7)

где D(z) - некоторая функция, удовлетворяющая следующим условиям: DeH(C\E), D(oо) = 1, zeC\E.

Зафиксируем произвольную функцию / € Ti(E). Нетрудно видеть, что существует единственная последовательность многочленов {Рп}^, deg Рп ^ п, удовлетворяющая для каждого номера п условию

(8)

шп+1

Условие (8) означает, что многочлены Рп интерполируют функцию / в узлах таблицы а.

Впервые поведение интерполяционных многочленов Рп при условии (7) было исследовано Какехаши8,9, который получил следующую формулу слабой асимптотики:

IE |P„(z)|1/n = ^ >1, г : |Ф(г)| > R0, (9)

где До = Ro(f) соответствует максимальной канонической области U := i/до, в которую голоморфно продолжается функция /. Из асимптотики (9) следует расходимость интерполяционного процесса вне U. Заметим, что внутри области U интерполяционный процесс сходится даже при более слабом чем (7) условии Уолша10,11:

lim |ш„(2)|1/п = |Ф(г)|, zeC\E.

п—>оо

В разделе 3.2 в качестве вспомогательного факта приводится доказательство неопубликованного результата A.A. Гончара о вычислении величины i?o:

8T. Kakehashi, "The decomposition of coefficients of power-scries and the divergence of interpolation polynomials", // Proc. Japan Acad., 31: 8, 517-523, 1955.

9T. Kakehashi, "On interpolation of analytic functions. II: Fundamental results", // Proc. Japan Acad., 32, 713-718, 1956.

10B.И. Смирнов, H.A. Лебедев, "Конструктивная теория функций комплексного переменного", // М., Наука, 1964.

11G. Szegô, "Uber orthogonale Polynome, die zu einer gegebenen Kurve der komplexen Ebene gehören", // Math. Z., 9: 3-4, 218-270, 1921.

Теорема 3.1. Пусть / € HiE), Rq = Ro(f)- Тогда Rq вычисляется no формуле

Г fit)

lim

n—»00

„ / r sdt

2m J1 ojn+1(t)

i/n 1

fío '

где 7 - произвольный контур, охватывающий Е и лежащий в области голоморфности функции /.

Основным результатом раздела 3.2 является обобщение результата Ка-кехаши (9):

Теорема 3.2 (о сильной асимптотике). Пусть / G Н(Е), Rq — Ro(J), Рп = Pn{z~,f)- Тогда существуют подпоследовательность А = Л(/) С N и функция G(z) = G(z;f,A), голоморфная в области |Ф(<г)1 >i?o, не обращающаяся в тождественный нуль, G(оо) = 1, такие, что degPn(z) = п при п € А и

Pn{z) -G(z), пел, |Ф(*)|>Ло,

Ап Ф"(г)

где Ап - старший коэффициент полинома Рп(г), который, кроме того, удовлетворяет предельному равенству

\An\1/n^l/R0, пеА.

В разделе 3.3 в качестве следствия из теоремы 3.2 получено утверждение о предельном распределении нулей интерполяционных полиномов Р„, обобщающее классический результат Сегё12 о распределении нулей частичных сумм ряда Тейлора.

Соответствующий результат раздела формулируется следующим образом:

Теорема 3.3. Пусть / € Н(Е). Тогда по некоторой подпоследовательности А = Л(/) С N существует слабый предел нормированных мер, считающих нули многочленов Рп:

-Крп) ^г,

п

где Ар - равновесная мера компакта Г = {г : |Ф(.г)| = -йо}-

В заключение автор выражает благодарность С. П. Суетину за постановку задач и постоянное внимание к работе.

12G. Szegö, "Uber die Nullstellen von Polynomen, die in einem Kreise gleichmassig konvergieren", // Sitzungsberichte Berlin Math. Ges., 59-64, 1922.

Работы автора по теме диссертации

[1] Д. В. Христофоров, "Об асимптотических свойствах интерполяционных многочленов", Матем. заметки, 83:1, 129—138, 2008.

[2] Д. В. Христофоров, "О сходимости диагональных аппроксимаций Паде для эллиптических функций", Матем. сб., 200:6, 143—160, 2009.

[3] Д. В. Христофоров, "О явлении ложной интерполяции эллиптических функций диагональными аппроксимациями Паде", Матем. заметки, 87:4, 604-615, 2010.

[4] Д. В. Христофоров, "Асимптотика двухточечных аппроксимаций Паде", материалы Международной научной конференции, посвященной 105-летию С.М. Никольского, 87, 2010.

Введение

1 Равномерное приближение аппроксимациями Паде мероморф-ных функций марковского типа

1.1 Исторический обзор и основные результаты.

1.2 Явление ложной интерполяции.

1.3 Равномерное приближение при помощи аппроксимаций Паде

2 Сильная асимптотика двухточечных аппроксимаций Паде для мероморфных функций марковского типа с двумя точками ветвления

2.1 Исторический обзор и основные результаты.

2.2 Краевая задача Римана.

2.3 Формулы сильной асимптотики

3 Асимптотические свойства интерполяционных многочленов и аналог теоремы Сегё

3.1 Исторический обзор и основные результаты.

3.2 Обобщенная формула Коши-Адамара и сильная асимптотика интерполяционных многочленов.

3.3 Обобщенная теорема Сегё

Понятие локально наилучших рациональных аппроксимаций степенного ряда впервые возникло в конце XIX в. в работах Фробениуса [27] и Паде [35]. Классические результаты Чебышёва, Маркова и Стилтьеса о фундаментальных свойствах таких рациональных функций, сформулированные в терминах непрерывных дробей, положили начало развитию новой области в теории рациональных приближений. Во второй половине XX в. появилось большое количество работ, связанных с аппроксимациями Паде и их обобщениями. Такой интерес объясняется широким применением рациональных приближений в задачах механики, теоретической физики, технических расчетах (см. [23], [29], [36], [37], [33], [28], [12]). В ряде случаев хорошо известно поведение физической величины в локальной окрестности одной или нескольких точек и необходимо ее вычислить на некотором интервале значений. Аппроксимации Паде строятся только по локальным данным и позволяют эффективно приближать и вычислять соответствующую функцию. Асимптотическое поведение аппроксимаций Паде позволяет проводить анализ глобальных свойств локально заданной функции: находить расположение и распознавать характер ее особенностей, исследовать свойства аналитического продолжения и т.п.

Настоящая диссертация посвящена сильной асимптотике диагональных аппроксимаций Паде и интерполяционных многочленов, являющихся частным случаем рациональных приближений. Сильная асимптотика дает возможность определить поведение отклонения аппроксимаций от приближаемой функции при увеличении порядка аппроксимаций. Такая асимптотика позволяет делать выводы о скорости сходимости, поведении нулей и полюсов аппроксимаций, получать результаты теоретико-числового характера.

Диссертация состоит из трех глав, в начале каждой из которых приведены основные определения, дан краткий исторический обзор и сформулированы основные результаты. Первая глава тесно связана с изучением явления так называемых ложных полюсов, препятствующих равномерной сходимости аппроксимаций Паде . На основании теоретических выводов о поведении таких полюсов предлагается конструкция, включающая в себя две соседних аппроксимации Паде и приближающая мероморфную функцию марковского типа равномерно.

Вторая глава посвящена выводу формул сильной асимптотики двухточечных аппроксимаций Паде мероморфных функций марковского типа.

В третьей главе главе изучается интерполяция многочленами функций, голоморфных на произвольном континуме, не разбивающим комплексную плоскость. При некотором естественном условии на таблицу интерполяции выводится асимптотика интерполяционных многочленов в области расходимости интерполяционного процесса. В качестве следствия устанавливается обобщение классических теорем Иенча-Сеге о поведении нулей этих многочленов.

1. А. И. Аптекарев, "Точные константы рациональных аппроксимаций аналитических функций", Матем. сб., 193:1, 3—72, 2002.

2. Дж. Бейкер, П. Грейвс-Моррис, Аппроксимации Паде, М., Мир, 1986.

3. В. И. Буслаев, "Соотношения для коэффициентов и особые точки функции", Матем. сб., 131: 3, 1986, 357-384.

4. В. И. Буслаев, " О теореме Фабри об отношении для ортогональных рядов", 253:Труды мат. института им. Стеклова, 14-29, 2006.

5. В. И. Буслаев, "О гипотезе Бейкера-Гаммеля-Уиллса в теории аппроксимаций Паде", Матем. сб., 193:6, 25-38, 2002.

6. Голузин Г. М., "Геометрическая теория функций комплексного переменного", Москва, 1966.

7. А. А. Гончар, "Полюсы строк таблицы Паде и мероморфное продолжение функций", Матем. сб., 115(157): 4, 1981, 590-613.

8. А. А. Гончар, "О сходимости аппроксимаций Паде для некоторых классов мероморфных функций", Матем. сб., 97(139):4(8) 607-629, 1975.

9. А. А. Гончар, Г. Лопес Лагомасино, "О теореме Маркова для многоточечных аппроксимаций Паде", Матем. сб., 105(147):4 512— 524, 1978.

10. Гончар A.A., Суетин С.П., "Об аппроксимациях Паде мероморфных функций марковского типа", Совр. пробл. матем., 5, МИАН, М., 367, 2004.

11. Э.И. Зверович, "Краевые задачи теории аналитических функций в гёльдеровских классах на римановых поверхностях", УМН, 26:1, 113— 179, 1971.

12. В. А. Ильина, П. К. Силаев, Численные методы для физиков-теоретиков, Ч. 1, М., Ижевск, ИКИ, 2003.

13. Г. Л. Лопес, "Об асимптотике отношения ортогональных многочленов и сходимости многоточечных аппроксимаций Паде", Матем. сб., 128(170):2(10), 216-229, 1985.

14. В. И. Смирнов, Н. А. Лебедев, "Конструктивная теория функций комплексного переменного", М., Наука, 1964.

15. С. П. Суетин, "О полюсах т-й строки таблицы Паде", Матем. сб., 120(162): 4, 1983, 500-504.

16. Суетин С.П., "Аппроксимации Паде и эффективное аналитическое продолжение степенного ряда", У МИ, 57:1, 45-142, 2002.

17. С. П. Суетин, "О сходимости чебьтшевских непрерывных дробей для эллиптических функций", Матем. сб., 194:12, 63-92, 2003.

18. С. П. Суетин, "О равномерной сходимости диагональных аппроксимаций Паде для гиперэллиптических функций", Матем. сб., 191: 9, 81-114, 2000.

19. С. П. Суетин, "Об интерполяционных свойствах диагональных аппроксимаций Паде эллиптических функций", УМН, 59: 4, 201-202, 2004.

20. Дж. Уолш, "Интерполяция и аппроксимация рациональными функциями в комплексной области" , М. , ИЛ, 1961.

21. О. Форстер, Римановы поверхности, М., Мир, 1980.

22. Ле Ба Кхань Чинь, "Обратные теоремы для многоточечных аппроксимаций Паде", Матем. сб., 181: 10, 1990, 1306-1319.

23. Шатров A.B., "Соединение асимптотик с помощью Паде-аппроксимант в переходных слоях гидрогазодинамики", Дис. д-ра физ.-мат. наук, 05.13.18 : Киров, 2002 280 с. РГБ ОД, 71:05-1/80.

24. L. Baratchart, М. Yattselev, "Multipoint Pade approximants to complex Cauchy transforms with polar singularities", Journal of Approximation Theory, 156, p. 187-211, 2009.

25. Rajendran, "Two-point, Pade approximation of mass transfer rate at mi-crodisc electrodes in a channel flow for all Peclet numbers", Electrochimica Acta, 51: 25, 5407-5411, 2006.

26. Rajendran, M. V. Sangaranarayanan, "A two-point Pade approximation for the non-steady-state chronoamperometric current at ultramicrodisc electrodes", Journal of Electroanalytical Chemistry 392: 1-2, 75-78, 1995.

27. H. Stahl, "The convergence of Padé approximants to functions with branch points", J. Approx. Theory, 91:2, 139-204, 1997.

28. H. Stahl, "Diagonal Padé approximants to hyperelliptic functions", Ann. Fac. Sei. Toulouse Math., Special issue, 121-193, 1996.

29. H. Stahl, "Spurious poles in Padé approximation" J. Comput. Appl. Math., 99:1-2, 511-527, 1998.

30. G. Szegô, "Uber orthogonale Polynome, die zu einer gegebenen Kurve der komplexen Ebene gehören", Math. Z., 9: 3-4, 1921, 218-270.

31. G. Szego, "Uber die Nullstellen von Polynomen, die in einem Kreise gleichmassig konvergieren", Sitzungsberichte Berlin Math. Ges., 59-64, 1922.

32. V. Totik, "Orthogonal polynomials with respect to varying weights", Journal of Computational and Applied Mathematics, 99: 1-2, 373-385, 1998.

33. Д. В. Христофоров, "О явлении ложной интерполяции эллиптических функций диагональными аппроксимациями Паде", Матем. заметки, 87:4 604-615, 2010.

34. Д. В. Христофоров, "О сходимости диагональных аппроксимаций Паде для эллиптических функций", Матем. сб., 200:6, 143—160, 2009.

35. Д. В. Христофоров, "Об асимптотических свойствах интерполяционных многочленов", Матем. заметки, 83:1, 129—138, 2008.

36. Д. В. Христофоров, "Асимптотика двухточечных аппроксимаций Паде", материалы Международной научной конференции, посвященной 105-летию С.М. Никольского, 87, 2010.