Синхронизация и образование структур в сложных осцилляторных ансамблях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ
|
Иванченко, Михаил Васильевич
АВТОР
|
||||
|
кандидата физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Нижний Новгород
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
2007
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.04.03
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
На правах рукописи
□□ЗОВ2ВТ1
ИВАНЧЕНКО Михаил Васильевич
СИНХРОНИЗАЦИЯ И ОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУР В СЛОЖНЫХ ОСЦИЛЛЯТОРНЫХ АНСАМБЛЯХ (КОЛЕБАНИЯ НА НЕСКОЛЬКИХ ВРЕМЕННЫХ МАСШТАБАХ, НЕРЕГУЛЯРНАЯ ТОПОЛОГИЯ СВЯЗИ)
01 04 03 - радиофизика
Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук
Нижний Новгород - 2007
003062671
Работа выполнена в Нижегородском государственном университете им
Н И Лобачевского
Научный руководитель:
доктор физико-математических наук, профессор В Д Шалфеев
Официальные оппоненты:
член-корреспондент РАН, доктор физико-математических наук, профессор Д И Трубецков доктор физико-математических наук, профессор В Н Белых
Ведущая организация:
Институт радиотехники и электроники РАН
Защита состоится « {¿у> _2007 г в часов на засе-
дании диссертационного совета Д 212 166 07 при Нижегородском государственном университете им Н И Лобачевского (603950, Н Новгород, ГСП-20, пр Гагарина, 23, корп ауд
С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Нижегородского государственного университета
Автореферат разослан « 06» 2007
г
Ученый секретарь диссертационного совета к ф -м н
В.В. Черепенников
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы
Исследование процессов синхронизации и связанного с ними структурообразования в ансамблях регулярных и хаотических осцилляторов на протяжении многих лет является актуальной задачей радиофизики Теория синхронизации регулярных колебаний была в основном построена в 30-х — 60-х годах XX века и исчерпывающе описывала вынужденную синхронизацию автогенератора внешним периодическим сигналом и взаимную синхронизацию двух автоколебательных систем Эта теория была положена в основу решения многих прикладных задач радиофизики, в частности, задач когерентного приема в системах связи, построения радиолокационных и навигационных систем, исследования динамики ансамблей сверхпроводящих джозефсоновских контактов и т д Тем не менее, в последние два десятилетия наблюдается крайне высокая активность в исследованиях синхронизации и связанных с ней динамических процессов, в частности, образования пространственных структур Это продиктовано как интересом к процессам синхронизации сложных и хаотических колебаний, так и появлением целого ряда задач, требующих анализа коллективной динамики больших ансамблей со сложной топологией связи
Во-первых, большое число природных и технических физических систем может рассматриваться как класс распределенных, пространственно дискретных или непрерывных нелинейных активных колебательных систем, обладающих некоторым спектром колебательных мод Примерами служат системы с турбулентностью, ансамбли многомодовых лазеров, джозефсоновских контактов, микро- и наномеханических осцилляторов Одним из распространенных коллективных эффектов в таких системах является эффект синхронизации большого числа взаимодействующих, зачастую хаотических, нелинейных мод
Во-вторых, явление динамического хаоса — сложного, квазислучайного поведения полностью детерминированной системы, по-видимому, может быть использовано для разработки новых подходов в задаче передачи информации Преимущества хаотического сигнала над регулярным заключаются в его широкополосное™ (и, как следствие, большей помехоустойчивости и информационной емкости) Синхронизация идентичных или слабо неидентичных хаотических колебаний позволяет реализовать когерентный прием в схемах для передачи с помощью динамического хаоса, управлять распределением фаз в радиолокацион-
ных системах, декодировать сообщения, зашифрованные с помощью хаотического сигнала
Наконец, идеи и методы радиофизики сейчас находят применение в анализе способов передачи, хранения и обработки информации биологическими нейронными сетями Здесь одним из ключевых вопросов является механизм координации работы отдельных нейронов Многочисленные экспериментальные и теоретические исследования отводят эту роль процессам синхронизации Поскольку значительная часть нейронов может генерировать хаотические колебания, наиболее адекватной постановкой задачи, сформулированной в терминах теории колебаний, здесь является изучение процессов хаотической синхронизации в больших ансамблях хаотических автоколебательных систем со сложной, нерегулярной топологией связи
Следует отметить, что под синхронизацией регулярных колебаний всегда понималось совпадение их частот в результате взаимодействия Для хаотических колебаний существует сразу несколько подходов к определению синхронизации, основанных на сравнении их различных характеристик Мы будем рассматривать исключительно фазовую хаотическую синхронизацию, критерием которой является совпадение средних частот колебаний, как наиболее близкую к синхронизации регулярных колебаний
Несмотря на обширную литературу, посвященную исследованию фазовой хаотической синхронизации и структур синхронизации (В С Анищенко, В В Астахов, Б П Безручко, В Н Белых, А С Дмитриев, А А. Короновский, А П Кузнецов, С П Кузнецов, А Ю Лоскутов, В В Матросов, В И Некоркин, В Б Казанцев, Г В Осипов, А С Пиков-ский, Д Е Постнов, М И Рабинович, М Розенблюм, Н Ф Рульков, Д И Трубецков, А Е Храмов, В Г Яхно, Н Abarbahel, S Boccaletti, В G Ermentrout, Е М Izhekevich, М Hasler, J Kurths, Y Kuramoto, U Par-litz, L Pécora, S Strogatz), большинство работ ограничивается случаем, когда автоколебания во взаимодействующих системах слабо хаотичны, имеют ярко выраженный максимум в спектре мощности, соответствующий некоторой средней частоте колебаний Синхронизация таких систем имеет много общего с синхронизацией периодических осцилляторов В ряде работ (А А Короновский, А Е Храмов) затрагивается вопрос синхронизации систем с более развитым хаосом, спектр мощности которых имеет несколько ярко выраженных максимумов (соответствующих различным характерным временным масштабам колебаний) Однако сколько-нибудь полная теория синхронизации таких систем в настоящее время отсутствует Коллективная динамика ансамблей подобных осцилляторов,
в том числе, характеризующихся сложной, нерегулярной топологией связи, является на настоящий момент одной из наиболее актуальных задач нелинейной динамики и радиофизики Она имеет принципиальное значение для понимания основных закономерностей синхронной динамики распределенных активных систем с колебаниями на нескольких временных масштабах, таких как антенные решетки, цепочки связанных лазеров, модели турбулентных сред, нейронные ансамбли Именно эта вопросы определяют актуальность темы диссертационной работы
Цель диссертационной работы состоит в развитии теории фазовой хаотической синхронизации и образования структур в сложных ансамблях осцилляторов с хаотическими колебаниями на нескольких временных масштабах и нерегулярной топологией связей, и ее применении для исследования динамики связанных лазеров в режиме генерации бер-стовых импульсов, механизмов генерации и синхронизации беретов нейронными ансамблями, а также разработки метода динамического анализа структуры сложных сетей
Методы исследования и достоверность научных результатов.
Представленные в работе результаты получены путем численного моделирования, а также с использованием качественных методов теории колебаний Их достоверность и общность подтверждены воспроизводимостью результатов численного моделирования, воспроизводимостью результатов на базе различных математических моделей (ансамбли отображений, ансамбли обыкновенных дифференциальных уравнений), соответствием экспериментальным и численным результатам, известным из литературы Эффективность предложенного метода анализа структуры сетей показана путем сравнения с характеристиками известных методов
Научная новизна.
• Построена теория фазовой хаотической синхронизации колебаний на нескольких временных масштабах, в основу которой положены новые способы определения фазы и средней частоты Исследованы основные закономерности процессов синхронизации и десинхронизации подобных систем (осцилляторы Ресслера в режиме аттрактора "воронка", отображения и осцилляторы Лоренца с хаотической перемежаемостью, лазеры в режиме генерации сложных хаотических импульсов)
• Обнаружен и исследован механизм генерации пакетов электрических импульсов (спайков) в нейронных ансамблях (как колебаний
на новом временном масштабе) за счет неустойчивости режима синхронизации одиночных спайков, возникающей при увеличении силы связи
• Для взаимодействующих малых ансамблей нейронных осцилляторов в режиме генерации спайковых пакетов (за счет конкуренции) впервые продемонстрировано существование областей взаимной синхронизации на высоких субгармониках (как синхронизации между колебаниями на различных временных масштабах), сравнимых по ширине с областями на основной гармонике и низких субгармониках
• Впервые исследованы закономерности формирования структур синхронизации многомасштабных колебаний нейронных осцилляторов (в виде спайковых пакетов - беретов) при наличии конкуренции между ними
• Впервые предложен метод анализа структуры сложных сетей с использованием явлений десинхронизации и кластерной синхронизации в ансамблях фазовых осцилляторов
Практическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты могут найти применение при решении задач, связанных с исследованием коллективной динамики сетей сложных хаотических осцилляторов с колебаниями на нескольких ярко выраженных временных масштабах Обнаруженный механизм генерации беретов в нейронных ансамблях, как было показано, наблюдается при различных типах моделируемой синапгической связи, различных топологиях нейронного ансамбля, а также и при использовании реалистичных моделей типа Ход-жкина-Хаксли в моделировании, в связи с чем его присутствие и экспериментальное обнаружение в биологических экспериментах представляется вполне вероятным Кроме того, ожидается, что подобный механизм может наблюдаться и в других системах с нейроноподобной динамикой, например в связанных лазерах в режиме генерации одиночных импульсов Результаты исследования взаимной синхронизации на субгармониках в малых нейронных ансамблях с берстовой динамикой типа конкуренция без победителя, а также формирования структур синхронизации беретов в нейронных ансамблях с конкуренцией могут найти применение как в задачах изучения процессов обработки и хранения информации нейронными ансамблями, так и для разработки алгоритмов для искусственных интеллектуальных систем, конструируемых на базе нейробиоло-гических принципов Динамический метод анализа структуры сложных сетей имеет вполне конкурентноспособные характеристики среди из-
вестных методов и представляется перспективным для анализа больших метаболических, протеиновых, социальных и физических сетей
Основные положения, выносимые на защиту:
1 В ансамблях достаточно широкого класса сложных хаотических осцилляторов с колебаниями на нескольких временных масштабах могут наблюдаться явления фазовой хаотической синхронизации и десинхронизации Для анализа этих явлений могут быть введены фаза и средняя частота колебаний либо методом объединения временных масштабов (обнаруженным способом преобразования координат — переходом в пространство скоростей), либо методом разделения временных масштабов, при котором колебания на различных масштабах рассматриваются как независимые и синхронизация имеет место на одном из них
2 В ансамблях нейронных осцилляторов, генерирующих одиночные электрические импульсы (спайки) реализуется механизм генерации колебаний на новом временном масштабе в виде спайковых пакетов (беретов) Этот механизм заключается в генерации быстрых повторных спайков и в потере устойчивости режима фазовой хаотической синхронизации одиночных спайков при превышении некоторого порога по силе связи между нейронами
3 Малые ансамбли нейронов, генерирующие пакеты электрических импульсов (береты) за счет конкуренции, могут демонстрировать фазовую хаотическую синхронизацию между различными временными масштабами Полоса взаимной синхронизации ансамблей на высоких субгармониках, сравнима по ширине с полосой взаимной синхронизации на основной частоте либо на низких субгармониках Три таких ансамбля, объединенных в цепочку, могут быть взаимно синхронизованы на субгармониках так, что соотношение между частотами крайних элементов может быть существенно увеличено без уменьшения полосы синхронизации
4 Для решения одной из задач анализа структуры сложных сетей — выделения модулей (тесно связанных внутри и менее тесно — между собой подсетей) может бьпь применен динамический метод, основанный на отождествлении узлов сети с осцилляторами, а образующихся при изменении управляющего параметра структур кластерной фазовой синхронизации — с искомыми топологи-
ческими структурами — модулями Предложенный метод является эффективным, не уступающим в точности, а иногда и превосходящим известные не динамические методы и потенциально превышающим в скорости в случае анализа сетей большого размера, к которым относятся многие сети из приложений — метаболические, протеиновые, социальные и др
Личный вклад автора В совместных статьях [2,6] роль автора в выборе направлений исследований, постановке основных задач, получении и обсуждении результатов была ведущей, научные результаты в статьях [1,3,4,5,8] получены на паритетных началах с соавторами Компьютерное моделирование исследуемых систем выполнено лично автором
Апробация работы и публикации. Основные результаты диссертационной работы докладывались на международных научных конференциях "Nonlmear Dynamics of Electronic Systems" (Switzerland, 2003), "Physics and Control" (Санкт-Петербург, 2003), "Expenmental Chaos - 8" (Florence, Italy, 2004), "Nonlinear Dynamics of Electronic Systems" (Potsdam, Germany, 2005) "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (Нижний Новгород, 2005), "Physics and Control" (Санкт-Петербург, 2005) а также на конференциях молодых ученых "Нелинейные волновые процессы" (Нижний Новгород, 2004, 2006) Материалы диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры теории колебаний ННГУ, ИПФ РАН и Института Физики Университета Потсдама
По теме диссертации опубликовано 15 научных работ, включая 7 статей в ведущих рецензируемых физических журналах, 5 статей в сборниках трудов научных конференций, 2 тезиса докладов, 1 препринт в электронном архиве
Структура и объем работы Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы Диссертация содержит 154 страницы, включая 92 рисунка и список литературы из 127 наименований
КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ
Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулирована цель работы, раскрыта научная новизна и практическая значимость полученных результатов. Приводятся положения, выносимые на защиту, а также сведения об апробации результатов. В первой главе предложен подход к решению задачи о фазовой хаотической синхронизации колебаний на нескольких ярко выраженных временных масштабах, основанный на введении фазы и средней частоты.
(а)
(Ь)
(с)
Рис. 1 Хаотические аттракторы в системе Ресслера
0.35 0.3
!"о г 015 01
0 05
(а)
0.35 (Ы
02\
Р" 015: о:
ол
0.05
(а)
1
(Ь)
4
т
Рис.2 Распределение времен возврата в случае хаотических колебаний на (а) одном и (Ъ) двух временных масштабах в системе Ресслера
Исследованы синхронизация осцилляторов Ресслера в режиме аттрактора типа "воронка", синхронизация и ресинхронизация систем с хаотической перемежаемостью, синхронизация и десинхронизация последовательностей нескольких импульсов (берегов) в экспериментальной установке и численной модели взаимодейст вующих лазеров,
В зависимости от значения бифуркационного параметра система Ресслера может демонстрировать два типа хаотических колебаний: вращение с переменной амплитудой вокруг некоторого центра в проекции на плоскость двух фазовых переменных {Рис.1 (а)) и аттрактор типа «воронка», в проекции которого нельзя выделить определенного центра вращений (Рис,1(Ь)). Распределение времен возврата, определяемых ин-
тервалами между последовательными пересечениями секущей {х=0, у<0}, показывает, что в первом случае наблюдаются колебания с одним ярко выраженным временным масштабом (Рис 2(а)), во втором - с двумя
Для колебаний первого типа фаза обычно вводится как
ко, неприменим в случае колебаний второго типа Было предложено рассматривать величину мгновенной угловой скорости в проекции как мгно-
метрическое определение фазы эквивалентно ^ = агс1апу , получаемому
в результате проецирования фазовой траектории на плоскость (х, у) Условием применимости такого определения является знакопостоянство кривизны траектории в проекции на некоторую плоскость в фазовом пространстве Это гарантирует наличие единого центра вращений в новой проекции и монотонность фазы (Рис 1(с)) Таким образом, для двух различных временных масштабов может быть введена единая фаза
Данный подход позволил исследовать процесс фазовой хаотической синхронизации двух неидентичных систем Ресслера с колебаниями на двух временных масштабах Было установлено, что при наличии нескольких ярко выраженных временных масштабов, необходимым условием для фазовой хаотической синхронизации становится функциональная зависимость между амплитудами осцилляторов (один из положительных ляпуновских показателей становится отрицательным)
Другой метод введения фазы - разделение временных масштабов — был применен к анализу процессов синхронизации и десинхронизации в малых ансамблях систем с хаотической перемежаемостью и лазеров в режиме генерации сложных хаотических импульсов Суть этого метода (часто используемого в нейродинамике, и, как показано в работе, применимого к гораздо более широкому классу систем) заключается во введении фазы для одного из временных масштабов (более медленного) и предположении о независимости колебаний на разных масштабах В частности, для лазеров, генерирующих пакеты импульсов большой амплитуды (условно названные беретами), которые перемежаются длительными периодами генерации импульсов малой амплитуды (Рис 3), можно рассматривать фазу и частоту «беретов» Было обнаружено наличие фа-
(Рис 2(Ъ))
аналогично случаю регулярных квазигармонических колебаний, а средняя частота как со = 1ип(^>(/) - ^(0))/? Этот способ, одна-
зовой хаотической синхронизации на этом временном масштабе при достаточно большой силе связи, а также десинхронизации при дальнейшем усилении связи (Рис.4). Синхронизация отдельных импульсов (на быстром временном масштабе) отсутствовала. Аналогичные результаты были получены для систем с хаотической перемежаемостью.
Во в торой главе демонстрируется и анализируется механизм генерации колебаний на новом временном масштабе в виде пакетов электрических импульсов (берстов)в ансамблях нейронных осцилляторов,
лазер 1
а"
время |мс)
Рис.3 Динамика «верстовых» им- Рис.4 Зависимость наблюдаемой пульсов в (а,с) автономных лазерах расстройки средних частот «бери (Ь,ф взаимодействующих лазерах стовых» импульсов от силы связи в режиме синхронизации, между лазерами.
находящихся в режиме генерации одиночных электрических импульсов (спайков). В численном моделировании использовались следующие математические модели нейрона,
1, Модель Рулькояа (ЬГ.Р. Еи!коу, 2002,2004) - двумерное отображение
А ¡7щ о- /=;±1
где нелинейная функция, описывающая динамику индивидуального осциллятора
а/(1-х) + у, х<0 /(х, х,у) = \а + у, (0<х<а+у)и(х<0), -1, (х > а + у) п > 0),
Xj и y} - быстрая и медленная переменные, а =3 5, сг, е [0 15,0 16],
/.I = 0 001 - параметры нейронного осциллятора, задающие режим хаотических спайков Сила связи е нормируется на число связей осциллятора К с соседями, которые определяются топологией ансамбля, в простейшем случае цепочки, например, К=2 Использовались также два типа связи между нейронами, известные как электрический ) = xf —xk и
химический. G(x,A, х*) = (1 - х* ) j(x,A), где %()- функция Хевисайда 2 Модель типа Ходжкина-Хаксли (А Komendantov, N Kononenko, 1996)
Рис. 5 Динамика цепочки нейронных осцилляторов (а) несинхронные спайки,
(b) синхроные спайки,
(c) нерегулярные береты, (d) регулярные синхронные береты (горизонтальная ось — координата, вертикальная — время, оттенки серого -величина xf)
При численном моделировании цепочек нейронных осцилляторов Руль-кова с электрической связью было обнаружено, что при увеличении силы связи между нейронами сначала наступает режим хаотической фазовой синхронизации спайков (неидентичные частоты спайков подстраиваются под единую частоту) (Рис 5(а), е = 0 005, синхронизация отсутствует, Рис 5(Ь), 8 = 0 05, спайки синхронизованы) Однако при дальнейшем усилении связи режим синхронизации спайков теряет устойчивость, что приводит к генерации беретов (Рис 5(с), б = 0 1) При дальнейшем увеличении связи береты регуляризуются и становятся синхронизованными (Рис 5(d), 8 = 0 2), причем спайки, их образующие, остаются несинхрони-зованными, и на пространственно-временной диаграмме образуют структуры фрактального типа Зависимость распределения межепайковых интервалов от силы связи на Рис 6 наглядно иллюстрирует возникновение нового — берстового — временного масштаба колебаний
50 100 150
п
-(Ь)
(d)
50 100 150
п
Механизм десинхронизации одиночных спайков, приводящей к формированию беретов, объясняется исходя из результатов качественного анализа структуры фазового пространства автономного двумерного модельного нейронного отображения. Существование данного механизма генерации беретов показано при моделировании нейрона с помощью двумерного отображения Рулькова и биологически обоснованной модели типа Ходжкина-Хаксли; при использовании как электрического, так и возбуждающего, и смешанного - возбуждающего и ингибиторного типов синаптической связи; в ансамблях различной топологии: малые ансамбли, цепочки, двухслойные цепочки, ансамбли "small-world" и "scale-free".
Эти результаты позволяют сделать вывод об общности обнаруженного механизма.
В третьей главе исследуется эффект взаимной синхронизации между колебаниями на различных временных масштабах во взаимодействующих малых ансамблях нейронных осцилляторов. В каждом ансамбле реализуется режим береговых колебаний, которые генерируются за счет конкуренции нейронов. Ансамбль, состоящий из трех нейронных осцилляторов Хиндмарш-Розе с ингибиторным типом связей, описывается уравнениями:
'ж, яг,2-*,3ЕС»
Ш
у, = 6 - exf-у,, г, = M(~zi +d))>
где |= 1,3, а -3.0, Ь = 1.0, с = 5.0, d =1.6, е = 4.0, = 0.002, постоянный внешний ток, задающий режим спайков в автономных нейронах /(. = 6.0 . Токи через ингибиторные синапсы определяются как
Рис.6 Зависимость распределения Межспайковых интервалов Тг от силы связи е. Черный цвет — максимальное значение, белый - минимальное.
II = у'^(0(хп
■5(0
' X, -х,к
где г, =30, х.
,(Л=-05, ^=10, х(е„=—15, максимальная проводимость
синапса г —г12 =г23 =г31 = 1 /г21 =1/гп = 1 /г32 задает силу асимметричной связи и определяет период берстовых колебаний
____Два малых ансамбля, период берстовых колебаний в одном из которых значительно больше, чем в другом, взаимодействуют через ингибиторную связь между двумя нейронами Обнаружено, что ширина полосы синхронизации на высоких субгармониках сравнима с шириной на низких субгармониках (Рис 7) Следует отметить, что при кратности частот большей 6 1 полоса синхронизации быстро уменьшается Показано, что для достижения больших соотношений частот
-§
сГ 4
Рис.7 Плато синхронизации берстовых колебаний на субгармониках между двумя малыми ансамблями нейронных осцтляторов
при сохранении широкои полосы синхронизации можно использовать цепочку из трех малых ансамблей, в которой первый и второй, а также второй и третий синхронизированы с относительно низким соотношением частот, а первый и третий, в результате, оказываются синхронизованными с высоким соотношеним, равным произведению соотношений соседних ансамблей Заметим, что для регулярных квазипериодических колебаний ширина полосы синхронизации быстро убывает с возрастанием кратности частот, и синхронизация между колебаниями на существенно различных временных масштабах является практически ненаблюдаемой Наличие широких областей синхронизации берстовых колебаний на высоких субгармониках позволяет рассматривать этот эффект как потенциальный механизм координации биологических нейронных ритмов с различными характерными частотами
Кроме того, в данной главе исследованы закономерности формирования структур синхронизации, возникающих при конкурентном типе взаимодействия между многомасштабными колебаниями Показано, чго синхронизация берстовых колебаний в ансамбле из трех модельных нейронов Хиндмарш-Розе со взаимной асимметричной ингибиторной связью представляет собой последовательную генерацию беретов в каждом из нейронов Установлено, что параметром, определяющим изменение характеристик беретов при усилении взаимного ингибирования является соотношение между длительностью последовательности спайков, образующих берет, и полным периодом берета в автономном нейроне
В четвертой главе исследовано образование кластеров синхронизации в нерегулярных сетях фазовых осцилляторов с асимметричными связями Ансамбль неидентичных отображений окружности описывается уравнениями
-О 051---■-
0-2-4-6 -8 -10
а
Рис.8 Пример сети с ярко выра- Рис.9 Зависимость (а) модулярно-жениой модульной структурой сти (мера оптимальности разбие-
ния на модули) и (Ь) частоты кластерных структур от управляющего параметраа
срГ' = ^ sin(9>r -^)>
ZA ^
jeN,
где со: е [—0 1,0 1] — собственные частоты, d — сила связи, а — управляющий параметр, ъ — нагрузка ребра {i,j}, определяемая как
число кратчайших путей на графе, содержащих это ребро, Nt — множество соседей элемента i
Показано, что если при а = О все отображения были синхронизованными, то при уменьшении этого параметра глобальная синхронизации нарушается, формируются различные кластеры синхронизации, причем эти кластеры с высокой точностью соответствуют топологической модульной структуре сети
Исходя из этого результата, был предложен метод анализа структуры сложных сетей с использованием эффектов кластерной синхронизации и десинхронизации Задача выявления структуры сети заключается в обнаружении т н модулей — тесно связанных внутри и менее тесно между собой групп узлов, т е разбиения графа на некоторое число подграфов, с минимизацией числа ребер, соединяющих различные подграфы (Рис 7(a)) Таким образом, суть метода анализа топологической структуры произвольной сети заключается в отождествлении динамических систем — осцилляторов — вершинам графа, функциям связи — ребрам, использовании весовых коэффициентов, вычисляемых по приведенному способу и последовательному уменьшению управляющего параметра с проверкой наблюдаемой кластерной структуры на оптимальность (Рис 7(b)) Применяя данный метод к известным тестовым задачам и сравнивая полученные результаты с характеристиками других известных (не динамических) методов было показано, что предложенный метод является корректным, эффективным Превосходя по точности и скорости имеющиеся нединамические алгоритмы, он является крайне перспективным для задач анализа структуры больших метаболических, протеиновых и социальных сетей, недоступных для имеющихся методов при современных вычислительных мощностях
В заключении сформулированы основные результаты и выводы диссертационной работы
Основные результаты диссертационной работы
1 Развита теория фазовой хаотической синхронизации для хаотических систем с колебаниями на нескольких временных масштабах Показано, что для анализа этого явления фаза и средняя частота колебаний могут быть введены либо путем объединения временных масштабов (определяется единая фаза для многомасштабных колебаний), либо разделения временных масштабов (фаза определяется только для одного из временных масштабов)
2. На примере хаотической модели Ресслера продемонстрировано, что необходимым условием установления фазовой хаотической синхронизации между осцилляторами, допускающими объединение временных масштабов, является наличие функциональной связи не только между фазами, но и амплитудами колебаний взаимодействующих осцилляторов
3 На примере нейроноподобной берстовой динамики связанных лазеров и систем с хаотической перемежаемостью показано, что при разделении временных масштабов на одном из масштабов (как правило, медленном) при увеличении силы связи устанавливаются синхронные колебания, десинхронизующиеся при дальнейшем усилении связи В то же время, на другом временном масштабе колебания остаются несинхронизованными
4 Обнаружено, что за счет взаимодействия, коллективной динамики нейроноподобные осцилляторы могут демонстрировать генерацию колебаний на новом, быстром временном масштабе колебаний Механизмом такой генерации является неустойчивость режима фазовой синхронизации одиночных электрических импульсов (спайков) при увеличении силы связи выше определенного порогового значения В результате наблюдается появление быстрых повторных спайков и формирование последовательностей из нескольких электрических импульсов (беретов) Существование обнаруженного механизма было подтверждено не только для различных типов связи между нейронами, но и для различных математических моделей нейрона, различных вариантов топологии ансамбля, что указывает на общность данного механизма
5 Были исследованы механизмы синхронизации между колебаниями на разных временных масштабах Показано, что области взаимной синхронизации берстовых колебаний в малых ансамблях нейроноподобных осцилляторов, генерируемых за счет конкуренции (взаимного ингибирования), являются более широкими на субгармониках (то есть, когда частоты беретов в одном ансамбле в несколько раз превосходят частоты беретов в другом), чем на основной частоте (1 1) или при соотношении 2 1 Предложенный метод синхронизации посредством вспомогательного, промежуточного нейронного ансамбля позволяет обеспечить синхронизацию для очень большой кратности отношения частот беретов (порядка 20 1) при сохранении широких областей синхронизации
6 Были изучены особенности формирования структур синхронизации колебаний на нескольких временных масштабах при наличии конкуренции между ними Продемонстрировано, что синхронизация берстовых колебаний в ансамбле из трех модельных нейронов Хиндмарш-Розе со взаимной асимметричной ингибиторной связью представляет собой последовательную генерацию беретов в каждом из нейронов Установлено, что параметром, определяющим изменение характеристик при усилении взаимного ингибирования является соотношение между длительностью последовательности спайков, образующих берет, и полным периодом берета в автономном нейроне
7 На базе полученных результатов по процессам образования структур кластерной синхронизации в сетях фазовых осцилляторов с асимметричными неоднородными связями разработан динамический метод анализа структуры больших сложных сетей Было показано, что он характеризуется более высокой точностью результатов, чем другие известные не динамические методы, а также, асимптотика его вычислительных затрат в сетях большого размера улучшает показатели почти всех имеющихся методов
Публикации
[1] G V Osipov, В Hu, Ch Zhou, M V Ivanchenko, J Kurths, Three types of transition to phase synchronization in coupled chaotic oscillators, Phys Rev Lett //v 91 024101 (2003)
[2] M V Ivanchenko, G V Osipov, V D Shalfeev, J Kurths, Phase synchronization of chaotic intermittent oscillations // Phys Rev Lett, V 92, 134101,2004
[3] G V Osipov, M V Ivanchenko, J Kurths, and В Hu, Synchronized chaotic intermittent and spiking behavior in coupled map chains // Phys Rev E Vol 71 p 056209,2005
[4] J Kurths, MC Romano, M Thiel, GV Osipov, MV Ivanchenko, IZ Kiss, J L Hudson, Synchronization analysis of coupled noncoherent oscillators//Nonlinear Dynamics, Vol 44 (1-4), 2006, pp 135-149
[5] R Meucci, F Salvadon, M V Ivanchenko, К AI Naimec, Ch Zhou, F T Arecchi, S Boccaletti, and J Kurths, Synchronization of spontaneous bursting in a C02 laser // Phys Rev E 74, 066207, 2006
[6] M V Ivanchenko, G V Osipov, V D Shalfeev and J Kurths, Network mechanism for burst generation, Physical Review Letters // V 98, 108101, 2007
[7] M В Иванченко, Генерация беретов в ансамблях спайковых нейронов с нелокальными связями // Изв ВУЗов Прикладная нелинейная динамика, т 15, №3, стр 3,2007
[8] S Boccaletti, М V Ivanchenko, A Pluchino, V Latora, A Rapisada, Dynamical clustering methods to find community structures // ArXiv physics/0607179 vl
[9] G V Osipov, M V Ivanchenko, Ch Zhou, J Kurths, Routes to phase syn-chroni-zation in coupled chaotic oscillators // Proceedings of NDES, May 1821, 2003, Switzerland, 189-192
[10] MV Ivanchenko, G V Osipov, V D Shalfeev, Synchronization of Chaotic Oscillators with Type-I Intermittency // Proc of PhysCon 2003, August 20-22, 2003, Saint Petersburg, Russia, 563-568
[11] M V Ivanchenko, Synchronization in chaotic ensembles with oscillations on multiple time scales // Proc Int Symposium Topical Problems of Nonlinear
Wave Physics (NWP-2005) NWP-1 Nonlinear dynamics theory and applications Nizhny Novgorod, Institute of Applied Physics RAS, 2005
[12] M V Ivanchenko, G V Osipov, Synchronization and desynchronization in chaotic spiking chain ensembles // Proc of International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications, Bruges, Belgium, October 18-21, 2005, pp 703-706
[13] GV Osipov, M V Ivanchenko, V D Shalfeev, J Kurths, Synchronization of Chaotic Intermittent Behavior // 2nd International Conference Physics and Control, Saint Petersburg, Russia, August 24-26, 2005
[14] MV Ivanchenko, G V Osipov, J Kurths, Synchronization and desynchronization in chaotic spiking neural networks // Abstracts of 13th International IEEE Workshop on Nonlinear Dynamics of Electronic Systems NDES-2005, September 18-22 2005, University of Potsdam, Germany
[15] MB Иванченко, Синхронизация и десинхронизация спайковой динамики в ансамблях нейроноподобных осцилляторов // Тезисы конференции молодых ученых Нелинейные волновые процессы, Нижний Новгород 1-7 марта 2006 г , стр 71-72
Оглавление диссертации Введение
Глава 1 Анализ синхронизации в системах с «многомасштабным» хаосом
1 1 Объединение временных масштабов 1 2 Разделение временных масштабов 1 3 Синхронизация лазеров в режиме генерации беретов 1 4 Выводы
Глава 2 Коллективные механизмы генерации колебании на новом временном масштабе в ансамблях нейронных осцилляторов
2 1 Генерация беретов в цепочках спайковых нейронов 2 2 Генерация беретов в ансамблях с химическими синапсами 2 3 Генерация беретов в ансамблях со сложной топологией связей 2 4 Генерация коллективных беретов модельными нейронами Ходжкина-Хаксли 2 5 Выводы
Глава 3 Синхронизация и образование структур: конкуренция колебаний на различных временных масштабах
3 1 Взаимная синхронизация между колебаниями на различных временных масштабах 3 2 Структуры синхронизации конкурирующих колебаний на нескольких временных масштабах 3 3 Выводы
Глава 4 Динамический анализ структуры сложных сетей
4 1 Структура сложных сетей 4 2 Нединамические методы анализа 4 2 Кластерная синхронизация динамический анализ 4 3 Выводы Заключение
Библиография
Подписано в печать 29 03 2007 г Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная Печать офсетная Гарнитура «Тайме» Уел п л 1 Заказ № 366 Тираж 100 экз
Отпечатано с готового оригинал-макета в типографии Нижегородского госуниверситета им Н И Лобачевского 603000, г Н Новгород, ул Б Покровская, 37
ВВЕДЕНИЕ
1 АНАЛИЗ СИНХРОНИЗАЦИИ В СИСТЕМАХ С "МНОГОМАСШТАБНЫМ" ХАОСОМ
1.1 Объединение временных масштабов.
1.2 Разделение временных масштабов.
1.3 Синхронизация лазеров в режиме генерации беретов.
L 1.4 Выводы.
2 КОЛЛЕКТИВНЫЕ МЕХАНИЗМЫ ГЕНЕРАЦИИ КОЛЕБАНИЙ НА НОВОМ ВРЕМЕННОМ МАСШТАБЕ В АНСАМБЛЯХ НЕЙРОННЫХ ОСЦИЛЛЯТОРОВ
2.1 Генерация беретов в цепочках спайковых нейронов.
2.2 Генерация беретов в ансамблях с химическими синапсами.
2.3 Генерация беретов в ансамблях со сложной топологией связей.
2.4 Генерация коллективных беретов модельными нейронами Ходжкина-Хаксли
2.5 Выводы.
3 СИНХРОНИЗАЦИЯ И ОБРАЗОВАНИЕ СТРУКТУР: КОНКУРЕНЦИЯ КОЛЕБАНИЙ НА РАЗЛИЧНЫХ ВРЕМЕННЫХ МАСШТАБАХ
3.1 Взаимная синхронизация между колебаниями на различных временных масштабах
3.2 Структуры синхронизации конкурирующих колебаний на нескольких временных масштабах.
3.3 Выводы.
4 ДИНАМИЧЕСКИЙ АНАЛИЗ СТРУКТУРЫ СЛОЖНЫХ СЕТЕЙ
4.1 Структура сложных сетей.
4.2 Нединамические методы анализа.
4.3 Кластерная синхронизация: динамический анализ.
4.4 Выводы.
К настоящему времени достигнут значительный прогресс в изучении и понимании процессов синхронизации, десинхронизации и структурообразования в ансамблях регулярных и хаотических осцилляторов [1]-[8]. Результаты этих исследований используются для решения весьма различных прикладных задач: от передачи информации с помощью динамического хаоса [9] и исследования колебательных режимов в решетках микро- и напоме-ханических осцилляторов [10] до анализа способов обработки и кодирования информации биологическими нейронными ансамблями [20]. В этом промежутке лежат задачи разработки широкополосных радиолокационных систем на базе динамического хаоса [14, 15], криптографических алгоритмов [11, 12, 13].
Исследование процессов синхронизации и связанного с ними структурообразования в ансамблях регулярных и хаотических осцилляторов на протяжении многих лет является актуальной задачей радиофизики. Теория синхронизации регулярных колебаний была в основном построена в 30-х - 60-х годах XX века и исчерпывающе описывала вынужденную синхронизацию автогенератора внешним периодическим сигналом и взаимную синхронизацию двух автоколебательных систем [1, 3]. Эта теория была положена в основу решения многих прикладных задач радиофизики, в частности, задач когерентного приема в системах связи, построения радиолокационных и навигационных систем, исследования динамики ансамблей сверхпроводящих джозефсоновских контактов и т.д. Тем не менее, в последние два десятилетия наблюдается крайне высокая активность в исследованиях синхронизации и связанных с ней динамических процессов, в частности, образования пространственных структур. Это продиктовано как интересом к процессам синхронизации сложных и хаотических колебаний, так и появлением целого ряда задач, требующих анализа коллективной динамики больших ансамблей со сложной топологией связи.
Во-первых, большое число природных физических систем может рассматриваться как класс распределенных, пространственно дискретных или непрерывных нелинейных активных колебательных систем, обладающих некоторым спектром колебательных мод. Примерами служат системы с турбулентностью [7], ансамбли многомодовых лазеров [95], джо-зефсоновских контактов [18], микро- и наномеханических осцилляторов [10, 17]. Одним из распространенных коллективных эффектов в таких системах, является синхронизация большого числа взаимодействующих, зачастую хаотических, нелинейных мод.
Во-вторых, явление динамического хаоса - сложного, квазислучайного поведения полностью детерминированной системы, по-видимому, может быть использовано для разработки новых подходов в задаче передачи информации. Преимущества хаотического сигнала над регулярным заключаются в его широкополосности (и, как следствие, большей помехоустойчивости и информационной емкости) [9]. Синхронизация идентичных или слабо неидентичных хаотических колебаний позволяет реализовать когерентный прием в схемах для передачи с помощью динамического хаоса, управлять распределением фаз в радиолокационных системах, декодировать сообщения, зашифрованные с помощью хаотического сигнала.
Наконец, идеи и методы радиофизики сейчас находят применение в анализе способов передачи, хранения и обработки информации биологическими нейронными сетями [16]. Здесь одним из ключевых вопросов является механизм координации работы отдельных нейронов. Многочисленные экспериментальные и теоретические исследования отводят эту роль процессам синхронизации[49, 50,16]. Поскольку значительная часть нейронов может генерировать хаотические колебания, наиболее адекватной постановкой задачи, сформулированной в терминах теории колебаний, здесь является изучение процессов хаотической синхронизации в больших ансамблях хаотических автоколебательных систем со сложной, нерегулярной топологией связи.
Следует отметить, что под синхронизацией регулярных колебаний всегда понималось совпадение их частот в результате взаимодействия. Для хаотических колебаний существует сразу несколько подходов к определению синхронизации, основанных на сравнении их различных характеристик. Мы будем рассматривать исключительно фазовую хаотическую синхронизацию, критерием которой является совпадение средних частот колебаний, как наиболее близкую к синхронизации регулярных колебаний.
Несмотря па обширную литературу, посвящепную исследованию фазовой хаотической синхронизации и структур синхронизации (B.C. Апищенко, В.В. Астахов, Б.П. Безручко, В.Н. Белых, А.С. Дмитриев, А.А. Короновский, А.П. Кузнецов, С.П. Кузнецов, А.Ю. Лоскутов, В.В. Матросов, В.И. Некоркин, В.Б. Казанцев, Г.В. Осипов, А.С. Пиковский, Д.Е. Постнов, М.И. Рабинович, М. Розенблюм, Н.Ф. Рульков Д.И. Трубецков, А.Е. Храмов, В.Г. Яхно, Н. Abarbahel, S. Boccaletti, B.G. Ermentrout, E.M. Izhekevich, M. Hasler, J. Kurths, Y. Kuramoto, U. Parlitz, L. Pecora, S. Strogatz), большинство работ ограничивается случаем, когда автоколебания во взаимодействующих системах слабо хаотичны, имеют ярко выраженный максимум в спектре мощности, соответствующий некоторой средней частоте колебаний. Синхронизация таких систем имеет много общего с классическим случаем синхронизации периодических осцилляторов. В ряде работ (А.А. Короновский, А.Е. Храмов) затрагивается вопрос синхронизации систем с более развитым хаосом, спектр мощности которых имеет несколько ярко выраженных максимумов (соответствующих различным характерным временным масштабам колебаний). Однако сколько-нибудь полная теория синхронизации таких систем в настоящее время отсутствует. Коллективная динамика ансамблей подобных осцилляторов, в том числе, характеризующихся сложной, нерегулярной топологией связи, является на настоящий момент одной из наиболее актуальных задач нелинейной динамики и радиофизики. Она имеет принципиальное значение для понимания основных закономерностей синхронной динамики распределенных активных систем с колебаниями на нескольких временных масштабах, таких как антенные решетки, цепочки связанных лазеров, модели турбулентных сред, нейронные ансамбли. Именно эти вопросы определяют актуальность темы диссертационной работы.
Цель диссертационной работы состоит в развитии теории фазовой хаотической синхронизации и образования структур в сложных ансамблях осцилляторов с хаотическими колебаниями на нескольких временных масштабах и нерегулярной топологией связи, и ее применении для исследования динамики связанных лазеров в режиме генерации береговых импульсов, механизмов генерации и синхронизации беретов нейронными ансамблями, а также разработки метода динамического анализа структуры сложных сетей.
Методы исследования и достоверность научных результатов. Представленные в работе результаты получены путем численного моделирования, а также с использованием качественных методов теории колебаний. Их достоверность и общность подтверждены воспроизводимостью результатов численного моделирования; воспроизводимостью результатов на базе различных математических моделей (ансамбли отображений, ансамбли обыкновенных дифференциальных уравнений); соответствием экспериментальным и численным результатам, известным из литературы. Эффективность предложенного метода анализа структуры сетей показана путем сравнения с характеристиками известных методов.
Научная новизна.
• Построена теория фазовой хаотической синхронизации колебаний на нескольких временных масштабах, в основу которой положены новые способы определения фазы и средней частоты. Исследованы основные закономерности процессов синхронизации и десинхронизации подобных систем (осцилляторы Ресслера в режиме аттрактора "воронка", отображения и осцилляторы Лоренца с хаотической перемежаемостью, лазеры в режиме генерации сложных хаотических импульсов).
• Обнаружен и исследован механизм генерации пакетов электрических импульсов (спай-ков) в нейронных ансамблях (как колебаний на новом временном масштабе) за счет неустойчивости режима синхронизации одиночных спайков, возникающей при увеличении силы связи.
• Для взаимодействующих малых ансамблей нейронных осцилляторов в режиме генерации спайковых пакетов (за счет конкуренции) впервые продемонстрировано существование областей взаимной синхронизации на высоких субгармониках (как синхронизации между колебаниями на различных временных масштабах), сравнимых по ширине с областями на основной гармонике и низких субгармониках.
• Впервые исследованы закономерности формирования структур синхронизации многомасштабных колебаний нейронных осцилляторов (в виде спайковых пакетов - беретов) при наличии конкуренции между ними.
• Впервые предложен метод анализа структуры сложных сетей с использованием явлений десинхронизации и кластерной синхронизации в ансамблях фазовых осцилляторов.
Практическая значимость работы состоит в том, что полученные результаты могут найти применение при решении задач, связанных с исследованием коллективной динамики сетей сложных хаотических осцилляторов с колебаниями на нескольких ярко выраженных временных масштабах. Обнаруженный механизм генерации беретов в нейронных ансамблях, как было показано, наблюдается при различных типах моделируемой синапти-ческой связи, различных топологиях нейронного ансамбля, а также и при использовании реалистичных моделей типа Ходжкина-Хаксли в моделировании, в связи с чем его присутствие и экспериментальное обнаружение в биологических экспериментах представляется вполне вероятным. Кроме того, ожидается, что подобный механизм может наблюдаться и в других системах с иейроноподобной динамикой, например в связанных лазерах в режиме генерации одиночных импульсов. Результаты исследования взаимной синхронизации па субгармониках в малых нейронных ансамблях с берстовой динамикой типа конкуренция без победителя, а также формирования структур синхронизации беретов в нейронных ансамблях с конкуренцией могут найти применение как в задачах изучения процессов обработки и хранения информации иейропиыми ансамблями, так и для разработки алгоритмов для искусственных интеллектуальных систем, конструируемых па базе нейробиологических принципов. Динамический метод анализа структуры сложных сетей имеет вполне конкурентоспособные характеристики среди известных методов и представляется перспективным для анализа больших метаболических, протеиновых, социальных и физических сетей.
Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка цитированной литературы. Диссертация содержит 154 страницы, включая 92 рисунка и список литературы из 127 наименований.
4.4 Выводы
В данной главе были исследованы процессы десинхронизации и структурообразования в сложных осцилляторных сетях с неодородными асимметричными связями. Известно, что при нарушении глобальной фазовой синхронизации (вызванном, например, уменьшением силы связи) в регулярных и неругулярпых ансамблях наблюдается образование структур (кластеров) синхронизации. Разбиение всей сети на кластеры определяется как ее топологией, так и рапределением собственных частот осцилляторов. Согласно полученным нами результатам, введение весовых коэффициентов для связей между отдельными осцилляторами по предложенному алгоритму позволяет существенно понизить зависимость структуры кластеров синхронизации от распределения частот и усилить зависимоть от топологии сети. В результате, структура кластеров синхронизации, получаемая при изменении контрольного параметра, отражает т.н. модульную структуру сети, т.е. кластеры синхронизации отвечают группам осцилляторов, тесно связанных внутри и менее тесно -между собой.
Таким образом, данный эффект может быть использован для решения прикладной задачи распознавания модулей в сложном графе. Анализ точности и вычислительных затрат (0(N2)) этого метода и сравнение с характеристиками известных методов (не базирующихся па использовании динамических элементов в вершинах графа) показал, что предложенный метод не уступает им в точности, а для графов со слабо выраженной структурой превосходит по точности, а также улучшает показатели вычислительных затрат в случае больших сетей (порядка десятков тысяч узлов). Поэтому особенно перспективным представляется использование метода динамического структурирования для анализа метаболических, белковых, социальных сетей, модульная структура которых определяет их функциональные свойства, а большие размеры требуют черезмерпых временных затрат при современных вычислительных мощностях.
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Работа посвящена развитию теории фазовой хаотической синхронизации и образования структур в сложных сетях элементов с хаотическими колебаниями на нескольких временных масштабах и нерегулярной топологии связей.
Показано, что для широкого класса хаотических осцилляторов с колебаниями па нескольких ярко выраженных временных масштабах фаза и средняя частота колебаний могут быть определены с использованием одного из двух подходов: объединения временных масштабов (когда фаза, объединяющая колебания на всех временных масштабах вводится через мгновенную угловую скорость изображающей точки при движении вдоль фазовой траектории в определенной проекции) или разделения временных масштабов (когда фаза определяется только для одного из временных масштабов). С помощью предложенных методов исследован переход к хаотической синхронизации в хаотических системах с колебаниями на нескольких временных масштабах. На примере хаотической модели Ресслера продемонстрировано, что необходимым условием фазовой синхронизации осцилляторов, допускающих объединение временных масштабов, является установление функциональной связи пе только между фазами, но и амплитудами колебаний взаимодействующих осцилляторов. На примере систем с хаотической перемежаемостью и нейроноподобной береговой динамики связанных лазеров показано, что при разделении временных масштабов на одном из них (как правило, медленном) при увеличении силы связи устанавливаются синхронные колебания, десинхронизующиеся при дальнейшем усилении связи, в то время как на другом колебания остаются несипхронизированными.
Обнаружено, что за счет взаимодействия, коллективной динамики нейроноподобные осцилляторы могут демонстрировать генерацию колебаний на новом, быстром временном масштабе колебаний. Механизмом такой генерации является неустойчивость режима фазовой хаотичекой синхронизации одиночных электрических импульсов (спайков), разделенных большим временным интервалом, при увеличении силы связи выше определенного порогового значения. В результате наблюдается появление быстрых повторных спайков и формирование последовательностей из нескольких электрических импульсов (беретов). Этот эффект был объяснен с помощью анализа структуры фазового пространства автономного осциллятора. Существование обнаруженного механизма было подтверждено для различных типов связи между нейронами, различных математических моделей нейрона, различных вариантов топологии ансамбля, что указывает на общность данного механизма.
Были исследованы механизмы синхронизации между колебаниями на разных временных масштабах. Показано, что области взаимной синхронизации береговых колебаний в малых ансамблях пейроноподобных осцилляторов, генерируемых за счет конкуренции, на субгармониках сравнимы по ширине с полосой синхронизации иа основной частоте. Предложенный метод синхронизации посредством вспомогательного, промежуточного нейронного ансамбля позволяет обеспечить синхронизацию при очень большой кратности отношения частот беретов (порядка 20) при сохранении широких областей синхронизации.
Были изучены процессы формирования структур синхронизации многомасштабпых (береговых) колебаний в нейронных ансамблях с конкуренцией (за счет ингибиторных связей). Установлено, что параметром, определяющим изменение характеристик беретов при усилении взаимного ингибирования является соотношение между длительностью последовательности спайков, образующих берет, и полным периодом берета в автономном нейроне. При наличии узких беретов взаимодействие носит кооперативный характер: не меняя своей структуры береты генерируются последовательно каждым нейроном. При усилении ипгибиторной связи период беретов, среднее число спайков в берете меняются плавно. При наличии широких беретов взаимодействие носит характер конкуренции: сперва усиление ингибирования ведет к разрушению структуры беретов, их укорачиванию, хаотизации, и только затем береты организуются в упорядоченную последовательность.
На базе полученных результатов по процессам образования структур кластерной синхронизации в сетях фазовых осцилляторов с асимметричными неоднородными связями разработан динамический метод анализа структуры больших сложных сетей. Было показано, что он характеризуется более высокой точностью результатов, чем другие известные не динамические методы, а также, асимптотика его вычислительных затрат в сетях большого размера улучшает показатели почти всех имеющихся методов. Поэтому он является крайне перспективным для задач анализа структуры больших метаболических, протеиновых и социальный сетей, недоступных для имеющихся методов при современных вычислительных мощностях.
Необходимо отметить, что полученные результаты вызывают несомненный интерес с точки зрения возможных приложений. Так, рассмотренные закономерности процессов синхронизации колебаний на нескольких временных масштабах могут быть использованы для решения различных прикладных задач, среди которых - создание систем передачи информации на базе хаотического сигнала, разработка широкополосных хаотических радиолокационных систем, а также использование динамического хаоса в криптографических алгоритмах. Общность коллективного механизма генерации беретов в модельных спайко-вых нейронных ансамблях позволяет высказать гипотезу о возможности его наблюдения в нейробиологических экспериментах, а также может объяснять устойчивость и надежность генерации беретов в нейронных ансамблях. Взаимная синхронизация малых ансамблей с ингибиторными беретами на субгармониках, возможно, дает ответ на вопрос о механизме координации ритмов центральной нервной системы, принадлежащих различным частотным диапазонам. Представляется вероятным, что метод динамического анализа с помощью кластерной синхронизации сделает доступным исследование сетей размером порядка десятков и сотен тысяч узлов (метаболических, протеиновых, социальных), которые при существующих вычислительных возможностях персональных компьютеров не поддаются исследованию с помощью других методов.
1. М.И.Рабинович, Д.И.Трубсцков. Введение в теорию колебаний и волн. М.:Наука 1984.
2. Y. Kuramoto, Chemical Oscillations, Waves and Turbulence. Springer: Berlin, 1984.
3. A.C. Пиковский, М.Г. Розенблюм, Ю. Курте, Синхронизация: фундаментальное нелинейное явление, Москва: Техносфера, 2003.
4. В.С.Анищепко, Т.Е.Вадивасова, В.В.Астахов,Нелинейная динамика хаотических и стохастических систем. Саратов: Изд-во Саратовского университета. 1999.
5. S. Boccaletti, J. Kurths, G. Osipov, D. L. Valladares, and C. S. Zhou, Phys.Rep. 366, 1, 2002.
6. M. C. Cross and P. C. Hohenbcrg, Pattern formation outside of equilibrium, Rev. Mod. Phys. 65, 851-1112(1993).
7. I. S. Aranson and L. Kramer, The world of the complex Ginzburg-Landau equation, Rev. Mod. Phys. 74, 99-143 (2002).
8. A.C. Дмитриев, А.И. Панас, Динамический хаос: новые носители информации для систем связи, М.: Издательство Физико-математической литературы, 2002.
9. Y. Buks and M.L.Roukes, Electrically tunable collective response in a coupled micromechanical array, J. Micromech. Sys., 11, p. 802, 2002.
10. R. Mislovaty, E. Klein, I. Kanter, and W. Kinzel, Public channel cryptography by synchronization of neural networks and chaotic maps, Phys. Rev. Lett. 91, p. 118701, 2003.
11. W.-H. Kye et al., Encryption with synchronized time-delayed systems, Phys. Rev. E 71, p. 045202, 2005.
12. E. Klein, R. Mislovaty, I. Kanter, and W. Kinzel, Public-channel cryptography using chaos synchronization, Phys. Rev. E 72, p. 016214, 2005.
13. J.N. Blakely and N.J. Corron, Experimental observation of delay-induced radio frequency chaos in a transmission line oscillator, Chaos 14, 1035 (2004).
14. Fan-Yu Lin and Jia-Ming Liu, IEEE J. of Quantum Electronics, Vol. 40, No. 6, 2004, p. 815.
15. M. I. Rabinovich et al., Dynamical principles of neuroscience, Rev. Mod. Phys. 78, p.1213, 2006.
16. M. C. Cross et al, Synchronization by Nonlinear Frequency Pulling, Phys. Rev. Lett. 93, 224101 (2004).
17. K. Wiesenfeld, P. Colet, and S. H. Strogatz, Synchronization transition in a disordered Josephson series array. Phys. Rev. Lett., 76, 404 (1996).
18. Special focus issue on phase synchronization: Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng. 10,11, 2000.
19. Special focus issues on chaotic synchronization: Chaos 7 (1997) and Chaos 13(1), 2003;
20. И. И. Блехман, Синхронизация в природе и технике, М.: Наука, 1981.
21. А.А. Короновский, А.Е. Храмов, Анализ хаотической синхронизации динамический систем с помощью вейвлетного преобразования, Письма в ЖЭТФ 79, 391-395, 2004.
22. O.E. Rossler, Phys. Lett. A, 57, 397, 1976.
23. G.V. Osipov, B. Hu, Ch. Zhou, M.V. Ivanehenko, J. Kurths, Three types of transition to phase synchronization in coupled chaotic oscillators, Phys. Rev. Lett., 91, p.0241041, 2003.
24. J. Kurths, M.C. Romano, M. Thiel, G.V. Osipov, M.V. Ivanehenko, I.Z. Kiss, J.L. Hudson, Synchronization analysis of coupled noncoherent oscillators, Nonlinear Dynamics, Vol. 44 (1-4), pp. 135-149 (2006).
25. M.A. Zaks, E.-H. Park, M.G. Rosenblum, and J. Kurths, Phys. Rev. Lett., 82, p.4228, 1999.
26. N. F. Rulkov, M. M. Sushchik, L. S. Tsimring, and H. D. I. Abarbanel, Generalized Synchronization Of Chaos In Directionally Coupled Chaotic Systems, Phys. Rev. E 51, p.980, 1995.
27. L. Kocarcv and U. Parlitz, Phys. Rev. Lett. 76, p.1816, 1996.
28. JI. Д. Ландау и E. M. Лифщиц "Механика", 1976.
29. E.N. Lorcnz, J. Atmos. Sci., 20, p.130, 1963.
30. E. Reibold, W. Just, J. Becker, and H. Benner, Stochastic resonance in chaotic spin-wave dynamics, Phys.Rev.Lett., 78, p.3101, 1997.
31. M.V.Ivanchenko, G. V. Osipov, V. D. Shalfeev, J. Kurths, Phase synchronization of chaotic intermittent oscillations, Phys. Rev. Lett. 92, 134101 (2004).
32. G. Ahlers, P. C. Hohenberg and M. Liickc, Thermal-Convection Under External Modulation Of The Driving Force. 1. The Lorenz Model, Phys.Rev. A, 32, p.3493, 1985.
33. J. E. Hirsch, B. A. Huberman, D. J. Scalapino, Intermittency In The Presence Of Noise -A Renormalization-Group Formulation, Phys.Rev. A, 25, 519, 1982.
34. J. K. Bhattacharjee and K. Banerjee, Intermittency In The Presence Of Control-Parameter Modulation, Phys.Rev. A, 29, p.2301, 1984.
35. Nakahara, H.,and K.Doya, Near-saddle-node bifurcation behavior as dynamics in working memory for goal-directed behavior, Neural Comput. 10, p. 113, 1998.
36. Kistler, W. M., and С. I. de Zeeuw, Dynamical working memory and timed responses: The role of reverberating loops in the olivo-cerebellar system, Neural Comput. 14, p.2597, 2002.
37. T. Sugawara, M. Tachikawa, T. Tsukamoto, and T. Shimizu, Observation Of Synchronization In Laser Chaos, Phys. Rev. Lett 72, p.3502, 1994.
38. Y. Liu and J. R. Rios Leite, Phys. Lett. A 191, p.134, 1994.
39. Y. Liu, P. C. de Oliveira, M. B. Danailov, and J. R. Rios Leite, Phys. Rev. A 50, p.3464, 1994.
40. C. S. Zhou, J. Kurths, E. Allaria, S. Boccaletti, R. Meucci, and F. T. Arecchi, Noise-enhanced synchronization of homoclinic chaos in a C02 laser, Phys. Rev. E 67, p.015205, 2003.
41. R. Meucci, E. Allaria, F.Salvadori, and F. T. Arecchi, Attractor selection in chaotic dynamics, Phys. Rev. Lett. 95, p.184101, 2005.
42. R. Meucci, F.Salvadori, M.V.Ivanchenko, K. al Naimee, Ch.Zhou, F. T. Arecchi, J.Kurths, Synchronization of spontaneous bursting in a C02 laser, Phys. Rev. E 74, 066207, 2006.
43. Дж.Николлс, Р.Мартин, Б.Валлас, П.Фукс, От нейрона к мозгу, Москва: Едиториал УРСС, 2003.
44. X.-J.Wang and J. Rinzel, in Handbook of Brain Theory and Neural Networks (ed. M.A.Arbib, Cambridge, MA: MIT Press 1995).
45. E.Marder and R.L.Calabrese, Principles of rhythmic motor pattern generation, Physiol. Rev. 76, p.687, 1996.
46. S. Grillner, The motor infrastructure: From ion channels to neuronal networks, Nature Rev. Neurosci. 4, p.573 , 2003.
47. M. Steriadc, D. A. McCormick, and T. J. Sejnowski, Thalamocortical oscillations in the sleeping and aroused brain, Science 262, p.679, 1993.
48. A.K.Engel, P.Fries, and W.Singer, Dynamic predictions: Oscillations and synchrony in top-down processing, Nat. Rev. Neurosci. 2, p.704, 2001.
49. A. Schnitzler and J. Gross, Normal and pathological oscillatory communication in the brain, Nature Rev. Neurosci. 6, p.285, 2005.
50. J.E.Lisman, Bursts as a unit of neural information: Making unreliable synapses reliable, Trends Neurosci. 20, p.38,1997.
51. W. D. Hutchison et al., J. Neurosci. 24, p.9240, 2004.
52. I. Timofeev and M. Steriadc, Neocortical seizures: Initiation, development and cessation, Neuroscience 123, p.299, 2004.
53. P. Tass et al., Detection of n : m phase locking from noisy data: Application to magnetoencephalography, Phys. Rev. Lett. 81, p.3291, 1998.
54. L. M. Pecora and T. L. Carroll, Master stability functions for synchronized coupled systems, Phys. Rev. Lett. 80, p. 2109, 1998.
55. L. M. Pecora, Synchronization conditions and desynchronizing patterns in coupled limit-cycle and chaotic systems, Phys. Rev. E 58, p.347, 1998.
56. A. Sherman, Antiphase, Asymmetric And Aperiodic Oscillations In Excitable Cells .1. Coupled Bursters, Bull. Math. Biol. 56, p.811, 1994.
57. M. Dhamala, V. K. Jirsa, and M. Ding, Transitions to synchrony in coupled bursting neurons, Phys. Rev. Lett. 92, p.074104, 2004.
58. I. Bclykh, E. de Langc, and M. Hasler, Synchronization of bursting neurons: What matters in the network topology Phys. Rev. Lett. 94, p.188101, 2005.
59. H. D. Abarbanel et al., Synchronized action of synaptically coupled chaotic model neurons, Neural Comput. 8, p.1567, 1996.
60. R. С. Elson et al., Synchronous behavior of two coupled biological neurons, Phys. Rev. Lett. 81, p.5692, 1998;
61. N.F.Rulkov, Regularization of synchronized chaotic bursts, Phys. Rev. Lett. 86, p.183, 2001.
62. M. I. Rabinovich et ai, Dynamical Encoding by Networks of Competing Neuron Groups: Winnerless Competition, Phys. Rev. Lett. 87, p.068102, 2001.
63. R. Levi et al., Dual sensory-motor function for a molluskan statocyst network, J. Neurophysiol. 91, p.336, 2004.
64. R. Levi et al., The role of sensory network dynamics in generating a motor program, J. Neurosci. 25, p.9807, 2005.
65. E. Maeda, H. P. C. Robinson, A. Kawana, The Mechanisms Of Generation And Propagation Of Synchronized Bursting In Developing Networks Of Cortical-Neurons, J.Neurosci. 15, p.6834, 1995.
66. I. Timofeev et al., Origin of slow cortical oscillations in deafferented cortical slabs, Cerebral Cortex 10, p.1185, 2000.
67. V.B.Kazantsev V.I. Nekorkin, S. Binczak, et al., Spiking patterns emerging from wave instabilities in a one-dimensional neural lattice, Phys. Rev. E 68, p.017201, 2003.
68. A.Sherman and J.Rinzel, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 89, p.2471, 1992.
69. C.C.Chow and N.Kopell, Dynamics of spiking neurons with electrical coupling, Neural Comput. 12, p.1643, 2000.
70. A.O.Komendantov and C.C.Canavier, Electrical coupling between model midbrain dopamine neurons: Effects on firing pattern and synchrony, J.Neurophys. 87, p.1526, 2002.
71. G. V. Osipov, M. V. Ivanehenko, J. Kurths, B. Hu, Synchronized chaotic intermittent and spiking behavior in coupled map chains, Phys. Rev. E 71, p.056209, 2005.
72. M.V.Ivanchenko, G.V.Osipov, V.D.Shalfeev, J.Kurths, Network Mechanism for burst generation, Phys. Rev. Lett. 98, 108101 (2007).
73. M.B. Иванченко, Генерация беретов в ансамблях спайковых нейронов с нелокальными связями, Изв. ВУЗов. Прикладная нелинейная динамика, Т.З, 2007.
74. А. О. Komendantov and N. I. Kononenko, Deterministic chaos in mathematical model of pacemaker activity in bursting neurons of snail, Helix pomatia, J. Theor. Biol. 183, 219 (1996).
75. A. Destexhe, Z. F. Mainen, T. J. Sejnowski, An Efficient Method For Computing Synaptic Conductances Based On A Kinetic-Model Of Receptor-Binding, Neural Computation 6 (1) pp. 14-18, 1994.
76. N.F. Rulkov, Modeling of spiking-bursting neural behavior using two-dimensional map, Phys. Rev. E 65, p.041922, 2002.
77. N.F. Rulkov, I. Timofeev, M. Bazhcnov, Oscillations in large-scale cortical networks: Map-based model, J. Сотр. Neuroscience, 17, p.203, 2004.
78. G.B. Ermentrout and N. Kopell, Frequency Plateaus In A Chain Of Weakly Coupled Oscillators .1., I. SIAM J. Math. Anal., 15, p.215, 1984.
79. G. V. Osipov and M. M. Sushchik, Synchronized clusters and multistability in arrays of oscillators with different natural frequencies, Phys.Rev.E, 58, p.7198, 1998.
80. N. F. Rulkov, Regularization of synchronized chaotic bursts, Phys. Rev. Lett. 86, p.183. 2001.
81. D.J. Watts, S.H. Strogatz, Collective dynamics of 'small-world' networks, Nature 393, p.440, 1998.
82. S. H. Strogatz, Exploring complex networks, Collective dynamics of 'small-world' networks, Nature 410, p.268, 2001.
83. V.M. Eguiluz et al., Scale-free brain functional networks, Phys. Rev. Lett., 94, p.018102, 2005.
84. S. Moldakarimov, J. E. Rollenhagen, C. R. Olson, and С. C. Chow, Competitive dynamics in cortical responses to visual stimuli, Journal Of Neurophysiology, 94 (5): 3388-3396, 2005.
85. J. E. Rollenhagen and C. R. Olson, Low-frequency oscillations arising from competitive interactions between visual stimuli in macaque inferotemporal cortex, Journal Of Neurophysiology 94 (5): 3368-3387, 2005.
86. M. I. Rabinovich, A. Volkovskii, A. P. Lecanda, R. Huerta, H. D. I. Abarbanel, and
87. G. Laurent, Dynamical encoding by networks of competing neuron groups: Winnerless competition, Phys. Rev. Lett. 87, p.068102, 2001.
88. G. Laurent, M. Stopfer, R. W. Friedrich, M. I. Rabinovich, A. Volkovskii, and
89. H. D. I. Abarbanel, Odor encoding as an active, dynamical process: Experiments, computation, and theory, Annu. Rev. Neurosci. 24, p.263, 2001.
90. O. Mazor and G. Laurent, Transient dynamics versus fixed points in odor representations by locust antennal lobe projection neurons, Neuron 48, p.661, 2005.
91. R. M. May and W. J. Leonard, SIAM J. Appl. Math. 29, p.243, 1975.
92. F. H. Busse and К. E. Heikes, Convection In A Rotating Layer Simple Case Of Turbulence, Science 208, p.173, 1980.
93. D. Armbruster and P. Chossat, Heteroclinic Orbits In A Spherically Invariant System, Physica D, 50, p.155, 1991.
94. P. Beltrame and C. Egbers, in Progress in Turbulence, ed. by J. Peinke, A. Kittel, S. Barth, and M. Oberlack (Springer, New York, 2005), p. 133.
95. R. Lopez-Ruiz and S. Boccaletti, Symmetry induced heteroclinic cycles in a C02 laser, Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng. 14, p.1121, 2004.
96. F. T. Arecchi, S. Bocaletti, and P. L. Ramazza, Pattern formation and competition in nonlinear optics, Phys. Rep. 318, p.l, 1999.
97. V. S. Afraimovich, M. I. Rabinovich, and P. Varona, Heteroclinic contours in neural ensembles and the winnerless competition principle, Int. J. Bifurcation Chaos Appl. Sci. Eng. 14, p.1195, 2004.
98. M. I. Rabinovich, R. Huerta, and P. Varona, Heteroclinic synchronization: Ultrasubharmonic locking, Phys. Rev. Lett. 96, p.014101, 2006.
99. J. L. Hindmarsh and R. M. Rose, A Model Of Neuronal Bursting Using 3 Coupled ISt Order Differential-Equations, Proc. Roy. Soc. Lond. В 221, p.87, 1984.
100. S. Boccaletti, V. Latora, Y. Moreno, M. Chavez, D.-U. Hwanga, Complex networks: Structure and dynamics, Phys. Rep. 424, p.175, 2006.
101. R. Albert, A.-L. Barabasi, Topology of evolving networks: Local events and universality, Phys. Rev. Lett. 85, p.5234, 2000.
102. A. L. Hodgkin and A. F. Huxley, J. Physiol. 117, p.500, 1952.
103. M.E.J.Newman and M. Girvan, Finding and evaluating community structure in networks, Phys. Rev. E 69, p.026113, 2004.
104. M.E. J.Newman, Analysis of weighted networks, Phys. Rev. E 70, p.056131, 2004.
105. M. R. Garey and D. S. Johnson, Computers and Intractability: A Guide to the Theory of NP-Completeness (W. H. Freeman к Company, 1979).
106. A. Pothen, H. Simon, and K.-P. Liou, Partitioning Sparse Matrices With Eigenvectors Of Graphs, SIAM J. Matrix Anal. Appl. 11, p.430, 1990.
107. S. Wasserman and K. Faust, Social Networks Analysis, (Cambridge University Press, Cambridge, 1994).
108. G. Palla, I. Derenyi, I. Farkas and T. Vicsek, Uncovering the overlapping community structure of complex networks in nature and society, Nature 435, p.814, 2005.
109. I. Derenyi, G. Palla and T. Vicsek, Clique percolation in random networks, Phys. Rev. Lett. 94, p.160202, 2005.
110. W. W. Zachary, J. of Anthropological Res. 33, p.452, 1977.
111. M. Girvan and M. E. J. Newman, Community structure in social and biological networks, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 99, p.7821, 2002.
112. M. E. J. Newman, Fast algorithm for detecting community structure in networks, Phys. Rev. E 69, p.066133, 2004.
113. A. Clauset, M. E. J. Newman, and C. Moore, Finding community structure in very large networks, Phys. Rev. E 70, p. 066111, 2004.
114. F. Radicchi, C. Castellano, F. Cecconi, V. Loreto and D. Parisi, Defining and identifying communities in networks, Proc. Natl. Acad. Sci. USA 101, p. 2658, 2004.
115. R. Guimera and L. A. N. Amaral, Functional cartography of complex metabolic networks, Nature 433, p.895, 2005.
116. A. Arenas, A. Diaz-Guilera and C. J. Рёгег-Vicente, Synchronization reveals topological scales in complex networks, Phys. Rev. Lett. 96, p.114102, 2006.
117. S.Boccaletti, M.V. Ivanchenko, A.Pluchino, V.Latora, A.Rapisada, Dynamical clustering methods to find community structures, ArXiv: physics/0607179 vl.
118. M.Chavez, D.Hwang, A.Amann, H.G.E. Hentschel and S.Boccaletti, Synchronization is enhanced in weighted complex networks, Phys. Rev. Lett. 94, p.218701, 2005.
119. V.N. Belykh, I.V. Belykh, M. Hasler, Connection graph stability method for synchronized coupled chaotic systems, Physica D, 195, p.159, 2004.
120. I.V. Belykh, V.N. Belykh, M. Hasler, Blinking model and synchronization in small-world networks with a time-varying coupling, Physica D, 195, p.188, 2004.
121. S. Fortunato, V. Latora and M. Marchiori, Method to find community structures based on information centrality, Phys. Rev. E 70, p.056104, 2004.
122. G.V. Osipov, M.V. Ivanchenko, Ch. Zhou, J.Kurths, Routes to phase synchronization in coupled chaotic oscillators, Proceedings of NDES, May 18-21, 2003, Switzerland; 189-192.
123. M.V. Ivanehenko, G.V. Osipov, V.D. Shalfeev, Synchronization of Chaotic Oscillators with Type-I Intermittency, Proc. of PhysCon 2003, August 20-22, 2003, Saint Petersburg, Russia, 563-568.
124. M.V.Ivanchenko, G.V.Osipov, Synchronization and desynchronization in chaotic spiking chain ensembles, Proc. of International Symposium on Nonlinear Theory and its Applications, Bruges, Belgium, October 18-21, 2005, pp.703-706.
125. G.V. Osipov, M.V. Ivanehenko, V.D. Shalfeev, J. Kurths, Synchronization of Chaotic Intermittent Behavior, 2nd International Conference Physics and Control, Saint Petersburg, Russia, August 24-26, 2005.
126. M.B. Иванченко, Синхронизация и десинхронизация спайковой ди-намики в ансамблях нейроноподобных осцилляторов, Тезисы конфереп-ции молодых ученых Нелинейные волновые процессы, Нижний Новго-род 1-7 марта 2006 г., стр.71-72.
