Система Власова-Максвелла в ограниченных областях и ее приложения в моделировании процессов магнитной изоляции тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Стационарные и нестационарные решения классической системы Власова-Максвелла

1. Введение в математическую теорию кинетических уравнений

1.1. Характеристическая система

1.2. Системы Власова-Максвелла и Власова-Пуассона

1.3. Слабые решения систем Власова-Пуассона и Власова-Максвелла

1.4. Классические решения систем Власова-Пуассона и Власова-Максвелла

1.5. Кинетические уравнения моделирования полупроводников

2. Стационарные решения системы Власова-Максвелла

2.1. Редукция задачи (2.1)—(2.5) к системе нелинейных эллиптических уравнений

2.2. Редукция системы (2.28), (2.29) к одному уравнению

3. Существование решений краевой задачи (2.40)-(2.42)

2. Бифуркация нелинейных уравнений в банаховых пространствах 84

3. Постановка краевой задачи и задачи о точке бифуркации системы (3.8) 93

4. Вывод уравнения разветвления 107

5. Теорема существования точек бифуркации и построение асимптотических решений 110

6. О точках бифуркации стационарной системы

Власова-Максвелла с бифуркационным направлением 119

Выводы. Итак, мы продемонстрировали возможность эффективного приближенного интегрирования задачи Коши для обобщенного уравне-I ния Лиувилля, основанного на разложении функции плотности распределения по ортогональной системе функций. Данный метод может быть применен как для конечномерных, так и бесконечномерных гамильто-иовых уравнений и систем, пред ставимых в виде дифференциальных уравнений (систем) в частных производных. В случае бесконечномерных .гамильтоновых систем функция Гамильтона аппроксимируется ее ® конечномерным аналогом (например, выбирая функцию распределения в виде дельта-функции). Система ВМ (или ВП) является гамильтоновой с нелокальной (функциональной) скобкой Гамильтона. Аппроксимируя % нелокальный гамильтониан конечномерным, мы можем записать характеристическую систему для уравнения Власова (или уравнения Лиувилля) в виде конечномерной гамильтоновой системы и применить предложенный алгоритм уже для аппроксимации решений системы ВМ с заданной начальной функцией распределения /о(д,р)

Рис. 6: Открытая траектория 1. г — 0.1, р = (в, — й). Восемь коэффициентов разложения. Левая и правая ветви

-зя«об

Р -5е+07 -1е+0й

- . . '.ж* б«+09 !

Рис. 7: Открытая траектория 1. г = 0.1, р — (я, —в). Десять коэффициентов разложения

Рис. 8: Открытая траектория 1. Д = 0.2, г = 0.1, р — (б, —в), а) пять коэффициентов разложения; Ь) шесть коэффициентов разложения

Рис. 9: Открытая траектория 1. Д = 0.2, г = 0.2, р = (s, шесть коэффициентов разложения. Детальный вид для интервалов [у + Ц- — у^], Щ + у^, у ~ foi nfoo 200000 i.2»toe

Рис. 10: Открытая траектория 1 без учета негютенциальных сил. г = ОД, р = (й, —з). Шесть коэффициентов разложения. Интервалы [у, -у], [у,

Рис. 11: Замкнутая траектория 2а. Д = 0.2, г = 0.3, р = (в, а) два коэффициента разложения; Ь) три коэффициента разложения; а, Ь) [Атт, 8я]

1е*08 5е.07

-5е+12

-1е+13

Рис. 12: Замкнутая траектория 2а. А = 0.2, г = 0.3, р = (я, а) четыре коэффициента разложения; Ь) пять коэффициентов разложения; с, с1) шесть коэффициентов разложения; а-с) [47г,б7г]; с!) [127г,147г]; Шесть коэффициентов разложения, развернутый вид, [67Г, 247г] — вид снизу

Рис. 13: Замкнутая траектория 2а. Д = 10, г — 0.01, р = (й, — |). а) два коэффициента разложения; Ь) три коеффициента разложения; Ь,с) [47т, 87г]

Рис. 14: Замкнутая траектория 2а. А = 10, г = 0.01, р = (в, —|). а) четыре коэффициента разложения; Ь) пять коэффициентов разложения; с,с1) шесть коэффициентов разложения; а-с) [47т, 87т]; с!) [1б7г,247г]

150000

100000

50000 Г 2

Рис. 15: Замкнутая траектория 2а. Д — 10,г = 0.01, р = (я, — |). Шесть коэффици-ентоа разложения. Развернутый вид, [67г, 247г]

Ь)

Рис. 16: Замкнутая траектория 2Ь. Д = 10, г — 0.01, р = (я, —§)- а) два коэффициента разложения, [67Г, 187г]; Ь) три коэффициента разложения, [67Г, 127т]

400000 300000 200000 р юоооо {

-100

Рис. 17: Замкнутая траектория 2Ь. Д = 10, г = 0.01, р — (в, — (1) четыре коэффициента разложения, [67г,97г]; е) пять коэффициентов разложения, [б7г,87г]; f) шесть коэффициентов разложения, [67Г, 87г]; g) шесть коэффициентов разложения, [227г, 247т] бе+07 4е+07

Рис. 18: Замкнутая траектория 2а. г — 0.01, р — (з, -в), а) два коэффициента разложения [67г, 187г]; Ь) три коэффициента разложения [б7г, 127г]

2е+15

16+15

О'

3 О

-1е+15 -2й+15

Рис. 19: Замкнутая траектория 2а. г = 0.01, р = -б1)- Десять коэффициентов разложения, [бтг, 12тг].

1.5е+19

Рис. 20: Замкнутая траектория 2а. г — 0.01, р = (5,-5). Десять коэффициентов разложения. Развернутый вид t € [67т, 247т]

Рис. 21: Замкнутая траектория 2Ь. г = 0.01, р = (я, —5). а) два коэффициента разложения [67Г, 187г]; Ь) три коэффициента разложения [67Г, 12тг]

Рис. 22: Замкнутая траектория 2Ь. г = 0,01, р = (я,-б1). Десять коэффициентов разложения, [бтг, 12тг].

1е*15

5«* 14 Р

-1е+15 -1.5а+15 -ае+15

-2е+1в

-4е +1Я

Рис. 23: Замкнутая траектория 2Ь. г = 0.01, р = (з, — з). Десять коэффициентов разложения. Развернутый вид Ь е [б7г, 24л-]

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Цель работы состояла в исследовании кинетической системы Власова-Максвелла в ограниченных областях и ее приложений к задаче моделирования вакуумного диода. В качестве полученных результатов выпишем следующие.

• Доказаны теоремы существования классических стационарных и нестационарных решений системы Власова-Максвелла в ограниченных областях.

• Доказаны теоремы существования бифуркационных решений стационарной системы Власова-Максвелла.

• Изучена стационарная самосогласованная задача магнитной изоляции для вакуумного диода, описываемая сингулярно-возмущенной системой Власова-Максвелла размерности 1.5. Рассмотрены два основных режима работы диода. Первый, когда электроны достигают анода - неизолирующий диод, и второй, когда электроны под действием магнитного поля'возвращаются к катоду - изолирующий диод. В последнем случае, близи катода возникает высокоэнергетический слой электронов, который препятствует движению электронов по направлению к аноду. Для неизолирующего диода доказаны теоремы существования решений для предельной двухточечной сингулярной краевой задачи.

Развит метод нижних-верхних решений для сингулярных дифференциальных систем без условий квазимонотонности. Построены численные алгоритмы решения предельной краевой задачи, реализация которых представлена графически. Проведен качественный анализ полученных результатов.

На защиту выносятся следующие основные результаты:

1)'метод построения решений для стационарной и нестационарной системы ВМ;

2)' теоремы существования решений нелокальных краевых задач для стационарной системы ВМ;

3) теоремы существования решений нелокальной краевой задачи нестационарной системы ВМ;

4) метод изучения бифуркационных решений стационарной системы ВМ;

5) теоремы бифуркации решений краевой задачи стационарной системы ВМ;

6) уравнение разветвления и построение асимптотики нетривиальных ветвей решений;

7)- постановка и исследование задачи магнитной изоляции для вакуумного диода, описываемой релятивистской системой ВМ размерности 1.5;

8) теоремы существования решений сингулярной, краевой задачи магнитной изоляции;

9) численный анализ проблемы магнитной изоляции;

10) метод ортогонального разложения решения обобщенного уравнения Лиувилля;

11) асимптотический анализ уравнения Камассы-Хольма.

1. Арнольд В.И. Математические методы классической механики. — М.: Наука, 1978.

2. Арнольд В.И., Козлов В.В., Нейштадт А.И. Математические аспекты классической и небесной механики // Современные проблемы в математике. Фундаментальные направления. Динамические системы / Под ред. Р.В. Гамкрелидзе. — М.: ВИНИТИ, 1985. — Т. 3. С. 5-304.

3. Арсеньев A.A. Глобальное существование слабого решения системы уравнений Власова // ЖВМиМФ. 1975. - Т. 15. - С. 131-143.

4. Боголюбов H.H. Проблемы динамической теории в статистической физике. — М.: Гос. Тех. Издат., 1946.

5. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. — М.: Наука, 1969.

6. Веденяпин В.В. Краевая задача стационарных уравнений Власова-Пуассона // Докл. АН СССР. 1986. - Т. 290. - С. 777-780.

7. Веденяпин В.В. О классификации стационарных решений уравнения, Власова на торе и краевая задача // Докл. РАН. — 1992. — Т. 323. С. 1004-1006.

8. Веденяпин В.В. Кинетические уравнения Вольцмана и Власова. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. 112 с.

9. Власов A.A. Теория многих частиц. — М.: Наука, 1950.

10. Власов A.A. Статистические функции распределения. — М.: Наука, 1966.

11. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А.Т. Современная геометрия. — М.: Наука, 1979.13