Системы дифференциальных уравнений с однозначными подвижными особыми точками тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

ин^ст

1 1 т5^ЖГкий Г0СУДАРСТВЕННЬ1Й

СТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РЕСПУБЛИКИ БЕЛАРУСЬ

УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

МИХАЙЛОВСКАЯ Людмила Вячеславовна

УДК 517.925

СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОДНОЗНАЧНЫМИ ПОДВИЖНЫМИ ОСОБЫМИ ТОЧКАМИ

Специальность 01.01.02 — дифференциальные уравнения

А В ТО Р Е Ф Е Р А Т

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Минск 1993

Работа выполнена в Белорусском государственном университете.

Научный руководитель - кандидат физико-математических наук, доцент Штатов В.И.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук.

профессор Яблонский А. И. . \ кандидат физико-математических наук, доцент Цегельник В, В.

Ведущая организация г- Гродненсюй государственный университет им. Я.Купалы

Защита состоится " /р" июня 1993 г. в " часов на заседании специализированного совета K056.03.I0 в Белорусском государственном университете по адресу: 220080. Минск, цроспект Ф.Скорины, 4. Белгосуниверситет. главный корпус, ауд. 206.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Белгос-университета.

Автореферат разослан мая 1993 г.

Ученый секретарь специализированного Совета, доцент

Корэкк В.И.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРШГШ РАБОТЫ

Актуальность темы. В большинстве механических, физических и других естественио-научвнх задач. описывакших поведение реальны: объектов, математические модели сводятся к дифференциальным уравнениям или системам дифференциальных уравнений. Однако яе их решение в замкнутой форме возможно только в очень ограниченном число простейших случаев. Поэтому весьма . важна задача изучения свойств решений дифференциальных уравнений и систем таких уравнений непосредственно по их виду. • Тагом образом, основная задача аналитической теории дифференциальных уравнения состоит в установлении связи между аналитическими свойствами функций, входящих в состав данного дифференциального уравнения, и аналитическими свойствами его решений. Проблемы' аналитической теории дифференциальных уравнений значительно усложняются наличием в решениях особых точек, полояенш которых зависит от начальных данных.

Диссертационная работа посвящена выделению классов систем дифференциальных уравнений, решения которых не содержат лодвизшнх критических особых точек. Особое внимание уделено исследованию систем с полиномиальными правши частями, а также системам Гамильтона ввиду их тесной связи с иестио неприводимыми ураЕлешзями Бенлеве.

Иель работы - указание необходимых и достаточных условий, гарантирующих односначность подвижных особых точек рае-гаатркваегшх в диссертации систем, а также установление классов функций, через которно выражаются решения вцделешшх систем.

Столика исследования. В диссертации используются иг-*о-дц и приемы исследования уравнений и систем, восходящие к трудам Брмо и Буке, Л.Фукса. Пуанкаре, Пенлеве. получившие развитие в работах отечественных и зарубежных математиков. в частности, в трудах белорусской школы по дифференциальны« . уравнениям. созданной II. П. Еругинш.

Для проведения преобразований применялась компьютерная система аналитических вычислений.

Научная новизна, г диссертации подучены необходимые (•

достаточные коэффициентные условия однозначности подвижных особенностей автономных систем Гамильтона, нредставлящих собой два сцепленных уравнения Риккати. систем Гамильтона двух уравнений с рациональным гамильтонианом специального ввда. неавтономных кубических систем Гамильтона. Изучены подвижные особенности вырожденных систем Гамильтона. Исследованы на предмет отсутствия подвижных критических особых точек системы BTOi-~j; о порядка, правые части которых - полные - полиномы третьей степени относительно искомых функций с голоморфными по независимой переменной коэффициентами.

Практическая ценность. Работа носит теоретический характер. Eè 'результаты могут быть иснольвовазш яри решении новых эадйч аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, в прикладных задачах механики, физики и других вопросах естествоонания. Диссертация может служить материалом для чтения спецкурса по аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений, а также для чтения неко-■ торнх специальных разделов курса высшей математики.

Апробация работы И. публикации. Материалы диссертации докладывались на республиканских научных чтениях по обнкно-ветшм;да#еренциальнш-уравнениям (Минск, 1990). Межреспубликанской научно-практической конференции творческой цолодв-жи "Актуальные проблемы . информатики: математическое, про' грешное и информационное обеспечение" {Минск, ÏS92), VIII конференции СНГ "КТДУ" (Самарканд, 1992), VI конференции иа-тематиков Беларуси (Гродно. 1932), математической конференции. посвященной 200-летию со дня рождения Н.й. Лобачевского (Минск. 1992), семинарах кафеда дифференциальных уравнений Белгосуниверситета (руководитель - профессор Лукашевич H.A.) и кафедры высшей математики Белорусского оконокнческого университета (руководитель - профессор Яблонский А.И. ).

По теме диссертации опубликовано 8 работ, перечень которых приведен в конце автореферата.

Структура ц объем работы. Диссертация состоит иэ введения. трех глав, включающих 13 параграфов, и списка литературы из 100 наименований. Общий объем работы - 132 страницы машинописного текста.

СОДЕШНИЕ РАБОТЫ

Во введенйи дается краткий обеор литературы, связанной с темой диссертации, обосновывается актуальность темы диссертационной работы и кратко налагается ее содержание.

Первая глава посвящена выделению из автономных систем Гамильтона второго порядка тех систем, решения которых не содержат подвижных критических особых точек.

В § 1.1 кратко изложен обавй метод исследования автономных систем Гамильтона на предмет однозначности подвижных особенностей, основаяннй на том факте, что для автономной системы вида

$ - 5у Н(х.у) = Их.у). - " ж Н(х,у> з О(х.у) (I) равенство

Н(х.у> - С - О. (2)

где С - произвольная постоянная, является первым интегралом. С его помощью систему (1> можно свести к уравнению первого порядка относительно одной ¡ю искомых функций вида

п

^ А.Ы («•>"-■>- О. . (3>

где А 3 (ы) - ыногочленн по * с постоянными комплексноэнач-шош коэффициентами.

Уравнения ке вида (3) на предмет отсутствия подвижных критических особых точек исследуются с поьюку>ю теоремы Л. Фукса. Однако практическая нроверр"1 принадлежности этих уравнений классу ■ Пенлеве сопряжена с трудностями проверю! двух последних условий вшенаэванпой теоремы. Поэтому, рассматриваемые системы путем линейных преобраоований искомых функций будем приводить к такому вцду. чтобы для соответствующих ему уравнений типа (3) условия теоремы Фукса были очевидными или легко проверявшими. либо система интегрировалась в явном ввда.

§ 1.2 посвящен исследованию вншеукаоанным методом автономной системы Гамильтона вида

¿X Э . „ с!у 0

— - — Н(х,у) = Рэ<х.у>. — ----г Н(х,у) в (Нх.у), (4)

(к Эу & Эх

где Р3<х.у>. 0,{х.у) - кубические полиномы относительно искомых функций. В общем случае данная система в связи с наличием первого интеграла равносильна двум уравнениям вида '3) с п-4. Иэ второго требования теоремы фукса следуют четыре серии необходимых условий, налагаемых на коэффициенты системы (4). Линейное преобразование

х(г) х(г) * й у(г) , у(г> - у(г) .

С с учетом полученных необходимых условий и соответствующим выбором и ) приводит систему к такому виду, что одна компонента ее решения удовлетворяет уравнению

где Аа(х) - полином четвертой степени, интегрируемому в эллиптических функциях. Вторая же компонента решения выражается рациональным образом через первую и ее производную. Таким образом. полученные необходимые условия являются и достаточными для принадлежности системы (4) Р-типу,

В § 1.3 поставлена задача: из невырожденных систем Гамильтона. представляю®« собой два автономных сцепленных уравнения Риккати. выделить те. решения которых не содержат подвижных критических точек. Сначала восстанавливается гамильтониан исследуемых систем:

Затем доказывается, что система с гамильтонианом ввда <53 в случаях а) п*4. к>4, б) п-в. к>3, в) п>3. к-3 заведом^ не является системой Р-типа.

Исследование остальных возможностей приводит к следующей теореме.

ТЕОРЕМА 1. Решения системы Гамильтона, состоящей из двух автономных сцепленных уравнений Риккати, не им?ют критических особенностей в том и только в том случае, если ее гами-

(6)

яьтониав принимает один иэ приведенных в диссертации видов. ...

В §1.4 решена оадача исследования подвижных особых точек автономных вырожденных систем Гамильтона. Доказана

ТЕОРЕМД Из всех автономных вырожденных систем Гамильтона Р-свойством обладают лишь системы вида:

- «о ♦ «.* + «»К*.

Ш " "а * а1Х * а*У * "«ХУ * 0ву4+ Г*У**- ■ • * ГпУ•

(7)

f-fl.-y.l-y.

"В §1.5 для автономных систем Гамильтона с радиоввльшш гамильтонианом вида

« у1» о *у ♦ ».Xя* с«,у * «„X + О.

Н<х,у> - —-—-2---5-£ (8)

. (1,у * + р0

(исходя иэ второго требования теоремы Фукса) гголученн необходимые условия прикадлеаиости исследуемой системы классу Пенлеве:

2« 0 Р ~ а П р , «Лй - ИЛ» & в' о 4 я о г' < & Я

Р.а А Р — а р р * а р р - <ж (Г ь и1 « о »' »' о «' а » х

Оказывается. что при выполнении отих условий исследуемая система интегрируется в явном виде, причем в качестве под-ыдашх особенностей ее решения могут к^еть лишь полюсы первого порядка.

Ш)Р£ИА 2. Решения автономной системы Гамильтона с гамильтонианом авда (8) не имеют лодвщпшх многозначных особых точек тогда и только тогда, когда ее коэффициенты удовлетворяют условиям О).

Во второй главе рассматриваются неавтономные системы Гамильтона второго поредка.

В § ЯД кратко изложен уэработаяный Шнлеве и используемый в работе метод малого параметра, а такке приведена

употребляемая в дальнейшем схема исследования, в соответствии с которой в §§ 2.2.' 2.5 данной главы рассмотрены квадратичные и кубические системы Гамильтона. Эта схема заключает-• ся в следующем: удачно выбранной комбинацией линейных преобразований (с учетом требований теоремы Л. Фукса и необход"мых условий принадлежности упрощенных систем Р-типу) приводим исследуемую систему к такому виду, что одна из составляющих ее решения является общим реиением дифференциального уравнения второго порядка

х" - A0(x.z>x'3 At(x.z)x* * Аг(х.2> <10)

а вторая составляющая

у ~ R(z. х. х'>, где R - рациональная функция относительно х. х'.

Уравнение второго порядка, если оно принадлежит Р-типу, приводится стандартной форме (т.е. к такой, что A0(x.z) принимает одну ио восьми независимых форм, необходимых для однозначности реиепий уравнений вида (10)). Далее из дробно-лине&аих преобразований искомой функции с аналитическими коэффициентами и аншштических преобразований независимой переменной

a(z)W ♦ b(z)

х -- , Z = *>(z)

c(z)W * d(z)

вдцеляотся те преобразования, которые сохраняют полученную форму ao(x.z). Затем находятся необходимые и достаточные условия. которым должны удовлетворять коэффициенты уравнения (10), чтобы оно могло быть приведено с помощью выделенных преобразований в одно ио 50 канонических уравнений Р-типа.

Подученные результаты позволяют сформулировать теорему.

ТЕОРЕМА А. Для отсутствия у решений кубических систем Гамильтона подвижных критических особенностей необходимо и достаточно, чтобы ее коэффициенты удовлетворяли одному из ариведенных в диссертации условий.

В § 2.3 рассматриваются неавтономные кубические системы Гамильтона, имеющие автономий первый интеграл в виде поликома второй степени. Получена лемма, дающая необходимые и достаточные условия существования такого интеграла. Затем

доказана

ТЕОРЕМА 5. Кубические системы Гамильтона при условиях существования первого интеграла в виде полинома второй степени относительно искомых функций, являются системами Р-типа и интегрируются в явном виде через экспоненциальные функции.

В § 2.4 для неавтономных кубических систем Гамильтона найдены необходимые и достаточные условия существования неавтономного квадратичного первого интеграла и докаоана

ТЕОРЕМА б. Неавтономные кубические системы Гамильтона, имеющие первый интеграл в виде полинома второй степени, об- • ладают свойством Пенлев£.

В I 2.5 изучены подвижные особенности вырожденных систем Гамильтона. Доказана

ТЕОРЕМА 7- Неавтономные вырожденные системы Гамильтона вида (6), (7). где . гп~гп<г) -

голоморфные функции т. в некоторой области 0. в конечной части плоскости наряду с однозначными подвиаными полярными особенностями могут иметь логарифмические подвижные особенности.

Третья глава диссертации посвящена исследования систем обыкновенных 'да^ференциальных уравнений второго порядка, правые части которых --полиномы третьей стелешь по зависимым переменным с голоморфными коэффициентам«.

В I 3.1 дана методика исследования таких систем па предмет, однозначности'подвижных особых точек. Используя метод малого варакетра доказано, что кубическую систему, если от обладает свойством Пенлеве. с помощью линейных невырожденных преобразований искомых функций можно привести к виду, допускаадему сведите данной системы к нелинейному дк#ереа-циалшому урашешго второго порядка, правая часть которого -ращкшалььая функция по вависимой переменной и еэ производной.

Доказаны две теоремы, дакзие необходимые условия того, чтобы решили кубической системы ди^ренциальных уравнений были свобода от ююгооначшд додвгаяшх особенностей.

В случае выполнения полученных условий исследуемая систем ■'.■••■

где Р3<х,у), О^х.у) - кубические полиномы относительно искомых функций, путем линейного преобразования

х(г) -{1 ■<• р(г)»(г^х(г) + »(г)у(г). у(г) - *>(2)х<2) ♦ у(г) с соответствующим выбором /Чг) и приводится к ввду: ^ - «0» + с»ау + оаХЯ+ а4Ху ♦ а„У** а7Х*у «,хуЯ, ^ - ''о* * ''яУ - * "»У®* * Аакуя,

где - голоморфные функции г.

Если вншезаписанная система принадлежит Р-типу. то необходимо выполнение одного из условий: I) «в» 0{

2) /)вЕ'0; 3) /».В -а7, а 4) с.,* /Э^

(приведенный факт следует но рассмотрения системы уравнений Врио и Буке, к которой преобразуется упрощенная систетаХ Изучение каждого из полученных вариантов позволяет выписать с точностью до невырояденных аффинных преобразований искомых функций и аналитической замены независимой переменной канонические типы систем, решения которых могут иметь только одиозна^© подвижные особенности.

В § 3.2 приведен пример исследования неавтономной кубической системы на предает отсутствия подвижных критических особых точек.

На заииту выносятся слелуюше результаты:

- необходимые и достаточные условия однозначности решений автономных систем Гамильтона, вредставдявди собой два сцепленных уравнения Риккати; -

- исследование систем Гамильтона двух уравнений о рациональным гамильтонианом специального вида на предмет отсутствия подвижных критических особенностей;

- необходимые и достаточные условия обладания свойством Пенлеве неавтономных систем Гамильтона с кубическими нели-нейностями;

- исследование подвижных особенностей выровдешшг сис-

тем Гамильтряа. как автономных, так и неавтономных;

- методика исследования неавтономных систем второго порядка. правые части которых - полные полиномы третьей степени относительно искомых функций с голоморфными по независимой переменной коэффициентами - на предмет однозначности подвижных особенностей.

Основные результаты диссертации опубликованы в следу»- ■ ' щих работах:

1. Сабынич Л. В. Исследование подвижных особых точек вырожденных систем Гамильтона. Респ. научн. чтения по ОДУ. Тез. докл.: Минск. 1990. с.87-88.

2. Сабынич Л.В. Исследование подвижных особенностей некоторых автономных систем Гамильтона. Минск, 1991.- 7с. -Деп. в ВИНИТИ 08.02.1991. М 650-Б91.

3. Мататов В.И.. Сабынич Л.В. О подвижных особенностях автономных систем Гамильтона. Минск. 1991,- 8с.- Деп. в ВИШИ 09.04.1991. М 1532-В91.

4. Сабынич Л.В. О подвижных особых точках систем Гамильтона, имеющих квадратичный первый интеграл. Минск. 1991.- 12с.-Деп. в ВИШНИ 13.II.1991. « 4390-В91.

-5. Мататов В.И.. Сабынич Л.В. К вопросу о подвижных особенностях системы Гамильтона второго порядка // Вестник ЕГО. сер.Г. 1992, М I. с.48-50.

6. Мататов В.И., Сабынич Л.В. О подвижных особенностях автономных систем двух дифференциальных уравнений с кубичес-

. ними нелинейностями. VIII конференция СНГ. Качественная теория ди$ферендиальных уравнений. Тез. докл.: Самарканд. 1992. с.72.

7. Мататов В.И.. Сабынич Л.В. Об условиях однозначности подвижных особых точек неавтономной системы двух дифференци- ■ альных уравнений с кубическими нелинейностями.VI конференция математиков Беларуси. Тез. докл.. 1992. ч.Ш. с.57.

8. Мататов В. И.. Сабынич Л. В. Исследование подвижных особенностей неавтономных систем ГамкльтоЕа с кубическими нелинейностями // Вестник БГУ. сер.1. 1993. № 2.

Подписано к печати >ХС53) Формат 60x841/16 Усл.печ.'л. Тираж /СО. эка Заказ

ИПП Госэкономплана Республики Беларусь.