Системы образующих для централизаторов элементов группы кос тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Введение.

§ I. Основные понятия и некоторые леммы о равенстве слов в полугруппе .;.

§ 2. Централизаторы элементов вида (А ^ ^ у, Я Др, ^) и .'.'.'.

§ 3, Централизаторы элементов вида А { ц и

§ 4. Централизаторы элементов вида Д«

§ 5. Централизаторы конечных множеств элементов группы ко е.

а£, ь%> .>-, i1) и определяющими соотношениями aiQfaA ilLiM> (з)

Это задание группы кос было предложено Э.Артином в 1926 году [l] . Исследованию групп кос было посвящено большое число работ разных авторов, среди них имеются две монографии ([2] , [з])и два обзора ^[4] , [5]) . Интерес к группам кос первоначально был вызван весьма старой и интересной проблемой тополо-* гии - проблемой классификации узлов ( см. [б] , [7] , [з]) •

Проблема равенства слов в группе кос была решена Артином ( М » [б]) • В работе [9] Чкоу доказал, что центр группы кос порождается элементом йх С1Л . <2 п ) П+\ Ф. Г ар сайд в работе [ю] решил проблем сопряжённости, введя при этом очень важное в исследовании группы кос слово д х а±аdri Q>±Q.Z. (Хм ••• а±аьа1 и доказал, что 4 коммутирует со ъсзми образущиш.

В работе [в] Артин поставил вопрос об описании всех кос, комадупфующих в о данной косой, то есть об описании централизатора данной косы. Исследованию этой проблемы Артина были посвящены работы [l£J и [12] . В работе [и] было получено некоторое описание нормализаторов для l -чистех кос. Поня тие 1 -чистой косы было введено Артином. Так он назвал косы , реализующие единичную подстановку и цреврацащиеся в единичную косу при удалении I -ой нити. В работе Г.С.Маканина [12J был построен алгоритм для нахождения конечной системы образующих нормализатора любой заданной косы и получена оценка для числа образующих. Однако, этот алгоритм так же, как и результат работы [ll] , не даёт явного описания образующих нормализатора,

В §1 диссертация приводятся основные понятия, относящиеся -к группе и полугруппе кос, доказывается ряд лемм о преобразованиях слое в полугруппе кос. Эти леммы нужны для доказательства, основных результатов диссертации, содержащихся в §§ 2-.5. Пусть 1 ^ L £ Ит Обозначим

-aiaitJ.aj , Ь-л aja^. aL и

Ai j-t. Ai,i+jA-hi.

J d • A R

Будем считать, что при l>j A -Lfj e °j,L пусты. &

В §2 доказывается, что централизаторы элементов

А Ч В],гАг,кВкЛ) $ (I - г ij * К , i, >о) порождаются всеми образующими группы ^п.Р отличными от a-i-l>ai,CLt, Q-j+ififij* ■ элементами

M,j Ah* B^i , Л*

At-i,K . A i-f, — (s)

••• Ьк+р, i+p-i )(A i+f>'i, H+f-A i)K+i

Вк,м+гу)( А г, к — Ay, иг) (А к+y.j-1 у-i-i'"

Ai+i, • • )' р+г+L-K-j +1 3j, t-l ) Аг,к i+l ? K+y-t-i

Централизатор элемента

К. Кг hi M* a***J**> порождается всеми образующими группы J&n+i .кроме Q-lri

CL-c, О,j+i , и словами (4) , (б) , (б) ,Аг,нВнЛ Ац В-9% f

А2 и

K,M+z-j-i)(At.tfK . Ay^K+J-t+i)' где Ь^у^г И

Централизатор элемента $ hj Bj.tAuB+t) а***;**, п ор ождает ся ь семи образующими группы .отличными от л

CLt'i,Qt,&j+i K+i j и словами (4) , (б] , (б^ А ftp+l-z+i, p+i-j-ti " • £>K, к+г-j )[Ap+i'j,K - * A (AK+j'p-i+z-ljM+ft-p-l+j'l-' A i+i^d) hljK BKjъ y тде j * К и i+i ± (j, £ p+i-j+J- •

Централизатор элемента

AiiH B„t BjJ 2 iиг v игг~с >0) порождается всеми образующими группы отличными от и

Q-K+i, и словами Л, А1гцВн>гАЬ: &:,i9 (4) , (5) , (б) и ' '

Qp-n-i+i, Up-y-' В х, х+г-j-i )(Ai+pj-i,K•** & fi-/>+l)' где и Z £ ^ ~ •

§ 2 также доказано,что центраяизатop элемента (В^А^) при t порождается элементами (4 J - (б) и всеми образующими группы КОС^ ОТЛИЧНЫМИ ОТ &i-± <2 K+i .

Б §3.доказывается, что централизатор элемента А[3к по~ рождается элементами , (■4) ~ (б) и

Q-i, а2,.CLi-i, ак+2>., ап f (7J а централизатор элемента В порождается элементами (4)-(?J и элементом ;.

Б§4 доказывается , что централизатор элемента /л порождается элементами (4) - (?) и элементами

L ^ J aC+j,eCJ1Ii

I fy+j^T'^i+j, если д%-Ь а централизатор элемента порождается элементами (4) - (j?) и образующими , v

Из этого результата при И- I получается, что централизатор любой ненулевой степени образующей CL 'L группы порождав тся элементами а^а^.^а^Д^а^.; а и Q>L ^ i / где 1 L £ L I, и

Q-^lQlh. <2,>t &1+2-1 a^—a^ ai+za£ a^o) где i £ г £ /г-Z.

Указанные во всех перечисленных выше результатах системы образующих не являются независимыми. Так, в лемме 32 установлено, что при 1 + К £ /г+4. слсва (б) выражаются через слова (б) и (4), а при 1 слова (б) выражаются через слова (А) и б). Кроме того, во всех четырёх утверждениях теоремы 2 из § 2 д Z слово Д можно исключить из числа образующих централизатора, так как оно выражается через остальные образующие. Есть основания предполагать, что после указанных сокращений получаются независимые системы образующих для рассматриваемых централизаторов, но автор не имеет строгого доказательства этого утверждения. В § 5 доказывается, что централизатор любого данного конечного множества элементов группы кос порождается конечным числом образующих, и указывается алгоритм, выдающий искомую конечную систему образующих такого централизатора. Это есть обобщение опубликованного в работе [12] аналогичного результата Г.С.Макани-на для централизатора одного элемента.

Основные результаты диссертации докладывались на семинаре по алгоритмическим вопросам алгебры и логики МГУ им. М.В.Ломоносова и на семинаре отдела математической логики Математического института имени В.А.Стеклова АН СССР. Они опубликованы в работах [16] , [l7] и [l8] .

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю Г.С.Маканину за постоянное внимание к работе.

1. Artin E. Theorie der Z.opfe, Abh. math. Semin. Hamburg Univ., 4 (1926), 47-72.

2. Марков А.А., Алгебраическая теория кос, Труды Матем.ин-та им.В.А.Стеклова, т.16, 1945.

3. Birman J.S. Braids, links, and mapping class groups, Ann, Math. Stud. 1974, И 82, X, 229 pp.

4. Magnus W., Braud groups: a survey. Lect. Notes Math., 1974, 372, 465-487.

5. Лин В.Я., Косы Артина и связанные с ними группы и пространства, Алгебра. Топология. Геометрия., т.17, М., 1979.

6. Artin Е. The theory of braids. Amer. Sci., 1960, 38, 112119.

7. Markov A.A., Uber die dreie Aquivalenz geschlossener Zopfe,A 'Eecueil Mathematique Moscou, 1, pp.73-78.

8. Artin E., Theory of Braids, Ann. Math. 48 (1947), 101-126.

9. Chow W.L., On the algebraic braid group, Ann. Math;, 49 (1948).

10. Гарсайд Ф.Л., 0 группе кос и других группах, ^Математика", 14:4, 1970, II7-I42.

11. Burde G., Uber Normalisatoren der Zopf gruppe, Abh. Math. Semin. Hamburg Univ. 27 (1964), 97-115".

12. Маканин Г.С., О нормализаторах группы кос, Матем.сб., т.86 (128), 1971, lh 2 (10), I7I-I79.

13. Стышнев В.Б., Извлечения корня в группе кос, Известия АН СССР, сер.мат., т.42, № 6, 1978, II20-II3I,

14. Адян С.И., О фрагментах слова А в группе кос. Матем. заметки, 1984, т.36, № I, 25-34.

15. McCool iT., On reducible braids, Word Problem II, North-Holland Publishing Company (1980), pp.261-295.

16. Гурзо Г.Г., Системы образующих для нормализаторов некоторых элементов группы кос, Известия АН СССР, сер.мат., т.48, № 3, 1984, 476-519.

17. Гурзо Г.Г., 0 централизаторах конечно- порождённых подгрупп группы кос, IX Всесоюзный симпозиум по теории групп, Москва, 1984.

18. Гурзо Г.Г., 0 централизаторах конечных множеств элементов группы кос, Мат.зам., т.37, № I, 1985г., 3-6.