Слабо симметрические и коммутативные однородные римановы пространства тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

Московский Государственный Университет имени М.В.Ломоносова

Механико-математический факультет

Слабо симметрические и коммутативные однородные римановы пространства

01.01.06 - математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

на правах рукописи

УДК 514.75

ЯКИМОВА ОКСАНА СЕРГЕЕВНА

МОСКВА 2004

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры механико-математического факультета Московского Государственного Университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель

доктор физико-математических наук профессор Э.Б. Винберг.

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук профессор А.В. Болсинов; доктор физико-математических наук профессор А.Л.Онищик.

Ведущая организация

Институт проблем передачи информации РАН.

Защита дисертации состоится "16" апреля 2004 г. в 16 ч. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу: 119992-ГСП-2, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан "16" марта 2004 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.84 в МГУ доктор физико-математических наук,

профессор

В.Н.Чубариков

Общая характеристика работы

Актуальность темы

Коммутативные однородные римановы пространства групп Ли могут быть охарактеризованы несколькими эквивалентными условиями, относящимися к различным областям математики. Одно из возможных определений состоит в следующем, если представление группы Ли G в пространстве L2(G/K) имеет простой спектр, то однородное пространство G/K называется коммутативным. В этом случае пара (G, К) называется также парой Гельфанда. Однородные пространства, удовлетворяющие данному условию, впервые появились в работе Гельфанда1. Другим эквивалентным условием является коммутативность алгебры G-инвариантных дифференциальных операторов V{G/K)g.

Симметрические однородные пространства, введенные Эли Картаном относятся к классу коммутативных пространств. Эти пространства хорошо изучены. Известна их классификация, разработан гармонический анализ на них. Коммутативность алгебры инвариантных дифференциальных операторов позволяет рассматривать их общие собственные функции. Собственные функции алгебры инвариантные относи-

тельно подгруппы К, называются сферическими функциями на X. В частности, так возникают многие специальные функции. Интересные

комбинаторные результаты были также получены для некоторых дру-

2

гих коммутативных пространств .

Можно сформулировать более общее геометрическое условие, обеспечивающее коммутативность. В работе, посвященной формуле следа3, Сельберг ввел понятие слабо симметрического однородного пространства и доказал коммутативность алгебры инвариантных дифференци-

'И.М. ГельФАНД, Сферические функции на симметрических римановых пространствах, ДАН, 70(1950), С. 5-8.

2С. BENSON, G. RatCLIFF, Combinatorici and tpherical functiom on the Heisenberg group, Repreeent. Theory 2 (1998), 79-105.

3A. Selberg, Harmonie analysii and dtscontinuous groups in weakly Symmetrie Riemannian «расе* with application» to Dirichlet series, J. Iodian Math. Soc. 20(1956), 47-87.

альных операторов на таких пространствах. Сельберг отметил, что, хотя в его работе формула следа выведена для слабо симметрических пространств, она верна также и для коммутативных пространств. До недавнего времени вопрос о совпадении этих двух классов однородных пространств оставался открытым. В 2000 году Лорэ4 придумал первый пример коммутативного, но не слабо симметрического однородного пространства.

Ясно, что любое симметрическое пространство является также слабо симметрическим. Также ясно, что второй класс пространств шире, это отметил и сам Сельберг. В последнее время геометрические свойства слабо симметрических пространств изучались в работах Берндта, Ванхеке и Прюфера5. Этими авторами были построены новые несимметрические слабо симметрические однородные пространства. Их работы также показывают, что слабо симметрические пространства обладают достаточно интересной геометрией.

В случае редуктивной группы G условия слабой симметричности и коммутативности эквивалентны. Более того, как доказано в работе Ахиезера и Винберга6, слабо симметрические однородные пространства редуктивных групп - это вещественные формы аффинных сферических однородных пространств. Последние пространства классифицированы Кремером7, Брионом8 и Микитюком9. Отметим, что в этих классификациях содержаться небольшие неточности, исправленные в диссертации. В работе Микитюка также доказано, что условие сферичности однородного пространства G/K редуктивной группы G эквивалентно условию

4J. Lauret, Commutative sраса uihich ате not weakly Symmetrie, Bull. LMS 30(1998), 29-37.

*J. Berndt, F. Prüfer, and L. Vanhecke, Symmetric-like Riemannian manifolds and geodesic symmetries, Proc. Royal Soc. Edinburgh, Sect.A 125 (1995), 265-282.

eD.N. Akhiezer and E.B. Vinberg, Weakly Symmetrie spaces and spherical varieties, Transformation Groups 4(1999), 12-16.

7M. KRÄMER, Sphärische Untergruppen in kompakten zusammenhängenden Liegruppen, Compositio Math. 38 (1979), 129-153.

*M. Brion, Classification des espaces homogines sphirigues, Compositio Math. 63(1987), 189-208.

*И.В. Микитюк, Об интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем с однородными конфигурационными пространствами, Матем. Сб. т.129(1986), С. 514-534.

интегрируемости в классе интегралов Нётер произвольных гамильтоно-вых систем на кокасательном расслоении T*(GfK) с G- инвариантными гамильтонианами. В случае произвольной группы Ли понятие сферического однородного пространства не имеет смысла. Его естественной заменой служит понятие слабо симметрического пространства. Было бы интересно понять, следует ли в общем случае из условия слабой симметричности условие интегрируемости в классе интегралов Нётер.

Пусть группа G есть полупрямое произведение компактной и нильпо-тентной группы Если однородное пространство на-

зываемое пространством гейзенбергова типа, коммутативно, то алгебра Ли n = LieN не более чем двух ступенно нильпотентна10. В работе9 также получена классификация коммутативных однородных пространств гейзенбергова типа при условиях, что центр алгебры п совпадает с её коммутантом п' и dimn' = 1. Винбергом11 получена классификация коммутативных однородных пространств гейзенбергова типа при условии неприводимости действия

Методы исследования.

В работе используются методы теории инвариантов, теории групп и алгебр Ли, теории представлений. Классификация пар Гельфанда получена при помощи доказанного в работе критерия коммутативности. Кроме того используются работы Онищика о классификации разложений компактных групп Ли и Элашвили о классификации линейных представлений простых алгебр Ли с нетривиальным стабилизатором общего положения.

,0С. Benson, J. Jenkins, and G. Ratcliff, On Gel/and pairs associated with solvable Lie groups, TYans. AMS 321 (1990), 85-116.

"Э.Б. Винверг, Коммутативные однородные пространства гейзенбергова типа, Труды ММО, т.64 (2003), С. 54-89.

Цель работы

Целями работы являются классификация и изучение различных свойств пар Гельфанда.

Научная новизна

Основные результаты диссертации являются новыми и заключаются в следующем:

1) Завершена классификация сферических аффинных однородных пространств и получена классификация их вещественных форм, т.е., слабо симметрических однородных пространств редуктивных групп Ли.

2) Описаны слабо симметрические структуры на однородных пространствах редуктивных групп Ли.

3) Описаны несимметрические слабо симметрические римановы многообразия с редуктивной группой изометрий.

4) Получен эффективный критерий коммутативности однородного пространства произвольной вещественной группы Ли.

5) Получена классификация коммутативных однородных пространств при некоторых технических ограничениях.

Теоретическая и практическая ценность

Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы в различных задачах теории групп Ли, теории представлений, гармонического анализа на однородных пространствах, теории инвариантов. Полученные результаты могут быть полезны специалистам, работающим в МГУ имени М.В. Ломоносова, Ярославском и Тамбовском университетах, НМУ, МИ им. В.А. Стеклова РАН, СПбГУ, ИТЭФ РАН.

Апробация работы

Результаты диссертации докладывались в 2001, 2002 и 2003 годах на семинаре "Группы Ли и теория инвариантов" под руководством профессоров Э.Б. Винберга и А.Л. Онищика на мех-мате МГУ; на научно-исследовательском семинаре кафедры высшей алгебры под руководством профессора В.Н. Латышева на мех-мате МГУ; на международных конференциях "Классическая теория инвариантов" (Кингстон, Канада, 2002 год) и 'Теория Ли" (Твенте, Голландия, 2002 год).

Публикации

Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах автора, список которых приведён в конце автореферата.

Структура диссертации

Диссертация состоит из введения и трёх глав, разбитых на параграфы. Текст диссертации изложен на 80 страницах. Список литературы содержит 27 наименований.

Содержание работы

Во введении даётся краткий исторический обзор, излагаются результаты диссертации и фиксируются основные обозначения и соглашения.

Первая глава посвящена слабо симметрическим однородным пространствам редуктивных групп.

Пусть - связное риманово многообразие, причем действие

О : X группы О на пространстве X локально эффективно. Предположим, что автоморфизм а 6 АШ;((7, К) группы О сохраняет подгруппу К. Тогда он индуцирует преобразование в на пространстве X по формуле з{дК) := с(д)К.

Определение 1 Однородное пространство X называется слабо симметрическим относительно а, если для любых двух точек х,у Е X существует такой элемент д € Ст, что дх = ву, ду = вх. Однородное пространство X называется слабо симметрическим, если оно слабо симметрично относительно некоторого автоморфизма а.

Как уже отмечалось, слабо симметрические однородные пространства редуктивных групп Ли являются вещественными формами аффинных сферических однородных пространств. В первом параграфе устранены пробелы в классификации сферических аффинны однородных пространств, полученной Брионом и Микитюком, а также классифицированы вещественные формы этих пространств.

Пусть (С?(С), Н) - сферическая пара, причём группы С(С) и #связны. Опишем соответствующие ей вещественные слабо симметрические пары Будем называть вещественной формой комплексной группы Ли множество неподвижных точек вещественной структуры, т.е., антиголоморфной инволюции. Группа К является максимальной компактной подгруппой группы Я. Любая вещественная форма G группы С»(С), содержащая К] определяет слабо симметрическое однородное пространство Более того, все они могут быть получены таким образом, с точностью до локального изоморфизма. Группа К всегда содержится в максимальной компактной подгруппе

Теорема 1 Если О - некомпактная связная вещественная форма группы С(С), содержащая К, то в = (С(С)Г!Р)0, К = НТ, где ц> - инволюция группы С(С), действующая на подгруппе Нтождественно, а т - компактная вещественная структура, коммутирующая с инволюцией <р и сохраняющая подгруппу Н.

Назовем автоморфизм а 6 Аи1((7, К) правильным, если он определяет на однородном пространстве структуру слабо симметриче-

ского пространства, т.е., если X слабо симметрично относительно а. Обозначим через а(д) сопряжение в группе G элементом д 6 С. Следу-

ющая теорема верна для слабо симметрических пространств произвольных групп Ли.

Теорема 2 Пусть а - правильный автоморфизм пары (С, К) и п 6 ЩЮ. Тогда автоморфизм а(п)ст тоже правильный.

С[С(С)/Я]= 0 7л,

- разложение в сумму неприводимых G(С)-инвариантных подпространств.

При помощи следующей теоремы мы классифицируем все правильные автоморфизмы слабо симметрических однородных пространств редук-тивных групп Ли.

Теорема.3,Автоморфизм а £ Аи1((7, К) является правильным тогда и только тогда, когда с(^) = для любого веса А € А(Х).

Пусть однородное пространство слабо симметрично отно-

сительно автоморфизма с. Введем на пространстве X G-инвариантную риманову метрику. Она автоматически будет также -инвариантной. Риманово многообразие X вполне может быть симметрическим, даже если С ¡К не являлось симметрическим однородным пространством. Так, например, нечетномерная сфера явля-

ется симметрическим римановым многообразием и несимметрическим слабо симметрическим однородным пространством группы Для

того чтобы понять, является ли заданная на X риманова метрика симметрической, достаточно найти группу изометрий пары (Х,ц) или её связную компоненту

Определение 2 Однородное пространство О/К называетсянеразло-жимым, если его нельзя представить в виде произведения С\)К\ X где Я ~ х <?2, К - Кх х К2.

Для некомпактных многообразий верно следующее

Теорема 4 Неразложимое (в смысле однородных пространств) несимметрическое некомпактное однородное пространство полупростой группы О не является симметрическим римановым многообразием ни при каком выборе О-инвариантной метрики.

Заметим, что имеет место разложение Р = где С} - стабилизатор точки еК € -X" в группе Р. Риманово многообразие X симметрично тогда и только тогда, когда Q - симметрическая подгруппа группы Р. Если многообразие X компактно, то компактна и его группа изо-метрий. Классификация несимметрические слабо симметрические компактных римановых многообразий получена при помощи результатов работы А.Л. Онищика12, в которой описаны разложения компактных групп в произведение двух собственных подгрупп.

Во второй главе доказан критерий коммутативности, а также описаны некоторые свойства коммутативных пространств. Если однородное пространство X = й/К коммутативно, то, с точностью до локального изоморфизма, имеет место разложение - не более чем

двухступенно нильпотентная группа, а Ь - максимальная редуктивная подгруппа, причем см. работу Винберга13. Кроме того, как

доказано там же, выполнено условие (а) Щп]ь = Н[п]*,

где п = 1ле N. Обозначим через m касательное пространство Тек{С1/К). Пусть некоторая группа Ли Р действует на многообразии (векторном пространстве) У. Обозначим стабилизатор точки у е У в группе Р через Ру. Стабилизатор общего положения действия Р : У обозначим через Коммутант группы Р обозначим через

Теорема 5 Однородное пространство X = С/К коммутативно тогда и только тогда, когда выполнены условия (а) и

"А.Л. Онищик, Отношения включения между транзитивными компактными группами преобразований, Труды ММО. 11 (1962), С. 199-242.

"Э.Б. Винберг, Коммутативные однородные пространства и коизотропные действия, УМН, Т.56 (2001), вып. 1, С. 3-62.

(b) для всякой точки 7 6 п пространство L^/К^ коммутативно;

(c) для всякой точки ß € ш пространство (N X Kß)/Kß коммутативно.

Пусть Р - ядро неэффективности действия L : п. Заметим, что Р - нормальная подгруппа групп С и I. Из условия (а) следует, что L/P С О(п). Следовательно, для любой точки 7 £ п группа Ь7 редуктив-на. В силу компактности группы К, условие (а) равносильно наличию разложения L = L,(n)K. В условии (Ь) речь идет об однородном пространстве редуктивной группы. Проверить его коммутативность можно с помощью результатов первой главы диссертации.

Условие коммутативности является локальным, т.е., зависит только от пары алгебр Ли (д, 8). Мы предполагаем, что группы L и К связны, кроме того L = Z(L) х Li X... X L„, где Z{L) - связная компонента центра группы L, а Lt - простые некоммутативные группы. Кроме того, мы считаем, что группы L, являются вещественными формами односвязных простых комплексных групп Ли, а также, что действие факторгруппы Z(L)/(Z(L) П Р°) на пространстве п эффективно. Обозначим оператор проектирования на фактор Li через я-,.

Рассмотрим коммутативные однородные пространства, удовлетворяющие следующему условию:

(*) Ъф К и действие L : п локально эффективно.

Теорема 6 Пусть однородное коммутативное пространство X = G/K удовлетворяет условию (*). Тогда каждый некоммутативный простой сомножитель группы К, отличный от SU2 содержится в некотором простом сомножителе группы L.

Третья глава диссертации содержит классификацию коммутативных однородных пространств при некоторых технических ограничениях.

Разложим пространство n/n' в сумму неприводимых L-инвариантных подпространств n/n' = tüi®...®rO(. Обозначим централизатор группы L в группе GL(rOj) через 2gl(k>.) Щ- Пусть Z(K)~ связный центр группы К

и С := Z{L)|{{Z{L)Г\P). Можно считать, что С С вЦп/п'). Представим группу Ь в виде локально прямого произведения Ь — Р • Ь".

Определение 3 Назовем коммутативное однородное пространство в/К главным, если г (К) = 2 = г(Ь) х (Ьг П2)х ... х (Ьт П г) и С = ПС) х ... х (гС1Ы{Ь) ПС).

Определение 4 Коммутативное однородное пространство й/К называется Бр!-насыщенным, если

(1) любой простой фактор = Б иг = Бр1 группы К содержится либо в Р, либо в Ь";

(2) каждый такой простой фактор Ь\ группы Ь, что 7Г1(£»(п)) = Ь\, содержится в группе К;

(3) если существует такое подпространство С (п/п'), что действие Ь\ : нетривиально, а действие 2(Ь) х £2 х ... х Ьт : го,- ие-приводимо, то группа Ь\ действует на Ь-инвариантном дополнении (п/п')\го< тривиально.

Так как произведение двух однородных пространств коммутативно тогда и только тогда, когда коммутативно каждое из них, мы будем рассматривать только неразложимые пространства.

Будем считать, что группа N односвязна. Обозначим группу гей-зенберга через #„. Вначале мы рассматриваем главные коммутативные однородные пространства, удовлетворяющие условию (*). Основным результатом классификации в этом случае является следующий список коммутативных пространств: (#2„ X (3)и2п)/*5р„(хи1); (С2п X (3)и2п)/5рп(хи1), (К6 X БиО/Из, (К7 X Ъ07)/Сь (Е8 X 8рт7)/8рщ6, (К2пХ802„)/и„,(]Й8®12Х(808®302))/(8рт7х802),(К8®Е2Х808)/8рш7( (К8 X 808)/8рт7, (И8 X 508)/(8р2х8и2). Группа N не коммутативна только в случае первого пространства.

Теорема 7 Пусть X = С/К - главное коммутативное пространство, удовлетворяющее условию (*). Тогда пара (Ь,К) изоморфна прямо-

го

му произведению пар, соответствующих перечисленным выше однородным коммутативным пространствам, пар вида (SU2 X SU2 X SU2, SU2), (SU2 х SU2, SU2) или (SU2, Uj), и пары вида (К1, К1), где К1 - компактная группа Ли. Более того, приведённые выше однородные пространства выделяются как прямые сомножители пространства X.

В дальнейшем классификация сводится к случаю пространств гейзен-бергова типа, для которых S(g/l)K = Если алгебра п коммута-

тивна, то пространство G/K также коммутативно. Такие пространства называются пространствами евклидова типа. Будем предполагать, что алгебра п не коммутативна.

Напомним, что фактор алгебра n/[n,n] есть сумма неприводимых представлений группы К, аименно, n/n' = tt>i ®... © toy. Как доказано в работе11, [tu,-,tu,-] = 0 п »^^[пК^рОо м е того, е с пл и щ а к K-модуль при i ф j, то также [го,-, ГО,-] = 0. Для каждого подпространства -ГО,- положим п,- := ГО,- + [iDj, ГО<]. Обозначим K-инвариантное дополнение к пространству п, в п через о', стабилизатор общего положения АГ*(о') через Ю.

В работе9 классифицированы коммутативные пространства гейзен-бергова типа, в которых К-модуль п/п' неприводим. В общем случае,-алгебра п является суммой коммутативного идеала и алгебр из таблицы работы9. Однако такая сумма не может быть составлена произвольно.

Теорема 8 В описанных выше обозначениях однородное пространство (N\K)/К коммутативно тогда и только тогда, когда каждая алгебра Пуассона S(x\i)Kt коммутативна.

Однородные пространства гейзенбергова типа можно разделить на два класса, в зависимости от действия К : п'. Для пространств первого класса коммутант п' является тривиальным К-модулем. В этом случае мы имеем, . п = п*фв® R®, где К' = п' и и ® К' - центр алгебры n. Заметим, что -К"(С) -модуль п®(С) имеет вид W ф W*. Согласно результатам работы8 и теореме 8, соответствующее однородное пространство

гейзенбергова типа коммутативно тогда и только тогда, когда действие ЛТ,(о)(С) : W сферично. В простейшем случае t» = 0 это утверждение означает, что само действие К(С) : W сферично. Сферические линейные представления редуктивных групп классифицированы в работах Каца, Бриона, Бенсона и Ретклифа, Леи. Результаты классификации, а также подробный исторический комментарий можно найти, например, в работе Кнопа14.

Пусть пространство X = G/K коммутативно. Рассмотрим К-инвариантное подпространство в центре алгебры п и соответствующую ему связную центральную подгруппу Zq С Z. Тогда однородное пространство X/Zo = ((N/Zq) X К)/К также коммутативно. Переход от пространства X к пространству X/Zq называется центральной редукцией. Коммутативное однородное пространство гейзенбергова типа называется максимальным, если оно не может быть получено нетривиальной центральной редукцией некоторого большего пространства.

В диссертатции классифицированы главные Spj-насыщенные неразложимые максимальные коммутативные пространства гейзенбергова, но не евклидова типа, для которых /¡Т-модуль n/n' приводим. Получен список из 24 пространств.

В случае нередуктивной группы G классификация завершается следующей теоремой.

Теорема 9 Пусть главное Ъ^унасыщенноекоммутативное однородное пространство G/K неразложимо и не удовлетворяет условию (*). Тогда либо оно является пространством гейзенбергова типа; либо изоморфно одному из трёх перечисленных ниже пространств: ((К" X SO„) х SOn)/SOn, ((R»XUn)xSU„)/Un, ((tf„XU„)xSUn)/U„,

где простые факторы SO„ u SU„ группы К диагонально вложены в про-

,4F. Knop, Some remarks on multiplicity free грасег, in: A.Broer (Ed.) "Representation theories and algebraic geometry" (Montreal, 1997), 301-317. Kluwer Acad. Publ., Dordrecht, 1998.

изведения 80п х БОп и Би,, х 8ип, соответственно.

Я благодарна своему научному руководителю профессору Эрнесту Борисовичу Винбергу за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также д.ф.-м.н. Д.И. Панюшеву и к.ф.-м.н. Д.А. Тимашёву за полезные обсуждения.

Публикации автора по теме диссертации

1) О.С.ЯКИМОВА, О слабо симметрических пространствах полупростых групп Ли, Вестник МГУ, Сер. 1, Матем., мех. (2002) по. 2, 57-60.

2) О.С. ЯКИМОВА, Правильные изометрии слабо симметрических пространств, Матем. Сборник, т.193, по. 1 (2002), 143-156.

3) О.С. ЯКИМОВА, О слабо коммутативных однородных пространствах, Успехи матем. наук, т.57, вып. 3 (2002), 171-172.

4) О.С. ЯКИМОВА, О классификации пар Гельфанда, Успехи мат. наук, т.58, вып. 3 (2003), 195-196.

*

- 5351

Издательство ЦПИ при механико-математическом факультете МГУ им М В Ломоносова

Лицензия на издательскую деятельность ИД В 04059, от 20 02 2001г

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета и Франко-русского центра им А М Ляпунова

Подписано в печать 05 Формат 60x 90 1/16. Тираж 100 экэ

Уел печ л № Заказ Л{

Введение

1. Слабо симметрические однородные пространства редуктивных групп Ли

1.1. Классификация слабо симметрических пространств.

1.2. Правильные изометрии слабо симметрических пространств.

1.2.1. Действие группы N(I\) на многообразии А'.

1.2.2. Правильные автоморфизмы комплексных сферических пар

1.2.3. Правильные автоморфизмы вещественных слабо симметрических пространств.

1.3. Несимметрические слабо симметрические римановы многообразия

1.3.1. Симметрические расширения сферических пар.

1.3.2. Расширения разложимых пар

2. Свойства коммутативных однородных пространств

2.1. Критерий коммутативности.

2.2. Свойства коммутативных пространств.

3. Классификация коммутативных пространств

3.1. Главные коммутативные пространства.

3.2. Ядро неэффективности.GO

3.3. Spi-насыщенные пространства.

3.4. Пространства гейзенбергова типа.

Настоящая диссертация посвящена описанию однородных пространств, на которых алгебра инвариантных дифференциальных операторов коммутативна. Мы будем предполагать, что рассматриваемые однородные пространства являются также римановыми многообразиями, что позволяет применять различные методы римановой геометрии.

Пусть X = G/K - однородное пространство вещественной группы Ли G, причём подгруппа К компактна.

Определение 1. Однородное пространство X называется коммутативным, если

0) алгебра G-инвариантных дифференциальных операторов Т>(Х)а на X коммутативна.

К числу коммутативных пространств относятся симметрические пространства Эли Картана. Эти пространства хорошо изучены. Известна их классификация, разработан гармонический анализ на них. Коммутативность алгебры инвариантных дифференциальных операторов позволяет рассматривать их общие собственные функции. Собственные функции алгебры V(X), инвариантные относительно подгруппы К, называются сферическими функциями на X. В частности, так возникают многие специальные функции.

Оказывается, можно сформулировать более общее геометрическое условие, обеспечивающее коммутативность. В работе, посвященной формуле следа [26], Сельберг ввел понятие слабо симметрического однородного пространства и доказал коммутативность алгебры инвариантных дифференциальных операторов на таких пространствах.

Пусть X = G/K - связное риманово многообразие, причем действие G : X группы G на пространстве X локально эффективно. Предположим, что автоморфизм а € Aut(G, К) группы G сохраняет подгруппу К. Тогда он индуцирует преобразование s на пространстве X по формуле s(gK) := о{д)К.

Определение 2. Однородное пространство X называется слабо симметрическим относительно а, если для любых двух точек х,у Е X существует такой элемент д £ G, что дх = sy, ду = sx. Однородное пространство X называется слабо симметрическим, если оно слабо симметрично относительно некоторого автоморфизма ст.

Сельберг отметил, что, хотя в его работе формула следа выведена для слабо симметрических пространств, она верна также и для коммутативных пространств. До недавнего времени вопрос о совпадении этих двух классов однородных пространств оставался открытым. В 2000 году Лорэ [22] придумал первый пример коммутативного, но не слабо симметрического однородного пространства.

В течение почти 30 лет слабо симметрические однородные пространства не привлекали должного внимания. Во многом это можно объяснить отсутствием достаточного числа примеров. Ясно, что любое симметрическое пространство является также слабо симметрическим. Также ясно, что второй класс пространств шире, это отметил и сам Сельберг. Однако, примеров не симметрических слабо симметрических пространств было известно крайне мало. В последнее время геометрические свойства слабо симметрических пространств изучались в работах Берндта, Ванхеке и Прюфера [14], [15], [16]. Этими авторами были построены новые несимметрические слабо симметрические однородные пространства. Их работы также показывают, что слабо симметрические пространства обладают достаточно интересной геометрией.

В случае редуктивной группы G условия слабой симметричности и коммутативности эквивалентны. Более того, как доказано в работе Ахиезера и Винберга [12], слабо симметрические однородные пространства редуктивных групп - это вещественные формы аффинных сферических однородных пространств. Последние пространства классифицированы Брионом [17] и Микитюком [6]. В работе [6] доказано, что условие сферичности однородного пространства G/K редуктивной группы G эквивалентно условию интегрируемости в классе интегралов Нётер произвольных гамильтоно-вых систем на T*(G/K) с G-инвариантными гамильтонианами. В случае произвольной группы Ли понятие сферического однородного пространства не имеет смысла. Его естественной заменой служит понятие слабо симметрического пространства. Было бы интересно понять, следует ли в общем случае из условия слабой симметричности условие интегрируемости в классе интегралов Нётер.

В классификациях [17] и [б] содержатся небольшие пробелы, которые исправлены в настоящей работе, теорема 1.4. Эти результаты позволяют классифицировать коммутативные однородные пространства редуктивных групп и тем самым построить новые примеры слабо симметрических пространств. Многие из полученных таким образом однородных пространств не являются симметрическими многообразиями при некотором или при любом выборе G-инвариантной метрики. Помимо этого, известно, что в случае редуктивной группы G алгебра T>(X)G полиномиальна. Имеется также конструктивный метод разложения алгебры полиномиальных функций R[X] в сумму неприводимых Сг-инвариантных подпространств. Согласно условию сферичности, это разложение имеет простой спектр.

Пусть теперь G опять произвольная вещественная группа Ли. Обозначим алгебру G-инвариантных функций на кокасательном расслоении Т*Х, полиномиальных на слоях, через V(T*X)G.

Условие коммутативности однородного пространства G/K эквивалентно любому из следующих условий:

1) алгебра А'-инвариантных мер с компактным носителем на X коммутативна (относительно свертки);

2) алгебра V(T*X)G коммутативна относительно скобки Пуассона;

3) представление группы G в пространстве L2(X) имеет простой спектр;

4) действие G : Т*Х коизотропно в смысле стандартной симплектической структуры кокасательного расслоения.

Условие (1) было введено Гельфандом. Поэтому пару (G,K) называют также парой Гельфанда, если выполнено одно из условий (1)-(4) или условие коммутативности (0).

Очевидно, что условие (2) следует из условия (0). Обратная импликация была недавно доказана Рыбниковым [8]. Эквивалентность условий (2) и (4) доказана в [2]. Эквивалентность условий (0) и (1) доказана Хелгасоном [18] и Томасом [27], независимо. И наконец, равносильность условий (1) и (3) доказана в [1].

В диссертации доказан простой критерий коммутативности; с его помощью описана структура коммутативных пространств и получена их классификация при некоторых ограничениях.

Перейдем теперь к непосредственному изложению результатов диссертации.

Первая глава посвящена слабо симметрическим однородным пространствам редук-тивных групп. Как уже отмечалось, они являются вещественными формами аффинных сферических однородных пространств. Пусть (G(C), Н) - сферическая пара, причём группы (7(C) и Н связны. Опишем соответствующие ей вещественные слабо симметрические пары (G>K). Группа К является максимальной компактной подгруппой группы Н. Любая вещественная форма G группы G(C), содержащая К, определяет слабо симметрическое однородное пространство G/K. Более того, все они могут быть получены таким образом, с точностью до локального изоморфизма. Группа К всегда содержится в максимальной компактной подгруппе Go группы G(C). Если же G некомпактна и связна, то верно следующее:

Теорема 1. G — (G(C)rv')0, К — Нт, где <р - инволюция группы G(С), действующая на подгруппе Н тождественно, а г - компактная вещественная структура, коммутирующая с инволюцией </? и сохраняющая подгруппу Н.

Назовем автоморфизм о 6 Aut(G, К) правильным, если он определяет на однородном пространстве X = G/К структуру слабо симметрического пространства, т.е., если X слабо симметрично относительно а.

Пусть

С[С7(С)/Я]= 0 Vx, дел(Х)

- разложение в сумму неприводимых С(<С)-инвариантных подпространств.

При помощи следующей теоремы мы классифицируем все правильные автоморфизмы слабо симметрических однородных пространств редуктивных групп Ли.

Теорема 2. Автоморфизм а € Aut(G, К) является правильным тогда и только тогда, когда сг(Уд) = для любого веса A G А(Х).

Пусть однородное пространство X = G/K слабо симметрично относительно автоморфизма а. Введем на пространстве X G-инвариантную риманову метрику. Она автоматически будет также сг-инвариантной. Риманово многообразие X вполне может быть симметрическим, даже если G/K не являлось симметрическим однородным пространством. Так, например, нечетномерная сфера S2"-1 = SUn/SU„x = SC^n/SC^n-i является симметрическим римановым многообразием и несимметрическим слабо симметрическим однородным пространством группы SU„. Для того чтобы понять, является ли заданная на X риманова метрика симметрической, достаточно найти группу изометрий пары (X, ц) или её связную компоненту Р = Isom(X)0. Имеет место разложение Р = GQ, где Q - стабилизатор точки еК Е X в группе Р. Риманово многообразие X симметрично тогда и только тогда, когда Q - симметрическая подгруппа группы Р. Разложения редуктивных групп в произведение двух собственных редуктивных подгрупп описаны в работе A.JI. Онищика, [7]. Это позволяет классифицировать несимметрические слабо симметрические римановы многообразия с редуктивной группой изометрий. Результаты классификации для компактных многообразий приведены в таблице 1.6.

Определение 3. Однородное пространство G/K называется неразложимым, если его нельзя представить в виде произведения G\jK\ х G2/K2, где G — G\ х С?2, К — К\ х К2.

Для некомпактных многообразий верно следующее

Теорема 3. Неразложимое (в смысле однородных пространств) несимметрическое некомпактное однородное пространство полупростой группы G не является симметрическим римановым многообразием ни при каком выборе G-инвариантной метрики.

Во второй главе доказан критерий коммутативности, а также описаны некоторые свойства коммутативных пространств. Если однородное пространство X = G/К коммутативно, то имеет место разложение Леви G = N \ L, где N - не более чем двух-ступенно нильпотентная группа, a L - максимальная редуктивнал подгруппа, причем К С L, см. [2]. Кроме того, как доказано там же, выполнено условие a) M[n]L = Щп]к, где n = Lie N. Обозначим через m касательное пространство Tex{G/К). Пусть некоторая группа Ли Р действует на многообразии (векторном пространстве) Y. Обозначим стабилизатор точки у € Y в группе Р через Ру. Стабилизатор общего положения действия Р : Y обозначим через P*(Y). Коммутант группы Р обозначим через Р'.

Теорема 4. Однородное пространство X = G/K коммутативно тогда и только тогда, когда выполнены условия (а) и b) для всякой точки 7 G п пространство коммутативно; c) для всякой точки /Зет пространство (N\ Кр)/Кр коммутативно.

Пусть Р - ядро неэффективности действия G : п. Заметим, что Р - нормальная подгруппа групп G и L. Из условия (а) следует, что L/P С О(п). Следовательно, для любой точки 7 6 п группа L1 редуктивна. В силу компактности группы К, условие (а) равносильно наличию разложения L = L*(n)K. В условии (Ь) речь идет об однородном пространстве редуктивной группы. Проверить его коммутативность можно с помощью результатов первой главы диссертации.

Во втором параграфе сформулированы некоторые свойства коммутативных однородных пространств.

Условие коммутативности является локальным, т.е., зависит только от пары алгебр Ли (g, Е). Мы предполагаем, что группы L и К связны, кроме того L = Z(L) х Li х . х Ln, где Z{L) - связная компонента центра группы L, a Li - простые некоммутативные группы. Кроме того, мы считаем, что группы L,- являются вещественными формами односвязных простых комплексных групп Ли, а также, что действие факторгруппы Z(L)/(Z(L)nP°) на пространстве п эффективно. Обозначим оператор проектирования на фактор Li через щ.

Рассмотрим коммутативные однородные пространства, удовлетворяющие следующему условию:

L ф К и действие L : п локально эффективно.

Теорема 5. Пусть однородное коммутативное пространство X = G/К удовлетворяет условию (*). Тогда каждый некоммутативный простой сомножитель группы К, отличный от SU2 содержится в некотором простом сомножителе группы L.

Третья глава диссертации содержит классификацию коммутативных однородных пространств при некоторых технических ограничениях.

Разложим пространство п/п' в сумму неприводимых ^-инвариантных подпространств п/п' = го 1 ® . ф tt>t. Обозначим централизатор группы L в группе GL(ttJj) через Пусть Z(K)~ связный центр группы К. Пусть L — P-1Л

Определение 4. Назовем коммутативное однородное пространство G/K главным, если Z(K) = Z = Z(L) х (Ьг П Z) х . х (Lm П Z) и Z(L) = С = {ZGL{m)(L) пС)х . х (ZgL(mt)(^) п С) (здесь группа С рассматривается как подгруппа группы GL(п/п')).

Определение 5. Коммутативное однородное пространство G/K называется Sp^насыщенным, если

1) любой простой фактор К\ = SU2 = Sp! группы К содержится либо в Р, либо в

2) каждый такой простой фактор L\ группы L, что ni(L,(n)) = L\, содержится в группе К\

3) если существует такой подпространство го,- С (п/п'), что действие L{ : ГО, нетривиально, а действие Z{L) х Ь2 х . х L,„ : Го, неприводимо, то группа L\ действует на L-инвариантном дополнении (п/п')\го* тривиально.

Так как произведение двух однородных пространств коммутативно тогда и только тогда, когда коммутативно каждое из них, мы будем рассматривать только неразложимые пространства.

Вначале мы рассматриваем главные коммутативные однородные пространства, удовлетворяющие условию (*). Основные результаты классификации в этом случае представлены в таблице 1.

Таблица 1.

L К V

1а (S)U2„ SPn(xU,) c2n (®R) lb su4 u3 R6

2а S07 R7

2Ь Spin7 Spin6 R8

3 so2n u„ R2"

4а S08 x S02 Spin7 x S02 R8 OR2

4Ь so8 Spin7 R8 OR2

4с so8 Spin7 R8

4d SOs Sp2 x SU2 R8

Каждой строке таблицы 1 соответствует коммутативное однородное пространство (N X L)/K, где n = V как L-модуль и [п,п] = 0. Первой строке соответствуют шесть различных коммутативных однородных пространств, а именно, L может равняться SU2n или U2и во втором случае группа К может равняться Spn или Spn х Uj; кроме того, независимо V может быть либо С2'1, либо С2" Ф R (в первом случае группа N коммутативна, а во втором N есть группа Гейзенберга Нп).

Теорема 6. Пусть X = G/K - главное коммутативное пространство, удовлетворяющее условию (*). Тогда пара (L,K) изоморфна прямому произведению пар из таблицы 1, пар вида (SU2 х SU2 х SU2,SU2), (SU2 х SU2,SU2) или (SU2,Ui), и пары вида (К1, К1), где К1 - компактная группа Ли. Более того, однородные пространства, соответствующие строкам таблицы 1, выделяются как прямые сомножители пространства X.

Определение 6. Однородное пространство вида G = К X N называется пространством гейзенбергова типа.

В дальнейшем классификация сводится к случаю пространств гейзенбергова типа, для которых S(q/£)k = S(n)K. Если алгебра п коммутативна, то пространство G/K также коммутативно. Такие пространства называются пространствами евклидового типа. Будем предполагать, что алгебра п не коммутативна.

Напомним, что фактор алгебра п/[п, п] есть сумма неприводимых представлений группы К, а именно, n/n' = tt>i©.®tuy. Как доказано в работе [2], [to*, ttr,] = 0 при i ф j, [п, п'] = 0. Кроме того, если п>{ = tOj как Я"-модуль при г ф j, то также [tUj, toj] = 0. Для каждого подпространства го* положим гц := to* + [rc»i, ttJj]. Обозначим /^-инвариантное дополнение к пространству гц в п через О®, стабилизатор общего положения ZC(t>1) через К\

В работах [2] и [3] классифицированы коммутативные пространства гейзенбергова типа, в которых /Г-модуль п/п' неприводим. В общем случае, алгебра п является суммой коммутативного идеала и алгебр из таблиц работ [2] и [3]. Однако такая сумма не может быть составлена произвольно.

Теорема 7. В описанных выше обозначениях однородное пространство (N X К)!К коммутативно тогда и только тогда, когда каждая алгебра Пуассона S(rii)K' коммутативна.

В [13, Теоремы В и Е] доказан другой критерий коммутативности. Там также утверждается, что данный критерий сводит классификацию коммутативных пространств гейзенбергова типа к уже известному списку сферических представлений. Однако работа [13] не содержит классификации. Отметим также, что в ней содержится существенная ошибка. Переход на странице 105 (строки 11-12) от алгебры п к ее фактору п/(з \ п'), где з - центр алгебры алгебры п, аг\п'- /^-инвариантное дополнение к п', неверен.

Однородные пространства гейзенбергова типа можно разделить на два класса, в зависимости от действия К : п'. Для пространств первого класса коммутант п' является тривиальным К-ио рулем. В этом случае мы имеем, п = п° ф О ф R', где W — tt' и о ф R9 - центр алгебры п. Заметим, что /^(С)-модуль п°(С) имеет вид W ф W*. Согласно [13] и теореме 7, соответствующее однородное пространство гейзенбергова типа коммутативно тогда и только тогда, когда действие /Г,(о) (С) : W сферично. В простейшем случае X) = 0 это утверждение означает, что само действие К (С) : W сферично. Сферические линейные представления редуктивных групп классифицированы в работах Каца, Бриона, Бенсона и Ретклифа, Леи. Результаты классификации, а также подробный исторический комментарий можно найти, например, в работе Кнопа [20].

Пусть пространство X = G/K коммутативно. Рассмотрим /^-инвариантное подпространство Зо С з в центре алгебры п и соответствующую ему связную центральную подгруппу Zq С Z. Тогда однородное пространство X/Zq — ((N/Z0) X К)/К также коммутативно, см. [2]. Переход от пространства X к пространству X/Zq называется центральной редукцией. Коммутативное однородное пространство гейзенбергова типа называется максимальным, если оно но может быть получено нетривиальной центральной редукцией некоторого большего пространства.

Теорема 8. В таблице 4 перечислены все главные Spх-насыщенные неразложимые максимальные коммутативные пространства гейзенбергоаа, но не евклидова типа, для которых К-модуль п/п' приводим.

Обозначение вида (SUn,Un,Ui • Spn/2) означает, что данный локально прямой сомножитель группы К равняется одной из указанных в скобках групп. При нечетных п группа Spn/2 не определена и не может быть подгруппой группу К. Алгебра п записана в Таблице 4 следующим образом. В скобках указана алгебра гц = tt>i+[irn tx>j]. Пространство, стоящее вне скобок, коммутативно. Действие группы К однозначно определяется неприводимостью однородного пространства и таблицами работ [2], [3].

Таблица 4.

К n

1 и„ (с e R) e sun

2 и4 (с4 ф л2с4 e R) e r6

3 Ui-U„ (€n e R) e (л2с © R)

4 su4 (С4 ф HSI& Ф R) ф R6

5 и2-и4 (С2 ® С4 ф ЯЛ2С2) ф R6

6 su4 • um (С4 ® С Ф R) Ф R6

7 um-u„ (С* ® Cn ф R) Ф (Cm Ф R)

8 um • su2 • up (С О С2 Ф R) ф (С2 ® С ф R)

9 Ui-U,-Spn (ИР ф R) ф (ИГ ф R)

10 SPn ■ Spi • (SPl,Ub {£}) (ИГ* Ф Но) Ф Н1 ® W

11 Sp„ • (SPl,U,) -SPm (Шп ФБЬ) ФНП ® ИГ"

12 SPn-(S?l,Vu{E}) (И" ф Но) Ф Я5цН"

13 Spin7 • (S02, {E}) (R8 фК7)фК7 ®R2

14 Ui • Spin7 (С7 ф R) Ф R8

15 Ui • Ui • Spin8 (С* ф R) Ф (С8 ф R)

16 Ui • Spin10 (С16 ф R) Ф R10

17 (SU„,U„,U,-SPn/2).SU2 (Cn ® С2 Ф R) ф su2

18 (SU^Un.Ui-Sp^.U, (Cn ® С2 ф R) Ф (С2 Ф R)

19 (SU„, Un, Ui-Sp„/2).SU2-(SUn, U„, UrSPn/2) (С ® с2 ф R) ф (С2 О С" Ф R)

20 (SU„, Un, Ui ■ Spn/2) • su2 • u4 (С" ® С2 ф R) ф (С2 ® С4 ф R) ф R6

21 u4-u2 R6 ф (С4 <g> С2 ф R) ф su2

22 u4 ■ u2 • u4 R6®(C4 ® С2 Ф К)ф(С2 ® С4 Ф R) ф R6

23 Ui - Ui -su4 (С4 ф R) ф (С4 ф R) Ф R6

24 (U,-)SU4(-S02) (С4 ф R) Ф R6 ® М2

Основной результат третьей главы заключается в следующей теореме.

Теорема 9. Каждое неразложимое главное Spx-насыщенное коммутативное однородное пространство изоморфно однородному пространству одного из пяти перечисленных ниже классов:

1) слабо симметрические однородные пространства редуктивных групп Ли;

2) однородные пространства, соответствующие строкам Таблицы 2Ь;

3) однородные пространства (К71 X SO„ х SO„)/SO„, (Kn X SU„ х U„)/Un, (Нп X SU„ х U„)/U„, где простые факторы SO„ и SUn группы К диагонально вложены в произведения SOn х S0n и SU„ х SUW, соответственно;

4) центральные редукции произведений пространств из таблицы 4;

5) коммутативные однородные пространства евклидового типа.

Я благодарна своему научному руководителю профессору Э.Б. Винбергу за постановку задач и постоянное внимание к работе, а также Д.И. Панюшеву и Д.А. Тимашёву за полезные обсуждения.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [I], [II], [III] и [IV].

3.5. Заключение

Подведем итоги классификации.

Теорема 3.5. Каждое неразложимое главное Sp^-насыщенное коммутативное однородное пространство изоморфно однородному пространству одного из пяти перечисленных ниже классов:

1) слабо симметрические однородные пространства редуктивных групп Ли;

2) однородные пространства, соответствующие строкам Таблицы 2Ь;

3) однородные пространства (Rn X SO„ х SOn)/SOn, (R™ X SU„ х U„)/Un, (Нп X SU„ х Un)/U„, где простые факторы SOn и SUn группы К диагонально вложены в произведения SOn х SOn и SUn х SUn, соответственно;

4) центральные редукции произведений пространств из таблицы 4;

5) коммутативные однородные пространства евклидова типа.

Доказательство. Пусть X — G/К - коммутативное однородное пространство из условия теоремы. Если группа G редуктивна, оно относится к первому классу. Если L = К. то оно либо евклидова (5-й класс), либо гейзенбергова типа. Во втором случае, согласно теореме 3.4, пространство Л' является центральной редукцией произведения пространств из таблицы 3.3.

Будем считать, что группа G нередуктивна и L ф К. Предположим, простой фактор К\ группы К не содержится ни в Р, ни в 1Л Из условия (1) определения Sp,-насыщенного коммутативного пространства следует, что К\ ф SU2. По теореме 3.2 пространство X относится к 3-му классу. Если же все простые факторы группы К содержатся либо Р, либо в то, так как X главное, пространство Р°/(Р°ПК) является фактором X. Поскольку X неразложимо, и группа G нередуктивна, группа Р° тривиальна. Тем самым пространство X удовлетворяет условию (*).

Если найдется такой простой фактор Lj группы L, что тг\(Ь,) Ф К и L\ К, то, согласно теореме 3.1, пространство X принадлежит к 3-му классу. Если же такого фактора нет, то по той же теореме 3.1, пара (Ь,К) раскладывается в произведение пар вида (SU2 х SU2 х SU2,SU2), (SU2 х SU2.SU2), (SU2,U() и пары (Л'1. А*1), где А'1 компактная группа Ли. Однако наличие пар первых трех видов противоречит условию (2) определения Sp,-насыщенного пространства, лемма 3.4. Таким образом. L — К. что противоречит нашим предположениям. □

Коммутативные пространства евклидова типа являются симметрическими пространствами. Комутативные пространства 3-го класса слабо симметричны. Напомним, что инволюцию Вейля редуктивной группы мы обозначали через в. Однородные про-транства (Rra X SU„ х Un)/U„ и (Нп X SU„ х Un)/U„ слабо симметричны относительно автоморфизма в, сохраняющего подгруппа К. Инволюция в естественным образом действует на алгебре п. Однородное пространство (Rn X SOn х SOn)/SOn, слабо симметрично относительно автоморфизма ег, заданного формулой а(1) = в(1), при / G L и а{п) = 0(п)"\ при пе N.

Среди коммутативных пространств 2-го и 4-го классов встречаются не слабо симметрические. Например, пространство, соответствующее строке 9 таблицы 3.2 при К = Sp„ не слабо симметрично. Это был первый пример коммутативного, но не слабо симметричного однородного пространтсва, построенный в [22]. Среди пространств, соответствующих строкам таблицы ЗЬ. есть всего одно пространство, не являющееся слабо симметрическим, а именно, соответвуюшее строке 4Ь. Покажем, что оно действительно не слабо симметрично.

Пример 6. Пусть L = SOg, К = Spin7, а группа N коммутативна и односвязна, причём n = R2 ® R8. Положим X = (N X Ь)/К. Предположим, что пространство А' слабо симметрично относительно некоторого автоморфизма а € Aut(G, К). Тогда автоморфизм о сохраняет Я-орбиты в пространстве g/t. Нормализатор группы К в группе AutL

- это подгруппа внутренних автоморфизмов группы L, соответствующих элементам подгруппы К. Следовательно, а — a'Ad(k), где а(к) - сопряжение в группе G элементом к € К. Автоморфизм о' действует на группе L тривиально, а на алгебре п тривиально или умножением на —1. Более того, так как образ группы К в группе GL(n) содержит

1, можно считать, что а' действует на ri умножением на —1. .Легко видеть, что тогда однородное пространство Л' будет слабо симметрично и относительно автоморфизма а'. Положим v := £ + Ц\ + щ € д/6, где £ € (/£ = R7 и щ, 7/2 -- линейно независимые векторы пространства R8. Если Ad(k)a'(v) = —v, то Ad(&) сохраняет щ and //2, т.е., к € (Spin7 П S06) = SU3. Если теперь взять в качестве £ ненулевой Зиз-инвариантный вектор в R7, то получится, что —v и a(v) не лежат в одной К-орбите, что противоречит предположению о слабой симметричности пространства X.

Теперь, когда классификация коммутативных пространств практически завершена, можно повнимательней присмотреться к их различным свойствам. Было бы интересно изучить алгебры V(X)G, выяснить, в каких случаях она полиномиальна. Хотелось бы также рассмотреть общие собственные функции этой алгебры. Возможно, это приведет к интересным комбинаторным результатам. Одним словом, изучение коммутативных пространств еще только начинается и нас несомненно ждут впереди чудесные открытия.

1. Ф.А. Березин, И.М. Гельфанд, М.И. Граев, М.А. Наймарк, Представления групп, УМН т.11 (1956), вып. 6, С. 13-40.

2. Э.б. винберг, Коммутативные однородные пространства и коизотропные действия, УМН, т.56 (2001), вып. 1, С. 3-62.

3. Э.Б. ВИНБЕРГ, Коммутативные однородные пространства гейзенбергова типа. Труды ММО, т.64 (2003), С. 54 89.

4. Э.Б. ВИНБЕРГ, А.Л. ОНИЩИК, "Семина)) по группам Ли и алгебраическим группам". Наука, Москва, 1988.

5. Ф.И. КарпелевиЧ, Поверхности транзитивности полупростой подгруппы группы движений симметрического простанства. Докл. АН СССР. 1953. Т. 93. N 3. С. 401-404.

6. И.В. Микитюк, Об интегрируемости инвариантных гамильтоновых систем с однородными конфигурационными пространствами, Матем. Сб. т.129 (1986), С. 514-534.

7. А.л. онищик, Отношения включения между транзитивными компактными группами преобразований, Труды ММО, т.11 (1962), С. 199 242.

8. А.Г. элашвили, Канонический вид и стационарные подалгебры точек общего положения для простых линейных групп Ли, Функц. анализ и его прилож. т.6, вып. 1 (1972), С. 51-62.

9. D.N. Akhiezer and D.i. panyushev, Multiplicities in the branching rules and the complexity of homogeneous spaces, Moscow Math. J. 2(2002), 17-33.

10. D.N. akhiezer and E.B. vlnberg, Weakly symmetric spaces and spherical varieties, Transformation Groups 4(1999), 12-46.

11. C. Benson, J. .jenkins, and G. Ratcliff, On Gelfand pairs associated with solvable. Lie groups, Trans. AMS 321 (1990), 85-116.

12. Л. berndt, F. Prufer, and L. vanhecke, Symmetric-like Riemannian manifolds and geodesic symmetries, Proc. Royal Soc. Edinburgh, Sect.A 125(1995), 265-282.

13. J. berndt, O. kowalski and L. Vanhecke, Geodesies in weakly symmetric spaces, Ann. Glob. Anal. Geom. 15(1997), 153-156.

14. Л. Berndt, L. Vanhecke, Geometry of weakly symmetric spaces, J. Math. Soc. Japan. 48(1996), 745-760.

15. M. brion, Classification des espaces homogenes spheriques. Cornpositio Math. 63(1987), 189 208.

16. S. helgason, "Groups and Geometric Analysis'', Acad. Press, London. 1984.

17. S. helgason, "Differential geometry, Lie groups, and symmetric spaces". Pure and Applied Mathematics, 80. Academic Press, Inc. Harcourt Brace Jovanovich, Publishers], New York-London, 1978.

18. J. LAURET, Commutative spaces which are not weakly symmetric, Bull. London Math. Society, 30(1998), 29 37.

19. A.S. LEAHY, A classification of multiplicity free representations, J. Lie Theory 8 (1998). 367-391.

20. D.I. PANYUSHEV, Complexity and rank of homogeneous spaces, Geometriae Dedicata, 34(1990), 249-269.

21. E.G.F. Thomas, An infinitesimal characterization of Gelfand pairs, Contemporary Math. 20(1984), 379-385.

22. Работы автора по теме диссертации:

23. О.С. якимова, О слабо симметрических пространствах полу простых групп Ли, Вестник МГУ, Сер. 1, Матем., мех. (2002) по. 2, 57 60.1.. о.с. якимова, Правильные изометрии слабо симметрических пространств, Матем. Сборник, т.193, по. 1 (2002), 143-156.

24. I. О.С. Якимова, О слабо коммутативных однородных пространствах, Успехи матем. наук, т.57, вып. 3 (2002), 171-172.1.. О.С. Якимова, О классификации пар Гелъфанда, Успехи мат. наук, т.58, вып. 3 (2003), 195-196.