Сложные процессы полумарковского блуждания при наличии экрана тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

6 0/|у1ИНИСТЕрСТВО народного образования £ дп_ , азербайджанской республики

ба'ЗИаский государственный университет

им. М. Э. РАСУЛЗАДЕ

На правах рукописи

НАСИРОВА ТАМИЛЛА ИЛАЛ кызы

СЛОЖНЫЕ ПРОЦЕССЫ ПОЛУМАРКОВСКОГО БЛУЖДАНИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ЭКРАНА

01.01.05—Теория вероятностей и математическая статистика

автореферат

диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Баку—1993

Работа выполнена в Бакинском государственном университете имени М. Э. Расулзаде.

Научный консультант:

акад. АН Украины Скороход А. В.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор

Шуренков В. М.,

доктор физико-математических наук, профессор

Анисимов В. В.,

доктор физико-математических наук, профессор

Братийчук Н. С.

Ведущее предприятие-Институт кибернетики АН Украины

Защита диссертации состоится « (р0 » 1993 г.

в час на заседании специализированного совета

Д 01650.01 при Институте математики АН Украины. Адрес: 252601, Киев-4, ГСП, ул. Репина, 3.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке института.

Автореферат разослан « 1993 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доктор физико-математических

наук, профессор : ГУСАК Д. В.

- I -

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Диссертационная работе посвяшена ис-глэдованию полуиарковских процессов,построенных по суииаи независимых случайных величин при наличии экрана в пум. Типичный представителей таких процессов является процесс полуиарковского блуждания, у которого через едучайные иреиеиа происходят скачки случалного разисра. В точке вуль ниеется задерживаювий экран. Попав в состояние "О", процесс находится таи, пока ко придет положительный скачок. Цате ват и че окая теория таких процессов,а также иетодц риаевия задач,связанных с такими процессами,ииевт ¿аж-вое значение для теории массового обслуживания,теории надежности и управления запасами.

1. Изучение распределений процессов полуиарковского бфжда-вия,процессов полуиарковского блуждания с задержиьаюаим экраном в нуле,супиарного процесса полуиарковского блуждания,суиыарного процесса полуиарковского блуждаяия с задерживающий экранои в нуле, сложного процесса полуиарковского блукдания с отракаювии эк-

раиои в нуде,сложного процесса подуиарковокого блуждания при наличии окрана.

2. Изучение основных граничных функционалов процессов полуиарковского блукдания боз экрана и с задерживавшим экранои в пуле, суыыараого процесса полуиарковского блукданик без экрана и

с аадерживашин экраном в нуле,сложного процесса полумарновско-го блуздания с отражавший экракоц в нуле,сложного процесса полуиарковского блуьдания при наличии экрана.

3. Изучение асимптотического поведения процессов полуиарковского блуждаяия без экрана и с задерживающим экраном в нуле,суи-иарнсго процесса аолуьаркошкого олукдишш оез акрана и с задорен-

ваюрм экраном в ауле, слоеного процесса полумарковского блужд вин о отражавши« вкраном в иуде, сложного процесса нолумарковск . го блукдаш при наличии экрана, когда садо процесса «о ваправ аер в»иа,

Доказагел*с?во эргодической теоремы для процесса ползла конского блукдаяин с задержигасила.экраном в пуде, для сукмаря го процесса подуцарковского блукдаяия с задерживавший экранов нуда, дд« сдоьногр процесса оолуьарковсиого процесса с отраьа-юции экраном £ нуде, для сложного процесса полуыарковсксго блу дания при наличии экрана,

5. вычисление эргодического распределения процесса подуизр конского блуждании с задерьввамш экраном а нуле,суммарного процесса полуиарковского блуидавия с задерживающим экраном а л ле, сложного ¡фОц&сса родуыарковского Олуьдания о мражаюгц-к экраном а нуле» сложного процесса полумарковского блулдзяии лр наличии вкрааа, *

6, Доказательство предельны* 1еореи для процессов полуиарковского блуждания,для суммарного процессу полукарковского бл;, Дания»

X, Приведение изучения процессов с экраном в изучению процесса без экрана. •

2. Введение вомвать первого попадания процесса в лочку ну] для изучения распределения процесса полуиарковского блуждания задеркиваюаим экравол в нуле к его основных граничных функционалов.

3. Введение момемга первого появления отрицательного скач)

суммарного процесса полукарковского Олухдания с задервивашкм экраном в нуле для изучения распределения самого процесса и е:

основных граничных функционалов.

- 3 -

4. Доказательство эргодической теории для сложного процесса зодуиаркоЕсгого блуждания при наличия охрана, нахождение явного вида эргодического распределения для сложного процесса полумар-¡овского блуждания при наличии экрана.

5. Доказательство предельных теорем дня процессов полумарго вского блуждания, суммарного процесса полумарковского блужда-1ИЯ.

Практическая ценность работы следующая:

1. Полученные результаты позволяет найти следующие характе-1ИСТИЯИ для одноканальньа систем обмахивания « когда промежутки «аду двумя последовательными поступлениями требований и дяинй-

обслуживания имеот произвольные функции распределения, раз-ер поступавшей группы и размер обслуживаемой группы-произвольно аспределенные случайные величины:

а) распределение длины очереди;

б) распределение максимальной длины очереди,

в) совместное распределение момента первого пересечения уров-к и пераскрка через этот уровень,

г) распределение периода занятости системы,

д) совместное распределение супремума и значения длины оче-8ДИ,

в) предельное распределение функционала от длины очереди в семе серий.

2. Полученные результаты позволяют найти основные харакге-ютики в теории надежности в случае системы резервирования с ^становлением, когда длительность жизни элемента и длительность ¡монта элемента-произвольно распределенные независимые случай-й величины, размер группы выходящих из строя элементов и размер •уппи восстанавливаемых элементов случайны.

3. Полученные результата позволяют найти подобный характеристики в теории управления запасами в случае с эадалжввэнием спроса и без задалживания спроса»

Апробация работы« Результаты диссертационной работы до кладывались и обсуждалась на семяиаре кафедры "Теория вероятное той и матештяческой статистики" Бакинского государственного университета им.М.Э.Расулэаде, на семинаре отдела "Вероятностно-статистические методы" ИК АН Азербайджанской республики, in семинаре кафедры "Теория вероятностей и математической статистики" Московского госуниверситета ш.М.В.Ломонооо&з, на сшгч-ро кафедры "Теория вероятностей и математической статистика" Ташкентского госуниверситета дм.В Л.Ленина. Различные раздел!/ диссертации докладывались на международных конференциях и симпозиумах (Вильнюс,1977,1981,Тбилиси 1582,ДррганеК83,Кйев IP Л Публикация. Основные результаты работы отражены я С* . ^ 6-13] . Основные результаты изданы в двух монографиях С'ч . 1 Обь ом габоты. Диссертационная работа изложена» ¿35 стран» цах, включая 6 рисунков. Библиографически!! список насчитывает III наименований.

Содержание диссертации. Диссертационная работа состоит из введения (глава I), 10 глав, заключения и списка литературы. Во введении дан краткий обзор исследований, относящихся к рассматриваемой в диссертационной работе проблеме. Здесь сфсрчш рованы тема и цель диссертационной работы, обосновывается ее е туальность, новизна и практическая ценность полученных резуды тов. Кратко изложено основное содеркаякб работы по главам.

Прежде чем излагать результаты диссартационкоЛ работы по главам дадим определения, исследуемых процессов.

- 5 -

I. Пусть на вероятностной пространстве (Л-, задана

юследовательность независимых одинаково распределенных пар слу~

1аяных величин { » ГД0

СаШЁйеШ-!» процесс

т- < т-/ ЛИ,

""С««

называется процессои полуиерковского блукдания.

Здна вз его реализаций ииеет вид:

■5Ю

¡7 1

I г

,4 ■ в

_ _ 1 I________

Вел* чореэ обозначить число скачков процесса

ва отрезке р , то равенство (1) можно записать следующш образом: ^

2. Пусть задана вышеуказанная последовательность пар случайна величин [ ^к , .

2аЁ£2Ш22аие_2. Процесс т „и/

где

- 6 -

называется процессом полуиарковского блукдания с задерживавшим экранои в нуле.

Одна из его реализаций имеет вид:

1 , ,--

тгт) вуо %1

~Jf77ГГr Г)

5") и |

_I

Обсий вид про цессов полуиарковского блуждания с задержимте«« экранои дая А.А.Боровковии: если процесс -некоториЛ про-

цесс без экрана, то процесс с задерживаниям экранои в

нуле определяется равенством =

3. Пусть на вероятностной пространстве задана

четырехмерная последовательность независимых одинаково распределенных случайных величи.. | , ■ > ^ ^ , где

?£>р, К >° I тк>о ■

Построим процессы полуиарковского блуждаяия

Х'Ш^П Тк С * + < 2- ^ .

к=< к кг/ = >

&Ш2&2ШВ2&Л* Процесс + X "(•*•) называ-

ется суммарным процессом полуиарковского блуждания (СППб). Одна из его реализаций имеет вид:

I

v

i ^

Wr-

Ч. Пусть задана вышеуказанная четырехмерная пооледователь-зс» сл.величин { , "I£ ; I* , }^ .

Зозначим С* ■=. £ . Упорядочив в порядке возрастания вели* # с

ilHU t- к ,

33 г,, Г; Пусть

i:

и полученную последовательность' обозначим че-

Т', 4

еоли воли

<7 - Т

Qflfisasieuas>4. Процеос X*tt)~ ."если i < ^

w

Г ПЛОХ (о, SK-I ), So = 2 ,

»зивается суииарним процессом полуиарковского блуждания с задер-

шаюциа экраном в пула.

ща из его реализаций имеет вид:

К

Г~

Г7/

уШ '

ОсУр а<о

«V

хш ¡у ■*-*

_________

! хго »

■

5. Опять пусть вышеуказанная четырехмерная последовательность случайных величин

........к:-1 ■

Обозначим

0пр§Ш££Ш2_§» Процесс

где » * I

называется слокныи процессом полумарковского блуждания с огра-

каяцим экраном в нуле.

Одна из его реализаций имеет вид:

за*-)

6. Зададим последовательносгь независима равнокерво рао-юделеиных на Со/ 1 ] величин [бц, К = и неотрицатель-

;Э измеримые (¡ункции , из • в ^ .

сть Х(о)- 2>,0. Обозначим через '6у первый монет,для кото-то 2* хи)10. Если 2-0 , ю О . Положим

»едположиы, что для 1< к величины ? и,

феделены , к^Д . Тогда 9К -первый мокенг,больший, чем

>а

, для которого

злагаеи

■2- + ХИ) , если О < + < 0/ , если +

Я еоли ек < £ ч< е,< ♦ .

=

- 1С -

22£еа5Й£2Й2_£л Процесс Х°Н) называется сложным процессом полунарковского блуждания при наличии экрана.

1 1 1 .-

1_ __' ^ ,

-! X ' X

-¿¿а:__

Глава 3 посвядена изучения классов случайных процессов,по-стреенных по суимаи независимых случайных величин. В § 3,1 дано определение процессов $(+) и В £ 3.2 изложен ыатод решения уравнения типа свертки ш полуоси.

В 3.3 ва!:дены преобразования Лапласа распределения процесса и распределений его основных граничных (!ункцгона.тсч Преобразование Лапласа преобразования Зурье распределения имеет следувиий вид:

ОО , Ю

о -

I 1-ЦМ

А )

где

о

-э ' 00

- II -

Преобразование Лапласа преобразования Фурье распределения супремума имеет вид{

- ^ °° ¿Л X

Зи-о={£А \г с/хГI ^р

о - ОО 04

о

гл*}!*)^! Рг*) = хе(-<*>,+

Преобразование Лапласа совместного распределения момента Тх. и величины перескока процесса

имеет вид:

где

сю

о

. я. Е С Е- ■

- 12 -

Найдено преобразование Лапласа созыесгного распределения BmltmyiiQ, оупреиуыа и значения процесса

sup $(s)<£

о OiSff

¿(}j Jir ~ (a,, €,)-

oo c-j

. — CO — c^»

CJ)

<J2) ^ aaro-x} tra-x))]-

— с**»

C<? .

£ra-«f)J- fr; (t-a-frUytiUorC-*, Crt-*W ,

где

C-O oo

ei ее,= z: f o<) f r* г%.i-y. лj„.

-ее " <* <J > d"

-At — +■

о

Г" ( x, /3, йЬ p (Tx (- Sjc^ Sjefij,

Po

- 13 -

I б..... борвлеьские «нояестиа.

В ^ ЗЛ найдены преобразования Лапласа распределения прокоса ХШ н распределении его основных граничных функционалов. Преобразование Фурье распределения процесса ХН) выест вид:

К " О К

•АС

К + 1 +• -) • ¿а 'V/

Ириобрааоиьаив /.апласа распределения процесса X, (£) ¡уест следущи.'". вид:

о

оо г-о

X * \

П-1-ОО - Оп ~ о-а - <х>

^ и ^ и

& к.

©о

о

к и

¡Z,Íl)= £(Х- ZJ+Ky-zJ I £ pjüJU

h-u.

■Х-}

•О h

t-k K { С t и -'к-Т* Ц) Z)1 j 1 Kí(-

o

Найдено преобразование. Лапласа совместного распределения момента первого пересечения некоторого уровня X в перескока через атот уровень процессом ХШ , в котором коэффициент В,, ( Л, Xj yj I, h.) заменяется . функцией

СвО,х,у/2,к) =

=*> 7 х

О , °

>X4^-2jdff CP) ■

Найдено выражение преобразования Лапласа совместного распределения ия£>!шуца, супремума и значения процесса $(4) «в котором коэффициент {Ьд (), , j k) заменяется через

к

оо

оо

{ е-^[Л-Ч'у-*-/5]^),

к О

КООДЯЦИвНТ

заменяется через

А*-

= есх-юр.ц-г)] ё ¡>шЛ*

Ь-и

сю . /

0-1

4.-Н . <Ь(К-Л)

[ ЕЪ и-ь

о

Глава 4 посвяиена изучению классов случайных процессов с за-1ераиваюяим экраном,построенных по сумиаи независимых случайных

18ЛИЧИН.

В £ 4.1 даны определения процессов и X*,

В £ 4.2 даны интерпретации процессов и ОС в теории

шссового обслуживания, теории надежности я теории управления I аласами.

В 5 4.3 наидены преобразования Лапласа распределения процео-¡а $*"(<•) и распределении супремума совместного распреде--

гения первого иоыента ^хС^*) пересечения некоторого уровня X I перескока через этот уровень совместного распределе-

шя супремума и значения процесса. Б частности .соответствуйте эезультаты получены для процесса , когда он имеет единич-

но скачки вверх и вни:9 .

Преооразорание Лапласа распределения имеет сведущий

вид:.

ка*/1) - \ I* Р {$'<*>< *15ю)-**]<и =

0 ^г

• сха Л с«

1 у О С

О- ч>(Ю]м €>с*

к

Г ^{^М^ е_

гдв

1-0, Е {¥(*)**}</+'

о

- - 0 - т

^ ^ -процесс,построенный по парам { ^к,- }, ^г ^ ОI первый моьент пересеяения уровня процессов 5 (£) и переск! через этот уровень соответственно.

Аналогичные выражения получены для преобразован!';! Лапласа ^ 5< ^ ' »совместного распределения перного момента пере сечения некоторого уровня X и перескока верез этот уровень процессом , совместного распределения сулре.чука и зваче

- 17 -

и г, процесса. Б частности,соотвегсглуюиие результаты получены пя полуиаркоиского блуждания с едиьичниии скачками вверх и низ.

В § 4.4 наЛдены преобразования Лапласа распределений суи-арного процесса полумарковского блуждания о задеряиваюяяи эн-анои я его основных граничных функционалов. Итак ,

1 е Г [ х ¡ион г, Ч1-. ф1 = А0(ь,х/зЛ) +

о

схр !>•*> «ГО

п-< с- ¿> а

'Де

О ^ Ьк

- о-л * " ' О

х- >

ец-г-^б^К (р)1

- Г8 -

¿-к.

х { С ^ и-т- ь)] ^ л.

о

Аналогичные выражения получены для преобразований Лапласа процесса х'а) , когда одна из процессов ХГ(£), "Х-'Ц) является обобцеиным процессом Пуассона со скачками одного знака.

Глава 5 посвящена изучению асимптотического поведения процессов когда ояв зависят от одного параметра.

5.1 изучено" асимптотическое поведение процессов

и ХО-)

. Доказаны следующие теоремы. Теорема 5.1.1. Пусть существуют М ^ -С1{ у А'7,-^г, ^^г

I

-iJ

Тогда распределение S^M слабо сходится приТ-*<»к распределению винеровского npuecca Wl-t), í tCo(l] , Подобная теория доказана для процесса

XtM^JL [x<iT)-atr]\

' Ver u

ГДе , . «

' + г« г,-;3

если суцествуют вторые моменты случайных величин ?■] > ^ * В J 5.2 доказаны теоремы об асимптотическом поведении про-

цессов ХУН) «

х*(ег)-<нт]>*бС*П. .

г \С I

Теорема 5.2.1. Пусть супествум вторые иоиенты случайных величия , и С1>£>. Тогда X Ц-) асимптотически нор-

мально со средний и дисперсией С £ .

Б условиях теореиы 5.2.1 распределение слабо сходится к распределению винерояского процесса №(<■), ¡-Ч1]. Представляет интерес п случаи, когда 0 = 0 .

Теореуа 5.2.2. Пусть суиестэуют вторые иоиенты олуча:!н»х

V г +

величии §|" , у" и С?-0 . Тогда распределение процесса т \'сТ

слабо сходится к распределение , { € Со,(] ,гдв №(+) -

винеровски;; процесс.

Для' доказательств этих теореы понадобилось доказательство асимптотически нормальности процесса , проверка' условия компактности иер й ^[0,1] • Кроме Того,доказано, что ^имеет асимптотические независимее прирасения, причги

асимптотически повпадапт.

Глава б посвяаеяа доказательству зргодической теоремы для процесса и найден явный вид эргодическсго распределения.

В § 6.1 доказана эргодическая теорема для процесса ОС (+] . Теорема 6.1.1. Пусть выполнены условия:

У +

I) ь икевт пари^иетическив распределения и конечные иатематические онидаяил,

- 20 -

2) суцестауюг конечные математические огидания 14 •

3) мЛ н2£~ < о ■ м м

То тогда Х*(+) эргодичен.

Для доказательства втоИ теореиы потребовалось доказательство нескольких лемм,

В^б.2 вычислено аргодическое распределение процесса ЗС Н) Глава 7 посвяцена предельным теоремам для последовательности процессов $„1+) , ХцЧ) , построенных по схеме серия случайных величин

I г"1' (л) I т-тг ,

I , и , И»/,«*.. >0 .И

и для последовательности функционалов от этих процессов.

Пусть имеется последовательность серий пар случайных величин { ^|<М> , "В какйой серии пары являются независимыми и одинаково распределенными. Построим последовательность процессов полумарковского блуждания:

>. ' ^ I и \ то , „ ( ^ ♦' 1

^ и) - с ^"1, к) Ц i <, с с .

К-1 ^ ^ к - 1 К" 1

Предположим, что величины и бесконечно малы,т.е.

для всякого • £ > О

—• 4 ■ J

В ^ 7.1 доказана теорема о возможных предельных процесса* для последовательности процессов ^ [■{).

Теорема 7.1.1. Пусть конечномерные распределения процессов ({) сходятся к конечномерным распределениям некоторого процесса $ (-0 и для каждого совокупность случайных вели-

? - 21 -

чин { 5,1 i-'j огрпя.ч'.сна no вероятности. Тогда супссяву-ет такой двумерный обривашийсп процесс с независимыми прирапе-ниями ,где -неотрицательны!! возрас-

тавший процесс, что для всякого ■£> о - 'Ч ( )) > где « если f(S-oj < t< § (s) ; при этой считаем, что

5"'(Г) = -ни . Особый интерес представляет гот случая,

е (и) (и) когда величины , независимы.

vin) гп ( п )

Теорема 7.1.2. Пусть величины и независимы

и колечпотраге рнспролеле.чяя проиоссов сходятся к ко-

мочнгихрпьм распределениям некоторого процесса . Тогда су-аествует однородный процесс с независимыми прирзиениямя и обривзгвийся возраставший процесс с неаависинынп прираоеииями ,лрич?к зги процессы независимы, такие, что В § 7.3 изучена сходимость распределения процесса Пусть заданы последовательности серий независимых'в каждой серия одинаково распределенных случаен!« величия

Все величину предполагается положительными и беокоиочиомалыми.

Построим процессы полумарковского блуждания t О*«-) V"

' К-.l К= I

в по этим процессам - суммарный процесс полуцарноьского блуждания . _ , :,

x^it) - ЭС^ îf) - 0С,г HJ .

Если оба процесса

п

' О)ограничена по пероятностя, то

предельный процесс и,«зет вид:

где (^-некоторые обрыааюциеся возрастайте процессы с независимыми приравениями, при чей все четыре процесса (4-), независимы мохду собой. В случав неограниченных по вероятности процессов ОС' {V имеет место, следуюцая теорема.

Теорема 7.2.1. Пусть конечномерные распределения процессов сходятся к конечномерным распределениям некоторого процесса 0С(Ь) к Если процессы ОС (+) неогранкченн по вероятпости, то Х'С4) является однородным процессом с независимыми прираце-"инми.

В 7.3 показано, что конечномерные распределения последовательности процессов. сходятся в 2к распределении) 'процесса

Пусть доказано, что распределения последовательности процессов и) сходятся в к распределение процесса Построим процессы о задврхиваюшим экраном в точка О : Ц-)) $ *"(■£)• По формуле А.А.Боровкова

. Преобразование

А С<*IV]а(°>аш)

непрерывно в топологии ¡У преобразует ^ в ^ . Поэтому для всякого 0 -непрерывного функционала

функционал .. _ , 1

- 23 -

гакШсУ -непрерывен. Следовательно, распределение сходится к распределении ( 5)) . Отсюда вытекает, что для всякого 7 -ненрорнвнсго функционала р распределение ( >) сходится к распределению f ( 5* (■ >) .

Тем самым установлено, что распределения процессов с задерживании экраном сходятся в сс,«7 к распределению процесса $*((:) = $(*)- (О Это замечание носит обпий ха-

рактер и яе связано с конкретным видом процессов.

Глава 8 посвяшена исследованию процесса X 1+) . В этой главе найдены преобразования Лапласа распределения процесса X и ого основных граничных функционалов, доказана эргоди-ческая теорема для процесса X 1+) , исследовано асимптотическое поведение распределения процесса X (+).

В § Р.1 даны определение и постановка аадач.

В ^ 6.2 найдены преобразования Лапласа распределений процесса Х({) я его основных граничных функционалов.

Итак,преобразование Лапласа распределения процесс?. ЭС ({■)

имеет вид:

оо

[¿х* 2 {%(*)<*н-*>ч)^ = 4(А,*Мf

СО СХЗ ОО

п - I О О о

уГ С Л, ¿у», ¿и* б/»-0Х ГА, эс 1уп,ип),

где

К (Ь, х/2ЛЬ С (х- *) I ё**с (-ф. + \с*с <•+Ф

О К

Х-2 О

к

/¿ДЬ [£ (»-г; - £ Сг-*^/ ¿^ +

Ь-и

т'-< я-*- - х.тг

, С <* * и- 7-0 - :Ь-Т )] м■С^

с

Подобные ([ори^ли получены для преобраэоьаиий Лапласа рвспродс-лени!1 для основных граничных функционален от процесса X И) . В § Ь.З исслодовано асимптотическое поведение процесса

Доказана теорема о том, что «ели случайные воличтпы

о; £ С ,, \

¿1 имеют конечные вгорье моменты,_то процесс Л'/гу асимптотически нормалей с математическим ожиданием и с дисперсно!! СI .

Далее строится процесс

Х..ЛО ~Ц I'xarj-iUr] . i ■ r L-

;.( (мльч-автся Г'.'Г! ""л, здшогпчрко fop^tmi 5.2.1 и

Ь 5 Р.4 лоичнама эрголнчоская топрта для ипонпсгп >. I t) r-i>,-.t;Yi Г;.4.1. Пусть суг.гсгк/рт ÍW * M и пологи-

7*ЛПЧЛ а"!ЗТ!:оиТЯ рЧС!1|'г'Г.0Л>Ч'ПЧ Р»|Т>ЯТИООТОЙ ьоличкн ? * ,

:: и«;' . Гггта процесс % (Oorrorx.iPit.

;лл л'^члат'.-льстга t':o,*:«;.::í ви^ртч влоя^нная цоль ¿лгкое-ч, тч.счл,

1) ч: ofii nun бклэ огрпиичоиа по ¡.юроягиостя; это уел о г. по о'псгтлм«-* су:>':сгцоюн;!п конечных яимциюнтга« гор для œim,

2) что» для !ic-ч суотстгов-зла яоэджятр-шмя компонента во-

ро.щгсстй ri !'ixo.:/.3, firtco.'mTHo пеприры'-кой относи г vu-no t.ujpu ."je.vra в R1" ; это услогяе обйзппч:иг5Рт плтеоп^ниость (/точной чолст:'Т"ЛьвоГ. vor«.

Гласа ^о^-т^лз ;:пучссэт пгоь-осса 'K'lO. b 5. !!-ii:.V И J гр'зс^гляспчияя Л.ПД1С1 {«сп{ "л'моил;! п;.0-:.сзсэ Х'Н) я tve о:ге!т-;х гр^шгишх • f1гкt::тон«лоь. Огт.'рт!-:, '¡то укэзайнио i-t- ярел^л'л'гя tiwmi взЕдмчг д,:ч пго"(-этз XV-', i ()> г.лтгм ллл П; c!irsc'i Xr(í).

3 ) Э.З £гк:1т>т щ.го.гпоптп Tippen яяч пго тссэ a ?гду тгго, что п:tr '-с* ' tíJ re ягыгчлтея гKcp-jK.vt, к гчг до*5аалппт-зл nnoweca

i ,-lt 1 ■ > , I I

^ [ M Y '

.'orv.T r«" 'c:."oc

[х°Н), 6*(+), &'(*), 5«)]

будет однородным марковски« процессом. Моменты &к являются моментами остановки для атого процесса. При згой

{ хв(вк), 5-(е*), $(0<)}

будет вложенной цепью Маркова*Так как Хс( ) 6

« го»полагая Бк =, Ь (в*),будем иметь [ 5* , £«] -однородную цепь Маркова.

Теорема 9.3.1. Пусть I) сунествуют первые моменты величии , ; 2) ^ имеют иередетчатые распределения;

3) выполняется условие МЧ/ М М*^- М

4) суцествуют плотности распределения вероятностей величин § ,

; 5) воякой непрерывной ограниченной функции функция МСФ^пЧр (2,-х> такие непрерывна;

б) величины М( ?|С/5(, £<) и ¡^1, ограничены.

Тогда процесс Хс1±) эргодичеи.

Для доказательства теоремы доказывается эргодичность цепи ^к] и конечность

О

( [ М (0М, - ©К * с Д.-х'■ ^ ■- '

- о" о .

• где _р(с1х/ ¿у)— зргодическое распределение для цепи .

В § 9.4 вычислено зргодическое распределение процесса

ОС? со О О с<о

[ ( И с

■ О О О -¿> 0 о ■ 0 й 01

о -

где ^ (■(■ является х уЗ -измеримой функцией.

-С -алгебра, порокденноя подмножествами пространства Х= ( (?4, , , - С - алгебра, порожденная под-

множествами пространства , эргоди«еское

распределение для цепи [ Г(< £Гк } >

' 1

■23 $¿$-1+

н- и

(. -1 «. = '

п £[ ь^е^}*

л.

X с-Г

г. greJ/i .

L'-1 1 J=1 i=mí,i °

n-O íT7 f ru,««"

Î í ^ f _ f би) f

¿S;4* + «fцхц,х) ¿y

P { ?Г > * + f A., xj - Ç S J /1 P f Çfe J S¿ j I + «ff *¥

1 '

¿ = /, It

f ( ОС,, *) + с < - g 'Г C^jff £7 Гс с/у, }ж

ГМШ С"/ á. J .

n L-i ,~m t-l I J

ь n

X I {{ +

- и; г, в Т[х,вс/уч}

В § 9.5 «еоледован процеос Хс(+) , когда случайные величины "чес* показательное распределение с параметрами 1 ^ соответственно.

Найдены преобразования Лапласа распределений самого процесса Х1((-) :< его пзковних граиичпых фикционалов и на!;дои пвяиМ вид эргодичпехого распределения

оо о ]

О ' ^ О о

[и*.* г.)а-ч>ч,'.))]\

I

к

¿-I с а

о . оо »но С1

- эо -

В § 9.6 иссдедоиаио асимптотическое поведение процесса Доказаны теоромы,аналогичные теоремам 5.2.1 и 5.2.2.

Ь £ 9.7 иссдедоиаио суммы потери и дополнительного поступления системы, функционируемой процессом Хс<+) .

Пусть = ОСЮ-¿1+) означает оумму потеря и дополнительного поступлелия оистемы,функционируемой процессом ОС'Щ. Доказаны следующие теоремы.

Теорема 9.7.1. Вели процесс Хса) зргодичен, то с вероятностью I'.

р. Ш _ (

й- й(,т)

Теорема 9,7.2. Если С1=о, то величина и-т имеет отраженное нормальное распределение.

Теорема 9.7.3. Если Й>0 , то { £1 >п ■*-]-

о ( 0 1 1 * * ^

— Р 5 212 V -последний номер выхода процесса

из состояния "О",

Далее ^ 9,8 найдены формулы для первых вторых моментов ергодического распределения сложного процесса полумарковского блуждания при наличии экрана для инженерного использования, когда £ * , ичеют показательное распределение с параметрами , /Ч соответственно.

Обозначим

К*

°7 л , с вероятностью

% ч

1С I , с вероятностью ,

НпИдени

Л, ¿£1-п М л* - нх**(+)

I Ь Г" > 1 >

Итак,

= г + | ^ с/^ Ы

/мГ

схр {- (н-п^/ллч,} ехр 1-Я мч /1 _

г J да

В глзеэ 10 изложен оснознье результаты и выводы.

1. Нагдеиы распределения процесса полукарколского блуждания и его основных грапичлгх функционалов. Доказаны предельные теоремы в схеие серии.

2. Ншдены распределения процесса полуыарковского блуждания с зядержиЕаюпим экраном и нуле и его основных граничных функционалов. Донизаны для иего эргодическая теорема и предельные теоремы а схеме серий.-

3. На»;дщш распредзляния суммарного процесса полумарковско-

- 32 -

го бл«*дания и его основных граничных функционал о в. До кал am' предельные тлореми.

4. НяЙдены распределения суммарного процесса полумаркерекого блуждания с задерживающим экраном в нуле и его основных граничных функционалов. Доказана эрподимаская теорема дчя него.

5. Найдены распределения сложного процесса полумарковского {»луждяния с отражающим экраном м его основных граничных функционалов. Доказана аргодмческая теорема. Исследовано асимптотическое поведение.

6. Найдены распределения сложного процесса полумарковского блуждания при наличии екрана и его основных граничных функционалов. Доказана эргодическая теорема и вычислено эргодичеексе распределение. Найдены фирмуль- дпн первых втерих моментов вр-годииеского оаспределен'ия для инженерного использовании и мс-слб.д1вано асимптотическое погедение.

Основные рр^.'-'ьтагн. диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Джафароь К.Si.,Насирова Т.И.,Сгор'>'сд A.B. О пределе некоторой последовательности процессов с полунеэави-иными приращениями// .Теория вероятностей и иат.статистика.1971..¥5.6.14-18.

2. Бунятэаде P.P..Джафаров К.Ы..Насирора Т.Н. О пределе некоторой последовательности процессов с полунозаЕисммьми приращениями//.Теория вероятностей м мат.статистика.1973.Jfb.С.7-9.

3. НасироЕа Т.И., Скороход A.B. Распределение некоторых функционалов от процессов с полунезависимыми приращениями.-Урр.мат.жури.-1973.-35,№3.-С.400-405.

4. (¡асирова Т.И. О предельной распределении некоторых функционалов от процессов с полунезависимыми прираценирми//.Теория

рероятностей и mit .статистика.-1974. И2. С.106-108.

б. Ахмедогл Х.М..Насмрива Т.Н. Нестационарное распределение уровня запаса для одной модели теории управления запасами//.Из в. АН Аяерб.ССР.-1975 Л2.-С. 19-22.

6. Нлеирова Т.И.,Скорэход A.B. О функционалах от процессов п полунезависим«™ прирвцениями/ЛТеорм случайных процессов. -1975.13.-С.ВО-64.

7. HacvpoBa Т.И., Скорожэд A.B. Об одном классе скачкообрат-Н'тс прсиес-ов с задер^иваг-яим эераном//.Теория вероятностей и мат. статистик*.-t977,#16.-C.75-6Ö.

6. Насирова Т.И. Об одно* модели управления ааласрмн//.Теория случайных прг-иегсов.-1978..*б.-С.107-119.

9. {¡асир^г? Т.И. 0б эргодической теореме для лекотсрих полу-мчрксвстх проие"СРВ с раг.ертавлптим эгр&нои/ЛТмрия вероятностей й мят.стчти.-тяга.-Г9*'9Д20.-С.90-97.

10. Осрсхзд A.B..Нчсирова Т.И. Об эргодичеекбй тесремэ лля сднсго кляооя гпсцесооц,построенных по суммам нечависи1,ых//.Теория вероятностей и мат.статистика.-I9bG.!f22.-C.I35-I45.

11. Скороход A.B.,Hic*pcpfl Т.К. Об саимптстическом поведении в одной схеме управления эапасмди//.Теория перояткостей и мат. статистик«.-I96I.W. -С. 30-10.

12. Скороход A.B. ,Н?гирпга. Т.Н. Предельнее теоремч для некоторых классср случийных процессов,евя-~вккых с поц-мяркопскимп бяуж-ланкякм//.Теория рероягнсстей и маг.спиистик<\.-1981.У£5.-С.125-139.

13. Насигэра Т.И. Оочмке процесс;: штумарковского блуждания

с огргшчдаи экрчном в )'уг.еУ/ Мчрховскив проиесск.-С*рмор,-1%1.--С .20-25. ' .