Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в задачах вариационного усвоения данных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в нелинейных задачах.

1.1. Принципы построения сопряженных операторов в нелинейных задачах

1.2. Алгоритмы возмущений для нелинейных уравнений общего вида и уравнений с сопряженными операторами

1.3. Алгоритмы возмущений в квазилинейных эволюционных задачах ,.

1.4. Алгоритмы возмущений для вычисления функционалов на основе сопряженных уравнений

Глава 2. Сопряженные уравнения и операторы управления в задачах об усвоении данных

2.1. Постановка задачи об усвоении данных.

2.2. Линейная задача об усвоении данных. Свойства оператора управления

2.3. Фундаментальные функции управления.

2.4. Обоснование алгоритма возмущений и разрешимость нелинейной задачи

2.5. Задача нечувствительного оптимального управления

2.6. Случай вырожденного наблюдения.

2.7. Проблема об усвоении данных для квазилинейных сингулярно возмущенных задач

Глава 3. Операторы управления в задачах восстановления функций источников

3.1. Постановка задачи

3.2. Свойства оператора управления

3.3. Фундаментальные функции управления.

3.4. Обоснование алгоритма возмущений для нелинейной задачи об усвоении данных.

3.5. Случай несимметричного оператора А

Глава 4. Операторы управления в задачах восстановления источников и начальных данных.

4.1. Постановка задачи об усвоении данных.

4.2. Линейная задача об усвоении данных. Свойства оператора управления

4.3. Фундаментальные функции управления.

4.4. Обоснование алгоритма возмущений и разрешимость нелинейной задачи

4.5. Случай несимметричного оператора А и вырожденного наблюдения

Глава 5. Итерационные методы решения задач об усвоении данных

5.1. Итерационные алгоритмы восстановления начальных данных

5.2. Случай несимметричного оператора А

5.3. Итерационные алгоритмы решения задач о восстановлении источников

5.4. Итерационные алгоритмы одновременного восстановления источников и начальных данных

5.5. Проблема об усвоении данных для квазилинейных сингулярно возмущенных эволюционных задач

Как показали исследования последних лет, теория сопряженных уравнений и алгоритмов возмущений играют важную и незаменимую роль в анализе сложных систем, оценке чувствительности математических моделей. Теория чувствительности на основе сопряженных уравнений может быть с успехом применена к ретроспективному анализу процессов, описываемых имитационными моделями, а также к исследованию самих моделей, реализуемых с помощью современных вычислительных технологий. В последнее время объектом широкого фронта исследований становятся нелинейные задачи, которые чрезвычайно сложны для анализа и интерпретаций. Кроме того, задачи об усвоении данных, связанные с четырехмерным анализом данных наблюдений, как правило, являются сложными нелинейными задачами оптимального управления, включая задачи с существенно нелинейными операторами. Мощным методом исследования нелинейных задач на основе теории сопряженных уравнений в настоящее время является метод возмущений, который зачастую выступает уже как метод математического моделирования. Применение метода возмущений часто позволяет решить такую важную проблему как исследование разрешимости математической модели и провести сравнительный анализ математических моделей сложных систем на основе теории сопряженных уравнений. Поэтому весьма актуальным является дальнейшее развитие теории сопряженных уравнений и алгоритмов возмущений для анализа и численного решения нелинейных задач об усвоении данных.

Сопряженные уравнения все более активно начинают проникать в различные области математики и ее приложений. Как известно, математический аппарат сопряженных уравнений в своей классической форме хорошо развит только для линейных задач. В последние годы исследователей все больше привлекают нелинейные задачи математической физики, и, естественно, при этом возникают те или иные обобщения теории сопряженных уравнений, имеющие оригинальное значение для классов задач. Одно из таких обобщений было рассмотрено в работе Г.И.Марчука (1974). Большой интерес вызывают подходы, связанные с построением сопряженных операторов в нелинейных задачах и сформулированные в работах В.П.Маслова (1984), а также В.С.Владимирова и И.В.Воловича (1985). По-видимому, плодотворной окажется также теория нелинейных сопряженных операторов, предложенных М.М.Вайнбергом (1979). Исследованию данных вопросов посвящены также работы Г.И.Марчука и В.И.Агошкова (1986), в которых предлагается принцип построения сопряженных операторов, имеющий смысл для достаточно широкого класса нелинейных операторов. Впоследствии были предложены и исследованы новые подходы к построению сопряженных операторов в нелинейных задачах математической физики на основе применения групп преобразований, законов сохранения, общих теорем вариационного исчисления (см. [127]).

В последние годы в связи с бурным развитием вычислительной техники и новых вычислительных технологий появляется возможность решения важных прикладных задач. Однако на практике возникают столь сложные задачи, что и современный уровень вычислительной техники оказывается недостаточным для их успешного решения. В силу этого такие задачи приходится заменять упрощенными математическими моделями, полученными некоторыми достаточно строгими методами. И одним из основных таких методов в настоящее время является метод возмущений, который здесь уже выступает как мощный метод математического моделирования.

Математическая теория возмущений была сформулирована в работах А.Пуанкаре и А.М.Ляпунова. В том виде, в котором алгоритмы возмущений применяются в задачах на собственные значения, они были разработаны в трудах Релея и Шредингера. Математически строгая теория возмущений, по-видимому, начинается с работ Ф.Реллиха. Дальнейшее развитие математическая теория возмущений получила в работах К.О.Фридрихса, Т.Като, Н.Н.Боголюбова и Ю.А.Митропольского,

A.Б.Васильевой и В.Ф.Бутузова, М.И.Вишикаи Л.А.Люстерника, Б.Секе-фальви-Надя, Ж.-Л.Лионса, С.А.Ломова, Н.Н.Моисеева, В.П.Маслова,

B.А.Треногина, Р.Беллмана, А.Н.Филатова, М.Д. ван Дейка и многих других. Эти работы продолжили пути развития теории возмущений в применении к широким классам задач математической физики. Однако объединяющей идеей всех этих работ, как правило, являлась возможность разложения решения по малому параметру и обоснования сходимости полученного ряда к точному решению задачи.

Следующий этап активного интереса к сопряженным уравнениям и теории малых возмущений следует отнести к теории ядерных реакторов. Эти работы начались с исследований А.Вайнберга и Е.Вигнера для простейших так называемых диффузионно-возрастных моделей переноса и замедления нейтронов и были в дальнейшем обобщены на кинетические уравнения реактора в работах Л.Н.Усачева, Г.И.Марчука и В.В.Орлова, А.И.Могильнера и В.Я.Пупко и др.

Новый подход к сопряженным задачам был сформулирован в работе Б.Б.Кадомцева [68] для точечного источника в задаче переноса нейтронов. В работе Г.И.Марчука и В.В.Орлова [134] дана общая формулировка сопряженных задач по отношению к линейным функционалам задач, которыми, в частности, могут быть измерения физических процессов, свойственных теории переноса излучения.

В дальнейшем в работах Г.И.Марчука было дано развитие теории сопряженных уравнений и алгоритмов возмущений по отношению к заданным функционалам для некоторых классов задач математической физики. Оно оказалось плодотворным и для многих других направлений науки. В результате появились более или менее общие подходы к исследованию сложных систем и математических моделей. Эти подходы явились основным содержанием многолетних исследований Г.И.Марчука и его научной школы в различных областях математики и ее приложениях к проблемам диффузии, моделям охраны окружающей среды, теории климата и его изменений, математическим проблемам обработки информации со спутников, математическим моделям в иммунологии (см. [23], [57], [60], [112], [114]—[116], [119], [120], [127]-[131], [133], [135]-[139], [269], [291] и др.) Вместе с развитием методов сопряженных уравнений и алгоритмов возмущений формировался рациональный подход к решению обратных задач и планированию математического эксперимента (см. [113], [114], [130]).

Методы возмущений широко применяются для исследования и численного решения различных прикладных задач. Тем не менее, разработка и обоснование алгоритмов возмущений для нелинейных задач математической физики на основе теории сопряженных уравнений, включая нелинейные задачи оптимального управления, является актуальной проблемой, еще открытой для большинства прикладных задач.

В настоящее время в связи с исследованиями глобальных изменений очень важной является проблема получения и рационального использования данных измерений с целью ретроспективного анализа в различных областях знаний (см. [291], [283], [155], [88], [171], [12], [316], [296], [240], [306], [268]). Математическая модель данной проблемы может быть сформулирована как задача об усвоении и обработке многомерных (включающих зависимость от временной и пространственных переменных) данных, представляющая собой одну из задач оптимального управления.

Начиная с работ Р.Беллмана, Л.С.Понтрягина, Н.Н.Красовского, A.M.

Летова, Ж.-Л.Лионса, Р.Гловинского, А.Балакришнана, Г.И.Марчука, Н.Н.Моисеева, Ю.С. Осипова, А.Б.Куржанского, Ю.Г.Евтушенко, постановки и изучение таких задач на основе теории сопряженных уравнений привлекают внимание многих исследователей, занимающихся приложениями методов оптимального управления для практического решения тех или иных проблем. Наибольшее развитие эти методы получили в задачах ядерной энергетики, физики атмосферы и океана, экологии и др. (это работы Г.И.Марчука (1961), В.В.Пененко и Н.Н.Образцова (1976), Г.Р.Контарева (1980), Дж.Льюиса и Дж.Дербера (1985), И.Навона (1987), Ф.Диме (1982), Ж.-Л.Лионса (1988), П.Куртье и О.Талаграна (1987), А.Лоренца (1988), В.И.Агошкова (1993), В.И.Агошкова и Г.И.Мар-чука(1993), Г.И.Марчука и В.Б.Залесного (1993), В.М.Ипатовой (1992), Г.И.Марчука и В.П.Шутяева (1994), В.Б.Залесного и М.Венцеля (1996), и других).

Эти работы тесно примыкают к исследованиям по обратным задачам (см. А.Н.Тихонов [177], [178], М.М.Лаврентьев [89], [273], В.К.Иванов [63]—[64], А.Л.Бухгейм [25], Ж.-Л.Лионс [272], А.И.Прилепко [161]—[164], В.Г.Романов [167], Ю.Е.Аниконов [13], Т.А.Гермогенова [42], В.Исаков [264], А.В.Гончарский [48], С.И.Кабанихин [67] и др.)

Оказалось [227], что задачи об усвоении данных эквивалентны, в определенном смысле, некорректно поставленным задачам, что обуславливает трудности решения этих задач и одновременно приводит к необходимости привлечения здесь методов регуляризации, разработанных в трудах А.Н.Тихонова, М.М.Лаврентьева, Ж.-Л.Лионса и др.

Разрешимость задач оптимального управления и строгое обоснование численных алгоритмов их решения - непростая проблема для нелинейных задач. Достаточно полные результаты, касающиеся разрешимости линейных задач оптимального управления, были получены в работах Ж.-Л.Лионса с использованием разработанного им общего подхода HUM (Hilbert Uniqueness Method). Дальнейшее развитие этого подхода, а также другие методы исследования задач оптимального управления рассматривались в работах К.Бардоса [233], Д.Руссела [312], А.И.Егорова [56], А.В.Фурсикова [256], [257], Ж.Корона [246], Ж.Пуэля [307], Е.Зуазуа [348] и др. Подход Лионса HUM был обобщен с помощью метода малого параметра на некоторые классы нелинейных задач в работах В.И.Агошкова и В.М.Ипатовой [4], [7], посвященных проблемам нечувствительного оптимального управления.

Некоторые результаты о разрешимости слабонелинейных задач об усвоении данных были получены в работах В.И.Агошкова и Г.И.Марчука [227], В.М.Ипатовой [66], В.П.Шутяева [322], [325]-[326], а также в монографии [290]. В этих работах был разработан другой подход, отличный от подхода Лионса, к исследованию разрешимости задач оптимального управления. Этот подход заключается в следующем. Сначала рассматривается линеаризованная задача идентификации, которая формулируется в эквивалентном виде как переопределенная система, включающая основное и сопряженное уравнение и дополнительное условие оптимальности. Из этой системы путем исключения основного и сопряженного уравнений выводится так называемое уравнение для управления вида Ьи = Р, где Ь - линейный оператор, и - искомая функция (управление), а правая часть Р определяется через исходные данные задачи. Оператор Ь будем называть в дальнейшем оператором управления. Несмотря на всю сложность исходной задачи, операторы управления обладают, как правило, "хорошими" свойствами: они являются симметричными, неотрицательно определенными и зачастую вполне непрерывными. Оказалось [290], [210], [211], что знание свойств этих операторов, и особенно их спектральных свойств, очень важно для исследования разрешимости исходной задачи оптимального управления, а также для разработки и обоснования численных алгоритмов ее решения.

Задачи на собственные значения для операторов управления являются неклассическими спектральными задачами, малоисследованными в настоящее время. Некоторые результаты о свойствах спектра операторов управления были получены в работах [210], [211]. Структура спектра операторов управления может быть очень сложной. Спектр может включать в себя точечный и непрерывный спектр или состоять только из существенного спектра, что зависит от свойств операторов исходной задачи. Наряду с исследованием структуры спектра операторов управления важно получить оценки границ спектра, знание которых необходимо для оптимизации численных алгоритмов решения исходной задачи оптимального управления. Некоторые оценки границ спектра оператора управления в задаче ассимиляции данных были получены в работах [210], [211].

В случае, когда оператор управления является вполне непрерывным, он обладает полной ортонормированной системой собственных функций. На их основе можно построить так называемые фундаментальные функции управления [211], система которых также является полной в выбранном надлежащим образом классе функциональных пространств. Используя фундаментальные функции, решение исходной задачи идентификации можно выписать в явном виде. Это дает возможность проводить аналитические исследования решений и, в то же время, позволяет сформулировать прямые методы решения исходной задачи оптимального управления [211].

Как было отмечено выше, знание спектральных свойств операторов управления важно для разработки, обоснования и оптимизации численных алгоритмов решения задач оптимального управления. В настоящее время такие задачи решают методами, разработанными в классических работах Н.Н.Красовского, А.М.Летова, Н.Н.Моисеева, И.А.Крылова и Ф.Л.Черноусько, Ф.П.Васильева, Р.П.Федоренко, Ю.Г.Евтушенко и др.

Ряд новых итерационных алгоритмов решения задач ассимиляции данных предложен в работах В.И.Агошкова и Г.И.Марчука [227], Г.И.Марчу-ка и В.Б.Залесного [293], Г.И.Марчука и В.П.Шутяева [292], а также [323], [326]. Оказалось [292], [323], [326], что сходимость рассмотренных итерационных процессов непосредственно связана со свойствами спектра операторов управления.

В настоящей работе на основе теории сопряженных уравнений и алгоритмов возмущений исследована разрешимость ряда задач оптимального управления, разработаны и обоснованы итерационные алгоритмы решения этих задач с использованием сопряженных уравнений, проведена оптимизация итерационных процессов на основе спектральных свойств операторов управления.

Итак, основная цель данной работы исследование разрешимости, разработка и обоснование методов решения задач об усвоении данных на основе теории сопряженных уравнений и алгоритмов возмущений.

Работа состоит из введения, пяти глав, приложения, заключения и списка литературы. Каждая глава разбита на параграфы (разделы), нумерация параграфов двойная и производится по главам. В номере формулы первая цифра указывает на главу, а вторая - на параграф.

Первая глава носит по-сугцеству вводный и обзорный характер, и ее результаты являются фактически вспомогательными для использования в последующих главах. Глава 1 посвящена принципам построения сопряженных операторов и алгоритмам возмущений в нелинейных задачах. Здесь приведен обзор (см.§1.1) принципов построения сопряженных операторов в нелинейных задачах общего вида, введенных в работах различных авторов, среди которых работы Г.И.Марчука [115]—[116], М.М.Вайнберга [26], [27], В.А.Маслова [2], В.С.Владимирова и И.В.Воло-вича [36], [37], Г.И.Марчука и В.И.Агошкова [123], [124]. Одновременно с этим в §1.1 введено еще одно определение сопряженного оператора на основе формулы конечных приращений Лагранжа (определение 1.1.6), которое применимо для более широкого класса нелинейных операторов по сравнению с другими определениями. Доказана теорема о единственности сопряженного оператора (теорема 1.1.1), введенного с помощью формулы конечных приращений, для класса нелинейных /с-степенных операторов. Установлена связь этого сопряженного оператора с сопряженными операторами, введенными согласно другим определениям (теорема 1.1.2).

В §1.2 приведены алгоритмы возмущений для нелинейных уравнений общего вида и уравнений с сопряженными операторами и дано обоснование алгоритмов возмущений для некоторых классов нелинейных задач (теоремы 1.2.2, 1.2.3). Теор емы 1.2.2, 1.2.3 являются по-существу следствием хорошо известных результатов теории возмущений для нелинейных операторов и дают границы изменения параметра возмущения, при котором алгоритм возмущений является сходящимся. Установлена взаимосвязь между алгоритмом возмущений и методом последовательных приближений (теорема 1.2.4).

В §1.3 доказан ряд общих теорем (теоремы 1.3.1-1.3.3) о разрешимости возмущенных квазилинейных эволюционных задач в различных специальных классах функциональных пространств и дано обоснование алгоритмов возмущений для этих задач, в том числе и в шкале гильбертовых пространств (теорема 1.3.4).

В §1.4 рассматриваются алгоритмы возмущений для функционалов от решений нелинейных уравнений на основе сопряженных уравнений. Здесь дано обоснование этих алгоритмов для некоторых классов нелинейных задач и получены оценки скорости сходимости (теоремы 1.4.1, 1.4.3). Проведено сравнение рассмотренных алгоритмов с методом Ньютона (теорема 1.4.2).

Вторая глава посвящена методам исследования некоторых задач оптимального управления на основе сопряженных уравнений и алгоритмов возмущений.

В §2.1 дана постановка проблемы об усвоении данных для квазилинейных эволюционных задач, возникающей в приложениях, и на основе хорошо известных работ [303], [104] сформулировано необходимое условие оптимальности с использованием сопряженной задачи.

В §2.2 введено уравнение для управления и исследованы свойства оператора управления в линейной задаче об усвоении данных, которые приводят к теореме о разрешимости линейной задачи, в том числе и для случая, когда параметр регуляризации обращается в нуль (теорема 2.2.1).

В §2.3 введены фундаментальные функции управления, которые образуют полную ортонормированную систему в выбранном надлежащим образом классе функциональных пространств и позволяют построить решение исходной линейной задачи оптимального управления в явном (аналитическом) виде (теорема 2.3.1).

В §2.4 с использованием полученных свойств оператора управления дано обоснование алгоритма возмущений и доказана разрешимость нелинейной задачи об усвоении данных в соответствующих функциональных пространствах (теоремы 2.4.1-2.4.3).

В §2.5 рассмотрен и исследован класс задач нечувствительного оптимального управления, тесно связанный с задачами об усвоении данных. Исследованы свойства оператора управления и доказаны теоремы о разрешимости проблемы нечувствительного управления для слабонелинейных квазилинейных эволюционных задач (теоремы 2.5.1, 2.5.2).

В §2.6 рассмотрен класс задач об усвоении данных для случая, когда исходный оператор в эволюционной задаче несимметричен и может зависеть от времени. Исследованы свойства оператора управления в линейной задаче и доказаны теоремы о разрешимости линейной и квазилинейной задач об усвоении данных (теоремы 2.6.1-2.6.3).

В §2.7 исследована разрешимость проблемы об усвоении данных для квазилинейных сингулярно возмущенных эволюционных задач (теоремы 2.7.1, 2.7.2).

В третьей главе рассматриваются задачи об усвоении данных для случая, когда неизвестной функцией является источник - правая часть эволюционного уравнения (§3.1).

В §3.2 введен оператор управления соответствующей линейной задачи и исследованы его свойства, в том числе доказана полная непрерывность оператора. На основе полученных свойств доказана теорема о разрешимости линейной задачи об усвоении данных (теорема 3.2.1).

В §3.3 введены фундаментальные функции управления, доказана их полнота в соответствующих функциональных пространствах и получены представления для решения исходной линейной задачи об усвоении данных в виде рядов по фундаментальным функциям (теорема 3.3.1). Для конкретного вида функционала фундаментальные функции получены в явном виде (теорема 3.3.2).

В §3.4 дано обоснование алгоритма возмущений и исследована разрешимость квазилинейной задачи об усвоении данных в специальных функциональных пространствах (теорема 3.4.1), в том числе и для случая, когда параметр возмушения не является малым (теоремы 3.4.2, 3.4.3).

В §3.5 исследованы свойства оператора управления для случая, когда исходный оператор эволюционной задачи несимметричен и может зависеть от временной переменной. На основе этих свойств сформулированы теоремы о разрешимости для линейной и квазилинейной задач об усвоении данных (теоремы 3.5.1, 3.5.2).

Четвертая глава посвящена исследованию задач оптимального управления с целью одновременного восстановления функций источников и начальных данных (§4.1).

В §4.2 исследованы свойства оператора управления в линейной задаче. Сформулированы условия, при которых оператор управления является вполне непрерывным. На основе полученных свойств доказана разрешимость линейной задачи об усвоении данных (теорема 4.2.1).

В §4.3 введены фундаментальные функции управления, показана их полнота в соответствующих функциональных пространствах и сформулирована теорема о разложении решения линейной задачи по фундаментальным функциям (теорема 4.3.1).

В §4.4 дано обоснование алгоритма возмущений и доказана разрешимость квазилинейной задачи об усвоении данных (теорема 4.4.1). Здесь же рассмотрен случай, когда параметр возмущения не обязательно является малым (теоремы 4.4.2, 4.4.3).

В §4.5 исследована задача об усвоении данных с целью одновременного восстановления функций источников и начального условия для случая, когда оператор в исходной эволюционной задаче может быть несимметричным и зависящим от времени. Сформулированы условия полной непрерывности оператора управления, доказана разрешимость линейной и нелинейной задач об усвоении данных (теоремы 4.5.1-4.5.3).

В пятой главе рассматриваются численные алгоритмы решения задач оптимального управления, исследованных в предыдущих главах. Здесь предложен класс итерационных алгоритмов, основанных на одновременном использовании основных и сопряженных уравнений. На основе свойств операторов управления, полученных в главах 2-4, проведены обоснование и оптимизация итерационных процессов, получены оценки скорости сходимости.

В §5.1 дано обоснование итерационных алгоритмов решения задач об усвоении данных с целью восстановления функций начального условия (теорема 5.1.1), в том числе и для случая, когда параметр регуляризации может обращаться в нуль (теорема 5.1.2).

В §5.2 рассмотрен случай, когда исходный оператор в эволюционной задаче может быть несимметричным и зависящим от времени. Получены оценки спектра оператора управления (теорема 5.2.1), необходимые для оптимизации итерационных процессов.

В §5.3 рассматриваются итерационные алгоритмы решения задачи о восстановлении функций источников, проведены обоснование и оптимизация алгоритмов (теорема 5.3.1).

В §5.4 сформулированы и обоснованы итерационные алгоритмы решения задачи об усвоении данных с целью одновременного восстановления функций источников и начальных условий (теорема 5.4.2).

В §5.5 рассматривается проблема об усвоении данных с целью восстановления начального условия в сингулярно возмущенных эволюционных задачах. Сформулированы и обоснованы итерационные алгоритмы ее решения, исследована зависимость скорости сходимости алгоритмов от параметра возмущения (теорема 5.5.1).

Приложение посвящено применению полученных результатов для исследования и численного решения конкретных задач математической физики.

В §П.1 исследованы свойства оператора управления, дано обоснование алгоритма возмущений и доказана разрешимость квазилинейной задачи об усвоении данных для уравнения движения вязкой баротропной жидкости на сфере (теоремы П.1.1, П.1.2).

В §П.2 рассматривается проблема об усвоении данных для эволюционной (параболической) задачи с линейным уравнением состояния. С использованием результатов главы 2 здесь сформулированы утверждения о разрешимости этой проблемы в специальных функциональных пространствах (теоремы П.2.1, П.2.2). Рассмотрен ряд итерационных методов решения задачи из главы 5 и проведено их численное исследование. Приведены результаты численных экспериментов по решению задачи идентификации начальных данных в параболических задачах с переменными коэффициентами, в том числе и для случая, когда оператор исходной задачи несимметричен и может зависеть от времени.

В §П.З дано обоснование алгоритма возмущений в применении к квазилинейной задаче нестационарной теплопроводности, получены достаточные условия на исходные данные, при которых решение задачи представляется в виде сходящегося ряда по степеням параметра возмущения (теорема П.3.1). Приведены результаты численного эксперимента.

Результаты диссертации опубликованы автором в работах [210]-[216], [290], [322], [323], [325]-[327].

В заключении кратко сформулированы основные результаты работы.

Автор искренне благодарен Г.И.Марчуку и В.И.Агошкову за постоянный интерес к данной работе и полезные замечания и всем тем, кто участвовал в обсуждении результатов и способствовал ее появлению.

Заключение

В диссертации разработаны новые методы решения задач вариационного усвоения данных, основанные на использовании свойств операторов управления. Основные результаты состоят в следующем:

• Исследованы свойства операторов управления в линейных задачах об усвоении данных с целью восстановления функций начального условия и источников. Выявлены условия, при которых операторы управления являются вполне непрерывными.

• Введены фундаментальные функции управления, доказана их полнота в соответствующих функциональных пространствах и получены представления для решений рассматриваемых задач в виде рядов по фундаментальным функциям.

• Дано обоснование алгоритмов регулярных возмущений и доказана разрешимость линейных и квазилинейных задач усвоения данных о восстановлении функций источников и начальных условий в специальных функциональных пространствах, в том числе в шкале гильбертовых пространств.

• Разработаны и обоснованы итерационные алгоритмы, основанные на одновременном использовании основных и сопряженных уравнений, для решения ряда задач оптимального управления. Проведена оптимизация итерационных процессов и получены оценки скорости сходимости.

• Дано обоснование применения полученных результатов для исследования и численного решения конкретных задач математической физики, среди которых задача об усвоении данных для уравнения динамики вязкой баротропной жидкости на сфере, квазилинейная задача нестационарной теплопроводности, проблема об усвоении данных в параболических задачах с переменными коэффициентами и другие.

1. Абрамов A.A., Белаш В.О. Об одном методе исключения для линейных задач // ЖВМ и МФ. 1995. Т.35, №4. С. 499-510.

2. Авдошин С.М., Белов В.В., Маслов В.П. Математические аспекты синтеза вычислительных сред. М.: МИЭМ, 1984.

3. Агошков В.И. Алгоритмы возмущений N-ro порядка для функционалов от решений нелинейных задач и оценка их скорости сходимости // Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в задачах математической физики. M.: ОВМ АН СССР, 1989. С.3-30.

4. Агошков В.И. Разрешимость одного класса задач нечувствительного оптимального управления и применение методов возмущений // Research Report DNM 91/2. M.: ИВМ РАН, 1991.

5. Агошков В.П., Ипатова В.М. О разрешимости основных и сопряженных уравнений в нелинейных задачах // Сопряженные уравнения в задачах математической физики. М.: ОВМ АН СССР, 1990. С.3-46.

6. Агошков В.И., Ипатова В.М. Об использовании законов сохранения при построении сопряженных операторов: Препринт №256. М.: ОВМ АН СССР, 1990.

7. Агошков В.И., Ипатова В.М. О разрешимости задачи нечувствительного управления // Дифф. уравнения. 1994. Т.ЗО, №3. С.520-523.

8. Агошков В.И., Ипатова В.М. Разрешимость задачи усвоения данных альтиметрии в ква-зигеострофической многослойной модели циркуляции океана // ЖВМ и МФ. 1997. Т.37, №3. С. 355-366.

9. Агошков В.И., Мишнева А.П. О нахождении коэффициента дисперсии в нелинейном параболическом уравнении: Препринт №200. М.: ОВМ АН СССР. 1988.

10. Агошков В.И., Попыкин А.И., Шихов С.Б. К теории малых возмущений для уравнения переноса // Сопряженные уравнения и теория возмущений в задачах математической физики. М.: ОВМ АН СССР, 1985. С.76-84.

11. Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

12. Алифанов О.М., Артюхин Е.А., Румянцев C.B. Экстремальные методы решения некорректных задач и их приложения к обратным задачам теплообмена. М.: Наука, 1988.

13. Аниконов Ю.Е. Некоторые методы исследования многомерных обратных задач для дифференциальных уравнений. Новосибирск: Наука, 1978.

14. Асланян А.Г., Лидский В.Б. О спектре эллиптического уравнения // Математические заметки. 1970. Т.7, №4. С.495-502.

15. Бакушинский А.Б., Гончарский A.B. Итеративные методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1989.

16. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973.

17. Бахвалов Н.С., Жидков И.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Наука, 1987.

18. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов. М.: Наука, 1984.

19. Башков H.A., Обруч С.Н. Расчетные и экспериментальные исследования сложного теплообмена в волокнистых теплоизоляторах // Инженерно-физич. журн. 1990. №4. С.554-561.

20. Боголюбов H.H., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Наука, 1974.

21. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

22. Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Понтрягин JI.C. К теории оптимальных процессов // ДАН СССР. 1956. Т.110, №1. С.7-10.

23. Бочаров Г.А. Сопряженные уравнения и анализ чувствительности математических моделей // Депонировано в ВИНИТИ, №2858-В94, 1994.

24. Бутковский А.Г. Методы управления систем с распределенными параметрами. М.: Наука, 1975.

25. Бухгейм A.JI. Уравнения Вольтерра и обратные задачи. Новосибирск: Наука, 1983.

26. Вайнберг М.М. Вариационные методы исследования нелинейных операторов. М.: Госте-хиздат, 1956.

27. Вайнберг М.М. Функциональный анализ. М.: Просвещение, 1979.

28. Вайнберг М.М., Треногин В.А. Теория ветвления решений нелинейных уравнений. М.: Наука, 1969.

29. Вайникко Г.М., Веретенников А.Ю. Итерационные процедуры в некорректно поставленных задачах. М.: Наука, 1986.

30. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988.

31. Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Асимптотические разложения решений сингулярно возмущенных уравнений. М.: Наука, 1973.

32. Венцель М., Залесный В.Б. Усвоение данных в одномерной модели конвекции-диффузии тепла в океане//Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1996. Т.32, №5. С.613-629.

33. Вишик М.И., Люстерник JI.A. Некоторые вопросы возмущений краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных // ДАН СССР. 1959. Т.129, №6. С.1203.

34. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Возмущение собственных значений и собственных элементов для некоторых несамосопряженных операторов // ДАН СССР. 1960. Т.130. №2. С.251-253.

35. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1981.

36. Владимиров B.C. Волович И.В. Законы сохранения для нелинейных уравнений // ДАН СССР. 1984. Т.279, №4. С.843-847.

37. Владимиров B.C. Волович И.В. Законы сохранения для нелинейных уравнений // Актуальные проблемы вычислительной математики и математического моделирования. Новосибирск: Наука. 1985. С.147-162.

38. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

39. Волков Е.А. Численные методы. М.: Наука, 1982.

40. Габасов Р., Кириллова P.M. Методы оптимального управления // Современные проблемы математики. 1976. Т.6. С.131-204.

41. Гаевский X., Грёгер К., Захариас К. Нелинейные операторные уравнения и операторные дифференциальные уравнения. М.: Мир, 1978.

42. Гермогенова Т.А. Об обратных задачах атмосферной оптики // ДАН СССР. 1985. Т.285, №5. С.1091-1096.

43. Гермогенова Т.А. Локальные свойства решения уравнения переноса. М.: Наука, 1986.

44. Гилязов С.Ф. Приближенное решение некорректно-поставленных задач. Теория и алгоритмы. М.: МГУ, 1995.

45. Годунов С.К. Современные аспекты линейной алгебры. Новосибирск: Научн. книга, 1997.

46. Годунов С.К., Рябенький B.C. Спектральные признаки устойчивости краевых задач для несамосопряженных разностных уравнений // Успехи матем. наук. 1963. Т.18. №3. С.3-14.

47. Гольдин В.Я. Квазидиффузионный метод решения кинетического уравнения // ЖВМ и МФ. 1964. Т.4, №6. С.1078.

48. Гончарский A.B., Черепашин A.M., Ягола А.Г. Численные методы решения обратных задач астрофизики. М.: Наука, 1978.

49. Денисов A.M., Туйкина С.Р. О приближенном решении одной обратной задачи динамики сорбции // Вестн. МГУ. Сер.15. Вычисл. мат. и киберн. 1983. №3. С.27-31.

50. Дубовский П.Б. Исследование бесконечных систем обыкновенных дифференциальных уравнений методами теории сопряженных уравнений // Дифференциальные уравнения и приложения. С.-Петербург: СПГТУ, 1998.

51. Дьяконов Е.Т. Разностные методы решения краевых задач. М.: МГУ, 1971.

52. Дымников В.П. Вычислительные методы в геофизической гидродинамике. М.: ОВМ АН СССР, 1984.

53. Дымников В.П., Филатов А.Н. Основы математической теории климата. М.: ВИНИТИ, 1994.

54. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.: Наука, 1982.

55. Евтушенко Ю.Г., Засухина Е.С., Зубов В.И. Применение метода быстрого автоматического дифференцирования при решении обратных задач // Обратные и некорректно поставленные задачи. Тезисы докладов. М.: МГУ, 1998. С.31.

56. Егоров А.И. Оптимальное управление тепловыми процессами. М.: Наука, 1978.

57. Залесный В.Б. Численное воспроизведение и анализ чувствительности крупномасштабной динамики океана // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1996. V.ll, No.5.

58. Залесный В.Б., Галкин H.A. Инициализация поля температуры в модели термодинамики Аравийского моря // Океанология. 1995. Т.35, №4. С.514-524.

59. Зеленяк Т.И. Качественная теория краевых задач для квазилинейных уравнений второго порядка параболического типа. Новосибирск: НГУ, 1972.

60. Зуев С.М. Статистическое оценивание параметров математических моделей заболеваний.- М.: Наука, 1988.

61. Иванов В.В. К решению нелинейного уравнения теплопроводности методом разложения по малому параметру // Изв. АН СССР. Энергетика и транспорт. 1967. №2. С.170.

62. Иванов В.К. О некорректно поставленных задачах // Мат. сб. 1963. Т.61, №2. С.211-223.

63. Иванов В.К., Васин В.В., Танана В.П. Теория линеиных некорректных задач и ее приложения. М.: Наука, 1978.

64. Ильин В.П. О некоторых оценках для методов сопряженных градиентов // ЖВМ и МФ. 1976. Т.16, №4. С.847-855.

65. Ильин В.П. Методы неполной факторизации для решения алгебраических систем. М.: Наука, 1995.

66. Ипатова В.М. Задача усвоения данных для модели общей циркуляции океана в квазигео-строфическом приближении // Деп. в ВИНИТИ №2333-В92, 1992.

67. Кабанихин С.И. Проекционно-сеточные методы определения коэффициентов гиперболических уравнений. М.: Наука, 1988.

68. Кадомцев Б.Б. О функции влияния в теории переноса лучистой энергии // ДАН СССР. 1957. Т.113, №3. С.541-543.

69. Канторович JI.B., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах.- М.: Наука, 1977.

70. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.

71. Келдыш М.В. О разрешимости и устойчивости задачи Дирихле // УМН, 1940- Т.8.С.171.

72. Керимов Т.М., Кондратьев В.А. О спектре эллиптического оператора второго порядка // Математические заметки. 1976. Т.20, №3. С.351-358.

73. Клибанов М.В. Об одном классе обратных задач для нелинейных параболических уравнений // ДАН СССР. 1985. Т.280, №5. С.533-536.

74. Коздоба Л.А. Методы решения нелинейных задач теплопроводности. М.: Наука, 1975.

75. Коздоба JI.A., Чумаков В.Я. Методы применения метода малого параметра при решении квазилинейных задач нестационарной теплопроводности с существенными нелинейно-стями // Теплофизика высоких температур. 1971. T.IX, №3. С.557.

76. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. -М.: Наука, 1981.

77. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.: Наука, 1984.

78. Красносельский М.А., Вайникко Г.М., Забрейко М.П. и др. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука, 1969.

79. Красовский H.H. Теория управления движением. М.: Наука, 1969.

80. Крейн С.Г. О классах корректности для некоторых задач // ДАН СССР. 1957. Т.114, №6. С.1162-1165.

81. Крейн С.Г.(ред.) Функциональный анализ. М.: Наука, 1964.

82. Крейн С.Г. Линейные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1971.

83. Крейн С.Г., Петунии Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. М.: Наука, 1978.

84. Кружков С.Н., Олейник O.A. Квазилинейные параболические уравнения второго порядка с многими независимыми переменными // УМН. 1961. Т.16, вып.5. С.115-155.

85. Крылов И.А., Черноусько Ф.Л. О методе последовательных приближений для решения задач оптимального управления // ЖВМ и МФ. 1962. Т.2, №6. С. 1132-1139.

86. Кряжимский A.B., Максимов В.И., Осипов Ю.С. О реконструкции экстремальных возмущений в параболических уравнениях // ЖВМ и МФ. 1997. Т.37, №3. С.291-301.

87. Кузнецов Ю.А. К теории итерационных процессов // ДАН СССР. 1969. Т.184, №2. С.274.

88. Куржанский А.Б. Управление и наблюдение в условиях неопределенности. М.: Наука, 1977.

89. Лаврентьев М.М. О постановке некоторых некорректных задач математической физики // Некоторые вопросы вычислительной и прикладной математики. Новосибирск: Наука, 1956. С.258-276.

90. Лаврентьев М.М. Априорные оценки и теоремы существования нелинейных параболических уравнений. Автореф. дисс. Новосибирск: НГУ, 1982.

91. Лаврентьев М.М., Васильев В.Г. О постановке некоторых некорректных задач математической физики // Сиб. мат. журн. 1960. T.VII, №3. С.559-576.

92. Лаврентьев М.М., Романов В.Г., Шишатский С.П. Некорректные задачи математической физики и анализа. М.: Наука, 1980.

93. Ладыженская O.A. Математические вопросы динамики вязкой несжимаемой жидкости. -М.: Наука, 1970.

94. Ладыженская O.A. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.

95. Ладыженская O.A., Солонников В.А., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

96. Ладыженская O.A., Уральцева H.H. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973.

97. Латышев A.B. О решении граничных задач для уравнения переноса излучения // ЖВМ и МФ. 1994. Т.34, №2. С.234-245.

98. Лебедев В.Н. Функциональный анализ и вычислительная математика. М.: ВИНИТИ, 1994.

99. Лебедев В.И., Агошков В.И. Операторы Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе. -М.: ОВМ АН СССР, 1983.

100. Лебедев В.И., Бахвалов Н.С., Агошков В.И., Бабурин О.В., Князев A.B., Шутяев В.П. Параллельные алгоритмы решения некоторых стационарных задач математической физики. М.: ОВМ АН СССР, 1984.

101. Лебедев В.И., Финогенов С.А. О порядке выбора итерационных параметров в чебышевском циклическом итерационном методе // ЖВМ и МФ. 1971. Т.11, №2. С.425.

102. Летов A.M. Динамика полета и управления. М.: Наука, 1969.103| Ли-Орлов В.К., Волков В.Н. К теории нестационарных методов измерения теплофизиче-ских характеристик // Тепло- и массоперенос. Т.VII. Минск: Наука и техника. 1968. С.332.

103. Лионе Ж.-Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир, 1972.

104. Лионе Ж.-Л. Некоторые методы решения нелинейных краевых задач. М.: Мир, 1972.

105. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971.

106. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. — М.: Наука, 1981.

107. Льюинс Дж. Ценность. Сопряженная функция. М.: Атомиздат, 1972.1091 Люстерник Л.А., Соболев В.И. Элементы функционального анализа. М.: Наука, 1965.1101 Ляпунов A.M. Общая проблема устойчивости движения. Харьков: Харьковское матем. общество, 1892.

108. Ляпунов A.M. Собрание сочинений. Т.2. М.-Л.: Гостехиздат, 1956.

109. Марчук Г.И. Методы расчета ядерных реакторов. М.: Атомиздат, 1961.

110. Марчук Г.И. О постановке некоторых обратных задач // ДАН СССР. 1964. Т.156, №3. С.503-506.114| Марчук Г.И. Уравнение для ценности информации с метеорологических спутников и постановка обратных задач // Космич. исслед. 1964. Т.2. Вып.З. С.462-477.

111. Марчук Г.И. Основные и сопряженные уравнения динамики атмосферы и океана //Метеорология и гидрология. 1974. №2. С.9-37.1161 Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана. Л.: Гидрометео-издат, 1974.

112. Марчук Г.И. Окружающая среда и проблемы оптимизации размещения предприятий // ДАН СССР. 1976. Т.227, №5. С.1056-1059.

113. Марчук Г.И. Применение сопряженных уравнений к решению задач математической физики // Успехи механики. 1981. Т.4. Вып.1. С.3-27.

114. Марчук Г.И. Математическое моделирование в проблеме окружающей среды. М.: Наука, 1982.

115. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и анализ сложных систем. М.: Наука, 1992.

116. Марчук Г.И. Сопряженные уравнения и чувствительность функционалов // Исследование Земли из космоса. 1997, №4. С.100-125.

117. Марчук Г.И., Агошков В.И. Введение в проекционно-сеточные методы. М.: Наука, 1981.

118. Марчук Г.И., Агошков В.И. Сопряженные операторы и алгоритмы возмущений в нелинейных задачах. Принципы построения сопряженных операторов: Препринт №131. М.: ОВМ АН СССР, 1986.

119. Марчук Г.И., Агошков В.И. Сопряженные уравнения в нелинейных задачах и их приложения // Функциональные и численные методы математической физики. Киев: Наукова думка, 1988. С.138-142.

120. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в прикладных задачах // Вычислительные процессы и системы. Вып.4. М.: Наука, 1986. С.5-62.

121. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений. М.: ОВМ АН СССР, 1986.

122. Марчук Г.И., Агошков В.И., Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и методы возмущений в нелинейных задачах математической физики. М.: Наука, 1993.

123. Марчук Г.И., Алоян А.Е. Глобальный перенос примеси в атмосфере // Известия АН. Физика атмосферы и океана. 1995. Т.31. С.597-606.

124. Марчук Г.И., Дымников В.П., Курбаткин Г.П., Саркисян A.C. Программа "Разрезы" и мониторинг Мирового океана. // Метеорология и гидрология. 1984. Т.6, №8. С.9-17.

125. Марчук Г.И., Ермаков С.М. О некоторых проблемах планирования эксперимента // Математические методы планирования эксперимента. Новосибирск, 1981. С.3-18.

126. Марчук Г.И., Лебедев В.И. Численные методы в теории переноса нейтронов. М.: Атом-издат, 1981.

127. Марчук Г.И., Михайлов Г.А., Назаралиев М.А. и др. Метод Монте-Карло в атмосферной оптике. Новосибирск: Наука, 1976.

128. Марчук Г.И., Орлов В.В. К теории сопряженных функций // Нейтронная физика. М.: Госатомиздат, 1976. С.30-45.

129. Марчук Г.И., Пененко В.В. Исследование чувствительности дискретных моделей динамики атмосферы и океана // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1979. Т.15, №11. С.1123-1131.

130. Марчук Г.И., Пененко В.В. Некоторые применения методов оптимизации к проблеме окружающей среды // Вычислительные методы в прикладной математике. Новосибирск: Наука, 1982. С.5-22.

131. Марчук Г.И., Пененко В.В., Протасов A.B. Вариационный принцип в малопараметрической модели динамики атмосферы // Вариационно-разностные методы в математической физике: Материалы Всесоюзн. конф. Новосибирск, 1978. С.213-229.

132. Марчук Г.И., Скиба Ю.Н. Численный расчет сопряженной задачи для модели термического взаимодействия атмосферы с океанами и континентами // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1976. Т.12, №5. С.459-469.

133. Марчук Г.И., Скиба Ю.Н., Проценко И.Г. Метод расчета эволюции случайных гидродинамических полей на основе сопряженных уравнений // Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1985. Т.21, №2. С.115-122.

134. Масленников М.В. Проблема Милна с анизотропным рассеянием // Труды МИАН. 1968. Т.47. С.3-132.

135. Маслов В.П. Теория возмущений и асимптотические методы. М.: Изд-во МГУ, 1965.

136. Мацевитый Ю.М., Мултановский A.B. Идентификация в задачах теплопроводности. -Киев: Наукова думка, 1982.

137. Мизохата С. Теория уравнений с частными производными. М.: Мир, 1977.1441 Михайлов В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М.: Наука, 1983.

138. Михайлов Г.А. Использование приближенных решений сопряженной задачи для улучшения алгоритмов метода Монте-Карло // ЖВМ и МФ. 1969. Т.9, №5. С.1145-1152.

139. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. М.: Гостехиздат, 1957.

140. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных- систем. М.: Наука, 1971.

141. Моисеев H.H. Асимптотические методы нелинейной механики. М.: Наука, 1981.

142. Морозов В.А. Регулярные методы решения некорректно поставленных задач. М.: Наука, 1987.

143. Найфэ А.Ю. Методы возмущений. М.: Мир, 1976.

144. Никольский С.М. Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1977.

145. Образцов H.H. Математическое моделирование и оптимизация в проблемах окружающей среды: Препринт №85. М.: ОВМ АН СССР, 1985.

146. Овсянников JI.B. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

147. Олейник O.A., Радкевич Е.В. Метод введения параметра для исследования эволюционных уравнений // УМН. 1978. Т. 33. Вып.5 (203). С.7-76.

148. Осипов Ю.С., Кряжимский A.B., Максимов В.И. Динамические обратные задачи для систем с распределенными параметрами // Обратные и некорректно поставленные задачи. М.: Диалог-МГУ, 1996. С.138.

149. Осипов Ю.С., Суетов А.П. О задаче Ж.-Л.Лионса // ДАН СССР. 1984. Т.29. С.487. 1571 Полак Э. Численные методы оптимизации. Единый подход. М.: Мир, 1974.

150. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов и дифференциальные игры // Труды МИАН. 1985. Т.169. С.119.

151. Прилепко А.И., Тихонов И.В. Глобальная теорема единственности в коэффициентной обратной задаче для уравнения теплопроводности // Обратные и некорректно поставленные задачи. Тезисы докладов. М.: МГУ, 1998. С.65.

152. Пупко В.Я., Зродников A.B., Лихачев Ю.И. Метод сопряженных функций в инженерно-физических исследованиях. М.: Энергоатомиздат, 1984.

153. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1968.

154. Романов В.Г. Обратные задачи математической физики. М.: Наука, 1984.

155. Рябенький B.C. Необходимые и достаточные условия хорошей обусловленности краевых задач для систем обыкновенных разностных уравнений // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1964. Т.4, №2. С.242-255.

156. Садовничий В.А., Любишкин В.А. Формулы следов и теория возмущений // ДАН СССР. 1988. Т.300, №5. С. 1064-1066.

157. Самарский A.A. Теория разностных схем. М.: Наука, 1982.

158. Саркисян A.C., Демышев С.Г., Коротаев Г.К., Моисеенко В.А. Пример четырехмерного анализа данных наблюдений программы "Разрезы" для Ньюфаундлендской ЭАЗО // Итоги науки и техники. Атмосфера, океан, космос программа "Разрезы". - М. 1986. Т.6. С.88-89.

159. Скиба Ю.Н. Математические вопросы динамики вязкой баротропной жидкости на вращающейся сфере. М.: ОВМ АН СССР, 1989.

160. Степанов В.В. Курс дифференциальных уравнений. М.: Гостехиздат, 1953.

161. Стумбур Э.А. Применение теории возмущений в физике ядерных реакторов. М.: Атом-издат, 1976.

162. Султангазин У.М. Дискретные нелинейные модели уравнения Больцмана. Алма-Ата: Наука, 1985.

163. Сушкевич Т.А., Стрелков С.А., Иолтуховский A.A. Метод характеристик в задачах атмосферной оптики. М.: Наука, 1990.

164. Тихонов А.Н. О решении некорректно поставленных задач и методе регуляризации // ДАН СССР. 1963. Т.151, №3. С.501-504.

165. Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. М.: Наука, 1979.

166. Тихонов А.Н., Васильева А.Б., Свешников А.Г. Дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1980.

167. Тихонов А.Н., Леонов A.C., Ягола А.Г. Нелинейные обратные задачи. М.: Наука, 1995.

168. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика // УМН. 1970. Т.XXV. Вып.4. С.123-156.

169. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980.

170. Усачев Л.Н. Уравнение для ценности нейтронов кинетического реактора и теория возмущений // Реакторостроение и теория реакторов. М.: Изд-во АН СССР, 1955. С.251-268.

171. Усачев Л.Н., Бобков Ю.Г. Теория возмущений и планирование эксперимента в проблеме ядерных данных для реакторов. М.: Атомиздат, 1980.

172. Фаддеев Л.Д. О модели Фридрихса в теории возмущений непрерывного спектра // Труды МИАН. 1974. Вып.73. С.292-313.

173. Федоренко Р.П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

174. Филатов А.H. Асимптотические методы в теории дифференциальных и интегродиффе-ренциальных уравнений. Ташкент: Фан, 1974.

175. Филатов А.Н., Шершков В.В. Асимптотические методы в атмосферных моделях. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1988.

176. Фурсиков A.B., Эмануилов О.Ю. Точная локальная управляемость двумерных уравнений Навье-Стокса // Матем. сборник. 1996. Т.187, №9. С.103-138.

177. Хенри Д. Геометрическая теория полулинейных параболических уравнений. М.: Мир, 1985.

178. Хилле Э., Филлипс Р. Функциональный анализ и полугруппы. М.: ИЛ, 1962.

179. Хисамутдинов А.И. Выборка по важности в теории переноса излучения // ЖВМ и МФ. 1970. Т. 10, №4. С.999-1005.

180. Чавро А.И. Обратные задачи в математической теории климата // Обратные и некорректно поставленные задачи. М.: Диалог-МГУ, 1996. С.42.

181. Черноусько Ф.Л., Баничук В.П. Вариационные задачи механики и управление. М.: Наука, 1973.

182. Шайдуров В.В. Многосеточные методы конечных элементов. М.: Наука, 1989.

183. Шихов С.Б., Крянев А. Вопросы математической теории реакторов. Нелинейный анализ. М.: Энергоатомиздат, 1983.

184. Шишатский С.П. Об одном методе приближенного решения некорректной задачи Коши для эволюционного уравнения // Математические проблемы геофизики. Вып. 3. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР. 1972. С.216-228.

185. Шутяев В.П. Алгоритмы теории возмущений и их распараллеливание: Препринт №130. M.: ОВМ АН СССР, 1986.

186. Шутяев В.П. Интегральные операторы отражения и разрешимость обратной задачи о переносе частиц // Интегральные уравнения в прикладном моделировании. Киев: Ин-т электродинамики АН УССР, 1986.

187. Шутяев В.П. Свойства сопряженных операторов, возникающих в алгоритмах возмущений для квазилинейной эллиптической задачи // Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений. М.: ОВМ АН СССР. 1988. СЛ19-132.

188. Шутяев В.П. Алгоритм возмущений для квазилинейной эллиптической задачи второго порядка // Сопряженные уравнения в задачах математической физики. М.: ОВМ АН СССР. 1990. С.105-132.

189. Шутяев В.П. Сопряженные операторы, построенные по различным принципам, в одной задаче гидродинамики // Динамика атмосферы и океана. М.: ОВМ АН СССР, 1990. С.148-171.

190. Шутяев В.П. К обоснованию алгоритма возмущений в одной нелинейной гиперболической задаче // Матем. заметки. 1991. Т.49. Вып.4. С.155-156.

191. Шутяев В.П. О вычислении функционала в одной нелинейной задаче с использованием сопряженного уравнения // ЖВМ и МФ. 1991. Т.ЗО, №9. С.1278-1288.

192. Шутяев В.П. О методе возмущений для одной слабонелинейной гиперболической задачи первого порядка // Матем. заметки. 1991. Т.50. Вып.5. С.156-158.

193. Шутяев В.П. О свойствах решения сопряженного уравнения в одной нелинейной гиперболической задаче // Дифференц. уравнения. 1992. Т.28, №4. С.706-715.

194. Шутяев В.П. Сопряженные уравнения и алгоритмы возмущений в сингулярно возмущенных эволюционных задачах: Препринт №283. М.: ОВМ АН СССР, 1992.

195. Шутяев В.П. Алгоритм возмущений для одной слаболинейной гиперболической задачи первого порядка // ЖВМ и МФ. 1993. Т.33, №8. С.1209-1217.

196. Шутяев В.П. Сопряженные операторы в сингулярно возмущенных квазилинейных эволюционных задачах // Сопряженные уравнения, алгоритмы возмущений и оптимальное управление. Деп. в ВИНИТИ, 1993. №453-В93. С.101-131.

197. Шутяев В.П. О свойствах оператора управления в одной задаче об усвоении данных и алгоритмах ее решения // Матем. заметки. 1995. Т.57. С.941-944.

198. Шутяев В.П. Некоторые свойства оператора управления в задаче об усвоении данных и алгоритмы ее решения // Дифференциальные уравнения. 1995. Т.31, №12. С.2063-2076.

199. Шутяев В.П. Итерационные методы восстановления начальных данных в сингулярно возмущенных эволюционных задачах // ЖВМ и МФ. 1997. Т.37, №9. С.1078-1086.

200. Шутяев В.П., Пармузин Е.И. О численных алгоритмах решения одной задачи об усвоении данных // ЖВМ и МФ. 1997. Т.37. №7. С.1-12.

201. Шутяев В.П. Об усвоении данных в шкале гильбертовых пространств для квазилинейных эволюционных задач // Дифференциальные уравнения. 1998. Т.34, №3. С.383-389.

202. Шутяев В.П., Геджадзе И.Ю. Обоснование метода возмущений для квазилинейной задачи теплопроводности // ЖВМ и МФ. 1998. Т.38, №6. С.948-955.

203. Шутяев В.П. Операторы управления и итерационные алгоритмы в задачах восстановления функций источников // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1999. V.14, No.2. P.137-176.

204. Шутяев В.П. Обоснование алгоритма возмущений для нестационарной системы Больцма-на-Пуассона // Матем. сб. 1999. (В печати.)

205. Эйкхофф П. Основы идентификации систем управления. М.: Мир, 1975.

206. Эмануилов О.Ю. Граничная управляемость параболических уравнений // Матем. сб. 1995. Т.186, №6. С.109-132.

207. Яковлев Г.Н. О следах функций из пространства Wlp, определенных на кусочно гладких поверхностях // Матем. сборник. 1967. Т.74. С.526-543.

208. Ямпольский Н.Г., Айзен A.M. О методе возмущений в применении к нелинейным задачам теплопроводности // Теплофизика высоких температур. 1968. Т.6, Вып.5. С.885.

209. Agoshkov V.I. Investigation of a class of inverse problems on optimal boundaries // Computational Science for the 21 si Century. New York: John Wiley, 1997. P.589-596.

210. Agoshkov V.I. Control theory approaches in data assimilation processes, inverse problems and hydrodynamics // Computer Mathematics and its Applications. 1994. V.l. P.21.

211. Agoshkov V.I. Boundary Value Problems for Transport Equations. Basel: Birkhauser, 1998.

212. Agoshkov V.I., Bardos C., Parmuzin E.I., Shutyaev V.P. Numerical analysis of iterative algorithms for an inverse boundary transport problem // Report No.9818, CMLA ENS Cachan, 1998.

213. Agoshkov V.l., Buleev S.N. Finite element approximations in sensitivity analysis of pollution process in the Gagliary Bay // Proc. of the 9-th Int. Conf. of Finite Elements in Fluids. New Trends and Applications. Ven<feia: Padova, 1995. P.1273.

214. Agoshkov V.l., Marchuk, G. I. On solvalibility and numerical solution of data assimilation problems // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1993. V.8. P.l. :

215. Alt H.W., Luckhaus S. Quasilinear elliptic-parabolic differential equations // Math. Zeitschrift. 1983. V.183. P.311-341.

216. Ashyralyev A., Sobolevskii P.E. Well-Posedness of Parabolic Difference Equations. Basel: Birkhäuser, 1994.

217. Bakushinsky A.B., Goncharsky A.V. Ill-Posed Problems: Theory and Applications. Dordrecht: Kluwer, 1994.

218. Balakrishnan A.V. Introduction to Optimization Theory in a Hilbert Space. Berlin: Springer, 1971.

219. Bardos C., Lebeau G., Rauch J. Sharp sufficient conditions for the observation, control and stabilization of waves from the boundary // SIAM J. Cont. Optim. 1992. V.30. P.1024-1065.

220. Beck J.V., Blackwell B., St.Clair C.R. Inverse Heat Conduction Ill-Posed Problems. New York: Wiley-Interscience, 1985.

221. Bellman R. Dynamic Programming. New Jersey: Princeton Univ. Press, 1957.

222. Bellman R. Perturbation Techniques in Mathematics, Physics and Engineering. New York: Holt, 1964.

223. Bellman R., Kalaba R.E. Quasilinearization and Nonlinear Boundary-Value Problems. New York: American Elsevier Publishing Company, 1965.

224. Bensoussan A., Lions J.L., Papanicolau G. Asymptotic Methods in Periodic Structures. Amsterdam: North Holland, 1978.

225. Berkovitz L.P. Optimal Control Theory. New York: Springer, 1974.

226. Bernett A.F. Inverse methods in oceanography. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1992.

227. Cacuci D.G., Weber C.F., Oblow E.M., Marable J.H. Sensitivity theory for general systems of nonlinear equations // Nucl. Sei. Eng. 1980. V.75. P.88.

228. Chernousko F.L. State Estimation for Dynamic Systems. Boca Raton: CRC Press, 1994.

229. Ciariet P.G. Introduction to Numerical Linear Algebra and Optimization. — Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1989.

230. Cioranescu D., Donat.o P. Exact internal controllability in perforated domains //J. Math. Pures et Appl. 1989. V.68. P.185.

231. Collatz L. Functional Analysis and Numerical Mathematics. New York: Academic Press, 1974.

232. Coron J.M. Controlabilite exacte frontiere de l'equation d'Euler des fluids parfaits incompresibles bidimensionnels // C.R.Acad. Sei. Paris. Ser.I. Math. 1993. V.317. P.271-276.

233. Courtier P., Talagrand 0. Variational assimilation of meteorological observations with the adjoint vorticity equation // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1987. V.113. P.1329-1347.

234. Derber J.C. The variational 4-D assimilation analysis using filtering models as constraints // Ph.D. Thesis. Madison: Univ. of Wisconsin, 1985.

235. Derber J.C. Variational four-dimensional analysis using the quasigeostrophic constraint // Month. Weather Rev. 1987. V.115. P.998.

236. Dunford N., Schwartz J.T. Linear operators. I, II, III. New York: Wiley-Interscience, 1958.

237. Evtushenko Yu.G. Computation of exact gradients in distributed dynamical systems //J. Optim. Methods Softw. 1998. V.9. No.1-3. P.45-75.

238. Fabre C., Puel J.P., Zuazua E. Contrôlabilté approachée de l'équation de la chaleur semilinéaire // C.R.Acad. Sei. Paris. 1992. V.315. Serie I. P.679-684.

239. Fletcher R. Practical Methods of Optimization. New York: Wiley and Sons, 1980.

240. Freund R.W., Golub G.H., N.M. Nachtigal. Iterative solution of linear systems // Acta Numerica. 1992. P.57-100.

241. Friedrichs K.O. Perturbation of Spectra in Hilbert Space. Providence: American Math. Society, 1965.

242. Fursikov A.V. Lagrange principle for problems of optimal control of ill-posed or singular distributed systems // J. Math.Pures et Appl. 1992. V.71. P.139-194.

243. Fursikov A.V., Imanuilov O.Yu. Controllability of Evolution Equations. Lecture Notes. V.34. -Seoul: Seoul Nat. Univ., 1996.

244. Glowinski R. Numerical Methods for Nonlinear Variational Problems. New York: Springer, 1984.

245. Glowinski R., Li C.H. On the numerical implementation of the Hilbert uniqueness method for the exact boundary controllability of the wave equation // C. R. Acad. Sei. 1990. V.311. P.136.

246. Glowinski R., Li C.M., Lions J.L. A numerical approach to the exact boundary controllability of the wave equations // Jap. J. Appl. Math. 1990. V.7. P.l.

247. Glowinski R., Lions J.L. Exact and approximate controllability for distributed parameter systems // Acta Numerica. 1994. V.l. P.269.

248. Greenberg W., Van der Mee C., Protopopescu V. Boundary Value Problems in Abstract Kinetic Theory. Basel: Birkhaüser Verlag, 1987.

249. Hudson V.C.L., Pym J.S. Application of Functional Analysis and Operator Theory. New York: Academic Press, 1980.

250. Isakov V. Inverse Sourse Problems. Providence: Amer. Math. Soc., 1990.

251. Kato T. On the convergence of the perturbation method // J. Fac. Sei. 1951. V.6. P.198.t

252. Klibanov M.V. Inverse problems and Carleman estimates // Inverse Problems. 1992. V.8. P.575. -596.

253. Komornik V. Exact Controllability and Stabilization: the Multiplier Method. Chichester: Wiley k Sons, 1994.

254. Kondratyev K.Y., Kozoderov V.V., Smokty O.I. Remote Sensing of the Earth from Space: Atmospheric Correction. New York: Springer-Verlag, 1992.

255. Kontarev G.R. The adjoint equation technique applied to meteorological problems // Technical report No. 21. Reading: European Centre for Medium Range Weather Forecasts, 1980.

256. Kurzhanskii A.B., Khapalov A.Yu. An observation theory for distributed-parameter system // J. Math. Syst. Estimât. Control. 1991. V.l, No.4. P.389-440.

257. Lagrange J.L. Application de la methods expose dans le memoire precedent a la solution de différentes problèmes de dynamique // Miscrllanea Taurinensia. 1762. V.2. No.l. P.365-468.

258. Lattes R., Lions J.-L. Méthode de Quasi-Réversibilité et Applications. Paris: Dunod, 1967.

259. Lavrentiev M.M. Some Ill-Posed Problems of Mathematical Physics. Berlin: Springer, 1967.

260. Le Dimet F.X. A general formalism of variational analysis // Report OK-73091-22-1, CIMMS, Norman, 1982.

261. Le Dimet F.X., Talagrand O. Variational algorithms for analysis and assimilation of meteorological observations: theoretical aspects // Tellus A. 1986. V.38. P.97-110.

262. Lee E.B., Markus L. Foundations of Optimal Control Theory. New York: John Wiley, 1967.

263. Lewins J. Importance. The Adjoint Function. Pergamon Press, New York, 1965.

264. Lewis J., Derber J. The use of adjoint equations to solve a variational adjustment problem with advective constraints // Tellus A. 1985. V.37. P.309-322.

265. Lions J.L. Exact controllability, stabilization and perturbation for distributed systems // SIAM Rev. 1988. V.30. P.l.

266. Lions J.L. Contrôllabilité Exacte Perturbations et Stabilisation de Systèmes Distribués. Paris: Masson, 1988.

267. Lions J.L. Sur les sentinelles des systems distributes. Le cas des conditions initials incompletes // C. R. Acad. Sci. 1988. V.307. P.819-823.

268. Lions J.L. Insensitive controls // Computational Mathematics and Applications. Proceedings of 8-th France-USSR-Italy Joint Symposium, Pavia, October 2-6, 1989, Publicazioni No.730. Pavia, 1989. P.285.

269. Lions J.L. El Planeta Tierra. Madrid: Espasa, 1990.

270. Lions J.L. On controllability of distributed system // Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 1997. V.94. P.4828-4835.

271. Lions J.L., Temam R., Wang S. Models for the coupled atmosphere and ocean // Computational Mechanics Advances. 1993. V.l. P.3.

272. Lorenc A.C. Optimal nonlinear objective analysis // Quart. J. Roy. Meteor. Soc. 1988. V.114. P.205.

273. Marchuk G.I. Perturbation theory and the statement of inverse problems // Lect. Notes Comput. Sci. 1973. V.4. P.159.

274. Marchuk G.I. Applications of adjoint equations to problems of global change and environment protection // Computer Mathematics and its Applications. 1994. V.l. P.l.

275. Marchuk G.I. Adjoint Equations and Analysis of Complex Systems. Dordrecht: Kluwer, 1995.

276. Marchuk G.I., Agoshkov V.I., Shutyaev V.P. Adjoint Equations and Perturbation Algorothms in Nonlinear Problems. New York: CRC Press Inc., 1996.

277. Marchuk G.I., Shutyaev V.P. Iteration methods for solving a data assimilation problem // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1994. V.9. P.265.

278. Marchuk G.I., Zalesny V.B. A numerical technique for geophysical data assimilation problem using Pontryagin's principle and splitting-up method // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1993. V.8. P.4.

279. Maslova N.B. Nonlinear Evolution Equations. Kinetic Approach. New York: World Scientific, 1993.

280. Mignot F., Puel J.P. Optimal control in some variational inequalities // SIAM J. Control. Opt. 1984. V.22. P.466.

281. Navon I.M. A review of variational and optimization methods in meteorology // Variational Methods in Geosciences. (Ed. Sasaki Y.K.) New York: Elsevier, 1986. P.29-34.

282. Nayfeh A.H. Perturbation Methods. New York: John Wiley, 1973.

283. Olver P.J. Application of Lie Groups to Differential Equations. Berlin: Springer, 1986.

284. Osipov Yu.S., Kryazhimskii A.V. Inverse Problem of Ordinary Differential Equations: Dynamical Solutions. London: Gordon and Breach, 1995.

285. Penenko V., Obraztsov N.N. A variational initialization method for the fields of the meteorological elements // Meteorol. Gidrol. (English transi.) 1976. V.ll. P. 1-11.

286. Pironneau O. Optimal Shape Design for Elliptic Systems. New York: Springer, 1984.

287. Poincaré H. Les Méthodes Nouvelles de la Mécanique Céleste. Paris: Gauthier-Villars, 1892.

288. Pontryagin L.S., Boltyanskii V.G., Gamkrelidze R.V., Mischenko E. F. The Mathematical Theory of Optimal Processes. New York: John Wiley, 1962.

289. Poschel J., Trubowitz E. Inverse spectral theory. Orlando: Academic Press, 1986.

290. Prilepko A.I. Inverse problems for evolution equations in the case of space and time overdeter-minations // Inverse and Ill-Posed Problems. Moscow: Dialog-MGU, 1996. P.146.

291. Provost C. The variational inverse method for the general circulation in the ocean // Variational Methods in Geosciences. (Ed. Sasaki Y.K.) New York: Elsevier, 1986. P.55-76.

292. Puel J.P., Yamamoto M. Smoothing property in multidimensional inverse hyperbolic problems: applications to uniqueness and stability: Preprint No.96-30'. Tokyo: Univ. Tokyo, 1996.

293. Rayleigh L. (Stratt J. W.) Theory of Sound. London: Mc Millan, 1926.

294. Rellich F. Stôrungthorie des Spektralzerlegung // Math. Ann. 1936. V.117. P.346.

295. Rellich F. Perturbation Theory of Eigenvalue Problems. New York: Gordon and Breach Sci. Publ., 1969.

296. Riesz F., Sz.-Nagy B. Functional Analysis. New York: Frederik Ungar, 1955.

297. Russel D.L. A unified boundary controllability theory for hyperbolic and parabolic partial differential equations // Studies in Applied Mathematics. 1973. V.52. P.189-212.

298. Samarskii A.A., Vabishchevich P.N. Computational Heat Transfer. Chichester: Wiley, 1995.

299. Sanchez-Palencia E. Nonhomogeneous Media and Vibration Theory. Berlin: Springer, 1980.

300. Sasaki Y.K. Some basic formalisms in numerical variational analysis 11 Mon. Wea. Rev. 1970. V.98. P.857-883.

301. Schrödinger E. Quantisierung als Eigenwertproblem // Ann. Phys. 1926. V.80. P.437.

302. Schröter J., Wunsh C. Solution of nonlinear difference ocean models by optimization methods with sensitivity and observation strategy analysis //J. Phys. Oceanogr. 1986. V.16. P.1855-1874.

303. Schwartz L. Theorie des Distributions. Paris: Hermann, 1966.

304. Shutyaev V.P. An algorithm for computing functionals for a class of nonlinear problems using the conjugate equation // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1991. V.6. P.169-178.

305. Shutyaev V.P. Justification of perturbation algorithm for weakly nonlinear elliptic second-order boundary problem // Sov. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1991. V.6. P.263-276.

306. Shutyaev V.P. On a class of insensitive control problems // Control and Cybernetics. 1994. V.23. P.257-266.

307. Shutyaev V.P. Some properties of the control operator in the problem of data assimilation and iterative algorithms // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1995. V.10. P.357-371.

308. Shutyaev V.P. Finite element method applied to the Boltzmann-Poisson system in semiconductors // Proceedings of SACAM'96. Midrand, 1996. V.3. P.69-76.

309. Shutyaev V.P. Solvability and iteration methods for a class of evolution data assimilation problems // ZAMM. 1996. V.76. Suppl.l, 541ff.

310. Shutyaev V.P. Iteration methods for evolution data assimilation problems // Integral Methods in Science and Engineering. V.2. Pitman Research Notes in Maths Series No.375. Harlow: Longman, 1997. P.196-199.

311. Shutyaev V.P. Solvability of the data assimilation problem in the scale of Hilbert spaces for quasilinear singularly perturbed evolutionary problems // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1997. V.12. P.53-66.

312. Shutyaev V.P. Adjoint analysis and initial-error growth in the study of predictability // INCASR Report FD9801. Jakkur, Bangalore: INCASR, 1998.

313. Shutyaev V.P., Parmuzin E.I. Numerical analysis of iterative algorithms for solving evolution data assimilation problems // Russ. J. Numer. Anal. Math. Modelling. 1999. V.l.

314. Sivergina I.F. On the evolution equations in initial state estimation problem for parabolic systems // Inverse and Ill-Posed Problems. Moscow: Dialog-MGU, 1996. P.168.

315. Smedstad O.M., O'Brien J.J. Variational data assimilation and parameter estimation in an equatorial Pacific Ocean model // Prog. Oceanolog. 1991. V.26. P.179.

316. Sobolev S.L. Application of Functional Analysis in Mathematical Physics. Providence: American Math. Society, 1963.

317. Strang G., Fix G.J. An Analysis of the Finite Element Method. New York: Prentice-Hall, 1973.

318. Sz.-Nagy B. Perturbations des tranformations lineaires fermees // Acta Sei. Math. Szeged. 1951. V.14. P. 125.

319. Talagrand 0., Courtier P. Variational assimilation of meteorological observations with the adjoint vorticity equation. Part I: Theory // Quart. J. Roy. Meteorol. Soc. 1987. V.113. P.1311.

320. Tautenhahn U., Schröter T. On optimal regularization methods for the backward heat equation // J. Anal. Anwend. 1996. V.15. P.475-493. ,

321. Temam R. Navier-Stokes Equations. Amsterdam: North-Holland, 1979.

322. Titchmarsh E.C. Some theorems on perturbation theory // J. Analys. Math. 1954. V.4. P.187.

323. Tziperman E., Thacker W.C. An optimal-control/adjoint-equations approach to studying the oceanic general circulation // Phys. Oceanogr. 1989. V.19. P.1471-1485.

324. Van Dyke M.D. Perturbation Methods in Fluid Mechanics. New York: Academic Press, 1964.

325. Whitham G.B. Linear and Nonlinear Waves. New York: John Wiley, 1974.

326. Zelenyak T.I., Lavrentiev M.M., Vishnevski M.P. Qualitative Theory of Parabolic Equations. -Utrecht: VSP, 1997.

327. Zhu K., Navon I.M., Zou X. Variational data assimilation with a variable resolution finite-element shallow-water equation model // Month. Weather Review. 1994. V.122. P.946.

328. Zou J., Hsieh W.W., Navon I.M. Sequential open-boundary control by data assimilation in a limited-area model // Month. Weather Rev. 1995. V.123. P.2905.

329. Zou J., Holloway G. Improving steady-state fit of dynamics to data using adjoint equation with gradient preconditioning // Month. Weather Rev. 1995. V.123. P.199.'

330. Zou X., Navon I.M., LeDimet F.X. Incomplete observations and control of gravity waves in variational data assimilation // Tellus A. 1992. V.44. P.273-296.

331. Zuazua E. An Introduction to the Exact Controllability for Distributed Systems. Lisboa: Centro de Math, e Apl. Fundament.ies de la Univ. de Lisboa, 1990.