Спектральные свойства оператора Лапласа на декорированных графах и на поверхностях с дельта-потенциалами тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ

УНИВЕРСИТЕТ ИМЕНИ М.В. ЛОМОНОСОВА

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 517.984.68, 515.168.5

гр А Л 004607ИУИ

1олченников Антон Александрович

Спектральные свойства

оператора Лапласа

на декорированных графах и на поверхностях с дельта-потенциалами

01.01.04 — геометрия и топология

АВТОРЕФЕРАТ диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 2009

004607090

Работа выполнена на кафедре дифференциальной геометрии и ее приложений Механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова.

Научный руководитель:

Официальные оппоненты:

Ведущая организация:

доктор физико-математических наук, профессор Шафаревич Андрей Игоревич, доктор физико-математических наук, профессор Степин Станислав Анатольевич; кандидат физико-математических наук Морозов Павел Валерьевич. Санкт-Петербургское отделение Математического института им. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится 19 февраля 2010 г. в 16 ч. 45 м. на заседании диссертационного совета Д.501.001.84 при Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: Российская Федерация, 119991, Москва, ГСП-1, Ленинские горы, дом 1, МГУ им М.В.Ломоносова, Механико-математический факультет, аудитория 14-08.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж) Автореферат разослан 19 января 2010 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д501.001.84 при МГУ доктор физико-математических наук, профессор

А.О. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Диссертация посвящена: 1) изучению взаимосвязи геометрических свойств декорированных графов со спектральными свойствами оператора Лапласа на декорированных графах; 2) изучению предельного поведения спектра оператора Лапласа на окружности, двумерной сфере и диске с потенциалами, сходящимися к дельта-функции; 3) изучению предельного поведения спектра оператора Лапласа на торе вращения, меридиан которого стягивается в точку.

Декорированным графом называется топологическое пространство, полученное отождествлением концов отрезков с точками на гладких римановых замкнутых многообразиях, размерность которых не превосходит 3. Причем ребра приклеиваются в разных точках.

Оператор Лапласа на декорированном графе - это оператор, удовлетворяющий следующим двум требованиям: 1) на функциях, носители которых не содержит точек приклейки, он должен совпадать с прямой суммой операторов Лапласа на отрезках и на поверхностях; 2) он должен быть самосопряжен.

Этому определению удовлетворяет целое семейство операторов, которое можно параметризовать лагранжевыми плоскостями в С4п © С4" (где п -количество отрезков в декорированном графе). Это эквивалентно заданию граничных условий в точках склейки, то есть системы из 4п линейных уравнений, связывающих значения функции и ее односторонних производных на концах ребер, а также коэффициенты при особенностях и значения регулярных частей функции в точках склейки (всего 8п переменных).

Актуальность этой темы связана, в частности, с тем, что подобными операторами можно моделировать гамильтониан заряженной частицы в массиве фуллеренов. Подобные объекты впервые появились в работе B.C. Павлова1.

В работе Й. Брюнинга и В. Гейлера2 изучались свойства матрицы рассеяния для компактной поверхности с прикрепленными полупрямыми. В диссертации И.С. Лобанова3 изучались спектральные свойства операторов Шре-дингера на периодических декорированных графах.

Аналогичная техника используется в вопросе о спектральных свойствах оператора Лапласа на поверхности с дельта-потенциалами. Этот оператор

1Паалов B.C. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов с внутренней структурой. // Теоретическая и математическая физика. - 1987. - Т. 72, N 3-- С. 403-415.

2J.Bruning, V.Geyler. Scattering on compact manifolds with infinitely thin horns.// J.Math.Phys. -2003. -Vol.44. - pp.371-405.

3И.С. Лобанов. Спектральные свойства гамильтонианов явнорешаемых моделей мезоскопических структур: декорированные квантовые графы и квантовые точки. Дис. ... канд. физ.-матем. наук, Мордовский гос. ун-т, Саранск, 2005.

определяется как самосопряженное расширение классического оператора Лапласа, ограниченного на функции, которые зануляются на конечном наборе точек.

Использование дельта-потенциалов в квантовой механике имеет более чем 70-летнюю историю. Изучая движение нерелятивистского электрона в жесткой кристаллической решетке, Р. де Л. Крониг и В.Г. Пенни4 в 1931 году одними из первых стали использовать точечные потенциалы. В 1961 году Ф.А. Березин и Л.Д. Фадеев5, используя теорию самосопряженных расширений, дали строгое математическое обоснование этого метода и предложили использовать резольвентную формулу М.Г. Крейна для получения резольвент возмущений. Дальнейшее исследование подобных моделей атомной физики проводилось в работах В.Н. Островского6, B.C. Павлова7,8

Для классического оператора Лапласа на замкнутом многообразии размерность ядра совпадает с количеством компонент связности многообразия. В данной работе дано описание ядра оператора Лапласа на декорированных графах и оператора Лапласа на поверхностях с дельта-потенциалом в терминах соответствия между операторами и лагранжевыми плоскостями. Также в работе рассматривается конкретный оператора Лапласа на декорированных графах, заданный условиями типа непрерывности. Для этого оператора найдена связь размерности ядра с топологией графа.

Связь геометрических характеристик риманова многообразия со спектральными свойствами оператора Лапласа А, построенного по римановой метрике, проявляется в классической задаче нахождения асимптотической формулы следа квадрата резольвенты Тг (Д + z2)~2 (z —> оо) и экспоненты оператора Tr e~At (t —> 0).

Для компактного риманова многообразия M хорошо известно (см., например, учебник С. Розенберга9), что

оо

Tr e~At ~ (47ri)-?^afetfc, к=0

где а^ = fM ak(x)dwx, а^{х) - полиномиальные выражения от компонент тензора кривизны и их ковариантных производных. В частности, üq{x) = 1,

''Kronig К. de L., Penney W.G. Quantum mechanics of electrons in crystal latices. // Proc. Roy. Soc. A. -1931. - V.130. - P.499 - 513.

5Березин Ф.А., Фадеев Л.Д. Замечание об уравнении Шредингера с сингулярным потенциалом. // Докл. Акад. Наук СССР. - 1961.- Т. 137. - С. 1011 - 1014.

6Демков Ю.Н., Островский В.Н. Метод потенциалов нулевого радиуса в атомной физике. - Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 19Т5.

7Курасов П.Б., Павлов Б.С. Электрон в однородном кристалле из точечных атомов с внутренней структурой. II. // Теоретическая и математическая физика. - 1987. - Т.74, N. 1. - С. 82-93.

8Павлов B.C. Теория расширений и явнорешаемые модели. // Успехи матем. наук. - 1987. - Т.42, N 6. - С. 99-131.

9S. Rosenberg. The Laplacian on a Riemannian manifold. // London Mathematical Society Student Texts. -1997. - Vol. 31. - Cambridge.

6ai(a;) - скалярная кривизна.

Отсюда, применяя преобразование Меллина, мы можем найти след квадрата резольвенты. Например, при dimM = 2:

¿—t 4ттг2к^2 4irz2 6z4 k=0

Обобщением этих формул на случай декорированных графов посвящена диссертация С.В. Рогановой10, Для этих целей использовалась формула Крей-на, выражающая разность резольвент двух дизъюнктных расширений через граничные операторы Г^. В отличие от классического случая риманова многообразия, формула для следа квадрата резольвенты оператора Лапласа на декорированных графах содержит в качестве коэффициентов при степенях z рациональные функции от lnz. Получается т.н. псевдоасимптотическое разложение, разложение по z~n\rf~m z,n, тп 6 NU {0}. Такое разложение, если существует, единственно. С.В. Рогановой было вычислено псевдоасимптотическое разложение для расширений специального вида с условиями локальности. Это означает, что граничные условия имеют вид Г^2' = ЛГ^1', где Л -матрица, состоящая из четырех диагональных блоков.

В данной работе мы вычисляем след экспоненты операторов с условиями локальности, а также находим разложение следа квадрата резольвенты для оператора с условиями непрерывности, который не попадает в класс операторов, рассматриваемых С.В. Рогановой.

Также в работе изучается следующий вопрос: что происходит со спектром оператора Лапласа при добавлении обычного потенциала, зависящего от малого параметра и сходящегося к дельта-функции? Будет ли он сходиться к спектру оператора с дельта-потенциалом?

Вопрос о дельта-потенциалах и их аппроксимациях для евклидовых пространств предельно подробно разбирался в монографии С.Альбеверио, Ф.Гестези, Р.Хэг-Крона и X. Хольдена11. Для случая оператора на прямой имеет место следующий результат. Рассмотрим семейство операторов Не>у = А + jV^-^), где V £ ¿!(R). Тогда ЯС]У сходится в равномерном резольвентном смысле к оператору Аал, где а — fR V(x)dx (это единственный параметр, определяющий расширение). При а < 0 отрицательная часть спектра состоит из одного простого собственного значения, сходящегося к единственному собственному значению оператора A0iJ/. Если а > 0, то при достаточно малых е отрицательная часть спектра Нел отсутствует и у Да,у нет отрицательных собственных значений. При а = 0 Не<у имеет не более

10S. Roganova. Direct and inverse spectral problems for hybrid manifolds. Dissertation, Humboldt Universität zu Berlin. - 2007.

пАдьбеверио С., Гестези Ф., Хеэг-Крон Р., Хольден X. Решаемые модели в квантовой механике. - М.: Мир. - 1991.

одного отрицательного собственного значения, погружающегося в существенный спектр [0; оо).

В данной работе рассматривается семейство операторов на окружности вида Д£ = Д + 1у(|).

Для двумерной плоскости имеет место следующее утверждение. Пусть семейство операторов имеет вид:

Тогда Н£чУ сходится в равномерном резольвентном смысле к оператору Л<*,у Где а - параметр расширения, который находится следующим образом:

_ Х2/У(х)с1х / У(х)/1п(д - х')У(х')(1х'с1х а ~ Щ* + 2тг(/ У(х)йх)2

г 2-к

при / У(х)с1х Ф 0. Ах

J V(x)dx'

В противном случае Не<у сходится в равномерном резольвентном смысле к А.

Техника, применяемая в моногорафии, не обобщается на случай операторов на компактных многообразиях, имеющих дискретный спектр. Нами разбирается задача о сходимости спектра оператора Лапласа на сфере и диске с кусочно-постоянным потенциалом, сходящимся к дельта-функции (без нормировки логарифмом). Эта задача, является модельным примером.

Еще одна затрагиваемая тема - сходимость спектра оператора Лапласа на поверхности, которая стягивается вдоль одного из направлений. Подобным задачам посвящены статьи П. Кучмента12, У. Саито13. В работе П. Экснера и О, Поста14 рассматривается "графоподобная" двумерная поверхность Ме в R3, стягивающаяся при е —> 0 к некоторому конечному графу Г. Ограниченные по е собственные значения оператора Лапласа на графоподобных поверхностях сходятся к спектру оператора Лапласа на метрическом графе, причем граничные условия в вершинах графа зависят от способа перехода к пределу. В частности, ими построено такое семейство графоподобных поверхностей МЕ, для которых все ограниченные собственные значения Ajt(Me) оператора Лапласа сходятся либо к нулю, либо к собственным значениям прямой суммы операторов Лапласа с условиями Дирихле на ребрах графа Г.

В данной работе рассматривается задача о сходимости спектра оператора Лапласа на двумерном торе вращения, радиус меридиана которого стремится к нулю.

12Kuchment P., Zheng Н. Convergence of spectra of mesoscopic systems collapsing onto a graph. //J. Math. Anal. Appl. - 2001. - V. 258, N.2. - P.671-700.

13Saito Y. The limiting equation for Neumann Lapl&cians on shrinking domains. // Electron. J. Differ. Equ.

- 2000. - V.31 - P. 1-25.

14Exner P., Post O. Convergence of spectra of graph-like thin manifolds.// Journal of Geometry and Physics.

- 2005. - V.54. - P. 77-115.

Цель работы.

Нахождение связи между геометрическими характеристиками сингулярных пространств и спектральными свойствами оператора Лапласа на этих пространствах

Научная новизна.

В диссертации получены следующие новые результаты:

1. Описан изоморфизм ядра оператора Лапласа на декорированных графах и пересечения лагранжевой плоскости, задающей оператор, с некоторой фиксированной лагранжевой плоскостью. Доказана оценка размерности ядра оператора Лапласа с условиями типа непрерывности на декорированных графах.

2. Найдены первые члены псевдоасимптотического разложения следа экспоненты оператора Лапласа на декорированном графе с условиями типа локальности и первые члены псевдоасимптотического разложения следа квадрата резольвенты оператора Лапласа на декорированных графах с условиями типа непрерывности

3. Для оператора Лапласа с потенциалом, сходящимся к дельта-функции, на окружности, двумерной сфере и двумерном диске доказано, что в случае окружности непрерывные ограниченные собственные значения сходятся к собственным значениям оператора Лапласа с дельта-потенциалом, а в случаях сферы и диска сходятся к собственным значениям оператора Лапласа.

Основные методы исследования.

В работе используются топологические методы, методы анализа и абстрактной теории операторов (в частности, теории расширений).

Теоретическая и практическая ценность работы.

Диссертация носит теоретический характер. Изложенные в диссертации подходы и полученные результаты могут представлять интерес для специалистов в теории сингулярных пространств и теории операторов на сингулярных пространствах.

Апробация работы.

Результаты диссертации докладывались на следующих научно-исследовательских семинарах и конференциях:

• Топологическая конференция памяти П.С. Александрова (МГУ, мехмат, 2006)

• Семинар "Алгебры Ли и интегрируемые системы" под руководством к.ф.-м.н. A.A. Ошемкова, профессора А.И. Шафаревича (МГУ, мехмат, 2007)

• Конференция "Воронежская зимняя математическая школа им. С.Г. Крейна" (Воронежский Государственный Университет, 24 - 30 января 2008)

• Семинар "Математическая физика" под руководством профессора Т.Крихебауэра (Германия, Бохумский университет, 10 июня 2008)

• Международная конференция "Дни дифракции" (СПбГУ, 25-29 мая 2009)

• Семинар "Теория рассеяния" под руководством профессора P.A. Минлоса (МГУ, мехмат, 10 декабря 2009).

Публикации.

Основное содержание диссертации было опубликовано в 4 работах, список которых приведен в конце автореферата [1]—[4]. Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, 7 глав и списка литературы. Объем диссертации — 59 страниц, библиография включает 26 наименований.

Во введении содержится обзор результатов, связанных с темой диссертации, приводится постановка задачи, дается краткое изложение основных результатов диссертации.

В первой главе мы формулируем основные определения и факты из теории самосопряженных расширений. Также мы рассматриваем необходимый в дальнейшем примера. Мы рассматриваем оператор До - ограничение оператора Лапласа (заданного на замкнутом многообразии М) на функции, которые зануляются на конечном наборе точек Оператор Лапласа с

дельта-потенциалом - это самосопряженное расширение замкнутого оператора До (с индексами дефекта (п, п)). В первой главе мы перечисляем основные свойства интегрального ядра С(х,у;г) резольвенты (Д — г)~1 и описываем базис дефектного подпространства А^ для До (это в точности {С(-, 2)}?=1)-Таким образом, каждая функция /(х) € -О(До) имеет следующее разложение в окрестности т.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

f{x) = <n{f)F0(x, <ц) + bj(f) + o(l), Oj.fy е С

где F0 не зависит от z и имеет следующий вид:

если dim М = 1; если dim М — 2; если dim М = 3.

Далее определяем операторы Г^.Г^ : D(A*0) —> С11:

Г(1> := ЫЛ)и Г(2) := (ШШи

Таким образом, по лагранжевой плоскости А С СП©СП мы можем построить самосопряженное расширение Дл с областью определения D(AA) = {/ е D(S*) | {rWf,rWf) £ Л}

Во второй главе доказывается

Теорема 4. ker ДЛ ~ L П Л, где L = Г(кег Дд) - лагранжева плоскость.

В утверждении 3 находится явный вид плоскости L, а в пункте 2.1 разобран конкретный пример нахождения параметров плоскости L (для оператора Лапласа на двумерной сфере).

Третья глава посвящена ядру оператора Лапласа НА на декорированных графах. Здесь имеет место утверждение, абсолютно аналогичное теореме 4: ker НА ~ LOA, где L - лагранжева плоскость в С4пфС4п, где п - количество ребер графа.

Далее, в пункте 3.2 рассматривается конкретное расширение НА° с условиями типа непрерывности. В утверждении 4 доказывается его существование и единственность.

Центральный результат главы 3 - доказательство неравенства (теорема 5), выполненного для оператора НА° на декорированном графе (полученном декорацией графа Г) :

Ра <dimker#Ao <0o + Pi

где Д) - количество компонент связности графа Г, ¡3\ - количество независимых циклов графа Г. Приведен пример, в котором указанная оценка достигается (п. 3.4), и показано, что сколь угодно малым изменением длин ребер можно добиться равенства dimkerff^ = fo. Также показано, что величина А (Г) — dimkeriïAo не убывает при добавлении новых ребер и многообразий.

В четвертой главе мы вычисляем след экспоненты операторов Лапласа с условиями типа локальности (это означает, что граничные условия имеют вид Г^ = ЛГ^1), где Л - матрица из четырех диагональных блоков), для чего применяем пребразование Лапласа

Tr(t e~tI{A) = Tr(HA +р)~2

к каждому члену псевдоасимптотического разложения Тг(НА +р)~2 (утверждение 7), которое было найдено C.B. Рогановой, и даем оценку остаточного члена (утверждение 8). В теореме 7 найдены первые члены разложения Tr(t е~шА).

В пятой главе мы, используя технику C.B. Рогановой, вычисляем Tr(HA°+z2)~2 для оператора Лапласа с введенными в п. 3.2 условиями непрерывности НА°. Для этих целей необходимо изменить операторы граничных

условий и сравнивать резольвенту оператора НА° с резольвентой оператора Щ - прямой суммы операторов Лапласа на многообразиях, и операторов Лапласа на отрезках с условием Дирихле. В теореме 8 найдены первые члены псевдоасимптотического разложения Tr(HA° + z2)~~2.

Оказывается, что в разложении Tr(ffA° + z2)~2 слагаемые, не содержащие логарифмических членов, дают разложение для следа квадрата резольвенты прямой суммы операторов Лапласа на многообразиях и на отрезках с условиями Неймана. В то время, как в разложении следов операторов, рассматриваемых C.B. Рогановой, присутствуют ненулевые добавки к степенным членам.

В шестой главе рассматривается задача о предельном поведении спектра оператора Лапласа с потенциалом, сходящимся к дельта-функции. В пункте 6.1 рассматривается оператор на окружности и доказывается

Теорема 9. Рассмотрим задачу на окружности, параметризованной х G [0,1): —у" + = А у, где V(x) - интегрируемая функция с носителем

[0,1]. Для каждой точки Aq вида (2-кк)2(к е N) или решения уравнения

= Ш (где M = Jq V(x)dx) существует единственное собствен-

ное значение А(е), т.ч. А(е) —* Ао- Других собственных значений нет.

В пункте 6.2 рассматривается оператор на сфере и доказывается

Теорема 10. Рассмотрим задачу на нахождение собственных значений оператора Лапласа^Вельтрами с потенциалом на стандартной двумерной сфере радиуса 1 : (Д — VE(cos ф))и = —Аи, где ф - широта, V^cosVO = ß при О < ф < е, и V¡-(cosф) = 0 при ф > е.

Тогда каждая непрерывная и ограниченная функция А(е) сходится при е->0к числу вида п(п + 1), п е Z.

Аналогично, в пункте 6.3 рассматривается оператор Лапласа на двумерном диске с кусочно-постоянным потенциалом, сходящимся к дельта-функции. В теореме 11 доказывается сходимсть непрерывных ограниченных собственных значений к точкам спектра обычного оператора Лапласа.

В седьмой главе рассматривается задача об асимптотике спектра оператора Лапласа на двумерном торе вращения, радиус меридиана которого стремится к нулю. Теорема 12 вычисляет первые члены асимптотики собственных значений.

Благодарности.

Автор выражает искреннюю благодарность своем}' научному руководителю профессору Андрею Игоревичу Шафаревичу за постановку задач, постоянное внимание, многочисленные плодотворные обсуждения и помощь в работе.

Список публикаций по теме диссертации.

[1) A.A. Толченников. О ядре операторов Лапласа-Бельтрами с потенции лом нулевого радиуса и на декорированных графах.// Математический сборник. - 2008. - Т. 199, N7. - с. 123-138.

[2] A.A. Tolchennikov. Kernel and Trace Formula for the Exponential of the Laplace-Beltrami Operator on a Decorated Graph. // Russian Journal of Mathematical Physics. - 2008. - Vol. 15, No. 1. - pp.128-139.

[3] А.А. Толченников. Тезисы конференции "Дни дифракции 2009". Изд-во СПбГУ. - 2009. - с. 88.

[4] А.А. Толченников. Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна - 2008. Тезисы докладов. Изд-во ВорГУ. - 2008. - с. 136.

2009124766

Подписано в печать и. а;, /а Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. 1,0 Тираж (ОО экз. Заказ

Отпечатано с оригинал-макета на типографском оборудовании механико-математического факультета МГУ имениМ. В. Ломоносова

2009124766