Спектральные свойства операторов Шредингера и существование решений одного класса нелинейных самосогласованных задач тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение.

Глава I. РАВНОМЕРНЫЕ ОЦЕНКИ ДЛЯ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ

И СВОЙСТВА СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ.

Глава П. В03М7ЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ЗНАЧЕНИЙ.

Глава Ш. ВОЗМУЩЕНИЕ СОБСТВЕННЫХ ПРОЕКТОРОВ

Г л а в а 1У. НЕКОТОРЫЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА ИЗОЭНЕР

ГЕТИЧЕСКИХ ПОВЕРХЮСТЕЙ.

Глава У. О КОМПАКТНОСТИ НЕКОТОРЫХ ШКЦЮНАЛЬНЫХ И

ОПЕРАТОРНЫХ МНОЖЕСТВ, СВЯЗАННЫХ С ОДНОЧАС -ТИЧНЫМИ ПЕРИОДИЧЕСКИМИ ОПЕРАТОРАМИ ШРЕЩИН

ГЕРА В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ЯЧЕЙКЕ

Г л а в а У1. СУЩЕСТВОВАНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ ХАРТРИ

ФОКА-СЛЭТЕРА

Одной из' интенсивно развивающихся областей физики твердого тела является так называемая зонная теория /1-3/. Математическая сущность зонной теории заключается, во-первых, в исследова -нии свойств спектра и собственных функций (собственных функцио -налов) оператора Шредингера И с периодическим потенциалом V (X) заданного формальным дифференциальным вырахением+ (I)в трехмерном евклидовом пространстве ft и, во-вторых, в создании и реализации алгоритмов для численного расчета спектра и собственных функций этого оператора. Важно заметить, что работа во втором направлении базируется на результатах первого надрав -ления, что придает качественным исследованиям свойств оператора "Н особую важность.

Первые результаты по свойствам спектра и собственных функ -ций одномерного оператора Шредингера с периодическим потенциалом(оператора Хилла) получены в работах /4,5/ указавших на "по -*лосатую" структуру спектра: интервалы непрерывного спектра (зоны устойчивости) разделены "лакунами" (зоны неустойчивости). Подробное изложение можно найти в работах /6-8/. Именно свойство "полосатости" спектра сыграло впоследствии основную роль в при -ложениях к теории твердого тела.

В более поздних исследованиях оператора Хилла получена глубокая детализация свойств его спектра и собственных функций. Например, с кавдой зоной устойчивости была связана периодическая непрерывная функция \j(K) квазиимпульса К порожденного спектральным представлением унитарного оператора трансляции,коммутирующего о оператором Хилла /9/, выяснены дифференциаль -ные характеристики Ау (К) получены различные оценки/10-12/. Многочисленные публикации посвящены изучению обратной задачи для оператора Хилла, укажем некоторые из них: /13-17/ • Обилие интересных и важных результатов в одномерном случае связано в первую очередь с тем, что рассматриваемое уравнение имеет лишь два ли нейно независимых решения, этот факт лежит в осшве всех иссле -дований.

В главе ЗУ на основе метода линеаризации операторных пучков /43/ и теорем об устойчивости существенного спектра замкнутого оператора /37,44/ доказано, что множество Г\ вида (4) может иметь лишь конечное число общих точек в Qg с рациональной кривой довольно общего вида в пространстве квазиимпульсов. Эти результаты опубликованы в /25/.

В главе У доказаны несколько утвервдений о компактности функциональных и операторных множеств, связанных с семействами операторов вида (3) в предположении, что потенциалы V принадлежат шару фиксированного радиуса в (Q ).В частности,доказана компактность (в С ) сужений множества мер плотностей»состояний /Ю/ на любой конечный отрезок. Далее, множество семейств операторов (3), рассматриваемых при фиксированных потен -циалах из шара в Z% (О.) метризуется; доказывается, что получаемый таким образом метрический компакт эквивалентен в смысле оценок величин £ -емкости и £ ^энтропии {см. /45-48/ ) метрическое компакту, который образует шар в4 (Я) рассматриваемый с метрикой, индуцированной негативной нормой ; пространства с негативной нормой и "оснащения" гильбертовых пространств рассматриваются, например, в работах /49/ (используемые в настоящей работе обозначения следуют этому источнику) и/50,51/. Результаты главы У опубликованы в виде препринта /52/" -«и заметки /53/.

Результаты глав Ш-У позволяют в заключительной главе диссертации - шестой - обосновать правомочность постановки и доказать существование решений нелинейных задач на собственные значения типа уравнения Хартри-Фока-Слэтера. Результаты этой главы анонсированы в /54/ и подробно изложены в препринте /55/.

Конкретно, на защиту выносятся следующие основные положения.

1. Оценка возмущений собственных проекторов одночастичных операторов Шредингера зонной теории - леммы 2,4 главы Ш.

2. Равномерная оценка возмущения низкоэнергетических состояний операторов Шредингера одноэлектронной модели твердого тела при возмущении потенциалов и волновых векторов в предположении равномерной по норме / а ограниченности потенциалов и без дополнительных предположений о распределении собственных значений -оценка (50) главы Ш.

3. Теорема об отсутствии на изоэнергетических поверхностях участков рациональных кривых определенного класса - теорема 2 главы 1У.

4. Теоремы о компактности функциональных.и операторных мно -жеств, связанных с низкоэнергетическими состояниями рассматриваемого класса операторов Шредингера - теоремы 1,3,5,7 главы У.'5. Конструкция метризации рассматриваемого класса операторов Шредингера и характеристика возникающего метрического компакта -теорема 8 главы У.

6. Теорема существования решений класса нелинейных задач на собственные значения, включающего уравнения Хартри-Фока-Слэтера -теорема 5 главы У1.

В работе принята следующая нумерация формул и система ссылок: формулы и содержательные предложения (определения, утверждения) каждой из глав занумерованы независимо натуральными числами, начиная с единицы. Ссылки внутри главы даются в форме (иг) » гдеKW-номер формулы или утверждения в данной главе. Ссылки на формулы и утверждения из других глав даются в форме (W.n) где иг - номер главы, Yl номер формулы определения или утверждения в ней.

Комбинируя результаты из работ /10,22,38/ можно высказать следующее утверждение, ^

Заключение

1. Результаты глав П, Ш позволяют сделать следующие содержательные выводы: численные характеристики (спектр, собственные функции) одноэлектронной модели твердого тела устойчивы к "вход -ным" параметрам модели, каковыми являются характеристики потенциала (например, коэффициенты ряда Фурье потенциала). Кроме того, устойчивыми являются наблюдаемые (см. /105,106/ ), связанные с низкоэнергетическими состояниями.

2. Результат главы 1У, являясь по форме отрицательным, тем самым - неконструктивен. Характеризация допустимых кривых на изо-энергетических поверхностях, или, хотя бы, количественная ив^ор -мация о распределении точек пересечения рассматривавшихся кривых с изоэнергетическими поверхностями сводится к спектральной теории несамосопряженных операторов, или к исследованию множеств уровня функций многих комплексных переменных. Задачи такого рода интен -сивно исследуются в настоящее время /107,108/ методами дифференциальной геометрии и топологии, что позволяет, на взгляд автора, расчитывать, привлекая соответствующий современный аппарат, получать содержательные результаты о структуре изоэнергетических по -верхностей в рассматривавшемся и сходных частных случаях.

3. Результаты главы У, дополнительно к устанавливаемой в главах П,Ш устойчивости низкоэнергетических состояний, устанавливают компактность некоторых связанных с низкоэнергетическими состояниями спектральных характеристик и наблюдаемых. Эти результаты качественно играют роль, своего рода,(неконструктивных) теорем существования алгоритмов для вычисления соответствующих объектов. Оценка £-энтропии компакта играет важную роль как эвристичес -кая характеристика сложности эффективного вычислительного алгоритма /48/. Величина £ -энтропии и £ -емкости характеризуют компакт как "конструктивный" объект /45-48/. Получение оценок указанных величин для компактов, рассмотренных в главе У, затрудняется, однако, отсутствием количественных (метрических) характеристик изоэнергетических поверхностей и "слоев" изоэнергетических поверхностей, соответствующих малым интервалам энергии (качественное поведение таких "слоев" дает теорема 2 главы У), Эти вопросы также, на взгляд автора, представляют интересрдля дальнейшего изучения, и продвижение здесь зависит от положительных результатов в смысле П.2, заключения.

4. Теорема существования решений нелинейной задачи в главе У1 неконструктивна, т.к. основана на применении принципа неподвижной точки Шаудера. В общей постановке возможность построения ежи -мающего отображения, приводящего к неподвижной точке, на взгляд автора, весьма сомнительна. С другой стороны, техника, приведшая к доказательству существования решения в рассмотренном случае, представляется достаточно общей и может, по-видимому, быть использована при изучении других нелинейных задач, широко используемых при построении "самосогласованных" моделей в современной теоретической физике.

5. Полученные в работе результаты могут быть полезны при ка -чественном анализе явлений, описываемых одноэлектронным уравнением Шредингера с периодическим потенциалом, и при разработке численных алгоритмов вычисления различных спектральных характеристик в модели идеального кристалла.

1. Бете Г., Зоммерфельд А. Электронная те орт металлов. - М.-Л.: ОГИЗ, 1938. 352 с.

2. Киттель Ч. Введение в физику твердого тела. М.: Наука,1978. 792 с.

3. Ашкрофт Н., Мермин Н. Физика твердого тела. т.1. -М.: Мир,1979. 398 с.

4. Коддингтон А., Левинсон Н. Теория обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: ИЛ, 1958. 474 с.

5. Титчмарш Э.Ч. Разложения по собственным функциям, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка, т.2. М.: ИИЛ, 1961. 555 с.

6. Глазман И.М. Прямые методы качественного спектрального анализа сингулярных дифференциальных операторов. М.: ГИФМЛ, 1963 , 339 с.9. g&cA. Т. Ц£еь eta QUA* VL 1М2. Pfy. S р. COO.

7. Рид М., Саймон Б, Метода современной математической физики, т. 4. М.: Мип. 1982. 428 с.ty/a*мл&1 ftMustjuerHA . Ы Jtf,19Я, f>.W-№.

8. Дякин В.В. Методы расчета энергетической структуры и физических свойств кристаллов. Киев: Наукова думка, 1977, с, 67-77.13. 4f~ocfortadt О* ej 4UMb гулякСс*tout. MuJ Mut.0*af. 13, tterp. 35"3-3'б2.

9. Гасымов М.Г., Левитан Б.M. Определение дифференциального оператора по двум спектрам. Усп.мат,наук, 1964, 19, вып. 2,с. 3-63.

10. Марченко В.А. Операторы Штурма-Лиувилля и их приложения. -Киев: Наукова думка, 1977. 329 с.

11. Марченко В.А., Островский И.В. Характеристика спектра опера -тора Хилла. Мат.сборник, 1975, 97, вып. 4, с. 540-606.

12. Гельфанд И.М., Левитан Б.М. Об определении дифференциального уравнения по его спектральной функции. Изв. АН ССОР.Сер. мат., 1951, 15, вып. 4, с. 309-360.18. 4М- &&JM Яао^М <f^z c^tmlticU

13. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции, вып. 3. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений, - М.: ГИФМЛ, 1958. 274 с.

14. Гельфанд И.М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами. « ДАН СССР, 73, 1950, с. III7-1120.

15. Крэкнелл А,, Уонг К. Поверхность Ферми. М.: Атомиздат, 1978, 350 с.

16. Дякин В.В., Петрухновский С .И. Некоторые геометрические свойства поверхностей Ферми. ДАН СССР, 1982, 264, № 5, с. III7-III9.

17. Лифшиц И.М., Каганов М.И. Некоторые вопросы электронной теории металлов. Усп. физ.наук, 87, В 3, 1965, с. 389-469.

18. Харрисон У. Теория твердого тела. М.: Мир, 1972. 616 с.

19. Фок В.А» Начало квантовой механики. М.: Наука, 1976, 376 с.

20. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Квантовая механика. М.: Наука, 1974, 752 с.

21. Давыдов А.С. Квантовая механика. М.: Наука, 1973 , 703 с.

22. MoJjVb J, С. # ^Щиакивъ oj. htd&odpftp. fbw. n, 191~i, />. arc.

23. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972. 740 с.

24. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа. М.: Наука, 1973, 576 с.

25. Ладыженская О.А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные

26. Петрухновский С.И. Об оценках возмущения собственных проекторов операторов Шредингера с дискретным спектром. Свердловск: Препринт ИФМ УНЦ AH^CCCP >84/3^IS84f 52с.

27. Гохберг И.Ц., Крейн М.Г. Введение в теорию несамосопряженных операторов. -М.: Наука, 1965 , 448 с.44. ХаЛ^ои^е J.Ro^aW-J. ы.^ Meet., 12 IU3h633-m

28. Кожогоров A.H., Тихомиров B.M. £-энтропия и £ -емкость множеств в функциональных пространствах. Усп.мат.наук, 14, вып. 2(86), 1959, с. 3-86.

29. Витушкин А.Г. Оценка сложности задачи табулирования. М.: ГИФМЛ, 1959 , 228 с.уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967, 736 с.

30. Иванов Л.Д. Вариации множеств и функций. М.: Наука, 1975, 325 с.

31. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. М.: Наука, 1979,.295 с.

32. Березанский Ю.М. Разложения по собственным функциям самосо -пряженных операторов. Киев: Наукова думка, 1965 , 798 с.

33. Лионе Ж.-Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мщр, 1971, 371 с.

34. Алберг Дж., Нильсон Э., Уолш Дж. Теория сплайнов и ее прило -жения. М.: Мир, 1972, 316.с.

35. Петрухновский С.И, 0 компактности некоторых функциональных и операторных множеств, связанных с операторами Шредингера с периодическим потенциалом. Свердловск: 1 Препринт ИФМУНЦ^ 1АН СССР Р84/2Д984. 32с.

36. Петрухновский С.И. Топологические требования к математическим моделям в физике твердого тела. Тезисы докладов У1 респуб -ликанской школы молодых физиков, Ташкент, Ин-т ядерной физики АН УзССР, 1981, 224 с.

37. Дякин В.В., Петрухновский С.И. Существование решений уравне -ния Хартри-Фока-Слэтера. Изв. высш.уч.зав., 12, 1983.

38. Дякин В,В,, Петрухновский С.И. Существование решений одного класса нелинейных задач на собственные значения. Свердловск: фепринт ЙШ УНЦ Щ (Ш3 ^8^1,1984, ^^71

39. Соболев С.Л. Введение в теорию кубатурных формул. М. :Наука, 1974, 808 с.

40. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства, дифференциальные операторы. М.: Мир, 1980, 664 с.

41. Избранные главы анализа и высшей алгебры. Ленинград: Изд-во Ленингр. ун-та, 1981, 200 с.

42. Никольский С.М.-Приближение функций многих переменных и теоремы вложения. М.: Наука, 1969, 480 с.

43. Он Пл. е^вк^или&виД ovk U*оф. у/о£и£ — coftlmi. /W1. Qffl.MdL.tJ,

44. Басс Г.й. Асимптотика спектральной функции эллиптических операторов в ограниченной области. Матем.заметки, 5, 1969,с. 245-261.

45. Бирман М.Ш,, Соломяк М.З. 0 главном члене спектральной асимптотики для "негладких" эллиптических задач. Функц.анализ и его прилож, 4, 1970, с. I-I3.

46. Бирман М.Ш., Соломяк М.З. Спектральная асимптотика негладких эллиптических операторов. Докл. АН СССР, 205, 1972, с. 267270. •

47. Кожевников А.Н, 0 распределении спектра дифференциального оператора. Вест. MI7, 2, 1971, с. II-I7.65. Левитан Б.М. СелАби^ сфо^ db^^tuJ? (Ыи йг^М

48. JUew. М*МЛП0,12, I3fl, р. Щ-ЧЫ

49. Туловский В.Н. Асимптотическое распределение собственных чисел дифференциальных уравнений. Матем.сб., 89, 1972, с. 191-206.

50. ШхЛъо^<£им.<Жиги tjL an et&ptU. орекМ:.-(М* Mdl LH , Ш, p. №-218.

51. Хермандер Л. 0 средних Рисса спектральных функций эллиптичес -ких дифференциальных операторов и соответствующих спектральных разложениях. Математика, 12, 5, 1968, с. 91-130.

52. Ctonl С Жг cuyhipioiCt oLbbzS&dw (j

53. Oft*/ Zifj^j-UAutur^ boutdc^ \fo£t/J? jytoew-51ЛМ kws, i9f?fp.

54. Дякин B.B., Широковский В.П. Нули собственных функций квазипериодической задачи. Дифференц, уравнения, 10, 4, 1974,с. 624-628.

55. Кудрявцев Л.Д. Прямые и обратные теоремы вложения. Приложения к решению вариационным методом эллиптических уравнения. Труды матем. ин-та им. В.А.Стеклова АН СССР, 55, 1959, с. I-I8I.

56. Ладыженская 0,А. Простое доказательство разрешимости основных' краевых задач и задачи о собственных значениях для линейных эллиптических уравнений. Вестник Ленингр. гос.ун-та, сер. матем., мех. и астр., 7, 1958, с. 60-69.

57. Ладыженская О.А. 0 замыкании эллиптического оператора. Докл. АН СССР, 79 , 5, 1951, с. 723-725.

58. Кошелев А.И. Априорные оценки в L р и обобщенные решения эллиптических уравнений и систем. Усп. мат.наук, 13, № 4, 1958, с. 29-88.

59. U Сгний. Рим Ttyf.MaJi, 12 t