Спектральный анализ несамосопряженных краевых задач со спектральным параметром в краевых условиях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

0 3 9 4КАДЕШЯ

мадешя наук азереадцщана институт математики и механики

На правах рукописи

мамвдов низами насир ош

Уда 517.984.91/93

спектральный анализ несамосопряженных

краевых задач со спектральным ПАРАМИ- ' ром в краевых условиях

(01.01.02 - дифференциальные уравнения)

автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Работа выполнена в Институте математики и механики All Азербайджана.

Научные руководители:

- доктор физико-математических наук, профессор БАЙРАШШ Ы.

- кандидат физико-математических ни/к, старший научный сотрудник АШАХВЕРДЖВ Б.П.

Официальные оппоненты:

- доктор физико-математических наук, профессор ВЕЛИЕВ 0J

- кавдидат физико-математических наук, доцент .АСЛАНОВ Г.t

Ведущая организация - Институт математики и механики АН казахской республики.

Защита состоится " " _1992г.

в " /у " час. на заседании Специализированного совета К 004.01.01 по присуждению ученой степени кандидата физико математических наук в Институте математики и механики АН Азербайджана по адресу: 370602, Баку, ул.Ф.Дгаева,д.9, квартал 553.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиоте ке ШМ Азербайджана.

Автореферат разослан

Ученый секретарь' Специализированного Совета

д.ф.-м.н.НУРИЕВ I

. -3-

№ ЛЕЗЛ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

зв. Ь.1 -.«¿1

аЛЬН°СТЬ Изучение кРаевых задач со спектраль-

"Нь1м Ьар^метром в краевых условиях имеет значительный интерес, так как многие задачи математичебкой физики и механики приводят к задачам такого вида.

Исследованием регулярных краевых задач (т.е. рассматриваемых в конечных областях) со спектральным параметром в краевых условиях занимались И.Валтер, А.О.Кравицкий, М.С. Естхам, К.Т.Фултон, А.А.Шкаликов, А.Шнейдер и др. Для сингулярных краевых задач рассматривался лишь самосопряженный случай К.Т.Фултоном.

Цель работы. Провести спектральный анализ несамосопряженных сингулярных краевых задач для уравнений Шредингера со спектральным параметром в краевых условиях.

Методика исследования. В работе использованы методы теории дифференциальных уравнений, теории операторов и аналитических функций.

Научная новизна. В работе доказаны теоремы о полноте системы собственных и присоединенных функций несамосопряженных сингулярных краевых задач для уравнений Шредингера со спектральным параметром в краевых условиях. Для этой цели применяется подход основанной на построении соответствующего диссипативного оператора и спектрального анализа этого оператора в терминах характеристической функции.

Теоретическая и практическая ценность работы. Результаты работы носят теоретический характер и могут быть применены в теории дифференциальных уравнений в частных производных

- 4 - ■

и к задачам математической физики с целью обоснования метода разделения переменных (метод 4>урье).

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на IX Республиканской конференции молодых ученых по математике и механике (1965, Баку), на семинаре-совещании по функциональному анализу и его приложениям, посвященной памяти академика З.И.Халилова (1991,Баку), на научном семинаре отдела функционального анализа ИМЫ АН Азербайджана (ру*г.акад.¿.Г.Максудов), на научном семинаре д.ф.-м.н., проф.М.Байрамоглы.

■ Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в статьях, список которых приведен в конце автореферата.

Структура и'объем диссертации.•Диссертация состоит из введения, двух глав и списка литературы. Работа изложена на 79 страницах машинописного текста. Библиография насчитывает 31 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении дается краткий обзор результатов по затрагиваемым вопросам. Приводится также краткое содержание диссертации с указанием основных результатов.

Первая глава "Спектральный анализ краевой задачи для уравнения Шредингера на полуоси со спектральным параметром в краевом условии" состоит из шести параграфов.

Первый параграф носит вспомогательный характер и содержит известные факты из теории дилатации^, характеристической функции диссипатиБНых операторов.•

Второй параграф посвящен постановки задачи и получению предварительных результатов.

Рассмотрим дифференциальное выражение

где ^(х) ~ вещественнозначная непрерывная функция в [_01 оо) . Обозначим через /С0 (с областью определения <£)0 ) замыкание минимального оператора, а через /6 (с областью определения /!) ) порожденного выражением (I). Дусть функция такова,"что имеет место случай предельного круга Г.Вейля.

Через ¿ту , (х) обозначим решения урав-

нения б (у) < . удовлетворяющие

начальным условиям

1г1(о)--1х Ъ-;(о)^0 ; Ъ-^(о)-0, Ъ-^о), /.

В пространстве ¿^ ^ рассмотрим следующую крае-

вую задачу

X о)

здесь «¿.^ ^ «¿/ , «(/ 5 ('"ов, оо) и ^ -«^¿Я Доказывается, что решение краевой задачи (2)-(4) выражается формулой

где

ос»

(у ^ является ядром Гильберта-К1мидта в

В третьем параграфе строится соответствующий диссипатив-ный оператор.

Рассмотрим гильбертово пространство Ь1~ оо) ©

со скаляр!шм произведением

(/' " & * 4-л -л ^

В пространстве Н определим оператор Ан следующий образок.Его область определения (Ак) состоит

из векторов у - (у^^) > Аля которых

^ Ъ] - Ь и///,, ¿у = о

*оо

& = ¿'ЯС0)'*!«"»о»»

т

- 7 -

Имеют место следующие теоремы

Теорема 3.1. Оператор А^ является максимальным диссипативным оператором в пространстве Н

Теорема 3.2. Собственные значения краевой задачи (2)-(4) и собственные значения оператора совпадают,

включая их кратности. Кавдой цепочке собственных и присоединенных функций уо ) . ■.) ^ задачи (2)~(4), отвечающей собственному значению )~Хо » соответствует цепочка собственных и присоединенных векторов уо , ^ J (/¿> • ■ • ) ¡/л оператора А^ , отвечающая тому же собственному значению Х~ Хо » ПРИ отом имеет место равенство

В четвертом параграфе строится самосопряженная дилата-ция диссипативного оператора

л .

Присоединим к пространству Н ортогонально "приходящий" и "уходящий" каналы - ^ О^)

- Л^ ^О и образуем основное гильбертово пространство дилатации ® Н ® • В пространстве ■ рассмотрим оператор с/Ь/, > порожденный выражением

и с областыоопределения

(Л,):

, I € кТ-л %е\4(о, о.;, ¿6 и,

¿¿г /> ¿о.* ^ , и/[и<, и (о) ,

где ^ Л, /) ■ * > <? .

Теорема 4.1. Оператор самосопряжен в простран-

стве и является самосопряженной дилатацией диссипа-

тивного оператора А^. .

Пятый параграф посвящен вопросам теории рассеяния ди-датации и функциональной модели диссипативного оператора

'Л . ■ ■ '

Самосопряженный оператор ^с.^ порождает в пространстве

Ж унитарную группу = -схр[о¿7

С <£ . Группа обладает важным

свойство« позволяющим применять к ней схему Лакса-Фаллипса, а именно, у нее имеется приходящие и уходящие подпространства = о), о, о)> и =

(^0 0/ ^ Ъ » обладающие следующими

. свойствами '

' I. и&съ:, -но-, ьи&съ,., 2- •

а- и ил -- и ж;

4. ¿l i 2v

Обозначим через и Фл решения уравнения

(2) удовлетворяющие условиям .

Положим

hdAiJxL. ,

w

Тогда имеют место следующие тесгремы

Теорема 5.1. функция (/¡J является функцией

(матрицей) рассеяния группы < 1Х<Л (или оператора Л^ ) относительно подпространств и

Теорема 5.2. Характеристическая функция диссипативного оператора пJ, совпадает с функцией

Sh(A) .

Шестой параграф посвящен спектральному анализу диссипативного оператора Ар, и краевой задачи (2)-(4).

Теорема 6.1. При всех значениях А ' с 4 ? ¿7,

кроме, быть может одного значения ¿>~А# , характерном-

- ю - ■

ческая функция Sh (л) диссипативного операто!ра Аь является произведением Бляшке. Следовательно, при всех ¡1 с А >й х кроме, быть может, одного значения Ь-Мо ,

спектр оператора А/, чисто дискретен, а система его собственных и присоединенных векторов полна в пространстве Н . ■

Теорема 6.2. Спектр краевой задачи (2)-(4) состоит лишь из изолированных собственных значений с конечными крат-ностяыи и совпадает с нулями функции иО ^) -Ь из

открытой верхней полуплоскости. При всех значениях Ь с

/) ~> О , кроме, быть может, одного значения краевая задача (2)-(4) имеет бесконечное число собственных значений с предельными точками в бесконечности, а система собственных и присоединенных функций краёвой задачи (2)-(4) полна в пространстве л^ (о> сх>). •

Вторая глава."Спектральный анализ краевой задачи для уравнения Ередингера на всей оси со спектральным параметром в краевом условии" состоит из четырех параграфов.

Первый параграф посвящен постановки задачи и получению результатов общего характера.

Рассмотрим дифференциальное выражение

где ~ вещвственнозначная непрерывная функция в

оо( оэ) • Обозначим-через (с областью опреде-

ления ) замыкание минимального оператора, а через

(с областью определения ) максимального опера-

тора порожденного выражением (5). Предположим, что симметри-

- II -

:кий оператор Ц0 имеет индекс дефекта .

Рассмотри следующую краевую задачу

£(*)=хи*), у ¿я

< в; (у) - 4 в; (у)=л (<; в;ьу4в;(0)

ИГЛ ь]^ ъ \х/[</,

цесь положено \iZ\-i) ЪЗ-оо

% (У) =

<¡¿4 ~ У О .

Показано, что решение краевой задачи (6)-{8) сыракает-

!Я формулой

еде а а) - является ядром Гильберта-Шмидта в пространстве оо оо) .

Во втором параграфа строится соответствующий диссипа-тивкый оператор с его самосопряженная дилатация. В гильбертовом пространстве -

<=*>, оо)© С

введем скалярное произведение

»" ' ** оо -

а

(ш\ '"37)

- 12 -

В Н определим оператор .Вь следующим образом. Его область определения 2)(Ъь) состоит из векторов (ц^) для которых ^ (х) ,

^ о; - \

и положим

1

=е,

Теорема 2.1. Оператор является максимальным

диссипативным оператором в пространстве Н

Теорема 2.2. Собственные значения'краевой задачи (6)-(0) и собственные значения оператора Вь совпадают, включая их кратности. Каждой цепочке собственных и присоединенных функций ,У 1 ] ¿/л задачи (6)-(8), отвечающей собственному значению , соответствует цепочка собст-

л У* и

венных и присоединенных векторов ) ^ ,...,

оператора ¿3/, , отвечающая тому же собственному значении

при этом имеет место равенство / &

щи..

Рассмотрим в пространстве „ ~ о)®

ФИ © 1г (о, <="*) оператор ,

юрожденный выражением

)

1 с областью определения

-ОО '

ц^ ■ Ы,- - С") , .

и/и.,, Ы^/. Ъ(о) ,

где положено

Теорема 2.3. Оператор ¿В/, самосопряжен в пространстве "7С и является самосопряженной дилатацией диссипативного оператора ^

Третий параграф посвящен вопросам теории рассеяния дилата-ции и функциональной модели.диссипативного оператора .

Самосопряженный оператор порождает в пространст-

ве

76

унитарную группу (оо) . Труппа 2С-£ обладает свойством, позволяющим применять к ней схему Лакса-Филлипса т.е. у нее Тлеется приходящие и уходящие подпространства

Обозначим через и fej решения урав-

нения (6) удовлетворяющие условиям:

из' ч^'- W*' bls^t -

Vi%, h I„=^ , W[i\, hl

Положим

/\ (л)-, м^ы

Имеют место следующие теоремы

Теорема ЭЛ. функция (А) является функцией

(матрицей) рассеяния группы ^¿¿¿^ (или оператора относительно подпространств.

Теорема 3.2. Характеристическая функция диссипативноп оператора В^ совпадает с функцией

Четвертый параграф посвящен спектральному анализу дис сипптивного оператора 3/, и краевой задачи (б)-(8).

Теорена 4.1. При всех значениях с Л>ъ А .><£

>

- 15 - .

кроме, быть может, одного значения г характерис-

тическая функция S/i ¿А) диссипативного оператора ß/, является произведением Бляшке. Следовательно, при всех : f) с Уъ 4 > О , кроме быть может, одного значения , спектр оператора чисто дискретен, а

система его собственных и присоединенных' векторов полна в пространстве Н

Теорема 4.2. Спектр краевой задачи (б)-(8) состоит ' лишь из изолированных, собственных значений с конечными кратностями и совпадает с нулями функции Л h из открытой верхней полуплоскости. При всех значениях А с

Ут 4?£>, кроме, быть монет, одного значения краевая задача (6)-(8) имеет бесконечное число собственных значений с предельными точками в бесконечности, а система собственных и присоединенных функций краевой задачи (6)-(8) полна в пространстве о^ .

В заключении, пользуясь случаем выражаю искреннюю благодарность своим научным руководителям д.ф.-м.н., проф. М. Байрамоглы и к.ф.-м.н., с.н.с. Б.П.Аллахвердиеву за руководство и постоянное внимание к работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в еле,дующих работах

I. Аллахвердиев Б.П., Ыамедов H.H. К спектральной теории одной краевой задачи со спектральным параметром в краевом условии, Матер.X Респ.конф.молодых ученых по математике и механике, Баку, 1990, с.37-38.

2. Мамедов Н.И. К.спектральному анализу одной краевой задачи со спектральным параметром в краевом условии, Матер, семинар-совещ. по функцион. анал. и его прил. посвящен-

• ный памяти академика З.И.Халилова, Баку, 1991, с.41.

3. Наыедов Н.Н. К спектральной теории одной краевой г сдачи со спектральным параметром в краевом условии. Депон. в ВИШИ, 1991, Г« 3325-Б91, 30 с.

4. Спектральный анализ несамосопряженной краевой задачи со спектральным параметром в краевом условии. Препринт ин-т физики АН Азербайджана, Баку, 3991, 29 с.