Спектральный анализ однородных случайных полей тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.05 ВАК РФ

ОСНОВНЫЕ ОБОЗНАЧЕНИЯ И СОКРАЩЕНИЯ.

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ОЦЕНКИ СШИИНВАРИАНТОВ, СШ И ИНТЕГРАЛОВ ОТ СЕМИИНВАРИАНТОВ.

§ 1Д. Оценки смешанных семиинвариантов случайных полей. ♦

§ 1.2. Оценки для сумм от смешанных семиинвариантов случайного поля с дискретным временем.

§ 1.3. Оценки интегралов от смешанных семиинвариантов случайного поля с не-. . прерывным временем

ГЛАВА II. ОЦЕНКИ СТАРШИХ СПЕКТРАЛЬНЫХ ПЛОТНО-.

СТЭД ОДНОРОДНЫХ СЛУЧАЙНЫХ ПОЛЕЙ.

§ 2.1. Оценки старших спектральных плотностей однородных случайных полей с дискретным временем .••••.•

§2.2. Оценки старших спектральных плотностей однородных случайных полей с непрерывным временем.

§2.3. Аналитичность старших спектральных плотностей однородных случайных полей с дискретным временем ••••.

§ 2.4. Аналитичность старших спектральных плотностей однородных случайных полей с непрерывным временем.

ГЛАВА III. ИССЛЕДОВАНИЕ СТАТИСТИК СПЕКТРАЛЬНОЙ

ПЛОТНОСТИ ОДНОРОДНОГО В ШИРОКОМ СМЫСЛЕ СЛУЧАЙНОГО ПОЛЯ, ПОЛНЕННЫХ ВРЕМЕННЫМ

СДВИГОМ.

§ 3.1. Асимптотические свойства статистик спектральной плотности однородного в широком смысле случайного поля с дискретным временем,по лученных временным сдвигом.

§ 3.2. Центральная предельная теорема для статистик спектральной плотности случайного поля с дискретным временем, полученных временным сдвигом

§ 3.3. Центральная предельная теорема для случайных полей с непрерывным временем

Спектральный анализ временных рядов и случайных полей является развитой ветвью теории случайных процессов и полей, основы которого заложены в фундаментальных работах Андерсона Т., Бриллинджера Д., Гренандера У,, Журбенко И.Г., Ибрагимова И.А., Колмогорова А.Н., Розанова Ю.А., Розенблатта М#, Хеннана Э., Ширяева А.Н., Яглома А.М., Ядренко М.И. В последнее время уделялось исключительно большое внимание спектральному анализу временных рядов и случайных полей. Такой широкий интерес продиктован приложениями методов спектрального анализа почти во всех областях науки, охватывая широкий диапазон задач техники, физики, геофизики, астрономии, экономики, биологии, медицины, причем, роль методов спектрального анализа в научных исследованиях непрерывно возрастает. Именно этим объясняется появление в последнее время ряда монографий, посвященных анализу временных рядов и случайных полей, а также множества самых разнообразных процедур статистического анализа.

Однако спектральный анализ случайных полей изучен в значительно меньшей мере, чем спектральный анализ временных рядов.

В предлагаемой работе рассматриваются следующие вопросы спектрального анализа однородных случайных полей: получение оценок смешанных семиинвариантов случайных полей; нахождение условий существования, ограниченности и гладкости старших спектральных плотностей однородных случайных полей в условиях регулярности; применение полученных результатов в статистическом анализе случайных полей, построив статистики спектральных плотностей второго порядка однородных случайных полей, полученной с помощью временного сдвига модифицированной периодограммы и изучив их статистические свойства.

Смешанные семиинварианты играют важную роль при изучении асимптотических свойств случайных полей. Особенно удобно их использование в предположениях слабой зависимости рассматриваемых случайных полей. Оценки смешанных семиинвариантов находят широкие применения при выводе предельных теорем, теорем о больших уклонениях для слабо зависимых случайных величин, оценок сверху старших спектральных плотностей однородных случайных полей в условиях регулярности.

Необходимость изучения старших спектральных плотностей однородных случайных полей в условиях регулярности поля обусловлена как многочисленными приложениями в физике, так и широким набором задач в статистике однородных случайных полей. Изучения старших спектральных плотностей однородных случайных полей требует задача проверки близости распределений поля к гауссов-ским, эта же необходимость возникла при оценке моментов статистики спектральной плотности второго порядка. При исследовании этих задач очень удобными оказываются условия регулярности случайных полей, которые могут использоваться в качестве априорных условий, поскольку в большинстве реальных ситуаций эти условия выполняются. Условие регулярности удобно не только при исследовании задач асимптотического характера, но и при статистическом анализе, который может быть существенно уточнен за счет таких начальных предположений.

Известно, что спектральные плотности вторых порядков полностью описывают гауссовские поля. Следовательно, знание статистически "хороших" оценок спектральных плотностей дает важную информацию о структуре поля. Поэтому мы в нашей работе сочли нужным рассмотреть статистики спектральных плотностей второго порядка однородных случайных полей, полученной с помощью временного сдвига модифицированной периодограммы.

В случае стационарных процессов такая статистика была введена в работах Журбенко И .Г. по предложению Колмогорова А.Н. Эта статистика обладает рядом практических преимуществ по сравнению со статистиками типа Гренандера-Розенблатта.

Цель диссертации заключается в следующем:

- получение оценок смешанных семиинвариантов, сумм и интегралов от смешанных семиинвариантов, встречающихся в спектральном анализе однородных случайных полей;

- установить существование и ограниченность старших спектральных плотностей (и их смешанных производных) однородных случайных полей в условиях регулярности;

- исследовать аналитичность старших спектральных плотностей однородных случайных поле$ в условиях регулярности;

- построить статистики спектральной плотности второго порядка однородного случайного поля, полученные временным сдвигом, и изучить их асимптотические свойства (несмещенность,состоятельность, асимптотическое распределение, построение доверительного интервала).

Отметим, что вопросы, рассматриваемые в диссертации, примыкают к исследованиям Бенткуса Р., Бриллинджера Д., Булинско-го А.В., Журбенко И.Г., Ибрагимова И.А., Леоненко Н.Н., Ядрен-ко М.И.

Диссертационная работа состоит из введения и трех глав.

1. Алексеев В.Г. Эмпирический спектральный анализ гауссовскиходнородных и изотропных случайных полей. Теория вероятн. и ее прим., 1973, т.18, Jfi 2, с. 280-288.

2. Ахмедов С. О вероятностях больших уклонений для случайныхполей с перемешиванием. Вестн. Моск. ун-та, сер. I, Матем. механ., 1982, Л 5, с. II-I4.

3. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.:Мир, 1976, 755 с.

4. Бенткус Р. Об асимптотическом поведении оценки спектральной функции многомерной стационарной гауссовской последовательности. Литовский матем. сб., 1971, т.9, Л 4, с. 745-761.

5. Бенткус Р. Об ошибке оценки спектральной функции стационарного процесса. Литов. матем. сб., 1972, т»12, Л I, с.55 - 71.

6. Бенткус Р., Журбенко И.Г. Асимптотическая нормальностьспектральных оценок. Докл. АН СССР, 1976, т.226, ifi I, с.23 - 25.

7. Бенткус Р., Рудзкис Р., Сушинскас Ю. О среднем оценокспектра одного поля. Литов* матем. сб., 1974, т.14, * 3, с.67-74.

8. Бенткус Р., Тарасявичюс П. Некоторые оценки семиинвариантов зависимых и ^ - перемешанных стационарных процессов. - Литов. матем. сб., 1981, т.21, Я I, с.29-39.

9. Бриллинджер Д. Временные ряды. Обработка данных и теория.-М*: Мир, 1980, 536 с.

10. Булинский А.В. О центральной предельной теореме для случайных полей. Вторая Вильнюсская конф. по теории вер. и мат. стат. , Вильнюс, 1977, т»2, с.69-70.

11. Булинский А.В. Предельные теоремы для случайных процессови полей. Изд-во Моск. ун-та, 1981, 64 с.

12. Булинский А.В*, Журбенко И.Г. Центральная предельная теорема для случайных полей, Докл. АН СССР, 1976, т.226, jfc I, с. 23-25.

13. Виленкин С.Я. Статистическая обработка результатов исследования случайных Функций. -М.: Энергия, 1979, 320 с.

14. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действиянад ними. М.: Физматгиз, 1959 , 470 с#

15. Гихман И.И., Скороход А.В. Введение в теорию случайныхпроцессов. М.: Наука, 1965, 654 с.

16. Гихман И.И., Скороход А.В., Ядренко М.И. Теория вероятностей и математическая статистика. Киев: "Вища школа" 1974, 408 с.

17. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.-М.-Л.: Гостехиздат, 1951, 464 с.

18. Добрушин Р.Л. Описание случайного поля при помощи условных вероятностей и условия его регулярности. Теория вероятн. и ее прим., 1968, т.13, Jfi 2, с.201-229.

19. Журбенко И.Г. Спектральный анализ временных рядов.- Изд-во Моск. ун-та, 1982, 168 с.

20. Журбенко И.Г. О состоятельных оценках старших спектральных плотностей. Докл. АН СССР, 1982, т.264, JE 3, с. 529-532.

21. Журбенко И.Г., Зуев Н.М. 0 старших спектральных плотностях стационарных процессов с перемешиванием. Украин» ский матем. журнал, 1975, т.27, В 4, с. 452-463.

22. Журбенко И.Г., Зуев Н.М. Оценки старших спектральных плотностей стационарных процессов, удовлетворяющих условию Крамера с перемешиванием "по Розенблатту". Литов.ма-тем. сб., 1975, т.15, A I, c.III-124.

23. Журбенко И.Г., Зуев Н.М. Перемешивание случайных процессов. Вестн. Белорус, ун-та, сер. I, I960, А 3,с.29-33.

24. Зуев Н.М. Об оценках смешанных семиинвариантов случайныхпроцессов. Математические заметки, 1973, т.13, Jfi 4, с. 581-586.

25. Зуев Н.М. Оценка смешанных семиинвариантов случайных процессов, удовлетворяющих условию перемешивания почти Марковского типа. Литов. матем. сб., 1981, т.21,А 2, с. 81-87.

26. Зуев Н.М., Лаппо П.Н. Уточнение оценки смешанных семиинвариантов случайных процессов, удовлетворяющих условию перемешивания "по Розенблатту". Литов. матем. сб., 1981, т.21, А 4, с. 137-142.

27. Ибрагимов И.А. 0 спектральных функциях некоторых классовстационарных гауссовских процессов. Докл. АН СССР, 1961, т.137, X I, с.1046-1048.

28. Ибрагимов ИаА. О стационарных гауссовских процессов, обладающих условиями сильного перемешивания. Докл.АН СССР, 1962, т.147, J* 6, с.1282-1284.

29. Ибрагимов И.А., Линник Ю.В. Независимые и стационарно связанные величины. М.: Наука, 1965, 524 с.

30. Ибрагимов И.А., Розанов Ю.А. Гауссовские случайные процессы. М.: Наука, 1970, 384 с.

31. Колмогоров А.Н. О классах Форте и Блан-Лапьерра#-Теориявероятн. и ее прим. I960, т.5, J& 3, с.373.

32. Колмогоров А.Н., Розанов Ю.А. Об условиях сильного перемешивания гауссовского стационарного процесса. Теория вероятн. и ее прим., - I960, т.5, .№ 2, с.222-227.

33. Коняев К.В. Спектральный анализ случайных процессов и полей. -М.: Наука, 1973, 168 с.

34. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Прохождениенекоторых случайных функций через линейные системы. Автоматика и телемеханика, 1953, т.14, ii 2,с.144-163.

35. Кузнецов П.И., Стратонович Р.Л., Тихонов В.И. Прохождениенекоторых случайных функций через нелинейные системы.-Автоматика и телемеханика, 1953, т.14, .№ 4, с.375-391.

36. Леоненко Н.Н. Об оценке скорости сходимости в центральнойпредельной теореме для Иг зависимых случайных полей. -Матем. заметки, 1975, т.17, Я I, с.129-132.

37. Леоненко Н.Н. Некоторые вопросы спектральной теории старших моментов случайных полей, Докл.АН УССР, сер. А, 1975, Я 9, с. 777-782.

38. Леоненко Н.Н. О центральной предельной теореме для некоторых классов случайных полей, Теория вероятностей и математическая статистика, 1976, вып.15, с.114-122.

39. Леоненко Н.Н., Ядренко М.И. Центральная предельная теорема для однородных и изотропных случайных полей. Докл. АН УССР, сер. А, 1975, Ш 4, с. 314-316.

40. Леоненко Н.Н., Ядренко М.И. Центральная предельная теорема для одного класса случайных полей. Докл. АН УССР, сер. А, 1978, » 12, с.1086-1088.

41. Леонов В.П. Некоторые применения старших семиинвариантовк теории стационарных случайных процессов. М.:Наука, 1964, 68 с.

42. Леонов В.П., Ширяев А.Н, К технике вычисления семиинвариантов. Теория вероятн. и ее примен.,1959, т.4, В 3, с.342-355.

43. Леонов В.П., Ширяев А.Н. Некоторые вопросы спектральнойтеории старших моментов. Теория вероятн. и ее примен., I960, т.5, Jfi 4, с,460-464.

44. Малевич Т.Л. Некоторые свойства оценок спектра стационарного процесса. Теория вероятн. и ее примен.,1965, т.10, № 3, с.500-509.

45. Мирзахмедов М.А. Об оценке спектральной функции однородного случайного поля. В сб.: "Случайные процессы и смежные вопросы", Ташкент, "Фан", 1971, с.63-66.

46. Нахапетян Б.С. Сильное перемешивание гиббсовского случайного поля с дискретным аргументом и некоторые примене-ния«Изв.АН Арм.ССР,сер. матем. 1975, )£ 3, с. 242-254.•г

47. Отнес Р.К., Эноксон Л. Прикладной анализ временных рядов.Основные методы.-М.: Мир, 1982, 428 с.51• Розанов Ю.А, Стационарные случайные процессы» М.:Физ-матгиз, 1963, 284 с.

48. Ряуба Б.А. 0 скорости сходимости в центральной предельной теореме для vn. зависимых случайных полей, -Литов. матем. сб., 1980, т.20, Jfi I, с.157-164.

49. Статулявичус В.А. Теоремы больших уклонений для суммзависимых случайных величин. I. Литов. матем. сб., 1970, т.19, Я 2. с.199-208.

50. Статулявичус В.А. Об условии почти марковской регулярности. Теория вероятн. и ее прим., 1983, т.28, Я 2, с.358-361.

51. Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ наэвклидовых пространствах. М.: Мир, 1974, 336 с.

52. Труш Н.Н. Исследование оценок спектральных плотностейоднородных случайных полей. Вестник ЕГУ, сер. I, 1979, Я I, деп. в ВИНИТИ, JE 1578-78.

53. Хеннан Э. Многомерные временные ряды.-М.: Мир, 1974,575 с.

54. Ширяев А.Н. Некоторые вопросы спектральной теории тарших поментов. Теория вероятн. и ее примен. I960,т.5, Ji 3, с.393-413.

55. Ширяев А.Н. Вероятность. -М.: Наука, 1980 , 576 с.

56. Яглом А.М. Корреляционная теория стационарных случайныхфункций.-Л.: Гидрометеоиздат, 1981, 281 с.

57. Ядренко М.И. Спектральная теория случайных полей. -Киев:Вища школа, 1980, 208 с.

58. Bolthausen Е. On the central limit theorem for stationarymixing random fields. Ann. РгоЪаЪ., 1982, v.10, No 4, p. 271-274.

59. Brillinger D.EU An introduction to polyspectra. Ann.Math. Statist., 1965» v. 36, p. 1351-1374.

60. Brillinger D.R., Rosenblatt M. Computation and interpretation of k-th order spectra. Advanced Seminar on Spectral Analysis of Time Series (ed.B.Harris), New York, John Wiley 1967, p. 189-232*

61. Brillinger D.R., Rosenblatt M. Asymptotic theory of estimates of k-th order spectra. Abvanced Seminar on Spectra Analysis of Time Series (ed.B.Harris), Eew York, John Willy, 1967, p. 153-188.

62. Cooley J.W., Tukey J.W. An algorithm for the machinecalculation of complex Fourier- series. Mathematics of Computation, 19&5, v, 19, p. 297-301 *

63. De Dominicis Radolfo. I semi-invariant edil teoreme dellimite centrale per compi aleatore. Rend. Accad.sci. fis. e mat. Soc. naz. sci. litt. e arti Napoli, 1979, p. 155-161.

64. Deo C.M. A functional central limit theorem for stationary random fields. Ann, Probab. 1975, v. 3, Ко 4» p. 708-715.

65. Keenan D.M, Limiting behavior of functionals of thesample spectral distribution. Ann. Statist., 1983, v. 11, No 4, p. 1206-1217.

66. Rosenblatt M., Van Ness J.W. Estimation of the bispectrum.-Ann.Math. Statist., 1965, v. 36, p. 1120-1136.

67. Xaлилов А. Оценки семиинвариантов и старших спектральныхплотностей стационарного процесса с непрерывным временем. Изв.АН УзССР,сер.физ.-мат.наук,1980, » 1,с.28-33.

68. Халилов А. Центральная предельная теорема для случайныхполей с непрерывным временем. Теория вероятностей и математическая статистика, 1982, вып.26, с.151-155.